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CALCULO EN VARIAS VARIABLES.

FUNCIONES CON VALORES REALES.

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DIFERENCIACION Definición de derivada parcial:

hehxf

hxxxfxhxxf

xxxf

pordefinidasestánxxxpuntoelencualeslasiablesndereales

valoresconfuncioneslassoniableésimansegundaprimeralaarespectoconfdePARCIALES

DERIVADASlasxfxfEntoncesRRUfyabiertoconjuntounRUSean

j

h

njnj

hnj

n

n

nn

)(lim

),..,..,,(),....,,...,(lim),...,(

:),....(,,var,

var,......,,

,/,....,/.:

0

11

01

1

1

+

=−+

=∂∂

=−

∂∂∂∂→⊂⊂

→

→

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DERIVADA PARCIAL DE UNA FUNCION DE DOS VARIABLES. INTERPRETACION GEOMÉTRICA

),(),( 0000 yxfyxxf

x=∂∂ ),(),( 0000 yxfyx

yf

y=∂∂

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DERIVADAS PARCIALES PARA UNA FUNCION DE DOS VARIABLES.

MARZO 2005 RV> 5

DIFERENCIACION Una definición de diferenciabilidad que solo requiera de

la existencia de derivadas parciales es insuficiente. No se cumplirían resultados como la regla de la cadena para varias variables. “donde la composición de funciones diferenciables en un punto es diferenciable” ver ejemplo.

En cálculo 1, definimos la diferenciabilidad en un punto si: “ existe una funcion afin que sea una buena aproximación de la función”

ver demostración

MARZO 2005 RV> 6

DIFERENCIACION DE FUNCIONES REALES DE DOS VARIABLES..

Definición: Sea f:R2R. Decimos que f es diferenciable en (x0,y0) si las derivadas parciales respecto a x e y existen en dicho punto y si:

Cuando (x,y)(x0,y0).

0),(),(

)](,([)(],([),(),(

00

00000000 →−

−−−−−yxyx

yyyxfxxyxfyxfyxf yx

MARZO 2005 RV> 7

Plano tangente a la grafica de una función real de dos variables.Definición: Sea f:R2R diferenciable en (x0,y0). El

plano en R3 definido mediante la ecuación

Se llama plano tangente a la gráfica de f en (x0,y0).

)())(,(),( 000000 xxfxxyxfyxfz yx −+−+=

MARZO 2005 RV> 8

DIFERENCIACION DE FUNCIONES DE Rn EN Rm

Definición: Sea U un conjunto abierto en Rn y f:U⊂RnRm una función dada. Decimos que f es direrenciable en x0 de U, si existen las derivadas parciales de f en x0 y si

Donde T=Df(x0) es la matriz cuyos elementos son las derivadas parciales de cada función coordenada respecto a las variables, valuadas en x0 y T (x-x0) es un producto matricial. Llamamos a T

derivada de f en x0.

0()()(

lim0

00

0

=−

−−−→ xx

xxTxfxfxx

MARZO 2005 RV> 9

MATRIZ DERIVADA DE FUNCIONES DE Rn EN Rm

Para f:Rn en Rm, la derivada es la matriz mxn dada por:

Caso especial m=1. 0

.....

..........

.....

)(

1

1

1

1

0

xn

mm

n

ff

xf

xf

xf

xDf

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

)(......)( 01

0 xxf

xfxDf

n

∂∂

∂∂=

GRADIENTE DE f. : f

MARZO 2005 RV> 10

DIFERENCIABILIDAD Y CONTINUIDAD.Teorema: Sea f:U⊂RnRm diferenciable en x0 de U.

Entonces f es continua en x0. Teorema clave: Sea f:U⊂RnRm . Supongamos que

existen todas las derivadas parciales de f y son continuas en una vecindad de punto x de U. Entonces f es diferenciable.

Parciales continuasdiferenciable existen las parciales.

MARZO 2005 RV> 11

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DIFERENCIABLES.

Regla del múltiplo constante. Sea f:U⊂RnRm diferenciable en x0 y c un número real. Entonces h(x) = c f(x) es diferenciable en x0 y D h(x) = c D f(x)

Regla de la suma: sean f:U⊂RnRm y g:U⊂RnRm

diferenciables en x0. Entonces h(x)= f(x)+g(x) es diferenciable en x0 y Dh(x)= Df(x)+ Dg(x).

