05 funciones de varias variables

MATEMÁTICA III. CÁLCULO VECTORIAL PARA

ESTUDIANTES DE INGENIERÍA,

CIENCIA Y TECNOLOGÍA.

CAPÍTULO 5: FUNCIONES DE VARIAS

VARIABLES.

Ing. Willians Medina.

Maturín, Julio de 2015.

Capítulo 5. Funciones de varias variables.

Matemática III. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 1

PRESENTACIÓN.

La presente es una Guía de Ejercicios de Matemática III (Cálculo Vectorial) para

estudiantes de Ingeniería, Ciencia y Tecnología dictada en las carreras de Ingeniería

Ambiental, Civil, de Computación, Eléctrica, Electrónica, Industrial, Mecánica, de

Petróleo, de Sistemas y Química de reconocidas Universidades en Venezuela.

El material presentado no es en modo alguno original, excepto la inclusión de las

respuestas a ejercicios seleccionados y su compilación en atención al contenido

programático de la asignatura y al orden de dificultad de los mismos.

Dicha guía ha sido elaborada tomando como fuente las guías de ejercicios y

exámenes publicados en su oportunidad por Profesores de Matemática III en los núcleos de

Monagas y Anzoátegui de la Universidad de Oriente, además de la bibliografía

especializada en la materia y citada al final de cada capítulo, por lo que el crédito y

responsabilidad del autor sólo consiste en la organización y presentación en forma

integrada de información existente en la literatura.

Adicionalmente es conveniente mencionar que este trabajo ha sido realizado con

fines estrictamente académicos y su uso y difusión por medios impresos y electrónicos es

libre, no representando ningún tipo de lucro para el autor.

Finalmente, se agradece infinitamente la dispensa y atención a esta modesta

contribución en la enseñanza y aprendizaje de la Matemática, así como las sugerencias que

tengan a bien para mejorar este trabajo, las cuales pueden hacer llegar directamente a través

de los teléfonos: +58-424-9744352 ó +58-426-2276504, PIN: 2736CCF1 ó 7A264BE3,

correo electrónico: [email protected] ó [email protected], twitter: @medinawj ó

personalmente en la sección de Matemáticas, Universidad de Oriente, Núcleo de Monagas.

Ing. Willians Medina.



ACERCA DEL AUTOR.

Willians Medina es Ingeniero Químico, egresado de la Universidad de Oriente,

Núcleo de Anzoátegui, Venezuela. Durante el transcurso de su carrera universitaria se

desempeñó como preparador docente en el área de Laboratorio de Química I y

Termodinámica Aplicada de la carrera de Ingeniería Química de la referida Universidad.

En el año 1996 ingresó a la Industria Petrolera Venezolana, Petróleos de Venezuela

(PDVSA), desempeñando el cargo de Ingeniero de Procesos en la Planta de Producción de

Orimulsión, en Morichal, al sur del Estado Monagas hasta el año 1998, momento en el cual

comenzó su desempeño en la misma corporación como Ingeniero de Manejo de Gas en el

Complejo Operativo Jusepín, al norte del Estado Monagas hasta finales del año 2000.

Durante el año 2001 formó parte del Plan Integral de Adiestramiento (PIA) en San Tomé,

Estado Anzoátegui, donde recibió cursos de preparación integral en las áreas de producción

y manejo de petróleo y gas, pasando finalmente a la Gerencia de Manejo de Gas del Norte

del Estado Monagas, en la localidad de Punta de Mata, siendo responsable del tratamiento

químico anticorrosivo de gasoductos de la zona de producción de petróleo y gas hasta

finales del año 2002. Desde el año 2006, forma parte del Staff de Profesores de

Matemáticas, adscrito al Departamento de Ciencias, Unidad de Cursos Básicos del Núcleo

de Monagas de la Universidad de Oriente (UDO), cargo en el cual ha dictado asignaturas

tales como Matemáticas I (Cálculo Diferencial), Matemáticas II (Cálculo Integral),

Matemáticas III (Cálculo Vectorial), Matemáticas IV (Ecuaciones diferenciales), Métodos

Numéricos, Termodinámica y Fenómenos de Transporte para estudiantes de Ingeniería. Es

autor de compendios de ejercicios propuestos y formularios en el área de Matemáticas,

Física, Química, Mecánica Vectorial, Métodos Numéricos, Termodinámica, Estadística,

Diseño de Experimentos, Fenómenos de Transporte, Mecánica de los Fluidos e Ingeniería

Económica. Es miembro del Colegio de Ingenieros de Venezuela.



5.1.- EVALUACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.

1. Sea f la función de las dos variables x y y el conjunto de pares ordenados de la forma

),( zP tales que yx

yxyxf

),( . Obtenga: a) )4,3(f , b) ),(

31

21f , c) )1,1( yxf , d)

),(),( yxfyxf . Respuesta: a) 71 ; b) 5; c)

2

yx

yx; d) 0

2. Sea g la función de las dos variables x y y el conjunto de pares ordenados de la forma

),( zP tales que yxyxg 2),( . Calcule: a) )5,3(g , b) )9,4( g , c) )44,2( xxg ,

d)

2

3,

1

xxg .

3. Sea f la función de las tres variables x, y y z el conjunto de pares ordenados de la forma

),( wP tales que 9

4),,(

222

zyxzyxf . Calcule: a) )3,2,1(f , b) ),,2(

23

21f , c)

xxxf

1,

2,

2, d) )2,1,2( xxf .

4. Sea g la función de las tres variables x, y y z el conjunto de pares ordenados de la forma

),( wP tales que 2224),,( zyxzyxg . Calcule: a) )1,1,1( g , b) ),,1(23

21g , c)

),,(21

21

21 zyxg , d) 22 )],2,2([)],,([ zyxgzyxg .

Respuesta: a) 1; b) 221 ; c) 222

21 16 zyx ; d) 844 yx

5.2.- DOMINIO DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.

5. Determinar y graficar el dominio de las siguientes funciones:

a) yxyxf 226),( b) 22 94),( yxyxf c) 22),( yxyxf

d) 2216),( yxyxf e) 22 169144),( yxyxf f) yx

yxyxf

),(

g) 22

44

),(yx

yxyxf

h)

1

1),(

22

yxyxf i)

224

4),(

yxyxf

j) 1),( 22 yxyxf k) 164),( 22 yxyxf l) 25

),(22

yx

yxyxf



m) 221),( yxyxf n)221

1),(

yxyxf

ñ) 2216),( yxyxf

o) 22 425100),( yxyxf p) 1),( 22 yxyxf

q) 164),( 22 yxyxf r) 22 416),( yxyxf

s) 22 416

1),(

yxyxf

t) yxyxf ),(

u) x

yxyxf ),( v)

2),(

xy

yxyxf

w)

yx

yxyxf

2225),(

x) yx

yxyxf

229),(

y)

yx

yxyxf

224),( z)

xy

yxyxf

),(

aa) yx

yxyxf

2),( ab)

22),(

yx

yxyxf

ac)

2

1

),(

yx

yyxf

ad) )1(ln),( yxyxf ae) )(ln),( 2 yxyxf af) 16

)4(ln),(

22

22

yx

yxyxf

ag) 2

23),(

2

x

yxxyxf ah) yx

x

xyyxf

2

),(

ai) )(ln),( 22 xyyxf aj)

4

2

),(

yx

yx

yxyxf

ak) )(sen),( 1 yxyxf

al) )(cos),( 1 yxyxf am) 3 22

2

1

2

1682)23(sen

4),(

yx

yx

yx

xyxf

an) 3

4 2222 441

)2(arccos),(

yx

yx

yx

yxyxf

añ)

zyx

zxzyxf

),,(

ao) yx

zzyxf

2),,( ap)

zyx

zyxzyxf

),,( aq)

1),,(

zyx

zyxzyxf

ar) 2229),,( zyxzyxf as) 222 416),,( zyxzyxf



at) z

zyxzyxf

2221),,(

au) zyxzyxf lnlnln),,(

av) zyxzyxf ln)4(ln),,( 22 aw) zyxzyxf 111 sensensen),,(

ax) )1(cos),,( 21 yzxzyxf

Respuesta: a) R2; b) R

2; c) R

2; d) R

2; e) R

2; f) }/),{( 22 xyRyxR ; g)

}/),{( 22 xyRyxR ; h) }1/),{( 2222 yxRyxR ; i)

}4/),{( 2222 yxRyxR ; j) }1/),{( 222 yxRyx ; k)

1416

/),(22

2 yxRyx

l) }25/),{( 222 yxRyx , m) }1/),{( 222 yxRyx ; n) }1/),{( 222 yxRyx

ñ) }16/),{( 222 yxRyx ; o)

1254

/),(22

2 yxRyx ; p) }1/),{( 222 yxRyx

q)

1416

/),(22

2 yxRyx ; r)

1416

/),(22

2 yxRyx ; s)

1416

/),(22

2 yxRyx ; t) }/),{( 2 xyRyx ; u) El primer y tercer cuadrantes sin

incluir el eje y.

