funciones varias variables i

8/6/2019 Funciones Varias Variables I

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Funciones de varias variables I

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES I

Autores: Paco Martnez ([email protected]), Patrici Molins ([email protected]).

ESQUEMA DE CONTENIDOS ________________________

Aritmtica

Grfica

Abiertos

y

cerrados

Curvas de

nivel

Entornos

Lmites

Continuidad

Funciones devarias

variables I

EjemplosConceptos

Proyecto e-Math 1Financiado por la Secretara de Estado de Educacin y Universidades (MECD)


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INTRODUCCIN ___________________

No siempre es posible expresar una magnitud como funcin matemtica de una sola variable. Alcontrario, las funciones de inters en ingeniera dependern en general- de un gran nmero devariables. Este Math-block est dedicado a extender a funciones de ms de una variable los

conceptos de lmite, continuidad y derivabilidad que ya hemos visto en una dimensin en bloquesanteriores.

Empezaremos proporcionando ejemplos de magnitudes que se describen mediante funciones devarias variables y representaremos en tres dimensiones las funciones de dos variables.

Despus introduciremos las nociones topolgicas necesarias para definir el concepto dedistancia, que nos permite definir bolas, entornos, conjuntos abiertos, conjuntos cerrados,conjuntos compactos y puntos de acumulacin.

Ms tarde presentaremos el concepto de continuidad basndonos en la definicin de lmite, eilustraremos el clculo de lmites de funciones de ms de una variable.

OBJETIVOS ________________________

1. Aproximarnos al concepto de funciones de varias variables.

2. Saber relacionar las curvas de nivel de una funcin con su grfico.

3. Entender la extensin de los conceptos de continuidad y lmites para funciones de variasvariables.

4. Clasificar, topolgicamente, un conjunto 2D.

5. Saber calcular lmites direccionales y generales.

6. Representar grficamente, con la ayuda del Mathcad, funciones de 2 variables y suscurvas de nivel.

CONOCIMIENTOS PREVIOS ___________________________________

Para poder seguir con xito esta unidad es recomendable haberse ledo los siguientes Math-blocks: Uso bsico del Mathcad, Funciones de una variable, Lmites de funciones,Continuidad, Derivacin y Estudio local y representacin grfica en 2D.

CONCEPTOS FUNDAMENTALES ______________________________

Definicin de funcin de varias variables: Grfica y curvas de nivel.

Una funcin con n variables reales es una regla f que asocia a cada punto(x1, x 2,.., x n) D R

n un nico nmero real z = f(x 1, x 2,.., x n). Representaremos esta funcincomo f: D R. D se llama dominio de definicin de f .

Ejemplos:



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Grfica 3D

surf

Mapa de curvas de nivel

M

Definicin de Entornos: Conjuntos abiertos y cerrados. Compactos.

Un rectngulo A en R n es aquel conjunto de puntos cuyas coordenadas estn limitadas por intervalos.

- Rectngulo abierto : no contiene ninguno de los extremos:

A = { x = (x 1,x2,...,x n) Rn : a 1 < x 1 < b 1 , a 2 < x 2 < b 2 , ... , a n < x n < b n }

- Rectngulo semi-abierto : contiene alguno de los extremos de los intervalos.

- Rectngulo cerrado : contiene todos los extremos de los intervalos:

A = { x = (x 1,x2,...,x n) Rn : a 1 x1 b1 , a 2 x2 b2 , ... , a n xn bn }

CEA

Un conjunto O de R n es abierto si para cualquier punto x del conjunto existe algn rectngulo

A que contiene el punto y que est totalmente contenido en el conjunto. La unin y lainterseccin de dos conjuntos abiertos es otro abierto.



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Un conjunto T de R n es cerrado si su complementario, R n \T, es abierto. La unin y lainterseccin de dos conjuntos cerrados es un cerrado.

Un entorno de un punto x de R n es cualquier conjunto dentro del cual haya un abierto quecontenga al punto.Un conjunto C de R n est acotado si lo podemos incluir dentro de un rectngulo cerrado.

Se dice que un conjunto es compacto cuando es cerrado y acotado.

Definicin de lmite: continuidad.

