LOGROS Y CONTENIDOS GRADO 9GRADO9Periodo 1Unidad 1.Nmeros reales y expresiones algebraicas1. conjuntos numericos2. conjunto de los nmeros reales3. operaciones con nmeros reales4. expresiones algebraicas en reales5.potencias y races de nmeros reales6.Operaciones con radicalesUnidad 2escalas , areas y volmenes1.escalas2.areas y problemas de aplicacin3.volumenes y problemas de aplicacinLogros1.establece la relacin entre los conjuntos numricos y su importanciaatravez de la historia2.reconoce el conjunto de los nmeros reales y resueve todo tipo de operaciones con expresiones algebraicas,racesy potencias3.halla el area de figura planas aplicando las ecuaciones correspondientes4.halla el volumen de figuras geomtricas aplicando las ecuaciones correapondientsUNIDAD 1OPERACIONES CON NUMEROS REALESCONJUNTOS NUMRICOSEn el lgebra trabajamos con muchos conjuntos de nmeros.Por ejemplo: Para expresar la cantidad de alumnos de un aula usamos los nmeros naturales. Para expresar tasas de inters usamos decimales: 6%= 0.06 Para expresar temperaturas bajo cero utilizamos los nmeros negativos:7bajo 0= 7NUMEROS NATURALES:NSon aquellos que usamos para contarN = { x:x 1 ,x es un entero}Ejemplo:N={ 1,2,3,7,9,245,.}NMEROS ENTEROS:ZSon todos los nmeros positivos, negativos y el ceroZ = {x:x ] ) [ , ] + Z Z 0 Ejemplo:Z ={ ..,6, 5. 40, 1, 2, 3, 4, 5).NMEROS RACIONALES:QSon llamados nmeros fraccionarios y se pueden escribirenla formaa / b,con(a y b ) Z,b0 .Tambin se pueden indicar como un nmero decimal resultado de hallar el cociente de a / b.Q = {x:x =a / b, (a y b ) Z,b ] 0 Ejemplo: Q={ ] 645,18,42, 125 . 0 , 0 ,167,52, 555 . 0 , 8 . . RQZNQ*Todo decimal se puede escribir como un decimal que termina o se repite en bloques de dgitos.NMEROS IRRACIONALES: Q*Son aquellos nmeros cuyas formas decimales estn formadas por dgitos decimales no terminales y norepetitivos. Se prefiere dejarlo indicado como el radical de donde proviene.Q* = { x : x =)) 0 ( , , a par n si Z n Q a an Ejemplo:Q* = [ ] , 9 , , ......, 313313331 . 0 , 53 e NMEROS REALES:RSon todos los nmerosque existen.R = { x :x ]) , * Q Q Ejemplo:R = { . ] , 12 . 3 , 4 , 0 ,51, 2 , 115 repaso algebraOPERATORIA ALGEBRAICATRMINOS SEMEJANTESSe denominan trminos semejantes a aquellos que tienen la misma parte literal. Por ejemplo: -2a2b y 5a2bson semejantes. Los trminos semejantes se pueden sumar (o restar) sumando o restando los coeficientes yconservando la parte literal. Por ejemplo:-2a2b + 5a2b = 3a2b10x2z322x2z3= -12x2z3Si los trminos no son semejantes, no se pueden sumar o restar:La operacin 12a2b + 13ab2no se puede reducir ms, debido a que los trminos no son semejantes.1.2 ELIMINACIN DE PARNTESISPara eliminar parntesis en expresiones algebraicas, se debe seguir las siguientes reglas:(1) Si aparece un signo + delante de un parntesis (o ningn signo), se elimina el parntesis conservandolos signos de los trminos que aparezcan dentro del parntesis.(2) Si aparece un signo - delante de un parntesis, se elimina el parntesis cambiando los signos de lostrminos que aparezcan dentro del parntesis.Ejemplo:2ab (a + ab) + (3a 4ab) =Aplicando las reglas anteriores, tenemos:2ab a ab + 3a - 4ab, reduciendo trminos semejantes:-2ab + 2a - ab1.3 MULTIPLICACIN DE EXPRESIONES ALGEBRAICASMultiplicacin de monomios: se multiplican los coeficientes entre s, y para multiplicar potenciasde igual base, ocupamos la propiedad: para multiplicar potencias de igual base, se conserva labase y se suman los exponentes.Ejemplo: 2x2y3z. 4x4y2= 8x6y5zMultiplicacin de monomio por polinomio: se aplica la propiedad distributiva, esto es: elmonomio multiplica a todos los trminos del polinomio.Ejemplo:2ab (3a - ab2+ 4b2c2) = 2ab.3a - 2ab.ab2+ 2ab.4b2c2=6a2b 2a2b3+ 8ab3c2Multiplicacin de binomio por binomio: se multiplican todos los trminos del primer binomiocon los trminos del segundo binomio.Ejemplo:(2a - 3b2c) (4a2+ 5ab3) = 2a.4a2+ 2a.5ab3 3b2c.4a2 3b2c.5ab3=8a3+ 10 ab3 12 a2b2c 15 ab5cMultiplicacin de polinomio por polinomio: al igual que en el caso anterior, se multiplicantodos los trminos del primer polinomio con todos los trminos del segundo.(2x 3y + 4z2). (5x + 2xy + 4xz2) =2x.5x + 2x.2xy + 2x.4xz2 3y.5x 3y.2xy 3y.4xz2+ 4z2 .5x + 4z2 .2xy + 4z2 .4xz2= 10x2+ 4x2y + 8x2z2 15xy 6xy2 12xyz2+ 20xz2+ 8xyz2+ 16xz41.4 PRODUCTOS NOTABLESSon productos que, dada la frecuencia con que aparecen, es necesario memorizarlos para poderrealizarlos ms rpidamente.Suma por su diferencia:(a + b) (a b) = a2 b2Cuadrado de binomio:(a + b)2= a2+ 2ab + b2(a b)2= a2 2ab + b2Multiplicacin de binomios con trmino comn:(x + a)(x + b) = x2+ (a + b)x + abCuadrado de trinomio:(a + b + c)2= a2+ b2+ c2+ 2ab + 2bc + 2acCubo de binomio:(a + b)3= a3+ 3a2b + 3ab2+ b3(a - b)3= a3- 3a2b + 3ab2- b3Puedes hallar un mapa conceptual acerca de los productos notables en:POTENCIACIN, RADICACINPOTENCIACINConsideremos los siguientes productos factores 45 5 5 5 , factores 62 2 2 2 2 2 , factores 511 11 11 11 11 y nfactoresa a a a a ...... ;Observemos que en cada producto todos los factores son iguales.Ascomolamultiplicacinesunasumarepetida,tambinelproductorepetidolopodemosexpresardeuna manera simplificada por una nueva operacin llamada potenciacin.Se llama potencia ensima de un nmero entero a,al producto de n factores iguales a a.Al expresar esta definicin de una manera simblica, tenemosMultiplicacinPotenciacin5 + 5 + 5 + 5 = 5 x 4 5 x 5 x 5 x 5 = 542 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 2 x 6 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 2611 + 11 + 11 + 11 + 11 = 11 x 5 11 x 11 x 11 x 11 x 11 = 115En generala + a + a + .+ a= a x n veces sumandosa x a x a x ..x a = an factoresdonde,54se lee5 elevado a la cuarta potenciao 5 a la cuarta26se lee2 elevado a la sexta potenciao 2 a la sexta511 x se lee11 elevado a la quinta potenciao 11 a la quintay en general:na se leea elevado a la ensima potenciao a a la ensimaDefinicin:donde: a se llama basen se llama exponenteel resultadona se llama potenciala operacin se llama potenciacinPropiedades de la potenciacinEjemplos:, ), )54 33733646754 337334 241 5754 337334424 75754 33744 7332457 +++ 12348 9 4 34323 4371 335 643 67 1. a a 15.n manama+ 9. 0 ,11 aaa2. 0 , 10 a a 6.n manama3. , )nbnanab 7. , )n manma4.nbnanba ',_