5.3.- CURVAS DE NIVEL.

6. En los ejercicios siguientes, dibuje las curvas de nivel para los números indicados:

a) yxz 226 para z = 10, 6, 2, 0, –2, –6 y –10.

b) 22 yxz para z = 16, 9, 4, 0, –4, –9, –16.

c) 2216 yxz para z = 16, 12, 7, 0, –9 y –20.

d) yxz para z = 10, 8, 6, 5, y 0.

e) 2216 yxz para z = 0, 1, 2, 3 y 4.

f) 22 425100 yxz para z = 0, 2, 4, 6, 8 y 10.



5.4.- LÍMITES DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.

7. En los ejercicios siguientes, calcule el límite indicado.

a) )23( 22lim

)3,2(),(

yyxxyx

b) yx

yx

yx 4

23lim

)1,2(),(

c) x

yx

yx

)(sen lim

)2,0(),(

d) yx

x

yx

lim)0,0(),(

e) 22

22

lim)0,0(),( yx

yx

yx

f) 22

22

lim)0,0(),( yx

yxyx

yx

g) 322

44

)(lim

)0,0(),( yx

yx

yx

h) 22lim

)0,0(),( yx

yx

yx

i) 22

lim)0,0(),( yx

yx

yx

j) 226

9

)(lim

)0,0(),( yx

yx

yx

k) 22

22

lim)0,0(),( yx

yx

yx

l) 44

3

lim)0,0(),( yx

yx

yx

m) 44

23

lim)0,0(),( yx

yx

yx

n) 22

2

lim)0,0(),( yx

yx

yx

ñ) 22

44

)1(

)1(lim

)1,0(),(

yx

yx

yx

o) 1

133

lim)1,1(),(

yx

yx

yx

p)

yxyx

yx

1sen )( 22

lim)0,0(),(

q)

22 )(

1

)(sen

1lim

)0,0(),( yxyxyx

r) 22lim

),(),( yx

yx

yx

Respuestas: a) 0; b) –4; c) 2; d) No existe; e) No existe; f) 0; g) No existe; h) No existe; i)

0; j) No existe; k) 0; l) No existe; n) No existe; ñ) 0; o) 3; p) 0; r) 0

5.5.- CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.

8. Estudie la continuidad de ),( yxf en )0,0( :

a)

)0,0(),(0

)0,0(),(),( 22

yxSi

yxSiyx

yx

yxf b)

)0,0(),(0

)0,0(),(2

),( 24

2

yxSi

yxSiyx

yx

yxf

c)

)0,0(),(0

)0,0(),(),( 22

yxSi

yxSiyx

yx

yxf d)

0,00

)0,0(2

),(22

22

yxSi

yxSiyx

yx

yxf



e)

)0,0(),(0

)0,0(),(),( 22

33

yxSi

yxSiyx

yx

yxf

Respuesta: a) Continua en todo punto de R2; b) Continua en todo punto de R

2. c)

Discontinuidad esencial en )0,0( ; d) Discontinuidad esencial en )0,0( ; e) Continua en todo

punto de R2.

5.6.- DERIVADAS PARCIALES.

Derivadas parciales por definición.

9. Empleando la definición de derivada parcial:

a) Determine ),(2 yxfD para la función )(),( xyxyxf

b) Halle xf en 3),( 3 2 yxyxf

Respuesta: a) x ; b) 3

3

2

x

y

10. Calcule las derivadas parciales i) xf , ii) 2f , iii) 2

2

x

f

, iv) 22f , v) ),(12 yxfD , vi)

yx

f

2

para las funciones siguientes:

a) 223 52),( yxyxyxf b) xeyyxyxf cos),(

c) yxyeyxf x lntancos),( 1 d) xeyeyxf xx cossen ),(

e) xyyxyxf cosh3senh4),( f) )(sencosh3),( 1 xeyxyxf

g) yxy

xyeyxf x 22 4

sen ),( h) 2

2

),(x

y

y

xyxf

i) yxyx

yxyxf

2

2),( j)

x

yyxyxf 122 tan)(),(

Respuesta: a) i) 22 106 yxyx , ii) yxx 23 102 , iii) 21012 yyx , iv) 210 x , v)

yxx 206 2 , vi) yxx 206 2 ; b) i) xeyy cos , ii) xeyx sen , iii) xey , iv)

yxcos , v) xey sen , vi) xey sen ; c) i) 21

lncos

x

yyex

, ii)

y

xyex

1tansen

,



iii) 22 )1(

ln2cos

x

yxyex

, iv)

2

1tancos

y

xyex

, v) yx

yex

)1(

1sen

2 , vi)

yxyex

)1(

1sen

2 ; d) i) xexeye xxx sen cossen , ii) yex cos , iii)

xeye xx sen 2sen , iv) yexsen , v) yex cos , vi) yex cos

11. Calcule las derivadas parciales xf , 2f , z

f

, 11f , yyf , ),,(33 zyxfD , yxf , 13f ,

yz

f

2

,

xyz

f

3

para las funciones siguientes:

a) zyx eezeyzyxf ),,( b) zeyexzyxf xy )(sen )(cos),,( 22

c) )54(ln),,( 222 zyxzyxf d) )3(tan),,( 1 zyxzyxf

12. [EP] Si f es la función de tres variables definida por 423 5),,( zyxyxzyxf ,

determine )1,1,2( xf , )1,1,2( yf y )1,1,2( zf .

13. Dadazyx

yxw

, demuestre que a)

2)(

)(

zyx

zxx

y

w

y b)

2)( zyx

yx

z

w

5.7.- DIFERENCIAL TOTAL.

14. Hallar la diferencial total de las siguientes funciones:

a) 734 23 yyxxw b) yxxyw 2tan 2 c) xyyxw sen cos

d) yy eexw 2 e) )(ln 222 zyxw f) zyx

zyxw

g) z

yzxw

21tan h) )(cos zxew yx

Respuesta: a) ydyxxdyx )23()12( 22 ; b) ydxxxdyxyx )2(tan)2sec2( 222 ;

c) ydxyxxdxyy )sen sen ()cos(cos ; d) ydeexxde yyy )2()( 22 ; e)

222

222

zyx

zdzydyxdx

; f) zd

zyx

yxyxyd

zyx

zxzxxd

zyx

zyzy

222 )(

)(

)(

)(

)(

)(; g)



zdz

y

z

xyd

z

yxdz

2

2

2

1

1

2tan ; h)

zdzxxydexxdzxzey yxyx )(sen ])(sen [

15. [GT] La condición necesaria y suficiente para que la expresión

ydyxNxdyxM ),(),( sea una diferencial exacta es que x

N

y

M

. En cada uno de los

siguientes ejercicios, determínese si la expresión dada es o no una diferencial exacta. En

caso afirmativo, hállese la función ),( yxf tal que ydyxNxdyxMyxfd ),(),(),( :

a) ydyxxdyx )2()2( b) ydyxyxdyxx )(3)(2 22233

c) ydyxxxdxyy )cos(cos)sensen(

d) ydyxxxdxyy )senhsenh()cosh(cosh

e) ydexxde yy )1( f) xdxyeyde xx )()1(

g) )()( ydxdee yxyx

Respuesta: a) Exacta: Cyyxxyxf 22),( ; b) Exacta:

Cyyxxyxf 5

53325

52),( ; c) No exacta; d) Exacta: Cxyyyxf senh cosh),( ;

e) No exacta; f) Exacta: Cyxyeyxf x )1(),( ; g) No exacta.

16. [GT] Hállese una función ),( yxfw tal que yex

w x cos1

y yey

y

w x sen 2

,

o bien, dígase por que no existe tal función. Respuesta: Cyyexyxfw x 2cos),(

Incrementos y diferenciales.

17. Hállese una aproximación del valor de:

a) )01.2()99.0(6)01.2()99.0( 33 b) 23 )97.0()02.1(

c) 22 )97.3()01.3( d) 22 )93.2()05.4(

e) 33 )97.1()02.1( f) 05.1)97.0(

g) 45ºtan29ºsen h) cos50º32ºsen

i) 32 )004.3()003.2()002.1( j) 222 )94.1()01.2()98.0(



k) 222 )02.2()98.3()01.4(

l) 3 32 99.4)01.6()97.7(

m) 3 4 3

2

05.198.0

03.1 n) 802.0 )99.0( e

Respuesta: b) 1.00; c) 4.98; d) 4.998; e) 2.95; f) 0.97; g) 0.502; h) 0.273; i) 108.972; j)

2.96; m) 1.055

18. Hállese, utilizando diferenciales, un valor aproximado de la función dada en el punto

indicado:

a) 22),( yxyxyxf para 98.2x e 04.4y .

b) )01.1,02.2(f si 22),( yyxxyxf .

c) )01.2,05.6(f si yxxyxf ),( .