En caso de que exista, el lmite cuando x = (x 1,x2,...,x n) tiende a a = (a 1,a 2,...,a n) Rn

de unafuncin f(x) se representa por:

),...,,()( 21),...,,(),...,,( 2121

naaa x x xa x

x x x f lim x f liml nn

==

Ejemplos:

1) Veamos que( )

1coslim22

2

)0,0(,=

+ y x y x

y x .



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Solucin:

Dado que el lmite de existir siempre que pertenezca a , tenemos que calcular el

lmite de la funcin

)cos( z z

2

2

y

y x+2

x

z =

z

cuando ( . Para resolver este lmite basta

con fijarse que la funcin puede expresarse como el producto de dos funciones:

)0,0(, y x )

22

2

y x x+

+ 10 22

2

y x x

e

y

Como el valor absoluto de la primera est acotado y la segunda tiende a 0, entonces, el lmite

( )( ) ( ) ( )0limlim

22

2

0,0,0,0),=

+=

y x

y x z

y x y x

y el lmite de su coseno, 1.

2) Veamos que no existe el lmite:( )

( )2

2

)0,0(,

sinlim

y x y x

y x . Para demostrar la no existencia de

lmite, basta con probar que para una posible aproximacin el lmite no existe.)0,0(),( y xSupongamos que intentamos efectuar el clculo de este lmite aproximando (

siguiendo la curva dada por la dependencia funcional con . Siguiendo esta

curva, el clculo del lmite( )

)0,0(), y xk x y = 0>k

( )

2

2

0,0,sinlim

y x y x

y xresultara en un lmite unidimensional:

k

xk

k

x x

x x

+

+

=

1

021

2

0limsinlim

Cuando este lmite unidimensional no existe puesto que la funcin tiende ainfinito. Por lo tanto, el lmite bidimensional no existe.

1>k k x 1

El clculo de lmites direccionales se utiliza a menudo para estudiar aquellos lmites en loscuales tengamos algn problema. Consideremos un determinado punto a = (a 1,a 2,...,a n) y unvector director v = (v 1,v2,...,v n). El lmite de una funcin f(x) en el punto a y en la direccin v secalcula de la siguiente manera:

),...,,(lim 22110 nnt vt avt avt a f +++

Es importante recordar las siguientes propiedades :

Si el lmite en una determinada direccin v no existe, entonces el lmite general tampoco.

Si todos los lmites direccionales existen pero no son todos iguales, entonces el lmite generaltampoco existe.

Una funcin f(x) es continua en un punto x = a si se cumplen las siguientes condiciones:

(1) El punto x = a es un punto del dominio de la funcin, es decir, existe f(a).



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CASOS PRCTICOS CON SOFTWARE___________________________________

Ejemplo de clculo de dominio y representacin grfica:

Dada la funcin z = f(x,y) = 3x + 4y, se pide:

Cul es el dominio de esta funcin?.Cmo es la grfica de la funcin?. Dibjala con el Mathcad.Cul es la curva de nivel para el valor z = 12?. Deducirla matemticamente.Dibujar el mapa de curvas de nivel de la funcin. Interpretarla.

La funcin est definida para cualquier par (x,y) de R 2. Por tanto, D = R 2.La grfica de la funcin es un plano. De hecho, las funciones f(x,y) = ax + by son llamadasfunciones lineales en dos variables.

Introducimos la funcin arepresentar.

Definamos el rea (subconjunto dex ) donde vamos a representar

la funcin F(x,y).

Tambin tenemos queproporcionar el nmero de puntospor direccin donde la funcin serevaluada.

Definamos la funcin surf como lared de puntos generados conF(x,y)

F x y,( ) 3x 4y+:=

xlow 4:= xhigh 4:=

ylow 4:= yhigh 4:=

xn 100:=

yn 100:=

surf CreateMesh F xlow, xhigh, ylow, yhig,(:=



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Utilizamos Surface Plot de Graphpara representar esta funcin.

Efectuando una rotacin en elespacio, podemos obtener laimagen de la funcin desdeperspectivas diferentes. Basta conpinchar con el botn izquierdo delcursor en la figura desplazndolo.Alternativamente podemos pinchar la figura con el botn derecho yseguir el men que se abre alescoger format .

surf

surf

c) La curva de nivel de valor z = 12 est formada por todos los pares (x,y) tal que f(x,y) = 3x +4y = 12 o, dicho de otro modo, tal que y = 3 - 3/4 x.

