funciones de varias variables · 884 capÍtulo 13 funciones de varias variables sección 13.1...

883

Las áreas coloreadas mostradas en el mapa climático mundial repre-sentan el rango de temperatura anual normal de las regiones en laTierra. ¿Cuáles son las dos características geográficas que tienenmayor efecto en el rango de temperatura? ¿Por qué?

13 Funciones de varias variables

Muchas cantidades en la vida realson funciones de dos o más varia-bles. En la sección 13.1 se apren-derá a representar gráficamente unafunción de dos variables, como laque se muestra arriba. Las tres gráfi-cas superiores muestran vistas decortes de la superficie de variastrazas. Otra manera de visualizaresta superficie es proyectar lastrazas sobre el plano xy, como semuestra en la cuarta gráfica.

NASA/Science Photo Library/Photo Researchers, Inc.

884 CAPÍTULO 13 Funciones de varias variables

Sección 13.1 Introducción a las funciones de varias variables

• Entender la notación para una función de varias variables.• Dibujar la gráfica de una función de dos variables.• Dibujar las curvas de nivel de una función de dos variables.• Dibujar las superficies de nivel de una función de tres variables.• Utilizar gráficos por computadora para representar una función de dos

variables.

Funciones de varias variables

Hasta ahora en este texto, sólo se han visto funciones de una sola variable (indepen-diente). Sin embargo, muchos problemas comunes son funciones de dos o más variables.Por ejemplo, el trabajo realizado por una fuerza y el volumen de un cilindrocircular recto son funciones de dos variables. El volumen de un sólido rec-tangular es una función de tres variables. La notación para una función dedos o más variables es similar a la utilizada para una función de una sola variable. Aquíse presentan dos ejemplos.

Función de 2 variables.

2 variables

y

Función de 3 variables.

3 variables

En la función dada por y son las y variables independientes y zes la variable dependiente.

Pueden darse definiciones similares para las funciones de tres, cuatro o n va-riables donde los dominios consisten en tríadas (x1, x2, x3), tétradas (x1, x2, x3, x4) y

adas (x1, x2, . . ., xn). En todos los casos, el recorrido o rango es un conjunto denúmeros reales. En este capítulo, sólo se estudian funciones de dos o tres variables.

Como ocurre con las funciones de una variable, la manera más común paradescribir una función de varias variables es por medio de una ecuación, y a menos quese diga explícitamente, se puede suponer que el dominio es el conjunto de todos lospuntos para los que la ecuación está definida. Por ejemplo, el dominio de la funcióndada por

se supone que es todo el plano xy. Similarmente, el dominio de

es el conjunto de todos los puntos en el plano para los que Esto consisteen todos los puntos del primer y tercer cuadrantes.

xy > 0.�x, y�

f �x, y� � ln xy

f �x, y� � x2 � y2

n-

yxz � f �x, y�,

w � f �x, y, z� � x � 2y � 3z

z � f �x, y� � x2 � xy

�V � lwh��V � � r2h�

�W � FD�

MARY FAIRFAX SOMERVILLE (1780-1872)

Somerville se interesó por el problema decrear modelos geométricos de funciones devarias variables. Su libro más conocido, The Mechanics of the Heavens, se publicó en 1831.

Arc

hive

Pho

tos

E X P L O R A C I Ó N

Comparación de dimensiones Sinusar una graficadora, describir la grá-fica de cada función de dos variables.

a)

b)

c)

d)

e) z � �1 � x2 � y2

z � �x2 � y2

z � x2 � y

z � x � y

z � x2 � y2

Definición de una función de dos variables

Sea D un conjunto de pares ordenados de números reales. Si a cada par ordena-do (x, y) de D le corresponde un único número real f(x, y), entonces se dice quef es una función de x y y. El conjunto D es el dominio de f, y el correspon-diente conjunto de valores f(x, y) es el rango o recorrido de f.

EJEMPLO 1 Dominios de funciones de varias variables

Hallar el dominio de cada función.

a) b)

Solución

a) La función está definida para todos los puntos tales que y

Por tanto, el dominio es el conjunto de todos los puntos que están en el círculoo en su exterior, con excepción de los puntos en el eje y, como se

muestra en la figura 13.1.

b) La función g está definida para todos los puntos tales que

Por consiguiente, el dominio es el conjunto de todos los puntos que seencuentran en el interior de la esfera de radio 3 centrada en el origen.

Las funciones de varias variables pueden combinarse de la misma manera que lasfunciones de una sola variable. Por ejemplo, se puede formar la suma, la diferencia,el producto y el cociente de funciones de dos variables como sigue.

No se puede formar la composición de dos funciones de varias variables. Sin embar-go, si es una función de varias variables y es una función de una sola variable,puede formarse la función compuesta como sigue.

El dominio de esta función compuesta consta de todo en el dominio de tal queestá en el dominio de Por ejemplo, la función dada por

puede verse como la composición de la función de dos variables dadas por y la función de una sola variable dada por El dominio de

esta función es el conjunto de todos los puntos que se encuentran en la elipse dada por4x2 � y2 � 16 o en su interior.

Una función que puede expresarse como suma de funciones de la forma (donde c es un número real y m y n son enteros no negativos) se llama una funciónpolinómica de dos variables. Por ejemplo, las funciones dadas por

y

son funciones polinómicas de dos variables. Una función racional es el cociente dedos funciones polinómicas. Terminología similar se utiliza para las funciones de másde dos variables.

g�x, y� � 3xy2 � x � 2f �x, y� � x2 � y2 � 2xy � x � 2

cxmyn

g�u� � �u.16 � 4x2 � y2h �x, y� �

f �x, y� � �16 � 4x2 � y2

g.h �x, y�h�x, y�

�g � h��x, y�gh

�x, y, z�

x2 � y2 � z2 < 9.

�x, y, z�

x2 � y2 � 9,

x2 � y2 ≥ 9.

x � 0�x, y�f

g�x, y, z� �x

�9 � x2 � y2 � z2f �x, y� ��x2 � y2 � 9

x

SECCIÓN 13.1 Introducción a las funciones de varias variables 885

Figura 13.1

Composición.�g � h��x, y� � g�h�x, y��

Suma o diferencia.

Producto.

Cociente. fg

�x, y� �f �x, y�g�x, y� g�x, y� � 0

� f g� �x, y� � f �x, y�g�x, y� � f ± g��x, y� � f �x, y� ± g�x, y�

Gráfica de una función de dos variables

Como en el caso de las funciones de una sola variable, se puede saber mucho acercadel comportamiento de una función de dos variables dibujando su gráfica. La gráficade una función f de dos variables es el conjunto de todos los puntos para losque y está en el dominio de f. Esta gráfica puede interpretarsegeométricamente como una superficie en el espacio, como se explicó en las secciones11.5 y 11.6. En la figura 13.2, hay que observar que la gráfica de es unasuperficie cuya proyección sobre el plano xy es D, el dominio de f. A cada punto (x, y) en D corresponde un punto (x, y, z) de la superficie y, viceversa, a cada punto (x,y, z) de la superficie le corresponde un punto (x, y) en D.

EJEMPLO 2 Descripción de la gráfica de una funciónde dos variables

¿Cuál es el recorrido o rango de Describir la gráfica de f.

Solución El dominio D dado por la ecuación de f es el conjunto de todos los puntos(x, y) tales que Por tanto, D es el conjunto de todos los puntosque pertenecen o son interiores a la elipse dada por

Elipse en el plano xy.

El recorrido o rango de f está formado por todos los valores tales queo

Recorrido o rango de f.

Un punto (x, y, z) está en la gráfica de f si y sólo si

De acuerdo con la sección 11.6, se sabe que la gráfica de f es la mitad superior de unelipsoide, como se muestra en la figura 13.3.

Para dibujar a mano una superficie en el espacio, es útil usar trazas en planosparalelos a los planos coordenados, como se muestra en la figura 13.3. Por ejemplo,para hallar la traza de la superficie en el plano se sustituye en la ecuación

y se obtiene

Por tanto, la traza es una elipse centrada en el punto (0, 0, 2) con ejes mayor y menorde longitudes y

Las trazas también se usan en la mayor parte de las graficadoras tridimensionales.Por ejemplo, la figura 13.4 muestra una versión generada por computadora de lasuperficie dada en el ejemplo 2. En esta gráfica la calculadora tomó 25 trazas parale-las al plano xy y 12 trazas en planos verticales.

Si se dispone de una graficadora tridimensional, utilícese para representar variassuperficies.

2�3.4�3

x2

3�

y2

12� 1.2 � �16 � 4x2 � y2

z � �16 � 4x2 � y2z � 2z � 2,

x2

4�

y2

16�

z2

16� 1, 0 ≤ z ≤ 4.

4x2 � y2 � z2 � 16

z2 � 16 � 4x2 � y2

z � �16 � 4x2 � y2

0 ≤ z ≤ 4.

0 ≤ z ≤ �16z � f �x, y�

x2

4�

y2

16� 1.

16 � 4x2 � y2 ≥ 0.

f �x, y� � �16 � 4x2 � y2?

z � f �x, y�

�x, y�z � f �x, y��x, y, z�


Figura 13.2

La gráfica dees la mitad superior de un elipsoideFigura 13.3

f �x, y� � �16 � 4x2 � y2

Figura 13.4

Curvas de nivel

Una segunda manera de visualizar una función de dos variables es usar un campoescalar en el que el escalar se asigna al punto Un campo escalarpuede caracterizarse por sus curvas de nivel (o líneas de contorno) a lo largo de lascuales el valor de es constante. Por ejemplo, el mapa climático en la figura 13.5muestra las curvas de nivel de igual presión llamadas isobaras. Las curvas de nivelque re-presentan puntos de igual temperatura en mapas climáticos, se llaman isoter-mas, como se muestra en la figura 13.6. Otro uso común de curvas de nivel es la rep-resentación de campos de potencial eléctrico. En este tipo de mapa, las curvas de nivelse llaman líneas equipotenciales.

Los mapas de contorno suelen usarse para representar regiones de la superficie dela Tierra, donde las curvas de nivel representan la altura sobre el nivel del mar. Estetipo de mapas se llama mapa topográfico. Por ejemplo, la montaña mostrada en lafigura 13.7 se representa por el mapa topográfico de la figura 13.8.

Un mapa de contorno representa la variación de z respecto a x y y mediante espa-cio entre las curvas de nivel. Una separación grande entre las curvas de nivel indica quez cambia lentamente, mientras que un espacio pequeño indica un cambio rápido en z.Además, en un mapa de contorno para dar una mejor ilusión tridimensional es impor-tante elegir valores de c uniformemente espaciados.

f �x, y�

�x, y�.z � f �x, y�


Figura 13.7

Las curvas de nivel muestran las líneas deigual presión (isobaras) medidas en milibaresFigura 13.5

Las curvas de nivel muestran líneas de igualtemperatura (isotermas) medidas en gradosFahrenheitFigura 13.6

Figura 13.8

USG

S

Alf

red

B. T

hom

as/E

arth

Sce

nes

EJEMPLO 3 Dibujo de un mapa de contorno

El hemisferio dado por se muestra en la figura 13.9. Di-bujar un mapa de contorno de esta superficie utilizando curvas de nivel que corres-pondan a

Solución Para cada c, la ecuación dada por es un círculo (o un punto) enel plano xy. Por ejemplo, para la curva de nivel es

Círculo de radio 8.

la cual es un círculo de radio 8. La figura 13.10 muestra las nueve curvas de nivel delhemisferio.

EJEMPLO 4 Dibujo de un mapa de contorno

El paraboloide hiperbólico dado por

se muestra en la figura 13.11. Dibujar un mapa de contorno de esta superficie.

Solución Para cada valor de c, sea y dibújese la curva de nivel resultanteen el plano xy. Para esta función, cada una de las curvas de nivel es una hipér-bola cuyas asíntotas son las rectas Si el eje transversal es horizontal.Por ejemplo, la curva de nivel para está dada por

Hipérbola con eje transversal horizontal.

Si el eje transversal es vertical. Por ejemplo, la curva de nivel para estádada por

Hipérbola con eje transversal vertical.

Si la curva de nivel es la cónica degenerada representada por las asíntotas quese cortan, como se muestra en la figura 13.12.

c � 0,

y2

22 �x2

22 � 1.

c � 4c > 0,

x2

22 �y2

22 � 1.

c � �4c < 0,y � ±x.

�c � 0�f �x, y� � c

z � y2 � x2

x2 � y2 � 64

c1 � 0,f �x, y� � c

c � 0, 1, 2, . . . , 8.

f �x, y� � �64 � x2 � y2


HemisferioFigura 13.9

Mapa de contornoFigura 13.10

Paraboloide hiperbólicoFigura 13.11

Curvas de nivel hiperbólicas (con incrementos de 2) Figura 13.12

Un ejemplo de función de dos variables utilizada en economía es la función deproducción de Cobb-Douglas. Esta función se utiliza como un modelo para repre-sentar el número de unidades producidas al variar las cantidades de trabajo y capital.Si x mide las unidades de trabajo y y mide las unidades de capital, el número deunidades producidas está dado por

donde y son las constantes con

EJEMPLO 5 La función de producción de Cobb-Douglas

Un fabricante de juguetes estima que su función de producción es donde x es el número de unidades de trabajo y y es el número de unidades de capital.Comparar el nivel de producción cuando x � 1 000 y y � 500 con el nivel de produc-ción cuando x � 2 000 y y � 1 000.

Solución Cuando x � 1 000 y y � 500, el nivel de producción es

ƒ(1 000, 500) � 100(1 0000.6)(5000.4) � 75 786.

Cuando x � 2 000 y y � 1 000, el nivel de producción es

ƒ(2 000, 1 000) � 100(2 0000.6)(1 0000.4) � 151 572.

Las curvas de nivel de se muestran en la figura 13.13. Nótese que al doblarambas x y y, se duplica el nivel de producción (ver ejercicio 79).

Superficies de nivel

El concepto de curva de nivel puede extenderse una dimensión para definir una super-ficie de nivel. Si f es una función de tres variables y c es una constante, la gráfica dela ecuación es una superficie de nivel de la función f, como se muestraen la figura 13.14.

Gracias a las computadoras, ingenieros y científicos han desarro-llado otras man-eras de visualizar las funciones de tres variables. Por ejemplo, la figura 13.15 mues-tra una simulación por computadora que utiliza colores para representar la distribu-ción óptima de esfuerzos en la puerta de un automóvil.

f �x, y, z� � c

z � f �x, y�

f �x, y� � 100x0.6y0.4,

0 < a < 1.aC

f �x, y� � Cxa y1�a


Curvas de nivel (con incrementos de 10 000)Figura 13.13

Superficies de nivel deFigura 13.14

f

Figura 13.15

Reim

pres

o co

n pe

rmiso

. © 1

997

Auto

mot

iveEn

gine

erin

g M

agaz

ine.

So

ciet

y of

Auto

mot

ive E

ngin

eers

, Inc

.

EJEMPLO 6 Superficies de nivel

Describir las superficies de nivel de la función

Solución Cada superficie de nivel tiene una ecuación de la forma

Ecuación de una superficie de nivel.

Por tanto, las superficies de nivel son elipsoides (cuyas secciones transversales para-lelas al plano yz son círculos). A medida que c aumenta, los radios de las seccionestransversales circulares aumentan según la raíz cuadrada de c. Por ejemplo, las super-ficies de nivel correspondientes a los valores c � 0, c � 4 y c � 16 son como sigue.

Superficie de nivel para (un solo punto).

Superficie de nivel para (elipsoide).

Superficie de nivel para (elipsoide).

Estas superficies de nivel se muestran en la figura 13.16.

NOTA Si la función del ejemplo 6 representara la temperatura en el punto (x, y, z), las super-ficies de nivel mostradas en la figura 13.16 se llamarían superficies isotermas.

Gráficas por computadora

El problema de dibujar la gráfica de una superficie en el espacio puede simplificarseusando una computadora. Aunque hay varios tipos de graficadoras tridimensionales,la mayoría utiliza alguna forma de análisis de trazas para dar la impresión de tresdimensiones. Para usar tales graficadoras, por lo general se necesita dar la ecuaciónde la superficie, la región del plano xy sobre la cual la superficie ha de visualizarse yel número de trazas a considerar. Por ejemplo, para representar gráficamente la super-ficie dada por

se podrían elegir los límites siguientes para x, y y z.

Límites para .

Límites para .

Límites para .

La figura 13.17 muestra una gráfica de esta superficie generada por computadora uti-lizando 26 trazas paralelas al plano yz. Para realizar el efecto tridimensional, el pro-grama utiliza una rutina de “línea oculta”. Es decir, comienza dibujando las trazas enprimer plano (las correspondientes a los valores mayores de x), y después, a medidaque se dibuja una nueva traza, el programa determina si mostrará toda o sólo parte dela traza siguiente.

Las gráficas en la página siguiente muestran una variedad de superficies quefueron dibujadas por una computadora. Si se dispone de un programa de computado-ra para dibujo, podrán reproducirse estas superficies.

z 0 ≤ z ≤ 3

y �3 ≤ y ≤ 3

x �3 ≤ x ≤ 3

f �x, y� � �x2 � y2�e1�x2�y2

c � 16 x2

4�

y2

16�

z2

16� 1

c � 4 x2

1�

y2

4�

z2

4� 1

c � 0 4x2 � y2 � z2 � 0

4x2 � y2 � z2 � c.

f �x, y, z� � 4x2 � y2 � z2.


Figura 13.16

Figura 13.17


Tres vistas diferentes de la gráfica de f�x, y� � �2 � y2 � x2� e1� x2� �y2�4�

Trazas y curvas de nivel de la gráfica de f�x, y� ��4x

x2 � y 2 � 1

Trazas simples Trazas dobles Curvas de nivel

En los ejercicios 1 a 4, determinar si z es una función de x y y.

1. 2.

3. 4.

En los ejercicios 5 a 16, hallar y simplificar los valores de la fun-ción.

5.

a) b) c)

d) e) f)

6.

a) b) c)

d) e) f)

7.

a) b) c)

d) e) f)

8.

a) b) c)

d) e) f)

9.

a) b) c) d)

10.

a) b)

c) d)

11. f(x, y) � x sen y

a) b) c) d)

12.

a) b) c) d)

13.

a) b) c) d)

14.

a) b) c) d)

15. 16.

a) a)

b) b)

En los ejercicios 17 a 28, describir el dominio y rango o recorri-do de la función.

17. 18.

19. f(x, y) � arcsen(x � y) 20.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

29. Para pensar Las gráficas marcadas a), b), c) y d) son gráficasde la función Asociar cada grá-fica con el punto en el espacio desde el que la superficie esvisualizada. Los cuatro puntos son (20, 15, 25), (�15, 10, 20),(20, 20, 0) y (20, 0, 0)

a) b)

c) d)

30. Para pensar Usar la función dada en el ejercicio 29.

a) Hallar el dominio y recorrido o rango de la función.

b) Identificar los puntos en el plano xy donde el valor de la fun-ción es 0.

c) ¿Pasa la superficie por todos los octantes del sistema decoordenadas rectangular? Dar las razones de la respuesta.

En los ejercicios 31 a 38, dibujar la superficie dada por la función.

31. 32.

33. 34.

35. 36.

37.

38.

En los ejercicios 39 a 42, utilizar un sistema computarizadopara álgebra y representar gráficamente la función.

39. 40.

41. 42. f(x, y) � x sen yf �x, y� � x2e��xy�2�

z �1

12�144 � 16x2 � 9y2z � y2 � x2 � 1

f �x, y� � �xy,0,

x ≥ 0, y ≥ 0x < 0 or y < 0

f �x, y� � e�x

z �12�x2 � y2z � 4 � x2 � y2

g�x, y� �12xf �x, y� � y2

f �x, y� � 6 � 2x � 3yf �x, y� � 5

f �x, y� � �4x��x2 � y2 � 1�.

g�x, y� � x�yg�x, y� �1xy

f �x, y� � x2 � y2f �x, y� � ex�y

z �xy

x � yz �

x � yxy

f �x, y� � ln�xy � 6�f �x, y� � ln�4 � x � y�

f �x, y� � arccos�y�x�f �x, y� � �4 � x2 � 4y2f �x, y� � �4 � x2 � y2

f �x, y � �y� � f �x, y��y

f �x, y � �y� � f �x, y��y

f �x � �x, y� � f �x, y��x

f �x � �x, y� � f �x, y��x

f �x, y� � 3xy � y2f �x, y� � x2 � 2y

�12, 7��2, 5��6, 3��4, 1�

g�x, y� � �y

x

1t dt

�0, 32��32, 4��1, 4��0, 4�

g�x, y� � �y

x

�2t � 3� dt

�6, 4��4, 8��5, 2��3, 10�V�r, h� � � r2h

�4, �

2��3, �

3�3, 1��2, �

4

�10, �4, �3��4, 6, 2��6, 8, �3��0, 5, 4�

f �x, y, z� � �x � y � z

�5, 4, �6��2, 3, 4��1, 0, 1��2, 3, 9�

h�x, y, z� �xyz

�e, e��2, �3��0, 1��e, 0��5, 6��2, 3�

g�x, y� � lnx � y�t, t��x, 2��5, y��2, �1��3, 2��5, 0�

f �x, y� � xey

�t, 1��x, 0��1, y��2, 3��0, 1��0, 0�

f �x, y� � 4 � x2 � 4y2

�5, t��x, 2��5, y��30, 5��1, 4��3, 2�

f �x, y� � x�y

z � x ln y � 8 � 0x2

4�

y2

9� z2 � 1

xz2 � 2xy � y2 � 4x2z � yz � xy � 10


Ejercicios de la sección 13.1

43. Conjetura Considerar la función

a) Dibujar la gráfica de la superficie dada por f.

b) Formular una conjetura acerca de la relación entre las gráfi-cas de y Utilizar un sistema compu-tarizado para álgebra y confirmar la res-puesta.

c) Formular una conjetura acerca de la relación entre las gráfi-cas de y Utilizar un sistema compu-tarizado para álgebra y confirmar la respuesta.

d) Formular una conjetura acerca de la relación entre las gráfi-cas de y Utilizar un sistema compu-tarizado para álgebra y confirmar la respuesta.

e) En la superficie del apartado a), dibujar las gráficas dey

44. Conjetura Considerar la función para y

a) Dibujar la gráfica de la superficie dada por

b) Formular una conjetura sobre la relación entre las gráficasde y Utilizar un programa infor-mático de álgebra para confirmar su respuesta.

c) Formular una conjetura sobre la relación entre las gráficasde y Utilizar un programa informáticode álgebra para confirmar su respuesta.

d) Formular una conjetura sobre la relación entre las gráficasde y Utilizar un programa informáticode álgebra para confirmar su respuesta.

e) Sobre la superficie del apartado a), dibujar las gráficas de

En los ejercicios 45 a 48, asociar la gráfica de la superficie conuno de los mapas de contorno. [Los mapas de contorno estánmarcados a), b), c) y d).]

a) b)

c) d)

45. 46.

47. 48.

En los ejercicios 49 a 56, describir las curvas de nivel de la fun-ción. Dibujar las curvas de nivel para los valores dados de c.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

En los ejercicios 57 a 60, utilizar una graficadora para repre-sentar seis curvas de nivel de la función.

57. 58.

59. 60. h(x, y) � 3 sen(�x � � �y �)g�x, y� �8

1 � x2 � y2

f �x, y� � xyf �x, y� � x2 � y2 � 2

c � 0, ±12, ±1, ±3

2, ±2f �x, y� � ln�x � y�,

c � ±12, ±1, ±3

2, ±2f �x, y� �x

x2 � y2,

c � 2, 3, 4, 12, 13, 14f �x, y� � exy�2,

c � ±1, ±2, . . . , ±6f �x, y� � xy,

c � 0, 2, 4, 6, 8f �x, y� � x2 � 2y2,

c � 0, 1, 2, 3, 4, 5z � �25 � x2 � y2,

c � 0, 2, 4, 6, 8, 10z � 6 � 2x � 3y,

c � �1, 0, 2, 4z � x � y,

f �x, y� � cos �x2 � 2y2

4 f �x, y� � lny � x2

f �x, y� � e1�x2�y2f �x, y� � e1�x2�y2

z � f �x, x�.

g�x, y� �12 f �x, y�.f

g�x, y� � �f �x, y�.f

g�x, y� � f �x, y� � 3.f

f.

y ≥ 0.x ≥ 0f �x, y� � xy,

z � f �x, 1�.z � f �1, y�

g�x, y� � 4 � f �x, y�.f

g�x, y� � f �x, y � 2�.f

g�x, y� � f �x, y� � 2.f

f �x, y� � x2 � y2 .


Desarrollo de conceptos61. Definir una función de dos variables.