Respuesta: a) 60.44; b) 7.14

Aplicaciones a la Teoría de errores.

19. [FA] El periodo T de un péndulo simple de longitud l está dado por g

lT 2 . Hallar

a) el error absoluto y b) el error relativo al calcular T con pies 2l y 2pies/s 32g si los

valores verdaderos eran pies 95.1l y 2pies/s 2.32g .

20. [EP] Un cilindro circular recto tiene un radio de 10 ± 0.02 pulgadas y una altura de 6 ±

0.01 pulgadas. Calcule su volumen y use diferenciales para dar una estimación del error

posible.

21. [FA] El diámetro de un cilindro circular recto es 6.0 ± 0.03 cm y su altura es de 4.0 ±

0.02 cm según las medidas tomadas. ¿Cuál es el máximo a) error absoluto y b) error

relativo al calcular el volumen?

Respuesta: a) 1.70 cm3; b) 1.5%

22. [FA] Los lados de un triángulo según medida son 12.0 y 15.0 pies y el ángulo que

forman es de 60º. Si las longitudes se pueden medir con una precisión del 1% y el ángulo

con una precisión del 2%, hallar los errores máximos absoluto y relativo al calcular a) el

área y b) el lado opuesto del triángulo.



Respuesta: a) 2.501 pie2, 3.21%; b) 0.287 pies, 2.08%

23. [GT] Las dimensiones de una caja rectangular son )01.000.3( , )01.000.4( y

)03.000.12( centímetros, respectivamente. Calcular la longitud aproximada de la

diagonal. Hállese una cota del error con que está dada esta longitud.

24. [BD] Una caja cerrada, cuyas dimensiones exteriores son de 10 cm, 8 cm y 6 cm, está

hecha de madera contrachapada de 2 mm de espesor. Determinar el volumen aproximado

del material que se gastó en hacer la caja.

Respuesta: 75 cm3 (con relación a las dimensiones interiores)

5.8.- REGLA DE LA CADENA PARA FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES.

Regla de la cadena: Una sola variable independiente.

25. [GT] Determine td

wd i) expresando explícitamente w en función de t y derivando

después y ii) utilizando la regla de derivación en cadena.

a) 22 yx

yxw

, tx cosh , ty senh

b) 222 zyxw , tex t cos , tey tsen , tez

c) zew yx 4cos32 , tx ln , )1(ln 2 ty , tz

Respuesta: a) i) t2sech , ii) 222

2222

)(

cosh)(senh )(

yx

tyxxtxyy

; b) i) te24 , ii)

tt ezttyttxe 24])cossen ()sen (cos[2 ; c) i)

]4sen )1(24cos)14[()1(2 2222 ttttttt , ii) ztt

zte yx 4sen 4

)1(

4cos)28(2

232

26. Calcule la derivada total td

ud por medio de la regla de la cadena; no exprese u como

una función de t antes de derivar.

a) y

xu , cx , ty ln b) yxu , tx sen , ty cos



c)

x

yu 1tan , tx ln , tey d)

y

xu sen ln , 23tx , 12 ty

e) zyxu , 12 tx , ty ln , tz tan

f) zyzxyxu , ttx cos , tty sen , tz

g) 22 yx

zu

, tRx cos , tRy sen , Hz

h) ty

txu

, tx ln ,

ty

1ln i) )(ln 222 tyxu , ttx sen , ty cos

Respuesta: c) )( 22 yxt

yext t

, 0t ; g) 0; h)

2)(

2

tyt

xtyttyx

, 0t

27. [JM] Supongamos que un pato nada sobre la circunferencia tx cos , ty sen y que

la temperatura del agua la da la fórmula 32),( yxexyxT y . Hallar td

Td, el cambio de la

temperatura por unidad de tiempo que el pato notaría:

a) Por medio de la regla de la cadena.

b) Expresando T en función de t y derivando.

Respuesta: tyxextexytd

Td yy cos)3(sen )2( 223 ,

ttettetttd

Td tt 22sen 34sen sencos3cossensen cos2

Regla de la cadena: Dos variables independientes.

28. Determine r

w

y

s

w

i) expresando explícitamente w en función de r y s y derivando

después y ii) utilizando la regla de derivación en cadena.

a) 222 zyxw , sex r cos , sey rsen , sez

b) )(ln 222 zyxw , srx , sry , srz 2

Respuesta: a) sr

r

ee

e

r

w22

2

,

sr

s

ee

e

s

w22

2

; b)

srs

w

r

w

2



29. Obtenga la derivada parcial indicada utilizando la regla de la cadena.

a) yxxu 2 , 22 srx , sry 23 : r

u

,

s

u

b) zyzxyxu , srx , 22 sry : r

u

,

s

u

c) )3(sen 1 yxu , serx 2 , )(sen sry : r

u

,

s

u

d) )(sen yxu , tezx 2 , zety 2 : t

u

,

z

u

e)

x

yu cosh , srx 23 , resy 6 :

r

u

,

s

u

f) yexu , )(tan 1 tsrx , )53(ln tssry : r

u

,

s

u

,

t

u

g) zyxu 2 , s

rx , sery , serz :

r

u

,

s

u

h) 222 zyxu , cossen rx , sen sen ry , cosrz : r

u

,

u,

u

Respuesta: a) xyxrr

u3)2(2

, xyxs

s

u2)2(2

; c)

2)3(1

)(cos6

yx

srser

r

u s

,

2

2

)3(1

)cos(3

yx

srrer

s

u s

; e) )(senh

62

yrexx

y

x

s

r

u r

,

)2(senh3 2

2ryex

x

y

xs

u r

; h) cos2sensen 2cossen 2 zyx

r

u

,

sen 2sen cos2coscos2 rzryrxu

,

cossen 2sen sen 2 ryrxu

30. Dada la función x

trxexxtrh tr sen)(ln),,( 22 , averigüe si se cumple que:



a) hDhD 1221 b) hDhD 3223

Derivación implícita.

31. Obtenga xd

yd mediante derivación implícita.

a) yxyx 833 b) 532 33 yxyx c) 3323 3 ayyxx

d) 1cossen xyyx e) 1cossen xeye yx f) xyyx sen )(cos

g)

x

yyx 122 tan2)(ln h) 1xy yx [Sugerencia: Use logaritmos]

Respuesta: a) xy

yx

83

832

2

; b)

yxx

yyx

3

333

22

; c)

2

22

2 yyx

yx

; d)

xyx

xyy

coscos

sen sen

; e)

xeye

xeyeyx

yx

coscos

sen sen

; f)

xyx

xyyx

sen )(sen

cos)(sen

; g)

xy

yx

; h)

y

xx

yx

y

ln

ln

32. Calcule x

z

y

y

z

:

a) zyxzxzyyx 9 b) 015433 222 zxyxzyx

c)

x

zyz 1tan d) )(sen )( 22 zxyxz

e) azyzx )(cos f) 5)3(cos zxey zyx

g) 342 yxzxzy eexez

Respuesta: a) yxxy

zyzy

x

z

9

9

,

yxxy

zxzx

y

z

9

9

; b)

xz

zxy

x

z

42

463

,

xz

yx

y

z

42

23

; e)

)(sen zyyx

z

x

z

,

)(sen

)(sen

zyyx

zyz

y

z

; f)

x

z

x

z

,

2)3(tan3

1

yxzxyx

zyx

y

z



Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.

33. [LL] Sea

r

t

t

ru lnsen . Demuestre que 0

r

ur

t

ut .

34. [LL] Si zxxzyzzyzyyxw 222222 , demuestre que 0

z

w

y

w

x

w.

35. Sea xzzyyxw 222 . Demuestre que 2)( zyxz

w

y

w

x

w

.

36. [LL] Si ),( yxfu y ),( yxgv , entonces las ecuaciones y

v

x

u

y

y

u

x

v

se

denominan ecuaciones de Cauchy – Riemann. Demuestre que las ecuaciones de Cauchy –

Riemann son satisfechas si )(ln 22

21 yxu y

x

yv 1tan .

37. [GT] Dada xyyxz sen 2 , hállese el valor de x

z

xy

zy

2

.

Respuesta: 2y

38. [GT] Dada

x

yzw 1tan , calcúlese

2

2

2

2

2

2

z

w

y

w

x

w

.