8.n manma 2.3 236425 2362 4828536321 132151312612 1 325 3 1 26c abc ac bbcaacbcbacbac abc b a 3.xb ab axb ab axb aaab a b ab axb aaab ab axb aaabab ax+++''',_

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112 21214., ), )41625621218141218133256214132118113121216141321181321216

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baabbababab ab a, ), )413234414814642564141814164125641625641811416256811 41625681abababbababa

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EXPRESIONES RADICALESRaces cuadradas:El nmeroyes una raz cuadrada dexcuandoy2=xTodos los nmeros positivos tienen dos nmeros reales que son sus races cuadradas: uno positivo y otronegativo. El nico nmero con una sola raz cuadrada es 0, cuya raz cuadrada es 0.Signo radical al smbolo ,y al nmero x que se encuentra bajo el signo radical lo llamaremosradicando.El grado de un radical es el ndice de la raz.Ejemplo:03 , 0 0009 , 0 *348116*12 144 *1 1 * La raz cuadrada de todo cuadrado entero es un racional : 40 1600 2 4 Las races cuadradas de muchos enteros positivos no son nmeros racionales,por ejemplo:6055 , 3 13 Las races cuadradas de nmeros negativos no son nmeros reales.4 : Ejemplo no es un nmero real, ya que ningn nmero real elevado al cuadrado es igual a 4.Estas races cuadradas de nmeros negativos originan el conjunto llamado Nmeros Imaginarios.Simplificar un radical es llevarlo a su ms simple expresin.Propiedades de los Radicales:) ) , ,, ), )43416129123612 9 3693 42164 3 9216 . 4212142156363466{635613 34616 356 3646 61256364612511. 36 3 232738327 8 . 2422482482 . 1b b bb bn mam nabZbzbzbzbznbnanbnanbanbnanb anman ma Races cuadradas de expresiones con variables:) , ) ,2646 *39681 *2 4*:+ + x x x x w wEjemploRaces cbicas:Larazcbica dexes cualquier nmero cuyo cubo sea x,y se representa porx y si y x 3 3x xbzbza aEjemplo531253*342964383*336273*: ) [ } ) , ) , 75 3 25232523 5 . 3 Races ensimas:227227 141287*:w w wEjemplo

',_ OPERACIONES CON RADICALES:Suma y Resta de Expresiones Radicales:Se llaman radicales semejantes a las expresiones que tienen radicales con el mismo ndice y el mismoradicando, y luego se escriben los radicales no semejantes con su propio signo.Ejemplo:) ,43 5*3 2 243 343 243442442434 43442434342424343434247684243448 *33 1432 1233 2 732 2 633332 732332 63332 73232 633 8 732 8 6324 7316 6 *2 97 4 12 2 2 7 2 4 2 12 + + comn factorMultiplicacin de Expresiones con radicales:Se aplican las propiedades conmutativa y asociativa de la multiplicacin, para multiplicarlos coeficientes ylascantidadesradicalesentre s, porltimo se simplifica el resultado.Ejemplo:, )) , , )5 4 70 2 24 10 845 4 70 2 3 8 10 3 285 4 5 14 2 9 8 5 2 9 285 4 25 14 18 8 5 18 28 2 5 7 5 2 18 4 *6 25 3 10 2 3 25 3 10 2 5 2 3 5 *6 60 3 2 2 30 3 222 30 3 8 30 3 5 8 6 * + + + + + + + + a distributv LeyDivisin de Expresiones con radicales:Sedividen los coeficientesy las cantidades radicales entre s,colocando el ltimo cociente bajo el signoradical comn y se simplifica el resultado.Ejemplo:xy y xy yxyxyy xxyy xxy y xividir D 5513255134 275513 54 2753 54 275 . 22 23624:3 26 4. 1RACIONALIZACINPara dividir expresiones con radicalesdebemos racionalizar el denominador de una fraccin parareemplazarlo por un nmero racional, es decir desaparece todo signo radical. Para eliminar el radical enel denominador, multiplicamos tanto el numerador como el denominador por un nmero que produzca uncuadrado perfecto en el radical del denominador.Ejemplo:414814 2856288 7888787*55 6255 65555656* por r denominado el y numerador el multipica seMultiplicamoselnumerador y el denominador por un nmero quede un cubo perfecto bajo el signoradical del denominadorRacionalizar:232632 363223 33216318 3318318123531235r. denominado del radicalel bajo posible perfecto cubo mnimo el s obtendremo318 porr denominado el y numerador el r multiplica al 18), 12 216 ( 12 entredivisible perfecto cubo mnimo el es 216 Como31235*339 832739 8393933833839 es nmero ese perfecto, cubo un es que 27 9 . 3 Cmoradical. signo el bajo perfecto cubo un dnos que nmero un por r denominado el numeradorel mos multiplica cbica, raz una es r denominado el como338* yyyyyyy y yy xy x2142414222727274 223 27* Binomios ConjugadosDos expresiones que contienen radicales de2 grado comoviceversa ob ayb a+que slo son diferentes en el signo que une sus trminos se dicen que son Conjugados.El conjugadodea + besa b y viceversa.El producto de dos expresiones conjugadas es un nmero racional.Racionalizar el denominadorde2 32+) ,) ) ,) , ) , ) ,12 3 24 32 3 24 3 2 3 2 92 3 2r. denominado del conjugado el porr denominado el y numerador el multiplica Se2 3 2 32 3 22 32 + ++) ) , ,) ,x xxx xx x xx xx xxx416416 4 444 4 4*++ +++ LOS NMEROS COMPLEJOSpor Jorge Jos Oss RecioDepartamento de Matemticas - Universidad de los Andes Bogot Colombia - 2004Cuando se estudi la solucin de la ecuacin de segundo grado20 ax bx c + + se analiz el signo del discriminante24 b ac y su relacin conlas soluciones. Si el discriminante era negativo se dijo que la ecuacin no tena racesreales sino que las races eran imaginarias o complejas. Vamos ahora a estudiar los nmeros complejos que nosdarn la idea completa de la solucin de la ecuacin de segundo grado y una extensin de los conjuntos numricos.Realizaremos lo que se llama la definicin axiomtica del conjunto de los nmeros complejos.Seccin 1Definicin y operaciones en el conjunto de los nmeros complejos.Definicin. Llamamos conjunto de los nmeros complejos y lo denotamos con la letra