62. ¿Qué es una gráfica de una función de dos variables? ¿Cómose interpreta geométricamente? Describir las curvas de nivel.

63. Todas las curvas de nivel de la superficie dada por son círculos concéntricos. ¿Implica esto que la gráfica de f esun hemisferio? Ilustrar la respuesta con un ejemplo.

64. Construir una función cuyas curvas de nivel sean rectas quepasen por el origen.

z � f �x, y�

Redacción En los ejercicios 65 y 66, utilizar las gráficas de lascurvas de nivel (valores de c uniformemente espaciados) de lafunción f para dar una descripción de una posible gráfica de f.¿Es única la gráfica de f ? Explicar la respuesta.

65. 66.

67. Inversión En el 2005 se efectuó una inversión de $1 000 al10% de interés compuesto anual. Suponemos que el com-prador paga una tasa de impuesto R y que la tasa de inflaciónanual es I. En el año 2015, el valor V de la inversión en dólaresconstantes de 2005 es

Utilizar esta función de dos variables para completar la tabla.

68. Inversión Se depositan $1 000 en una cuenta de ahorro quegana una tasa de interés compuesto continuo r (expresado enforma decimal). La cantidad A(r, t) después de t años es

A(r, t) � 1 000ert.

Utilizar esta función de dos variables para completar la tabla.

En los ejercicios 69 a 74, dibujar la gráfica de la superficie denivel en el valor dado de c.

69.

70.

71.

72.

73.

74. f(x, y, z) � sen x � z ,

75. Explotación forestal La regla de los troncos de Doyle es unode varios métodos para determinar el rendimiento en maderaaserrada (en tablones-pie) en términos de su diámetro d (en pul-gadas) y su longitud L (en pies). El número de tablones-pie es

a) Hallar el número de tablones-pie de madera aserrada pro-ducida por un tronco de 22 pulgadas de diámetro y 12 piesde longitud.

b) Evaluar

76. Modelo de colas La cantidad de tiempo promedio que uncliente espera en una cola para recibir un servicio es

donde y es el ritmo o tasa media de llegadas, expresada comonúmero de clientes por unidad de tiempo, y x es el ritmo o tasamedia de servicio, expresada en las mismas unidades. Evaluarcada una de las siguientes cantidades.

a) b) c) d)

77. Distribución de temperaturas La temperatura T (en gradosCelsius) en cualquier punto (x, y) de una placa circular de acerode 10 metros de radio es

donde x y y se miden en metros. Dibujar algunas de las curvasisotermas.

78. Potencial eléctrico El potencial eléctrico V en cualquier punto(x, y) es

Dibujar las curvas equipotenciales de y

79. Función de producción de Cobb-Douglas Utilizar la funciónde producción de Cobb-Douglas (ver ejemplo 5) para mostrarque si el número de unidades de trabajo y el número de unidadesde capital se duplica, el nivel de producción también se duplica.

80. Función de producción de Cobb-Douglas Mostrar que la fun-ción de producción de Cobb-Douglas puede rees-cribirse como

81. Costo de construcción Una caja rectangular abierta por arri-ba tiene x pies de longitud, y pies de ancho y z pies de alto.Construir la base cuesta $0.75 por pie cuadrado y construir loslados $0.40 por pie cuadrado. Expresar el costo C de construc-ción de la caja en función de x, y y z.

82. Volumen Un tanque de propano se construye soldando hemis-ferios a los extremos de un cilindro circular recto. Expresar elvolumen V del tanque en función de r y l, donde r es el radio delcilindro y de los hemisferios, y l es la longitud del cilindro.

ln zy

� ln C � a ln xy.

z � Cxay1�a

V �14.V �

13,V �

12,

V�x, y� �5

�25 � x2 � y2.

T � 600 � 0.75x2 � 0.75y2

W�4, 2�W�12, 6�W�12, 9�W�15, 10�

W�x, y� �1

x � y, x > y

N�30, 12�.

N�d, L� � �d � 44

2 L.

c � 0

c � 0f �x, y, z� � 4x2 � 4y2 � z2,

c � 1f �x, y, z� � x2 �14y2 � z,

c � 9f �x, y, z� � x2 � y2 � z2,

c � 4f �x, y, z� � 4x � y � 2z,

c � 6f �x, y, z� � x � 2y � 3z,

f �x, y, z � c

V( I, R) =1 0001+ 0.10(1 − R)

1 + I⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

10


Tasa deTasa de inflación

impuestos 0 0.03 0.05

0

0.28

0.35

Número de años

Tasa 5 10 15 20

0.02

0.04

0.06

0.08

83. Ley de los gases ideales De acuerdo con la ley de los gasesideales, donde es la presión, es el volumen, esla temperatura (en kelvins) y k es una constante de propor-cionalidad. Un tanque contiene 2 600 pulgadas cúbicas denitrógeno a una presión de 20 libras por pulgada cuadrada y unatemperatura de 300 K.

a) Determinar

b) Expresar P como función de V y T y describir las curvas denivel.

84. Modelo matemático La tabla muestra las ventas netas x (enmiles de millones de dólares), los activos totales y (en miles demillones de dólares) y los derechos de los accionistas z (enmiles de millones de dólares) de Wal-Mart desde 1998 hasta el2003. (Fuente: 2003 Annual Report for Wal-Mart)

Un modelo para estos datos es

a) Utilizar una graficadora y el modelo para aproximar z paralos valores dados de x y y.

b) ¿Cuál de las dos variables en este modelo tiene mayor in-fluencia sobre los derechos de los accionistas?

c) Simplificar la expresión de e interpretar su signifi-cado en el contexto del problema.

85. Meteorología Los meteorólogos miden la presión atmosféri-ca en milibares. A partir de estas observaciones elaboran mapasclimáticos en los que se muestran las curvas de presión atmos-férica constante (isobaras) (ver la figura). En el mapa, mientrasmás juntas están las isobaras es mayor la velocidad del viento.Asociar los puntos A, B y C con a) la mayor presión, b) lamenor presión y c) la mayor velocidad del viento.

Figura para 85 Figura para 86

86. Lluvia ácida La acidez del agua de lluvia se mide en uni-dades llamadas pH. Un pH de 7 es neutro, valores menores co-rresponden a acidez creciente, y valores mayores a alcalinidadcreciente. El mapa muestra las curvas de pH constante y da evi-dencia de que en la dirección en la que sopla el viento de áreasmuy industrializadas la acidez ha ido aumentando. Utilizar lascurvas de nivel en el mapa, para determinar la dirección de losvientos dominantes en el noreste de Estados Unidos.

87. Uso del aire acondicionado El mapa de contorno mostradoen la figura representa el promedio estimado de horas anualesde uso de aire acondicionado en los hogares. (Fuente: Associa-tion of Home Appliance Manufacturers)

a) Hacer un análisis del uso de colores para representar las cur-vas de nivel.

b) ¿Corresponden las curvas de nivel a horas de uso anual uni-formemente espaciadas? Explicar.

c) Describir cómo obtener un mapa de contorno más detallado.

88. Geología El mapa de contorno de la figura representa ampli-tudes sísmicas en código de color de una falla horizontal y unmapa de contorno proyectado que se usa en los estudios de te-rremotos. (Fuente: Adaptado de Shipman/Wilson/Todd, An In-troduction to Physical Science, Eighth Edition)

a) Analizar el uso de colores para representar las curvas de nivel.

b) ¿Corresponden las curvas de nivel a amplitudes uniforme-mente espaciadas? Explicar.

¿Verdadero o falso? En los ejercicios 89 a 92, determinar si ladeclaración es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué odar un ejemplo que demuestre que es falsa.

89. Si entonces y

90. Una recta vertical puede cortar la gráfica de a losumo una vez.

91. Si es una función, entonces

92. La gráfica de es un paraboloide hiperbólico.f �x, y� � x2 � y2

f �ax, ay� � a2f �x, y�.f

z � f �x, y�y0 � y1.x0 � x1f �x0, y0� � f �x1, y1�,

f �x, 55�

z � f �x, y� � 0.156x � 0.031y � 1.66.

k.

TVPPV � kT,


Año 1998 1999 2000 2001 2002 2003

118.0 137.6 165.0 191.3 217.8 244.5

45.4 50.0 70.3 78.1 83.5 94.7

18.5 21.1 25.8 31.3 35.1 39.3z

y

x

Geo

Que

st S

yste

ms,

Inc

.


Sección 13.2 Límites y continuidad

• Entender la definición de una vecindad o entorno en el plano.• Entender y utilizar la definición de límite de una función de dos variables.• Extender el concepto de continuidad a una función de dos variables.• Extender el concepto de continuidad a una función de tres variables.

Vecindades o entornos en el plano

En esta sección se estudiarán límites y continuidad de funciones de dos o tres varia-bles. La sección comienza con funciones de dos variables. Al final de la sección, losconceptos se extienden a funciones de tres variables.

El estudio del límite de una función de dos variables inicia definiendo el análogobidimensional de un intervalo en la recta real. Utilizando la fórmula para la distanciaentre dos puntos y en el plano, se puede definir la vecindad o entorno de como el disco con radio centrado en

como se muestra en la figura 13.18. Cuando esta fórmula contiene el signo dedesigualdad menor que, al disco se le llama abierto, y cuando contiene el signo dedesigualdad menor o igual que, al disco se le llama cerrado. Esto corresponde aluso del y del al definir intervalos abiertos y cerrados.

Un punto en una región del plano es un punto interior de si existe unavecindad o entorno de que esté contenida completamente en como se mues-tra en la figura 13.19. Si todo punto de es un punto interior, entonces es una regiónabierta. Un punto es un punto frontera de si todo disco abierto centrado en

contiene puntos dentro de y puntos fuera de Por definición, una región debecontener sus puntos interiores, pero no necesita contener sus puntos frontera. Si unaregión contiene todos sus puntos frontera, la región es cerrada. Una región que contienealgunos pero no todos sus puntos frontera no es ni abierta ni cerrada.

PARA MAYOR INFORMACIÓN Para más información acerca de Sonya Kovalevsky, ver elartículo “S. Kovalevsky: A Mathematical Lesson” de Karen D. Rappaport en The AmericanMathematical Monthly.

R.R�x0, y0�R�x0, y0�

RRR,�x0, y0��

RR�x0, y0�

≤<≤,

<,

�x0, y0�� > 0�x0, y0��x0, y0��x, y�

Disco abierto.��x, y�: ��x � x0�2 � � y � y0�2 < ��

Un disco abiertoFigura 13.18

La frontera y los puntos interiores de una región Figura 13.19

R

SONYA KOVALEVSKY (1850-1891)

Gran parte de la terminología usada paradefinir límites y continuidad de una funciónde dos o tres variables la introdujo elmatemático alemán Karl Weierstrass (1815-1897). El enfoque riguroso deWeierstrass a los límites y a otros temas en cálculo le valió la reputación de “padre delanálisis moderno”. Weierstrass era un maestroexcelente. Una de sus alumnas más conocidasfue la matemática rusa Sonya Kovalevskyquien aplicó muchas de las técnicas deWeierstrass a problemas de la física matemáti-ca y se convirtió en una de las primerasmujeres aceptada como investigadoramatemática.

The

Gra

nger

Col

lect

ion

SECCIÓN 13.2 Límites y continuidad 897

Límite de una función de dos variables

NOTA Gráficamente, esta definición del límite implica que para todo punto enel disco de radio el valor está entre y como se muestra en la figura 13.20.

La definición del límite de una función en dos variables es similar a la definicióndel límite de una función en una sola variable, pero existe una diferencia importante.Para determinar si una función en una sola variable tiene límite, sólo se necesita ver quese aproxime al límite por ambas direcciones: por la derecha y por la izquierda. Si la fun-ción se aproxima al mismo límite por la derecha y la izquierda, se puede concluir que ellímite existe. Sin embargo, en el caso de una función de dos variables, la expresión

significa que el punto puede aproximarse al punto por cualquier direc-ción. Si el valor de

no es el mismo al aproximarse por cualquier dirección, o trayectoria o camino a el límite no existe.

EJEMPLO 1 Verificar un límite a partir de la definición

Mostrar que

Solución Sea y Se necesita mostrar que para cada existeuna vecindad o entorno de tal que

siempre que se encuentre en la vecindad o entorno. Primero se puedeobservar que

implica que

Así que, se puede elegir y el límite queda verificado.� � �,

< �.

≤ ��x � a�2 � �y � b�2

� ��x � a�2

� f�x, y� � a� � �x � a�

0 < ��x � a�2 � �y � b�2 < �

�x, y� � �a, b�� f�x, y� � L� � �x � a� < �

�a, b�� > 0,L � a.f�x, y� � x

lim�x, y�→�a, b�

x � a.

�x0, y0�,

lim�x, y�→�x0, y0�

f�x, y�

�x0, y0��x, y�

�x, y� → �x0, y0�

L � �,L � �f �x, y��,�x, y� � �x0, y0�

Para todo en el círculo de radio elvalor de se encuentra entre y

Figura 13.20L � �.

L � �f�x, y��,�x, y�

Definición del límite de una función de dos variables

Sea una función de dos variables definida, en un disco abierto centrado enexcepto posiblemente en y sea L un número real. Entonces

si para cada existe un tal que

siempre que 0 < ��x � x0�2 � �y � y0�2 < �.� f�x, y� � L� < �

� > 0� > 0

lim�x, y�→�x0, y0�

f�x, y� � L

�x0, y0�,�x0, y0�,f

lím

lím

lím

Los límites de funciones de varias variables tienen las mismas propiedadesrespecto a la suma, diferencia, producto y cociente que los límites de funciones de unasola variable. (Ver teorema 1.2 en la sección 1.3.) Algunas de estas propiedades se uti-lizan en el ejemplo siguiente.

EJEMPLO 2 Cálculo de un límite

Calcular

Solución Usando las propiedades de los límites de productos y de sumas, se obtiene

y

Como el límite de un cociente es igual al cociente de los límites (y el denominador noes 0), se tiene

EJEMPLO 3 Verificar un límite

Calcular

Solución En este caso, los límites del numerador y del denominador son ambos 0,por tanto no se puede determinar la existencia (o inexistencia) del límite tomando loslímites del numerador y del denominador por separado y dividiendo después. Sinembargo, por la gráfica de , la figura 13.21, parece razonable pensar que el límitepueda ser 0. En consecuencia, se puede intentar aplicar la definición de límite a

Primero, hay que observar que

y

Entonces, en una vecindad o entorno de (0, 0), se tiene lo que,para implica

Por tanto, se puede elegir y concluir que

lim�x, y�→�0, 0�

5x2y

x2 � y2 � 0.

� � ��5

< 5�.

≤ 5�x2 � y2

≤ 5�y� � 5�y�� x2

x2 � y2 � f�x, y� � 0� � � 5x2y

x2 � y2��x, y� � �0, 0�,

0 < �x2 � y2 < �,�

x2

x2 � y2 ≤ 1.�y� ≤ �x2 � y2

L � 0.

f

lim�x, y�→�0, 0�

5x2y

x2 � y2.

� 2.

lim�x, y�→�1, 2�

5x2y

x2 � y2 �105

� 5.

lim�x, y�→�1, 2�

�x2 � y2� � �12 � 22�

� 10

lim�x, y�→�1, 2�

5x2y � 5�12��2�

lim�x, y�→�1, 2�

5x2y

x2 � y2.


Figura 13.21

lím

lím

lím

lím

lím

lím

Con algunas funciones es fácil reconocer que el límite no existe. Por ejemplo, estáclaro que el límite

no existe porque el valor de crece sin frontera cuando se aproxima a a lo largo de cualquier trayectoria (ver figura 13.22).

Con otras funciones no es tan fácil reconocer que un límite no existe. Así, el si-guiente ejemplo describe un caso en el que el límite no existe ya que la función seaproxima a valores diferentes a lo largo de trayectorias diferentes.

EJEMPLO 4 Un límite que no existe

Mostrar que el siguiente límite no existe.

Solución El dominio de la función dada por

consta de todos los puntos en el plano xy con excepción del punto (0, 0). Para mostrarque el límite no existe cuando (x, y) se aproxima a (0, 0) considérense aproximacionesa (0, 0) a lo largo de dos “trayectorias” diferentes, como se muestra en la figura 13.23.A lo largo del eje x, todo punto es de la forma (x, 0) y el límite a lo largo de esta tra-yectoria es

Límite a lo largo del eje x.

Sin embargo, si se aproxima a a lo largo de la recta se obtiene

Límite a lo largo de la recta .

Esto significa que en cualquier disco abierto centrado en existen puntos enlos que toma el valor 1 y otros puntos en que asume el valor 0. Por ejemplo,

en los puntos y y en lospuntos (0.01, 0.01) y Por tanto, no tiene límitecuando �x, y� → �0, 0�.

f�0.001, 0.001�.�0.1, 0.1�,�1, 1�,f�x, y� � 0�0.001, 0��0.01, 0�,�0.1, 0�,�1, 0�,f�x, y� � 1

ff�x, y��0, 0�

y � x� 0.lim�x, x�→�0, 0�

�x2 � x2

x2 � x22

� lim�x, x�→�0, 0��

02x2

2

y � x,�0, 0��x, y�

� 1.lim�x, 0�→�0, 0�

�x2 � 02

x2 � 022

� lim�x, 0�→�0, 0�

12

f�x, y� � �x2 � y2

x2 � y22

lim�x, y�→�0, 0�

�x2 � y2

x2 � y22

�0, 0��x, y�f�x, y�

lim�x, y�→�0, 0�

1

x2 � y2


no existe

Figura 13.22

lim�x, y�→�0, 0�

1

x2 � y 2

NOTA En el ejemplo 4 se puede concluir que el límite no existe ya que seencuentran dos trayectorias que danlímites diferentes. Sin embargo, si dostrayectorias hubieran dado el mismolímite, no se podría concluir que ellímite existe. Para llegar a tal conclusión,se debe mostrar que el límite es elmismo para todas las aproximaciones posibles.

no existe

Figura 13.23

lim�x, y�→�0, 0�

�x2 � y 2

x2 � y 22

lím

lím

lím lím

lím lím

lím

lím

Continuidad de una función de dos variables

En el ejemplo 2 hay que observar que el límite de cuandopuede calcularse por sustitución directa. Es decir, el límite es

En tales casos se dice que la función es continua en el punto

En el ejemplo 3 se mostró que la función

no es continua en (0, 0). Sin embargo, como el límite en este punto existe, se puede eli-minar la discontinuidad definiendo el valor de f en (0, 0) igual a su límite. Tales discon-tinuidades se llaman removibles o evitables. En el ejemplo 4, se mostró que la función

tampoco es continua en (0, 0), pero esta discontinuidad es inevitable o no removible.

El teorema 13.1 establece la continuidad de las funciones polinómicas y raciona-les en todo punto de su dominio. La continuidad de otros tipos de funciones puedeextenderse de manera natural de una a dos variables. Por ejemplo, las funciones cuyasgráficas se muestran en las figuras 13.24 y 13.25 son continuas en todo punto del plano.

f�x, y� � �x2 � y2

x2 � y22

f�x, y� �5x2y

x2 � y2

�1, 2�.ff�1, 2� � 2.�x, y� → �1, 2�

f�x, y� � 5x2y��x2 � y2�


NOTA Esta definición de continuidadpuede extenderse a puntos frontera de laregión abierta considerando un tipoespecial de límite en el que sólo se permite

tender hacia a lo largo detrayectorias que están en la región Estanoción es similar a aquella de límites uni-laterales, como se trató en el capítulo 1.

R.�x0, y0��x, y�

R

La función f es continua en todo punto del planoFigura 13.24

La función f es continua en todo punto en el planoFigura 13.25

Definición de continuidad de una función de dos variables

Una función de dos variables es continua en un punto de una regiónabierta si es igual al límite de cuando → Esdecir,

La función es continua en la región abierta si es continua en todo puntode R.

Rf

lim�x, y�→�x0, y0�

f�x, y� � f�x0, y0�.

�x0, y0�.�x, y�f �x, y�f�x0, y0�R�x0, y0�f

TEOREMA 13.1 Funciones continuas de dos variables

Si k es un número real y f y g son funciones continuas en entonces lasfunciones siguientes son continuas en

1. Múltiplo escalar: 3. Producto:

2. Suma y diferencia: 4. Cociente: si g�x0, y0� � 0f�g,f ± g

fgkf

�x0, y0�.�x0, y0�,

lím

El siguiente teorema establece las condiciones bajo las cuales una función com-puesta es continua.

NOTA En el teorema 13.2 hay que observar que h es una función de dos variables mientrasque g es una función de una variable.

EJEMPLO 5 Análisis de la continuidad

Analizar la continuidad de cada función.

a) b)

Solución

a) Como una función racional es continua en todo punto de su dominio, se puede con-cluir que es continua en todo punto del plano xy excepto en (0, 0), como se mues-tra en la figura 13.26.

b) La función dada por es continua excepto en los puntos en loscuales el denominador es 0, Por tanto, se puede concluir que la fun-ción es continua en todos los puntos excepto en los puntos en que se encuentran laparábola En el interior de esta parábola se tiene y la superficie re-presentada por la función se encuentra sobre el plano xy, como se muestra en lafigura 13.27. En el exterior de la parábola, y la superficie se encuentradebajo del plano xy.

y < x2,

y > x2,y � x2.

y � x2 � 0.g�x, y� � 2��y � x2�

f

g�x, y� �2

y � x2f�x, y� �x � 2yx2 � y2


La función no es continua en (0, 0)Figura 13.26

fLa función g no es continua en la parábola y � x2

Figura 13.27

TEOREMA 13.2 Continuidad de una función compuesta

Si es continua en y es continua en entonces la funcióncompuesta dada por es continua en Es decir,

lim�x, y�→�x0, y0�

g�h�x, y�� g�h�x0, y0��.

�x0, y0�.�g � h��x, y� � g�h�x, y��h�x0, y0�,g�x0, y0�h


Sostener una cuchara a un palmo dedistancia y mirar la propia imagen enla cuchara. La imagen estará decabeza. Ahora, mover la cuchara másy más cerca a uno de los ojos. Enalgún punto, la imagen dejará deestar invertida. ¿Podría ser que laimagen ha sido deformada continua-mente? Hablar sobre esta cuestión ysobre el significado general de con-tinuidad con otros miembros de laclase. (Esta exploración la sugirióIrvin Roy Hentzel, Iowa StateUniversity.)

lím

En los ejercicios 1 a 4, utilizar la definición de límite de una fun-ción de dos variables para verificar el límite.

1. 2.

3. 4.

En los ejercicios 5 a 8, hallar el límite indicado utilizando loslímites.

y

5.

6.

7.

8.

En los ejercicios 9 a 18, calcular el límite y analizar la con-tinuidad de la función.

9. 10.

11. 12.

13.

14.

15.

16.

17.

18. lim�x, y, z�→�2, 0, 1�

xeyz

lim�x, y, z�→�1, 2, 5�

�x � y � z

lim�x, y�→�1, 1�

xy

x2 � y2

lim�x, y�→��1, 2�

exy

lim�x, y�→��4, 2�

y cos xy

lim�x, y�→�0, 1�

arcsin�x�y�

1 � xy

lim�x, y�→�1, 1�

x

�x � ylim

�x, y�→�2, 4� x � yx � y

lim�x, y�→�0, 0�

�5x � y � 1�lim�x, y�→�2,

1�

�x � 3y2�


f �x, y� � g�x, y�f �x, y� �


� f �x, y�g�x, y�


4 f �x, y�g�x, y� �


� f �x, y� � g�x, y�


g�x, y� � 3.lim�x, y�→�a, b�

f �x, y� � 5

lim�x, y�→�a,

b�

y � blim�x, y�→�1, �3�

y � �3

lim�x, y�→�4, �1�

x � 4lim�x, y�→�2, 3�

x � 2



Continuidad de una función de tres variables

Las definiciones anteriores de límites y continuidad pueden extenderse a funciones detres variables considerando los puntos dentro de la esfera abierta

El radio de esta esfera es �, y la esfera está centrada en como se muestraen la figura 13.28. Un punto en una región en el espacio es un punto inte-rior de si existe una esfera centrada en que está contenida completa-mente en Si todo punto de es un punto interior, entonces se dice que es unaregión abierta.

EJEMPLO 6 Continuidad de una función de tres variables

La función

es continua en todo punto en el espacio excepto en los puntos sobre el paraboloidedado por z � x2 � y2.

f�x, y, z� �1

x2 � y2 � z

RRR.�x0, y0, z0��R

R�x0, y0, z0��x0, y0, z0�,

�x, y, z�

Esfera abierta en el espacioFigura 13.28

Esfera abierta.�x � x0�2 � �y � y0�2 � �z � z0�2 < �2.

