algebra vectorial guia 6 planos y rectas -2015

Ing. Angélica Ayala Piola Álgebra Vectorial

Preparado por Nery Medina Carreras de Ingeniería

GUÍA N° 6 - PLANOS Y RECTAS.

Ecuación del plano. Trazas de un plano. Distancia de un punto a un plano. Posiciones

relativas de dos planos. Ángulo diedro entre dos planos. Distancia de un punto a un plano.

Distancia entre planos paralelos. Haz de planos. Aplicaciones geométricas.

1. Sea el plano de ecuación . Calcular:

a) Un punto de que tenga abscisa 4 y ordenada 3.

b) Un punto de que tenga abscisa 1 y cota 2.

c) Un punto de de abscisa 0 y cuya ordenada es el doble de la cota.

2. En cada caso determinar la ecuación del plano:

a) Que pasa por el punto M (2, 1,-1) y cuyo vector normal es ⃗ .

b) Que pasa por los puntos M (3,-1,2) y N (4,-2,-1) y es perpendicular al vector ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗.

c) Paralelo a los vectores ⃗ y que pasa por el punto

.

d) Mediador al segmento de extremos A (5,-1,4) y B (-1,-7,1).

El Plano mediador de un segmento es el plano formado por los puntos que son

equidistantes a los extremos del segmento. También se puede definir como el plano

perpendicular al segmento que lo corta por su punto medio.

e) Contiene a los puntos P (3,-1,2), Q (4,-1,-1), R (2, 0, 2).

3. Determinar qué pares de ecuaciones dadas a continuación, determinan planos paralelos:

a) ;

b) ;

c) ;



4. Hallar los valores de de modo que los planos:

sean paralelos.

5. Determinar qué pares de ecuaciones dadas a continuación, determinan planos

perpendiculares:

a) ;

b) ;

c) ;

6. Hallar el valor de , tal que, los planos:

sean perpendiculares.

7. Escribir la ecuación del plano que pasa por el punto Q (3,4,1) y es perpendicular a los

planos ; .

8. Hallar la ecuación del plano paralelo al plano y pasa por el

origen.

9. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto (2,-1,1) y es perpendicular a los

planos: ;

10. Determinar los ángulos diedros formados por la intersección de los planos siguientes:

a) √ ; √

b) ;

c) ;

d) ;

11. Hallar el valor de para que el ángulo formado por los planos

y sea igual a 30º.



12. Escribir la ecuación del plano, según se indica:

a) Pasa por el punto (2,-3,3) y es paralelo al plano XOY.

b) Pasa por el punto (1,-2,4) y es paralelo al plano XOZ.

c) Pasa por el punto (-5,2,-1) y es paralelo al plano YOZ.

13. Hallar los puntos de intersección del plano con los ejes

coordenados.

14. Escribir la ecuación segmentaria del plano que pasa por el punto M (6,-10,1) y se

intersecta con el eje de abscisas en un punto (0,0,-3) y con el eje de cotas en (0,0,2).

15. Un plano pasa por los puntos A (-1,4,1), B (13,2,-10), intersecta a los ejes de abscisas y

de cotas en segmentos de igual longitud y no nulos (partiendo del origen de

coordenadas). Hallar la ecuación de dicho plano.

16. Escribir la ecuación del plano paralelo al vector ⃗⃗⃗ y que intersecta a los

ejes OX y OY en los puntos (3,0,0) y (0,-2,0), respectivamente.

17. El plano intersecta a los ejes coordenados en los puntos

. Calcular:

a) Los valores de .

b) El área del triángulo ABC.

18. Calcular el volumen de la pirámide limitada por el plano y por

los planos coordenados.

19. Si son escalares no nulos. Demuestre que el tetraedro formado por los planos

coordenados y el plano tiene un volumen abc

dV

3

6

1 .

20. Escribir la ecuación del plano que pasa por el punto A (3,1,-1), es perpendicular al

plano y cuya cota al origen es igual a .

