guia algebra lineal

2

CAPITULO 1

ECUACIONES LINEALES Y MATRICES

1.1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Se llama ecuación lineal sobre un campo K, a una expresión de la forma:

bxaxaxa nn =+++ K2211 (1)

donde los K, ∈bai y los ix son indeterminadas, incógnitas o variables. Los

escalares ia se denominan coeficientes y b es llamado término constante o

independiente de la ecuación. Un conjunto de valores de las incógnitas, por ejemplo:

nn kxkxkx === ,,, 2211 K

se dice que es una solución de la ecuación (1) si:

bkakaka nn =+++ K2211

generalmente si no hay ambigüedad acerca de la posición de las incógnitas, se

denotará esta solución como la n-upla ),,,( 21 nkkkS K=

NOTA.- En lo que sigue del curso el campo K que se considerará, será el campo de

los números reales (R) o el campo de los números complejos (C).

Ejemplo.1.- Sea la ecuación

22 =− yx

una solución para la ecuación es 1=x e 0=y ; pues reemplazando estos valores en la

ecuación, ésta se verifica

20)1(2 =−x

Nótese que no son los únicos valores para x e y que satisfacen la ecuación. También si

se considera 0=x e 2−=y se verifica la ecuación.

El conjunto de todas las soluciones de la ecuación es llamado conjunto solución de la

ecuación lineal y se obtiene asignando a una de sus variables un valor arbitrario

llamado parámetro y luego despejando la otra variable en términos del parámetro.

Así dando el valor de ax = se tiene ay 22 −= .

3

Interpretación geométrica.- La ecuación 22 =− yx representa una recta en el plano

que se denotará por L. En consecuencia, cualquier punto que pertenece a la recta L es

una solución de la ecuación 22 =− yx .

Ejemplo.2.- Si se considera la ecuación

1=++ zyx

una solución para la ecuación es 1=x , 0== zy . Otra sería 1=y , 0== zx .

El conjunto solución de la ecuación se obtiene asignando dos parámetros diferentes a

dos de las variables y despejando la tercera en términos de los parámetros asignados.

Es decir haciendo ax = e by = se tiene baz −−= 1 , donde a y b pueden tomar el

valor de cualquier número real.

Interpretación geométrica.- La ecuación 1=++ zyx representa un plano en el

espacio que se denotará por P. Luego, cualquier punto del plano P es solución de la

ecuación.

A continuación se definirá un sistema de ecuaciones lineales como una colección

finita de ecuaciones lineales.

O 1

-2

22: =− yxL

X

Y

Z

Y

X

1: =++ zyxP

O 1

1

1

4

Se llamará un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas nxxx ,,, 21 K sobre

el campo K, a una expresión de la forma

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

=+++

=+++=+++

K

MMMM

K

K

2211

22222121

11212111

(2)

donde los K∈iji ba , .

Una forma fácil de resolver un sistema de ecuaciones lineales es haciendo uso del

conocido método de eliminación gaussiana; éste método consiste en reducir un

sistema de ecuaciones lineales a otro equivalente más simple que tiene el mismo

conjunto solución. Para aplicar el método de eliminación hay que tener en cuenta que

el conjunto solución del sistema no se altera si se realizan cuantas veces sean

necesarias las siguientes operaciones:

1. Intercambiar dos ecuaciones.

2. Multiplicar una ecuación por una constante distinta de cero.

3. Sumar el múltiplo de una ecuación a otra.

Ejemplo 3.- Sea el sistema

422

=+=−

yxyx

(3)

Solución

Multiplicando la segunda ecuación por 2

82222

=+=−

yxyx

multiplicando la primera ecuación por 1− y luego sumando a la segunda

6322

==−

yyx

despejando la variable de la segunda ecuación se tiene

2=y

reemplazando el valor de 2=y en la primera ecuación se obtiene el valor de

2=x

Luego, 2=x e 2=y es la solución del sistema (3). El sistema (3) geométricamente

representa dos rectas en el plano, y resolver simultáneamente el sistema significa

hallar los puntos de intersección de las rectas. Si denotamos por 1L la recta

5

determinada por la ecuación 22 =− yx y por 2L la recta determinada por la

ecuación 4=+ yx , entonces })2,2({21 =∩LL como se puede ver en el siguiente

gráfico.

Ejemplo 4..- Sea el sistema

42422−=+−

=−yx

yx (4)

Solución


−

2222

=−=−

yxyx

nótese que las dos ecuaciones son iguales, por consiguiente resolver el sistema se

reduce solamente a resolver una de las ecuaciones. Así dando el valor de ax = se

tiene ay 22 −= lo que significa que el sistema tiene infinitas soluciones.

Geométricamente el sistema (4) representa dos rectas paralelas coincidentes en el

plano como se puede apreciar en el gráfico siguiente.

Y

X

22:1 =− yxL

4:2 =+ yxL

O

(2 ; 2)

Y

X O

424:2 −=+− yxL 22:1 =− yxL

6

Ejemplo 5.- Sea el sistema

82422−=+−

=−yx

yx (5)

Solución


−

4222

=−=−

yxyx

en éste ejemplo nótese que la expresiones de la izquierda en ambas ecuaciones son

iguales, en consecuencia se tendría que 42 = , lo cual es un absurdo. El sistema (5) no

tiene solución. Los sistemas que no tienen solución se denominan incompatibles o

inconsistentes. Geométricamente el sistema (5) representa dos rectas paralelas. Si

denotamos por 1L la recta determinada por la ecuación 22 =− yx y por 2L la

recta determinada por la ecuación 824 =+− yx , entonces Φ=∩ 21 LL , como se

puede ver en el siguiente gráfico.

Ejemplo 6.- Un club social tiene un comedor con 56 mesas de tres tipos diferentes, x

mesas con 4 asientos cada una, y mesas con 8 asientos cada una, y z mesas con 10

asientos cada una. La capacidad de asientos del comedor es de 468. Durante un

almuerzo se ocuparon la mitad de las x mesas, un cuarto de las y mesas y un décimo

de las z mesas, haciendo un total de 12 mesas. ¿Cuántas mesas de cada tipo se usaron

en el almuerzo?.

Solución

El enunciado del problema, se puede expresar mediante el siguiente sistema

Y

X

22:1 =− yxL

42:2 =− yxL

O

7

12101

41

21

468108456

=++

=++=++

zyx

zyxzyx

(6)

multiplicando la primera ecuación por 4− y sumando a la segunda; luego

multiplicando la primera ecuación por 21

− y sumando a la tercera se tiene

1652

41

2446456

−=−−

=++=++

zy

zyzyx

multiplicando la tercera ecuación por 16−

2565

324

2446456

=+

=++=++

zy

zyzyx

multiplicando a la segunda ecuación por 1− y sumando a la tercera

1252

2446456

=+

=++=++

z

zyzyx

en este último sistema, de la tercera ecuación se obtiene el valor de

30=z

y sustituyendo el valor de z en la segunda ecuación se tiene

16=y

y así sucesivamente por retroceso, sustituyendo los valores de z e y en la primera

ecuación se tiene

10=x

Luego, la solución para el sistema (6) es 10=x , 16=y y 30=z .

EJERCICIOS

1. Resuelva el sistema lineal dado mediante el método de eliminación

a) 44382

=−=+

yxyx

b) 10335

=+=+

yxyx

c) 1335

2642−=−

=+yxyx

d) 1596532

−=+−=−

yxyx

8

e) 941114

26523438

−=−=+

−=−

yxyxyx

f) 12332

12432

=++−=+−−=+−

zyxzyxzyx

g) 48224223

=+−=++=++

zyxzyx

zyx h)

85431543212642

−=++=−−

−=++

zyxzyxzyx

i) 632

=+−=−+

zyxzyx

j) 3266123

=++=−+

zyxzyx

2. Dado el sistema lineal

tyxyx

=−=−

2452

a) Determine el valor de t de modo que el sistema tenga una solución.

b) Determine un valor de t de modo que el sistema no tenga solución.

c) ¿Cuántos valores distintos de t se pueden elegir en la parte (b)?

3. Dado le sistema lineal

054032

=+−=−+

zyxzyx

a) Verifique que 1,1,1 111 −=−== zyx ; es una solución.

b) Verifique que 2,2,2 222 ==−= zyx ; es una solución.

c) ¿Es 1,1 2121 =+=−=+= yyyxxx y 121 =+= zzz una solución del sistema

lineal?

d) ¿Es zyx 3,3,3 , donde yx, y z son como en la parte (c) solución del sistema

lineal?

4. Sin utilizar el método de eliminación, resuelva los siguientes sistemas:

a) 473522

==+

−=−−

zzyzyx

b) 12253

13284

=−+−=−−=

zyxyx

x

5. ¿Hay un valor de r tal que 1=x , 2=y , rz = sea una soluciona del siguiente

sistema lineal? En tal caso, determínelo.

1224

721132

=−+−=+−

=−+

zyxzyx

zyx

9

6 ¿Hay un valor de r tal que 1,2, === zyrx sea una solución del siguiente sistema lineal? En tal caso determínelo.

923254

423

=++−−=+−

=−

zyxzyxzx

7. La suma de dos números es 15. El quíntuplo del primer número más el triple del

segundo es 61. Encuentre los dos números. 8. Una refinería produce gasolina con y sin azufre. Cada tonelada de gasolina sin azufre

requiere 5 minutos en la planta de mezclado y 4 en la planta de refinación. Por su parte, cada tonelada de gasolina con azufre requiere 4 minutos en la planta de mezclado y 2 en la planta de refinación. Si la planta de mezclado tiene 3 horas disponibles y la de refinación 2, ¿cuántas toneladas de cada gasolina se deben producir para que las plantas se utilicen al máximo?

9. Un industrial produce dos tipos de plástico: regular y especial. Cada tonelada de

plástico regular necesita 2 horas en la planta A y 5 en la planta B; cada tonelada de plástico especial necesita 2 horas en la planta A y 3 en la planta B. Si la planta A tiene disponibles 8 horas al día y la planta B 15, ¿cuántas toneladas de cada tipo de plástico pueden fabricarse diariamente de modo que las plantas operen a toda su capacidad?

10. Un nutricionista está preparando una dieta que consta de los alimentos A, B y C. Cada

onza del alimento A contiene 2 unidades de proteína, 3 unidades de grasa y 4 unidades de carbohidratos. Cada onza del alimento B contiene 3 unidades de proteína. 2 unidades de grasa y 1 unidad de carbohidratos. Cada onza del alimento C contiene 3 unidades de proteína, 3 unidades de grasa y 2 unidades de carbohidratos. Si la dieta debe proporcionar exactamente 25 unidades de proteína. 24 unidades de grasa y 21 unidades de carbohidratos, ¿cuántas onzas de cada comida se necesitan?

11. Una farmacia vende 100 unidades de vitamina A, 50 unidades de vitamina C y 25

unidades de vitamina D por un total de $17.50; 200 unidades de vitamina A, 100 unidades de vitamina C y 100 unidades de vitamina D por $45.00; 500 unidades de vitamina A, 80 unidades de vitamina C y 50 unidades de vitamina D por $64.00. Encuentre el costo por unidad de cada una de las vitaminas A, C y D.

12. Un fabricante produce reveladores de películas de 2, 6 y 9 minutos. Cada tonelada de

revelador de 2 minutos requiere 6 minutos en la planta A y 24 en la planta B. Cada tonelada de revelador de 6 minutos requiere 12 minutos en la planta A y 12 en la planta B. cada tonelada de revelador de 9 minutos requiere 12.

10

1.2. MATRICES

Al resolver el sistema

12101

41

21

468108456

=++

=++=++

zyx

zyxzyx

(1)

por el método de eliminación, se ha trabajado básicamente con los coeficientes del

sistema, sin tener que preocuparse por las variables. En la práctica, después de

establecer un orden en la disposición de las variables, el sistema se puede expresar

mediante un arreglo rectangular de la siguiente manera

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

12101

41

21

468108456111

(2)

el arreglo rectangular (2) descrito anteriormente recibe el nombre de matriz

aumentada o matriz ampliada asociada al sistema (1). El concepto de matriz que es

de suma importancia en el álgebra lineal se formaliza en la siguiente definición.

DEFINICIÓN.- Sea K un campo (R o C) y sean m, n números enteros mayores o

iguales a uno. Se llama matriz en K a todo arreglo A de escalares en K de la forma:

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nmmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

K

MKMM

K

K

21

22221

11211

que de manera abreviada se escribirá miaA ji ,,1],[ K== y nj ,,1 K= . Si la

matriz A tiene m filas y n columnas, se dirá que A es una matriz de orden m por n, lo

que se escribe como )( nm × .

Ejemplo 1

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=103

412A , ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=43

21B ,

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

102

C , ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

231102011

D ,

[ ]3=E , [ ]5021 −=F y ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−+

−=

iiii

iiG

213132201

11

son matrices. La matriz A es de orden 32× , B es una matriz de orden 22× , C es una

matriz de orden 13× , D es una matriz de orden 33× , E en una matriz de orden 11× ,

F es una matriz de orden 41× y G es una matriz de orden 33× . Las matrices A, B, C,

D, y E tienen como entradas números reales; mientras que las entradas de la matriz G

son números complejos.

NOTA.- Las matrices que tienen una sola fila como la matriz F del ejemplo 1 se

denominan matrices fila o vectores fila y las matrices que tienen una sola columna

como la matriz C del ejemplo 1 son llamadas matrices columna o vectores columna.