Definición de continuidad de una función de tres variables

Una función de tres variables es continua en un punto de unaregión abierta si está definido y es igual al límite de cuando se aproxima a Es decir,

La función es continua en una región abierta si es continua en todopunto de R.

Rf

lim�x, y, z�→�x0, y0, z0�

f�x, y, z� � f�x0, y0, z0�.

�x0, y0, z0�.�x, y, z�f�x, y, z�f�x0, y0, z0�R

�x0, y0, z0�f

lím

lím lím

lím

lím

lím

lím

lím

lím

lím

lím lím

límlím

límarcsen

lím

lím

lím

lím

lím

En los ejercicios 19 a 24, hallar el límite (si existe). Si el límiteno existe, explicar por qué.

19. 20.

21. 22.

23.

24.

En los ejercicios 25 a 28, analizar la continuidad de la función yevaluar el límite de (si existe) cuando

25.

26.

27.

28.

En los ejercicios 29 a 32, utilizar una graficadora para elaboraruna tabla que muestre los valores de en los puntos que seespecifican. Utilizar el resultado para formular una conjeturasobre el límite de cuando Determinar si ellímite existe analíticamente y discutir la continuidad de la función.

29.

Trayectoria:

Puntos:

Trayectoria:

Puntos:

30.

Trayectoria:

Puntos:

Trayectoria:

Puntos:

31.

Trayectoria:

Puntos:

Trayectoria:

Puntos:

��0.000001, 0.001��0.0001, 0.01�,

��0.01, 0.1�,��0.25, 0.5�,��1, 1�,

x � �y2

�0.000001, 0.001��0.0001, 0.01�,

�0.01, 0.1�,�0.25, 0.5�,�1, 1�,

x � y2

f �x, y� � �xy2

x2 � y4

�0.001, 0.001��0.01, 0.01�,�0.1, 0.1�,�0.5, 0.5�,

�1, 1�,y � x

�0.001, 0��0.01, 0�,�0.1, 0�,�0.5, 0�,�1, 0�,

y � 0

f �x, y� �y

x2 � y2

�0.001, 0.001��0.01, 0.01�,�0.1, 0.1�,�0.5, 0.5�,

�1, 1�,y � x

�0.001, 0��0.01, 0�,�0.1, 0�,�0.5, 0�,�1, 0�,

y � 0

f �x, y� �xy

x2 � y2

�x, y� → �0, 0�.f �x, y�

f �x, y�

f �x, y� � 1 �cos�x2 � y2�

x2 � y2

f �x, y� � ln�x2 � y2�

f �x, y� �x2

�x2 � 1��y2 � 1�

f �x, y� � exy

�x, y� → �0, 0�.f �x, y�

lim�x, y, z�→�0, 0, 0�

xy � yz2 � xz2

x2 � y2 � z2

lim�x, y, z�→�0, 0, 0�

xy � yz � xzx2 � y2 � z2

lim�x, y�→�0, 0�

x � yx � y3lim

�x, y�→�1, 1� xy � 11 � xy

lim�x, y�→�0, 0�

x

x2 � y2lim�x, y�→�0, 0�

x � yx2 � y


lím

lím

lím

lím

lím

lím

32.

Trayectoria:

Puntos:

Trayectoria:

Puntos:

En los ejercicios 33 y 34, analizar la continuidad de las fun-ciones f y g. Explicar cualquier diferencia.

33.

34.

En los ejercicios 35 a 40, utilizar un sistema computarizadopara álgebra y representar gráficamente la función y hallar

(si existe).

35. 36.

37.

38.

39.

40.

En los ejercicios 41 a 48, utilizar las coordenadas polares parahallar el límite. [Sugerencia: Tomar y yobservar que implica

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

En los ejercicios 49 a 54, analizar la continuidad de la función.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

En los ejercicios 55 a 58, analizar la continuidad de la funcióncompuesta

55.

56.

57.

58.

En los ejercicios 59 a 62, hallar cada límite.

a)

b)

59.

60.

61.

62. f �x, y� � �y �y � 1�f �x, y� � 2x � xy � 3y

f �x, y� � x2 � y2

f �x, y� � x2 � 4y

lim�y→0

f �x, y � �y� � f �x, y�

�y

lim�x→0

f �x � �x, y� � f �x, y�

�x

g�x, y� � x2 � y2

f �t� �1

4 � t

g�x, y� � 3x � 2y

f �t� �1t

g�x, y� � x2 � y2

f �t� �1t

g�x, y� � 3x � 2y

f �t� � t2

f � g.

f �x, y� � �sin�x2 � y2�

x2 � y2 , x2 � y2

1, x2 � y2

f �x, y� � �sin xy

xy, xy � 0

1, xy � 0

f �x, y, z� � xy sin z

f �x, y, z� �sin z

ex � ey

f �x, y, z� �z

x2 � y2 � 9

f �x, y, z� �1

�x2 � y2 � z2

lim�x, y�→�0, 0�

1 � cos�x2 � y2�

x2 � y2

lim�x, y�→�0, 0�

�x2 � y2�ln�x2 � y2�

lim�x, y�→�0, 0�

sin�x2 � y2

�x2 � y2

lim�x, y�→�0, 0�

x2 � y2

�x2 � y2

lim�x, y�→�0, 0�

x2y2

x2 � y2

lim�x, y�→�0, 0�

x3 � y3

x2 � y2

lim�x, y�→�0, 0�

xy2

x2 � y2

lim�x, y�→�0, 0�

sin�x2 � y2�

x2 � y2

r→ 0.]�x, y�→�0, 0�y � r sin �,x � r cos �

f �x, y� �2xy

x2 � y2 � 1

f �x, y� �10xy

2x2 � 3y2

f �x, y� �x2 � y2

x2y

f �x, y� �x2y

x4 � 4y2

f �x, y� � sin 1x

� cos 1x

f �x, y� � sin x � sin y

lim�x, y�→�0, 0�

f �x, y�

g�x, y� � � 4x2y2

x2 � y2,

2,

�x, y� � �0, 0�

�x, y� � �0, 0�

f �x, y� � � 4x2y2

x2 � y2,

0,

�x, y� � �0, 0�

�x, y� � �0, 0�

g�x, y� � �x2 � 2xy2 � y2,

x2 � y2

1,

�x, y� � �0, 0�

�x, y� � �0, 0�

f �x, y� � �x2 � 2xy2 � y2,

x2 � y2

0,

�x, y� � �0, 0�

�x, y� � �0, 0�

�0.0001, 0.0001��0.001, 0.001�,

�0.01, 0.01�,�0.25, 0.25�,�1, 1�,

y � x

�0.000001, 0��0.001, 0�,

�0.01, 0�,�0.25, 0�,�1, 0�,

y � 0

f �x, y� �2x � y2

2x2 � y


lím

lím

sen sen sen

sen

senlím

lím

lím

lím

límsen

lím

lím

sen

sen

sen

sen

lím

lím


63. Si entonces

64. Si entonces

65. Si es continua para todo x y y distintos de cero, y entonces

66. Si y son funciones continuas de y y entonces es continua.

71. Considerar (ver la figura).

a) Determinar el límite (si es posible) a lo largo de toda rectade la forma

b) Determinar el límite (si es posible) a lo largo de la parábola

c) ¿Existe el límite? Explicar.

72. Considerar (ver la figura).

a) Determinar el límite (si es posible) a lo largo de toda rectade la forma

b) Determinar el límite (si es posible) a lo largo de la parábola

c) ¿Existe el límite? Explicar.

En los ejercicios 73 y 74, utilizar las coordenadas esféricas paraencontrar el límite. [Sugerencia: Tomar x � � sen cos �, y �� sen sen � y z � � cos , y observar que esequivalente a ]

73.

74.

75. Hallar el límite siguiente.

76. Dada la función

definir de manera que f sea continua en el origen.

77. Demostrar que

donde se aproxima a y se aproxima a cuan-do

78. Demostrar que si es continua y existe una vecin-dad o entorno de tal que para todo punto

en la vecindad o el entorno. �x, y�f �x, y� < 0�a, b��

f �a, b� < 0,f

�x, y� → �a, b�.L2g�x, y�L1f �x, y�


� f �x, y� � g�x, y� � L1 � L2

f �0, 0�

f �x, y� � xy�x2 � y2

x2 � y2

lim�x, y�→�0, 1�

tan�1 x2 � 1x2 � �y � 1�2�

lim�x, y, z�→�0, 0, 0�

tan�1 1x2 � y2 � z2�

lim�x, y, z�→�0, 0, 0�

xyz

x2 � y2 � z2

�→ 0�.�x, y, z�→ �0, 0, 0�

y � x2.

y � ax.

lim�x, y�→�0, 0�

x2y

x4 � y2

y � x2.

y � ax.

lim�x, y�→�0, 0�

x2 � y2

xy

fg�x� � h�y�,f �x, y� �y,xhg

lim�x, y�→�0, 0�

f �x, y� � 0.f �0, 0� � 0,f

lim�x, y�→�0, 0�

f �x, y� � 0.lim�x, y�→�0, 0�

f �0, y� � 0,

limx→0

f �x, 0� � 0.lim�x, y�→�0, 0�

f �x, y� � 0,


Desarrollo de conceptos67. Definir el límite de una función de dos variables. Describir

un método para probar que

no existe.

68. Dar la definición de continuidad de una función de dos va-riables.

69. Si ¿podemos concluir algo sobre

Dar las razones para su respuesta.

70. Si ¿se puede concluir algo acerca de

Dar las razones para su respuesta.f �2, 3�?

lim�x, y�→�2, 3�

f �x, y� � 4,

lim�x, y�→�2, 3�

f �x, y�?

f �2, 3� � 4,

lim�x, y�→�x0,

y0�

f �x, y�

lím lím

lím lím

lím

lím

lím

lím

lím

lím

lím

lím

lím

lím


Sección 13.3 Derivadas parciales

• Hallar y utilizar las derivadas parciales de una función de dos variables.• Hallar y utilizar las derivadas parciales de una función de tres o más variables.• Hallar derivadas parciales de orden superior de una función de dos o tres

variables.

Derivadas parciales de una función de dos variables

En aplicaciones de funciones de varias variables suele surgir la pregunta: ¿“Cómoafectaría el valor de una función un cambio en una de sus variables independientes”?Se puede contestar esta pregunta considerando cada una de las variables indepen-dientes por separado. Por ejemplo, para determinar el efecto de un catalizador en unexperimento, un químico podría repetir el experimento varias veces usando cantidadesdistintas de catalizador, mientras mantiene constantes las otras variables como tem-peratura y presión. Para determinar la velocidad o el ritmo de cambio de una funciónf respecto a una de sus variables independientes se puede utilizar un procedimientosimilar. A este proceso se le llama derivación parcial y el resultado se llama deriva-da parcial de f con respecto a la variable independiente elegida.

Esta definición indica que si entonces para hallar se considera yconstante y se deriva con respecto a De manera similar, para calcular se consi-dera x constante y se deriva con respecto a y.

EJEMPLO 1 Hallar las derivadas parciales

Hallar las derivadas parciales y de la función

Función original.

Solución Si se considera y como constante y se deriva con respecto a x se obtiene

Escribir la función original.

Derivada parcial con respecto a x.

Si se considera x constante y se deriva con respecto a y obtenemos

Escribir la función original.

Derivada parcial con respecto a .yfy�x, y� � �2x2y � 2x3.

f �x, y� � 3x � x2y2 � 2x3y

fx�x, y� � 3 � 2xy2 � 6x2y.

f �x, y� � 3x � x2y2 � 2x3y

f�x, y� � 3x � x2y2 � 2x3y.

fyfx

fy,x.fxz � f �x, y�,

Definición de las derivadas parciales de una función de dos variables

Si entonces las primeras derivadas parciales de con respecto ay son las funciones y definidas por

siempre y cuando el límite exista.

fy�x, y� � lim�y→0

f�x, y � �y� � f�x, y�

�y

fx�x, y� � lim�x→0

f�x � �x, y� � f�x, y�

�x

fyfxyxfz � f�x, y�,

JEAN LE ROND D’ALEMBERT (1717-1783)

La introducción de las derivadas parcialesocurrió años después del trabajo sobre el cálculo de Newton y Leibniz. Entre 1730 y1760, Leonhard Euler y Jean Le Rondd’Alembert publicaron por separado variosartículos sobre dinámica en los cualesestablecieron gran parte de la teoría de lasderivadas parciales. Estos artículos utilizabanfunciones de dos o más variables para estudiarproblemas de equilibrio, movimiento de fluidos y cuerdas vibrantes.

Mar

y E

vans

Pic

ture

Lib

rary

lím

lím

EJEMPLO 2 Hallar y evaluar las derivadas parciales

Dada hallar y y evaluar cada una en el punto

Solución Como

Derivada parcial con respecto a .

la derivada parcial de con respecto a en es

Como


la derivada parcial de con respecto a en es

Las derivadas parciales de una función de dos variables, tienen unainterpretación geométrica útil. Si entonces representan la curvaque se forma en la intersección de la superficie con el plano comose muestra en la figura 13.29. Por consiguiente,

representa la pendiente de esta curva en el punto Nótese que tanto lacurva como la recta tangente se encuentran en el plano Análogamente,

representa la pendiente de la curva dada por la intersección de y el planoen como se muestra en la figura 13.30.

Informalmente, los valores y en denotan las pendientes dela superficie en las direcciones de x y y, respectivamente.

�x0, y0, z0��f��y�f��x�x0, y0, f�x0, y0��,x � x0

z � f�x, y�

fy�x0, y0� � lim�y→0

f�x0, y0 � �y� � f�x0, y0�

�y

y � y0.�x0, y0, f�x0, y0��.

fx�x0, y0� � lim�x→0

f�x0 � �x, y0� � f�x0, y0�

�x

y � y0,z � f�x, y�z � f�x, y0�y � y0,

z � f�x, y�,

� 2.

fy�1, ln 2� � eln 2

�1, ln 2�yf

y � x3ex2y

fy�x, y� � xex2y�x2�

� 4 ln 2 � 2.

fx�1, ln 2� � eln 2�2 ln 2� � eln 2

�1, ln 2�xf

xfx�x, y� � xex2y�2xy� � ex2y

�1, ln 2�.fy,fxf�x, y� � xex2y,

SECCIÓN 13.3 Derivadas parciales 907

pendiente en la dirección x

Figura 13.29

�f�x

�

pendiente en la dirección y

Figura 13.30

�f�y

�

Notación para las primeras derivadas parciales

Si las derivadas parciales y se denotan por

y

Las primeras derivadas parciales evaluadas en el punto se denotan por

y�z�y��a, b�

� fy�a, b�.�z�x��a, b�

� fx�a, b�

�a, b�

�

�y f �x, y� � fy�x, y� � zy �

�z�y

.

�

�x f �x, y� � fx�x, y� � zx �

�z�x

fyfxz � f�x, y�,

lím

lím

EJEMPLO 3 Hallar las pendientes de una superficie en las direcciones de x y de y

Hallar las pendientes en la dirección de x y de y de la superficie dada por

en el punto

Solución Las derivadas parciales de f con respecto a x y a y son

y Derivadas parciales.

Por tanto, en la dirección de x, la pendiente es

Figura 13.31a.

y en la dirección de y, la pendiente es

Figura 13.31b.

EJEMPLO 4 Hallar las pendientes de una superficie en las direcciones de x y de y

Hallar las pendientes de la superficie dada por

en el punto (1, 2, 1) en las direcciones de x y de y.

Solución Las derivadas parciales de f con respecto a x y y son

y Derivadas parciales.

Por tanto, en el punto (1, 2, 1), las pendientes en las direcciones de x y de y son

y

como se muestra en la figura 13.32.

fy�1, 2� � �2�2 � 2� � 0fx�1, 2� � �2�1 � 1� � 0

fy�x, y� � �2� y � 2�.fx�x, y� � �2�x � 1�

f�x, y� � 1 � �x � 1�2 � � y � 2�2

fy�12

, 1� � �2.

fx�12

, 1� � �12

fy�x, y� � �2y.fx�x, y� � �x

� 12, 1, 2�.

f�x, y� � �x2

2� y2 �

258


Figura 13.32

a)Figura 13.31

b)

Sin importar cuántas variables haya, las derivadas parciales se pueden interpretarcomo tasas, velocidades o ritmos de cambio.

EJEMPLO 5 Derivadas parciales como velocidadeso ritmos de cambio

El área de un paralelogramo con lados adyacentes a y b entre los que se forma unángulo θ está dada por A � ab sen θ, como se muestra en la figura 13.33.

a) Hallar la tasa o el ritmo de cambio de respecto de si a � 10, b � 20 y

b) Calcular la tasa o el ritmo de cambio de respecto de si a � 10, b � 20 y

Solución

a) Para hallar la tasa o el ritmo de cambio del área respecto de a, se mantienen b y θconstantes y se deriva respecto de a para obtener

Derivada parcial respecto a a.

Sustituir a b y θ.

b) Para hallar la tasa o el ritmo de cambio del área respecto de θ, se mantiene a y bconstantes y se deriva respecto de θ para obtener

Derivada parcial respecto de θ.

Sustituir a, b y θ.

Derivadas parciales de una función de tres o más variables

El concepto de derivada parcial puede extenderse de manera natural a funciones detres o más variables. Por ejemplo, si existen tres derivadas parcialescada una de las cuales se forma manteniendo constantes las otras dos variables. Esdecir, para definir la derivada parcial de w con respecto a x, se consideran y y z cons-tantes y se deriva con respecto a x. Para hallar las derivadas parciales de w con respec-to a y y con respecto a z se emplea un proceso similar.

En general, si hay n derivadas parciales denotadas por

Para hallar la derivada parcial con respecto a una de las variables, se mantienen cons-tantes las otras variables y se deriva con respecto a la variable dada.

k � 1, 2, . . . , n.�w�xk

� fxk�x1, x2, . . . , xn�,

w � f�x1, x2, . . . , xn�,

�w�z

� fz�x, y, z� � lim�z→0

f �x, y, z � �z� � f�x, y, z�

�z

�w�y

� fy�x, y, z� � lim�y→0

f�x, y � �y, z� � f�x, y, z�

�y

�w�x

� fx�x, y, z� � lim�x→0

f�x � �x, y, z� � f�x, y, z�

�x

w � f�x, y, z�,

�A��

� 200 cos �

6� 100�3.

�A��

� ab cos �

�A�a

� 20 sin �

6� 10.

�A�a

� b sin �

� ��

6.�A

� ��

6.aA


El área del paralelogramo es ab sen θFigura 13.33

sen

sen

lím

lím

lím

EJEMPLO 6 Hallar las derivadas parciales

a) Para hallar la derivada parcial de con respecto a seconsideran y constantes y se obtiene

b) Para hallar la derivada parcial de f(x, y, z) � z sen(xy2 � 2z) con respecto a z, seconsideran x y y constantes. Entonces, usando la regla del producto, se obtiene

c) Para calcular la derivada parcial de con respecto ase consideran y y constantes y se obtiene

Derivadas parciales de orden superior

Como sucede con las derivadas ordinarias, es posible hallar las segundas, terceras,etc., derivadas parciales de una función de varias variables, siempre que talesderivadas existan. Las derivadas de orden superior se denotan por el orden al que sehace la derivación. Por ejemplo, la función tiene las siguientes derivadasparciales de segundo orden.

1. Derivar dos veces con respecto a

2. Derivar dos veces con respecto a

3. Derivar primero con respecto a y luego con respecto a

4. Derivar primero con respecto a y luego con respecto a

Los casos tercero y cuarto se llaman derivadas parciales mixtas (cruzadas).

x:y

y:x

y:

x:

z � f �x, y�

�

�w�x � y � zw � �

x � y � zw2 .

zx,w,f�x, y, z, w� � �x � y � z��w

� 2z cos�xy2 � 2z� � sin�xy2 � 2z�. � �z�cos�xy2 � 2z��2� � sin�xy2 � 2z�

�

�zz sin�xy2 � 2z�� z� �

�zsin�xy2 � 2z�� sin�xy2 � 2z� �

�zz�

�

�zxy � yz2 � xz� � 2yz � x.

yxz,f�x, y, z� � xy � yz2 � xz


NOTA Observar que los dos tipos denotación para las derivadas parciales mixtas tienen convenciones diferentespara indicar el orden de derivación.

Orden de derecha a izquierda.

Orden de izquierda a derecha.

Se puede recordar el orden de ambas notaciones observando que primero sederiva con respecto a la variable más “cercana” a f.

� fx�y � fxy

�

�y ��f�x � �

�2f�y�x

�

�x ��f�x � �

�2f�x2 � fxx.

�

�y ��f�y � �

�2f�y2 � fyy.

�

�y ��f�x � �

�2f�y�x

� fxy.

�

�x ��f�y � �

�2f�x�y

� fyx.

sen sen sen

sen

sen

EJEMPLO 7 Hallar derivadas parciales de segundo orden

Hallar la derivada parcial de segundo orden de y deter-minar el valor de

Solución Empezar por hallar las derivadas parciales de primer orden con respecto ax y y.

y

Después, se deriva cada una de éstas con respecto a x y con respecto a y.

y

y

En el valor de es

NOTA Nótese en el ejemplo 7 que las dos derivadas parciales mixtas son iguales. En el teo-rema 13.3 se dan condiciones suficientes para que esto ocurra.

El teorema 13.3 también se aplica a una función de tres o más variables siem-pre y cuando las derivadas parciales de segundo orden sean continuas. Por ejemplo, si

y todas sus derivadas parciales de segundo orden son continuas en unaregión abierta entonces en todo punto en el orden de derivación para obtener lasderivadas parciales mixtas de segundo orden es irrelevante. Si las derivadas parcialesde tercer orden de también son continuas, el orden de derivación para obtener lasderivadas parciales mixtas de tercer orden es irrelevante.

EJEMPLO 8 Hallar derivadas parciales de orden superior

Mostrar que y para la función dada por

Solución

Derivadas parciales de primer orden:

Derivadas parciales de segundo orden (nótese que las dos primeras son iguales):

Derivadas parciales de tercer orden (nótese que las tres son iguales):

fzzx�x, y, z� � �1z2fzxz�x, y, z� � �

1z2,fxzz�x, y, z� � �

1z2,

fzz�x, y, z� � �xz2fzx�x, y, z� �

1z,fxz�x, y, z� �

1z,

fz�x, y, z� �xz

fx�x, y, z� � yex � ln z,

f�x, y, z� � yex � x ln z.

fxzz � fzxz � fzzxfxz � fzx

f

RR,w � f�x, y, z�

f

fxy��1, 2� � 12 � 40 � �28.fxy��1, 2�,

fyx�x, y� � 6y � 20xyfxy�x, y� � 6y � 20xy

fyy�x, y� � 6x � 10x2fxx�x, y� � 10y2

fy�x, y� � 6xy � 2 � 10x2yfx�x, y� � 3y2 � 10xy2

fxy��1, 2�.f�x, y� � 3xy2 � 2y � 5x2y2,


TEOREMA 13.3 Igualdad de las derivadas parciales mixtas

Si es una función de y tal que y son continuas en un disco abiertoentonces, para todo en

fxy�x, y� � fyx�x, y�.

R,�x, y�R,fyxfxyyxf

Para pensar En los ejercicios 1 a 4, utilizar la gráfica de la super-ficie para determinar el signo de la derivada parcial indicada.

1. 2.

3. 4.

En los ejercicios 5 a 28, hallar las dos derivadas parciales deprimer orden.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24. z � sen 3x cos 3y

25. z � ey sen xy 26.

27.

28.

En los ejercicios 29 a 32, utilizar la definición de derivadas par-ciales empleando límites para calcular y

29. 30.

31. 32.

En los ejercicios 33 a 36, evaluar y en el punto dado.

33.

34.

35.

36.

En los ejercicios 37 a 40, calcular las pendientes de la superficieen las direcciones de x y de y en el punto dado.

37. 38.

39. 40.

En los ejercicios 41 a 44, utilizar un sistema computarizadopara álgebra y representar gráficamente la curva que se formaen la intersección de la superficie con el plano. Hallar la pendi-ente de la curva en el punto dado.

Superficie Plano Punto

41.

42.

43.

44.

En los ejercicios 45 a 48, dada hallar todos los valores dey tales que y simultáneamente de

45.

46.

47.