Regla del producto:Sean f:U⊂RnR y g:U⊂RnR diferenciables en x0 y sea h(x)=g(x) f(x). Entonces h:U⊂ RnR es diferenciable en x0 y Dh(x0)=f(x0) Dg(x0) + g(x0) Df(x0).

Regla del cociente: las mismas hipótesis de la regla anterior, sea h(x)=f(x)/g(x) y suponer que g nunca es cero en U. Entonces h es diferenciable en x0 y Dh(x0)= [g(x0) D f(x0) – f(x0) Dg(x0)] / [g(x0)]2

MARZO 2005 RV> 12

REGLA DE LA CADENA

Teorema: Sean U de Rn y V de Rm abiertos. Sean g:U⊂Rn Rm y f:V⊂RnRm funciones dadas tales que g manda a U en V, de modo que está definida fog. Suponer que g es diferenciable en x0 y f es diferenciable en y0=g(x0). Entonces fog es diferenciable en x0 y D(fog)(x0) = Df(y0) Dg(x0).

El lado derecho es un producto de matrices.

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CASOS ESPECIALES DE LA REGLA DE LA CADENA.1. Suponer que c:U RR3 y f: R3R y c(U) R3 . Sea

h(t)= f(c(t)) = f(x(t),y(t),z(t)), donde c(t)=(x(t),y(t),z(t)). Entonces

⊂

)´())((

,,,,)(

tctcfth

esestodtdz

dtdy

dtdx

zf

yf

xf

dtdz

zf

dtdy

yf

dtdx

xf

th

ttc

•∇=∂∂

•

∂∂

∂∂

∂∂

=∂∂+

∂∂+

∂∂=

∂∂

⊂

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CASOS ESPECIALES DE LA REGLA DE LA CADENA.2. Sean f: R3R y g:R3R3 y suponer que se dan las

condiciones para componer. Anotar g(x,y,z)= (u(x,y,z), v(x,y,z), w(x,y,z)) y definir h:R3R, mediante:h(x,y,z)= ( u(x,y,z),v(x,y,z),w(x,y,z)). Entonces:

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂=

∂∂

∂∂

∂∂

zw

yw

xw

zv

yv

xv

zu

yu

xu

wf

vf

uf

zh

yh

xh

MARZO 2005 RV> 15

GRADIENTES Y DERIVADAS DIRECCIONALES.Definición: Si f: R3R, la derivada direccional de f en x

en la dirección del vector v está dada por (si existe) :

vthdondeh

xfvtxf

tambiénovtxft

h

t

=−+

+∂∂

→

=

)()(lim

|)(

0

0

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GRADIENTES Y DERIVADAS DIRECCIONALESTeorema: Si f :R3R es diferenciable, entonces existen

todas las derivadas direccionales. La derivada direccional en x en la dirección de v está dada por

),,(

)()()(

)()()(

321

321

vvvvdonde

vxzfvx

yfvx

xf

vxfvxgradfvxDf

=

∂∂+

∂∂+

∂∂

=•∇=•=

Ver demostracion

MARZO 2005 RV> 17

DERIVADA DIRECCIONAL Las razones por las que habitualmente en la derivada

direccional se elije v como un vector unitario son: Si k es real y positivo , entonces kv es un vector que

apunta en la misma dirección que v, pero puede ser mas largo o mas corto. Por lo que la derivada en la dirección kv es: “grad f(x). (k v) = k grad f(x) . v” por lo que la derivada no depende solo de x y una dirección. Para resolver este problema podemos requerir que v sea de longitud uno.