al conjunto de los pares denmeros reales, ) , a b en el cual definimos las siguientes operaciones:Suma. , ) , ) , ) , , , a b cd a c b d + + +Multiplicacin. , ) , ) , ) , , , a b cd ac bd ad bc +En el nmero complejo, ) , a b llamaremos aa la parte real ya b la parte imaginaria. Note que la suma y productode pares no est definida en2.Dos propiedades que cumplen los pares de nmeros reales y que se mantienen para los complejos son:Igualdad. , ) , ) , , a b cd a c b d Multiplicacin por un escalar. ( , ) ( , ) a b a b donde .Ejemplo. Dados, ) 2,1 y, ) 0, 3 , hallar:a), ) , ) , ) , ) 2,1 0, 3 2 0 ,1 ( 3) 2, 2 + + + b), ) , ) , ) , ) 2, 1 0, 3 2(0) 1( 3), 2( 3) 1(0) 3, 6 + c), ) , ) , ) , ) , ) , ) 2,1 0, 3 2 1,1 3, 6 2, 2 5, 8 + Como los nmeros complejos son pares de nmeros reales podemos efectuar una representacin de los mismosmediante el plano2(Grfica 1) En esta representacin se le dice eje real (Re) al eje de lasx y eje imaginario (Im)al eje de lasy .Grfica 1: Representacin del nmero complejo( , ) a b .Podemos considerar que los nmeros reales estn contenidos en los nmeros complejos puesto que en el plano2el nmero complejo, ) , 0 a coincide con elnmero real a . De este modo tenemos ( , 0) a a cuando a . Losnmeros complejos de la forma(0, ) b son llamados imaginarios puros.Vamos a demostrar la propiedad de la multiplicacin por un escalar :, ) , ) , , a b a b Para eso escribimos el nmero real en la forma, ) , 0 y aplicamos la definicin de multiplicacin:, ) , ) , ) , ) , ) , , 0 , 0 , 0 , a b a b a b b a a b + .Denotaremos el nmero complejo(0,1) con la letra i y lo llamaremos unidad imaginaria. Es fcil demostrarque21 i ., )2 2(0,1) (0,1) (0,1) 0(0) 1(1) , 0(1) 1(0) ( 1, 0) 1 i + Ahora estamos en condiciones de resolver la sencilla ecuacin21 0 x + .2 2 2 21 0 1 x x x i x i + fForma binmica de un nmero complejoSea ( , ) z ab un nmero complejo. Entonces podemos escribirlo en la forma:( , ) ( , 0) (0, ) (1, 0) (0,1) z ab a b a b + +Pero como(1, 0) 1 y(0,1) i , entonces( , ) a b a bi + . En este casoa bi + se llama forma binmica o binomia delnmero complejo.Suma y multiplicacin de nmeros complejos en la forma binmica, ) , ) , ) , ) a bi c di a c b d i + + + + + + ,puesto que , , , a b c d son todos nmeros reales., ) , ) , ) , )2a bi c di ac adi bci bdi ac bd ad bc i + + + + + + + porque21 i .Ahora observe que los resultados son los mismos que las definiciones de suma y producto dados al inicio; por lo quela realizacin de las operaciones de suma y multiplicacin con nmeros complejos se puede realizar en la forma depares o en la forma binmica, con la ventaja a favor de la forma binmica que se trabaja con las reglas del lgebra yno es necesario memorizar nada nuevo.Ejemplo. Si1(3, 2) z y2(4, 1) z , halle1 2z z + y1 2z z ., ) , )1 2(3, 2) (4, 1) 3 2 4 7 z z i i i + + + + +21 2(3, 2) (4, 1) (3 2 )(4 ) 12 3 8 2 (12 2) ( 3 8) 14 5 z z i i i i i i i + + + + + +Conjugado de un nmero complejoSi z x yi + es un nmero complejo llamaremos conjugado del nmero z, al nmero z x yi , es decir, al nmerocomplejo que tiene la misma parte real quez pero la parte imaginaria de signo opuesto.Ejemplo. Si 3 2 z i + , entonces 3 2 z i y si 3 2 z i , entonces 3 2 z i + .Mdulo y argumento de un nmero complejoSea ( , ) z ab a bi + un nmero complejo cualquiera. Llamaremos mdulo del nmero complejoz , al nmero realdado por2 2a b + y lo denotaremos por z . El mdulo se interpreta como la distancia al origen del nmeroz(Grfica 2).Por otra parte, llamaremos argumento del nmero complejoz a bi + , al ngulo comprendido entre el eje x y elradio vector que determinaa z . El argumento dez se denota porarg( ) z y se calcula mediante la expresin:arg( ) arctanbza _ ' ,.Grfica 2: Mdulo y argumento de un nmero complejo.Propiedad:2z z z Demostracin:, ) , )2 2 222 2 2 2 2 2( )( )0z z a bi a bi a abi abi y ia b ab abi a b i a b z + + + + + + + + Divisin de nmeros complejosLa divisin de nmeros complejos se realiza mediante la multiplicacin y divisin por el conjugado del denominador:12 2 222( ) ( ) z a bi a bi c di ac bd ad bc i ac bd ad bc iz c di c di c di c dz+ + + + + + + + + + +Ejemplo.Dados12 3 z i y21 2 z i + , halle: (a)2z y (b)12zz.(a) Como21 2 z i + entonces21 2 z i (b) Para hallar12zzmultiplicamos y dividimos por el conjugado2z .1222 22 3 2 3 1 2 (2 3 )( 1 2 )1 2 1 2 1 2 ( 1 2 )( 1 2 )2 4 3 6 8 8 15 5 5 ( 1) (2)z i i i i iz i i i i ii i i ii + + + + + +Races complejas de la ecuacin de segundo gradoSi el discriminante de la ecuacin20 ax bx c + + es negativo, debe sustituirse el signo negativo por2i y de esa formase obtienen las races complejas de la ecuacin.Ejemplo. Resolver la ecuacin22 6 0 x x + .Aplicando la frmula de la ecuacin cuadrtica:2( 2) ( 2) 4(1)(6) 2 4 24 2 202(1) 2 2x f f f Se puede ver que el discriminante es 20 lo cual puede escribirse como220i . Por lo tanto:22 20 2 20 2 2 51 52 2 2i ix if f f fAs, las races complejas de la ecuacin son:11 5 x i y21 5 x i + .Sistema de ecuaciones lineales.Es aquel constituido por varias ecuaciones lineales.Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incgnitas es una parejade expresiones algebraicas de laforma:a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2Por ejemplo, un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incgnitas es:x + y = 10x y = 2Resolucin de un sistema de ecuaciones lineales.Encontrar la solucin de un sistema de ecuaciones es encontrarlos valores de las incgnitaslos cualesse verifiquen entodas la ecuaciones del sistema. Si el sistema es de dos ecuaciones con dos incgnitas,la solucin ser un par denmeros (x, y) que cumplan a la vezcon las dos ecuaciones del sistema. Si el sistema es de tresecuaciones con tresincgnitas, la solucin ser un tro de nmeros (x, y,z) que cumplan a la vezcon lastres ecuaciones del sistema.Sin embargo, un sistema de ecuaciones puede que no tenga solucin, o incluso puede que tenga infinitassoluciones, esto depender del tipo de sistema de que se trate, por lo tanto debemos mirar cuales son lostipos de sistemas de ecuaciones con que nos podemos encontraClasificacin de sistemas deecuaciones linealesLos sistemas de ecuaciones se pueden clasificar segn la existencia o no de soluciones y, en el primercaso, segn el nmero de ellas.La clasificacin de los sistemas sera la siguiente: Sistema compatible: es el que tiene solucin, y dependiendo del nmero de soluciones puede ser: determinado si tiene una nica solucin. indeterminado si tiene mltiples, o sea infinitas soluciones. Sistema incompatible: es el que no tiene solucin.Mtodos de solucin de un sistema de dos ecuaciones con dosincgnitasSea el sistema de ecuaciones2x y = 4(ecuacin 1)x + y = 5(ecuacin 2)Hallar la solucin de este sistema es hallar el par de valores de x y de y que satisfacen ambas ecuaciones.En este caso la solucin vendra dada por el par de nmeros(3, 2), es decir, x = 3 e y = 2, ya queen la ecuacin (1)2(3) (2)= 4en la ecuacin ( 2)(3)+ (2)= 5Este es un ejemplo de un sistema compatible determinado (una nica solucin).Para llegar a esta solucin existen diversos mtodos, los cuales veremos a continuacin.Mtodos de resolucin de sistemas de ecuacionesLos mtodos de resolucin se dividen en dos grupos: mtodo grfico y mtodos analticos.El mtodo grficoconsiste, como su nombre loindica en resolverel sistema mediante la representacingrfica de sus ecuaciones.Los mtodos analticos son los que permiten la resolucin del sistema sin necesidad de recurrir a surepresentacin grfica, es decir, mediante la utilizacin de simples operaciones aritmticas.Los mtodosanalticos ms comunes son: sustitucin, igualacin y reduccin.Mtodos analticos de resolucin de sistemas de dos ecuacionesExisten varios mtodos algebraicos que permiten obtener la solucin de un sistema sin necesidad derecurrir a la representacin grfica. En general estos mtodos tratan de obtener a partir del sistema de dosecuaciones una sola ecuacin de primer grado con una incgnita, aplicando las propiedades de lasecuaciones que ya conocemosMtodo deSustitucinPara resolver un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incgnitas por el mtodo de sustitucin hay queseguir los siguientes pasos: Se despeja una de las incgnitas en una cualquiera de las ecuaciones. Se sustituye la expresin obtenida en la otra ecuacin Se resuelve la ecuacin de primer grado en una incgnita que resulta de esta sustitucin. Calculada la primera incgnita, se calcula la otra en la ecuacin despejada obtenida en el primer paso.Es importante tener en cuenta quean cuando la incgnita que se va a despejar en el primer paso puedeser cualquiera ( y de cualquier ecuacin), es mejor, por la facilidad de los clculos posteriores, hacer unabuena eleccin de ambas, incgnita y ecuacin. Por ejemplo es ms fcil operar con incgnitas que "notenga" coeficiente (es decir, que su coeficiente sea 1), ya que en ese caso, podremos evitar el clculo confracciones.Veamos como hallar la solucin del sistema de ecuaciones del ejemplo, mediante el mtodo desustitucin:(1) 2x y = 4(2) x + y = 5De la ecuacin (2) x = 5 ySustituyendoen (1)2 (5 y) y = 410 2y y = 410 3y= 43 y = 4 103 y = 6y as y=36= 2Sustituyendo el valor de y en la ecuacin (2)x + 2 = 5x = 5 2x =3Con lo que tenemos que la solucin esx = 2 ,y = 3Resolucin por sustitucin.Tenemos que resolver el sistema:Despejamos una de las variables en una de las ecuaciones (en este caso elegimos y en la primeraecuacin):Y la reemplazamos en la otra ecuacin:Operamos para despejar la nica variable existente ahora:Reemplazamos el valor de x obtenido en alguna de las ecuaciones (elegimos arbitrariamente la primera):Hallamos la respuesta x=4, y = 2, obviamente igual que en el caso anterior. No verificaremos, dado que yasabemos que esta respuesta es correcta.Mtodo de igualacinEl mtodo de igualacin consiste en una pequea variante del mtodo de sustitucin. Para resolver unsistema de ecuaciones por este mtodo hay que despejar una incgnita(la misma, en las dos ecuaciones)e igualar el resultado de ambos despejes, con lo que se obtiene una ecuacin de primer grado.Los pasos del proceso son las siguientes: Se despeja la misma incgnita en ambas ecuaciones. Se igualan las expresiones obtenidas y se resuelve la ecuacin lineal de una incgnita que resulta. Se calcula el valor de la otra incgnita sustituyendo la ya hallada en una de las ecuaciones despejadasde primer paso.Resolviendo el mismo ejercicio de la seccin anterior mediante el mtodo de igualacin.(1) 2x y = 4(2) x + y = 5De la ecuacin (1) tenemos quex =24 y +De la ecuacin (2) tenemos quex = 5 yIgualando las dos expresiones:24 y += 5 y4+y= 10 2yy +2 y = 10 43 y = 6y =36= 2Reemplazando en(2)x + 2 = 5x = 5 2 = 3Resolucin por igualacinTenemos que resolver el sistema:esto significa, encontrar el punto de interseccin entre las rectas dadas, de las cuales se conoce suecuacin.Despejamos una de las dos variables en las dos ecuaciones, con lo cual tenemos un sistema equivalente(en este caso elegimos y):Recordamos que al tener dos ecuaciones, si los primeros miembros son iguales los segundos tambin loson, por lo tanto:Luego:Reemplazamos el valor de x obtenido en alguna de las ecuaciones (elegimos la segunda):Operamos para hallar el valor de y:y=2Verificamos, en ambas ecuaciones, para saber si realmente (x ; y) = (4;2):Ahora s, podemos asegurar que x= 4 e y = 2Mtodo de Gauss (por reduccin)Este mtodo consiste en multiplicar una o ambas ecuaciones por algn(os) nmero(s) de forma que alsumarlas se cancelen alguna de las variables (o sea el valor de su coeficiente sea cero). Con esto seobtiene una sola ecuacin de primer grado con una incgnita.Los pasos para aplicar este mtodo seran: Se multiplican las ecuaciones por los nmeros apropiados para que, en una de las incgnitas, loscoeficientes queden iguales pero de signo contrario, Se suman ambas ecuaciones del nuevo sistema, equivalente al anterior. Se resuelve la ecuacin lineal de una incgnitaresultante. Luego hay dos opciones: Se repite el proceso con la otra incgnita se sustituye la incgnita ya hallada en una de lasecuaciones del sistema y se despeja la otra.Veamos de nuevo el mismo ejemplo de los mtodos anteriores resuelto por el mtodo de reduccin:(1) 2x y = 4(2)x + y = 5En este ejemplo observemos que el coeficiente de x en la ecuacin (1) es 2, y que el coeficiente de x en laecuacin (2) es 1, por lo tanto podemos multiplicar la ecuacin (2) por 2 , para que al restar la ecuacionesobtengamos una nueva ecuacincon una nicaincgnita y.