Respuesta: 22

2

yx

zyx

39. Demuestre que ),( yxu satisface la ecuación 02

2

2

2

y

u

x

u, la cual se conoce como la

ecuación de Laplace en R2.

a) 23 3),( yxxyxu b) )(ln),( 22 yxyxu

c) 22ln),( yxyxu d)

x

yyxu 1tan),(

e)

22

1 2tan),(

yx

yxyxu f)

22

1tan),(yx

x

x

yyxu

g) xezyxu y 2cos),,( 2 h) xeyeyxu yx cossen ),(



i) yxyxu sen senh ),(

40. La ecuación de Laplace en R3 es 0

2

2

2

2

2

2

z

u

y

u

x

u. Demuestre que ),,( zyxu

satisface esta ecuación.

a) 222 2),,( zyxzyxu b) zyxzzyxu )(32),,( 223

d) 21

)(),,( 222 zyxzyxu d) )5(sen ),,( 43 zezyxu yx

d) )5(cos),,( 43 zezyxu yx e) zyxzyxu 5senh 4cos3cos),,(

41. Demuestre que la función dada, donde A y k son constantes arbitrarias, satisface la

ecuación diferencial parcial para una cuerda vibrante: 2

22

2

2

x

ua

t

u

a) )(sen )(cos),( xktakAtxu b) )(sen )(sen ),( xtaAtxu

c) )22(cos)(sen ),( taxtaxtxu d) )44(senh 7)33(cos5),( tcxtaxtxu

42. Demuestre que tLkneL

xntxu )/( 2222

sen ),(

satisface la ecuación diferencial parcial

de la conducción del calor: 2

22

x

uk

t

u

.

5.9.- GRADIENTES Y DERIVADAS DIRECCIONALES.

Gradiente.

43. [JM] Calcular el gradiente de cada una de las siguientes funciones:

a) zxzyyxzyxf ),,( b) 222

),,( zyxexzyxf

c) 222

1),,(

zyxzyxf

d)

222),,(

zyx

zyxzyxf

e) yezzyxf x cos),,( 2 f) 222

1),,(

zyxzyxf

Respuesta: a) kyxjzxizy )()()( ; b) kzxjyxixe zyx ]22)21[( 2222

; c)

)()(

22222

kzjyixzyx

; d)



])()()([)(

1 222222222

2222kzyxyxjyzxzxixzyzy

zyx

; e)

kyezjyeziyez xxx cos2sen cos 22 ; f) )()(

13222

kzjyixzyx

44. [BD] Hallar el gradiente de la función dada en el punto indicado:

a) yxyxz 333 , )1,2( . b) 22 yxz , )3,5(

c) zyxu , )3,2,1(

Respuesta: a) ji 39 ; b) )35(41 ji ; c) kji 236

45. [BD] Hallar la magnitud y la dirección de u en el punto )1,2,2( si

222 zyxu .

Respuesta: 6u , 32cos ,

32cos ; c)

31cos

46. [DZ] Determine los puntos sobre la superficie dada en los cuales el gradiente es

paralelo al vector indicado.

a) 22 yxz , kji214 b) 1523 zyx , kji 827

Respuesta: a) )17,1,4( ; b) )28,4,3( y )26,4,3(

Derivada direccional.

47. Obtenga la derivada direccional de la función dada en el punto y en la dirección

indicada.

a)

x

yyxf 1tan),( , )2,2( , en la dirección del vector ji 3 .

b) yxyxf tan),( 2 , ),(31

21 , en la dirección negativa del eje x .

c) 6)2(3)1(2)1(),,( 222 zyxzyxf , )1,0,2( , en la dirección del vector

kji 2 .

d) 222 2),,( zyxzyxf , )1,3,3( , en la dirección del vector kji 2 .

Respuesta: a) 10201 ; b) 3 ; c) 6

37 ; d) 6

31



48. [BD] Hallar la derivada de la función 22 22 yyxxz en el punto )2,1(P y en la

dirección que forma con el eje OX un ángulo de 60º. Respuesta: 329

49. [BD] Hallar la derivada de la función 12 223 yxyxxz en el punto )2,1(M , en

la dirección que va desde éste al punto )6,4(N . Respuesta: 1

50. [BD] Hallar la derivada de la función 22ln yxz en el punto )1,1(P en la

dirección de la bisectriz del primer cuadrante. Respuesta: 221

51. [FA] La temperatura en un punto ),( yx del plano x y está dada por 22

100),(

yx

yxyxT

.

a) Hallar la derivada direccional en el punto )1,2( en una dirección que forma un ángulo de

60º con el eje positivo de las x . b) En qué dirección a partir de )1,2( será máxima la

derivada? c) ¿cuál es el valor de este máximo?

Respuesta: a) 6312 ; b) En una dirección que forma 2tan 1 rad con el eje positivo

de las x, o en la dirección ji 2 ; c) 512

52. [BD] El punto en que la derivada de una función, en cualquier dirección, es igual a

cero, se llama punto estacionario de esta función. Hallar los puntos estacionarios de las

siguientes funciones:

a) yxyyxxz 2422 b) yxyxz 333

c) xzyyxzyu 22 22

Respuesta: a) )0,2( ; b) )0,0( y )1,1( ; c) )1,2,7(

53. Si xyyxxyxf 22),( encuentre todos los puntos en que ),( yxfDU sea cero en

la dirección de 2/)( jiU .

Respuesta: En los puntos que pertenecen a la recta 0133 yx .

54. [JS] Encuentre todos los puntos en los cuales la dirección de máximo crecimiento de la

función yxyxyxf 42),( 22 es ji .

Respuesta: Todos los puntos sobre la línea 1 xy



55. [JS] Encuentre la dirección en la cual la derivada direccional de )(sen ),( 2 yxxyxf

en el punto )0,1( tiene el valor 1.

Respuesta: En la dirección )(tan411

56. [JM] Denotemos por 22 32),( yx eeyxh la altura de una montaña sobre el punto

),( yx . ¿En qué dirección, a partir de )0,1( se debe comenzar a caminar para ascender de

la forma más rápida?

Respuesta: ie 14

57. [JM] Un insecto se encuentra en un medio tóxico. El nivel de toxicidad lo da

22 42),( yxyxT . El insecto está en )2,1( . ¿En qué dirección debe moverse para

reducir la toxicidad lo más rápidamente posible?

Respuesta: ji 164

58. [GT] Dada la función zyxzyxf 3),,( 22 , ¿cuál es el valor máximo de su

derivada direccional en el punto )5,3,1( ?

Respuesta: 7

59. [GT] La derivada de una función dada ),( yxfw en el punto )2,1(0P y en la

dirección hacia )3,2(1P es 22 , y en la dirección hacia )0,1(2P , –3. Calcúlense x

f

y

y

f

en )2,1(P y hállese la derivada direccional en dicho punto en dirección hacia

)6,4(3P .

Respuesta: 1

x

f, 3

y

f, 3fDu

60. [GT, TA] La función ),( yxfw tiene en el punto )2,1( iguales a 2 y –2 sus

derivadas en las direcciones hacia )2,2( y hacia )1,1( , respectivamente. ¿Cuál será en

dicho punto el valor de la derivada en dirección hacia )6,4( ?



Respuesta: 2

y

f

x

f,

514fDu

61. [TA] Hallar los valores de las constantes a, b y c tales que la derivada direccional de

232),,( zxczybyxazyxf en el punto )1,2,1( tenga un valor máximo 64 en la

dirección paralela al eje z.

Respuesta: )8,24,6(),,( cba ó )8,24,6(),,( cba

62. Un objeto está situado en un sistema coordenado rectangular de tal manera que la

temperatura T, en el punto ),,( zyx está dada por 222 164),,( zyxzyxT .

a) Calcule la razón de cambio en el punto )1,2,4( P en la dirección del vector

kji 362 .

b) ¿En qué dirección a partir de P aumenta más rápidamente T ?

c) ¿Cuál es la razón de cambio máxima en P ?

Respuesta: a) 78 ; b) kji 88 ; c) 1294

63. [JS] La temperatura en el punto ),,( zyx está dada por 222 93200),,( zyxezyxT

donde T está medida en ºC y x, y, z en metros.

a) Encuentre la razón de cambio de la temperatura en el punto )2,1,2( P en la dirección

hacia el punto )3,3,3( .

b) En qué dirección la temperatura se incrementa más rápidamente en P?

c) Encuentre la máxima razón de cambio en P.

64. Si la temperatura de un depósito cilíndrico viene dada por la función

)(10),,(22 xy ezexzyxT y nos situamos en el punto de coordenadas )1,0,0( , se

pide:

a) Determinar cuál es la razón de cambio de la temperatura al desplazarnos hacia el punto

de coordenadas )1,3,2( .

b) ¿En qué dirección debemos movernos para que la temperatura disminuya lo más

rápidamente posible? ¿Y para que aumente?



c) Si no quisiéramos apreciar cambio alguno de temperatura, ¿Qué dirección debemos

tomar?