21. Calcular la distancia del punto (-1,1,-2) al plano que pasa por los puntos (1,-1,1),

(-2,1,3) y (4,-5,-2).



22. Dos caras de un cubo se encuentran contenidas en los planos ;

. Calcular el volumen del cubo.

23. Hallar en el eje OX un punto equidistante a los planos ,

24. Escribir las ecuaciones de los planos paralelos al plano que

distan 5 unidades del origen.

25. Calcular la distancia entre los planos paralelos:

a) ;

b) ;

26. Determinar la condición que cumplen todos los puntos del plano

que equidistan de los puntos A (3,0,-2) y B (1,2,0).

27. Sean los planos y .

a) Demuestre que y son planos paralelos.

b) Calcule la distancia entre los planos paralelos.

28. Sean los puntos A (0,0,1) ; B (1,0,-1) ; C (0,1,2) y D (1,2,0).

a) Halle la ecuación del plano π determinado por los puntos A, B y C.

b) Demuestre que los puntos A, B, C y D no son coplanares.

c) Calcule la distancia del punto D al plano π.

29. Hallar en el haz de planos de ecuación: 0123332 zyxzyx un

plano que pase por el punto (1,-2,3).

30. Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta de intersección de los planos

, y es paralelo al vector )2,1,2(

u .



31. Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta

02523

0325:

zyx

zyxr y es

perpendicular al plano .

32. Hallar la ecuación del plano que pertenece al haz de planos de ecuación

01345615810 zyxzyx , cuya distancia al punto (3,-2,-3) es igual

a 7 unidades.

33. Averiguar si el plano pertenece al haz de planos de ecuación

.

34. Hallar los valores de m y n , tales que, el plano pertenezca al

haz de planos, cuya ecuación es:

Respuestas:

1.

a) (4,3,-2) b) (1,9,2) c) (0,-2,-1)

2.

a) b) c)

d) e)

3. Los pares a) y c) son planos paralelos.

4. 10;6

5. Los pares a) y b) son planos perpendiculares.

6.

2

1m

7.



8.

9.

10.

a) 60° y 120° b) 45° y 135° c) 90° d)

15

2arccos;

15

2arccos

11. 71 kok

12.

a) b) c)

13.(0,0,-4) ; (0,3,0) ;

2

1,0,0

14.

1243

zyx

15. ;

16.

17.

a) ; b) Atriángulo = √

18. Vtetraedro = 12



20.

21. d (P0,π) = 4

22. Vcubo = 8

23. (2,0,0) ;

0,0,

43

11

24. ;

25.

a) 6

3, d b)

53

11, d

26.

27. b) 142

1, 21 d

28.

a) c)

2

14, Dd

29.

30.

31. Satisfacen a la condición del ejercicio, todos los planos del haz dado. La ecuación:

00 , tiene infinitas soluciones.

32. ;



33. No pertenece al haz de planos dado.

34. 11;5 nm



Ecuación de la recta. Posiciones relativas de dos rectas en el espacio. Ángulos entre dos

rectas concurrentes. Distancia de un punto a una recta. Distancia entre rectas paralelas.

Distancia entre rectas alabeadas. Aplicaciones geométricas.

1. Averiguar si los puntos M (5,-5,6) y N (4,-1,12) pertenecen a la recta L de ecuación

2

2

2

1

1

3:

zyxL .

2. Determinar un punto de la recta

21

3

2

:

z

y

x

L que tenga abscisa 4.

3. Hallar los valores de p y q para que el punto qpQ ,,3 pertenezca a la recta

4

3

21

:

z

y

x

r

4. Escribir las ecuaciones simétricas (siempre que sea posible) de las rectas siguientes:

a)

04523

0432

zyx

zyx

b)

05232

05

zyx

zyx

c)

0842

0132

zyx

zyx

5. Escribir las ecuaciones paramétricas de las rectas siguientes:

a)

01253

0432

zyx

zyx

b)

012

062

zyx

zyx

6. Escribir las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos dados, en cada

caso:

a) A (3,-1,2) y B (2,1,1) b) C (1,1,-2) y D (3,-1,0) c) E (0,0,1) y F (0,1,-2)

7. Dados los vértices de un triángulo: A (3,6,-7); B (-5,2,3) y C (-5,14,-3); hallar las

ecuaciones paramétricas de la mediana trazada desde el vértice C.