Ejemplo 2.- Una empresa tiene cuatro plantas, en cada una de ellas se fabrican tres

productos. Si ija denota el número de unidades del producto i elaborado por la planta

j durante una semana. La siguiente matriz

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

3800

80

200480390

370400350

210240420

3Pr2Pr1Pr

4321

oductooductooducto

PlantaPlantaPlantaPlanta

da la producción de la empresa en una semana.

42011 =a , es el número de unidades del producto 1 que produce la empresa en la

planta 1

37032 =a , es el número de unidades del producto 3 que produce la empresa en la

planta 2

Nótese que la empresa no produce el producto 2 en la planta 4.

Ejemplo 3.- La siguiente matriz da las distancias (en kilómetros) entre las ciudades

de Lima, Tumbes, Tacna y Huaraz.

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

01787897452

17870

26841335

8972684

01349

45213351349

0

HuarazTacna

TumbesLima

HuarazTacnaTumbesLima

12

El conjunto formado por todas las matrices de orden nm× con elementos en el

campo K se denota por

AAnm /{=×K es una matriz de orden )( nm× con elementos en el campo K }

Igualdad de matrices.- Dos matrices de orden nm× nmjiaA ×= ][ y nmjibB ×= ][ se

dice que son iguales si ijij ba = para todo njmi ≤≤≤≤ 1,1 .

Ejemplo 4.-Si

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−++

21064

yxtztzyx

hallar los valores de x, y, z y t.

Solución

De la definición de igualdad de matrices se tiene

21064

=−=−=+=+

yxtztz

yx

sumando la primera y cuarta ecuación se obtiene

362 =⇒= xx

y sustituyendo el valor de x en la primera ecuación se obtiene el valor de 1=y .

Análogamente, sumando la segunda y tercera ecuación se tiene

8162 =⇒= zz

y reemplazando el valor de z en las segunda ecuación resulta 2−=t .

Luego, 8,1,3 === zyx y 2−=t .

TIPOS DE MATRICES

1. Matriz nula.- Dada la matriz nmjiaA ×= ][ , se dice que A es una matriz nula y

denota por 0=A si y solo si 0=jia para todo mi ,,1 K= y nj ,,1 K= .

Explícitamente, se escribe como

nm×⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

000

000000

0

K

MKMM

K

K

13

2. Matriz cuadrada.- Una matriz nmjiaA ×= ][ se dice que es cuadrada si y solo si

nm = .

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

A

K

MKMM

K

K

21

22221

11211

es decir una matriz es cuadrada si el número de sus filas es igual al número de sus

columnas. En una matriz cuadrada de orden n se llama diagonal principal a los

escalares nnaaa ,,, 2211 L y a la suma de los elementos de la diagonal principal

se denomina traza de A lo que se denota por )(ATr ; es decir

nn

n

iii aaaaATr +++== ∑

=

L22111

)(

Ejemplo 5.- Dadas las siguientes matrices

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

4132

A y ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−=

243531021

B

se tiene que:

642)( =+=ATr

2231)( −=+−−=BTr

3. Vector fila y vector columna de una matriz.

Dada la matriz

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nmmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

K

MKMM

K

K

21

22221

11211

La primera fila de A se denotará por: ][)( 112111 naaaAF K= y a la i-ésima fila

por: ][)( 21 niiii aaaAF K= , de manera análoga,

14

la primera columna por:

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

1

21

11

1 )(

ma

aa

ACM

y a la j-ésima columna por:

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

jm

j

j

j

a

aa

ACM2

1

)(

Luego la matriz A se puede escribir como

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

)(

)()(

2

1

AF

AFAF

A

m

M en término de sus filas y

como [ ])()()( 21 ACACACA nK= en término de sus columnas.

a) )(,),(),( 21 AFAFAF mK se denominan vectores filas de la matriz A.

b) )(,),(),( 21 ACACAC nK se denominan vectores columnas de la matriz A.

Ejemplo 6.- Dada la matriz

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−=

627450

312A

Los vectores fila de la matriz A son: [ ]312)(1 −=AF , [ ]450)(2 −=AF y

[ ]627)(3 =AF .

Los vectores columna de A son:⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

702

)(1 AC , ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

251

)(2 AC , ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=64

3)(3 AC

4. Matriz diagonal.- Se dice que una matriz cuadrada nnijaA ×= ][ de orden n es

diagonal si y solo si 0=ija para todo ji ≠ ; nji ≤≤ ,1

Ejemplo 7.- Las siguientes matrices son diagonales

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

500030002

A , ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

100010001

B y

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

3000030000300003

C

15

5. Matriz escalar.- Se llama matriz escalar a una matriz diagonal donde todos los

elementos de la diagonal principal son iguales a una constante k diferente de 0 y

de 1.

Ejemplo 8.- Las siguientes matrices son escalares

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

200020002

A , ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

500050005

B ,

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

3000030000300003

C

6. Matriz identidad.- Una matriz cuadrada ][ ijaA = de orden n tal que

⎩⎨⎧

≠=

=jisijisi

aij 01

.

para i, j variando de 1 hasta n es llamada matriz identidad de orden n y se

denota por nI .

Ejemplo 9.- Las siguientes matrices son matrices identidades

[ ]11 =I , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

1001

2I , ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

100010001

3I ,

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

100

010001

K

MKMM

K

K

nI

1. Matriz triangular superior y matriz triangular inferior.- Una matriz cuadrada

][ ijaA = de orden n se dice que es

a) Triangular superior si 0=ija para ji > . Es decir, explícitamente

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nn

n

n

n

a

aaaaaaaa

A

0000

000

a

333

22322

1131211

OMMM

L

L

L

b) Triangular inferior si 0=ija para ji < . Es decir, explícitamente

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nnnnn aaaa

aaa

A

0

0a00a000a

321

333231

2221

11

OMMM

L

L

L

16

OPERACIONES CON MATRICES

1. SUMA DE MATRICES.- Dadas dos matrices nmjiaA ×= ][ y nmjibB ×= ][ del

mismo orden. La suma de A y B es una matriz del mismo orden que se define

como

( )nmjiji baBA

×+=+ njmi ≤≤≤≤ 1,1

Explícitamente si

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nmmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

K

MKMM

K

K

21

22221

11211

y

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nmmm

n

n

bbb

bbbbbb

B

K

MKMM

K

K

21

22221

11211

se tiene que

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++

++++++

=+

mnnmmmmm

nn

nn

bababa

babababababa

BA

K

MKMM

K

K

2211

2222222121

1112121111

Dos matrices del mismo orden se dice que son conformables respecto a la adición

de matrices.

Ejemplo 10.- Dadas las matrices

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=401132

A y ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

142321

B

calcular BA+ .

Solución

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=+142321

401132

BA

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++−+−+−++

=1440)2(131)2(312

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=543413

Ejemplo 11.- Una empresa metalmecánica fabrica tres modelos A, B y C de un

producto. Partes de cada uno se elaboran en la fábrica 1F ubicada en Arequipa, y

después se terminan en la fábrica 2F ubicada en Lima. El costo total de cada

17

producto consta de los costos de manufactura y de embarque. Entonces los costos

en cada fábrica (en dólares) se pueden describir mediante las matrices 1F y 2F

CModeloBModeloAModelo

F

embarquedeCosto

amanufacturdeCosto

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

353020

804035

1


F

embarquedeCosto

amanufacturdeCosto

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

302030

1406050

2

La matriz


FF

embarquedeCosto

amanufacturdeCosto

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=+

655050

22010085

21

proporciona los costos totales de manufactura y embarque de cada producto. Así,

los costos totales del modelo B por manufactura y embarque son 100 y 50 dólares

respectivamente.

2. Multiplicación de una matriz por un escalar.- Dada la matriz

K∈= × kaA nmji ,][ . La multiplicación de la matriz A por el escalar k denotado

por kA se define como

nmjiakkA ×= ][

Explícitamente si

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nmmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

K

MKMM

K

K

21

22221

11211

y K∈k

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nmmm

n

n

kakaka

kakakakakaka

kA

K

MKMM

K

K

21

22221

11211

18

Ejemplo 12.- Dada las matrices

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=401132

A

calcular A3

SOLUCIÓN

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=1203396

401132

33A


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=401132

A y ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

142321

B

calcular BA 25 −

SOLUCIÓN

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=−142321

2401132

525 BA

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=284642

200551510

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

−=

18811198

3. Transpuesta de una matriz.- Dada una matriz nmjiaA ×= ][ se llama transpuesta de

A a la matriz denotada por TA que se define como

mnijT aA ×= ][

Escrito en forma explicita,

si

nmnmmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

×⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

K

MKMM

K

K

21

22221

11211

, entonces

mnnmnn

m

m

T

aaa

aaaaaa

A

×⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

K

MKMM

K

K

21

22212

12111

Ejemplo 14.- Sean las matrices

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

2413

A , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

034751

B ,

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=

043

5

C y [ ]7421 −−=D

entonces, sus transpuestas son:

19

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=2143TA ,

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

073541

TB , [ ]0435 −=TC y

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=

7421

TD

EJERCICIOS

1. Calcular la matriz BA 335

− . Sabiendo que:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

−=

3122/102

A y ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−=

3/203/1012

B

2. Determinar la matriz:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

uzyx

X , sabiendo que IX =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

+2210

3. Si

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+−+

3424

2222

dcdcbaba

determinar los valores de a, b, c y d.

4. Encuentre todos los valores de x para los cuales

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ +xxx

exxxx

x 199319941994

)ln(1993

2

22

5. Sean las matrices:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

412321

A , ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

231201

B , ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

312514313

C ,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

4223

D , ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

123410542

E y ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

3254

F

en caso de ser posible calcular:

a) EC 52 − b) )(3 FD + c) TEC )32( +

d) TT AB )23( − e) TFD )23( − f) TTFEC )( ++

6. Sean

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−=

423331352

A y ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

100010001

I

20

Si λ es un número real, calcule AI −λ .

7. Escribir en forma explícita las siguientes matrices:

a) 43][ ×= ijaA , si jij ia )1(2 −+=

b) 33][ ×= ijbB , si ⎩⎨⎧

<+−−≥+

= + 3)1(3},min{

jisiijjisiji

b jiij

8. En relación al ejercicio 6 hallar.

a) TA y TB .

b) )(ATr .

9. Sea

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

feeedccba

A

a) Calcule TAA − .

b) Calcule TAA +

c) Calcule ( )TTAA −

10. Dada la matriz 55][ ×= ijaA , donde ⎩⎨⎧

+−+−

=imparesjisipjqi

paresjisiqjpiaij . Si se

cumple que 1524 aa = y 153255 =+ aa , hallar la traza de A.

11. Sea 33][ ×= ijaA tal que

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥−

<+

=jisi

ji

jisiji

aij

22

2 y ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−+−+++−−

=2/32/12

2/51232/1

zyxzyx

zyxB

Si BA = , hallar el valor de )(2 zyx ++ .

12. Dadas las matrices ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=1231

A , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=1342

B y ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

3215

C . Resolver la

ecuación CXABCX +−−=+ )](3[2)(3 .

13. Resolver el sistema ⎩⎨⎧

=+=−

BYXAYX

32

, si ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=0132

A y ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

3524

B .

14. Hallar la matriz X, si )(2)](2[3 BCCBXA −=+−+ , donde

⎩⎨⎧

≥+<−

=jisijijisiji

aij

2 ,

⎩⎨⎧

≠=−

=jisiijjisii

bij

2 y ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

2312

C

21

1.3. PRODUCTO PUNTO Y MULTIPLICACIÓN DE MATRICES

Producto punto o producto interior .- El producto punto o producto interior o

producto escalar de los n-vectores [ ]naaa L21=a y

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nb

bb

M2

1

b se define como

[ ] ∑=

+++==

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⋅n

innii

n

n babababa

b

bb

aaa1

22112

1

21 LM

Lba

Ejemplo 1.- Dados los 4-vectores [ ]4312 −=u y

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

523

1

v se tiene

[ ] 9)5)(4()2)(3()3)(1()1)(2(

523

1

4312 −=−++−−+=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−=⋅ vu

Ejemplo 2.- Sean los 3-vectores [ ]x23−=a y ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

x23

b

Si 17=⋅ba hallar x.

Solución

[ ] 24174923

23 22 ±=⇒=⇒=++=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−=⋅ xxx

xxba

Producto de matrices.- Sean las matrices pmjiaA ×= ][ y npjibB ×= ][ el producto de

A por B denotado por AB se define como:

nmjicCAB ×== ][ donde ∑=

=p

kjkkiji bac

1 ; para todo njmi ,,1,,,1 KK ==

la componente ijc es el producto punto o producto interior de la i-ésima fila de A y

la j-ésima columna de B. Es decir, si )(,),(),( 21 AFAFAF mK denotan los vectores

22

filas de la matriz A y )(),(),( 21 BCBCBC nK denotan los vectores columnas de la

matriz B, entonces

)()( BCAFc jiji = donde mi ,,1 K= y nj ,,1 K= .

Escrito de manera explícita

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

)()()()()()(

)()()()()()()()()()()()(

21

22212

12111

BCAFBCAFBCAF

BCAFBCAFBCAFBCAFBCAFBCAF

AB

nmmm

n

n

L

MKMM

K

K

Observaciones

1) El producto AB está definido si y solo si el número de columnas de la matriz A es

igual al número de filas de la matriz B.

2) Si el producto AB está definido, se dice que A es conformable con B respecto a la

multiplicación.

3) Si AB está definido, no necesariamente BA está definido.

Ejemplo 3. Dadas las matrices

4214322103

×⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=A y

34214203110121

×

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

=B se tiene

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

1269814

214203110121

14322103

AB

Nótese que BA no está definido; pues el número de columnas de B es 3 y es diferente

al número de filas de A que es 2.