48. f �x, y� � ln�x2 � y 2 � 1�

f �x, y� �1x

�1y

� xy

f �x, y� � 3x3 � 12xy � y3

f �x, y� � x2 � 4xy � y 2 � 4x � 16y � 3

fy�x, y � 0fx�x, y � 0yxf �x, y ,

�1, 3, 0�x � 1z � 9x2 � y 2

�1, 3, 0�y � 3z � 9x2 � y 2

�2, 1, 8�y � 1z � x2 � 4y 2

�2, 3, 6�x � 2z � �49 � x2 � y 2

��

4,

�

3, �32 ��0, 0, 1�

z � cos�2x � y�z � e�x cos y

��2, 1, 3��1, 1, 2�h�x, y� � x2 � y 2g�x, y� � 4 � x2 � y 2

�1, 1�f �x, y� �6xy

�4x2 � 5y 2,

�2, �2�f �x, y� �xy

x � y,

�1, 1�f �x, y� � arccos xy,

�2, �2�f �x, y� � arctan yx,

fyfx

f �x, y� �1

x � yf �x, y� � �x � y

f �x, y� � x2 � 2xy � y 2f �x, y� � 2x � 3y

fy�x, y .fx�x, y

f �x, y� � �y

x

�2t � 1� dt � �x

y

�2t � 1� dt

f �x, y� � �y

x

�t 2 � 1� dt

z � cos�x2 � y 2�z � tan�2x � y�

f �x, y� � �2x � y3f �x, y� � �x2 � y 2

g�x, y� � ln �x2 � y 2h�x, y� � e��x2�y2�

z �xy

x2 � y 2z �x2

2y�

4y 2

x

z � ln�x2 � y2�z � ln x � yx � y

z � ln�xyz � ln�x2 � y 2�z � xex�yz � x2e2y

z � y3 � 4xy2 � 1z � x2 � 5xy � 3y 2

z � 2y2�xz � x�y

f �x, y� � x2 � 3y 2 � 7f �x, y� � 2x � 3y � 5

fx��1, �1�fy�4, 1�fy��1, �2�fx�4, 1�



Para pensar En los ejercicios 49 y 50 se da la gráfica de unafunción y sus dos derivadas parciales y . Identificar y

y dar las razones de sus respuestas.

49.

a) b)

50.

a) b)

En los ejercicios 51 a 56, calcular las derivadas parciales deprimer orden con respecto a x, y y z.

51. 52.

53.

54.

55. H(x, y, z) � sen(x � 2y � 3z

56.

En los ejercicios 57 a 60, evaluar fx, fy y fz en el punto dado.

57.

58.

59.

60.

En los ejercicios 61 a 68, calcular las cuatro derivadas parcialesde segundo orden. Observar que las derivadas parciales mixtasde segundo orden son iguales.

61. 62.

63. 64.

65. 66.

67. 68. z � sen(x � 2y)

En los ejercicios 69 a 72, utilizar un sistema computarizado pa-ra álgebra y hallar las derivadas parciales de primero y segun-do orden de la función. Determinar si existen valores de x y ytales que y simultáneamente.

69.

70.

71.

72.

En los ejercicios 73 a 76, mostrar que las derivadas parcialesmixtas fxyy, fyxy y fyyx son iguales.

73.

74.

75.

76.

Ecuación de Laplace En los ejercicios 77 a 80, mostrar que lafunción satisface la ecuación de Laplace

77. 78.

79. z � ex sen y 80.

Ecuación de ondas En los ejercicios 81 a 84, mostrar que lafunción satisface la ecuación de ondas

81. z � sen(x � ct) 82.

83. 84. z � sen ωct sen ωx

Ecuación del calor En los ejercicios 85 y 86, mostrar que lafunción satisface la ecuación del calor

85.

86. z � e�t sin xc

z � e�t cos xc

�z /�t � c2��2z /�x2 .

z � ln�x � ct�z � cos�4x � 4ct�

�2z /�t 2 � c2��2z /�x2 .

z � arctan yx

z �12�ey � e�y�sin xz � 5xy

�2z /�x2 � �2z /�y2 � 0.

f �x, y, z� �2z

x � y

f �x, y, z� � e�x sin yz

f �x, y, z� � x2 � 3xy � 4yz � z3

f �x, y, z� � xyz

f �x, y� �xy

x � y

f �x, y� � ln x

x2 � y2

f �x, y� � �9 � x2 � y 2

f �x, y� � x sec y

fy�x, y � 0fx�x, y � 0

z � arctan yx

z � 2xey � 3ye�xz � ex tan y

z � ln�x � y�z � �x2 � y 2

z � x4 � 3x2y 2 � y4z � x2 � 2xy � 3y 2

��2, 1, 2�f �x, y, z� � x2y3 � 2xyz � 3yz,

�0, �

2, �4�f �x, y, z� � z sin�x � y�,

�3, 1, �1�f �x, y, z� �xy

x � y � z,

�1, �2, 1�f �x, y, z� � �3x2 � y2 � 2z2,

f �x, y, z� � 3x2y � 5xyz � 10yz 2

G�x, y, z� �1

�1 � x2 � y 2 � z 2

F�x, y, z� � ln�x2 � y 2 � z 2

w �3xz

x � yw � �x2 � y 2 � z2

fy

fxfyfxf


sen

sen

sen

sen

93. Costo marginal Una empresa fabrica dos tipos de estufas decombustión de madera: el modelo autoestable y el modelo parainserción en una chimenea. La función de costo para producir xestufas autoestables y y de inserción en una chimenea es

a) Calcular los costos marginales y cuandoy

b) Cuando se requiera producción adicional, ¿qué modelo deestufa hará incrementar el costo con una tasa más alta? ¿Có-mo puede determinarse esto a partir del modelo del costo?

94. Productividad marginal Considerar la función de producciónde Cobb-Douglas Si x � 1 000 y y � 500,hallar

a) la productividad marginal del trabajo,

b) la productividad marginal del capital,

95. Para pensar Sea el número de solicitantes a una universi-dad, p el costo por alimentación y alojamiento en la universi-dad, y t el costo de la matrícula. N es una función de p y t talque y ¿Qué información se obtiene alsaber que ambas derivadas parciales son negativas?

96. Inversión El valor de una inversión de $1 000 que gana 10%de interés compuesto anual es

donde I es la tasa anual de inflación y R es la tasa de impuestopara la persona que hace la inversión. Calcular y

Determinar si la tasa de impuesto o la tasa deinflación es el mayor factor “negativo” sobre el crecimiento dela inversión.

97. Distribución de temperatura La temperatura en cualquierpunto de una placa de acero es donde y son medidos en metros. En el punto (2, 3), hallar elritmo de cambio de la temperatura respecto a la distancia reco-rrida en la placa en las direcciones del eje x y y.

98. Temperatura aparente Una medida de la percepción delcalor ambiental por unas personas promedio es el Índice detemperatura aparente. Un modelo para este índice es

donde es la temperatura aparente en grados Celsius, es latemperatura del aire y es la humedad relativa dada en formadecimal. (Fuente: The UMAP Journal, otoño 1984)

a) Hallar y si y

b) ¿Qué influye más sobre A, la temperatura del aire o lahumedad? Explicar.

99. Ley de los gases ideales La ley de los gases ideales estableceque donde es la presión, es el volumen, es elnúmero de moles de gas, es una constante (la constante de losgases) y T es temperatura absoluta. Mostrar que

100. Utilidad marginal La función de utilidad es unamedida de la utilidad (o satisfacción) que obtiene una personapor el consumo de dos productos y Suponer que la fun-ción de utilidad es

a) Determinar la utilidad marginal del producto

b) Determinar la utilidad marginal del producto

c) Si y ¿se debe consumir una unidad más deproducto x o una unidad más de producto y? Explicar elrazonamiento.

d) Utilizar un sistema computarizado para álgebra y repre-sentar gráficamente la función. Interpretar las utilidadesmarginales de productos x y y con una gráfica

101. Modelo matemático En la tabla se muestran los consumosper cápita (en galones) de diferentes tipos de leche en EstadosUnidos desde 1994 hasta 2000. El consumo de leche light ydescremada, leche baja en grasa y leche entera se representapor las variables x, y y z, respectivamente. (Fuente: U.S.Department of Agriculture)

Un modelo para los datos lo da

a) Hallar y

b) Interpretar las derivadas parciales en el contexto del proble-ma.

�z�y

.�z�x

z � �0.04x � 0.64y � 3.4.

y � 3,x � 2

y.

x.

U � �5x2 � xy � 3y 2.

y.x

U � f �x, y�

�T�P

�P�V

�V�T

� �1.

RnVPPV � nRT,

h � 0.80.t � 30��A��h�A��t

htA

A � 0.885t � 22.4h � 1.20th � 0.544

yxT � 500 � 0.6x2 � 1.5y2,�x, y�

VR�0.03, 0.28�.VI�0.03, 0.28�

V�I, R� � 1000�1 � 0.10�1 � R�1 � I

10

�N��t < 0.�N��p < 0

N

�f��y.

�f��x.

f �x, y� � 200x0.7y0.3.

y � 20.x � 80�C��y��C��x

C � 32�xy � 175x � 205y � 1050.


Desarrollo de conceptos87. Definir las derivadas parciales de primer orden de una fun-

ción f de dos variables x y y.

88. Sea f una función de dos variables x y y. Describir el proce-dimiento para hallar las derivadas parciales de primer orden.

89. Dibujar una superficie que represente una función f de dosvariables x y y. Utilizar la gráfica para dar una interpre-tación geométrica de y

90. Dibujar la gráfica de una función cuya derivadasea siempre negativa y cuya derivada sea siempre po-

sitiva.

91. Dibujar la gráfica de una función cuyas deri-vadas y sean siempre positivas.

92. Si es una función de y tal que y son continuas,¿qué relación existe entre las derivadas parciales mixtas?Explicar.

fyxfxyyxf

fyfx

z � f �x, y�

fyfx

z � f �x, y��f��y.�f��x

Año 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000

x 5.8 6.2 6.4 6.6 6.5 6.3 6.1

y 8.7 8.2 8.0 7.7 7.4 7.3 7.1

z 8.8 8.4 8.4 8.2 7.8 7.9 7.8

1 050.

1 000


102. Modelo matemático La tabla muestra la cantidad de gasto enatención pública médica (en miles de millones de dólares) encompensación a trabajadores x, asistencia pública y, y seguromédico del Estado z, en determinados años. (Fuente: Centersfor Medicare and Medicaid Services)

Un modelo para los datos está dado por

a) Hallar y

b) Determinar la concavidad de las trazas paralelas al planoxz. Interpretar el resultado en el contexto del problema.

c) Determinar la concavidad de las trazas paralelas al planoyz. Interpretar el resultado en el contexto del problema.

¿Verdadero o falso? En los ejercicios 103 a 106, determinar sila declaración es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por quéo dar un ejemplo que demuestre que es falsa.

103. Si y entonces

104. Si entonces

105. Si entonces

106. Si una superficie cilíndrica tiene rectas generatri-ces paralelas al eje y, entonces

107. Considerar la función definida por

a) Hallar y para

b) Utilizar la definición de derivadas parciales para hallary

Sugerencia:

c) Utilizar la definición de derivadas parciales para hallary

d) Utilizar el teorema 13.3 y el resultado del apartado c), eindicar qué puede decirse acerca de fxy o fyx.

108. Sea Hallar y

109. Mostrar la función

a) Probar que

b) Determinar los puntos (si los hay) en los que noexiste.

110. Considerar la función Mostrar que

PARA MAYOR INFORMACIÓN Para más información sobreeste problema, ver el artículo “A Classroom Note on a NaturallyOccurring Piecewise Defined Function” de Don Cohen enMathematics and Computer Education.

fx�x, y� � � 4x3�x2 � y2�1�3,

0,

�x, y� �0, 0�

�x, y� � �0, 0�.

f �x, y� � �x2 � y2�2�3.

fy�x, y�fy�0, 0� � 1.

f �x, y� � �x3 � y3�1�3.

fy�x, y�.fx�x, y�f �x, y� � �y

x

�1 � t3 dt.

fyx�0, 0�.fxy�0, 0�

fx�0, 0� � lim�x→0

f ��x, 0� � f �0, 0�

�x.�

fy�0, 0�.fx�0, 0�

�x, y� �0, 0�.fy�x, y�fx�x, y�

f �x, y� � �xy�x2 � y2� , x2 � y2

0,

�x, y� �0, 0�

�x, y� � �0, 0�.

�z��y � 0.z � f �x, y�

�2z�y�x

� �xy � 1�e xy.z � exy,

��z��x� � ��z��y� � f�x�g�y� � f �x�g�y�.z � f �x�g�y�,

z � c�x � y�.�z��x � �z��y,z � f �x, y�

�2z�y2.

�2z�x2

z � �1.3520x2 � 0.0025y2 � 56.080x � 1.537y � 562.23.

Año 1990 1996 1997 1998 1999 2000

x 17.5 21.9 20.5 20.8 22.5 23.3

y 78.7 157.6 164.8 176.6 191.8 208.5

z 110.2 197.5 208.2 209.5 212.6 224.4

Proyecto de trabajo: Las franjas de Moiré

Léase el artículo “Moiré Fringes and the Conic Sections” de MikeCullen en The College Mathematics Journal. El artículo describecómo dos familias de curvas de nivel dadas por

y

pueden formar franjas de Moiré. Después de leer el artículo, escribirun documento que explique cómo se relaciona la expresión

con las franjas de Moiré formadas por la intersección de las dosfamilias de curvas de nivel. Utilizar como ejemplo uno de los mod-elos siguientes.

�f�x

��g�x

��f�y

��g�y

g�x, y� � bf�x, y� � a

Mik

e C

ulle

nM

ike

Cul

len

lím


Diferenciales

• Entender los conceptos de incrementos y diferenciales.• Extender el concepto de diferenciabilidad a una función de dos variables.• Utilizar una diferencial como una aproximación.

Incrementos y diferenciales

En esta sección se generalizan los conceptos de incrementos y diferenciales a fun-ciones de dos o más variables. Recuérdese que en la sección 3.9, dada sedefinió la diferencial de y como

Terminología similar se usa para una función de dos variables, Es decir,y son los incrementos en x y en y, y el incremento en z está dado por

Esta definición puede extenderse a una función de tres o más variables. Por ejem-plo, si entonces y la dife-rencial total de w es

EJEMPLO 1 Hallar la diferencial total

Hallar la diferencial total de cada función.

a) z � 2x sen y � 3x2y2 b)

Solución

a) La diferencial total de z � 2x sen y � 3x2y2 es

Diferencial total .

b) La diferencial total de es

Diferencial total .

� 2x dx � 2y dy � 2z dz.

dw dw ��w�x

dx ��w�y

dy ��w�z

dz

w � x2 � y2 � z2dw

� �2 sin y � 6xy2� dx � �2x cos y � 6x2y� dy.

dz dz ��z�x

dx ��z�y

dy

dz

w � x2 � y2 � z2

dw ��w�x

dx ��w�y

dy ��w�z

dz ��w�u

du.

du � �u,dz � �z,dy � �y,dx � �x,w � f �x, y, z, u�,

�y�xz � f �x, y�.

dy � f��x� dx.

y � f �x�,

Incremento en .z�z � f �x � �x, y � �y� � f �x, y�.

Definición de diferencial total

Si y y son los incrementos en x y en y, entonces las diferen-ciales de las variables independientes x y y son

y

y la diferencial total de la variable dependiente z es

dz ��z�x

dx ��z�y

dy � fx�x, y� dx � fy�x, y� dy.

dy � �ydx � �x

�y�xz � f �x, y�

Sección 13.4

sen

Diferenciabilidad

En la sección 3.9 se vio que si una función dada por y � f(x) es diferenciable, se puedeutilizar la diferencial como una aproximación (para pequeños) alvalor Cuando se puede tener una aproximación similar parauna función de dos variables, se dice que la función es diferenciable. Esto se expre-sa explícitamente en la definición siguiente.

EJEMPLO 2 Mostrar que una función es diferenciable

Mostrar que la función dada por

es diferenciable en todo punto del plano.

Solución Haciendo el incremento de z en un punto arbitrario en elplano es

Incremento de .

donde y Como y cuando se sigueque f es diferenciable en todo punto en el plano. La gráfica de f se muestra en la figu-ra 13.34.

Debe tenerse en cuenta que el término “diferenciable” se usa de manera diferentepara funciones de dos variables y para funciones de una variable. Una función de unavariable es diferenciable en un punto si su derivada existe en el punto. Sin embargo,en el caso de una función de dos variables, la existencia de las derivadas parciales y no garantiza que la función sea diferenciable (ver ejemplo 5). El teorema si-guiente proporciona una condición suficiente para la diferenciabilidad de una funciónde dos variables. En el apéndice A se da una demostración del teorema 13.4.

fy

fx

��x, �y�→ �0, 0�,�2→ 0�1→ 0�2 � 0.�1 � �x

� fx�x, y� �x � fy�x, y� �y � �1�x � �2�y

� 2x��x� � 3��y� � �x��x� � 0��y� � 2x�x � �x2 � 3�y

� �x2 � 2x�x � �x2� � 3�y � �y� � �x2 � 3y�z �z � f �x � �x, y � �y� � f �x, y�

�x, y�z � f �x, y�,

f �x, y� � x2 � 3y

�y � f �x � �x� � f �x�.�xdy � f��x� dx

SECCIÓN 13.4 Diferenciales 917

Figura 13.34

Definición de diferenciabilidad

Una función dada por es diferenciable en si puedeexpresarse en la forma

donde y cuando La función es diferenciable enuna región R si es diferenciable en todo punto de R.

f��x, �y�→ �0, 0�.�2→ 0�1

�z � fx�x0, y0� �x � fy�x0, y0� �y � �1�x � �2�y

�z�x0, y0�z � f �x, y�f

TEOREMA 13.4 Condiciones suficientes para la diferenciabilidad

Si es una función de y para la que y son continuas en una regiónabierta entonces es diferenciable en R.fR,

fyfxy,xf

Aproximación mediante diferenciales

El teorema 13.4 dice que se puede elegir suficientemente cerca depara hacer que y sean insignificantes. En otros términos, para y

�y pequeños, se puede usar la aproximación

Esta aproximación se ilustra gráficamente en la figura 13.35. Hay que recordar que lasderivadas parciales y pueden interpretarse como las pendientes de lasuperficie en las direcciones de x y de y. Esto significa que

representa el cambio en altura de un plano tangente a la superficie en el puntoComo un plano en el espacio se representa mediante una ecuación lineal

en las variables x, y y z, la aproximación de mediante se llama aproximaciónlineal. Se verá más acerca de esta interpretación geométrica en la sección 13.7.

EJEMPLO 3 Uso de la diferencial como una aproximación

Utilizar la diferencial dz para aproximar el cambio en cuandose desplaza del punto (1, 1) al punto (1.01, 0.97). Comparar esta aproximación

con el cambio exacto en

Solución Se hace y y se obtieney Por tanto, el cambio en z puede aproximarse

mediante

Cuando y se tiene

En la figura 13.36 se puede ver que el cambio exacto corresponde a la diferencia entre lasalturas de dos puntos sobre la superficie de un hemisferio. Esta diferencia está dada por

Una función de tres variables se dice que es diferenciable ensi

puede expresarse en la forma

donde y cuando Con esta definición de dife-renciabilidad, el teorema 13.4 puede extenderse de la siguiente manera a funciones detres variables: si es una función de x, y y donde y son continuas en unaregión abierta entonces es diferenciable en

En la sección 3.9 se utilizaron las diferenciales para aproximar el error de propa-gación introducido por un error en la medida. Esta aplicación de diferenciales se ilus-tra en el ejemplo 4.

R.fR,fzfy ,fx ,f,z,f

��x, �y, �z�→ �0, 0, 0�.�3 → 0�2,�1,

�w � fx�x � fy�y � fz�z � �1�x � �2�y � �3�z

�w � f �x � �x, y � �y, z � �z� � f �x, y, z�

�x, y, z�w � f �x, y, z�

� 0.0137. � �4 � �1.01�2 � �0.97�2 � �4 � 12 � 12

�z � f �1.01, 0.97� � f �1, 1�

� 0.0141.� �2 �0.01��0.02�2

�z � �1�2

�0.01� �1�2

��0.03�

y � 1,x � 1

��x

�4 � x2 � y2 �x �

�y�4 � x2 � y2

�y.��z�x

dx ��z�y

dy �z � dz

dy � �y � �0.03.dx � �x � 0.01�x � �x, y � �y� � �1.01, 0.97��x, y� � �1, 1�

z.�x, y�

z � �4 � x2 � y2

dz�z�x, y, f �x, y��.

dz ��z�x

�x ��z�y

�y

�z��y�z��x

�z � dz.

�x�2�y�1�x�x, y��x � �x, y � �y�


El cambio exacto en z es Este cambiopuede aproximarse mediante la diferencial Figura 13.35

dz.�z.

Cuando se desplaza de al puntoel valor de cambia

aproximadamente en 0.0137Figura 13.36

f �x, y��1.01, 0.97�,�1, 1��x, y�

EJEMPLO 4 Análisis de errores

El error producido al medir cada una de las dimensiones de una caja rectangular esmilímetros. Las dimensiones de la caja son centímetros, cen-

tímetros y centímetros, como se muestra en la figura 13.37. Utilizar paraestimar el error propagado y el error relativo en el volumen calculado de la caja.

Solución El volumen de la caja está dado por y por tanto

Utilizando 0.1 milímetros centímetros, se tiene y elerror propagado es aproximadamente

� 2 050(�0.01) � �20.5 centímetros cúbicos.

Como el volumen medido es

centímetros cúbicos,

el error relativo, es aproximadamente

Como ocurre con una función de una sola variable, si una función de dos o másvariables es diferenciable en un punto, también es continua en él.

Demostración Sea diferenciable en donde Entonces

donde y cuando Sin embargo, por definición, se sabe queestá dada por

Haciendo y se obtiene

Tomando el límite cuando se obtiene

lo cual significa que es continua en �x0, y0�.f

�x, y�→ �x0, y0�,

� � fx�x0, y0� � �1��x � x0� � � fy�x0, y0� � �2��y � y0�. f �x, y� � f �x0, y0� � � fx�x0, y0� � �1� �x � � fy�x0, y0� � �2� �y

y � y0 � �yx � x0 � �x

�z � f �x0 � �x, y0 � �y� � f �x0, y0�.

�z��x, �y�→ �0, 0�.�2 → 0�1

�z � � fx�x0, y0� � �1� �x � � fy�x0, y0� � �2� �y

z � f �x, y�.�x0, y0�,f

�VV

�dVV

�20.5

15,000� 0.14%.

�V�V,

V � �50��20��15� � 15,000

� 300�±0.01� � 750�±0.01� � 1000�±0.01� dV � �20��15��±0.01� � �50��15��±0.01� � �50��20��±0.01�

dx � dy � dz � ±0.01,� 0.01

� yz dx � xz dy � xy dz.

dV ��V�x

dx ��V�y

dy ��V�z

dz

V � xyz,

dVz � 15y � 20x � 50±0.1


VolumenFigura 13.37

� xyz

TEOREMA 13.5 Diferenciabilidad implica continuidad

Si una función de x y y es diferenciable en entonces es continua en�x0, y0�.

�x0, y0�,

1 000(±0.01)

Hay que recordar que la existencia de y no es suficiente para garantizar ladiferenciabilidad, como se ilustra en el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 5 Una función que no es diferenciable

Mostrar que y existen, pero f no es diferenciable en (0, 0) donde f estádefinida como

Solución Para mostrar que f no es diferenciable en (0, 0) basta mostrar que no escontinua en este punto. Para ver que f no es continua en (0, 0), se observan los valoresde f(x, y) a lo largo de dos trayectorias diferentes que se aproximan a (0, 0), como semuestra en la figura 13.38. A lo largo de la recta el límite es

mientras que a lo largo de se tiene

Así, el límite de f(x, y) cuando no existe, y se puede concluir que f noes continua en (0, 0). Por tanto, de acuerdo con el teorema 13.5, f no es diferenciableen (0, 0). Por otro lado, de acuerdo con la definición de las derivadas parciales y se tiene

Por lo que las derivadas parciales en (0, 0) existen.

fy,fx

�x, y� → �0, 0�

y � �x

y � x,

f �x, y� � � �3xyx2 � y2, if �x, y� �0, 0�

0, if �x, y� � �0, 0�.

fy�0, 0�fx�0, 0�

fyfx


Figura 13.38

TECNOLOGÍA Utilizar unagraficadora para representar la funcióndada en el ejemplo 5. Por ejemplo, lagráfica mostrada abajo fue generadacon Mathematica.

si

si

En los ejercicios 1 a 10, hallar la diferencial total.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. z � ex sen y 8.

9. w � 2z3y sen x 10. w � x2yz2 � sen yz

En los ejercicios 11 a 16, a) evaluar y y calcu-lar y b) utilizar la diferencial total para aproximar

11. 12.

13. f (x, y) � x sen y 14.

15. 16.

En los ejercicios 17 a 20, hallar y utilizar la diferen-cial total para aproximar la cantidad.

17.

18.

19.

20.