8. Sea el triángulo ABC de vértices: A (3,-1,-1), B (1,2,-7) y C (-5,14,-3). Escribir la

ecuación simétrica de la bisectriz del ángulo interno del vértice B.

9. Dados los vértices de un triángulo A (2,-1,-3), B (3,1,-3) y C (5,1,-7). Hallar la ecuación

simétrica de la recta que contiene a la bisectriz del ángulo externo del vértice A.

10. En cada caso y siempre que sea posible, hallar las ecuaciones simétricas de la recta que

pasa por el punto M (2,0,-3) y es paralela:

a) Al vector ⃗⃗⃗

b) A la recta de ecuación: 1

1

2

2

5

1

zyx

c) Al eje OX.

d) Al eje OY.

e) Al eje OZ.

11. Calcular el valor de de tal manera que la recta

4

3

3

:

z

y

x

r

sea paralela a la recta

6;

1

6

5: z

yxs

12. Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta L3 que pasa por el punto (3,-3,4) y es

perpendicular a las rectas 5

2

1

3

2

2:1

zyxL

y

3

3

2

72

1

3:2

zyxL

13. La recta

1

3:1

xz

axyL es perpendicular a la recta L2 que pasa por los puntos

aaByaA 2,2,2,0,1 . Calcular los valores de a.

14. Sea el triángulo de vértices A (1,-2,-4), B (3,1,-3) y C (5,1,-7). Escribir las ecuaciones

paramétricas de la altura bajada desde el vértice B al lado opuesto.

15. Calcular las coordenadas de un punto C de la recta

232

32:

zyx

zyxr de tal manera

que forme un triángulo ABC, recto en A con los puntos A (1,5,6) y B (7,6,6).



16. Un triángulo tiene vértices en los puntos A (0,0,0) ; B (1,1,1) y el tercer vértice está

situado en la recta

1

2:

z

yxr . Calcular las coordenadas del tercer vértice, sabiendo que

el área del triángulo es2

2.

17. Calcular el ángulo agudo formado por la intersección de las rectas:

2

5

1

32:;

21

2

1

3:

zyxs

zyxr

18. Calcular el coseno del ángulo obtuso formado por la intersección de las rectas:

01922

0266:;

0422

054:

zyx

zyxs

zyx

zyxr

19. Determinar el valor de b, tal que, el ángulo entre la recta

32

5:

xz

bxyL y el eje OY sea

igual a 30°.

20. Estudiar la posición relativa de los siguientes pares de rectas dados, en cada caso y

hallar el punto de intersección, cuando sea posible. (Lo que es equivalente al siguiente

enunciado: Averiguar si los siguientes pares de rectas son paralelas, coincidentes, secantes

o concurrentes o alabeadas).

a)

3

2

2

3

1

2:;

4

1

2

2

3

1:

zyxs

zyxr

b)

2

5

1

4

4

4:;

1

2

2

1

1

1:

zyxs

zyxr

c) 3

11

2:

zy

xr

;

013

012:

zy

yxs

d) 432

1:

zyxr

;

84

63

43

:

z

y

x

s



21. Hallar el valor de m para el cual las rectas r y s son concurrentes:

2;

2

3

2

12:;: z

yxsmzyxr

Para dicho valor de m, hallar el punto de intersección de r y s.

22. Sean las rectas

042

0142:;

033

063: 21

zy

aayxL

zax

yxL

a) Hallar el valor de a para el cual las rectas son coplanares. Para dicho valor de a, escribir

la ecuación del plano que contiene a L1 y L2.

b) Determina si es que existen valores de a para los cuales L1 y L2 son paralelas y los

valores que a para los que L1 y L2 son alabeadas.