Respuesta: a) 131320 ; b) ki 1010 , ki 1010

64. [DZ] La temperatura T en un punto ),,( zyx en el espacio es inversamente proporcional

al cuadrado de la distancia de ),,( zyx al origen. Sabemos que 500)1,0,0( T . Encuentre

la tasa de cambio de la temperatura T en )3,3,2( en la dirección hacia )1,1,3( . ¿En cuál

dirección a partir de )3,3,2( la temperatura T aumenta con mayor rapidez? En )3,3,2( ,

¿cuál es la máxima tasa de cambio de T?

Respuesta: 3632500 , )332(

121250 kji , 22

121250

65. [JS] Suponga que sobre cierta región del espacio el potencial eléctrico V está dado por

zyxyxxzyxV 35),,( 2 .

a) Encuentre la razón de cambio del potencial en )5,4,3(P en la dirección del vector

kjiv

b) ¿En qué dirección V cambia más rápidamente en P?

c) ¿Cuál es la máxima razón de cambio en P?

Respuesta: a) 3

32 ; b) 12,6,38 ; c) 4062

66. Hallar la derivada direccional en el punto P para la función dada en una dirección

hacia Q , indique en qué dirección a partir de P es máxima la derivada direccional y cuál

es la magnitud de la derivada direccional máxima.

a) zyyxzyxf 23 32),,( , )1,2,1( P , )5,1,3( Q .

b) 22),,( zyxzyxf , )1,1,2( P , )1,1,3( Q

c) )(ln),,( zyx eeezyxf , )2,1,0(P , )1,3,2( Q

d)

z

yxzyxf 1tan),,( , )3,1,2( P , )5,2,3(Q

Respuesta: a) 790 , kji 121412 , 22; b) 3

10 , kji 242 , 62



67. [BD] Hallar la derivada de la función 532 zyxu en el punto )1,2,1( M en la

dirección que forma ángulos iguales con todos los ejes coordenados.

Respuesta: 331

68. [WM] El Gimnasio Gilberto Roque Morales, domo o pabellón multiusos ubicado en el

Complejo Polideportivo de la Ciudad de Maturín, ex sede del desaparecido equipo Gatos de

Monagas, tiene una capacidad para 6000 personas y su superficie puede expresarse

mediante la ecuación 221

)1(30

yx

yxz

, con x, y, z medido en metros. Si una persona se ubica

en el punto )3,1( , determine en qué dirección debe moverse con el objeto de descender

más rápidamente por dicha flamante obra arquitectónica.

Respuesta: ji 55

69. [WM] Cuando un tiburón detecta la presencia de sangre responde moviéndose

continuamente en la dirección del olor más fuerte, o lo que es equivalente en la dirección de

mayor concentración de sangre. Supongamos que la concentración C de sangre en partes

por millón de agua se modela mediante el campo escalar 10000

4 22

),(

yx

eyxC

, donde x e y

son las coordenadas medidas en metros desde la fuente de sangre. Si el tiburón se encuentra

en el punto )40,60( , determine la dirección en que debe moverse para llegar hasta la

presa más rápidamente y la rapidez máxima con que lo hace.

Respuesta: )83(1

2501 jie , 731

2501 e

70. [WM, EP] Las feromonas de tipo sexual en los animales sirven para indicar la

disponibilidad de la hembra para procrear y atraer al macho y, en ocasiones, pueden ser

captadas a varios kilómetros de distancia. Las hembras producen olores de atracción para

los machos, ayudando así a su encuentro y, a la posterior copulación. Las feromonas

sexuales no sólo son emitidas por las hembras sino que también son emitidas por los

machos para indicar su presencia. Una serpiente emite feromonas con una intensidad dada

por la función 24 49),( yxyxf . En qué dirección debe moverse un macho ubicado en

el punto )2,1( con el objeto de aparearse lo más pronto posible?



Respuesta: )49(4 ji

71. [WM] Los mosquitos son atraídos por el dióxido de carbono (CO2) que exhalamos

mientras respiramos. La especie de mosquito que nos pica de noche (Culex pipiens) vuela

alrededor de nuestra cabeza porque está siguiendo el gradiente de dióxido de carbono que

emitimos al respirar. Si la distribución de concentraciones de CO2 emitido por una persona,

en partes por millón, está dada por la ecuación 321

1),,(

zyxzyxf

y el mosquito se

encuentra en el punto )1,3,2( , determine la dirección en que debe moverse para llegar

hasta la persona más rápidamente y la rapidez máxima con que lo hace.

Respuesta: )3412(100

1 kji

72. [WM] La contaminación química es la alteración nociva del estado natural de un medio

como consecuencia de la introducción de un agente totalmente ajeno a ese medio

(contaminante), causando inestabilidad, desorden, daño o malestar en un ecosistema, en el

medio físico o en un ser vivo. Un pez se encuentra en un ambiente donde la concentración

de surfactante, en partes por millón, está dada por la ecuación 2221

),,(zyx

exzyxC

zy

.

Si su posición es el punto )1,0,2( , determine la dirección en que debe moverse para

disminuir la exposición al agente contaminante.

Respuesta: )26(181 kji

73. Hallar la derivada direccional de la función 22

),,( zyexzyxf en el punto )2,2,1(

y en la dirección de la curva 12,)1(cos2,)( tetttr .

Respuesta: 557

74. [BD] Hallar la derivada de la función 222

),,(zyx

xzyxf

en el punto

)2,2,1( en dirección de la recta tangente a la curva tx , 22ty , 42tz en este

punto.

Respuesta: 24316



75. Dada la función tsw 2 , donde 22 yxs , y

xt .

a) ¿Cuál es la dirección de máximo crecimiento de w en x = 1, y = 1? ¿Y la de máxima

disminución?

b) Determinar la derivada direccional en el punto dado en la dirección en la que w crece

con mayor rapidez.

Respuesta: a) i8 , i8 ; b) 8.

5.10.- PLANOS TANGENTES Y RECTAS NORMALES A SUPERFICIES.

Ejemplo 5.1.

Demostrar que el cono 2

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x y la esfera )( 22

2

22

2222 cb

c

b

c

cbzyx

son tangentes entre sí en los puntos ),,0( cb .

Solución.

Se dice que dos superficies son tangentes una a la otra en un punto P si tienen el mismo

plano tangente en P.

Debe verificarse que el punto P pertenece a ambas superficies.

Cono. Esfera.

2

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x )( 22

2

22

2222 cb

c

b

c

cbzyx

2

2

2

2

2

2 )()()0(

c

c

b

b

a )()()0( 22

2

22

2222 cb

c

b

c

cbcb

2

2

2

2

0c

c

b

b )(0 22

2

22

2222 cb

c

b

c

cbcb

2

2

2

2

c

c

b

b )( 22

2

22

22 cb

c

b

c

bb

11 )( 22

2

2

2

42 cb

c

b

c

bb



)(1 22

2

2

2

22 cb

c

b

c

bb

)( 22

2

2

2

222 cb

c

b

c

bcb

)()( 22

2

222

2

2

cbc

bcb

c

b

Se debe determinar el gradiente de ambas funciones en el punto P. Si el gradiente en dicho

punto para ambas superficies, es paralelo, ellas tendrán el mismo plano tangente y por lo

tanto son tangentes entre sí.

Los gradientes serán paralelos si uno es múltiplo escalar del otro, esto es

),,0(),,0( cbgcbf .

Determinación del gradiente de cada función en el punto ),,0( cb .

Cono.

2

2

2

2

2

2

),,(c

z

b

y

a

xzyxf

kz

fj

y

fi

x

fzyxf

),,(

kc

zj

b

yi

a

xzyxf

222

222),,(

En el punto ),,0( cb :

kc

cj

b

bi

acbf

222

)(2)(2)0(2),,0(

kc

jb

cbf22

),,0(

Esfera.

)(),,( 22

2

22

2222 cb

c

b

c

cbzyxzyxg



kz

gj

y

gi

x

gzyxg

),,(

kc

cbzjyixzyxg

22

222),,(

En el punto ),,0( cb :

kc

cbcjbicbg

22

2)(2)0(2),,0(

kc

cbcjbcbg

222

22),,0(

kc

bjbcbg

2

22),,0(

kc

bjbcbg

222),,0(

Se verifica que ),,0(),,0( 2 cbfbcbg , por lo tanto el gradiente de f y el gradiente

de g en el punto ),,0( cb son paralelos.

Puesto que el punto ),,0( cb pertenece a ambas superficies y el gradiente de ambas

superficies en el punto ),,0( cb son paralelos, entonces las superficies dadas son tangentes

entre sí en el punto ),,0( cb . A la misma conclusión se llega cuando se evalúa el punto

),,0( cb .

Ejercicios propuestos.

75. [JB] Hallar un vector normal a la superficie 122 zyx en )1,1,1( .

Respuesta: kji 22

76. Hallar un vector unitario normal de la superficie dada en el punto indicado:

a) 4ln 2 yzx en )1,2,1( . b) zyx 322 en ),,1(3

1031 .