25. Área El área del rectángulo sombreada en la figura esLos posibles errores en la longitud y la altura son y

respectivamente. Hallar e identificar las regiones de lafigura cuyas áreas están dadas por los términos de ¿Quéregión representa la diferencia entre y


26. Volumen El volumen del cilindro circular recto de color rojo enla figura es Los posibles errores en el radio y la alturason y respectivamente. Hallar e identificar los sólidosde la figura cuyos volúmenes están dados por los términos de ¿Qué sólido representa la diferencia entre y

27. Análisis numérico Se construye un cono circular recto dealtura y radio y durante la medición se cometieronerrores en el radio y en la altura respectivamente.Completar la tabla para mostrar la relación entre y paralos errores indicados.

28. Análisis numérico La altura y radio de un cono circular rectomidieron metros y metros. En la medición, secometieron errores y es el área de la superficie lateral deun cono. Completar la tabla anterior para mostrar la relaciónentre y para los errores indicados.

29. Modelo matemático Los consumos per cápita (en galones) dediferentes tipos de leche en Estados Unidos de 1994 a 2000 semuestran en la tabla. El consumo de leche light y descremada,leche baja en grasas y leche entera se representa por las varia-bles x, y y z, respectivamente. (Fuente: U.S. Department ofAgriculture)

Un modelo para los datos está dado por z � �0.04x � 0.64y �3.4.

a) Hallar la diferencial total del modelo.

b) Se prevé en la industria lechera que en años futuros el consu-mo per cápita de leche light y descremada será de galones y que el consumo per cápita de leche baja en grasasserá galones. Utilizar dz para estimar los máximosde propagación y error relativo en el pronóstico de consumo deleche entera.

30. Coordenadas rectangulares a polares Un sistema de coorde-nadas rectangular se coloca sobre un mapa y las coordenadas deun punto de interés son (8.5, 3.2). Existe un posible error de0.05 en cada coordenada. Aproximar el máximo error posible almedir las coordenadas polares del punto.

7.5 ± 0.25

6.2 ± 0.25

dS�S

�h�rr � 8h � 20

dV�V�h�r

r � 3h � 6

dV?�VdV.

dV�h,�rV � r 2h.

dA?�AdA.

dA�h,�lA � lh.

sin��1.05�2 � �0.95�2� � sin�12 � 12�

1 � �3.05�2

�5.95�2 �1 � 32

62

�2.03�2�1 � 8.9�3 � 22�1 � 9�3

��5.05�2 � �3.1�2 � �52 � 32

z � f x, y

f �x, y� �xy

f �x, y� � 3x � 4y

f �x, y� � xey

f �x, y� � �x2 � y2f �x, y� � 9 � x2 � y 2

�z.dz�z,f 1.05, 2.1f 1, 2

w � ey cos x � z2

z �12�ex2�y2

� e�x2�y2�z � x cos y � y cos x

w �x � yz � 2y

z ��1

x2 � y2

z �x2

yz � 3x2y3



Desarrollo de conceptos21. Definir la diferencial total de una función de dos variables.

22. Describir el cambio en la exactitud de dz como una apro-ximación a cuando y aumentan.

23. ¿Qué se quiere decir con una aproximación lineal aen el punto

24. Cuando se usan diferenciales, ¿qué significan los términosde propagación y error relativo?

P�x0, y0�?z � f �x, y�

�y�x�z

o o o

0.1 0.1

0.1 0.1

0.001 0.002

0.0001 0.0002�

�

�S � dS�SdS�h�r

�V � dV�VdV

Año 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000

x 5.8 6.2 6.4 6.6 6.5 6.3 6.1

y 8.7 8.2 8.0 7.7 7.4 7.3 7.1

z 8.8 8.4 8.4 8.2 7.8 7.9 7.8

sen sen

31. Volumen El radio r y altura h de un cilindro circular recto se miden con posibles errores de 4 y 2%, respectivamente.Aproximar el máximo error porcentual posible al medir el vo-lumen.

32. Área En un triángulo dos lados adyacentes miden 3 y 4 pul-gadas de longitud, y entre ellos forman un ángulo de Los posibles errores de medición son pulgadas en los ladosy 0.02 radianes en el ángulo. Aproximar el máximo error posi-ble al calcular el área.

33. Viento La fórmula para el viento C (en grados Fahrenheit) es

donde es la velocidad del viento en millas por hora y es latemperatura en grados Fahrenheit. La velocidad del viento es

millas por hora y la temperatura es Utilizar dCpara estimar el posible error propagado y el error relativo má-ximos al calcular el viento.

34. Aceleración La aceleración centrípeta de una partícula que semueve en un círculo es donde es la velocidad y esel radio del círculo. Aproximar el error porcentual máximo almedir la aceleración debidos a errores de 3% en y 2% en

35. Volumen Un abrevadero tiene 16 pies de largo (ver la figura).Sus secciones transversales son triángulos isósceles en los que losdos lados iguales miden 18 pulgadas. El ángulo entre los doslados iguales es

a) Expresar el volumen del abrevadero en función de y determinar el valor de para el que el volumen es má-ximo.

b) El error máximo en las mediciones lineales es de media pul-gada y el error máximo en la medida del ángulo es 2°.Aproximar el cambio a partir del volumen máximo.


36. Deportes Un jugador de béisbol en el jardín central seencuentra aproximadamente a 330 pies de una cámara de tele-visión que está en la base. Un bateador golpea una pelota quesale hacia una valla situada a una distancia de 420 pies de lacámara (ver la figura).

a) La cámara gira 9° para seguir la carrera. Aproximar elnúmero de pies que el jugador central tiene que correr paracachar la pelota.

b) La posición del jugador central podría tener un error hastade 6 pies y el error máximo al medir la rotación de la cámarade 1°. Aproximar el máximo error posible en el resultado delapartado a).

37. Potencia La potencia eléctrica P está dada por

donde E es el voltaje y R es la resistencia. Aproximar el máxi-mo error porcentual al calcular la potencia si se aplican 200volts a una resistencia de 4 000 ohms y los posibles errores por-centuales al medir E y R son 2 y 3%, respectivamente.

38. Resistencia La resistencia total R de dos resistencias conec-tadas en paralelo es

Aproximar el cambio en cuando incrementa de 10 ohms a10.5 ohms y decrece de 15 ohms a 13 ohms.

39. Inductancia La inductancia L (en microhenrys) de un hilorecto no magnético en el espacio libre es

donde es la longitud del hilo en milímetros y es el radio deuna sección transversal circular. Aproximar L cuando

milímetros y milímetros.40. Péndulo El periodo T de un péndulo de longitud L es

donde es la aceleración de la gravedad. Unpéndulo se lleva de la Zona del Canal, donde pies/s2,a Groenlandia, donde pies/s2. Debido al cambio enla temperatura, la longitud del péndulo cambia de 2.5 pies a2.48 pies. Aproximar el cambio en el periodo del péndulo.

En los ejercicios 41 a 44, mostrar que la función es diferen-ciable hallando los valores de y que se dan en la defi-nición de diferenciabilidad y verificar que y cuando

41. 42.

43. 44.

En los ejercicios 45 y 46, utilizar la función para demostrar quea) y existen, y b) no es diferenciable en

45.

46.

47. Problema interdisciplinario Considerar mediciones y fórmu-las que se estén usando, o se hayan usado, en otros cursos deciencia o de ingeniería. Mostrar cómo aplicar las diferencialesa estas mediciones y fórmulas para estimar los posibles errorespropagados.

f �x, y� � � 5x2yx3 � y3

,

0,

�x, y� �0, 0�

�x, y� � �0, 0�

f �x, y� � � 3x2yx4 � y2

,

0,

�x, y� �0, 0�

�x, y� � �0, 0�

0, 0.ffy0, 0fx0, 0

f �x, y� � 5x � 10y � y3f �x, y� � x2y

f �x, y� � x2 � y2f �x, y� � x2 � 2x � y

�x, �y→ 0, 0.�2→ 0�1

�2�1

g � 32.23g � 32.09

gT � 2�L�g ,

h � 100 ± 1100r � 2 ± 1

16

rh

L � 0.00021�ln 2hr

� 0.75�

R2

R1R

1R

�1R1

�1

R2.

P �E 2

R

��

�.

r.v

rva � v2�r,

8� ± 1�.23 ± 3

Tv

C � 35.74 � 0.6215T � 35.75v0.16 � 0.4275Tv0.16

116

�4.


SECCIÓN 13.5 Reglas de la cadena para funciones de varias variables 923

Sección 13.5 Reglas de la cadena para funciones de varias variables

• Utilizar las reglas de la cadena para funciones de varias variables.• Hallar las derivadas parciales implícitamente.

Reglas de la cadena para funciones de varias variables

El trabajo con diferenciales de la sección anterior proporciona las bases para la exten-sión de la regla de la cadena a funciones de dos variables. Hay dos casos: el primercaso cuando w es una función de x y y, donde x y y son funciones de una sola variableindependiente t. (La demostración de este teorema se da en el apéndice A.)

EJEMPLO 1 Regla de la cadena con una variable independiente

Sea donde x � sen t y Hallar cuando

Solución De acuerdo a la regla de la cadena para una variable independiente, se tiene

Cuando se sigue que

Las reglas de la cadena presentadas en esta sección proporcionan técnicas alter-nativas para resolver muchos problemas del cálculo de una sola variable. Así, en elejemplo 1, se podrían haber usado técnicas para una sola variable para encontrar dw/dtexpresando primero w como función de t,

y derivando después como de costumbre.

dwdt

� 2et sin t cos t � et sin2 t � 2e2t

� et sin2 t � e2t

� �sin t�2�et� � �et�2

w � x2y � y2

dwdt

� �2.

t � 0,

� 2et sin t cos t � et sin2 t � 2e2t.

� 2�sin t��et��cos t� � �sin2 t � 2et�et

� 2xy�cos t� � �x2 � 2y�et

dwdt

��w�x

dxdt

��w�y

dydt

t � 0.dw�dty � et.w � x2y � y2,

Regla de la cadena: una variable dependientew, es función de x y y las que a su vez son fun-ciones de t. Este diagrama representa laderivada de w con respecto a tFigura 13.39

TEOREMA 13.6 Regla de la cadena: una variable independiente

Sea donde es una función diferenciable de y Si ydonde y son funciones derivables de entonces w es una función

diferenciable de y

Ver figura 13.39.dwdt

��w�x

dxdt

��w�y

dydt

.

t,t,hgy � h�t�,

x � g�t�y.xfw � f �x, y�,

= 2xy(cos t ) + (x2 − 2y)et

= 2(sen t)(et )(cos t) + (sen2 t − 2et )et

= 2et sen t cos t + et sen2 t − 2e2t .

sen

sen

sen sen

La regla de la cadena en el teorema 13.6 puede extenderse a cualquier número devariables. Por ejemplo, si cada es una función derivable de una sola variable t,entonces para

se tiene

EJEMPLO 2 Aplicación de la regla de la cadena a velocidades o ritmos de cambio relacionados

Dos objetos recorren trayectorias elípticas dadas por las ecuaciones paramétricas si-guientes.

y Primer objeto.

y Segundo objeto.

¿A qué velocidad o ritmo cambia la distancia entre los dos objetos cuando

Solución En la figura 13.40 se puede ver que la distancia s entre los dos objetos estádada por

y que cuando se tiene y

Cuando las derivadas parciales de s son las siguientes.

Cuando las derivadas de x1, y1, x2 y y2 son

Por tanto, usando la regla de la cadena apropiada, se sabe que la distancia cambia auna velocidad o ritmo

�225

.

� ��45��0� � ��

35��2� � �4

5��4� � �35��0�

dsdt

��s�x1

dx1

dt�

�s�y1

dy1

dt�

�s�x2

dx2

dt�

�s�y2

dy2

dt

dx2

dt� 4 cos 2t � 4

dy2

dt� �6 sin 2t � 0.

dx1

dt� �4 sin t � 0

dy1

dt� 2 cos t � �2

t � �,

�s�y2

��y2 � y1�

��x2 � x1�2 � �y2 � y1�2�

15

�3 � 0� �35

�s�x2

��x2 � x1�

��x2 � x1�2 � �y2 � y1�2�

15

�0 � 4� �45

�s�y1

��y2 � y1�

��x2 � x1�2 � �y2 � y1�2� �

15

�3 � 0� � �35

�s�x1

��x2 � x1�

��x2 � x1�2 � �y2 � y1�2� �

15

�0 � 4� � �45

t � �,

s � ��0 � 4�2 � �3 � 0�2 � 5.

y2 � 3,x2 � 0,y1 � 0,x1 � �4,t � �,

s � ��x2 � x1�2 � �y2 � y1�2

t � �?

y2 � 3 cos 2tx2 � 2 sin 2t

y1 � 2 sin tx1 � 4 cos t

dwdt

��w�x1

dx1

dt�

�w�x2

dx2

dt� . . . �

�w�xn

dxn

dt.

w � f �x1, x2, . . . , xn�

xi


Trayectorias de dos objetos que recorrenórbitas elípticasFigura 13.40

sen

sen

sen

sen

En el ejemplo 2, obsérvese que s es función de cuatro variables intermedias, y1, x2 y y2, cada una de las cuales es a su vez función de una sola variable Otro tipode función compuesta es aquella en la que las variables intermedias son, a su vez, fun-ciones de más de una variable. Por ejemplo, si donde y

se sigue que w es función de y y se pueden considerar las derivadasparciales de w con respecto a s y t. Una manera de encontrar estas derivadas parcialeses expresar w explícitamente como función de s y t sustituyendo las ecuaciones

y en la ecuación Así se pueden encontrar lasderivadas parciales de la manera usual, como se muestra en el ejemplo siguiente.

EJEMPLO 3 Hallar derivadas parciales por sustitución

Hallar y para donde y

Solución Se comienza por sustituir y en la ecuación para obtener

Después, para encontrar se mantiene constante y se deriva con respecto a

De manera similar, para hallar , se mantiene constante y se deriva con respec-to a para obtener

El teorema 13.7 proporciona un método alternativo para hallar las derivadas parcialesdel ejemplo 3, sin expresar w explícitamente como función de y

Demostración Para obtener ∂w/∂s, se mantiene constante t y se aplica el teorema13.6 para obtener el resultado deseado. De manera similar, para obtener ∂w/∂t semantiene constante s y se aplica el teorema 13.6.

NOTA La regla de la cadena en este teorema se muestra esquemáticamente en la figura 13.41.

t.s

�2st2 � 2s3

t2 .

� 2��s3 � st2

t2 �

�w�t

� 2��s3

t2 � s�t

s�w��t

�6s2 � 2t2

t

�w�s

� 2�3s2

t� t�

s.t�w��s,

� 2�s3

t� st�.� 2�s2 � t2��s

t� w � 2xy

w � 2xyy � s�tx � s2 � t2

y � s�t.x � s2 � t2w � 2xy,�w��t�w��s

w � f �x, y�.y � h�s, t�x � g�s, t�

t,sy � h�s, t�,x � g�s, t�w � f �x, y�,

t.x1,


La regla de la cadena: dos variables independientesFigura 13.41

TEOREMA 13.7 Regla de la cadena: dos variables independientes

Sea w � f(x, y), donde f es una función diferenciable de x y y. Si x � g(s, t) yson tales que las derivadas parciales de primer orden ∂x/∂s, ∂x/∂t, ∂y/∂s y

∂y/∂t, existen, entonces y existen y están dadas por

y�w�t

��w�x

�x�t

��w�y

�y�t

.�w�s

��w�x

�x�s

��w�y

�y�s

�w��t�w��sy � h�s, t�

EJEMPLO 4 Regla de la cadena con dos variables independientes

Utilizar la regla de la cadena para encontrar y dada

donde y

Solución Nótese que estas mismas derivadas parciales fueron calculadas en el ejem-plo 3. Esta vez, usando el teorema 13.7, se puede mantener constante t y derivar conrespecto a s para obtener

Sustituir y por y x por .

De manera similar, manteniendo s constante se obtiene

Sustituir y por y x por .

La regla de la cadena del teorema 13.7 también puede extenderse a cualquiernúmero de variables. Por ejemplo, si w es una función diferenciable de n variables

donde cada es una función diferenciable de m variablesentonces para

se obtiene lo siguiente.

�w�tm

��w�x1

�x1

�tm�

�w�x2

�x2

�tm� . . . �

�w�xn

�xn

�tm

�

�w�t2

��w�x1

�x1

�t2�

�w�x2

�x2

�t2� . . . �

�w�xn

�xn

�t2

�w�t1

��w�x1

�x1

�t1�

�w�x2

�x2

�t1� . . . �

�w�xn

�xn

�t1

w � f �x1, x2, . . . , xn�

t1, t2, . . . , tm,xix1, x2, . . . , xn,

�2st2 � 2s3

t2.

�4st2 � 2s3 � 2st2

t2

� 4s �2s3 � 2st2

t2

s2 � t2�s�t� � 2�st��2t� � 2�s2 � t2��s

t2 � � 2y�2t� � 2x��s

t2 �

�w�t

��w�x

�x�t

��w�y

�y�t

�6s2 � 2t2

t.

�4s2

t�

2s2 � 2t2

t

s2 � t2�s�t� � 2�st��2s� � 2�s2 � t2��1

t � � 2y�2s� � 2x�1

t � �w�s

��w�x

�x�s

��w�y

�y�s

y � s�t.x � s2 � t2

w � 2xy

�w��t�w��s


EJEMPLO 5 Regla de la cadena para una función de tres variables

Hallar y si y dada la función

donde y � s sen t y

Solución Por extensión del teorema 13.7, se tiene

Para y se tiene y � 0 y Así,

Y,

y si y se sigue que

Derivación o diferenciación parcial implícita

Esta sección concluye con una aplicación de la regla de la cadena para determinar laderivada de una función definida implícitamente. Supóngase que x y y están rela-cionadas por la ecuación donde se supone que es función deri-vable de Para hallar se podría recurrir a las técnicas vistas de la sección 2.5.Sin embargo, se verá que la regla de la cadena proporciona una útil alternativa. Si seconsidera la función dada por

se puede aplicar el teorema 13.6 para obtener

Como para toda en el dominio de se sabe que y setiene

Ahora, si se puede usar el hecho que para concluir que

Un procedimiento similar puede usarse para encontrar las derivadas parciales de fun-ciones de varias variables definidas implícitamente.

dydx

� �Fx�x, y�Fy�x, y�

.

dx�dx � 1Fy�x, y� � 0,

Fx�x, y� dxdx

� Fy�x, y� dydx

� 0.

dw�dx � 0f,xw � F�x, y� � 0

dwdx

� Fx�x, y� dxdx

� Fy �x, y� dydx

.

w � F�x, y� � F�x, f �x��

dy�dx,x.y � f �x�F�x, y� � 0,

� 2 � 2�.

�w�t

� �0 � 2��0� � �1 � 2��1� � �0 � 1��1�

t � 2�,s � 1

� �y � z��s sin t� � �x � z��s cos t� � �y � x��1�

�w�t

��w�x

�x�t

��w�y

�y�t

��w�z

�z�t

�w��s � �0 � 2��1� � �1 � 2��0� � 2�.z � 2�.x � 1,t � 2�,s � 1

� �y � z��cos t� � �x � z��sin t�. � �y � z��cos t� � �x � z��sin t� � �y � x��0�

�w�s

��w�x

�x�s

��w�y

�y�s

��w�z

�z�s

z � t.x � s cos t,

w � xy � yz � xz

t � 2�s � 1�w��t�w��s


sen

sen

sen

Este teorema puede extenderse a funciones diferenciables definidas implícita-mente de cualquier número de variables.

EJEMPLO 6 Hallar una derivada implícitamente

Hallar dada la ecuación

Solución Se comienza por definir una función

Después, usando el teorema 13.8, se tiene

y

por lo que

NOTA Comparar la solución del ejemplo 6 con la solución del ejemplo 2 en la sección 2.5.

EJEMPLO 7 Hallar derivadas parciales implícitamente

Encontrar y dada la ecuación

Solución Para aplicar el teorema 13.8, sea

Entonces

con lo que

�z�y

� �Fy�x, y, z�Fz �x, y, z� �

2x2y � 3z3x2 � 6z2 � 3y

.

�z�x

� �Fx�x, y, z�Fz�x, y, z� �

2xy2 � 6xz3x2 � 6z2 � 3y

Fz�x, y, z� � 3x2 � 6z2 � 3y

Fy�x, y, z� � �2x2y � 3z

Fx�x, y, z� � 6xz � 2xy2

F�x, y, z� � 3x2z � x2y2 � 2z3 � 3yz � 5.

3x2z � x2y2 � 2z3 � 3yz � 5 � 0.�z��y,�z��x

dydx

� �Fx�x, y�Fy�x, y� �

��2x�3y2 � 2y � 5

�2x

3y2 � 2y � 5.

Fy�x, y� � 3y2 � 2y � 5Fx�x, y� � �2x

F�x, y� � y3 � y2 � 5y � x2 � 4.

F

y3 � y2 � 5y � x2 � 4 � 0.dy�dx,


TEOREMA 13.8 Regla de la cadena: derivación implícita

Si la ecuación define a implícitamente como función diferencia-ble de x, entonces

Si la ecuación define a implícitamente como función diferencia-ble de y entonces

y Fz�x, y, z� � 0.�z�y

� �Fy�x, y, z�Fz�x, y, z�,

�z�x

� �Fx�x, y, z�Fz �x, y, z�

y,xzF�x, y, z� � 0

Fy�x, y� � 0.dydx

� �Fx�x, y�Fy �x, y�,

yF�x, y� � 0

En los ejercicios 1 a 4, hallar dw/dt utilizando la regla de la cade-na apropiada.

1. 2.

3. 4.

En los ejercicios 5 a 10, hallar dw/dt a) utilizando la regla de lacadena apropiada y b) convirtiendo w en función de t antes dederivar.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Movimiento de un proyectil En los ejercicios 11 y 12 se dan lasecuaciones paramétricas de las trayectorias de dos proyectiles.¿A qué velocidad o ritmo cambia la distancia entre los dos obje-tos en el valor de t dado?

11. Primer objeto.

Segundo objeto.

12. Primer objeto.

Segundo objeto.

En los ejercicios 13 y 14, hallar utilizando la regla de lacadena apropiada. Evaluar en el valor de t dado.

13.

14.

En los ejercicios 15 a 18, hallar y utilizando la reglade la cadena apropiada y evaluar cada derivada parcial en losvalores de s y t dados.

Función Punto

15.

16.

17.

18.

En los ejercicios 19 a 22, hallar y a) utilizando laregla de la cadena apropiada y b) convirtiendo w en una funciónde r y θ antes de derivar

19.

20.

21.

22.

En los ejercicios 23 a 26, hallar y utilizando la reglade la cadena apropiada.

23.

24.

25.

26.

En los ejercicios 27 a 30, hallar dy/dx por derivación implícita.

27.

28.

29.

30.

En los ejercicios 31 a 38, hallar las primeras derivadas parcialesde z por derivación implícita.

31. 32.

33. 34.

35. 36.

37. 38.

En los ejercicios 39 a 42, hallar las primeras derivadas parcialesde w por derivación implícita.

39.

40.

41.

42.

Funciones homogéneas En los ejercicios 43 a 46, la función es homogénea de grado si Determinar elgrado de la función homogénea, y mostrar que

43. 44.