La segunda razón es que podemos interpretar “grad f(x) . v”como la tasa de cambio de f en la dirección de v , pues cuando ||v||=1,el punto x + t v se mueve una distancia s cuando t se incrementa en s; así, realmente hemos escogido una escala en L.Note que no es necesario usar líneas rectas para calcular la tasa

de cambio de f a lo largo de una trayectoria r(t): por la regla de la cadena :

)´())(())(( trtrftrf

t •∇=

∂∂

MARZO 2005 RV> 18

DERIVADA DIRECCIONAL. Teorema: Suponer que grad f(x) ≠ 0 . Entonces grad

f(x) apunta en la dirección a lo largo de la cual f crece más rápido. Ver demostración

Teorema: (gradiente y superficie de nivel): Sean f:R3

R una función de C1 y (x0,y0,z0) un punto en la superficie de nivel S definida por f(x,y,z)=k (cte). Entonces grad f(x0,y0,z0) es normal a la superficie de nivel en el sentido siguiente: si v es el vector tangente en t=0 de una trayectoria r(t) en S con r(0)= (x0 ,y0,z0), entonces (grad f(x0)). V= 0

ver demostración

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Gradiente y tangente. Definición: Sea S la superficie formada por los puntos

(x,y,z) tales que f(x,y,z)=k (cte). El plano tangente de S en un punto (x0,y0,z0) de S está definido por la ecuación:

grad f(x0,y0,z0) .(x-x0, y-y0, z-z0) = 0 ; si grad f(x0) ≠ 0. Esto es, el plano tangente es el conjunto de puntos (x,y,z) que satisfacen la ecuación anterior. Si trabajamos con curvas de nivel f(x,y)=k hallamos la

recta tangente grad f(x0,y0) .(x-x0,y-y0)= 0

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DERIVADAS PARCIALES ITERADAS.

Sea f: R3R de clase C1. Esto significa que existen las derivadas parciales y son continuas, y la existencia de derivadas parciales continuas implica que f es diferenciable. Si estas derivadas, a su vez, tienen derivadas parciales continuas decimos que f es de clase C2 y asi sucesivamente.

Teorema: Si f(x,y) es de C2 (es dos veces continuamente diferenciable), entonces las derivadas mixtas son iguales; esto es:

xyf

yxf

∂∂∂=

∂∂∂ 22

MARZO 2005 RV> 21

f es de clase si existen lasderivadas parcialessegundas y son continuasen el abierto D.

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR.Derivadas parciales de segundo orden:

f es de clase si existen lasderivadas parcialesprimeras y son continuasen el abierto D.

f es de clase si existen lasderivadas parcialesde orden r y son continuasen el abierto D.

MARZO 2005 RV> 22

TEOREMA DE SCHWARZ-BONNET.Si f es de clase entonces las derivadas iteradasson iguales.

CONSECUENCIA: Si f es de clase entonces las derivadas iteradasde orden r no dependen del orden de las variables respecto a las que se deriva.

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Sea:

LEMASi f es de clase entonces:

Dem.

MARZO 2005 RV> 24

MARZO 2005 RV> 25

Dem. del Teorema de Schwarz-Bonnet:

Lema

Lema

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Sea donde D es abierto. Sean dospuntos a y X del abierto D.

El vector incremento es

DEFINICIÓN. El diferencial primero de f en el punto a es

MARZO 2005 RV> 27

DEFINICIÓN: Si f es de clase se define eldiferencial segundo de f en el punto a:

donde se toma constante al calcular eldiferencial del diferencial primero.

El diferencial segundo de f en el punto a resulta

MARZO 2005 RV> 28

DEFINICIÓN: Si f es de clase se define eldiferencial tercero de f en el punto a:

donde se toma constante al calcular eldiferencial del diferencial segundo.

El diferencial tercero de f en el punto a resulta

MARZO 2005 RV> 29

DEFINICIÓN: Si f es de clase se define eldiferencial de orden r de f en el punto a:

donde se toma constante al calcular eldiferencial del diferencial de orden r-1.

El diferencial de orden r de f en el punto a resulta

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Si f(x,y) es una función real de dos variables en un abierto D:Si f es diferenciable, el diferencial primero de f en el punto a es:

Si f es de clase , el diferencial segundo de f en el punto a es:

NOTACIÓN:

MARZO 2005 RV> 31

Si f es de clase , el diferencial tercero de fen el punto a es

NOTACIÓN:

Si f es de clase , el diferencial cuarto de fen el punto a es

NOTACIÓN:

MARZO 2005 RV> 32

Si f es de clase , el diferencial de orden r de f en el punto a es

donde los coeficientes son los números combinatorios queresultan de la fórmula de Newton para potencia n-ésimade un binomio.

MARZO 2005 RV> 33

TRIÁNGULO DE PASCAL Números combinatorios.(Coeficientes del desarrollo del binomio de Newton)