(1) 2x y= 4(2 )x 2 2x 2y = 10________________(1) (2)0 3y = 6Despejando el valor de yy=36= 2Reemplazando en(1)2x 2 = 42x=4 + 2 = 6x=26= 3Tenemos que resolver el sistema:El objetivo es eliminar una de las incgnitas, dejndolas inversas aditivas, sabiendo que una igualdad nocambia si se la multiplica por un nmero.Tambin sabemos que una igualdad no se cambia si se le suma otra igualdad.Si se quiere eliminar la x, por qu nmero debo multiplicar a la segunda ecuacin, para que al sumarla ala primera se obtenga cero?La respuesta es -2. Veamos:Con lo que obtenemos:Y la sumamos la primera obtenindose:-7y = -14y = 2Reemplazar el valor obtenido de y en la primera ecuacin:Y finalmente hallar el valor de x:Regla de Cramer para sistemas de dos ecuaciones y dos variablesResolucin por determinanteSabemos que un determinante se representa como:d cb aEste se calcula de la siguiente manera: ad bcSea el sistema:a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2El valor de x est dado por:2 21 12 21 1b ab ab cb cx e2 21 12 21 1b ab ac ac ay Resolvamos el sistema::414566 2054 1105 23 45 183 222 21 12 21 1 b ab ab cb cx214281444 721418 222 42 21 12 21 1 b ab ac ac ayMtodo grfico de resolucin de sistemas de ecuacionesCada una de las ecuaciones que conforman un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incgnitascorresponde a la ecuacin de una lnea recta, entonces el mtodo grfico para resolver este tipo desistemas consiste en representar en un eje cartesiano a ambas rectas y comprobar si se cortan y, si esas, dnde. Ese punto sera la solucin del sistema.Hay que tener en cuenta, que en el plano cartesiano dos rectas slo pueden tener tres posiciones relativasentre s: se cortan en un punto, son paralelas o son coincidentes (la misma recta). Si las dos rectas se cortan en un punto, las coordenadas de ste son el par (x, y) que conforman lanica solucin del sistema. Estos son los nicos valores de ambas incgnitas que satisfacen las dosecuaciones del sistema, por lo tanto, el mismo es compatible determinado. Si las dos rectas son paralelas, no tienen ningn punto en comn, por lo que no hay ningn par denmeros que satisfaga las dos ecuaciones del sistema a la vez, por lo que ste ser incompatible, o seasin solucin. Si ambas rectas coinciden, existeninfinitos puntos que pertenecen a ambas ecuaciones, lo cual nosindica que hay infinitas soluciones del sistema (todos los puntos de las rectas), luego ste ser compatibleindeterminado.El proceso de resolucin de un sistema de ecuaciones mediante el mtodo grfico se resume en lossiguientes pasos: Se despeja la incgnita yy en ambas ecuaciones. Se construye, para cada una de las dos funciones de primer grado obtenidas, la tabla de valorescorrespondientes. Se representan grficamente ambas rectas en los ejes coordenados.En este ltimo paso hay tres posibilidades: Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte conforman la solucinx e y. (Sistemacompatible determinado.) Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solucin. (Sistema incompatible). Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones. (Sistema compatibleindeterminado)Cabe anotar que si bien ese mtodo es relativamente sencillo de aplicar, no siempre es fcil leer lascoordenadas de un punto.SISTEMA DE TRE ECUACIONES CON TRES INCOGNITASUn sistema de tres ecuaciones lineales con tres incgnitas es un trode expresiones algebraicas de laforma:a1x + b1y + c1z = d1a2x + b2y + c2z = d2a3x + b3y + c3z = d3Un ejemplo, de un sistema lineal de tresecuaciones con tres incgnitas es:x +2 y z = 14x y +5z= 2x + 5y 3z= 0Solucin de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incgnitasAplicaremos el mtodo de reduccin para resolver un sistema lineal de tres ecuaciones con tresincgnitas. Los pasos para aplicar este mtodo sera: Se toman en primera instancia dos ecuaciones para eliminar una de las incgnitas. Se toma la ecuacin restante con otra de las dos ecuaciones y se elimina la misma incgnitaseleccionada anteriormente. Con lo anterior se obtendra un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas la cual se resuelve comoanteriormente vimos.Veamos la aplicacin de este mtodo en el siguiente ejemplo:(1)2x y+ z = 3(2)x + 3y 2z =11(3)3x 2y+ 4z= 1Si multiplicamos (1) por 3 y la sumamos con (2) podemos eliminary obteniendo una nueva ecuacin (4)(1)x 3 6x 3 y+3z =9(2)x + 3y 2z= 11_________________________(4)7x+ z=20Si multiplicamos (2) por 2 y multiplicamos (3) por 3 y las sumamospodemos eliminary obteniendo unanueva ecuacin (5)(2) x2 2x+ 6y 4z =22(3) x39x 6y+12z =3___________________________(5)11x+8 z=25Con lo anterior hemos obtenidos un sistema de dos ecuaciones (4) y (5) con dos incgnitas, la cual laresolvemos por cualquiera de lo mtodos ya vistos.