45. 46. f �x, y� �x2

�x2 � y2f �x, y� � ex�y

f �x, y� � x3 � 3xy2 � y3f �x, y� �xy

�x2 � y2

xfx�x, y� � yfy�x, y� � nf �x, y�.

f �tx, ty� � tnf �x, y�.nf

w � �x � y � �y � z � 0

cos xy � sin yz � wz � 20

x2 � y2 � z2 � 5yw � 10w2 � 2

xyz � xzw � yzw � w2 � 5

x ln y � y2z � z2 � 8ex z � xy � 0

x � sin�y � z� � 0x2 � 2yz � z2 � 1

z � ex sin�y � z�tan�x � y� � tan�y � z� � 1

xz � yz � xy � 0x2 � y2 � z2 � 25

xx2 � y2 � y2 � 6

ln�x2 � y2 � xy � 4

cos x � tan xy � 5 � 0

x2 � 3xy � y2 � 2x � y � 5 � 0

w � x2 � y2 � z2, x � t sin s, y � t cos s, z � st2w � zex�y, x � s � t, y � s � t, z � st

w � x cos yz, x � s2, y � t2, z � s � 2t

w � xyz, x � s � t, y � s � t, z � st2

�w/�t�w/�s

w �yzx

, x � �2, y � r � �, z � r � �

w � arctan yx, x � r cos �, y � r sin �

w � �25 � 5x2 � 5y2, x � r cos �, y � r sin �

w � x2 � 2xy � y2, x � r � �, y � r � �

�w/��w/�r

x � s � t, y � s � t

s � 0, t ��

2w � sin�2x � 3y�

x � s cos t, y � s sin t

s � 3, t ��

4w � x2 � y2

x � es, y � et

s � 0, t � 1w � y3 � 3x2y

x � s � t, y � s � t

s � 2, t � �1w � x2 � y2

�w/�t�w/�s

w �x2

y, x � t2, y � t � 1, t � 1

w � arctan�2xy�, x � cos t, y � sin t, t � 0

d2w/dt2d2w/dt2

t � 1

x2 � 48�3 t, y2 � 48t � 16t2

x1 � 48�2 t, y1 � 48�2 t � 16t2

t � ��2

x2 � 7 cos t, y2 � 4 sin t

x1 � 10 cos 2t, y1 � 6 sin 2t

w � xyz, x � t2, y � 2t, z � e�t

w � xy � xz � yz, x � t � 1, y � t2 � 1, z � t

w � xy cos z, x � t, y � t2, z � arccos t

w � x2 � y2 � z2, x � et cos t, y � et sin t, z � et

w � cos�x � y�, x � t2, y � 1

w � xy, x � 2 sin t, y � cos t

x � cos t, y � sin tx � et, y � � � t

w � ln yx

w � x sec y

x � cos t, y � etx � et, y � e�t

w � �x2 � y2w � x2 � y2



sen

sen

sen

sen

sen

sen

sen

sen

sen

sen

sen

sen

sen

sen

51. Volumen y área superficial El radio de un cilindro circularrecto se incrementa a razón de 6 pulgadas por minuto, y laaltura decrece a razón de 4 pulgadas por minuto. ¿Cuál es lavelocidad o el ritmo de cambio del volumen y del área superfi-cial cuando el radio es 12 pulgadas y la altura 36 pulgadas?

52. Volumen y área superficial Repetir el ejercicio 51 con uncono circular.

53. Área Sea el ángulo entre los lados iguales de un triánguloisósceles y sea la longitud de estos lados. Si se incrementaa razón de metro por hora y se incrementa a razón de radianes por hora. Hallar la tasa de incremento del área cuando

y

54. Volumen y área superficial Los dos radios del tronco de uncono circular recto se incrementan a razón de 4 centímetros porminuto y la altura se incrementa a razón de 12 centímetros porminuto (ver la figura). Hallar a qué velocidad o ritmo cambianel volumen y el área superficial cuando los radios son 15 y 25centímetros, respectivamente, y la altura es de 10 centímetros.


55. Momento de inercia Un cilindro anular tiene un radio inte-rior de y un radio exterior de (ver la figura). Su momentode inercia es donde es la masa. Los dosradios se incrementan a razón de 2 centímetros por segundo.Hallar la velocidad o ritmo de cambio al que varía I en elinstante en que los radios son 6 y 8 centímetros. (Suponer quela masa es constante.)

56. Ley de los gases ideales Si en la Ley de los gases idealesdonde es una constante, es una masa constante

y y son funciones del tiempo. Hallar la velocidad oel ritmo de cambio de la temperatura con respecto al tiempo.

57. El ángulo máximo Un cuadro de dos pies de altura cuelga enuna pared y su base está a 6 pies del suelo. Un niño cuyos ojosestán a 4 pies del suelo está de pie a una distancia x de la pared(ver la figura).

a) Mostrar que

b) Utilizar derivación implícita para hallar

c) Hallar tal que sea máxima.

58. Demostrar que si ƒ(x, y) es homogénea de grado n, entonces

[Sugerencia: Sea Hallar ydespués hacer ]

59. Mostrar que

para y

60. Demostrar el resultado del ejercicio 59 con

61. Considerar la función en la que yDemostrar:

a)

b)

62. Demostrar el resultado del ejercicio 61b con

63. Ecuaciones de Cauchy-Riemann Dadas las funciones y verificar que las ecuaciones diferenciales Cauchy-Riemann

y

pueden escribirse en forma de coordenadas polares como

y

64. Demostrar el resultado del ejercicio 63 con las funciones

y v � arctan yx.u � ln�x2 � y2

�v�r

� �1r �u��

.�u�r

�1r �v��

�u�y

� ��v�x

�u�x

��v�y

v�x, y�,u�x, y�

w � arctan�y�x�.

��w�x �

2

� ��w�y �

2

� ��w�r �

2

� � 1r2��w

��2

�w�y

��w�r

sin � ��w��

cos �

r

�w�x

��w�r

cos � ��w��

sin �

r

y � r sin �.x � r cos �w � f �x, y�,

sin�y � x�.w � �x � y�

y � v � u.x � u � v,w � f �x, y�,

�w�u

��w�v

� 0

t � 1.g��t�g�t� � f �tx, ty� � tn f �x, y�.

x fx�x, y� � yfy�x, y� � nf �x, y�.

�x

d��dx.

x2 tan � � 2x � 8 tan � � 0.

dT�dt,VpmRpV � mRT,

mI �12m�r 2

1 � r22 �

r2r1

� � ��4.x � 6

��90�12

xx�


Desarrollo de conceptos47. Sea una función donde y son funciones de

una sola variable Dar la regla de la cadena para hallar

48. Sea una función donde y son funciones dedos variables y Dar la regla de la cadena para hallar

y

49. Describir la diferencia entre la forma explícita de una fun-ción de dos variables x y y y la forma implícita. Dar unejemplo de cada una.

50. Si dar la regla para hallar implícita-mente. Si dar la regla para hallar y

implícitamente.�z��y�z��xf �x, y, z� � 0,

dy�dxf �x, y� � 0,

�w��t.�w��st.s

yxw � f �x, y�dw�dt.

t.yxw � f �x, y�

sen

sen

sen

sen

SECCIÓN 13.6 Derivadas direccionales y gradientes 931

Sección 13.6 Derivadas direccionales y gradientes

• Hallar y usar las derivadas direccionales de una función de dos variables.• Hallar el gradiente de una función de dos variables.• Utilizar el gradiente de una función de dos variables en aplicaciones.• Hallar las derivadas direccionales y el gradiente de funciones de tres variables.

Derivada direccional

Suponer que se está en la colina de la figura 13.42 y se quiere determinar la inclinaciónde la colina respecto al eje z. Si la colina está representada por se sabe yacómo determinar la pendiente en dos direcciones diferentes: la pendiente en la direcciónde y está dada por la derivada parcial y la pendiente en la dirección de x estádada por la derivada parcial En esta sección se verá que estas dos derivadas par-ciales pueden usarse para calcular la pendiente en cualquier dirección.

Para determinar la pendiente en un punto de una superficie, se definirá un nuevotipo de derivada llamada derivada direccional. Sea una superficie y

un punto en el dominio de como se muestra en la figura 13.43. La “direc-ción” de la derivada direccional está dada por un vector unitario

donde es el ángulo que forma el vector con el eje x positivo. Para hallar la pendientedeseada, se reduce el problema a dos dimensiones cortando la superficie con un planovertical que pasa por el punto y es paralelo a como se muestra en la figura 13.44.Este plano vertical corta la superficie formando una curva La pendiente de la super-ficie en en la dirección de se define como la pendiente de la curva

en ese punto.De manera informal, se puede expresar la pendiente de la curva C como un límite

análogo a los usados en el cálculo de una variable. El plano vertical utilizado para for-mar C corta el plano xy en una recta L, representada por las ecuaciones paramétricas,

y

de manera que para todo valor de el punto se encuentra en la recta Paracada uno de los puntos y hay un punto correspondiente en la superficie.

Punto sobre .

Punto sobre .

Como la distancia entre P y Q es

se puede escribir la pendiente de secante que pasa por y como

Por último, haciendo que t se aproxime a 0, se llega a la definición siguiente.

f �x, y� � f�x0, y0�t

�f�x0 � t cos �, y0 � t sin �� f�x0, y0�

t.

�x, y, f�x, y��x0, y0, f�x0, y0��

� �t��x � x0�2 � � y � y0�2 � ��t cos ��2 � �t sin ��2

Q�x, y, f �x, y��P�x0, y0, f �x0, y0��

Q,PL.Q�x, y�t,

y � y0 � t sin �

x � x0 � t cos �

Cu�x0, y0, f �x0, y0��

C.u,P

�

u � cos � i � sin � j

f,P�x0, y0�z � f�x, y�

fx�x, y�.fy�x, y�,

z � f �x, y�,

Figura 13.42

Figura 13.43

Figura 13.44

sen

sen

sen

sen

Calcular derivadas direccionales empleando esta definición es lo mismo queencontrar la derivada de una función de una variable empleando el proceso del límite(sección 2.1). Una fórmula “de trabajo” más simple para hallar derivadas direccio-nales emplea las derivadas parciales y

Demostración Dado un punto fijado (x0, y0), sea x � x0 � t cos � y sea y � y0 �t sen �. Ahora, se hace Como ƒ es diferenciable, se puede aplicar laregla de la cadena del teorema 13.7 para obtener

Si entonces y por tanto

De acuerdo con la definición de también es verdad que

Por consiguiente,

Hay una cantidad infinita de derivadas direccionales en un punto dado de unasuperficie, una para cada dirección especificada por u, como se muestra en la figura13.45. Dos de éstas son las derivadas parciales y

1. En la dirección del eje x positivo (o semieje positivo x) (θ � 0): u � cos 0 i � sen 0 j � i

2. En la dirección del eje y positivo (o semi eje positivo y)

Dj f �x, y� � fx�x, y� cos �

2� fy�x, y� sin

�

2� fy�x, y�

�� 2�: u � cos �

2 i � sin

�

2 j � j

Di f�x, y� � fx�x, y� cos 0 � fy�x, y� sin 0 � fx�x, y�

fy.fx

Du f�x0, y0� � fx�x0, y0� cos � � fy�x0, y0� sin �.

� limt→0

f�x0 � t cos �, y0 � t sin �� f �x0, y0�

t.

g��0� � limt→0

g�t� � g�0�

t

g��t�,

g��0� � fx�x0, y0� cos � � fy�x0, y0� sin �.

y � y0,x � x0t � 0,

g��t� � fx�x, y�x��t� � fy�x, y�y��t� � fx�x, y� cos � � fy�x, y� sin �.

g�t� � f�x, y�.

fy.fx


Figura 13.45

Definición de la derivada direccional

Sea una función de dos variables y y sea un vectorunitario. Entonces la derivada direccional de f en la dirección de u, que sedenota es

siempre que este límite exista.

Du f�x, y� � limt→0

f�x � t cos �, y � t sin �� f�x, y�t

Du f,

u � cos � i � sin �jyxf

TEOREMA 13.9 Derivada direccional

Si es una función diferenciable de y entonces la derivada direccional de en la dirección del vector unitario es

Du f�x, y� � fx�x, y� cos � � fy�x, y� sin �.

u � cos � i � sin � jfy,xf

sen

senlím

sen

sen

sen

sen

sen

lím

lím

sen

sen

sen

sen

EJEMPLO 1 Hallar una derivada direccional

Hallar la derivada direccional de

Superficie.

en (1, 2) en la dirección de

Dirección.

Solución Como y son continuas, es diferenciable, y se puede aplicar el teo-rema 13.9.

Evaluando en y se obtiene

Ver figura 13.46.

Se ha especificado la dirección por medio de un vector unitario u. Si la direcciónestá dada por un vector cuya longitud no es 1, se debe normalizar el vector antes deaplicar la fórmula del teorema 13.9.

EJEMPLO 2 Hallar una derivada direccional


Superficie.

en en la dirección de

Dirección.

Solución Como y son continuas, es diferenciable, y se puede aplicar el teo-rema 13.9. Se comienza por calcular un vector unitario en la dirección de v.

Usando este vector unitario, se tiene

Ver figura 13.47. �85

.

� �0��35� � ��2��

45�

Du f�1, �

2� � �2 sin ��35� � �2 cos ��

45�

Du f�x, y� � �2x sin 2y��cos �� 2x2 cos 2y��sin ��

u �v

�v ��

35

i �45

j � cos � i � sin � j

ffyfx

v � 3i � 4j.

�1, ��2�

f�x, y� � x2 sin 2y

�1.866.

� �1 ��32

Du f �1, 2� � ��2��12� � ��1��3

2 �y � 2� � ��3, x � 1,

� ��2x� cos � � ��y2� sin �

Du f �x, y� � fx�x, y� cos � � fy�x, y� sin �

ffyfx

u � �cos �

3�i � �sin �

3�j.

f�x, y� � 4 � x2 �14y2


Figura 13.46

Figura 13.47

NOTA Nótese de la figura 13.46 que laderivada direccional se puede interpretarcomo la pendiente de la superficie en elpunto (1, 2, 2) en la dirección del vectorunitario u.

sen

sen

sen

sen

sen

sen

sen

sen

El gradiente de una función de dos variables

El gradiente de una función de dos variables es una función vectorial de dos varia-bles. Esta función tiene múltiples aplicaciones importantes, algunas de las cuales sedescriben más adelante en esta misma sección.

NOTA El símbolo no tiene ningún valor. Es un operador de la misma manera que esun operador. Cuando opera sobre produce el vector

EJEMPLO 3 Hallar el gradiente de una función

Hallar el gradiente de en el punto (1, 2).

Solución Utilizando

y

se tiene

En el punto (1, 2), el gradiente es

Como el gradiente de f es un vector, se puede expresar la derivada direccional def en la dirección de u como

En otras palabras, la derivada direccional es el producto escalar del gradiente y el vec-tor dirección. Este útil resultado se resume en el teorema siguiente.

Du f�x, y� � fx�x, y�i � fy�x, y�j� � cos � i � sin � j�.

� 6i � 4j.

�f�1, 2� � �21

� 22�i � ln 1 � 2�1��2�� j

�f�x, y� � �yx

� y2�i � �ln x � 2xy�j.

fy�x, y� � ln x � 2xyfx�x, y� �yx

� y2

f�x, y� � y ln x � xy2

�f �x, y�.f �x, y�,�d�dx�


El gradiente de f es un vector en el plano xyFigura 13.48

Definición de gradiente de una función de dos variables

Sea una función de y tal que y existen. Entonces el gra-diente de f, denotado por es el vector

se lee como “delta ”. Otra notación para el gradiente es grad En lafigura 13.48 hay que observar que para cada el gradiente es unvector en el plano (no un vector en el espacio).

�f�x, y��x, y�,f�x, y�.f�f

�f�x, y� � fx�x, y�i � fy�x, y�j.

�f�x, y�,fyfxyxz � f(x, y�

TEOREMA 13.10 Forma alternativa de la derivada direccional

Si es una función diferenciable de y entonces la derivada direccional de en la dirección del vector unitario u es

Du f�x, y� � �f(x, y� � u.

fy,xf

sen

EJEMPLO 4 Hallar una derivada direccional usando


en en la dirección de a

Solución Como las derivadas de f son continuas, f es diferenciable y se puedeaplicar el teorema 13.10. Un vector en la dirección especificada es

y un vector unitario en esta dirección es

Vector unitario en la dirección de .

Como el gradiente en es

Gradiente en .

Por consiguiente, en la derivada direccional es

Derivada direccional en .

Ver figura 13.49.

Aplicaciones del gradiente

Se ha visto ya que hay muchas derivadas direccionales en un punto de una super-ficie. En muchas aplicaciones, se desea saber en qué dirección moverse de manera que

crezca más rápidamente. Esta dirección se llama la dirección de mayor ascen-so, y viene dada por el gradiente, como se establece en el teorema siguiente.f�x, y�

�x, y�

��34, 0� � �

2710

.

� ��92

i � 0j� � �35

i �45

j� Du f ��

34

, 0� � �f ��34

, 0� � u

��34, 0�

��34, 0��f ��

34

, 0� � �92

i � 0j.

��34, 0��f �x, y� � fx�x, y�i � fy�x, y�j � 6xi � 4yj,

PQ\

u �v

�v��

35

i �45

j.

�34

i � j

PQ\

� v � �0 �34�i � �1 � 0�j

Q�0, 1�.P��34, 0��3

4, 0�f�x, y� � 3x2 � 2y2

�f �x, y


Figura 13.49

NOTA La parte 2 del teorema 13.11dice que en el punto crece másrápidamente en dirección del gradiente,�f �x, y�.

f�x, y�,

TEOREMA 13.11 Propiedades del gradiente

Sea diferenciable en el punto

1. Si entonces para todo

2. La dirección de máximo incremento de f está dada por El valor má-ximo de es

3. La dirección de mínimo incremento de f está dada por El valormínimo de es ��f �x, y��.Du f �x, y�

��f �x, y�.��f �x, y��.Du f�x, y�

�f�x, y�.u.Du f �x, y� � 0�f �x, y� � 0,

�x, y�.f

Demostración Si entonces en cualquier dirección (con cualquier u),se tiene

Si entonces sea el ángulo entre y un vector unitario u. Usandoel producto escalar se puede aplicar el teorema 11.5 para concluir que

y se sigue que el valor máximo de se presentará cuando Portanto, y el valor máximo de la derivada direccional se tiene cuando u tiene lamisma dirección que Este valor máximo de es precisamente

De igual forma, el valor mínimo de puede obtenerse haciendo de ma-nera que u apunte en dirección opuesta a como se muestra en la figura 13.50

Para visualizar una de las propiedades del gradiente, imaginar a un esquiador quedesciende por una montaña. Si denota la altitud a la que se encuentra el es-quiador, entonces indica la dirección de acuerdo a la brújula que debetomar el esquiador para seguir el camino de descenso más rápido. (Recuérdese que elgradiente indica una dirección en el plano xy y no apunta hacia arriba ni hacia abajode la ladera de la montaña.)

Otra ilustración del gradiente es la temperatura en cualquier punto de una placa metálica plana. En este caso, da la dirección de máximo aumen-to de temperatura en el punto como se ilustra en el ejemplo siguiente.

EJEMPLO 5 Hallar la dirección de máximo incremento

La temperatura en grados Celsius en la superficie de una placa metálica es

donde x y y se miden en centímetros. ¿En qué dirección a partir de (2, �3) aumentamás rápido la temperatura? ¿Cuál es la tasa o ritmo de crecimiento?

Solución El gradiente es

Se sigue que la dirección de máximo incremento está dada por

como se muestra en la figura 13.51, y la tasa o el ritmo de incremento es

por centímetro. 17.09 per centimeter.

� �292

��T�2, �3�� 256 � 36

�T�2, �3� � �16i � 6j

� �8x i � 2y j.

�T�x, y� � Tx�x, y�i � Ty�x, y�j

T�x, y� � 20 � 4x2 � y2

�x, y�,�T�x, y�

�x, y�T�x, y�

��f�x, y�f�x, y�

�f�x, y�, � �Du f�x, y�

��f�x, y�� cos � ��f�x, y��.

Du f�x, y��f�x, y�. � 0,

cos � 1.Du f�x, y�

� ��f�x, y�� cos

� ��f�x, y�� u� cos

Du f �x, y� � �f�x, y� � u

�f�x, y��f�x, y� � 0,

� 0.

� �0i � 0j� � �cos �i � sin �j�Du f�x, y� � �f�x, y� � u

�f�x, y� � 0,


El gradiente de es un vector en el plano que apunta en dirección del máximo incremen-to sobre la superficie dada por Figura 13.50

z � f �x, y�.

xyf

La dirección del máximo incremento de latemperatura en está dada por

Figura 13.51�16i � 6j.

�2, �3�

sen

La solución del ejemplo 5 puede entenderse erróneamente. Aunque el gradienteapunta en la dirección de máximo incremento de la temperatura, no necesariamenteapunta hacia el punto más caliente de la placa. En otras palabras, el gra-diente pro-porciona una solución local para encontrar un incremento relativo de la temperaturaen el punto Una vez que se abandona esa posición, la dirección de máximoincremento puede cambiar.

EJEMPLO 6 Hallar la trayectoria de un rastreador térmico

Un rastreador térmico se encuentra en el punto sobre una placa metálica cuyatemperatura en es

Hallar la trayectoria del rastreador, si éste se mueve continuamente en dirección demáximo incremento de temperatura.

Solución Represéntese la trayectoria por la función de posición

Un vector tangente en cada punto está dado por

Como el rastreador busca el máximo incremento de temperatura, las direcciones dey son iguales en todo punto de la trayectoria. Así,

y

donde depende de Despejando en cada ecuación e igualando los resultados,se obtiene

La solución de esta ecuación diferencial es Como el rastreador comienza enel punto se puede determinar que Por tanto, la trayectoria del ras-treador del calor es

La trayectoria se muestra en la figura 13.52.

En la figura 13.52, la trayectoria del rastreador (determinada por el gradiente encada punto) parece ser ortogonal a cada una de las curvas de nivel. Esto resulta clarocuando se considera que la temperatura es constante en cada una de las curvasde nivel. Así, en cualquier punto sobre la curva, la velocidad o ritmo de cambiode en dirección de un vector unitario tangente u es 0, y se puede escribir

es un vector unitario tangente.

Puesto que el producto escalar de y es 0, se puede concluir que deben serortogonales. Este resultado se establece en el teorema siguiente.

u�f �x, y�

u�f�x, y� � u � DuT�x, y� � 0.

T�x, y�

T�x, y�

x �281

y4.

C � 2�81.�2, �3�,x � Cy4.

dx�8x

�dy

�2y.

dt�kt.k

�2y � k dydt

�8x � k dxdt

�T�x, y� � �8xi � 2yjr��t�

r��t� �dxdt

i �dydt

j.

�x�t�, y�t��

r�t� � x�t�i � y�t�j.

T�x, y� � 20 � 4x2 � y2.

�x, y��2, �3�

�2, �3�.


Trayectoria seguida por un rastreador térmicoFigura 13.52

EJEMPLO 7 Hallar un vector normal a una curva de nivel

Dibujar la curva de nivel que corresponde a para la función dada por

y hallar un vector normal a varios puntos de la curva.

Solución La curva de nivel para está dada por

como se muestra en la figura 13.53a. Como el vector gradiente de f en es

se puede utilizar el teorema 13.12 para concluir que es normal a la curva denivel en el punto (x, y). Algunos vectores gradiente son

Estos vectores se muestran en la figura 13.53b.

�f��

2, 1� � j.

�f��

3, �32 � � �

12

i � j

�f�0, 0� � �i � j

�f��

3, �

�32 � � �

12

i � j

�f ��

2, �1� � j

�f ��2�

3, �

�32 � �

12

i � j

�f��, 0� � i � j

�f �x, y�

� �cos xi � j

�f�x, y� � fx�x, y�i � fy�x, y�j

�x, y�

y � sin x

0 � y � sin x

c � 0

f�x, y� � y � sin x

c � 0


a) La superficie está dada por f (x, y) � y � sen xFigura 13.53

b) La curva de nivel está dada por f �x, y� � 0.

TEOREMA 13.12 El gradiente es normal a las curvas de nivel

Si es diferenciable en y entonces es normal(ortogonal) a la curva de nivel que pasa por �x0, y0�.

�f�x0, y0��f�x0, y0� � 0,�x0, y0�f

sen

sen

sen

Funciones de tres variables

Las definiciones de derivada direccional y del gradiente se pueden extender de ma-nera natural a funciones de tres o más variables. Como a menudo pasa, algo de lainterpretacion geométrica se pierde al generalizar funciones de dos variables a fun-ciones de tres variables. Por ejemplo, no se puede interpretar la derivada direccionalde una función de tres variables como una pendiente.

Las definiciones y propiedades de la derivada direccional y del gradiente de unafunción de tres variables se dan en el resumen siguiente.

NOTA El teorema 13.12 se puede generalizar a funciones de tres variables. Bajo las hipótesisadecuadas,

es normal a la superficie de nivel a través de

EJEMPLO 8 Hallar el gradiente para una función de tres variables

Hallar de la función dada por

y hallar la dirección de máximo incremento de f en el punto

Solución El vector gradiente está dado por

Por tanto, la dirección de máximo incremento en es

�f�2, �1, 1� � 4 i � 2 j � 4 k.

�2, �1, 1�

� 2x i � 2y j � 4k.

�f�x, y, z� � fx�x, y, z�i � fy�x, y, z�j � fz�x, y, z�k

�2, �1, 1�.

f�x, y, z� � x2 � y2 � 4z

�f�x, y, z�

�x0, y0, z0�.

�f �x0, y0, z0�


Derivada direccional y gradiente para funciones de tres variables

Sea una función de x, y y z, con derivadas parciales de primer orden conti-nuas. La derivada direccional de f en dirección de un vector unitario

está dada por

El gradiente de f se define como

Las propiedades del gradiente son:

1.

2. Si entonces para toda

3. La dirección de máximo incremento de f está dada por El valormáximo de es

Valor máximo de .

4. La dirección de mínimo incremento de f está dada por El valormínimo de es

Valor mínimo de .Du f �x, y, z��f�x, y, z��.

Du f�x, y, z��f�x, y, z�.