Ejemplo 4.- Sean las matrices

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=213

21 xA y

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

1xy

B .

Si ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

26

AB , hallar los valores de x, y.

Solución

23

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++−

+=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=26

233

1213

21yxyx

xy

xAB

22363

=++−=+

yxyx

⇒ 0363

=+−=+

yxyx

multiplicando la primera ecuación por 3

03

1839=+−=+

yxyx

y restando la segunda ecuación de la primera

59

1810 =⇒= xx

y finalmente reemplazando el valor de x en la segunda ecuación se obtiene

53

59

3 =⇒= yy


⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

304132

A y ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

421313

B

calcular las siguientes entradas del producto AB .

a) La entrada )2,1(

b) La entrada )3,2(

c) La entrada )1,3(

d) La entrada )3,3(

Solución

a) La entrada )2,1( se halla multiplicando la primera fila de la matriz A por la

segunda columna de la matriz B.

[ ] 4)2)(3()1)(2(21

32)()( 21 =+−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⋅ BCAF

b) La entrada )3,2( se calcula multiplicando la segunda fila de la matriz A por la

tercera columna de la matriz B.

[ ] 13)4)(4()3)(1(43

41)()( 32 =+−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⋅ BCAF

24

c) La entrada )1,3( se halla multiplicando la tercera fila de la matriz A por la

primera columna de la matriz B.

[ ] 3)1)(3()3)(0(13

30)()( 13 =+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⋅ BCAF

d) La entrada )3,3( se halla multiplicando la tercera fila de la matriz A por la tercera

columna de la matriz B.

[ ] 12)4)(3()3)(0(43

30)()( 33 =+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⋅ BCAF

Ejemplo 6. Un proyecto de investigación nutricional comprende adultos y niños de

ambos sexos. La composición de los participantes está dada por la matriz:

MujeresHombres

A

niñosadultos

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

200120

10080

El número de gramos diarios de proteínas, grasa y carbohidratos que consume cada

niño y cada adulto está dada por la matriz

NiñoAdulto

B

tosCarbohidraGrasaoteínas

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

3020

2020

1020

Pr

a) ¿Cuántos gramos de proteínas ingieren diariamente todos los hombres del

proyecto?.

b) ¿Cuántos gramos de grasa consumen a diario todas las mujeres?.

Solución

Calculando el producto de las matrices A y B se obtiene

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

800060004000520040002800

302010202020

20010012080

AB

a) Al multiplicar la primera fila de la matriz A (hombres) por la primera columna de

la matriz B (proteínas) se obtiene 2800 gramos de proteínas que es lo que

consumen todos los hombres del proyecto.

b) Al multiplicar la segunda fila de la matriz A (mujeres) por la segunda columna de

la matriz B (grasa) se obtiene 6000 gramos de grasa que es lo que consumen todas

las mujeres del proyecto.

25


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

532141

A y ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

142332

B

al efectuar el producto de la matriz A por B se obtiene

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

1725106

AB

Por otra parte nótese que:

a) al multiplicar la matriz A por la primera columna de la matriz B se obtiene

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

256

432

532141

)(1 BAC

b) análogamente al multiplicar la matriz A por la segunda columna de la matriz B se

tiene

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

1710

123

532141

)(2 BAC

Luego, de a) se puede observar que multiplicando la matriz A por la primera columna

de B se obtiene la primera columna de la matriz AB; es decir )()( 11 ABCBAC = . De

igual manera, multiplicando la matriz A por la segunda columna de B se obtiene la

segunda columna de la matriz AB; es decir )()( 22 ABCBAC = .

NOTA.- El resultado del ejemplo anterior se puede generalizar del siguiente modo. Si

A es una matriz de orden pm× y B es una matriz de orden np× , entonces la

columna j-ésima del producto de AB se calcula multiplicando la matriz A por la

columna j-ésima de la matriz B. Es decir, )()( BACABC jj = .

Observación.- Sean u y v dos n-vectores que representan matrices columna de orden

1×n , el producto punto de u por v denotado por vu ⋅ se define por vuvu T ⋅⋅ = .

Escribiendo explícitamente se tiene

Si

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nu

uu

M2

1

u ,

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nv

vv

M2

1

v , entonces [ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

== ⋅⋅

n

n

v

vv

uuuM

L 2

1

21vuvu T

nnvuvuvu +++= L2211

26

Ejemplo 8.- Si

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=31

2u y

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

241

v , entonces

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=⋅=⋅

241

312vuvu T

)2)(3()4)(1()1)(2( −+−+=

2−=

Producto de matriz-vector escrito en términos de columna.

Sea

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nmmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

K

MKMM

K

K

21

22221

11211

una matriz de orden nm×

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nb

bb

M2

1

b un n-vector o

matriz columna de n componentes. El producto bA es una matriz de orden 1×n .

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++

++++++

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

nmnmm

nn

nn

nnmmm

n

n

bababa

babababababa

b

bb

aaa

aaaaaa

L

M

L

L

M

K

MKMM

K

K

2211

2222121

1212111

2

1

21

22221

11211

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nmn

nn

nn

mm ba

baba

ba

baba

ba

baba

ML

MM2

1

22

222

212

11

121

111

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

mn

n

n

n

mm a

aa

b

a

aa

b

a

aa

bM

LMM

2

1

2

22

12

2

1

21

11

1

)()()( 2211 ACbACbACb nn+++= L

Luego se tiene

)()()( 2211 ACbACbACbA nn+++= Lb (1)

La expresión (1) es llamada combinación lineal de las columnas de A.

27

Ejemplo 9

Dada la matriz ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

514123

A y el vector columna ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

231

b ; expresar el

producto bA como una combinación lineal de las columnas de A.

Solución

Efectuando el producto bA se tiene

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

35

231

514123

bA

Luego usando el resultado obtenido en (1)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

51

212

343

135

Matrices y sistemas de ecuaciones

Sea el sistema de m ecuaciones con n incógnitas

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

=+++

=+++=+++

K

MMMM

K

K

2211

22222121

11212111

(2)

donde los K∈iij ba , .

Haciendo uso del producto de matrices el sistema (2) se puede escribir como:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

mnmnmm

n

b

bb

x

xx

aaa

aaaaaa

MM

K

MKMM

K

K

2

1

2

1

21

212221

11211

(3)

denotando por

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

mnmm

n

aaa

aaaaaa

A

K

MKMM

K

K

21

212221

11211

,

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

nx

xx

M2

1

x ,

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

mb

bb

M2

1

b

luego el sistema (2) se puede escribir como

bx =A (4)

28

donde la matriz nmA ×∈K es llamada matriz de coeficientes del sistema, 1×∈ nKx es

el vector de incógnitas y 1×∈ mKb es el vector de términos independientes.

La matriz que se obtiene agregando o aumentando a la matriz de coeficientes la

columna del vector de términos independientes es una matriz de orden )1( +× nm y

es llamada matriz ampliada o aumentada asociada al sistema (2) y se denota por

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

mmnmm

n

b

bb

aaa

aaaaaa

AM

K

MKMM

K

K

2

1

21

212221

11211

b

Nota.- El vector de términos independientes del sistema (2) se puede expresar

como una combinación lineal de los vectores columna de su matriz

asociada. Es decir

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

mmn

n

n

n

mm b

bb

a

aa

x

a

aa

x

a

aa

xMM

LMM

2

1

2

1

2

22

12

2

1

22

11

1

Ejemplo 10.- Dado el sistema

56162121521562

=−+=−=−+

zyxyx

zyx (5)

expresar como un producto de matrices y determinar su matriz aumentada.

Solución

Denotando la matriz de coeficientes por ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

11620152621

A , el vector de incógnitas

por ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

zyx

x y el vector de términos independientes por ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

561215

b el sistema (5) se

puede escribir como

29

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

561215

11620152621

zyx

La matriz ampliada asociada al sistema es [ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

561215

11620152621

bA .

Ejemplo 11.- Escriba el sistema de ecuaciones lineales cuya matriz ampliada es

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

1532

7201201245033022

Solución

El sistema correspondiente a la matriz ampliada es

17252234532322

431

421

431

421

−=++=++−=+++−=++

xxxxxxxxxxxx

EJERCICIOS

1. En los siguientes ejercicios calcular el producto punto ba ⋅ .

a) [ ]13 −=a , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

52

b b) [ ]24 −−=a , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

32

b

c) [ ]432 −=a , ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

126

b d) [ ]121 −=a , ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

126

b

2. Sean [ ]13 −= xa , ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

1

2xb . Si 15=⋅ba , hallar el valor de x.

30

3. Sean ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

yA

13121

y ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

2yx

B . Si ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

36

AB , hallar x e y.

4. Dada las matrices

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=304221

A , ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

531241

B , ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

212133541

C , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=21

32D

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

343502213

E y ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

2431

F

en caso de ser posible calcule

a) AB b) BA c) DCB + d) DFAB +

e) )(BDA f) DAB)( g) AEAC + h) AFD )( +

5. Dadas A una matriz de 33× , B una matriz de 33× , C una matriz de orden 43× ,

D una matriz de 34× y E una matriz de 24× . Determine cuáles de las

siguientes expresiones matriciales existe, en caso que existan indicar el orden de

la matriz resultante.

a) AB b) CB )( 2 c) )(53 CDA +

d) ABDB 2+ e) )(3 DBDA + f) DC 2−

g) DACBCDAB ))(3())((2 +

6. Sean las matrices:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

112010122/1

A , ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

213011

B y ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=22

C

Hallar: 2A , ABC y TT AB .

e) Dada las matrices ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−=

201530

223A ,

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

176122053

B , ABC = y

BAD = .

Sin calcular en cada caso, toda la matriz, calcule los siguientes elementos:

a) 31c y 32c de C b) 12d y 33d de D

31

8. Mediante un ejemplo muestre que la multiplicación de matrices no es

conmutativa.

9. Dadas las matrices

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

=

512130431231

A y ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

224154301331

B . Usando el

método descrito en el ejemplo 9 calcule:

a) La segunda y cuarta columnas de AB.

b) La primera y tercera columnas de BA.

10. Sean ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

321242513

A y ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

312

b . Exprese bA como una combinación

lineal de las columnas de A.

11. Dadas las matrices ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

213412

A y ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

212343101

B , exprese las columnas

del producto AB como una combinación lineal de las columnas de A.

12. Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

3235549532222

=++−=−+−=−−+=++−

uzyxuzyxuzyxuzyx

a) Determine la matriz de coeficientes asociada al sistema..

c) Escriba el sistema lineal en forma matricial.

d) Determine la matriz aumentada asociada al sistema

13. Escriba cada una de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales en forma de

una ecuación matricial bx =A .

a) 374

1252328

321

321

321

−=+−=−−−=−+

xxxxxxxxx

b) 234

93625

21

21

21

−=−=+=+

xxxxxx

32

c) 957

263

321

321

−=++=+−

xxxxxx

d) 44352

125925833

4321

431

4321

=+−+=+++

−=+−−

xxxxxxxxxxx

14. En los siguientes ejercicios se da la matriz ampliada a sistema de ecuaciones

lineales. Se pide escribir el sistema correspondiente.

a) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

223

401110

121 b)

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−−

−−

1632

720120121203

3012

15. ¿Cuál es la relación entre los sistemas lineales cuyas matrices aumentadas son las

siguientes:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−12

622331

y ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−01

2

000622331

16. Determine en cada uno de los siguientes ejercicios el valor de a tal que 0=TAB

donde:

a) [ ]13 −= aA y [ ]412=B

b) [ ]12−= aA y [ ]aB 13=

17. Un empresario fabrica sillas y mesas, que deben de pasar por un proceso de

armado y acabado. Los tiempos que se requieren para estos procesos están dados

(en horas) por la matriz

SillaMesa

A

acabadodeoceso

armadodeoceso

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

42

32

PrPr

El empresario tiene una planta en Pucallpa y otra en Lima. Los costos por hora

de cada proceso están dadas (en dólares) por la matriz

acabadodeocesoarmadodeoceso

B

LimaPucallpa

PrPr

1210

109

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

33

¿Cómo debe interpretar el empresario las entradas del producto de las matrices

AB ?.

18. Un fabricante elabora dos tipos de productos P y Q, en dos plantas, X e Y. En el

proceso de fabricación, se producen los contaminantes bióxido de azufre, óxido

nítrico y partículas suspendidas. Las cantidades de cada contaminante están dadas

(en kilogramos) por la matriz

QoductoPoducto

A

PartículasnítricoÓxido

AzufredeBióxido

PrPr

400150

250100

200300

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

Existen normas de protección del medio ambiente que exigen la eliminación de

estos contaminantes. El costo diario por eliminar cada kilogramo de contaminante

esta dado (en dólares) por la matriz.

ssuspendidaPartículasnítricoÓxido

azufredeBióxidoB

YPlantaXPlanta

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

109

12

1578

¿Cómo debe interpretar el empresario las entradas del producto de matrices AB ?.

19. Una empresa paga a sus ejecutivos un salario, además les da acciones de la compañía a manera de gratificación anual. El año pasado el presidente de la compañía recibió $80 000 y 50 acciones, cada uno de los tres vicepresidentes recibió $45 000 y 20 acciones y al tesorero se le dieron $40 000 y 10 acciones. a) Exprese los pagos hechos en dinero y en acciones mediante una matriz de

32× . b) Exprese el número de ejecutivos de cada rango por medio de un vector

columna. c) Utilice la multiplicación matricial a fin de calcular la cantidad total de dinero

y el número total de acciones que la compañía pagó a estos ejecutivos el año pasado

34

1.4 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON MATRICES

A continuación se enunciará a modo de teoremas las propiedades más importantes del

álgebra de matrices.