Respuesta: a) kji 22 ; b) )362(71 kji



77. [JB] Hallar el ángulo de intersección en )1,2,1( entre las superficies 32 zyx y

4ln 2 yzx .

Respuesta: )34(cos 10251

78. [JB] Usar el gradiente para hallar el ángulo de intersección de la esfera

2222 bzyx y el paraboloide xbzy 222 .

Respuesta:

223

21cos 1 ,

223

21cos 1

79. [JB] Hallar el vector director de la tangente a la curva de intersección de las superficies

dadas en el punto indicado:

a) 2

412 yxz y el plano xy en )5,2,2(

b) 22 yxz y el plano 1 xy en )5,2,1(

Respuesta: a) 6,1,1 ; b) 6,1,1

80. [LL] Si las dos superficies se intersectan en una curva, determine ecuaciones de la recta

tangente a la curva de intersección en el punto indicado; si las dos superficies son tangentes

en el punto dado, demuéstrelo.

a) 822 zyx , 222 zyx , )0,2,2(

b) 2xy , 216 zy , )0,16,4(

c) 2)2(sen zey x , 3)1(ln2 xyz , )1,2,0(

d) 0422 yzx , 076222 zzyx , )2,1,0(

Respuesta: a) 201

2

4

2 zyx

; b) 4x , 16y , c)

1

1

2

2

81

zyx

; d) Las

superficies son tangentes.

81. [JS] Encuentre las ecuaciones paramétricas para la línea tangente a la curva de

intersección del paraboloide 22 yxz y el elipsoide 94 222 zyx en el punto

)2,1,1( .

Respuesta: tx 101 , ty 161 , tz 122



82. [EP] Determine las ecuaciones paramétricas de la recta que es tangente a la curva de

intersección de las superficies 01032),,( 222 zyxzyxf y

041449),,( 222 zyxzyxf en el punto )2,2,1( . [Sugerencia: esta recta es

perpendicular a )2,2,1(f y )2,2,1(g ].

Respuesta: tx 321 , ty 192 , tz 172

83. [TA] Hallar un par de ecuaciones cartesianas para la recta que es tangente a las dos

superficies 42 222 zyx y yxez en el punto )1,1,1( .

Respuesta: 42 zyx , 1 zyx

84. [JS] Muestre que cada línea normal a la esfera 2222 rzyx pasa a través del centro

de la esfera.

85. Hallar las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal a la superficie dada en el

punto indicado.

a) zyx 422 , )5,4,2( b) zzxyzyx 823 222 , )1,2,1(

c) 17222 zyx , )3,2,2( d) 2322 zyx , )6,4,2(

e) zey x cos , )0,,1( e f) yx 122 , )3,3,6(

g) 421

21

21

zyx , )1,1,4( h) 1432

32

32

zyx , )1,27,8(

i) 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x, ),,( 000 zyx j) 1

2

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x, ),,( 000 zyx

k) 2

2

2

2

b

y

a

x

c

z , ),,( 000 zyx

Respuesta: a) 52 zyx , 1

5

2

4

1

2

zyx; b) 0214116 zyx ,

14

1

11

2

6

1

zyx; c) 17322 zyx ,

3

3

2

2

2

2

zyx; d)

022384 zyx , 3

6

8

4

4

2

zyx; e) 0 yxe ,

1

1 ey

e

x

, 0z ; f)

03 yx , 1

3

1

6

yx, 3z ; g) 0822 zyx ,

2

1

2

1

1

4

zyx; h)



084623 zyx , 6

1

2

27

3

8

zyx; i) 1

2

0

2

0

2

0 c

zz

b

yy

a

xx; j)

12

0

2

0

2

0 c

zz

b

yy

a

xx; k)

c

zz

b

yy

a

xx 0

2

0

2

0 22

86. [WM] ¿En qué punto la recta normal de la superficie zzxyzyx 823 222 en el

punto )1,2,1( corta al plano 1023 zyx ?

Respuesta: )15,9,7(

87. [EP] Una abeja sentada en el punto )1,2,1( sobre el elipsoide 62 222 zyx

(distancia en pies). En 0t , comenzó a volar a lo largo de la normal, a una rapidez de 4

pies/segundo. ¿Cuándo y dónde tocó al plano 4932 zyx ?

Respuesta: En el punto )9,10,5( , 3 segundos después.

88. [JM] Supongamos que una partícula sale despedida de la superficie 1222 zyx

desde el punto )3,1,1( según la normal a la superficie, dirigida hacia el plano x y, en el

instante t = 0, con una velocidad de 10 unidades por segundo. ¿Cuándo y dónde cruzará el

plano x y?

Respuesta: Se cruza en el punto )0,2,2( , 10

5 segundos después.

89. [JM] En el instante 0t una partícula sale despedida de la superficie

632 222 zyx en el punto )1,1,1( , en una dirección normal a la superficie a la

velocidad de 10 unidades por segundo. ¿En qué instante atraviesa la esfera

103222 zyx ?

Respuesta: 70

)3593(14 t ,

89. [DZ] Encuentre los puntos sobre la superficie dada en los cuales el plano tangente es

horizontal.

a) yxyyxxz 482 22 b) 1124 222 zzyxx

c) yxyyxxz 21026 22

Respuesta: a) )14,1,3( ; b) )5,0,2( , )3,0,2( ; c) )13,2,1(



90. Hallar en la superficie dada los puntos en que los planos tangentes a ella son paralelos a

los planos coordenados.

a) 02222 xzyx b) 16243 222 yxzyx

c) 842232 222 zyzyxzyx

Respuesta: a) En los puntos )0,1,1( los planos tangentes son paralelos al plano x z y en

los puntos )0,0,0( y )0,0,2( al plano y z. La superficie carece de puntos en los que el

plano tangente sea paralelo al x y; c) )22,22,0( , )2,4,2( , )0,2,4(

91. [DZ] Determine los puntos sobre la superficie dada en la cual el plano tangente es

paralelo al plano indicado.

a) 22 32 yxz , 038 zyx b) 7222 zyx , 1642 zyx

c) 3332 222 zyx , 5648 zyx d) 132 222 zyx , 133 zyx

Respuesta: b) ),2,(2

3

2

1 , ),2,(2

3

2

1

92. [BD] Dada la superficie 2132 222 zyx , determinar en ella planos tangentes que

sean paralelos al plano 064 zyx .

Respuesta: 2164 zyx , 2164 zyx

93. [JS] Encuentre los puntos del hiperboloide 12 222 zyx donde la línea normal es

paralela a la línea que une los puntos )0,1,3( y )6,3,5( .

Respuesta: ),,(2

6

3

62

3

6

94. [EP] Determine un punto sobre la superficie 1232 222 zyx donde el plano

tangente es perpendicular a la recta con ecuaciones paramétricas tx 21 , ty 83 ,

tz 62 .

Respuesta: )1,2,1( , )1,2,1(

95. [JS] Demuestre que cada plano que es tangente al cono 222 zyx pasa a través del

origen.



96. [BD] ¿En qué puntos del elipsoide 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x la normal forma ángulos iguales

con los ejes coordenados?

Respuesta: d

ax

2

, d

by

2

, d

cz

2

, donde 222 cbad

97. [BD] Dado el elipsoide 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x, determinar en él planos tangentes que

intercepten en los ejes coordenados segmentos de igual longitud.

Respuesta: 222 cbazyx

98. Sea P el plano que pasa por los puntos )1,3,5(1P , )3,2,6(2P y )3,4,5(3P . Sea S la

superficie definida por la ecuación 22 yxz . Encontrar un punto Q en S tal que el

plano tangente de S en Q es paralelo al plano P .

99. [JB] Se dice que dos superficies son tangentes una a la otra en un punto P si tienen el

mismo plano tangente en P. Demostrar que las superficies descritas por las ecuaciones

dadas son tangentes una a la otra en el punto indicado.

a) 04 22 zyx , 076222 zzyx , )2,1,0( .

b) 222 2225 yxz , 225 yxz , )5,3,4( .

c) 10894 222 zyx , 36zyx , )2,6,3(

d) El elipsoide 923 222 zyx y la esfera 024868222 zyxzyx , )2,1,1(

e) Las esferas 2222 azyx , 2222 )()( abzybx , )0,0,(a .

f) El paraboloide elíptico c

z

b

y

a

x

2

2

2

2

y la esfera

2

22

222

22

41

2

2

c

bb

c

bczyx , ),,0( cb .