23. Hallar las ecuaciones simétricas de la recta s que pasa por el punto A (3,-2,-4); es

perpendicular al vector ⃗ ; y corta a la recta 2

1

2

4

3

2:

zyxr

24. Determinar las ecuaciones paramétricas de la recta L1 que pasa por el punto P1 (2,0,1) y

corta a las rectas

7

315

7

:;

22

5

1

: 32

z

y

x

L

z

y

x

L

25. Calcular el valor de k para el que existe una recta s que pasa por el punto

kkk ,1,1P , corta a la recta

1

2:

z

yxr y es paralela a la recta

0

0:'

y

zxr

26. Hallar los valores de a y b para que las rectas

0

02:

zax

yxr

;

3

3:

zy

byxs

se corten

ortogonalmente.

Para los valores de a y b hallados, calcular las coordenadas del punto de intersección de r y

s.



27. Determinar las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto medio del

segmento de extremos A (2,4,0); B (0,0,-2) y forma un ángulo de 60° al intersectarse con la

recta que pasa por los puntos Q (3,3,3) y R (-1,3,3).

28. Calcular la distancia del punto P (2,3,-1) a las rectas siguientes:

a) 2

25

4

2

3

5

zyx b)

413

2

1

z

y

x

c)

017223

0322

zyx

zyx

29. En cada uno de los siguientes casos, calcular la distancia entre los pares de rectas:

a) 1

2

2

5

6

21:;

2

3

4

4

3

7: 21

zyxL

zyxL

b)

55

35

45

:;

21

4

24

: 43

z

y

x

L

z

y

x

L

c)

1

3

1

5

3

7:;

022

01022: 65

zyxL

zyx

zyxL

d)

2

2

69

:;2

1

2

5

3

5: 87

z

y

x

Lzyx

L

30. Hallar un punto de la recta

21

3:

z

y

x

r cuya distancia al punto Q (1,0,2) es igual a √

31. Determinar un punto D de la recta 22

:z

yx

L tal que forme con los puntos A (0,0,0);

B (1,0,0) y C (0,1,-1) un tetraedro de volumen 1.



32. Un cuadrado tiene uno de sus lados situados en la recta

022

0223:

zyx

zyxr y el otro

lado se encuentra en la recta 2

5

1

1

2

3:

zyxs . Calcular el área del cuadrado.

33. Sean las rectas 14

6

2

8

13:

1

62

21

: 21

zyx

Ly

z

y

x

L

que contienen a las aristas

de un cubo.

a) Estudiar su posición relativa.

b) Calcular el volumen del cubo.

34. Calcular la distancia del punto mmm ,,M a la recta m

mz

m

y

m

mxL

: siendo

35. Sea la recta

073

05:

zyx

yxr . Hallar el punto R de la recta r que equidiste de los

puntos P (1,0,-1) y Q (2,1,1)

Respuestas:

1. El punto M L.

2. (4.1.5)

3. 5;2 qp

4.

a) 47

1

2

2 zyx



b) 13

1

12

1

5

zyx

c) 12

2

1

3 zyx

5.

a)

1

1

1

192

7

1

z

y

x

b)

2

2

2

51

32

1

z

y

x

6.

a)

1

21

2

z

y

x

b)

z

y

x

1

3

c)

31

0

z

y

x

7.

2

117

54

z

y

x



8. 8

7

3

2

1

1

zyx

9. 7

3

1

1

6

2

zyx

10.

a) 5

3

32

2

zyx

b) 1

3

25

2

zyx

c) Como dos componentes del vector de dirección son nulas, escribimos en la forma

paramétrica:

3

0

2 1

z

y

x

o en la forma reducida:

3

0

z

y

d) Análogamente al punto c), escribimos:

3

2

2

z

y

x

o

3

2

z

x

e) Análogamente al punto c), escribimos:

33

0

2

z

y

x

o

0

2

y

x

11.

2

12.

34

3

83

:3

z

y

x

L



13.

2

5;1 aa

14.

193

151

33

z

y

x

15. C (2,-1,1).

16. C (0,0,1) o C (2,1,1)

17. 60°

18. 21

4180cos siendo el ángulo agudo formado por las rectas r y s.