Du f �x, y, z��f�x, y, z��.

Du f�x, y, z��f�x, y, z�.

u.Du f�x, y, z� � 0�f�x, y, z� � 0,

Du f�x, y, z� � �f�x, y, z� � u

�f�x, y, z� � fx�x, y, z�i � fy�x, y, z�j � fz�x, y, z�k.

Du f�x, y, z� � afx�x, y, z� � bfy�x, y, z� � cfz�x, y, z�.

u � ai � bj � ck

f

En los ejercicios 1 a 12, hallar la derivada direccional de la fun-ción en en dirección de v.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

En los ejercicios 13 a 16, hallar la derivada direccional de lafunción en dirección de

13.

14.

15.

16.

En los ejercicios 17 a 20, hallar la derivada direccional de lafunción en en dirección de

17.

18.

19.

20.

En los ejercicios 21 a 26, hallar el gradiente de la función en elpunto dado.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

En los ejercicios 27 a 30, utilizar el gradiente para hallar laderivada direccional de la función en en la dirección de

27.

28.

29.

30.

En los ejercicios 31 a 38, hallar el gradiente de la función y elvalor máximo de la derivada direccional en el punto dado.

Función Punto

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

En los ejercicios 39 a 46, utilizar la función

39. Dibujar la gráfica de en el primer octante y marcar el punto(3, 2, 1) sobre la superficie.

40. Hallar donde

a) b)

41. Hallar donde

a) b)

42. Hallar donde

a) b)

43. Hallar donde

a) es el vector que va de a

b) es el vector que va de a

44. Hallar

45. Hallar el valor máximo de la derivada direccional en (3, 2).

46. Hallar un vector unitario de u ortogonal a y calcularAnalizar el significado geométrico del resultado.Du f �3, 2�.

�f �3, 2�

�f �x, y�.�4, 5�.�3, 2�v

��2, 6�.�1, 2�v

u �v

� v �.Du f �3, 2�,

v � �3i � 4jv � i � j

u �v

� v �.Du f �3, 2�,

� � ��

6� �

4�

3

u � cos � i � sin� j.Du f �3, 2�,

� �2�

3� �

�

4

u � cos � i � sin� j.Du f �3, 2�,

f

f �x, y � 3 �x3

�y2

.

�2, 1, 1�w � xy 2z2

�2, 0, �4�f �x, y, z� � xeyz

�0, 0, 0�w �1

�1 � x2 � y 2 � z2

�1, 4, 2�f �x, y, z� � �x2 � y 2 � z2

�0, 5�g�x, y� � ye�x2

�1, 2�g�x, y� � ln 3�x2 � y 2

�0, �

3�h�x, y� � y cos�x � y�

�2, �

4�h�x, y� � x tan y

P�0, 0�, Q��

2, ��f �x, y� � sin 2x cos y,

P�0, 0�, Q�2, 1�f �x, y� � e�x cos y,

P�3, 1�, Q�1, 8�f �x, y� � 3x2 � y2 � 4,

P�1, 2�, Q�3, 6�g�x, y� � x2 � y2 � 1,

Q.P

�4, 3, �1�w � x tan�y � z�,�1, 1, �2�w � 3x2y � 5yz � z2,

�2, 3�z � ln�x2 � y�,�3, �4�z � cos�x2 � y2�,

�2, 0�g�x, y� � 2xey�x,

�2, 1�f �x, y� � 3x � 5y2 � 10,

P�2, 4, 0�, Q�0, 0, 0�g�x, y, z� � xyez,

P�1, 0, 0�, Q�4, 3, 1�h�x, y, z� � ln�x � y � z�,

P�0, ��, Q��

2, 0�f �x, y� � cos�x � y�,

P�3, 1�, Q�1, �1�f �x, y� � x2 � 4y 2,

Q.P

� �2�

3g�x, y� � xey ,

� � ��

3f �x, y� � sin�2x � y�,

� � ��

6f �x, y� �

yx � y

,

� ��

4f �x, y� � x2 � y 2,

u � cos � i � sin � j.

P�2, 1, 1�, v � �2, 1, 2�h(x, y, z� � xyz,

P�4, 1, 1�, v � �1, 2, �1�h�x, y, z� � x arctan yz,

P�1, 2, �1�, v � i � 2j � 3kf �x, y, z�‚ � x2 � y 2 � z2,

P�1, 1, 1�, v � 2i � j � kf �x, y, z� � xy � yz � xz,

P�0, 0�, v � i � jh�x, y� � e��x2�y2�,

P�1, �

2�, v � �ih�x, y� � ex sin y,

P�1, 0�, v � i � 5jg�x, y� � arccos xy,

P�3, 4�, v � 3i � 4jg�x, y� � �x2 � y2,

P�1, 1�, v � �jf �x, y� �xy ,

P�2, 3�, v � i � jf �x, y� � xy,

P�4, 3�, v ��22

�i � j�f �x, y� � x3 � y3,

P�1, 2�, v �12

�i � �3 j�f �x, y� � 3x � 4xy � 5y,

P



sen

sen

sen

sen

sen

sen

En los ejercicios 47 a 50, utilizar la función

47. Dibujar la gráfica de en el primer octante y localizar el punto(1, 2, 4) sobre la superficie.

48. Hallar donde

a) b)

49. Hallar y

50. Hallar un vector unitario u ortogonal a y calcularAnalizar el significado geométrico del resultado.

Investigación En los ejercicios 51 y 52, a) utilizar la gráfica paraestimar las componentes del vector en la dirección de la tasa oritmo máximo de incremento en la función en el punto dado. b)Hallar el gradiente en el punto y compararlo con el estimado delapartado a). c) ¿En qué dirección decrece más rápido la función?Explicar.

51. 52.

53. Investigación Considerar la función

en el punto

a) Utilizar un sistema computarizado para álgebra para represen-tar gráficamente la superficie como pendiente a la función.

b) Determinar la derivada direccional como fun-ción de donde Utilizar un sistemacomputarizado para álgebra para representar gráficamentela función en el intervalo

c) Aproximar los ceros de la función del apartado b) e inter-pretar cada uno en el contexto del problema.

d) Aproximar los números críticos de la función del apartadob) e interpretar cada uno en el contexto del problema.

e) Hallar y explicar su relación con las respuestasdel apartado d).

f ) Utilizar un sistema computarizado para álgebra para repre-sentar gráficamente la curva de nivel de la función en elnivel En esta curva, representar gráficamente el vec-tor en la dirección de y establecer su relacióncon la curva de nivel.

54. Investigación La figura muestra la curva de nivel de la fun-ción

en el nivel

a) Verificar analíticamente que la curva es un círculo.

b) En el punto sobre la curva de nivel, dibujar el vec-tor que apunta en dirección de la mayor tasa o ritmo deincremento de la función.

c) En el punto sobre la curva de nivel, dibujar el vec-tor cuya derivada direccional sea 0.

d) Utilizar un sistema computacional para álgebra para repre-sentar gráficamente la superficie y verificar las respuestas alos apartados a) a c).

En los ejercicios 55 a 58, hallar un vector normal a la curva denivel en

55. 56.

57. 58.

En los ejercicios 59 a 62, utilizar el gradiente para hallar un vec-tor unitario normal a la gráfica de la ecuación en el punto dado.Dibujar los resultados.

59. 60.

61. 62.

63. Distribución de temperatura La temperatura en el punto (x, y)de una placa metálica es

Hallar la dirección de mayor incremento de calor del punto (3, 4).

64. Topografía La superficie de una montaña se modela median-te la ecuación h(x, y) � 5 000 � 0.001x2 � 0.004y2. Un mon-tañista se encuentra en el punto (500, 300, 4 390). ¿En quédirección debe moverse para ascender con la mayor rapidez?

T �x

x2 � y 2.

�5, 0�xey � y � 5,�2, �1�9x2 � 4y 2 � 40,

�1, 1�3x2 � 2y 2 � 1,�2, 10�4x2 � y � 6,

P��1, 3�c � �3,P�1, 1�c �12,

f �x, y� � xyf �x, y� �x

x2 � y 2

P�0, 0�c � 6,P�3, 4�c � 25,

f �x, y� � 6 � 2x � 3yf �x, y� � x2 � y 2

P.f �x, y � c

��3, 2�

��3, 2�

c � 2.

f �x, y� �8y

1 � x2 � y 2

�f �4, �3�,c � 7.

f

��f �4, �3��

0, 2��.

u � cos � i � sin � j.�,Du f �4, �3�

�4, �3, 7�.

f �x, y� � x2 � y 2

�1, 2��1, 2�f �x, y� �

12y�x,f �x, y� �

110�x2 � 3xy � y 2�,

Du f �1, 2�.�f �1, 2�

��f �1, 2��.�f �1, 2�

� ��

3� � �

�

4

u � cos � i � sin � j.Du f �1, 2�,

f

f �x, y� � 9 � x2 � y 2.


sen

sen

71. Topografía La figura muestra un mapa topográfico utilizadopor un grupo de excursionistas. Dibujar las trayectorias dedescenso más rápidas si los excursionistas parten del punto A ysi parten del punto B.

72. Meteorología Los meteorólogos miden la presión atmosféri-ca en milibares. A partir de estas observaciones elaboran mapasclimáticos en los que dibujan las curvas de igual presión atmos-férica (isobaras) (ver la figura). Son curvas de nivel de una fun-ción que dan la presión en cualquier punto. Dibujar losgradientes de las isobaras en los puntos A, B y C. Aunque no seconocen las magnitudes de los gradientes, sus longitudes rela-tivas pueden estimarse. ¿En cuál de los tres puntos es la veloci-dad del viento mayor si la velocidad del viento se incrementaconforme el gradiente de presión aumenta?

Rastreador térmico En los ejercicios 73 y 74, hallar la trayec-toria de un rastreador térmico situado en el punto P de unaplaca metálica con un campo de temperatura T(x, y).

Campo de temperatura Punto

73.

74.

75. Investigación Un equipo de oceanógrafos está elaborando unmapa del fondo del océano para ayudar a recuperar un barcohundido. Utilizando el sonido, desarrollan el modelo

donde D es la profundidad en metros, y x y y son las distanciasen kilómetros.

a) Utilizar un sistema computacional para álgebra para repre-sentar gráficamente la superficie.

b) Como la gráfica del apartado a) da la profundidad, no es unmapa del fondo del océano. ¿Cómo podría modificarse el mode-lo para que se pudiera obtener una gráfica del fondo del océano?

c) ¿Cuál es la profundidad a la que se encuentra el barco si selocaliza en las coordenadas y

d) Determinar la pendiente del fondo del océano en la direc-ción del eje x positivo a partir del punto donde se encuentrael barco.

e) Determinar la pendiente del fondo del océano en la direccióndel eje y positivo en el punto donde se encuentra el barco.

f ) Determinar la dirección de mayor tasa o ritmo de cambio dela profundidad a partir del punto donde se encuentra el barco.

76. Temperatura La temperatura en el punto (x, y) de una placametálica se modela mediante

a) Utilizar un sistema computacional para álgebra para represen-tar gráficamente la función de distribución de temperatura.

b) Hallar las direcciones sobre la placa en el punto (3, 5), en lasque no hay cambio en el calor.

c) Hallar la dirección de mayor incremento de calor en el punto(3, 5).


77. Si entonces para todovector unitario u.

78. Si entonces

79. Si existe, entonces

80. Si para todo vector unitario u, entonces

81. Hallar una función f tal que

�f � e x cos y i � e x sin y j � z k.

c � 0.Du f �x0, y0� � c

Du f �x, y� � �D�u f �x, y�.Du f �x, y��1 ≤ Du f �x, y� ≤ 1.f �x, y� � x � y,

Du f �0, 0� � 0f �x, y� � �1 � x2 � y 2,

x ≥ 0, y ≥ 0.T�x, y� � 400e��x2�y��2,

y � 0.5?x � 1

0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2D � 250 � 30x2 � 50 sin �y2

,

P�4, 3�T�x, y� � 100 � x2 � 2y 2

P�10, 10�T�x, y� � 400 � 2x2 � y 2

P�x, y�


Desarrollo de conceptos65. Definir la derivada de la función en dirección

66. Con sus propias palabras, dar una descripción geométricade la derivada direccional de

67. Redactar un párrafo que describa la derivada direccional dela función f en dirección de cuando a)

y b)

68. Definir el gradiente de una función de dos variables. Dar laspropiedades del gradiente.

69. Dibujar la gráfica de una superficie y elegir un punto P sobrela superficie. Dibujar un vector en el plano xy que indique ladirección de mayor ascenso sobre la superficie en P.

70. Describir la relación del gradiente con las curvas de nivelde una superficie dada por z � f �x, y�.

� � 90.� � 0u � cos �i � sin �j

z � f �x, y�.

u � cos � i � sin �j.z � f �x, y�

sen

sen

sen

sen

SECCIÓN 13.7 Planos tangentes y rectas normales 943

Sección 13.7 Planos tangentes y rectas normales

• Hallar ecuaciones de planos tangentes y rectas normales a superficies.• Hallar el ángulo de inclinación de una recta en el espacio.• Comparar los gradientes y

Plano tangente y recta normal a una superficie

Hasta ahora las superficies en el espacio se han representado principalmente pormedio de ecuaciones de la forma

Ecuación de una superficie .

Sin embargo, en el desarrollo que sigue, es conveniente utilizar la representación másgeneral Una superficie dada por se puede convertir a laforma general definiendo como

Puesto que se puede considerar S como la superficie de nivel de Fdada por

Ecuación alternativa de la superficie .

EJEMPLO 1 Expresar una ecuación de una superficie

Dada la función

describir la superficie de nivel dada por

Solución La superficie de nivel dada por puede expresarse como

la cual es una esfera de radio 2 centrada en el origen.

Se han visto muchos ejemplos acerca de la utilidad de rectas normales en aplica-ciones relacionadas con curvas. Las rectas normales son igualmente importantes alanalizar superficies y sólidos. Por ejemplo, considérese la colisión de dos bolas de billar. Cuando una bola estacionaria es golpeada en un punto de su superficie, semueve a lo largo de la línea de impacto determinada por y por el centro de la bola.El impacto puede ser de dos maneras. Si la bola que golpea se mueve a lo largo de lalínea de impacto, se detiene y transfiere todo su momento a la bola estacionaria, comose muestra en la figura 13.54. Si la bola que golpea no se mueve a lo largo de la líneade impacto, se desvía a un lado o al otro y retiene parte de su momento. La transferen-cia de parte de su momento a la bola estacionaria ocurre a lo largo de la línea deimpacto, sin tener en cuenta la dirección de la bola que golpea, como se muestra en lafigura 13.55. A esta línea de impacto se le llama recta normal a la superficie de la bolaen el punto P.

PP

x2 � y2 � z2 � 4

F�x, y, z� � 0

F�x, y, z� � 0.

F�x, y, z� � x2 � y2 � z2 � 4

SF�x, y, z� � 0.

f �x, y� � z � 0,

F�x, y, z� � f �x, y� � z.

Fz � f �x, y�,SF�x, y, z� � 0.

Sz � f �x, y�.

�F�x, y, z�.�f �x, y�

Figura 13.54 Figura 13.55


Bolas de billar y rectas normalesEn cada una de las tres figuras la bola en movimiento está a punto de golpearuna bola estacionaria en el punto P.Explicar cómo utilizar la recta normala la bola estacionaria en el punto Ppara describir el movimiento resultan-te en cada una de las bolas. Suponien-do que todas las bolas en movimientotengan la misma velocidad, ¿todas lasbolas estacionarias adquirirán mayorvelocidad? ¿Cuál adquirirá menorvelocidad? Explicar el razonamiento.

En el proceso de hallar una recta normal a una superficie, se puede tambiénresolver el problema de encontrar un plano tangente a la superficie. Sea S una super-ficie dada por

y sea un punto en Sea una curva en que pasa por definida por lafunción vectorial

Entonces, para todo

Si F es diferenciable y y ′(t) y existen, se sigue por la regla de la cadena que

En la forma del vectorial equivalente es

Gradiente Vectortangente

Este resultado significa que el gradiente en es ortogonal al vector tangente de todacurva en que pase por Por tanto, todas las rectas tangentes en S se encuentran en unplano que es normal a y contiene a como se muestra en la figura 13.56.

NOTA En el resto de esta sección, se supone ≠ 0 a menos que se establezca locontrario.

Para hallar una ecuación para el plano tangente a S en sea unpunto arbitrario en el plano tangente. Entonces el vector

se encuentra en el plano tangente. Como es normal al plano tangente en debe ser ortogonal a todo vector en el plano tangente, y se tiene

lo que demuestra el resultado enunciado en el teorema siguiente.�F�x0, y0, z0� � v � 0,�x0, y0, z0�,

�F�x0, y0, z0�

v � �x � x0�i � �y � y0�j � �z � z0�k

�x, y, z��x0, y0, z0�,

�F�x0, y0, z0�

P,�F�x0, y0, z0�P.S

P

0 � �F�x0, y0, z0� � r� �t0�.

�x0, y0, z0�,

� Fx�x, y, z�x��t� � Fy�x, y, z�y��t� � Fz�x, y, z�z��t�.0 � F��t�

z��t�x��t�,

F�x�t�, y�t�, z�t�� 0.

t,

r�t� � x�t�i � y �t�j � z�t�k.

PSCS.P�x0, y0, z0�

F�x, y, z� � 0


Plano tangente a la superficie en Figura 13.56

PS

Definición de plano tangente y recta normal

Sea diferenciable en un punto de la superficie dada portal que

1. Al plano que pasa por P y es normal a se le llama plano tan-gente a S en P.

2. A la recta que pasa por P y tiene la dirección de se le llama rectanormal a S en P.

�F�x0, y0, z0�

�F�x0, y0, z0�

�F�x0, y0, z0� � 0.F�x, y, z� � 0SP�x0, y0, z0�F

TEOREMA 13.13 Ecuación del plano tangente

Si es diferenciable en entonces una ecuación del plano tangente ala superficie dada por en es

Fx�x0, y0, z0��x � x0� � Fy�x0, y0, z0��y � y0� � Fz�x0, y0, z0��z � z0) � 0.

�x0, y0, z0�F�x, y, z� � 0�x0, y0, z0�,F

EJEMPLO 2 Hallar una ecuación de un plano tangente

Hallar una ecuación del plano tangente al hiperboloide dado por

en el punto

Solución Se comienza por expresar la ecuación de la superficie como

Después, considerando

se tiene

En el punto las derivadas parciales son

Por tanto, una ecuación del plano tangente en es

La figura 13.57 muestra una parte del hiperboloide y el plano tangente.

Para hallar la ecuación del plano tangente en un punto a una superficie dada porse define la función F mediante

Después se da S por medio de la superficie de nivel y por el teorema13.13 una ecuación del plano tangente a S en el punto es�x0, y0, z0�

F�x, y, z� � 0,

F�x, y, z� � f �x, y� � z.

z � f �x, y�,

x � y � 2z � 6 � 0.

�4x � 4y � 8z � 24 � 0

�4x � 4 � 4y � 4 � 8z � 32 � 0

�4�x � 1� � 4�y � 1� � 8�z � 4� � 0

�1, �1, 4�

Fx�1, �1, 4� � �4, Fy�1, �1, 4� � 4, and Fz�1, �1, 4� � 8.

�1, �1, 4�

Fx�x, y, z� � �4x, Fy�x, y, z� � �4y, and Fz�x, y, z� � 2z.

F�x, y, z� � z2 � 2x2 � 2y2 � 12

z2 � 2x2 � 2y2 � 12 � 0.

�1, �1, 4�.

z2 � 2x2 � 2y2 � 12


Esfera: x2 � y 2 � z2 � 1 Paraboloide: z � 2 � x2 � y 2

fx�x0, y0��x � x0� � fy�x0, y0��y � y0� � �z � z0� � 0.

Plano tangente a la superficieFigura 13.57

TECNOLOGÍA Algunas graficadoras tridimensionales pueden representar pla-nos tangentes a superficies. Más adelante se muestran dos ejemplos.

y

y

EJEMPLO 3 Hallar una ecuación del plano tangente

Hallar la ecuación del plano tangente al paraboloide

en el punto

Solución De se obtiene

y

Así, una ecuación del plano tangente en es

Este plano tangente se muestra en la figura 13.58.

El gradiente proporciona una manera adecuada de obtener ecuacionesde rectas normales, como se muestra en el ejemplo 4.

EJEMPLO 4 Hallar una ecuación de una recta normala una superficie

Hallar un conjunto de ecuaciones simétricas para la recta normal a la superficie dadapor en el punto

Solución Se comienza por hacer

Entonces, el gradiente está dado por

y en el punto se tiene

La recta normal en tiene números de dirección o directores 6, �6 y y el conjunto correspondiente de ecuaciones simétricas es

Ver figura 13.59.

x � 26

�y � 2�6

�z � 3�4

.

�4,�2, �2, �3�

� 6i � 6j � 4k.

�F�2, �2, �3� � ��2��3�i � �2�(�3�j � �2��2�k

�2, �2, �3�

� yz i � xzj � xyk

�F�x, y, z� � Fx�x, y, z�i � Fy�x, y, z�j � Fz�x, y, z�k

F�x, y, z� � xyz � 12.

�2, �2, �3�.xyz � 12

�F�x, y, z�

�15

x �45

y � z �32

� 0.

�15

�x � 1� �45

�y � 1� � �z �12� � 0

fx �1, 1��x � 1� � fy �1, 1��y � 1� � �z �12� � 0

�1, 1, 12�

fy�1, 1� � �45

.fy�x, y� � �4y5

fx �1, 1� � �15

fx�x, y� � �x5

z � f �x, y� � 1 �110�x2 � 4y2�,

�1, 1, 12�.

z � 1 �1

10 �x2 � 4y2�


Figura 13.58

Figura 13.59

Saber que el gradiente es normal a la superficie dada por F(x, y, z) � 0 permiten resolver diversos problemas relacionados con superficies y curvas en elespacio.

EJEMPLO 5 Hallar la ecuación de una recta tangente a una curva

Describir la recta tangente a la curva de intersección de las superficies

Elipsoide.

Paraboloide.

en el punto (0, 1, 3), como se muestra en la figura 13.60.

Solución Para comenzar se calculan los gradientes de ambas superficies en el punto (0, 1, 3).

Elipsoide Paraboloide

El producto vectorial de estos dos gradientes es un vector que es tangente a ambassuperficies en el punto (0, 1, 3).

Por tanto, la recta tangente a la curva de intersección de las dos superficies en el pun-to (0, 1, 3) es una recta paralela al eje x y que pasa por el punto (0, 1, 3).

El ángulo de inclinación de un plano

Otro uso del gradiente es determinar el ángulo de inclinación del plano tan-gente a una superficie. El ángulo de inclinación de un plano se define como el ángu-lo entre el plano dado y el plano xy, como se muestra en la figura13.61. (El ángulo de inclinación de un plano horizontal es por definición cero.) Comoel vector k es normal al plano xy, se puede utilizar la fórmula del coseno del ánguloentre dos planos (dado en la sección 11.5) para concluir que el ángulo de inclinaciónde un plano con vector normal n está dado por

� �0 ≤ � ≤ �2�

�F�x, y, z�

�F�0, 1, 3� �G�0, 1, 3� � � i00

j42

k121� � �20i.

�G�0, 1, 3� � 2j � k �F�0, 1, 3� � 4j � 12k

�G�x, y, z� � 2xi � 2yj � k �F�x, y, z� � 2xi � 4yj � 4zk

G�x, y, z� � x2 � y2 � z � 4 F�x, y, z� � x2 � 2y2 � 2z2 � 20

x2 � y2 � z � 4

x2 � 2y2 � 2z2 � 20

�F�x, y, z�


Ángulo de inclinaciónFigura 13.61

Ángulo de inclinación de un plano.cos � ��n � k�n k

��n � k�

n.

Figura 13.60

EJEMPLO 6 Hallar el ángulo de inclinación de un plano tangente

Hallar el ángulo de inclinación del plano tangente al elipsoide dado por

en el punto

Solución Si se hace

el gradiente de F en el punto (2, 2, 1) está dado por

Como es normal al plano tangente y k es normal al plano xy, se sigue queel ángulo de inclinación del plano tangente está dado por

lo cual implica que


NOTA Un caso especial del procedimiento mostrado en el ejemplo 6 merece mención espe-cial. El ángulo de inclinación θ del plano tangente a la superficie en estádado por

Comparación de los gradientes y ∇F(x, y, z)

Esta sección concluye con una comparación de los gradientes y En la sección anterior se vio que el gradiente de una función f de dos variables es nor-mal a las curvas de nivel de f. Específicamente, el teorema 13.12 establece que si f esdiferenciable en y entonces es normal a la curva denivel que pasa por Habiendo desarrollado rectas normales a superficies, ahorase puede extender este resultado a una función de tres variables. La demostración delteorema 13.14 se deja como un ejercicio (ver ejercicio 63).