Teorema 1 [Propiedades de la suma de matrices]

Sean A, B y C matrices de orden nm× , entonces se verifican las siguientes

propiedades:

a) BA + es una matriz de orden nm× .

b) ABBA +=+

c) CBACBA ++=++ )()(

d) Existe una única matriz de orden nm× denotada por 0 tal que

AA =+ 0

la matriz 0 es llamada matriz nula o elemento neutro aditivo.

e) Para toda matriz A existe una única matriz denotada por A− tal que

0)( =−+ AA

la matriz A− es llamada opuesto o inverso aditivo de A.

PRUEBA

Se verificarán algunas propiedades y de las otras, se dará un ejemplo para ilustrar la

aplicación de la propiedad.

a) Esta propiedad lo que nos dice es si se suman dos matrices de orden nm× ,

entonces el resultado es una matriz también de orden nm× . Es decir la operación

de adición en las matrices es cerrada o cumple con la propiedad de cerradura.

b) Sean ][ ijaA = , ][ ijbB = matrices de orden nm×

][][ ijij baBA +=+ sustitución

njmiba ijij ≤≤∀≤≤∀+= 1,1;][ por definición de adición

][ ijij ab += , por ser K∈ijij ba ,

35

njmiab ijij ≤≤∀≤≤∀+= 1,1;][][ por definición de adición

AB += sustitución

Luego queda demostrado que ABBA +=+ , es decir que la operación de adición

definida en las matrices es conmutativa.

d) Sean ][ ijaA = y ][ ijxX = matrices de orden nm× .

Si se verifica que AXA =+ para toda matriz A de orden nm× se tiene

][][][ ijijij axa =+ sustitución

njmiaxa ijijij ≤≤∀≤≤∀=+ 1,1;][][ por definición de adición de matrices.

njmiaxa ijijij ≤≤∀≤≤∀=+ 1,1; por definición de igualdad de matrices

njmixij ≤≤∀≤≤∀= 1,1;0

Luego 0=X es la matriz nula de orden nm× .

Las propiedades anteriores se ilustran mediante los siguientes ejemplos:

Ejemplo 1.- Dadas las siguientes matrices

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

210312

A , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

311121

B y ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

103241

C

Verificando b) la propiedad conmutativa de la suma ABBA +=+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=+

311121

210312

BA

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−++−++−+

=32)1(110

)1(32112

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

501213

Por otra parte calculando,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=+

210312

311121

AB

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++−++−−++

=231)1(0131)1(221

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

501213

Luego se verifica que ABBA +=+

36

Verificando c) la propiedad asociativa de la suma CBACBA ++=++ )()(

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=++

103241

311121

210312

)( CBA

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

214122

210312

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

404434

Por otra parte

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=++

103241

311121

210312

)( CBA

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

103241

501213

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

404434

Luego se verifica que CBACBA ++=++ )()( .

Verificando d) la existencia del elemento neutro aditivo.

Existe la matriz ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

000000

0 de orden 32× .

Si se considera la matriz ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

210312

A , se tiene que

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=+

000000

210312

0A sustitución

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+++++−+

=020100030102

por definición de adición

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

210312

propiedad de la adición en K.

A= sustitución

Luego se verifica que AA =+ 0

Verificando e) la existencia del inverso aditivo.

Para ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

210312

A existe ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−−

=−210312

A tal que

37

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=−+

210312

210312

)( AA

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

000000

0=

Teorema 2 [Propiedades de la multiplicación de matrices]

Sean A, B y C matrices conformables respecto a la suma y producto, entonces se

verifican las siguientes propiedades:

a) CABBCA )()( =

b) ACABCBA +=+ )(

c) BCACCBA +=+ )(

d) Si A es una matriz de orden nm× y mI y nI son matrices identidad de

ordenes m y n respectivamente, entonces se verifica

AAIAI nm ==

Con los siguientes ejemplos se ilustran las propiedades antes enunciadas.


⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

110312

A , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

110211

B y ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

131201

C

Verificando a) la propiedad asociativa de la multiplicación

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

131201

110211

110312

)(BCA

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

2119

110312

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

18327017

Por otra parte

38

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

131201

110211

110312

)( CAB

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

=131201

121633332

)( CAB

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

18327017

Luego se verifica la propiedad asociativa del producto de matrices.

Ejemplo 3.- Sean las matrices ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

110312

A , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

110211

B y ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−=

113121

C

Verificando c) la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=+

113121

110211

110312

)( CBA

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

223132

110312

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

=151396081

Por otro lado, calculando

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=+

113121

110312

110211

110312

ACAB

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−−−−

+⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

=232363351

121633332

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

=151396081

39

Luego se verifica ACABCBA +=+ )( .

Ejemplo 4.- Para ilustrar la propiedad d) .

Dada la matriz ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

110312

A

considerando ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

100010001

3I se tiene AAI =3

y considerando ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

1001

2I se tiene AAI =2

Observación.

El producto de matrices no es conmutativo. En efecto, para las matrices

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

101312

A y ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−=

113121

011B se tiene que

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

113121

011

101312

AB

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

1044110

Sin embargo el producto BA no es posible efectuar pues el número de columnas

de B es 3 que es diferente al número de filas de A que es 2.

Cuando existen matrices A, B tales que su producto sea conmutativo se dice que

las matrices son permutables.

Potenciación de matrices.- Sea A una matriz cuadrada de orden n, se define

nIA =0

AAA =2

AAA 23 =

M

AAA kk 1−= donde 2, ≥∈ kk Z

40

Teorema 3.- [Propiedades de la potenciación de matrices]

Dada una matriz A cuadrada de orden n, para todo +∈Zqp, se cumplen las

siguientes propiedades.

a) qpqp AAA +=

b) pqqp AA =)(

Observación.- En general ppp BAAB ≠)( . Solo se cumple la igualdad si y solo si

BAAB = .

Ejemplo 5.-

Si ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

100110111

A , calcular nA .

Solución

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ +

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

1002102

)12(221

100210321

100110111

100110111

2A

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ +

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡==

1003102

)13(331

100310631

100110111

100210321

23 AAA

Luego, se puede conjeturar que

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ +

=100

102

)1(1

n

nnn

An

lo cual se puede verificar usando inducción matemática.

Teorema 4.- [Propiedades de la multiplicación por escalares]

Si A y B son matrices conformables respecto a la adición y multiplicación de matrices

y r y s escalares, entonces se verifican las siguientes propiedades:

a) ArssAr )()( =

b) sArAAsr +=+ )(

c) rBrABAr +=+ )(

41

d) )()()( ABrBrArBA ==

Ejemplo 6. Ilustrando la propiedad d).

Sea 3=r , ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

203112

A y ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−=

120131

B se tiene

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

3331515

360393

203112

)3( BA

Ahora calculando,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

21211515

120131

609336

)3( BA

Ahora calculando,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=21211515

7755

3)(3 AB

Lugo se tiene que se verifica )()()( ABrBrArBA == .

Teorema 5.- [Propiedades de la transpuesta]

Sea r un escalar, A y B matrices conformables respecto a la adición y multiplicación

de matrices, respectivamente. Se verifican las siguientes propiedades:

a) AA TT =)(

b) TTT BABA +=+ )(

c) TTT ABAB =)(

d) TT rArA =)(

PRUEBA

Se probará a modo de ejemplo la propiedad c)

c) Sean pmijaA ×= ][ , npijbB ×= ][ .

Denotando nmijcCAB ×== ][ se tiene que

)()( BCAFcc ijjiTij ==

42

[ ]⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

pi

i

i

jpjj

b

bb

aaaM

L2

1

21

pijpijij bababa +++= L2211

Tip

Tpj

Ti

Tj

Ti

Tj bababa +++= L2211

Tpj

Tip

Tj

Ti

Tj

Ti ababab +++= L2211

)()(2T

jT ACBF=

Luego, se puede ver que Tijc es la ),( ji entrada de la matriz TT AB .

Ejemplo 7.- Para ilustrar la propiedad c) del teorema 5 consideremos las matrices

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

213121

A y ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

112311201

B

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−=⇒⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−−=

11313

21)(

1112331 TABAB

Por otra parte,

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−=

11313

21

211231

132110

211TT AB

Luego se verifica la propiedad c) TTT ABAB =)( .

Matrices simétricas y antisimétricas

Dada una matriz A cuadrada de orden n se dice que es:

a) Simétrica si y solo si TAA = . Las matrices simétricas tienen la propiedad de

que sus entradas que equidistan de la diagonal principal son iguales.

b) Antisimétrica si y solo si TAA −= . Las matrices antisimétricas tienen la

propiedad de que todas las entradas correspondientes a la diagonal principal son

iguales a cero y sus entradas que equidistan de la diagonal principal son iguales

en valor absoluto pero de signos opuestos.

43

Ejemplo 8.- Las siguientes matrices son simétricas

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=32

21A ,

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

423201312

B y

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

017872974521787026841335297268401349452133513490

C

Ejemplo 9.-Las siguientes matrices son antisimétricas

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=0220

D , ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

023201

310E y

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−

=

017872974521787026841335297268401349452133513490

F

Observación .- Toda matriz cuadrada A de orden n se puede expresar como la suma de una matriz simétrica y una matriz antisimétrica. En efecto, toda matriz se puede escribir como

)(21

)(21 TT AAAAA −++=

Se deja como al lector, a modo de ejercicio verificar que TAA + es una matriz simétrica y TAA − es una matriz antisimética.

EJERCICIOS

1. Calcular la matriz X, si se cumple que ( ) ( )TTTT BABXXBA −=+ , donde

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=2111

A y ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=3112

B

2. Calcular la matriz X, si satisface la ecuación matricial ICBABX TTT =−− 2)( .

Sabiendo que ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=−=

3241

2CBA TT y ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

3/103/13/1

B .

3. Hallar la matriz X, si satisface la ecuación matricial ( ) TTTT XBBACX −=− ,

donde ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−=

4321

A ; ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

5322

B y ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2102

C .

4. Hallar la matriz triangular superior B, si ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

6403683B .

5. Sabiendo que la matriz ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+++

−−=

1120

211

2 wxxyw

xA , donde 0>x es simétrica.

Demostrar que 3A es simétrica.

44

6. Una matriz cuadrada nnA ×∈K , se dice que es idempotente si y solo si AA =2 .

Averigüe si las siguientes matrices son idempotentes:

a) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=2163

A b) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=100100

221B

7. Demostrar que si A y B son matrices idempotentes y permutables en nn×K ,

entonces AB es idempotente.

8. Una matriz cuadrada nnA ×∈K , se dice que es involutiva si y solo si nIA =2 .

Averigüe si las siguientes matrices son involutivas:

a) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=10

01A b)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−=441331

340B

9. Demostrar que una matriz nnA ×∈K es involutiva si y solo si

0))(( =+− AIAI nn .

10. Dadas las matrices ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=

110010011

A y ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−=

444222111

B

a) Verificar que la matriz A es involutiva y B es una matriz idempotente.

b) Calcular: ( ) 7563 BABA +

11. Dada la matriz ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

100111001

A , resolver la siguiente ecuación matricial:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

412

18 XA .

12. Una matriz cuadrada nnA ×∈K se dice que es periódica si existe un entero

positivo k tal que AAk =+1 . El menor k positivo que cumple dicha condición es

llamado periodo de A.

Averigüe si las siguientes matrices son periódicas. En caso que sea periódica,

indicar su periodo.

a) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=1110

A b) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

=010111010

B

45

13. Resuelva la siguiente ecuación matricial: [ ]6232

21=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

X y use este

resultado para calcular el producto: ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− 62

X .

14. Una matriz cuadrada nnA ×∈K se dice que es nilpotente o nulipotente si existe un

entero positivo k tal que 0=kA . El menor k positivo que cumple dicha condición

es llamado índice de nilpotencia de A.

Averigüe si las siguientes matrices son nilpotentes. En caso sea nilpotente indicar

su índice de nilpotencia.

a) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=1111

A b) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−=

312625311

B

15. Sea la matriz ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=1101

A . Demostrar que IAA −= 22 y calcular nA .

16. Hallar la matriz X, si se cumple que CABX =+ 101)( , donde

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

=110010011

A ; [ ]312=B ; y

T

C⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

102

17. Sean las matrices ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−−=

100010101

A y ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

=010010011

B

Calcular: )2)(( 202055 BABAE ++=

18. Una matriz cuadrada nnA ×∈K se dice que es ortogonal si y solo si

nTT IAAAA == .

Averigüe si las siguientes matrices son ortogonales.

a) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=0110

A b) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

100001010

B

19. Determinar las matrices 22×∈RX tales que 02 =X , donde 0 es la matriz nula.

20. Demostrar que si 0=TAA , entonces 0=A .

21. Demostrar que si A y B son matrices diagonales en 22×R , entonces AB es diagonal

y AB=BA.

46

22. Demostrar que si una matriz es simétrica, idempotente y con algún elemento nulo

en la diagonal, entonces la fila y la columna de dicho elemento son el vector nulo.

23. Demostrar:

a) 022 ==∧=⇒=+∧= BAABBBIBAAA n

b) TT BABABBAAAB ,,,⇒=∧= son idempotentes.

c) AABIBA n ⇒=∧=+ 0 y B son idempotentes.

24. Resolver la ecuación 222 IXA =+ , donde A, X, 2I son matrices cuadradas de

orden 22× y ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=i

iA

11

.

