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Universidad Alonso de Ojeda.Facultad de Ingeniería

GUIA DE ESTUDIO – ALGEBRA LINEAL.

UNIDAD I: SISTEMAS DE DOS ECUACIONES CON DOS INCOGNITAS

Ecuación lineal: Lineal es una igualdad donde hay una o más incógnitas o cantidades desconocidas.

Resolver una ecuación consiste en encontrar el valor o los valores de las incógnitas para los cuales se cumple la igualdad.

Cuando una ecuación lineal tiene una sola incógnita entonces tiene una sola solución y se resuelve despejando la incógnita o variable.

Ejemplo: Cuando una ecuación lineal tiene mas de una incógnita entonces tiene muchas soluciones (infinitas en la mayoría de los casos) porque al despejar la una variable esta queda en función de la otra. Para resolverla es necesario asignar el valor de un parámetro a una variable, luego las demás variables quedan en función del parámetro asignado.

Sistemas de ecuaciones lineales: Se le llama así cuando si tienen más de una ecuación con mas de una incógnita, en este caso se pueden dar tres posibles soluciones:

a) Que el sistema tenga una sola solución (compatible y determinado)

b) Que el sistema tenga mas de una solución (compatible indeterminado)

c) Que el sistema no tenga solución (incompatible o inconsistente)

Como una ecuación lineal representa una línea recta, las soluciones pueden interpretarse de la siguiente manera:

a) Compatible y determinado (rectas que se cortan)

b) Compatible indeterminado (rectas equivalentes o coincidentes)

c) Incompatible (rectas paralelas). Ver la gráfica 1

PROFESORA: Ing. Nelwi Báez P.e-mail:[email protected]

twitter:@nelwibaezwww.nelwibaez.wordpress.com



Gráfica 1

Existen varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales de 2 ecuaciones con 2 incógnitas, a continuación se describen los más utilizados:

En forma general un Sistema de ecuaciones lineales (SEL) de 2-ecuaciones con 2-incógnitas se puede escribir:

a11X +a12Y=b1

a21X +a22Y=b2

A los términos a11, a12, a21, a22, se les llama coeficientes y a los términos b1, b2, se les llama términos independientes.

PARA LOS SIGUIENTES EJEMPLOS SE USARÁN DOS HECHOS IMPORTANTES DEL ALGEBRA ELEMENTAL:

HECHO A: Si a=b y c=d, entonces a+c=b+d

HECHO B: Si a=b y c es cualquier numero real, entonces ca=cb.

El hecho A establece que si se suman dos ecuaciones, se obtiene una tercera ecuación correcta.

El hecho B establece que si se multiplican ambos lados de una ecuación por una constante, se obtiene una segunda ecuación válida. Se debe suponer que c≠0, ya que la ecuación 0=0 es correcta, no es muy útil.

1. Considere el sistema: X-Y =7

X+Y=5





De esta forma se encontró la solución para el sistema de ecuaciones, para el único par de números que lo hace. Por lo tanto el sistema tiene SOLUCIÓN ÚNICA.

2. Considere el sistema: X-Y =7

2X-2Y=14

Se puede apreciar que estas ecuaciones son equivalentes (Para ampliar información. Ver cuadro 1). Esto es, cualesquiera dos números X ó Y, que satisfacen la primera también satisfacen la segunda y viceversa. Lo cual aplicaría para el Hecho B. Para ver esto se multiplica la primera ecuación por 2: 2x-2y=14. Para despejar una de las incógnitas. (NOTA: Se supone que c es distinto a cero. Revisar lo establecido en el Hecho B)

Ó x-y=7 y= x-7. De esta manera el par ( X, X-7) es una solución al sistema

para cualquier número real X.

El sistema por lo tanto tiene

un número infinito de soluciones.

Probar las siguientes combinaciones: (7,0); (0,-7);

(8,1); (1,-6);

(3,-4); (-2,-9)

Cuadro1:



X-Y =7

X+Y=5

Si se suman las dos ecuaciones, se tiene por el

hecho A: 2x=12( ó x=6).

Entonces de la segunda ecuación: y= 5-x, sustituyendo

se tiene: 5-6= -1Solución: X= 6 , Y= -1

Valor de x Valor de Y



Los sistemas de ecuaciones equivalentes son los que tienen la misma solución, aunque tengan distinto número de ecuaciones.Obtenemos sistemas equivalentes por eliminación de ecuaciones dependientes. Si:

Todos los coeficientes son ceros. Dos filas son iguales. Una fila es proporcional a otra. Una fila es combinación lineal de otras.

Criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones1º Si a ambos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o se les resta una misma expresión, el sistema resultante es equivalente.2º Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de las ecuaciones de un sistema por un número distinto de cero, el sistema resultante es equivalente.3º Si sumamos o restamos a una ecuación de un sistema otra ecuación del mismo sistema, el sistema resultante es equivalente al dado.4º Sin en un sistema se sustituye una ecuación por otra que resulte de sumar las dos ecuaciones del sistema previamente multiplicadas o divididas por números no nulos, resulta otro sistema equivalente al primero.5º Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el orden de las incógnitas, resulta otro sistema equivalente.

3. Considere el siguiente sistema:X-Y =72X-2Y=13Al multiplicar la primera ecuación por 2, lo cual esta permitido por el Hecho B, se obtiene 2x-2y=14, lo que contradice la segunda ecuación. Entonces el sistema NO TIENE SOLUCIÓN.

Lo anterior se puede resumir en el siguiente Teorema:

El sistema: a11x + a12y = b1 A21x + a22y = b2 de dos ecuaciones con dos incógnitas X y Yno tiene solución, tiene solución única o tiene un número infinito de soluciones.Esto es:

Tiene una solución única si y sólo si a11 a22 - a12 a21 ≠0 No tiene solución o tiene un número infinito de soluciones si y

sólo si a11 a22 - a12 a21 =0

Ejercicios propuestos:

1. ¿Cuál de las afirmaciones es cierta para el siguiente sistema de ecuaciones?3X-2Y=84X+Y=7a) El sistema es inconsistenteb) La solución es (-1,2)





c) La solución se encuentra sobre la recta x=2d) Las ecuaciones son equivalentes.

2. ¿Cuál de las siguientes es una segunda ecuación para el sistemas cuya primera ecuación es: X-2Y=-5, si debe tener un número infinito de soluciones?a) 6Y=3X+15b) 6X-3Y=-15

c) Y=-12 X+

52d) 32 X=3Y+ 152

Resolución de sistemas de ecuaciones por el método de

igualación

1. Se despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones .

2. Se igualan las expresiones .

3 . Se resuelve la ecuación.

4. El valor obtenido se susti tuye en cualquiera de

las dos expresiones en las que aparecía

despejada la otra incógnita.

5.Los dos valores obtenidos const ituyen la

solución del s istema.

Ejemplo

1. Despejamos , la incógnita x de la primera y segunda

ecuación:





2. Igualamos ambas expresiones:

3. Resolvemos la ecuación:

4. Sust ituimos el valor de y , en una de las dos

expresiones en las que tenemos despejada la x :

5. Solución : X=2 y Y= 3


reducción

1. Se preparan las dos ecuaciones , mult iplicándolas

por los números que convenga.

2. La restamos, y desaparece una de las incógnitas .

3. Se resuelve la ecuación resultante .PROFESORA: Ing. Nelwi Báez P.e-mail:[email protected]




4. El valor obtenido se sust ituye en una de las ecuaciones

iniciales y se resuelve.

5. Los dos valores obtenidos consti tuyen la solución del

sistema.

Ejemplo

1. Lo más fáci l es suprimir la y , de este modo no

tendríamos que preparar las ecuaciones; pero vamos a

optar por suprimir la x , para que veamos mejor el

proceso.

2. Restamos y 3 .Resolvemos la ecuación:

4 .Sust ituimos el valor de y en la segunda ecuación

inicial :

5. Solución: X=2, Y=3






sustitución

1. Se despeja una incógnita en una de las

ecuaciones.

2. Se sust ituye la expresión de esta incógnita en la

otra ecuación, obteniendo una ecuación con una sola

incógnita .

3. El valor obtenido se susti tuye en la ecuación en la

que aparecía la incógnita despejada.

4. Los dos valores obtenidos const ituyen la solución

del sistema.

Ejemplo:

1. Despejamo s una de las incógnitas en una de las dos

ecuaciones. Elegimos la incógnita que tenga el coefic iente

más bajo .

2. Susti tuimos en la otra ecuación la variable x , por e l

valor anterior:





3. Resolvemos la ecuación obtenida:

4 Sust ituimos el valor obtenido en la variable despejada.

Solución: x=2, y=3.

Ejercicios propuestos: Resuelve por sust itución, igualación,

reducción:

a)2X+3Y=-1 b)3X+2Y=7

3X+4Y=0 4X-3Y=-2

METODOS PARA RESOLVER SISTEMAS DE ECUACIONES DE N INCOGNITAS POR N VARIABLES

Ecuación l ineal con n incógnita: Es cualquier

expresión del t ipo:a1x1 + a2x2 + a3x3 + . . . + anxn = b ,

donde a i , b pertenecen a los números reales. Los valores a i se

denominan coefic ientes , b término independiente y los valores x i

incógnitas.

Al igual que el s istema con 2 ecuaciones y dos incógnitas

puede que tenga una o varias soluciones o no tenga solución.