100. [BD] Se llama ángulo entre dos superficies en el punto de su intersección, al ángulo

que forman los planos tangentes a dichas superficies en el punto que se considera. ¿Qué



ángulo forman en su intersección el cilindro 222 Ryx y la esfera

2222)( RzyRx en el punto )0,,(2

3

21 RR ?

Respuesta: 3

101. [FA, LL] Se llaman ortogonales las superficies que se cortan entre sí formando un

ángulo recto en cada uno de los puntos de la línea de intersección. Mostrar que la superficie

42 32 yzyx es perpendicular a cualquiera de las superficies de la familia

222 )42(1 zayax en el punto de intersección )2,1,1( .

102. [EP] Demuestre que las superficies yxz 2 y 432

41 xy se cortan en )1,1,1( y

tienen planos tangentes perpendiculares en dicho punto.

103. [JB] Demostrar que las superficies descritas por 2212 yxz y 2212 yxz

son mutuamente ortogonales en todo punto de intersección.

104. [GT] Dedúzcase el lugar de todos los puntos ),,( cba del espacio para los cuales las

esferas 1)()()( 222 czbyax y 1222 zyx se cortan ortogonalmente (sus

planos tangentes en cada punto de intersección han de ser perpendiculares).

Respuesta: 2222 cba (Una esfera con centro en el origen y radio 2 )

105. [JB, TA, GT] Hallar un valor (si hay alguno) para la constante k tal que las dos

superficies 3)( 222 zykx y 1)1( 222 zyx sean mutuamente ortogonales en

todo punto de su intersección.

106. [BD, EP] Demostrar que los planos tangentes a la superficie azyx

cortan en los ejes coordenados segmentos cuyas sumas son constantes y que el valor de

dicha suma es a2.

107. Sean )0,0,(uP , )0,,0( vQ y ),0,0( wR los puntos de intersección de un plano

tangente a la gráfica de 3

2

3

2

3

2

3

2

azyx con los ejes de coordenadas x , y , z ,

respectivamente, demuestre que 2222 awvu .



108. [TA] Hallar la ecuación cartesiana del plano tangente a la superficie 3azyx en un

punto genérico ),,( 000 zyx . Demostrar que el volumen del tetraedro limitado por ese plano

y los tres planos coordenados es 3

29 a .

109. [TA, GT] Las dos ecuaciones xveu cos y yveu sen definen u y v como funciones

de x e y, y sean éstas ),( yxUu y ),( yxVv . Hallar fórmulas explícitas para ),( yxU y

),( yxV válidas para 0x , y demostrar que los vectores gradiente ),( yxU y ),( yxV

son perpendiculares en cada punto ),( yx .

Respuesta: )(ln),( 22

21 yxyxU ,

x

yyxV 1tan),(

110. [TA, GT] a) Hallar un vector ),,( zyxV normal a la superficie

23

)( 2222 yxyxz en un punto cualquiera ),,( zyx de la superficie

)0,0,0(),,( zyx , b) Hallar el coseno del ángulo formado por el vector ),,( zyxV y el

eje z y c) determinar el límite de cos cuando )0,0,0(),,( zyx .

Respuesta: a) ])331()331([)(),,( 22222222 21

kyxjyxyiyxxyxzyxV

;

b) 21

]1)331[( 222 yx ; c)

2

1

5.11.- EXTREMOS DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES (OPTIMIZACIÓN).

Ejemplo 5.2.

Determinar (en caso de existir) los extremos locales de

2933),( 233 yxyyxyxf .

Solución.

Las derivadas parciales son:

33 2 xf x 963 2 yyf y

En los puntos críticos: 0

x

f y 0

y

f. Esta condición conduce al siguiente sistema de

ecuaciones:

033 2 x



0963 2 yy

Cuyas soluciones (encontradas de manera individual) son:

1x , 1x , 3y , 1y

Los puntos críticos de la función f son:

)3,1( , )1,1( , )3,1( y )1,1( .

Se debe evaluar cada punto y establecer la conclusión correspondiente aplicando el criterio

de las derivadas parciales de segundo orden.

Las segundas derivadas parciales involucradas en el análisis de cada punto son:

xf xx 6 66 yf yy 0yxf

Por lo tanto, el Hessiano es:

2)],([),(),(),( yxfyxfyxfyxH yxyyxx

2)0()66()6(),( yxyxH

xyxyxH 3636),(

Ejercicios adicionales.

111. En los ejercicios siguientes, examinar cada función en búsqueda de extremos relativos

y puntos de ensilladura.

a) 9),( 22 yxyxf b) 1),( 22 yxyxf

c) 2216),( yxyxf d) 129),( 22 xyxyxf

e) 1684),( 22 yxyxyxf f) 22622),( yxyxyxf

g) 342),( 22 yxxyyxf h) 2586),( 22 yxyxyxf

i) 110128363218),( 22 yxyxyxf j) 16),( 223 yxyxyxf

k) 2933),( 233 yxyyxyxf l) yxyxyxf 3),( 33

m) yxyxyxf 18),( 33 n) yyyxxyxf 44),( 32

ñ) 2233 33),( yxyxyxf o) xyxyxyxf 22 24),(

p) 2244 242),( yyxxyxyxf q) yxxyyyxf 824),( 234



r) )6(),( 23 yxyxyxf s) yxyx

yxf 641

),(

t) yeyxf x sen ),( u) yxeyxf ),(

Respuesta: c) 4)0,0( f , máx. abs; d) 9)0,1( f , máx. abs; e) 4)4,2( f , mín. abs; g)

0)2,1( f , punto silla ; j) 4

13321),4( f , mín. rel,

45

21),0( f , punto silla; k)

5)1,1( f , mín. rel, 31)3,1( f , máx rel; 27)3,1( f , 1)1,1( f , puntos silla; o)

0),0(21 f , puntos silla; s) 12)16,(

41 f , máx. rel; u) 1)0,0( f , punto silla

112. Hallar tres números positivos x, y y z:

a) cuya suma sea 24 de modo que su producto sea el mayor posible.

b) cuya suma sea 30 y cuyo producto sea el máximo posible.

c) cuya suma sea 30 y tal que la suma de sus cuadrados sea mínima.

d) cuya suma sea 32 y para los que zyxP 2 sea máximo.

e) cuyo producto sea 24 de manera que su suma sea lo más pequeña posible.

Respuesta: a) 8, 8, 8

113. [LH] Utilizar derivadas parciales para hallar la distancia mínima del punto dado a la

superficie indicada: [Sugerencia: Considere el cuadrado de la distancia.]

a) El origen y el plano 1232 zyx .

b) El punto )3,2,1( y el plano 1232 zyx .

c) El punto )3,2,1( y el plano 523 zyx . Respuesta: 14149

114. [BD] Hallar la distancia mínima del punto ),,( 0000 zyxM al plano

0 DzCyBxA .

Respuesta: 222

000

CBA

DzCyBxA

115. [BD] Hallar la distancia más corta del punto )3,2,1(M a la recta 231

zyx

.

Respuesta: 2730141 Unidades de longitud



116. [DZ] Encuentre la distancia más corta entre las rectas cuyas ecuaciones paramétricas

son L1: tx , ty 24 , tz 1 , L2: sx 23 , sy 26 , sz 28 .

117. [EP] Determinar la mínima distancia entre las rectas con ecuaciones paramétricas

1 tx , ty 2 , 3 tz y sx 3 , 2 sy , 12 sz .

118. [LL] Determine los puntos de la superficie 42 zxy que estén más cerca del

origen, y calcule la distancia mínima.

119. [DZ] Encuentre todos los puntos sobre la superficie 8zyx que son los más cercanos

al origen. Determine la distancia mínima.

Respuesta: )2,2,2( , )2,2,2( , )2,2,2( y )2,2,2( ; en estos puntos la

distancia mínima es 32

120. [BD] Hallar la distancia mínima entre la parábola 2xy y la recta 02 yx .

121. [BD] Los cursos de dos ríos (dentro de los límites de una región determinada)

representan aproximadamente una parábola, 2xy , y una recta 02 yx . Hay que unir

estos ríos por medio de un canal rectilíneo que tenga la menor longitud posible. ¿Por qué

puntos habrá que trazarlo?

Respuesta: El canal debe unir el punto ),(41

21 de la parábola con el punto ),( 8

5811 de la

recta; su longitud es igual a 287

122. [LL] Obtenga los puntos de la curva de intersección del elipsoide 444 222 zyx

y el plano 04 zyx que estén más cerca del origen, y calcule la distancia mínima.

Respuesta: ),,0(17

4

17

1 , ),,0(17

4

17

1 ; 1

123. [BD] Hallar el paralelepípedo rectangular de área S dada, que tenga el mayor volumen

posible.

Respuesta: Un cubo

124. [LL] Se elabora una caja sin tapa con una cantidad de material dada. Determine las

dimensiones relativas de la caja que contenga el mayor volumen posible.

Respuesta: Largo, 1; Ancho, 1; Altura, 21



125. [LL] Una caja rectangular sin tapa debe tener un área superficial de 216 pies2. ¿Cuáles

son las dimensiones de la caja de volumen máximo?