25. Una multiplicación diferente de la usual es importante en muchas áreas de la

ciencia y de la ingeniería; se define entre dos matrices cualesquiera. Si A es una

matriz de orden qp× y B una matriz de orden sr × , entonces el producto de

Kronecker ( o producto tensorial) denotado por BA⊗ se define como la matriz

de orden qspr × que contiene todos los productos de un elemento de A con un

elemento de B, dispuestos de un modo especial: denotando por qpijaA ×= ][ , las

primeras r filas de BA⊗ se definen escribiendo Ba11 seguido por Ba12 a su

derecha, seguido por Ba13 a su derecha y así sucesivamente hasta Ba q1 a su

derecha; las segundas r filas se generan de manera similar escribiendo Ba21 ,

Ba22 , y así sucesivamente; y esto continua a lo largo del p-ésimo conjunto de r

filas.

De acuerdo a la definición dada anteriormente, calcular

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⊗⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡1098765

4321

47

1.5 OPERACIONES ELEMENTALES Y SOLUCIONES DE SISTEMAS DE

ECUACIONES.

Matriz escalonada reducida por filas

Sea A una matriz de orden nm× cuyas filas son los n-vectores

)(,),(),( 21 AFAFAF mL y cuyas columnas son los m-vectores

)(,),(),( 21 ACACAC nL . Se dice que A es una matriz escalonada reducida por filas

si satisface las siguientes condiciones:

a) Las primeras r filas ( mr ≤ ) son vectores no nulos y las restantes todos nulos.

b) La primera componente de cada fila no nula es 1 y es llamada entrada principal de

su fila.

c) Dadas dos filas sucesivas i y 1+i no nulas, la entrada principal de la fila 1+i

está a la derecha de la entrada principal de la fila i. Las entradas principales están

dispuestos en forma de escalera.

d) Si una columna contiene una entrada principal de alguna fila entonces el resto de

las entradas de esta columna son todos iguales a cero.

Es decir una matriz escalonada reducida por filas tiene la forma:

nm

A

×⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

0000000

0000000**10000

**01000**00100

KK

MKMMKMMMM

KK

KK

MKMMKMMMM

KK

KK

Ejemplo 1.- Las siguientes matrices son escalonadas reducidas por filas

a)

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

0000000021001010

A b)

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

=

000000000063100

54021

B

r filas no nulas

m-r filas nulas

48

c)

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

00001000010000100001

d)

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=

000000000000000051000000

2010000010023100

D

Observación.- Una matriz que cumple las condiciones a), b) y c) pero no la

condición d) se dice simplemente que es una matriz escalonada por filas.

Ejemplo 2.- Las siguientes matrices son escalonadas por filas pero no escalonadas

reducida por filas.

a)

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

=

0000210043105201

A b)

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

=

0000210012105321

B

Operaciones elementales por filas

Sea ][ ijaA = una matriz de orden nm× . Se llama operación elemental sobre las

filas de A a una de las siguientes tres operaciones:

a) Intercambiar dos filas de A. La operación de intercambiar las posiciones relativas

de las filas i y j de la matriz A se denota por ji FF × .

b) Multiplicar una fila de A por un escalar diferente de cero. La operación de

multiplicar la fila i de la matriz A por el escalar k se denota por ikF .

c) Sumar a una fila el múltiplo escalar de otra. La operación de sumar a la fila i de A

la fila j de A multiplicada por el escalar 0≠k se denota por ji kFF + .

Ejemplo 3.- Dada la matriz

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=131144571

3063A

efectuar las siguientes operaciones elementales sobre las filas de A en forma

consecutiva:

a) Intercambiar las posiciones relativas de las filas 1 y 2.

b) Sumar a la segunda fila la primera fila multiplicada por 3− .

c) Sumar a la tercera fila la primera fila multiplicada por 4− .

d) Multiplicar la segunda fila por 151

− .

49

e) Sumar a la primera fila la segunda fila multiplicada por 7− .

f) Sumar a la tercera fila la segunda fila multiplicada por 17.

Solución

a) Intercambiar las posiciones relativas de las filas 1 y 2. La operación denotamos

por 21 FF × y se tiene

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −⎯⎯⎯ →⎯

×

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

1311430634571

131144571

306321 FF

A

b) Sumar a la segunda fila la primera fila multiplicada por 3− . La operación

denotamos por )3( 12 FF −+ y se tiene

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

−⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯

−+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

131141515150

4571)3(

1311430634571

12 FF

c) Sumar a la tercera fila la primera fila multiplicada por 4− . La operación


⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯

−+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

−

17171701515150

4571)4(

131141515150

457113 FF

d) Multiplicar la segunda fila por 151

− . La operación la denotamos por 2151

F− y se

tiene

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

⎯⎯⎯ →⎯−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−

171717011104571

151

17171701515150

45712F

e) Sumar a la primera fila la segunda fila multiplicada por 7− . La operación la


⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯

−+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

17171701110

3201)7(

171717011104571

21 FF

f) Sumar a la tercera fila la segunda fila multiplicada por 17. La operación la

denotamos por 23 17FF +

50

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−⎯⎯⎯⎯ →⎯

+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

00001110

320117

171717011104571

23 FF

Matrices equivalentes.

Dada dos matrices A y B del mismo orden. Se dice que la matriz A es equivalente por

filas a la matriz B si existe un número finito de operaciones elementales que aplicadas

sucesivamente a las filas de A nos permite obtener la matriz B. Este hecho se denota

por BAF~ .

Ejemplo 4.- Las matrices

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=131144571

3063A y

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−=

00001110

3201B

son equivalentes por filas; pues existe un número finito de operaciones elementales

que aplicadas sucesivamente a las filas de A nos permite obtener B. Del ejemplo 3 se

puede observar que las operaciones elementales aplicadas a las filas de A para obtener

B son: 21 FF × , )3( 12 FF −+ , )4( 13 FF −+ , 2151

F− , )7( 21 FF −+ y 23 17FF + .

Teorema 1.- Toda matriz A de orden nm× no nula es equivalente a una matriz

escalonada reducida por filas del mismo orden.

Prueba

Sea

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

K

MKMM

K

K

21

22221

11211

y sea

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

mj

j

j

j

a

aa

ACM2

1

)( la primera columna no nula, sin

pérdida de generalidad podemos suponer que 01 ≠ja .

La matriz A tiene la forma:

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

mnmj

nj

nj

aa

aaaa

A

KK

MKMMKM

KK

KK

00

0000

22

11

51

Aplicando la operación elemental del segundo tipo a la primera fila de A se tiene:

1

1,

21,22

11,1

1,

21,22

11,11

00

00100

1

00

0000

1 A

aaa

aaabb

Fija

aaa

aaaaaa

A

mnjmmj

njj

nj

mnjmmj

njj

njj

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎯⎯⎯ →⎯−

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

+

+

+

+

+

+

LL

MOMMMLM

LL

LL

LL

MOMMMLM

LL

LL

Luego aplicando las operaciones elementales del tercer tipo a las filas de 1A para

tener debajo de la entrada principal todos los elementos igual a cero se tiene

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−+−+

+

+

+

mnjm

nj

nj

mjnmjn

bb

bbbb

AFaFFaF

LL

MOMMMLM

LL

LL

L

1,

21,2

11,1

111

000

000100

)]([)]([

Ahora tomando la primera columna de )(α que tenga un 0≠lkb ;donde 1>l y

jk > y repitiendo el proceso anterior las veces que sea necesario se tiene que:

así sucesivamente tenemos que:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

00000

*1000*0*10

~

00

0000

22

11

KKK

MKMKMMKM

KKK

KKK

KK

MKMMKM

KK

KK

F

mnmj

nj

nj

aa

aaaa

A

Ejemplo 5.- Hallar la matriz escalonada reducida por filas equivalente a la matriz

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=

14320213105423032100

A

Solución

Paso 1.- Determinamos la primera columna no nula. La primera columna no nula es la

columna 2, ésta es la columna pivote.

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=

14320213105423032100

A

↑ columna pivote

)(α

52

Paso 2.- Como en la columna pivote hay un 1 en la tercera fila y 0 en la primera fila

realizamos la siguiente operación elemental 31 FF × sobre las filas de A

obteniendo

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

⎯⎯⎯ →⎯×

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=

14320321005423021310

14320213105423032100

31 FFA

Ahora 1 es el elemento pivote en la columna pivote.

Paso 3.- El objetivo siguiente es que todos los demás elementos donde aparece el 1 de

la columna pivote se transformen en ceros. Para ello, efectuamos las

operaciones elementales del tercer tipo sobre las filas de la matriz obtenida

en el paso 2.

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−−

−+⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯

−+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=

363003210017700

21310

)2(

)3(

14320321005423021310

14

12

FF

FFA

)3( 12 FF −+ significa que a la segunda fila se le ha sumado la primera fila

multiplicada por 3− y )2( 14 FF −+ significa que a la cuarta fila se le ha

sumado la primera fila multiplicada por 2− .

Paso 4.- El objetivo es haciendo operaciones elementales sobre las filas de la última

matriz del paso 3; el 7− de la segunda fila y tercera columna transformarlo

en 1; para ello multiplicamos la segunda fila por 71

− obteniendo

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−

⎯⎯⎯ →⎯−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−−

3630032100

110021310

71

363003210017700

21310

712F

Paso 5.- Ahora se debe transformar todos los demás elementos donde aparece el 1 de

la columna pivote 2 en ceros. Para ello, efectuamos las operaciones

elementales del tercer tipo sobre las filas de la matriz obtenida en el paso 4

53

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

+⎯⎯⎯ →⎯

+−+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−

718

722

71

711

24

21

71

300010001100

2010

3

)3(

3630032100

110021310

23

FF

FFFF

Paso 6.- Observando la matriz obtenida en el paso 5, la cuarta fila es la columna

pivote y el 1 ubicado en la cuarta fila es el elemento pivote. Luego hay que

transformar los elementos que están encima y debajo del elemento pivote en cero lo

cual se obtiene aplicando las operaciones elementales del tercer tipo

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−+⎯⎯⎯ →⎯

+−+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

120000100001000010

)3(

)2(

300010001100

2010

722

723

733

34

31

718

722

71

71

32

FF

FFFF

Paso 7.- Ahora la columna pivote es la quinta columna y el elemento pivote es -12

que está ubicado en la cuarta fila, luego hay que transformar 12− en 1 aplicando una

operación elemental del segundo tipo.

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

⎯⎯⎯⎯ →⎯−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

10000100001000010

)121(

120000100001000010

722

723

733

722

723

733

4F

Paso 8.- En la matriz obtenida en el paso 7 solo resta transformar en ceros los

elementos que están encima del elemento pivote. Esto se consigue, aplicando las

operaciones elementales del tercer tipo

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+

⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯−+

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

10000010000010000010

)722

(

)723(733

10000100001000010

43

41

722

723

733

42

FF

FF

FF

Luego, se ha obtenido finalmente la matriz escalonada reducida por filas equivalente

a A.

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=

10000010000010000010

~

14320213105423032100

FA

54

Ejemplo 6.- Hallar la matriz escalonada reducida por filas equivalente a la matriz:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

562533214212121

A

Solución

Sumando a la segunda fila la primera fila multiplicada por 2− . Luego sumando a la tercera fila la primera multiplicada por 3− , se tiene

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

−+⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯

−+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

2125101630012121

)3(

)2(

562533214212121

13

12

FF

FFA

Intercambiando la segunda fila con la tercera

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−⎯⎯⎯ →⎯

×

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

1630021251012121

2125101630012121

32 FF

Multiplicando la segunda fila por 1−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−⎯⎯⎯ →⎯

−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

16300212510

12121)1(

1630021251012121

2F

Sumando a la primera fila la segunda multiplicada por 2− se tiene

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯

−+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

16300212510

522901)2(

16300212510

1212121 FF

Multiplicando la tercera fila por 31

.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−⎯⎯ →⎯

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

312100212510

52290131

1630021251012121

3F

Sumando a la primera fila la tercera multiplicada por 9− y luego sumando a la

segunda fila la tercera multiplicada por 5 se tiene

55

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

+⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯

−+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

31

31

3231 2100

201024001

5

)9(

2100212510

52290131

FF

FF

Luego,

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

31

31

21002010

24001~

562533214212121

FA

Ejemplo 7.

Verificar que

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

0000000011/311/51011/1311/401

~

51141352351102131

Solución de sistemas de ecuaciones lineales

Dos sistemas de ecuaciones lineales bx =A y dx =C cada una con m ecuaciones

y n incógnitas se dice que son equivalentes si y solo si sus matrices ampliadas son

equivalentes. Es decir, [ ] [ ]db CA ~ .

Teorema 2.- Si bx =A y dx =C , son dos sistemas equivalentes, entonces tienen las

mismas soluciones.

Prueba

La prueba es una consecuencia directa de la definición de matrices equivalentes. Es

decir, una de las matrices ampliadas se obtiene a partir de la otra aplicando un número

finito de operaciones elementales a sus filas. La solución no varía cuando se efectúan

cualesquiera de los tres tipos de operaciones elementales.

Corolario 1.- Si 0=xA y 0=xC son dos sistemas tal que A es equivalente por

filas a C, entonces tienen las mismas soluciones.

Corolario 2.- Si bx =A y dx =C son dos sistemas equivalentes y bx =A no

tiene solución, entonces dx =C tampoco tiene solución.