== x y y xC z 43

3quetal),(12

Por tanto, la curva de nivel es una recta.

d) Todas las curvas de nivel son rectas con la misma pendiente, aunque desplazadas deforma paralela.



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Introducimos la funcin arepresentar.

Definamos el rea (subconjunto dex ) donde vamos a representar

las curvas de nivel.

Tambin tenemos queproporcionar el nmero de puntospor direccin donde la funcin serevaluada.

Obtenemos el mapa de las curvasde nivel de la funcin.

F x y,( ) 3x 4y+:=

xlow 4:= xhigh 4:=

ylow 4:= yhigh 4:=

xn 100:=

yn 100:=

i 0 xn 1..:= xindi xlow ix g x ow

xn 1+:=

j 0 yn 1..:= yind j ylow jyhigh ylow

yn 1+:=

M i j, f xindi yind j,( ):=

Level curves:

M

Las curvas que estn situadas ms a la derecha tienen asociado un valor de la funcin mayor.

Por tanto, la funcin crece cuando nos desplazamos hacia esta zona, y decrece conforme nosdesplazamos hacia la izquierda.

Ejemplo de clasificacin topolgica de un conjunto en 2D:

Considerar el siguiente conjunto C = {(x,y) : y > x 2 , x > 0 , y > 0}.

(a) Representadlo grficamente.

(b) Decir si es un conjunto abierto o cerrado. Es un conjunto compacto?

(c) Y si tenemos el conjunto D = {(x,y) : y x2, 0 x 2 , 0 y 1}? es compacto?

(a) Observar que C no es ms que la interseccin de dos conjuntos:



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C1 = {(x,y) : y > x2} y C2 = {(x,y) : x > 0 , y > 0}

Conjunto C 1:

Para ver qu puntos del plano (x,y) son aquellos que verifican la condicin y > x 2, hemos derepresentar la grfica de la funcin y = x 2 . Despus, hemos de decidir cul de las dos zonasen las que nos quedar dividido el plano es la que contiene los puntos que verifican ladesigualdad.

Para decidir que la zona de color gris es la que verifica la desigualdad, slo se ha de elegir unpunto cualquiera de su interior (por ejemplo el (0,7)) y comprobar que satisface la desigualdad(efectivamente, 7 > 0 2 ).

Observar que, como tenemos una desigualdad estricta, los puntos que estn sobre la grficano pertenecen al conjunto (por tal motivo hay una lnea discontinua).

- Conjunto C 2:

Este conjunto est formado por aquellos puntos situados en el primer cuadrante (la x y la yson siempre positivas). Observar que como las desigualdades son estrictas, los puntos queestn sobre los ejes no pertenecen al conjunto:

Haciendo la interseccin de los conjuntos anteriores, obtendremos la representacin de C:



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(b) C es abierto, ya que para cualquier punto del conjunto podemos encontrar una bola queest completamente incluida en C. Observar que todas las desigualdades que aparecenson desigualdades estrictas. Adems, no es cerrado, ya que su complementario no esabierto. Por tanto, como no es un cerrado, no es un conjunto compacto. Observar que, dehecho, el conjunto C no es acotado.

(c) Observar que podemos considerar este conjunto como la interseccin de dos conjuntos:

D1 = {(x,y) : y x2} y D2 = {(x,y) : 0 x 2, 0 y 1}

El primer conjunto es exactamente el mismo que C 1 pero incluyendo tambin a los puntos quepertenecen a la grfica. El segundo conjunto no es nada ms que un rectngulo cerrado de

2x1. La representacin del conjunto D es la zona de color gris:

Por la forma que tiene el conjunto D podemos decir que es un conjunto acotado (es muy fcilencontrar una bola que contenga al conjunto). Adems, est claro que el conjunto es cerrado (si consideris el conjunto complementario a D veris que es un conjunto abierto). Por tanto,como es un conjunto acotado y cerrado, es un conjunto compacto .