(4)7x+ z=20(5)11x +8 z =25Resolviendo por el mtodo de reduccin:(4) x 8 56x 8 z= 160(5)11x + 8 z=25_________________________45x= 135x =45135=3Reemplazando el valor de x en(4)7(3) +z=20z=20 21= 1Reemplazando los valores de x y z en (1)2(3) y+ (1)= 3y = 3 6 + 1= 2y =2Es as como el anterior es un sistema compatible determinado cuya solucines x= 3,y= 2,yz= 1.APLICACIONES:Salud:Paracalcular el pulso ptimo.El pulso ptimo por minuto al hacer ejercicio fsico est dado por laecuacin:0.7 (220 a ),dondea = edad.NegociosPara calcular el inters simple,se utiliza la ecuacin:I = P. r. tDondeP =es la capital o cantidad invertidar=es la tasa de interst= tiempo en aos.Ecuaciones CuadrticasUna ecuacin cuadrtica es una ecuacin en su forma ax2+ bx + c, donde a, b, y c son nmeros reales.Ejemplo:9x2+ 6x + 10 a = 9, b = 6, c = 103x2- 9x a = 3, b = -9, c = 0-6x2+ 10 a = -6, b = 0, c = 10Hay tres formas de hallar las races ( el o los valores de la variable) de las ecuaciones cuadrticas:1. Factorizacin Simple2. Completando el Cuadrado3. Frmula CuadrticaFactorizacin Simple:La factorizacin simple consiste en convertir la ecuacin cuadrtica en un producto de binomios. Luego,se busca el valor de x de cada binomio.Ejemplo: Realizar la factorizacin simple de la ecuacinx2 + 2x 8 = 0 a = 1 b = 2 c = - 8(x ) (x ) = 0 [x x = x2]( x + ) (x - ) = 0(x + 4 ) (x 2) = 0 4 y 2 4 + -2 = 24 -2 = -8x + 4 = 0 x 2 = 0x + 4 = 0 x 2 = 0x = 0 4 x = 0 + 2x = -4 x = 2 Estas son las dos soluciones.Frmula Cuadrtica:Este mtodo es muy simple: hay que sustituir los valores de a, b y c de la ecuacin cuadrtica a lasiguiente frmula:Ejemplo:X2+ 2x 8 = 0 a = 1, b = 2, c = -8x = -2 62X = -2 + 6 x = -2 - 62 2x = 4 x = -82 2x = 2 x = - 4Ecuaciones de segundo grado: completas e incompletasECUACIONES CON UN RADICAL:Para eliminar el radical, se aplica la regla de potenciacin, elevando al cuadrado ambos lados de laecuacin.Ejemplo:) ,128 44 82228 2 8 * + xlineal ecuacin la efectua se xxcuadrado al lados ambos eleva se x x) ,) )16 65 1 629 91 629 52921 325293 1 529 1 3 529 *83 1 251 3 2521 325 0 1 3 5 * + + +

+ + + + xxx x xEfectuando x x xcuadrado al elevando x xradical el aislando x x x xxxxcuadrado al elevando x xEjercicios:29 2 7 11 4 . 6 9 1 22. . 36 1 7 . 5 7 7 . 24 8 16 . 424 2 528416 . 1 + + + + + + + + +x x x x xx x x xx x x x x xDetermina el conjunto solucin de las siguientes ecuaciones:1 ) 6 x + = 3 R :{ 3 }2 ) 20 x = 2 R : 3 )3 4 x 15 + = 5 R :{ 4 }4 )31 x 3 +2 = 4 R :{ 3 }5 )1+41 x 10 + = 4 R :{ 8 }6 ) 10 x 3 + = x+2 R :{ 2 }7 ) 9 x 4 + = 2 x+5 R :{ 2 }8 ) x 2 3 = x 2 R : 9 ) 4 x 2 + = 2 x R :{ 0 }10 ) 4 x 2 = x 2 R :{ 2,4 }11 ) 3 x 4 = 1 2 x R : .- Plantea la ecuacin y resuelve los siguientes problemas:a) El rea de u tringulo equiltero es 3 9 m2. Determine el permetro y la medida de su altura.b) El volumen de u cubo mide 1728 m3. Calcule la medida de la diagonal de una de sus caras y la medida de ladiagonal del cubo.c) Si la raz cuadrada de un nmero se aumenta en dos, resulta 5. Cul es le nmero?d) El volumende una esfera mide 36 m3. Calcule la medida de su radio.e) Determine el permetro de un rombo cuyas diagonales tienen como medida 6 m y 8 m, respectivamente.f) Las medidas de los lados de un tringulo son 26 m , 24 m y 10 m, respectivamente. Calcule su rea.g) Elvolumendeunconorectomide245 cm3.Cuntomidesuradiobasalsilamedidadesualturaes15cm?LOGARITMOSSellamalogaritmodeunnmero a enbase b(logba),alexponente alquedebemoselevarlabase bpara que nos de cmo resultado el nmero a.EJEMPLOS 23 = 8 significa que Log2 8 = 3 Log5 ( 2 )251 porque25152 Logx(8) =23significaque 823 xPROPIEDADES DE LOS LOGARITMOSLog b a = x bx= a1. Log a a = 12. 0 1 aLog3. Log a (b . c) = Log ab + Loga c4. c bcba alog log Loga 5. b cLog b Logaca6. b a Logba7.bNNaablogloglog 8. X X aalogEJEMPLOS:1. 2 5 3 32 Log 8 Log328Log2 2 2 2.1351151 75458513511555754585) 13511555( 75458513 . 11 . 55log 7 . 4 . 8513 . 11 . 57 . 4 . 85LogLog Log Log Log LogLog Log Log Log Log LogLog Log Log Log Log LogLog + + + + + + + + 3. 5 . 1 ) 3 . 0 ( 5 2 5 2 32 log10510 10 Log LogUNI DAD 2AREAS Y VOLMENESTABLA DE REAScuadradoA = l2tringuloA = B h / 2rectnguloA = B hromboideA = B hromboA = D d / 2trapeciopolgono regular= 2crculoA = R2P = 2 Rcorona circularA = (R2 r2)sector circularA = R2 n / 360Ejemplos1.Cual es el area de un cuadradode5 cm de longitudr/ A = l2l=5cm entoncesA=(5cm)(5cm) = 25cm22.cuales el area deun rombo cuyas diagonalesmiden 8cmy10cmr/ A = D d / 2 D=10cm , d=8cmentonces A=(8cm)(10cm)/2 A=80cm2/ 2=40cm23. cuanto mide el lado de un octgonocuya apotema vale 5cmy su area es40cm2r/ A= anl / 2 A=40cm2, a=5cm,n=8 se despeja la formula y queda l = A2/ anentonces n = 40cm22 /5cm 8 n= 80cm2/ 40cm =2cmejemplosLa diagonal de un paralelogramo rectngulo mide 12 cm. y su base 9 cm. Halla su rea y supermetro.A B AD2= AC2 DC2A= base * alturaP = AB+BC+CD+DADcAD2= 122 92A= 9 cm.* 793 cm. P = 9cm+793cm+9cm+793cm.AD2= 144 81A = 7137 cm2P =3323 cm.AD2=63AD =63Diagonal = AC = 12 cm.AD = 793 cm.Base = DC = 9 cm. Altura = AD =? rea =?Permetro = ?Suma de reasAlgunas veces, el rea de una figura est formada por la suma de reas de varias figuras, por lo tanto, hayquedescomponerla,luegohacerelclculodecadaparte,yfinalmente,sumarlasparaencontrarelreatotal.Veamos el siguiente ejemplo: ABCD cuadrado de lado 4 cm.Esta figura se descompone en medio crculo y un cuadrado. Primero, tendremos que calcular el rea delcrculo. Como AB = 4 cm,entonceselradiodelsemicrculo,mide2cm.ysureaes r2/2= /24cm2=2 cm2.Determinemosahora el rea del cuadrado, A = a2= 42= 16 cm2. Sumando ambas reas nos dar el rea total sombreada,o sea 2+ 16 cm2= 2(+ 8) cm2Resta de reasEn algunos casos, la solucin se encuentra buscando la diferencia entre las figuras que forman el sectorsombreado. Por ejemplo: ABCD rectngulo de lado AB = 12 cm.El rea del rectngulo es AB BC, BC mide lo mismo que el radio de la semicircunferencia, por lo tanto elproducto debe ser 12 cm 6 cm = 72 cm2. Ahora calculemos el rea del semicrculo de radio 6, o sea r2/2, lo cual resulta 18cm2El rea sombreada queda determinada por la resta entre el rea mayor, que es la del rectngulo, y el reamenor, que es el del semicrculo, o sea 72 cm2- 18 cm2= 18(4 - ) cm2volumenestabla de volmenes y superficiescuboA = 6 a2V = a3cilindroA = 2 R (h + R)V = R2 hortoedroA = 2 (a b + a c + b c)V = a b cconoA = R2 (h + g)(2)V = R2 h / 3prisma rectoA = P (h + a)V = AB h(3)tronco de conoA = [g (r+R)+r2+R2]V = h (R2+r2+R r) / 3tetraedro regularA = a2 3V = a2 2 / 12esferaA = 4 R2V = 4 R3/ 32. VOLMENES DE CUERPOS GENERADOS POR ROTACIN O TRASLACIN DE FIGURASPLANASA continuacin veremos los cuerpos que se generan al rotar o trasladar algunas figuras planas.1) Si un cuadrado se traslada en una direccin perpendicular al plano que lo contiene, se genera unparaleleppedo de base rectangular.2) Si un rectngulo se rota en torno de uno de sus lados, se genera un cilindro recto circular.3) Si un crculo se traslada en direccin perpendicular al plano que la contiene, se genera un cilindro rectocircular.4) Si un tringulo rectngulo se rota en torno a uno de sus catetos, se forma un cono recto circular.5) Si un tringulo rectngulo se hace girar en torno a su hipotenusa, se forman dos conos pegados en labase.6) Si un cuadrante de un crculo se rota en torno a uno de sus radios frontera, se genera una semiesfera.7) Si un semicrculo se rota en torno a su dimetro, se genera una esfera.EjemplosHalla el rea y el volumencrea = 2*a*b+2*a*c+2*b*cVolumen = rea de la base * Alturarea = 2*9*7 + 2*9*5 + 2*7*5 V=( a*b) *cbrea =126 + 90 + 70 V=(9cm*7cm)*5cm.rea =286 cm2V=63 cm2* 5 cm.AV = 315 cm3Aristasa =9 cm. b =7 cm. c = 5 cm.Calcula el volumen, en centmetros cbicos, de una habitacin que tiene 5 m de largo, 40 dm de ancho y2500 mm de alto.En un almacn de dimensiones 5 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de alto queremos almacenar cajas dedimensiones 10 dm de largo, 6 dm de ancho y 4 dm de alto. Cuantas cajas podremos almacenar?CalculaCalcula la altura de un prisma que tiene como rea de la base 12 dm2y 48 l de capacidad.SEMEJANZAACTIVIDAD1Ampliacin o reduccin?(0 nada que ver?)Qu debe mantenerse constante?DEFINICIN:Las figuras semejantes tienen: ngulos igualesSegmentos proporcionales(su razn se llama: RAZN DE SEMEJANZA)Longitud, rea y volumenACTIVIDAD 2Construir dos cubos de 5cm y 10 cm de arista.Medir, calcular y hallar las razones:Long. Arista a=Long. Arista brea cara a =rea cara bVolumen a=Volumen bSi k es la razn de semejanza:Las longitudes quedan multiplicadas por:Las reas quedan multiplicadas por:Los volmenes quedan multiplicados por.ACTIVIDAD 3:cuntos cubos de 1 cm de arista se precisan para formar uno de 10 cm de arista?Verificar y justificar.Proporciones geomtricasLas rectas paralelas tienen mucho que ver con la proporcionalidad de segmentos. En verdad, el pantgrafose basa en el descubrimiento de un gemetra griego: Thales de Mileto; que en su forma ms simple podemosenunciarlo as:AMPLIANDO Y REDUCIENDO1. Dibuja en tu cuaderno un cuadrado de 3 cuadritos de lado.Amplia el cuadrado que dibujaste al doble.Hemos ampliado el cuadrado en la razn _________2. Dibuja un rectngulo de 4 cuadrito de largo y 2 cuadritos de ancho.Amplia el rectngulo dibujado al triple.Hemos ampliado el rectngulo en la razn _________3. Dibuja un hexgono cuyos lados midan 4 cuadritos. Ser fcil?Reduce el hexgono de modo que sus lados midan 2 cuadritos.Hemos reducido el cuadrado en la razn _________4. Que puedes decir con respecto a los ngulos de todas estas figuras cuando fueron ampliadas o reducidas?Estos pares de figuras hechas son figuras SEMEJANTES.Dos figuras son semejantes si____________________________________________________________________________5. Dibuja dos rectngulo que no sean semejantes, indicando por qu no lo son.6. Dibuja 2 tringulos equilteros semejantes.7. Dibuja un tringulo rectngulo de catetos 6 cm. y 8 cm. Amplia estos catetos en 3 cm. En qu razn estn estostringulos?, Cunto mide la hipotenusa de cada tringulo? (Pitgoras)8. En un mapa a escala 1:100.000, la distancia entre dos ciudades es 24 cm. Determina la distancia real en Km. entreambas ciudades.9. En un plano de una casa a escala 1:50, el comedor mide 12 cm. por 15 cm. Determina las dimensiones reales delcomedor.APLICANDO SEMEJANZA1. A la misma hora, un rbol proyecta una sombra de 10 metros, mientras que una vara de 6 metros de alturaproyecta una sombra de 4 metros. Determina la altura del rbol.2. 5 kilos de papas valen $ 750, Cunto valen 8 kilos?Qu opinas de este procedimiento que invent un alumno, aplicando el teorema de Thales?Resuelve con el mismo mtodo: Si una docena de huevos vale $72, cunto valen 4 huevos?Actividades a realizar:1.Mide tu sala de clases y todos los elementos contenidos en ella y luego haz un plano con escala 1:100.2. Haz el plano de tu casa con la escala adecuada para que pueda ser dibujada en una hoja de cuadernillo.3. Visita junto a tus compaeros una plaza.Mide todos los elementos que contiene: bancas, monumentos, reas verdes, etc.Haz un plano aplicando una escala adecuada.Qu remodelaciones le haras?Dibuja el nuevo plano de acuerdo a los cambios que efectuaras.4. Mide la altura de algn rbol con el mtodo del espejo.CONSTRUYENDO FIGURAS SEMEJANTES1. Construye un pantgrafo y utilizarlo para trazar figuras semejantes.Sugerencia para la construccin de un pantgrafo:2. Considerar una situacin del tipo siguiente. Una empresa ha diseado un juego para nios que permite armarfiguras como la del dibujo.Las piezas y sus medidas son las siguientes:Por diversas razones, la empresa decide agrandar estas piezas con el siguiente criterio:lo que mide 5 cm pasar a medir 8 cm; el resto de las medidas se deben ajustar a ese criterio para mantener laproporcin.Disear en cartulina las piezas del juego ya ampliado. Analizar y comentar los procedimientos utilizados: cul fue lapieza que ofreci mayor (o menor) dificultad para rehacerla?3. Se organiza al curso en grupos; cada grupo recorta 10 o ms rectngulos considerando dos o tres razonesdiferentes entre sus lados; se pasan estos rectngulos a otro grupo para que los clasifique por semejanza.GUA: SEMEJANZA DE TRINGULOSDostringulossonsemejantessitienensusngulosrespectivamentecongruentesysisusladoshomlogossonproporcionales. ( lados