19.

15b

20.

a) r y s son rectas alabeadas.

b) r y s son rectas concurrentes. Se intersectan en el punto (0,3,3).

c) r y s son rectas paralelas.

d) r y s son rectas coincidentes.

21. m = 3; Se intersectan en el punto (1,-1,2).

22.

a) a = 1 . La ecuación del plano que contiene a L1 y L2 es

b) No existe a R tal que las rectas sean paralelas. Las rectas son alabeadas, si a ≠ 1.



23. 9

4

6

2

5

3:

zyxs

24.

35

36:1

z

y

x

L

25. 1k

26. 3;7 ba

Las rectas se intersectan en el punto

5

21,

5

6,

5

3.

27.

41

23

171

:;

41

23

171

: 21

z

y

x

L

z

y

x

L

28.

a) 21, rPd

b) 6, sPd

c)

15, tPd

29.

a) 13, 21 LLd

b)

3, 43 LLd



c)

15, 65 LLd

d) 7, 87 LLd

30. (1,2,3)

31. D (4,2,4) o D (-4,-2,-4)

32. A cuadrado = 10

33.

a) L1 y L2 son rectas alabeadas.

b) V cubo = 8

34.

2

3M, Ld

35.

1,

2

1,

2

9R



Posiciones relativas entre una recta y un plano. Ángulos entre una recta y un plano.

Distancia de una recta a un plano. Aplicaciones geométricas.

1. Demostrar que la recta

45

41

32

:

z

y

x

r es paralela al plano

2. Demostrar que la recta

012

05235:

zyx

zyxs está contenida en el plano:

3. Hallar el punto de intersección de la recta y el plano dados, en cada caso:

a)

0132:;62

11:

zyx

zyxr

b)

0622:;2

3

3

1

2

2:

zyx

zyxs

c)

0932:;3

3232:

zyx

zyxt

4. Hallar las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por el punto M (2,-4,-1) y por el

punto medio del segmento de la recta

05233

026543

zyx

zyx contenido entre los planos:

5. Escribir las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por el punto A (2,-3,-5) y es

perpendicular al plano

6. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto B (1,-2,1) y es perpendicular a la recta

02

032

zyx

zyx



7. Hallar el valor de c tal que la recta

01434

0323:

zyx

zyxr sea paralela al plano

8. ¿Para qué valores de a y d la recta

3

41

43

:

z

y

x

L

está contenida en el plano

?

9. El plano es perpendicular a la recta

22

35

23

:

z

y

x

r .

Hallar los valores de a y b.

10. Calcular los valores de a y c, de tal manera que la recta 3

5

4

12:

zy

a

xs sea

perpendicular al plano .

11. Hallar la proyección del punto P (2,-1,3) sobre la recta

22

57

3

z

y

x

12. Hallar las coordenadas del punto Q que es simétrico al punto P (2,-5,7) con respecto a la

recta

0322

0124

zyx

zyx

13. Hallar la proyección del punto P (5,2,-1) sobre el plano .

14. Hallar el punto Q que es simétrico al punto P (1,3,-4) con respecto al plano



15. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto D (1,2,-3) y es paralelo a las rectas

1

3

2

2

3

5:;

3

7

3

1

2

1: 21

zyxr

zyxr


23

32

21

z

y

x

y por el punto

M (2,-2,1).

17. Demostrar que las rectas

21

22

37

:;4

5

3

2

2

1: 21

z

y

x

Lzyx

L se encuentran

en un mismo plano y hallar la ecuación del plano que las contiene.

18. Hallar la ecuación del plano que pasa por las rectas paralelas

2

3

2

2

3

1:;

2

3

2

1

3

2: 21

zyxs

zyxs


2

23

31

:1

z

y

x

t

y es paralelo a la recta

0322

0124:2

zyx

zyxt

20. Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta 2

2

3

2

2

1

zyx

y es

perpendicular al plano

21. Escribir las ecuaciones paramétricas de la recta r2 que pasa por el punto R (0,2,-1), es

paralela al plano y se corta con la recta

1;

3

5

4

4:1 y

zxr .