Ejemplo 8.- Averiguar si son equivalentes los siguientes sistemas:

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=++=+=++=++−

125021235432

wyxwz

zyxwzyx

(1)

56

⎪⎪⎭

⎪⎪⎬

⎫

=+=+−−=+−−

−=−++

022121518131211

444

wzwzy

wzywzyx

(2)

Solución

Las matrices ampliadas asociadas a los sistemas (1) y (2) son:

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

=

1015

1025120002134132

bA y [ ]

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

−−−−

−

=

02113

4

1200215180121110

4141

dC

Aplicando operaciones elementales sobre las filas de [ ]bA se tiene

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

−

⎯⎯⎯⎯ →⎯−+

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

=

104

5

102512004141

4132)(

1015

1025120002134132

12 FFA b

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−

−

⎯⎯⎯ →⎯×

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

−

1054

1025120041324141

104

5

102512004141

4132

21 FF

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

−−

−−

⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯−+

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−

−

21054

215180120041324141

)5(

1054

1025120041324141

14 FF

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

−−−

−

⎯⎯⎯ →⎯×

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

−−

−−

02154

120021518041324141

21054

215180120041324141

43 FF

57

[ ]dCFF

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

−−−−

−

⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯−+

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

−−−

−

02113

4

1200215180121110

4141)2(

02154

120021518041324141

12

Del desarrollo anterior se tiene

[ ] [ ]bd AFFFFFFFFFFC ))()())(5()())(2(( 1221144312 −+×−+×−+=

Luego, [ ]bA es equivalente por filas a [ ]dC y en consecuencia los sistemas (1)

y (2) son equivalentes.

Método de Gauss-Jordan para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

El método de Gauss-Jordan es uno de los más conocidos para resolver sistemas de

ecuaciones lineales. Éste método se basa en hallar la matriz escalonada reducida por

filas que es equivalente a la matriz ampliada asociada al sistema de ecuaciones

lineales dado. Se consideran los siguientes pasos:

Paso 1.- Construir la matriz aumentada asociada al sistema ]|[ bA .

Paso 2.- Efectuando operaciones elementales sobre las filas de ]|[ bA , hallar la matriz

escalonada reducida por filas equivalente a ]|[ bA .

Paso 3.- El sistema lineal asociado a la matriz escalonada reducida por filas obtenida

en el paso 2 es equivalente al sistema dado inicialmente. Es decir, tiene las mismas

soluciones que el sistema original; en cada fila no nula de la matriz escalonada

reducida por filas se despeja la incógnita correspondiente a la entrada principal de la

fila. Las filas nulas se omiten, pues la ecuación correspondiente será satisfecha para

cualquier valor que tomen las incógnitas.

Ejemplo 9.- Resolver el sistema

335252

=++−=++−=+−

zyxzyx

zyx (3)

Solución

Paso 1. La matriz ampliada correspondiente al sistema es

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−−

=315

113211121

]|[ bA

58

Paso 2.- Hallando la matriz escalonada reducida por filas equivalente a ]|[ bA .

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

−

−

−+⎯⎯⎯⎯ →⎯

−+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−−

=1845

270130121

)3(

)(

315

113211121

]|[

43

12

FF

FFA b

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

−

−⎯⎯ →⎯

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

−

−

18

5

27010

12131

1845

270130121

34

31

2F

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

−−+⎯⎯⎯⎯ →⎯

+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

−

−

326

34

37

313

31

35

23

34

31

001001

)7(

2

18

5

27010

12121

FF

FF

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−⎯⎯⎯ →⎯

−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

− 21001001

133

001001

34

37

31

35

326

34

37

313

31

35

3F

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−+

⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯−+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

221

100010001

)31

(

)35(

21001001

32

34

37

31

35

31

FF

FF

Luego,

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−−

=2

21

100010001

~315

113211121

]|[ bA

Paso 3.- El sistema original

335252

=++−=++−=+−

zyxzyx

zyx (3)

es equivalente al sistema

59

2

21

−===

zy

x (4)

Al ser equivalentes los sistemas (3) y (4) tienen la misma solución. Las ventajas de

hallar la solución en el sistema (4) saltan a la vista, la solución del sistema está dado

por

2

21

−===

zyx

Ejemplo 10.- Resolver el siguiente sistema

7267532422342225732

54321

5431

54321

54321

−=++−−=++−

−=++−−−=++−−

xxxxxxxxxxxxxxxxxxx

(5)

Solución


⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−−−−−−−

=

7322

26751124021342125732

]|[ bA

Paso 2.- Calcular la matriz escalonada reducida por filas equivalente a ]|[ bA .

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−−−−−−−

⎯⎯⎯ →⎯×

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−−−−−−−

=

7322

26751124022573213421

7322

26751124021342125732

]|[ 21 FFA b

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−−−−

−−−

−+⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯

−+

−+

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−−−−−−−

5722

1333014440

0111013421

)(

)2(

)2(

7322

26751124022573213421

14

12

13

FF

FF

FF

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

+⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯

−+

+

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−−−−

−−−

11

22

1000010000

0111011201

3

)4(

2

5722

1333014440

0111013421

24

21

23

FF

FF

FF

60

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

⎯⎯⎯ →⎯−

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

1122

10000100000111011201

)1(

11

22

1000010000

0111011201

3F

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

−+⎯⎯⎯⎯ →⎯

−+

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

0121

00000100000111001201

)(

)(

1122

10000100000111011201

34

31

FF

FF

Luego,

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−−−−−−−

=

0121

00000100000111001201

~

7322

26751124021342125732

]|[ bA

Paso 3.- El sistema original es equivalente al sistema

1212

5

432

431

==−+=+−

xxxxxxx

(6)

Luego, al despejar en cada una de las ecuaciones la incógnita correspondiente a la

entrada principal se tiene

12

21

5

432

431

=+−=−+=

xxxxxxx

Asignando los parámetros r y s a las variables 3x y 4x , respectivamente se tiene

la solución del sistema

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

∈===

+−=−+=

Rsrxsxrx

srxsrx

,;1

221

5

4

3

2

1

61


76257234532132

342

−=−+=−+=−+

−=+−=−+

zyxzyx

zyxzyxzyx

(7)

Solución


⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−−−

−−

=

7751

3

625234132

321421

]|[ bA

Paso 2.- Hay que determinar la matriz escalonada reducida por filas que es

equivalente a la matriz ampliada correspondiente al paso 1.

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−−−

−

−+−+

⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯−+

−+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−−−

−−

=

22514

3

14801450710740421

)5()4(

)2(

)(

7751

3

625234132

321421

]|[

15

14

12

13

FFFF

FF

FF

A b

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−−

−−

⎯⎯⎯ →⎯−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−−−

−

2251

13

14801450710

10421

41

22514

3

14801450710740421

47

2F

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

++⎯⎯⎯ →⎯

+

−+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−−

−−

140011

00000001001

85

)2(

2251

13

14801450710

10421

421

421

47

21

25

24

21

47

23

FFFF

FF

FF

62

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

⎯⎯ →⎯

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

140011

00000

1001001

214

140011

00000001001

421

47

21

421

421

47

21

3F

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−+

⎯⎯⎯⎯ →⎯+

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

140011

000000100010001

)421

(

)47(21

140011

00000

1001001

34

31

421

47

21

32

FF

FF

FF

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎯⎯⎯ →⎯−

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

− 10011

000000100010001

141

140011

000000100010001

5F

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎯⎯⎯ →⎯×

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

01011

000000100010001

10011

000000100010001

54 FF

Luego

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−−−

−−

=

01011

000000100010001

~

7751

3

625234132

321421

]|[ bA

Paso 3.- El sistema (7) es equivalente al sistema

1000011

=++===

zy

x

(8)

63

Pero de la cuarta ecuación del sistema (8) se tiene

1000 =++ zyx

La ecuación no se verifica para ningún valor de x, y y z. Luego el sistema (8) no

tiene solución; es decir es incompatible. Por consiguiente, en virtud del corolario 3, el

sistema (7) no tiene solución.

Sistemas homogéneos

Se denomina sistema homogéneo a un sistema de la forma

0

00

2211

2222121

1212111

=+++

=+++=+++

nmnmm

nn

nn

xaxaxa

xaxaxaxaxaxa

K

MMMM

K

K

(9)

matricialmente, de manera breve se escribe como

0=xA

Todo sistema homogéneo es compatible; es decir, tiene solución al menos

021 ==== nxxx L

que es la llamada solución trivial. Para hallar las soluciones de un sistema

homogéneo el procedimiento es similar a los ejemplos antes desarrollados, solo hay

que tener en cuenta que la columna de términos independientes correspondiente a la

matriz ampliada tiene todos sus elementos igual a cero.

Ejemplo 12.- Resolver el sistema homogéneo de ecuaciones

0303202

=+−=++=+−

zyxzyxzyx

(9)

Solución

La matriz ampliada del sistema es

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

000

311312211

]|[ 0A

Hallando la matriz escalonada reducida por filas equivalente a la matriz ampliada

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −⎯⎯ →⎯

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

−+⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯

−+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−= −

000

10010

21131

000

100130

211

)(

)2(

000

311312211

]|[ 31

13

212F

FF

FFA b

64

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯−+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⎯⎯⎯ →⎯

+−

000

100010001

31

)35(

000

1001001

32

31

35

3121

FF

FFFF

Luego el sistema (9) es equivalente a

000

===

zy

x

y en consecuencia, el sistema (9) tiene una única solución que es la trivial

000

===

zyx


0854023064

=++=++=++

zyxzyxzyx

(10)

Solución

La matriz ampliada del sistema es

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

000

854213641

]|[ 0A

Hallando la matriz escalonada reducida por filas asociada al sistema

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−+⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯

−+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

000

1611016110641

)4(

)3(

000

854213641

]|[

13

12

FF

FFA 0

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯

−+−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−⎯⎯⎯ →⎯

−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

000

0001001

11

)4(

000

1611010

641111

000

1611016110641

1116

112

23

1116 212

FF

FFF

El sistema (10) es equivalente a

00

1116

112

=+=+

zyzx

(11)

De (11), despejando x e y en términos de z se tiene

65

zyzx

1116

112

==

y asignando el parámetro t a z se puede escribir la solución del sistema como

R∈=

−=−=

ttztytx

;11

16

112

Del ejemplo 13, nótese que un sistema homogéneo puede tener infinitas soluciones.

Teorema 3.- Un sistema homogéneo 0=xA de m ecuaciones con n incógnitas tiene

una solución diferente de la trivial si el número de incógnitas es mayor que el número

de ecuaciones; es decir si nm < .

Prueba

Sea el sistema 0=xA el sistema homogéneo dado en (9) y ]|[ 0A su matriz

ampliada que escribimos explícitamente

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

++++++

+

+

+

0

00

00

1,21

,11,1,12,11,1

1,21

11,222221

11,111211

M

M

LL

MOMMOMM

LL

LL

MOMMOMM

LL

LL

nnrmmrmm

nrrrrrrr

rnrrrrrr

nrr

nrr

aaaaa

aaaaaaaaaa

aaaaaaaaaa

Como nm < , sea nmr <≤ el número de filas no nulas de la matriz escalonada

reducida por filas equivalente a ]|[ 0A

]|[

0

00

00

00000

00000100

010001

~]|[ 1,

11,2

11,1

00 Bbb

bbbb

A rnrr

nr

nr

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

+

+

M

M

LL

MOMMOMM

LL

LL

MOMMOMM

LL

LL

Luego, resolviendo las r ecuaciones con n incógnitas se puede despejar las primeras r

incógnitas en términos de las (n-r) restantes, de tal forma que éstas últimas puedan

asumir cualquier valor. En consecuencia, eligiendo una de las (n-r) incógnitas

66

diferente de cero se obtiene una solución distinta de la trivial con lo cual queda

demostrado el teorema.

De 0=xB y por lo tanto de 0=xA se tiene:

0

0

0

11,

211,22

111,11

=+++

=+++

=+++

++

++

++

nrnrrrr

nnrr

nnrr

xbxbx

xbxbx

xbxbx

L

MMO

L

L

Asignando a las variables nr xx ,,1 L+ los parámetros nr tt ,,1 L+ se escribe la

solución como

Rtttx

tx

tbtbx

tbtbx

tbtbx

nrnn

rr

nrnrrrr

nnrr

nnrr

∈=

=

−−−=

−−−=

−−−=

+

++

++

++

++

,,; 1

11

11,

211,22

111,11

L

M

L

MM

L

L

También se puede escribir como

Rtt

b

bb

tb

bb

t

x

xx

xx

nr

rn

n

n

nrr

r

r

r

n

r

r

∈⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

++

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

+

+

+

+

+

,,;1

0

0

1

1

2

1

1,

1,2

1,1

1

1

2

1

L

M

M

L

M

M

M

M

Observación .-Sea el sistema de ecuaciones lineales

bx =A (12)

y 0=xA (13)

su sistema homogéneo asociado.

Si Px es una solución particular e y una solución cualesquiera del sistema (12) se

tiene que

0=−=−=− bbxyxy PP AAA )(

67

Esto significa que Pxy − es una solución del sistema homogéneo asociado (13) lo

que denotamos por

Ph xyx −=

Luego, se tiene que

hP xxy += (14)

La relación obtenida en (14) nos muestra que toda solución del sistema (12) se puede

expresar como la suma de una solución particular y una solución del sistema

homogéneo asociado.