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Ejemplo de clculo de lmites en dos dimensiones:

Calculad los lmites de las funciones siguientes y determinad si las funciones soncontinuas en los puntos donde calculis los lmites:

a) ( ) 22 12)0,0(),(

)sin(1lim y x y x

y x +

+ b) 23

)0,0(),(lim

y x

y x

c) x xy

y x

)sin(lim

)2,0(),( d)

2)1,1(),( +

y x y x

y xlim

Para el clculo de lmites seguimos la siguiente estrategia. Si intuimos que el lmite existe,

intentamos simplificar la funcin asociada utilizando la tcnica de los infinitsimos

equivalentes y/o buscamos como expresar dicha funcin como una funcin acotada por una

funcin que tiende a cero. Tenemos que asegurarnos que los clculos que realizamos

corresponden a lmites realizados desde todos los posibles entornos alrededor del punto al

que hacemos tender las variables ( x,y ).

Por el contrario, cuando suponemos que el lmite no existe, basta con demostrar que

siguiendo dos caminos diferentes que conducen al punto al cual hacemos tender las variables

( x,y ), obtenemos valores diferentes.

a) Apliquemos, en primer lugar, el logaritmo a toda la expresin.

+ +

22

1

2

)0,0(),())sin(1(limln y x

y x y x

Si el lmite de la funcin existe, la expresin anterior equivaldr al logaritmo neperiano del

lmite y ser igual al lmite del logaritmo neperiano. Lo que nos permitir escribir:

( )=++=

+ + 22

2

)0,0(),(

1

2)0,0(),(

)sin(1lnlim))sin(1(lnlim 22 y x

y x y x y x

y x y x

La expresin puede ser multiplicada por equivalencias basadas en infinitsimos equivalentes:

=++

+ )sin())sin(1ln(

)sin())sin(1ln(lim 2

2

2

2

22

2

)0,0(),( y x y x

y x y x

y x y x

y x=

siempre que los denominadores de las fracciones unidad (iguales a 1) no sean cero.

Separamos pues la resolucin del lmite en tres partes: A) tanto x como y son diferentes decero, B) x es diferente de cero e y = 0 y C) y es diferente de cero y x = 0.



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A) en este caso podemos simplificar puesto que los denominadores son diferentes de cero y

obtener:

0limlim 222

)0,0(),(22

2

)0,0(),(=

+=

+=

y

y x x

y x y x

y x y x

En la segunda igualdad hemos utilizado el hecho que el lmite de una funcin acotada por una

funcin que tiende a cero, es cero. Notad que la primera funcin 1222

+ y x

x

10 =e

cuando ambas

x e y son distintas de cero. Entonces el lmite que buscamos ser: si coincide con el

resultado en B) y en C).

B) cuando x es distinto de 0 , pero y es idnticamente igual a 0 , podemos simplificar la

expresin de partida obteniendo:

( ) 101lim 21

0=+

x

x

al ser el interior de la potencia un 1 exacto.

C) de la misma forma encontramos que tambin en el tercer caso (x = 0 e y 0 ) el limite vale1:

( ) 101lim 21

0=+

y

y

Por lo tanto, el lmite de la funcin cuando (x,y) (0,0) es 1.

Entonces, la funcin presenta una discontinuidad evitable en el punto ( 0,0 ). Basta con definir

la funcin en dicho punto de forma que sea igual al valor del lmite: 1.

b) Es relativamente sencillo demostrar que el 2

3

)0,0(),(lim

y x

y x no existe. Basta con calcular un

lmite de dicha funcin que diverja. Efectuemos el clculo del lmite suponiendo que (x,y) se

aproxima a (0,0) siguiendo la parbola y = x 2 :

=== x x

x y x

x x y x

1limlimlim

04

3

02

3

)0,0(),(



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En el segundo caso aproximaremos (x,y) a (1,1) siguiendo la direccin del vector v = (1,0):

11limlim211

11lim)1,1(lim)01,11(lim

00000===

+++=+=++

t t t t t t t

t t

t f t t f

Por lo tanto, no existe el lmite de esta funcin en (1,1) y, por tanto, la funcin presenta unadiscontinuidad no evitable en este punto.

Con Mathcad se podra calcular, tambin, los lmites direccionales:



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BIBLIOGRAFA _________________ ______________________________________

[1] Benker, H. (1999): "Practical use of Mathcad. Solving mathematical problems with a computer algebra system", Springer-Verlag New York, Inc.

[2] Moreno, J.A.; Ser, D. (1999): "Mathcad 8. Manual de usuario y gua de referencia de Mathcad8", ediciones Anaya Multimedia, S.A.