homlogos son los opuestos angulos iguales )Es decir :Ca b ABC ABC( tringulo ABC es semejante al tringulo ABC ) si y slo si :i) A = A; B = B; C = Cii)c'c=b'b=a'aEjemplo : Los tringulos siguientes son semejantes :En efecto :A = A; B = B; C = C2 =c'c=b'b=a'aPostulado : en el tringulo ABC :Si B' A' // AB , entonces :BCAacb6108C ABC AB345C' A'AC=C' B'BC=B' A'ABEjemplo :En el tringulo GAW , GA // QKAK = 4, KW= 8, GQ = 5Encuentra WQ =CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRINGULOSCRITERIOngulo - ngulo ( A - A )Sidosngulosdeuntringulosoncongruentesa dosngulosdeunsegundotringulo,entoncesestosdostringulos son semejantes.Es decir , en los tringulos ABC yDEF : A = D y B= EEntonces ABC DEFEjemplo :Segn la figura, si DE // AB , es ABC DCE ?Si DE // AB , entonces B = D ( alternos internos entre paralelas )y A = E ( alternos internos entre paralelas)por lo tanto : ABC DCECRITERIOlado - ngulo - lado( L .A .L )Dos tringulos son semejantes si tienenWAGK QB ACD EFABCD EBACdos lados proporcionales y congruentesel ngulo comprendido entre ellos.decir , en los tringulosABC yDEF ,Ejemplo : Son semejantes los tringulos ?como 35 = B = R ademas y8121015 entonces CRJ LBQCRITERIOlado - lado - lado ( L . L . L . )Dos tringulos son semejantes si tienen sustres lados respectivamente proporcionales.Es decir , en los tringulosABCyDEF :SEMEJANZA DE TRINGULOS1. Dos tringulos son semejantes cuando tienen dos ngulos respectivamente iguales.Ejemplo:E FDSi A = DyDEABDFAC Entonces ABC DEFCR J151235QBL35108SiDFACEFBCDEAB Entonces ABC DEFAB CDE F2. Dos tringulos que tienen un ngulo igual comprendido por lados proporcionales son semejantes.Ejemplo3. Dos tringulos que tiene sus tres lados proporcionales son semejantes.Ejemplo : son semejantes los tringulosTMQyCJX ?como10158121218 entonces ABC DEFE J E R C I C I O S1. Los lados de un tringulo miden 24 m., 18m. y 36 m., respectivamente. Si los lados de otro tringulo miden 12m.,16 m. y 24 m., respectivamente. Determina si son o no semejantes, justificando tu respuesta.2. Si los tringulos ABC y ABC tienen iguales los ngulos marcados del mismo modo, establece la proporcionalidadde sus lados.TQMJCX1812151081270 40 70 409 4 363627 1296 51812103. Los lados de un tringulo miden 36 m., 42 m. y 54 m., respectivamente. Si en un tringulo semejante a ste, ellado homlogo del primero mide 24 m., hallar los otros dos lados de este tringulo.4. La razn de semejanza del tringulo ABC con el tringulo ABC es 3:4. Si los lados del primero son 18, 21 y 30,determina los lados del segundo.5. Los lados de un tringulo rectngulo miden 6 m., 8 m. y 10 m. respectivamente. Cunto medirn los catetos deun tringulo semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m.?6. Si a//b, r y r secantes que se cortan en O. Demuestra que OAA OBB.PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS. TEOREMA DE THALES.1. Teorema de Thales.1.1. Segmentos proporcionales entre paralelas. [1]Observa que las rectas paralelas a, b, c y d cortan a las dos rectas secantes r y t.Considera los segmentos AB y CD de la recta r. Se observa que CD = 2 AB.Qu relacion hay entre los segmentos correspondientes AB y CD?Observa que CD es tambin doble de AB:CD = 2 AB.Observa tambin que con estos segmentos se puede escribir esta proporcin:CD / CD = (2 AB) / (2 AB) = AB / AB.Esta proporcionalidad existente entre todos los segmentos de la recta r y sus correspondientes de la recta t:AB / A'B' = AC / A'C' = BC / B'C'=CD / C'D'=k.Si varias paralelas son cortadas por dos rectas secantes, los segmentos que determinan en una de lassecantes son proporcionales a los segmentos que determinan en la otra secante.4. Construir por homotecia figuras semejantes. En los dibujos siguientes se proponen dos construcciones. En laprimera, O es el centro de homotecia, ABCD es la figura original y la razn de homotecia es 1/2TEOREMA DE THALES1. En la siguiente figura L1//L2a) PC = 12 cm., PB = 6cm., BD = 2 cm., AC = ?b) CD = 7 cm., PA = 2 cm., AC = 5 cm., AB = ?c) PC = 9 cm., CD = 6 cm., AB = 5 cm., BD = 1 cm. Determina PA, PB y PD.d) PC = 16 cm., BD = 6 cm., AB = 9 cm., PD = 24 cm. Determina CD y PA.e) PA = 18 cm., AC = 14 cm., PD = 16 cm., BD = ?f) BD = 2 cm., AB = 8 cm., PD = 12 cm., CD = ?g) PC = 20 cm., PA = 15 cm., PD = 40 cm., BD = ?h) PA = 3x, AB = 3x - 2, AC = x + 2, CD = 4x - 1. Determina PC y CD.i) AC = 4,5 cm., PA = 2 cm., PD = 3,6 cm., BD = ?2. En la siguiente figura L1//L2.a) a = 12 cm., b = 15 cm., c = 20 cm., d = ?b) a = (x - 1) cm., b = 4 cm., c = (2x - 4) cm., d = 7 cm. Determina las medidas de a y c.c) a = 14 cm., c = 10 cm., b + d = 36 cm. Determina la medida de b.d) a = 6 cm., a + c = 14 cm., b + d = 18 cm., d = ?3. En la siguiente figura L1//L2.a) BP = 6 cm., CP = 4 cm., CD = 3 cm., AB = ?b) AP = x + 13, BP = 10 cm., PC = 4 cm., PD = x + 4, AP = ?c) BP = 16 cm., CP = 14 cm., DP = 12 cm., AD = ?d) AB = 2 cm., AP = x cm., BP = (y - 3) cm., CP = (y + 2) cm., DP = (x+5) cm., CD = 4 cm. Determina las medidas de BC,AP, BP, CP, DP y AD.Si dos rectas son cortadas por tres o ms paralelas, los segmentos correspondientes son proporcionales.En el grficoa ab bab= ab c cbc bcACTIVIDAD 4Hallar x(ubicando los datos en el diagrama)ab 3 4,2 12 62bc 9 5,6 x+5 x-14ab x 2,5 20 50bc 15 x 60 32ESCALASACTIVIDAD 51. Una fotografa de ancho 6,5 cmy largo 10,5 cm se ampla a un ancho de 13 cm. Cul ser el largo? Cuntasveces se ampli el rea?2. Otra ampliacin de la fotografa anteriortiene un ancho de 9,75 cm. Cuntas veces se ampli? Cul es ellargo?3. Se quiere obtener una reduccin de la primera fotografa a su cuarta parte. Cul ser la raznde semejanza?cules sern el largo y el ancho?4. Este prisma es la maqueta de un contenedor, las longitudes (en cm) estn en proporcin 1:200. En quproporcin estar el volumen? Hallar las longitudes reales del contenedor. Hallar los volmenes de la maqueta ydel contenedor.5 2,53,5