Para e l lo se uti l izarán los siguientes métodos:PROFESORA: Ing. Nelwi Báez P.e-mail:[email protected]




MÉTODO DE ELIMINACIÓN GAUSSIANA

MÉTODO DE GAUSS-JORDAN

MÉTODO DE ELIMINACIÓN GAUSSIANA

Ejemplo: 2X1+4X2+6X3=18 4X1+5X2+6X3=24 3X1+X2-2X3=4

Lo que buscamos son 3 números, que satisfagan a las tres ecuaciones. El método de solución será simplificar las ecuaciones, de tal modo que las soluciones se



Este algoritmo consiste en dos procesos:

a) Eliminación hacia adelante: Esta fase reduce el conjunto de ecuaciones a un

sistema triangular Superior:

Paso 1: Consiste en dividir la primera ecuación por el coeficiente de la primera

incógnita aii (coeficiente pivote). A este procedimiento se le conoce como

normalización.

Paso 2: Después se multiplica la ecuación normalizada por el primer coeficiente de la

segunda ecuación.

Paso 3: Nótese que el primer termina de la primera ecuación es idéntico al primer

termino de la segunda. Por lo tanto, se puede eliminar, la primera incógnita de la

segunda ecuación restando la primera a la segunda.

Paso 4: Repetir el paso 2 y 3 hasta eliminar la primera incógnita de todas las ecuaciones restantes.

Estos 4 pasos se repiten tomando como pivotes las ecuaciones restantes hasta

convertir el sistema en una matriz triangular superior.

b) Sustitución hacia atrás: Ya obtenido el sistema equivalente que es un sistema

triangular superior este es más manejable y se puede resolver despejando primero la

Xn y este valor utilizarlo para obtener despejando la segunda incógnita hasta obtener

el resultado completo del sistema.



puedan identificar con facilidad. Se comienza dividiendo la primera ecuación entre 2, obteniendo:

Se simplificará el sistema si multiplicamos por -4 ambos lados de la primera ecuación y sumando esta a la segunda. Entonces:

sumándolas resulta

La nueva ecuación se puede sustituir por cualquiera de las dos. Ahora tenemos:

Luego, la primera se multiplica por -3 y se le suma a la tercera, obteniendo:

Acto seguido, la segunda ecuación se divide entre -3.

Ahora se multiplica por 5 y se le suma a la tercera:





En este momento ya tenemos el valor de x3, ahora simplemente se procede a hacer la sustitución hacia atrás, y automáticamente se van obteniendo los valores de las otras incógnitas. Se obtendrá:

MÉT OD O D E GAU SS -JO RD A N

Ejemplo:

SISTEMAS CON SOLUCION UNICA

1) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss-Jordan



El método de Gauss-Jordan es una variación de la eliminación gaussiana. La principal diferencia consiste en que método de Gauss-

Jordan cuando se elimina una incógnita no solo se elimina de las ecuaciones siguientes si no de todas las otras ecuaciones. De esta

forma el paso de eliminación genera una matriz identidad en vez de una matriz triangular.



.

Solución. a) Escribimos la matriz aumentada del sistema.

Debemos llevar a dicha matriz a su forma escalonada reducida mediante operaciones elementales en los renglones de la matriz, para esto, escribiremos la matriz y a continuación una flecha. Encima de esta flecha indicaremos la(s) operación(es) que estamos efectuando para seguir el desarrollo.

Notación para las operaciones elementales en renglones :

icR nuevo renglón i de la matriz aumentada. jiRR↔ intercambio del renglón i con el renglón j.

jiRaR+ nuevo renglón j de la matriz aumentada.

b) Desarrollo para obtener la forma escalonada reducida.





2) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones.

a) La matriz aumentada del sistema es:

El primer elemento del primer renglón queremos que sea uno, una manera de obtenerlo es dividiendo entre 3, sin embargo, no es el único camino (ni el mejor) para obtenerlo, en este caso obtendremos −1, primero y después haremos cero los demás elementos de la primer columna, posteriormente obtendremos 1.

b) Desarrollo.





Para realizar en clase:

Ejercicios Propuestos:

BIBLIOGRAFIA:



3x +2y + z = 1

Solución: X=-4, Y= 6, z= 15x +3y +4z = 2

x + y - z = 1



[1]Grossman, Stanley. Algebra Lineal. Mc GrawHill. Quinta edición[2]http://cbi.azc.uam.mx/archivos/varios/ProblemarioW.pdf[3]http://www.vitutor.com/algebra/sistemas%20I/gauss.html[4]http://www.buenastareas.com/ensayos/Metodo-De-Gauss-Jordan/71079.html



http://www.vitutor.com/algebra/sistemas%20I/gauss.html

http://cbi.azc.uam.mx/archivos/varios/ProblemarioW.pdf

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