Ejemplo 14.- Resolver el siguiente sistema:

117234832332

=++=++=++

zyxzyxzyx

(15)

Solución

La matriz ampliada es

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

143

1723832321

]|[ bA

Hallando la matriz escalonada reducida por filas que es equivalente a ]|[ bA

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

−+⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯

−+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

82

3

840210321

)(

)2(

143

1723832321

]|[

13

12

FF

FFA b

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−⎯⎯⎯ →⎯

−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

823

840210

321)1(

82

3

840210321

2F

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−

+⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯

−+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

021

000210

701

4

)2(

823

840210

321

23

21

FF

FF

El sistema correspondiente a la matriz escalonada reducida por filas que es

equivalente al sistema (15) es

68

2217

=−−=+

zyzx

(16)

y sus sistema homogéneo asociado es

0207

=−=+

zyzx

(17)

Para hallar la solución del sistema homogéneo (17) asignamos a la variable z el

parámetro t, luego se tiene

Rttz

tytx

∈==

−=

;27

Lo cual se puede escribir también como

Rttzyx

h ∈⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡= ;

127

x

Para hallar una solución particular Px del sistema (16) podemos asignar un valor

arbitrario a la variable z; por comodidad consideramos 0=z , luego se tiene

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

021

zyx

Px

Luego, en virtud de la relación (14) de la observación, el conjunto solución SC

correspondiente al sistema (15) se puede escribir como

Rttzyx

CS ∈⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡;

127

021

:

La interpretación geométrica de la solución del sistema homogéneo (17) es una recta

que pasa por el origen y que tiene la dirección del vector )1,2,7(− ; el conjunto

formado por todas las soluciones del sistema homogéneo es llamado espacio

solución. Mientras que el conjunto solución del sistema (15) representa una recta que

pasa por el punto )0,2,1(− en la dirección del vector )1,2,7(− . En el siguiente

gráfico se ilustra este hecho; nótese en el gráfico que la recta que representa a la

69

solución del sistema homogéneo es paralela a la recta que representa a la solución del

sistema inicialmente dado

Ejemplo 14.-Resolver el siguiente sistema

7267532422342225732

−=++−−=++−

−=++−−−=++−−

wuzyxwuzxwuzyxwuzyx

(18)

Solución

La matriz ampliada correspondiente al sistema es

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−−−−−−−

=

7322

26751124021342125732

]|[ bA

Calculando la matriz escalonada reducida por filas equivalente a la matriz ampliada

X

Y

Z

SE

O

SC

)0,2,1(−•

70

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−−−−−−−

⎯⎯⎯ →⎯×

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

−−−−−−−

=

7322

26751124022573213421

7322

26751124021342125732

]|[ 21 FFA b

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−−−−

−−−

−+⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯

−+

−+

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−−−−−−−

5722

1333014440

0111013421

)(

)2(

)2(

7322

26751124022573213421

14

12

13

FF

FF

FF

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

+⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯

−+

+

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−−−−−−−

11

22

1000010000

0111011201

3

)4(

2

7322

26751124022573213421

24

21

23

FF

FF

FF

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

⎯⎯⎯ →⎯−

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

1122

10000100000111011201

)1(

11

22

1000010000

0111011201

3F

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

−+⎯⎯⎯ →⎯

−

−+

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

0121

00000100000111001201

)(

)1(

)(

1122

10000100000111011201

34

31

3

FF

F

FF

El sistema correspondiente a la matriz escalonada reducida por filas es

1212

==−+=+−

wuzyuzx

(19)

y su sistema homogéneo asociado es

0002

==−+=+−

wuzyuzx

(20)

Despejando las variables principales en el sistema homogéneo (20) se tiene

71

0

2

=+−=−=

wuzyuzx

y asignando los parámetros s y t respectivamente a las variables z y u se tiene

Rtststs

tsts

wuzyx

h ∈

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡+−−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

= ,;

01011

0011

2

0

2

x

Ahora para hallar una solución particular, hacemos 0== uz en el sistema (19) y se

tiene

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

00021

wuzyx

Px

Luego el conjunto solución del sistema se puede escribir como

Rtsts

wuzyx

CS ∈

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

+

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

,;

01011

0011

2

00021

:

EJERCICIOS

1. De las siguientes matrices diga cuáles tienen la forma escalonada reducida por

filas.

a) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

210004010030001

A b) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=2100040100

50010B

c) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

320104010050010

C d)

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=

10000000004100010000

20010

D

72

e)

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

00000310000010020001

E f)

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=

000000100032100

00000

F

g)

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=

000001100020010

10001

G h)

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

00001000

20101001

H

2. Dada la matriz

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

=

515413224301

A

Determine las matrices obtenidas al realizar las siguientes operaciones

elementales por filas en A

a) Intercambiar la segunda y cuarta fila.

b) Multiplicar la tercera fila por 3.

c) Sumar (-5) veces la primera fila a la cuarta

3. Dada la matriz

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

113124026523

A

Determine las matrices obtenidas al realizar las siguientes operaciones

elementales por filas en A

a) Intercambiar la segunda y tercera filas.

b) Multiplicar la segunda fila por –3.

c) Sumar (4) veces la tercera fila a la primera.

4. Determine tres matrices que sean equivalentes por renglones a

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

43251210

4312A

73

5. Determine tres matrices que sean equivalentes por renglones a

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−=

410231215734

B

6. Para cada una de las siguientes matrices determine la matriz escalonada reducida

por filas que sea equivalente.

a) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

7611132111641

b)

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

2011513252312021

c)

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

21310543201423032100

d)

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

701026811

40513241

e)

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

2121603210123011

f)

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−−

40111300102131015201

g)

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−

14370516022403120211

h)

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−−−−

−

115701330740631120153

13121

7. Para cada uno de los sistemas de ecuaciones dados, halle todas sus soluciones.

a) 33

5212

=++−=+−−=++

zyxzyxzyx

b) 863

842723

=+=+−

=+++

zywyx

wzyx

c) 2232

1

=++=−+=++

zyxzyx

zyx d)

13821332

=−++=++−=+++

wzyxwzyxwzyx

74

e)

76257234

532132

342

=−+=−+=−+−=+−

=−+

zyxzyx

zyxzyxzyx

f)

3825296

12623

122

=−+−−=−++

−=−−+−=−+−

=−++

wzyxwzyx

wzyxwzyx

wzyx

h) 5235

4332

−=−−−=+−=+−

zyxzyxzyx

i) 623

326

=++=−+

=+++

wyxzyx

wzyx

8. En los siguientes determine todos los valores de a para los cuales el sistema lineal

resultante (i) no tenga solución, (ii) tenga una única solución, y (iii) tenga una infinidad de soluciones.

a) azayx

zyxzyx

=−++

=++=−+

)5(32

2

2

b) 1)1(32

52322

2 +=−++

=++=++

azayxzyx

zyx

c) azayx

zyxzyx

=−++

=−+=++

)5(32

2

2

d) ayax

yx=−+

=+

)8(3

2

9. En los siguientes ejercicios se da la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones

lineales, resuelva el sistema lineal.

a) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

111030110111

b)

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

0331021101110321

c) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

097501110321

d)

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

1241211321520141027121

e) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

312017103181321

f)

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−

7033210353124321

75

10. Dada la matriz

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

410111501

A

a) Determine una solución no trivial del sistema homogéneo

0=−− x)( 334 AI

b) Determine una solución no trivial del sistema homogéneo

0=− x)2( 3 AI

11. Determine una ecuación que relacione a, b y c de modo que el sistema lineal

czyxbzyx

azyx

=−+=++=−+

695332

32

Sea consistente para cualesquiera valores de a, b y c que satisfagan esa ecuación.

12. Determine una ecuación que relacione a, b y c de modo que el sistema lineal

czyxbzyx

azyx

=+−=+−=++

2353

322

Sea consistente para cualesquiera valores de a, b y c que satisfagan esa ecuación

13. Determine una matriz x de 12× cuyas entradas no sean todas nulas, tal que

xx 4=A , donde ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2014

A .

[Sugerencia: Escriba la ecuación matricial xx 4=A como

0=−=− xxx )4(4 2 AIA y resuelva el sistema homogéneo.]

14. Determine una matriz x de 13× cuyas entradas no sean todas nulas, tal que

xAx 3= , donde

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

544101121

A

15. En los siguientes ejercicios, determine el polinomio cuadrático que interpole los

puntos dados.

a) )8,5(,)3,3(,)2,1( b) )44,3(,)12,2(,)5,1(

16. En los siguientes ejercicios, determine el polinomio cúbico que interpole los

puntos dados

76

a) )34,3(,)8,2(,)0,1(,)6,1( −− b) )10,2(,)2,1(,)2,1(,)2,2( −−

17. Un industrial fabrica sillas, mesas para café y mesas para comedor. Se necesitan

10 minutos para lijar una silla, 6 para pintarla y 12 para barnizarla. Se necesitan

12 minutos para lijar una mesa para café, 8 para pintarla y 12 para barnizarla. Se

necesitan 15 minutos para lijar una mesa para comedor, 12 para pintarla y 18 para

barnizarla. La mesa de lijado esta disponible 16 horas a la semana, la mesa de

pintura 11 horas a la semana y la mesa de barnizado 18 horas. ¿Cuántas unidades

de cada mueble deben fabricarse por semana de modo que las mesas de trabajo se

ocupen todo el tiempo disponible?

18. Un editor publica un posible éxito de librería en tres presentaciones distintas: libro

de bolsillo, club de lectores y edición de lujo. Cada libro de bolsillo necesita un

minuto para cosido y 2 para el pegado. Cada libro para el club de lectores necesita

2 minutos para el cosido y 4 para el pegado. Cada libro en edición de lujo necesita

3 minutos para el cosido y 5 para el pegado. Si la planta de cosido esta disponible

6 horas diarias y la planta de pegado 11 horas,¿Cuántos libros de cada

presentación se pueden producir por día de modo que las plantas se aprovechen a

toda su capacidad?.

1.6 MATRICES INVERSIBLES

Definición - Sea A una matriz cuadrada de orden n con elementos en el campo K. Se

dice que A es inversible o no singular si existe una matriz B también cuadrada de

orden n con elementos en K tal que:

nIBAAB ==

donde nI es la matriz identidad de orden n, la matriz B es llamada inversa de A.

Teorema 1.- La inversa de una matriz, si es que existe, es única.

Prueba

En efecto, si B y B' son inversas de A, entonces:

BBIBABABBIBB nn ===== )'()('''

Notación.- Si la inversa de una matriz cuadrada A de orden n, existe ésta se denota

por 1−A .

Ejemplo 1.- Si ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

1112

A se tiene que ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=−

21111A

77

Teorema 1. [Propiedades de la inversa de una matriz]

Sean A y B matrices no singulares, entonces se cumplen las siguientes propiedades:

a) AA =−− 11 )(

b) 111)( −−− = ABAB

c) TT AA )()( 11 −− =

Prueba

a) Como A es no singular por definición existe 1−A única también no singular.

Luego, para 1−A existe su que denotamos por tal que B

nIBABA == −− 11 (1)

Por otra parte como se verifica que

nIAAAA == −− 11 (2)

De (1), (2) y por la unicidad de la inversa se tiene que AB = pero como 11)( −−= AB se tiene que AA =−− 11)( .

b) Demostrar que 111)( −−− = ABAB es equivalente a probar que

nn IABABIABAB =∧= −−−− ))(())(( 1111

En efecto,

nn IBBBIBBAABABAB ==== −−−−−− 111111 )()())((

y

nn IAAAIAABBAABAB ==== −−−−−− 111111 )()())((

Luego, por la unicidad de inversa se tiene que

111)( −−− = ABAB

c) Si A es no singular, entonces existe 1−A tal que nIAAAA == −− 11 .

Mostrar que TT AA )()( 11 −− = es equivalente a demostrar que

nTT

nTT IAAIAA =∧= −− )()( 11

En efecto,

)()( 11 AAAA TT −− = por propiedad de transpuesta

TnI )(=

nI=

De manera análoga,

78

)()( 11 −− = AAAA TT por propiedad de transpuesta

TnI )(=

nI=

Luego, por la unicidad de la inversa se tiene que

TT AA )()( 11 −− =

Teorema 2.- Sean A y B matrices cuadradas de orden n.

a) Si nIAB = , entonces nIBA =

b) Si nIBA = , entonces nIAB =

Método de Gauss-Jordan para el cálculo de la inversa de una matriz

Un método práctico para calcular la inversa de una matriz cuadrada A de orden n es el

de Gauss-Jordan; éste procedimiento consta de 3 pasos:

Paso 1.- Se forma la matriz ]|[ nIA de orden nn 2× .

Paso 2.- Se halla la matriz escalonada reducida por filas equivalente a ]|[ nIA y sea

]|[ BC dicha matriz. Es decir, ]|[~]|[ BCIA n .

Paso 3.- Con los resultados obtenidos en el paso 2 se puede concluir lo siguiente:

a) Si nIC = , entonces BA =−1 .

b) Si nIC ≠ , entonces la inversa de A no existe.

Ejemplo 2.- Usando el método de Gauss-Jordan hallar la inversa de la matriz

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

1112

A

Solución

Paso 1.- Construimos la matriz

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

1001

1112

]|[ 2IA

Paso 2.- Calculamos la matriz escalonada reducida por filas equivalente a ]|[ 2IA .

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −⎯⎯ →⎯⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

100

1112

1

1001

1112

]|[ 21

21

21F

IA

79

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−⎯⎯⎯⎯ →⎯−+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −10

01)(

100

111

21

21

23

21

21

21 12 FF

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−⎯⎯ →⎯⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−

32

31

21

21

21

21

23

21 0

1013

2

10

01 2F

]|[10012

10

101

32

31

31

31

32

31

21

21 21

BCFF

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

⎯⎯⎯⎯ →⎯+

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−

Luego, se tiene que ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −

32

31

31

31

1001

~1001

1112

Paso 3. De los resultados obtenidos en el paso 2 se tiene que 2IC = , luego

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=−

32

31

31

31

1A

Ejemplo 3.- Hallar la inversa de la matriz

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

123584461

A

En caso de que exista.

Solución

Paso 1.- Construimos la matriz

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

100010001

123584461

]|[ 3IA

Paso 2.- Calculamos la matriz escalonada reducida por filas equivalente a ]|[ 3IA .