[3] Aguli, F.; Boadas, J.; Garriga, E.; Villalb, R. (1991): Temes clau de clcul. Barcelona: UPC.

[4] Courant, R.; John, F. (1971): Introduccin al clculo y al anlisis matemtico. Mxico: Limusa.

[5] Vaquero, A.; Fernndez, C. (1987): La Informtica Aplicada a la Enseanza. Eudema S.A.Madrid.P 37.

[6] Ortega J. (1990): Introducci a lanlisi matemtica. Barcelona: Publicacions de la UniversitatAutnoma de Barcelona.

[7] Tang, S. (1986): Applied Calculus. PWS Publishers.

[8] Burbulla, D.(1993): Self-Tutor for Computer Calculus Using Maple. Prentice Hall.

[9] Hunt, R. (1994): "Calculus". Ed. Harper Collins.



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ENLACES_________________________________________________________________

[W1] http://mate.dm.uba.ar/~pdenapo/dif.html

Pgina web donde se extiende el concepto de derivada a funciones de varias variables. Estla teora con ejemplos.

[W2] http://www.okmath.com/Catego3.asp?clave=231

Pgina web con problemas resueltos sobre Diferenciablilidad de Funciones de VariasVariables.

[W3] http://planetmath.org/encyclopedia/Differentiable.html

Pgina web de la enciclopedia de PlanetMath.org sobre diferenciabilidad. Tambin se puedenbuscar en http://planetmath.org/encyclopedia otros conceptos como lmites, por ejemplo,dndole a l letra L. Est en ingls.

[W4] http://www.satd.uma.es/matap/svera

Pgina web de Salvador Vera Ballesteros, profesor del Departamento de matemticasaplicada de la universidad de Mlaga. Contiene problemas y apuntes sobre funciones devarias variables.

[W5] http://cariari.ucr.ac.cr/~cimm/calculo.html

Pgina web que trata sobre un curso de clculo diferencial. Se introduce el concepto defunciones de varias variables y el de de derivacin parcial. Conceptos muy tiles en lasaplicaciones. Hay teora y ejercicios.

[W6] http://www.dma.fi.upm.es/docencia/primerciclo/calculo/grupo13m/

Pgina web del Departamento de matemticas aplicada de la universidad politcnica deMadrid. Contiene ejercicios y exmenes sobre funciones de varias variables.

[W7] http://www.uco.es/organiza/departamentos/quimica-fisica/quimica-fisica/CD/CD0.htm

Pgina web que trata sobre un curso de aprendizaje de Mathcad. Hay ejemplos sobrefunciones de varias variables.

[W8] http://www.terra.es/personal/jftjft/Home.htm

Pgina completa sobre todo lo relacionado con las matemticas. Aparecen matemticosfamosos y aplicaciones de las matemticas a diversos campos.

Proyecto e-Math 18
http://mate.dm.uba.ar/~pdenapo/dif.htmlhttp://www.okmath.com/Catego3.asp?clave=231http://planetmath.org/encyclopedia/Differentiable.htmlhttp://planetmath.org/encyclopediahttp://www.satd.uma.es/matap/sverahttp://cariari.ucr.ac.cr/~cimm/calculo.htmlhttp://cariari.ucr.ac.cr/~cimm/cap_09/cap9_4.htmlhttp://www.dma.fi.upm.es/docencia/primerciclo/calculo/grupo13m/http://www.uco.es/organiza/departamentos/quimica-fisica/quimica-fisica/CD/CD0.htmhttp://www.terra.es/personal/jftjft/Home.htmhttp://www.terra.es/personal/jftjft/Home.htmhttp://www.uco.es/organiza/departamentos/quimica-fisica/quimica-fisica/CD/CD0.htmhttp://www.dma.fi.upm.es/docencia/primerciclo/calculo/grupo13m/http://cariari.ucr.ac.cr/~cimm/calculo.htmlhttp://cariari.ucr.ac.cr/~cimm/cap_09/cap9_4.htmlhttp://www.satd.uma.es/matap/sverahttp://planetmath.org/encyclopediahttp://planetmath.org/encyclopedia/Differentiable.htmlhttp://www.okmath.com/Catego3.asp?clave=231http://mate.dm.uba.ar/~pdenapo/dif.html

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