126. [LL] Para la caja del problema anterior, suponga que, en lugar de que el área

superficial es de 216 pies2, la suma de las longitudes de las aristas es de 216 pies. ¿Cuáles

son entonces las dimensiones de la caja de volumen máximo?

Respuesta: 18 pie por 18 pie por 18 pie

127. [LH] El material con el que se construye la base de una caja abierta cuesta 1.5 veces lo

que cuesta el material de los lados. Si se dispone de una cantidad fija de dinero 0C , hallar

las dimensiones de la caja de máximo volumen que puede construirse de dicha manera.

128. [LL] Se elabora una caja rectangular sin tapa con un costo de material de $10. Si el

material para el fondo de la caja cuesta $0.15 por pie cuadrado y el material para los lados

cuesta $0.30 por pie cuadrado, determine las dimensiones de la caja de mayor volumen que

pueda elaborarse.

129. [LH] Demostrar que la caja rectangular de volumen máximo inscrita en una esfera de

radio r es un cubo.

130. [BD] Inscribir en una semiesfera de radio R un paralelepípedo rectangular de volumen

máximo.

Respuesta: Las dimensiones del paralelepípedo son: 3

2 R,

3

2 R y

3

R y su volumen

33

4 3R

131. [BD] En una esfera dada, inscribir el cilindro cuya superficie total sea máxima.

Respuesta: El radio de la base del cilindro es 5

22

2

R, la altura

5

22 R , donde R

es el radio de la esfera

132. [BD] Inscribir en un cono circular recto un paralelepípedo rectangular de volumen

máximo.

Respuesta: La altura del paralelepípedo es igual a 1/3 de la altura del cono



133. [EP] Determine el volumen máximo de la caja rectangular en el primer octante, con

caras paralelas a los planos de coordenadas, un vértice en )0,0,0( y con el vértice

diagonalmente opuesto ubicado en el plano 1c

z

b

y

a

x.

134. [DZ] Calcule las dimensiones de una caja rectangular con volumen máximo que está

acotada en el primer octante por los planos coordenados y por el plano 62 zyx .

Respuesta: x = 2, y = 1, z = 2

135. [BD] Inscribir en el segmento de paraboloide elíptico 2

2

2

2

b

y

a

x

c

z , cz , un

paralelepípedo rectangular de volumen máximo.

Respuesta: Las dimensiones del paralelepípedo son a, b y c/2

136. [BD] Inscribir en un elipsoide un paralelepípedo rectangular que tenga el mayor

volumen posible.

Respuesta: Las dimensiones del paralelepípedo son: a332 , b33

2 y c332 , donde a, b

y c son los semiejes del elipsoide

137. [LL] Calcule las dimensiones del paralelepípedo rectangular de mayor volumen que

puede inscribirse en el elipsoide 99 222 zyx . Suponga que las aristas del

paralelepípedo deben ser paralelas a los ejes coordenados.

Respuesta: 32 por 332 por 32

138. [LL] Calcule el volumen del mayor paralelepípedo rectangular que pueda inscribirse

en el elipsoide 364936 222 zyx si las aristas deben ser paralelas a los ejes

coordenados.

Respuesta: 33

16 Unidades cúbicas

139. [DZ] El volumen de un elipsoide 12

2

2

2

2

2

c

z

b

y

a

x es cbaV

34 . Muestre que el

elipsoide de mayor volumen que satisface constante cba es una esfera.

140. [BD] ¿Qué dimensiones deberá tener una caja abierta, de volumen V dado, para que su

superficie sea la menor posible?



Respuesta: 3 2V , 3 2V , 321 2V

141. [BD] ¿Cuáles deben ser las dimensiones de una piscina cilíndrica, con una sección

transversal semicircular, cuya superficie es igual a S, para que su capacidad sea máxima.

Respuesta: 3

22S

RH . R es el radio de la superficie cilíndrica y H es la altura

142. [BD, LH] Demostrar que una caja rectangular de volumen dado y superficie mínima es

un cubo.

143. [FA] Una caja rectangular sin tapa ha de tener un volumen de 32 unidades cúbicas.

¿Cuáles han de ser las dimensiones para que la superficie total sea mínima?

Respuesta: 4×4×2

144. [LL] Se construye una caja rectangular cerrada con un volumen de 16 pie3 empleando

tres tipos de materiales. El costo del material para el fondo y la tapa es de $0.18 por pie2, el

costo del material para el frente y la parte trasera es de $0.16 por pie2, y el costo del

material para los otros dos lados es de $ 0.12 por pie2. Calcule las dimensiones de la caja de

modo que el costo de los materiales sea un mínimo.

Respuesta: Longitud de la base: 38 pie; Ancho de la base: 2 pie; Profundidad: 3 pie

145. [DZ] Se va a construir una caja rectangular cerrada de modo tal que su volumen

corresponda a 60 pie3. El costo del material para la parte superior y el fondo son,

respectivamente, de 10 centavos por pie2 y 20 centavos por pie

2. El costo de los lados es de

2 centavos por pie2. Determine la función de costo ),( yxC , donde x y y son la longitud y el

ancho de la caja, respectivamente. Calcule las dimensiones de la caja que producirán un

costo mínimo.

Respuesta: x = 2, y = 2, z = 15

146. [BD] Calcular las dimensiones exteriores que deberá tener un cajón rectangular

abierto, del que se dan el espesor de las paredes y la capacidad (interior) V, para que al

hacerlo se gaste la menor cantidad posible de material.

Respuesta: 3 22 Vyx , xz21



147. La temperatura en el punto ),( yx sobre una placa metálica es

22 44),( yyxxyxT . Una hormiga camina sobre la placa alrededor del círculo

2522 yx . ¿Cuáles son las temperaturas máxima y mínima que encuentra la hormiga?

148. [LL] Suponga que T grados es la temperatura en cualquier punto ),,( zyx de la esfera

4222 zyx , y zyxzyxT 2100),,( . Obtenga los puntos de la esfera donde la

temperatura es la máxima y también los puntos donde es mínima. Además calcule la

temperatura en estos puntos.

5.12.- MULTIPLICADORES DE LAGRANGE.

Resolver los ejercicios siguientes mediante multiplicadores de Lagrange.

149. Determínese el punto de la superficie 1 yxz más próximo al origen.

Respuesta: )1,0,0(

150. [FA] Averiguar la mínima distancia del origen a la hipérbola 22578 22 yyxx ,

0z .

Respuesta: 5 unidades de longitud

151. [EP] Use multiplicadores de Lagrange para determinar las dimensiones del cilindro

circular recto con volumen máximo, si el área de su superficie es 24 .

Respuesta: Radio 2, Altura 4

152. [LL] Si ),( yxT grados es la temperatura en cualquier punto ),( yx del disco circular

limitado por la circunferencia 122 yx y yyxyxT 222),( , determine los puntos

más calientes y los más fríos del disco y la temperatura en esos puntos.

Respuesta: 49

21

21 ),3( T ;

41

21 ),0( T

153. [LL] En el problema anterior suponga que la región es la mitad superior del disco

circular, por lo que la región está definida por 122 yx y 0y . Determine los puntos

más calientes y los más fríos de la región si 22 532),( yyxxyxT .



154. [LL] En cualquier punto ),( yx de la curva 1124 22 yx la temperatura es T grados,

y xyxyxT 2244),( 22 . Determine los puntos de la curva donde la temperatura es

máxima y donde es mínima. También calcule la temperatura en esos puntos.

155. Calcule las distancias mayor y menor desde el origen a la curva de intersección de las

superficies 3023 222 zyx y zyx 22 .

156. [FA] Hallar los valores máximo y mínimo de 222),,( zyxzyxf sujetos a las

condiciones 12554

222

zyx

y yxz .

Respuesta: Maximo: 10, Mínimo: 1775



BIBLIOGRAFÍA.

APOSTOL, T, Calculus., REVERTÉ Ediciones, S.A de C.V. México, 2009.

DEMIDOVICH, B y otros. Problemas y Ejercicios de Análisis Matemático. Editorial MIR,

Moscú, 1977.

DEMIDOVICH, B. 5000 Problemas de Análisis Matemático. Editorial Paraninfo, 1988.

LANG, S, A Second Course in Calculus, 2 ed., Adisson – Wesley Publishing Company,

Inc., California, 1969.

LARSON, R y HOSTETLER, R, Cálculo y Geometría Analítica, 2 ed., Editorial

Interamericana de Venezuela, C.A., división de Mc Graw – Hill Internacional, Caracas,

1986.

LARSON, R, HOSTETLER, R y EDWARDS, B, Cálculo con Geometría Analítica, 8 ed.,

Mc Graw – Hill Interamericana Editores S.A de C.V, México, 2006.

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05 funciones de varias variables

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