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−−−

−+⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯

−+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

103014001

1116011160461

)3(

)4(

100010001

123584461

]|[

13

312

FF

FFIA

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−⎯⎯⎯ →⎯

−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−−−

1030001

1116010

461161

103014001

1116011160461

161

41

1611

2F

80

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−−

+⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯

−+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−−

11100

0001001

16

)6(

1030001

1116010

461

161

41

83

21

1611

81

23

161

41

1611 21

FF

FF

]|[111

00

0001001

)41

(

)21(

11100

0001001

41

163

21

81

1611

81

32

161

41

83

21

1611

81

31CB

FF

FF=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−−

−+

⎯⎯⎯⎯ →⎯+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−−

Luego, se tiene que

]|[111

00

0001001

~100010001

123584461

]|[ 41

163

21

81

1611

81

3 CBIA =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

Paso 3.- Del paso 2 se tiene que

31611

81

0001001

IC ≠⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

=

En consecuencia la matriz ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

123584461

A no tiene inversa. Es singular.


⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

220011102

A

En caso de que exista.

Solución

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⎯⎯ →⎯

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

10001000

220011

0121

100010001

220011102

]|[2

12

1

3

1FIA

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⎯⎯⎯ →⎯

+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

1000100

2201001

10001000

220011

01

21

21

21

21

21

21

12 FF

81

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯

−+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

1210100

1001001

)2(

1000100

2201001

21

21

21

21

21

21

21

21

23 FF

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−+

⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯−+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

1212111

100010001

)21

(

)21(

1000100

1001001

21

21

32

21

21

21

21

31

FF

FF

Luego, ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

=−

1212111

21

21

1A


⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

=

111111111111

1111

A

si es que existe.

Solución

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−−−−−

−+⎯⎯⎯⎯ →⎯

−+

−+

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

=

1001010100110001

022020202200

1111

)(

)(

)(

1000010000100001

111111111111

1111

]|[

14

12

4 13

FF

FF

FF

IA

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−−−−−

⎯⎯⎯ →⎯×

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−−−−−

1001001101010001

122022002020

1111

1001010100110001

022020202200

1111

32 FF

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

−−−−

⎯⎯⎯ →⎯−

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−−−−−

10010011000001

02202200

10101111

21

1001001101010001

022022002020

1111

21

21

2F

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

−−−⎯⎯⎯⎯ →⎯

+

−+

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

−−−−

110000110000

22002200

10100101

2

)(

10010011000001

02202200

10101111

21

21

21

2121

21

21

24 FF

FF

82

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

−⎯⎯⎯⎯ →⎯

−

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

−−−

1100000000

2200110010100101

)21(

110000110000

22002200

10100101

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

3F

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−

⎯⎯⎯⎯ →⎯+

−+

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

− 1111000000

4000110010101001

2

)(

1100000000

2200110010100101

21

21

21

21

21

2131

21

21

21

21

21

21

34 FF

FF

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−

⎯⎯⎯ →⎯⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−

41

41

41

41

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

21

000000

1000110010101001

41

1111000000

4000110010101001

4F

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

−+⎯⎯⎯⎯⎯ →⎯

−+

+

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−−

41

41

41

41

41

41

41

41

41

41

41

41

41

41

41

41

43

41

41

41

41

41

21

21

21

21

21

21

1000010000100001

)(

)(2000000

1000110010101001

4

FF

FF

FF

Luego

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

=−

41

41

41

41

41

41

41

41

41

41

41

41

41

41

41

41

1A

Teorema 3.- Una matriz cuadrada de orden n es no singular si y solo si nIA F~ .

Solución de sistemas de ecuaciones lineales por el método de inversión de

matrices

Sea bx =A un sistema de n ecuaciones con n incógnitas. Si A es una matriz no

singular, entonces existe su inversa 1−A y se tiene que

bxbxbxbx 111111 )()()( −−−−−− =⇒=⇒=⇒= AAIAAAAAA n

Luego la solución del sistema es

bx 1−= A

y es la única por ser A no singular.

83

Ejemplo 5.- Resolver el siguiente sistema mediante el método de inversión de

matrices.

632

=+−=−

yxyx

Solución

En el sistema se tiene que ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

1112

A ; ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

63

b

La inversa de A es ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=−

32

31

31

31

1A , entonces se tiene que

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡51

63

32

31

31

31

yx

Luego,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡51

yx

Ejemplo 6.- Resolver el siguiente sistema por el método de inversión de matrices

5221

32

=++−=−

=−

zyyx

zx

Solución

Se tiene que ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−=

220011102

A y ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=51

3b

Como A es no singular, existe ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=−

31

32

31

61

32

31

61

31

31

1A y se tiene

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

0513

25

23

31

32

31

61

32

31

61

31

31

zyx

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

02

5

23

zyx

84

El método descrito anteriormente, tiene aplicación en la solución de diversos

problemas relacionados con las ciencias básicas, ingeniería y ciencias sociales. En

particular, en los problemas industriales donde un proceso es descrito mediante un

sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas bx =A ; la matriz de coeficientes

del sistema A es llamada matriz industrial, el vector x matriz de entrada y el vector b

matriz de salida.

Ejemplo 7.- En un proceso industrial cuya matriz es la matriz

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

=

111111111111

1111

A

dada en el ejemplo 5. Hallar la matriz de entrada si se quiere que la matriz de salida

sea

a)

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

4312

b b)

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

2531

b

Solución

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

=

111111111111

1111

A es no singular y

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

=−

41

41

41

41

41

41

41

41

41

41

41

41

41

41

41

41

1A , luego

a)

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

4312

41

41

41

41

41

41

41

41

41

41

41

41

41

41

41

41

4

3

2

1

xxxx

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

1

1

43

25

4

3

2

1

xxxx

85

b)

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

2531

41

41

41

41

41

41

41

41

41

41

41

41

41

41

41

41

4

3

2

1

xxxx

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

45

41

43

411

4

3

2

1

xxxx

Teorema 4.- Sea el sistema homogéneo 0=xA , donde A es una matriz cuadrada de

orden n. El sistema tiene solamente la solución trivial si y solo si A es no singular.

Prueba

En efecto, si A es no singular, entonces existe 1−A ; luego

00

00

=⇒=⇒

=⇒= −−−

xx

xx

nIAAAAA )()( 111

Luego la única solución del sistema es la trivial.

Observación. El teorema anterior es equivalente al siguiente enunciado: El sistema

tiene una solución no trivial si y solo si A es singular.


0303202

=+−=+−=+−

zyxzyxzyx

Solución

Del sistema se tiene ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

=311312211

A . Al calcular la inversa de A se obtiene

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=−

201013110

1A , luego la única solución del sistema es la trivial 0=== zyx .

Ejemplo 9.- Resolver el siguiente sistema de ecuaciones

0230584046

=++=++=++

zyxzyxzyx

Solución

86

La matriz de coeficientes del sistema es

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

123584461

A

y su matriz ampliada

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

000

123584461

]|[ 0A

Calculando la matriz escalonada reducida por filas equivalente a ]|[ 0A se tiene

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

000

0001001

~000

123584461

]|[ 1611

81

FA 0

Luego el sistema original es equivalente a

00

1611

81

=+=−

zyzx

Asignando el parámetro t a la variable z se tiene

Rttzty

tx

∈=−=

=

;1611

81

En consecuencia como A es singular, el sistema tiene una solución no trivial para

0≠t

A continuación resumimos los resultados más importantes que se desprenden del

estudio de las matrices no singulares.

Equivalencias no singulares

Las siguientes proposiciones son equivalentes:

a) A es no singular

b) 0=xA solo tiene la solución trivial.

c) A es equivalente por filas a nI .

d) El sistema bx =A tiene una única solución para cada matriz b de orden 1×n .

Ejemplo 10.- [Una aplicación de la inversión de matrices a la criptografía]

La criptografía es el proceso de codificar y decodificar mensajes. La palabra

criptografía proviene de los vocablos griegos kryptos, que significa “ocultar” y grafos

87

“escribir”, es decir literalmente significa “escritura oculta”. El origen de esa técnica

se remonta a las civilizaciones más antiguas que hicieron uso en las campañas

militares de forma tal que si un mensajero era interceptado por el enemigo la

información que portaba no corriera el peligro de ser conocida. En la actualidad con

la ayuda de la informática, los gobiernos y las grandes empresas utilizan técnicas

sofisticadas para codificar y decodificar su información confidencial utilizando los

recursos que nos ofrece el álgebra lineal de tal forma se pueda realizar el intercambio

de mensajes de manera que sólo puedan ser leídos por las personas a quienes va

dirigido.

En primer lugar se debe determinar previamente el alfabeto que se va a utilizar en la

construcción de los mensajes; en nuestro caso el alfabeto castellano. Asignamos a

cada uno de los caracteres del alfabeto un número entre 1 y 27 y el número 28 al

guión que indica separación entre dos palabras como se indica en la siguiente tabla

1413121110987654321↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓nmlkjihgfedcba

2827262524232221201918171615↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓−zyxwvutsrqpoñ

luego elegimos una matriz A no singular; en este caso consideraremos una matriz de

orden 33× (puede ser de cualquier orden mayor o igual a 2).

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−=

211321

331A

Sea el mensaje a encriptar o codificar

VIVA EL PERU

De acuerdo a la tabla se tendrá la siguiente correspondencia

22195172812528123923↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓

−− UREPLEAVIV

88

Como para la codificación del mensaje se está usando una matriz de orden 33× , para codificar el mensaje se divide el mensaje numerado en matrices de columna de 13× , de la siguiente manera:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

23923

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

5281

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

172812

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

22195

en el caso que sobren espacios; a éstos se les asigna el número 28 que corresponde al

guión.

El mensaje se codifica multiplicando cada una de las matrices columna, anteriores,

por la matriz codificadora A. Así se tiene

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−

206191423174228

14216865

22175231928289512123

211321

331

Las columnas de la matriz obtenida de la multiplicación producen el mensaje

codificado. El mensaje se transmite en forma lineal de la siguiente manera:

65, -28, 14, -68, 42, -19, -21, 17, -6, 14, -23, 20

Para decodificar el mensaje, el receptor escribe esta lista como una sucesión de

matrices columna de 13× ; es decir

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−

206191423174228

14216865

y se repite la técnica anterior usando la inversa de la matriz codificadora. La inversa

de la matriz codificadora llamada matriz decodificadora, en nuestro ejemplo es

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=−

541651331

1A

Para decodificar el mensaje, se efectúa la siguiente multiplicación de matrices

89

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

22175231928289512123

206191423174228

14216865

541651331

el mensaje original se obtiene escribiendo en forma lineal las columnas de la ultima

matriz:

UREPLEAVIV −−↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓22195172812528123923

EJERCICIOS

2. Hallar la inversa de las siguientes matrices en caso que exista.

a) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−− 4221

b) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

320155111

c) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

100210321

d) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

121311522

e)

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

100021003210

7531

f)

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

− 3212431100230012

h) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−+−

iiii

ii

311

211 i) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡− θθ

θθcos

cossen

sen

j) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

301210312

k)

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

5124131202143211

2. ¿Cuáles de los siguientes sistemas lineales tiene una solución no trivial?

a) 032

022032

=++=+

=++

zyxzy

zyx b)

022202

02

=+−=+

=−+

zyxyx

zyx

90

c) 030202

=+−=++=++

zyxzyxzyx

d) 0222

020

=+−=+=+−

zyxyx

zyx

3. En los siguientes ejercicios determine A si:

a) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=−

41321A b) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=−

11431A

4. Muestre que una matriz que tiene una fila o una columna formados

exclusivamente por ceros debe ser singular. 5. Determine todos los valores de a para los cuales la inversa de

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

aA

21001011

exista ¿Cuánto vale 1−A ?. 6. Considere un proceso industrial cuya matriz es

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=112123

312A

determine la matriz de entrada para cada una de las siguientes matrices de salida:

a) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

102030

b) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

148

12

7. ¿Es la inversa de una matriz simétrica no singular siempre simétrica?. Justifique

su respuesta.

8. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones y justifique brevemente a) ( ) 111 −−− +=− BABA

b) ( ) 11 1 −− = Ac

cA

9. ¿Para qué valores de λ el siguiente sistema tiene soluciones distintas de la trivial

0)1(202)1(

=−λ+=+−λ

yxyx

10. Si A y B son no singulares ¿son no singulares A+B, A-B, y –A?. Justifique su

respuesta.

11. Despeje x de bAx = si

91

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=−

14321A y ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

35

b

12. Sea A una matriz de orden 33× . Supongamos que

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

321

x

es una solución del sistema homogéneo 0=Ax . ¿Es A singular o no singular?

Justifique su respuesta.

13. Muestre que la inversa de una matriz triangular superior (inferior) no singular es

triangular superior (inferior).

14. Muestre que si A es singular y 0, ≠= bbAx tiene una solución. Entonces tiene

una infinidad.

15. Muestre que si A es una matriz simétrica no singular. Entonces 1−A es simétrica.

16. Sea A una matriz diagonal con entradas diagonales distintas de cero

nnaaa ....,, 2211 . Muestre que 1−A es no singular y que 1−A es una matriz diagonal

con entradas diagonales nnaaa

1,...,1,12211

.

17. Imitando el ejemplo 10; use la matriz

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

814312201

Para codificar el mensaje SALUD DINERO Y AMOR.

18. Decodifique el mensaje

43, 70, 173, 3, -9, 26, 68, 111, 277, 52, 87, 213, 46, 79, 188, 57, 58, 256

codificado mediante la matriz del ejercicio 17.

guia algebra lineal

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