22. Hallar la ecuación del plano que pasa:

a) Por el eje OX y por el punto A (4,-1,2).

b) Por los puntos B (3,-2,5) y C (2,3,1) y es paralelo al eje OZ.

23. Hallar los puntos de intersección de la recta

01075

032:

zyx

zyxL con los planos

coordenados.

24. Hallar la ecuación del plano que pasa por recta-intersección de los planos:

y es paralelo:

a) Al eje OX.

b) Al eje OY.

c) Al eje OZ.

25. Calcular, en cada caso, el ángulo que forman la recta y el plano dados:

a) 013:;3

2

7

3:

zyx

zy

xr

b)

0132:;2

5

3

21:

zyx

zyxs

c)

017:;32

1:

zxzy

xt



26. Escribir la ecuación de plano que pasa por el punto A (3,1,-2) y forma ángulos agudos

iguales con la recta

2

4

1

:

z

y

x

r

y los ejes coordenados OX y OY.

27. Calcular la distancia de la recta al plano dados, en cada caso:

a)

0343:;

71

3

42

:

yx

z

y

x

r

b)

02:;1

12

2

1:

zyx

zy

xs

c)

012:;4

3:

yx

y

xt

28. Sea la recta r de ecuación zy

x

33

21 y sea el plano de ecuación

. Calcular el área del triángulo ABC, siendo A el punto de intersección de la recta

r y el plano ; B el punto (2,1,2) de la recta r y C la proyección ortogonal del punto B

sobre el plano .

29. Determinar todos los puntos de la recta

0;2

31: x

zys

que equidistan del

plano y del plano .

30. Sea el tetraedro ABCD de vértices A (4,0,0) ; B (0,3,0); C (0,0,2) ; D (3,2,4). Hallar:

a) La longitud de la arista AB.

b) La ecuación general de la cara ABC.



c) Las ecuaciones simétricas de la arista AD.

d) El ángulo que forman las aristas AC y AB.

e) La ecuación del plano que pasa por la arista AB y es perpendicular a la cara ABC.

f) Las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por el vértice D y es perpendicular a la

cara ABC.

g) La longitud de la altura relativa al vértice D.

h) El ángulo formado por las caras ABC y ACD.

i) El ángulo que forman la arista AD y la cara ABC.

j) El volumen del tetraedro ABCD.

31. Hallar las ecuaciones de los planos perpendiculares a la recta

12250

100

510

:

z

y

x

r que se

encuentan a distancia 2 del punto P (2,-7,1).

32. Determinar todos los puntos de la recta 2

2

3

1

2

1:

zyxr que equidistan de los

planos



Respuestas:

3.

a) (2,-3,6)

b) La recta está contenida en el plano. Todo punto de s pertenece a β.

c) (1,2,3)

4. 3

1

5

4

2

2

zyx

5. 5

5

3

3

6

2

zyx

6.

7.

8.

9. 2

9;3 ba

10. 2

3;6 ca

11. (3,-2,4)

12. Q (2,-3,2)

13. (1,4,-7)



14. Q (-5,1,0)

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22

2

4

:2

z

y

x

r

22.

a)

b)

23. (2,1,0) ; (0,2,-1) ;

3

1,0,

3

4

24.

a)



b)

c)

25.

a)

b)

c)

26. (√ ) ( √ )

27.

a)

b)

3

2, sd

c)

2

5, td

28. A triángulo =9

616

29.

3

5,

3

4,0P;9,4,0P

30.

a) ‖ ⃗⃗⃗⃗ ⃗‖

b)

c) 42

4

zy

x



d)

25

58arccos

e)

f) 6

4

4

2

3

3

zyx

g) 61

29h

h)

6961

2arccos

i)

2161

29arcsen

j) Vtetraedro3

29

31.

32.

10

27,

20

41,

10

3B;

8

5,

16

17,

8

19A

algebra vectorial guia 6 planos y rectas -2015

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