Al trabajar con los gradientes y hay que recordar quees un vector en el plano xy y es un vector en el espacio.�F�x, y, z��f �x, y�

�F�x, y, z�,�f �x, y�

�x0, y0�.�f �x0, y0��f �x0, y0� � 0,�x0, y0�

�F�x, y, z�.�f �x, y�

�f �x, y�

Fórmula alternativa para el ángulo de inclinación (ver ejercicio 64).

cos � �1

� fx�x0, y0��2 � � fy�x0, y0��2 � 1.

�x0, y0, z0�z � f �x, y�

� � arccos23

35.3�,

cos � ��F�2, 2, 1� � k�

�F�2, 2, 1� �2�3

�1�3�2 � �1�3�2 � �2�3�2�2

3

�F�2, 2, 1�

�F�2, 2, 1� �13

i �13

j �23

k.

�F�x, y, z� �x6

i �y6

j �2z3

k

F�x, y, z� �x2

12�

y2

12�

z2

3� 1

�2, 2, 1�.

x2

12�

y2

12�

z2

3� 1


Figura 13.62

TEOREMA 13.14 El gradiente es normal a las superficies de nivel

Si es diferenciable en y entonces es normal a la superficie de nivel que pasa por �x0, y0, z0�.

�F�x0, y0, z0��F�x0, y0, z0� � 0,�x0, y0, z0�F

En los ejercicios 1 a 4, describir la superficie de nivel

1.

2.

3.

4.

En los ejercicios 5 a 14, hallar un vector unitario normal a lasuperficie en el punto dado. [Sugerencia: Normalizar el vectorgradiente

Superficie Punto

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

En los ejercicios 15 a 18, hallar una ecuación del plano tangentea la superficie en el punto dado.

15. 16.

17.

18.

En los ejercicios 19 a 28, hallar una ecuación del plano tangentea la superficie en el punto dado.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

En los ejercicios 29 a 34, hallar una ecuación del plano tangentey hallar ecuaciones simétricas para la recta normal a la super-ficie en el punto dado.

29.

30.

31.

32.

33.

34. �1, 2, 5�xyz � 10,

�1, 1,

4�z � arctan yx,

�5, 13, �12�x2 � y2 � z2 � 0,

��2, �3, 6�xy � z � 0,

�1, 2, 2�x2 � y2 � z2 � 9,

�1, 2, 4�x2 � y2 � z � 9,

�4, 4, 2�x � y�2z � 3�,�2, 1, �2�xy2 � 3x � z2 � 4,

�1, 3, �2�x2 � 2z2 � y2,

�2, �2, 4�x2 � 4y2 � z2 � 36,

�5,

4, 22 �h�x, y� � cos y,

�3, 4, ln 5�h�x, y� � ln x2 � y2,

�1, 2, 1�z � x2 � 2xy � y2,

�0,

2, 2�z � ex�sin y � 1�,

�3, �1, 1�f �x, y� � 2 �23x � y,

�5, 4, 9�g�x, y� � x2 � y2,

�1, 0, 0�

g�x, y� � arctan yx

�3, 4, 5�z � x2 � y2

�1, 2, 2��3, 1, 15�

f �x, y� �yx

z � 25 � x2 � y2

�

3,

6, �

32�sin�x � y� � z � 2

�6,

6, 7�z � x sin y � 4

�2, 2, 3�zex 2�y 2� 3 � 0

�1, 4, 3�ln� xy � z� � 0

�2, �1, 2�x2 � 3y � z3 � 9

�1, 2, 16�x2y4 � z � 0

�2, 1, 8�z � x3

�3, 4, 5�z � x2 � y2

�3, 1, 1�x2 � y2 � z2 � 11

�2, 0, 2�x � y � z � 4

�F�x, y, z�.]

F�x, y, z� � 16x2 � 9y2 � 144z

F�x, y, z� � 4x2 � 9y2 � 4z2

F�x, y, z� � x2 � y2 � z2 � 25

F�x, y, z� � 3x � 5y � 3z � 15

F�x, y, z� � 0.



sen

sen

sen


en los intervalos y

a) Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas de la rectanormal y una ecuación del plano tangente a la superficie enel punto (1, 1, 1).

b) Repetir el apartado a) con el punto

c) Utilizar un sistema computacional para álgebra para repre-sentar gráficamente la superficie, las rectas normales y losplanos tangentes encontrados en los apartados a) y b).

d) Utilizar información analítica y gráfica para redactar una des-cripción breve de la superficie en los dos puntos indicados.


en los intervalos y

a) Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas de la rectanormal y una ecuación del plano tangente a la superficie enel punto

b) Repetir el apartado a) con el punto

c) Utilizar un sistema computacional para álgebra y representargráficamente la superficie, las rectas normales y los planostangentes calculados en los apartados a) y b).

d) Utilizar información analítica y gráfica para redactar una des-cripción breve de la superficie en los dos puntos indicados.

En los ejercicios 41 a 46, a) hallar las ecuaciones simétricas dela recta tangente a la curva de intersección de las superficies enel punto dado, y b) hallar el coseno del ángulo entre los vectoresgradientes en este punto. Establecer si las superficies son o noortogonales en el punto de intersección.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47. Considerar las funciones

y

a) Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas de la recta tan-gente a la curva de intersección de las superficies en el punto(1, 2, 4), y hallar el ángulo entre los vectores gradientes.

b) Utilizar un sistema computacional para álgebra y representargráficamente las superficies. Representar gráficamente larecta tangente obtenida en el apartado a).

48. Considerar las funciones

y

a) Utilizar un sistema computacional para álgebra y representargráficamente la porción del primer octante de las superficiesrepresentadas por f y g.

b) Hallar un punto en el primer octante sobre la curva intersec-ción y mostrar que las superficies son ortogonales en estepunto.

c) Estas superficies son ortogonales a lo largo de la curva inter-sección. ¿Demuestra este hecho el apartado b)? Explicar.

En los ejercicios 49 a 52, hallar el ángulo de inclinación delplano tangente a la superficie en el punto dado.

49.

50.

51.

52.

En los ejercicios 53 y 54, hallar el punto de la superficie en elque el plano tangente es horizontal. Utilizar un sistema compu-tacional para álgebra y representar gráficamente la superficie yel plano tangente horizontal. Describir la superficie donde elplano tangente es horizontal.

53.

54.

Rastreador térmico En los ejercicios 55 y 56, hallar la trayec-toria de un rastreador térmico colocado en el punto dado en elespacio con un campo de temperatura T

55.

56.

En los ejercicios 57 y 58, probar que el plano tangente a lasuperficie cuádrica en el punto puede expresarse en laforma dada.

57. Elipsoide:

Plano:x0xa2 �

y0yb2 �

z0zc2 � 1

x2

a2 �y2

b2 �z2

c2 � 1

�x0, y0, z0�

T �x, y, z� � 100 � 3x � y � z2, �2, 2, 5�T �x, y, z� � 400 � 2x2 � y2 � 4z2, �4, 3, 10�

�x, y, z�.

z � 3x2 � 2y2 � 3x � 4y � 5

z � 3 � x2 � y2 � 6y

�2, 1, 3�x2 � y2 � 5,

�1, 2, 3�x2 � y2 � z � 0,

�2, 2, 2�2xy � z3 � 0,

�2, 2, 5�3x2 � 2y2 � z � 15,

�

g�x, y� �221 � 3x2 � y2 � 6x � 4y.

f �x, y� � 16 � x2 � y2 � 2x � 4y

g�x, y� � 2x � y.f �x, y� � 6 � x2 � y2�4

�1, 2, 5�z � x2 � y2, x � y � 6z � 33,

�2, 1, 1�x2 � y2 � z2 � 6, x � y � z � 0,

�3, 4, 5�z � x2 � y2, 5x � 2y � 3z � 22,

�3, 3, 4�x2 � z2 � 25, y2 � z2 � 25,

�2, �1, 5�z � x2 � y2, z � 4 � y,

�2, 1, 2�x2 � y2 � 5, z � x,

��23

, 3

2,

32�.

�2,

2,

12�.

0 ≤ y ≤ 2.�3 ≤ x ≤ 3

f �x, y� �sin y

x

��1, 2, �45�.

0 ≤ y ≤ 3.�2 ≤ x ≤ 2

f �x, y� �4xy

�x2 � 1��y2 � 1�


Desarrollo de conceptos37. Considerar la función la cual es diferencia-

ble en Dar la definición del plano tangente enP y de recta normal en P.

38. Dar la forma estándar de la ecuación del plano tangente auna superficie dada por en

39. En algunas superficies, las rectas normales en cualquierpunto pasan por el mismo objeto geométrico. ¿Cuál es el ob-jeto geométrico común en una esfera? ¿Cuál es el objetogeométrico común en un cilindro circular recto? Explicar.

40. Analizar la relación entre el plano tangente a una superficiey la aproximación por diferenciales.

�x0, y0, z0�.F�x, y, z� � 0

P�x0, y0, z0�.F�x, y, z� � 0,

sen

58. Hiperboloide:

Plano:

59. Demostrar que todo plano tangente al cono

pasa por el origen.

60. Sea una función diferenciable y considérese la superficieMostrar que el plano tangente a cualquier punto

de la superficie pasa por el origen.

61. Aproximación Considerar las aproximaciones siguientes pa-ra una función centrada en

Aproximación lineal:

Aproximación cuadrática:

[Observar que la aproximación lineal es el plano tangente a lasuperficie en (0, 0, f (0, 0)).]

a) Hallar la aproximación lineal a centrada en(0, 0).

b) Hallar la aproximación cuadrática a centra-da en (0, 0).

c) Si en la aproximación cuadrática, ¿para qué funciónse obtiene el polinomio de Taylor de segundo orden?Responder la misma pregunta para

d) Completar la tabla.

e) Utilizar un sistema computacional para álgebra representargráficamente las superficies z � ƒ(x, y), z � P1(x, y) y z �P(x, y).

62. Aproximación Repetir el ejercicio 61 con la función

63. Demostrar el teorema 13.14.

64. Demostrar que el ángulo de inclinación del plano tangente ala superficie en el punto está dado por

cos � �1

[ fx�x0, y0�]2 � [ fy�x0, y0�]2 � 1.

�x0, y0, z0�z � f �x, y��

f �x, y� � cos�x � y�.

y � 0.

x � 0

f �x, y� � e�x�y�

f �x, y� � e�x�y�

12 fxx�0, 0�x2 � fxy�0, 0�xy �

12 fyy�0, 0�y2

P2�x, y� � f �0, 0� � fx�0, 0�x � fy�0, 0�y �

P1�x, y� � f �0, 0� � fx�0, 0�x � fy�0, 0�y

�0, 0�.f �x, y�

P�x0, y0, z0�z � xf �y�x�.

f

z2 � a2x2 � b2y2

x0xa2 �

y0yb2 �

z0zc2 � 1

x2

a2 �y2

b2 �z2

c2 � 1


Proyecto de trabajo: Flora silvestre

La diversidad de la flora silvestre en una pradera se puede medircontando el número de margaritas, lirios, amapolas, etc. Si existenn tipos de flores silvestres, cada una en una proporción pi respectoa la población total, se sigue que Lamedida de diversidad de la población se define como

En esta definición, se entiende que cuando Las tablas muestran las proporciones de flores silvestres en unapradera en mayo, junio, agosto y septiembre.

Mayo

Junio

Agosto

Septiembre

a) Determinar la diversidad de flores silvestres durante cada mes.¿Cómo se interpretaría la diversidad en septiembre? ¿Qué mestiene mayor diversidad?

b) Si la pradera contiene 10 tipos de flores silvestres en propor-ciones aproximadamente iguales, la diversidad de la población¿es mayor o menor que la diversidad de una distribución similarcon 4 tipos de flores? ¿Qué tipo de distribución (de 10 tipos deflores silvestres) produciría la diversidad máxima?

c) Sea la diversidad máxima de n tipos de flores silvestres.¿Tiende a algún límite cuando

PARA MAYOR INFORMACIÓN Los biólogos utilizan el concep-to de diversidad para medir las proporciones de diferentes tipos deorganismos dentro de un medio ambiente. Para más informaciónsobre esta técnica, ver el artículo “Information Theory andBiological Diversity” de Steven Kolmes y Kevin Mitchell en laUMAP Modules.

n → �?Hn

Hn

pi � 0.pi log2 pi � 0

H � � �n

i�1pi log2 pi.

p1 � p2 � . . . � pn � 1.

0 0

0 0.1

0.2 0.1

0.2 0.5

1 0.5

P2�x, y�P1�x, y�f �x, y�yx

Tipo de flor 1 2 3 4

Proporción 116

516

516

516


Proporción 14

14

14

14


Proporción 0 12

14

14


Proporción 0 0 0 1


Sección 13.8 Extremos de funciones de dos variables

• Hallar extremos absolutos y relativos de una función de dos variables.• Utilizar el criterio de las segundas derivadas parciales para hallar un extremo rela-

tivo de una función de dos variables.

Extremos absolutos y extremos relativos

En el capítulo 3 se estudiaron las técnicas para hallar valores extremos de una funciónde una (sola) variable. En esta sección, se extienden estas técnicas a funciones de dosvariables. Por ejemplo, en el teorema 13.15 se extiende el teorema del valor extremopara una función de una sola variable a una función de dos variables.

Considérese la función continua de dos variables, definida en una región aco-tada cerrada Los valores y tales que

y están en

para todo en se conocen como el mínimo y máximo de en la región comose muestra en la figura 13.63. Recuérdese de la sección 13.2 que una región en elplano es cerrada si contiene todos sus puntos frontera. El teorema del valor extremose refiere a una región en el plano que es cerrada y acotada. A una región en el planose le llama acotada si es una subregión de un disco cerrado en el plano.

A un mínimo también se le llama un mínimo absoluto y a un máximo tambiénse le llama un máximo absoluto. Como en el cálculo de una variable, se hace una dis-tinción entre extremos absolutos y extremos relativos.

Decir que tiene un máximo relativo en significa que el punto es por lo menos tan alto como todos los puntos cercanos en la gráfica de De manera similar, tiene un mínimo relativo en si es por lo menostan bajo como todos los puntos cercanos en la gráfica. (Ver figura 13.64.)

�x0, y0, z0��x0, y0�fz � f �x, y�.

�x0, y0, z0��x0, y0�f

R,fR�x, y�

R.�c, d ��a, b�f �a, b� ≤ f �x, y) ≤ f �c, d�

f �c, d�f (a, b�R.f

R contiene algún punto(s) donde f (x, y) es un mínimo y punto(s) donde f (x, y) es unmáximoFigura 13.63

Extremos relativosFigura 13.64

TEOREMA 13.15 Teorema del valor extremo

Sea una función continua de dos variables x y y definida en una región acota-da cerrada R en el plano xy.

1. Existe por lo menos un punto en , en el que toma un valor mínimo.

2. Existe por lo menos un punto en , en el que toma un valor máximo.fR

fR

f

Definición de extremos relativos

Sea una función definida en una región R que contiene

1. La tiene un mínimo relativo en si

para todo en un disco abierto que contiene

2. La función tiene un máximo relativo en si

para todo en un disco abierto que contiene �x0, y0�.�x, y�

f �x, y� ≤ f �x0, y0�

�x0, y0�f

�x0, y0�.�x, y�

f �x, y� ≥ f �x0, y0�

�x0, y0�f

�x0, y0�.f

Para localizar los extremos relativos de f, se pueden investigar los puntos en losque el gradiente de f es 0 o los puntos en los cuales una de las derivadas parciales noexista. Tales puntos se llaman puntos críticos de f.

Recuérdese del teorema 13.11 que si f es diferenciable y

entonces toda derivada direccional en debe ser 0. Esto implica que la funcióntiene un plano tangente horizontal al punto como se muestra en la figura13.65. Al parecer tal punto es una localización probable para un extremo relativo. Estoes ratificado por el teorema 13.16.

�x0, y0�,�x0, y0�

� 0i � 0j

�f �x0, y0� � fx(x0, y0�i � fy�x0, y0�j

SECCIÓN 13.8 Extremos de funciones de dos variables 953

Máximo relativoFigura 13.65

Mínimo relativo

Definición de los puntos críticos

Sea f definida en una región abierta R que contiene El punto esun punto crítico de f si se satisface uno de los siguientes puntos:

1. y

2. o no existe.fy�x0, y0�fx�x0, y0�fy�x0, y0� � 0fx�x0, y0� � 0

�x0, y0��x0, y0�.

TEOREMA 13.16 Los extremos relativos se presentan sólo en puntos críticos

Si f tiene un extremo relativo en en una región abierta R, entonceses un punto crítico de f.�x0, y0�

�x0, y0�


Utilizar una graficadora para representar

usando los límites yEsta vista parece sugerir que la

superficie tuviera un mínimo absoluto. ¿Pero lotiene?

�3 ≤ z ≤ 3.0 ≤ y ≤ 3,0 ≤ x ≤ 3,

z � x3 � 3xy � y3

KARL WEIERSTRASS (1815-1897)

Aunque el teorema del valor extremo habíasido ya utilizado antes por los matemáticos, elprimero en proporcionar una demostraciónrigurosa fue el matemático alemán KarlWeierstrass. Weierstrass también proporcionójustificaciones rigurosas para muchos otrosresultados matemáticos ya de uso común. A élse deben muchos de los fundamentos lógicossobre los cuales se fundamenta el cálculo mo-derno.

The

Gra

nger

Col

lect

ion

EJEMPLO 1 Hallar un extremo relativo

Hallar los extremos relativos de

Solución Para comenzar, encontrar los puntos críticos de Como


y


están definidas para todo y los únicos puntos críticos son aquellos en los cualeslas derivadas parciales de primer orden son 0. Para localizar estos puntos, se hacen

y igual a 0, y se resuelven las ecuaciones

y

para obtener el punto crítico Completando cuadrados, se concluye que paratodo

Por tanto, un mínimo relativo de f se encuentra en El valor del mínimo rela-tivo es como se muestra en la figura 13.66.

El ejemplo 1 muestra un mínimo relativo que se presenta en un tipo de puntocrítico; el tipo en el cual ambos y son 0. En el siguiente ejemplo se pre-senta un máximo relativo al otro tipo de punto crítico; el tipo en el cual o

no existe.

EJEMPLO 2 Hallar un extremo relativo

Determinar los extremos relativos de

Solución Como


y


se sigue que ambas derivadas parciales existen para todo punto en el plano xy salvopara (0, 0). Como las derivadas parciales no pueden ser ambas 0 a menos que x y ysean 0, se concluye que (0, 0) es el único punto crítico. En la figura 13.67 se observaque f (0, 0) es 1. Para cualquier otro (x, y) es claro que

Por tanto, f tiene un máximo relativo en

NOTA En el ejemplo 2, para todo punto distinto de (0, 0) en el eje y. Sin embar-go, como no es cero, éstos no son puntos críticos. Recuérdese que una de las derivadasparciales debe no existir o las dos deben ser 0 para tener un punto crítico.

fy�x, y�fx�x, y� � 0

�0, 0�.

f �x, y� � 1 � �x2 � y2�1�3 < 1.

yfy�x, y� � �2y

3�x2 � y2�2�3

xfx�x, y� � �2x

3�x2 � y2�2�3

f �x, y� � 1 � �x2 � y2�1�3.

fy�x, y�fx�x, y�


f ��2, 3� � 3,��2, 3�.

f �x, y� � 2�x � 2�2 � � y � 3�2 � 3 > 3.

�x, y� � ��2, 3��2, 3�.

2y � 6 � 04x � 8 � 0


y,x

yfy�x, y� � 2y � 6

xfx�x, y� � 4x � 8

f.

f �x, y� � 2x2 � y2 � 8x � 6y � 20.


La función tiene un mínimo relativo en Figura 13.66

��2, 3�.z � f�x, y�

y están indefinidas en Figura 13.67

�0, 0�.fy�x, y�fx�x, y�

El criterio de las segundas derivadas parciales

El teorema 13.16 afirma que para encontrar extremos relativos sólo se necesita exa-minar los valores de en los puntos críticos. Sin embargo, como sucede con unafunción de una variable, los puntos críticos de una función de dos variables no siem-pre son máximos o mínimos relativos. Algunos puntos críticos dan puntos silla queno son ni máximos relativos ni mínimos relativos.

Como ejemplo de un punto crítico que no es un extremo relativo, considérese lasuperficie dada por

Paraboloide hiperbólico.

que se muestra en la figura 13.68. En el punto (0, 0), ambas derivadas parciales son 0.Sin embargo, la función f no tiene un extremo relativo en este punto ya que en tododisco abierto centrado en (0, 0) la función asume valores negativos (a lo largo del ejex) y valores positivos (a lo largo del eje y). Por tanto, el punto (0, 0, 0) es un puntosilla de la superficie. (El término “punto silla” viene del hecho que la superficiemostrada en la figura 13.68 se parece a una silla de montar.)

En las funciones de los ejemplos 1 y 2, fue relativamente fácil determinar losextremos relativos, porque cada una de las funciones estaba dada, o se podía expresar,en forma de cuadrado perfecto. Con funciones más complicadas, los argumentos alge-braicos son menos adecuadas y es mejor emplear los medios analíticos presentados enel siguiente criterio de las segundas derivadas parciales. Éste es la contraparte parafunciones de dos variables del criterio de las segundas derivadas para las funciones deuna variable. La demostración de este teorema se deja para un curso de cálculo avan-zado.

NOTA Si entonces y deben tener el mismo signo. Esto significa que

puede sustituirse por en las dos primeras partes del criterio.

Un recurso conveniente para recordar la fórmula de d en el criterio de las segundasderivadas parciales lo da el determinante

donde de acuerdo al teorema 13.3.fxy�a, b� � fyx �a, b�

d � � fxx�a, b�fyx�a, b�

fxy�a, b�fyy�a, b��

2 � 2

fyy�a, b�fxx�a, b�

fyy �a, b�fxx�a, b�d > 0,

f �x, y� � y2 � x2

f �x, y�


Punto silla en

Figura 13.68

fx�0, 0� � fy�0, 0� � 0�0, 0, 0�:

TEOREMA 13.17 Criterio de las segundas derivadas parciales

Sea f una función con segundas derivadas parciales continuas en una regiónabierta que contiene un punto (a, b) para el cual

y

Para buscar los extremos relativos de f, considérese la cantidad

1. Si y entonces tiene un mínimo relativo en

2. Si y entonces tiene un máximo relativo en

3. Si entonces es un punto silla.

4. Si d � 0 el criterio no lleva a ninguna conclusión.

�a, b, f �a, b��d < 0,

�a, b�.ffxx�a, b� < 0,d > 0

�a, b�.ffxx�a, b� > 0,d > 0

d � fxx�a, b� fyy�a, b� � � fxy�a, b��2.

fy�a, b� � 0.fx�a, b� � 0

EJEMPLO 3 Aplicación del criterio de las segundas derivadas parciales

Identificar los extremos relativos de

Solución Para comenzar se identifican los puntos críticos de f. Como

y

existen para todo x y y, los únicos puntos críticos son aquellos en los que ambasderivadas parciales de primer orden son 0. Para localizar estos puntos, se igualan a 0

y y se obtiene y De la segunda ecuaciónse sabe que y por sustitución en la primera ecuación, se obtienen dos solu-ciones: y Como

y

sigue que, para el punto crítico (0, 0),

y, por el criterio de las segundas derivadas parciales, se puede concluir que (0, 0, 1) esun punto silla. Para el punto crítico

y como se concluye que f tiene un máximo relativo en


Con el criterio de las segundas derivadas parciales pueden no hallarse losextremos relativos por dos razones. Si alguna de las primeras derivadas parciales noexiste, no se puede aplicar el criterio. Si

el criterio no es concluyente. En tales casos, se pueden tratar de hallar los extremosmediante la gráfica o mediante algún otro método, como se muestra en el siguienteejemplo.

EJEMPLO 4 Cuando el criterio de las segundas derivadasparciales no es concluyente

Hallar los extremos relativos de

Solución Como y se sabe que ambas derivadas par-ciales son igual a 0 si o Es decir, todo punto del eje x o del eje y es unpunto crítico. Como

y

se sabe que si o entonces

Por tanto, el criterio de las segundas derivadas parciales no es concluyente, no funciona.Sin embargo, como para todo punto en los ejes x o y y en todos los otros puntos, se puede concluir que cada uno de estos puntos críticos sonun mínimo absoluto, como se muestra en la figura 13.70.

f�x, y� � x2y2 > 0f �x, y� � 0

� 4x2y2 � 16x2y2 � �12x2y2 � 0.

d � fxx�x, y�fyy�x, y� � � fxy�x, y��2

y � 0,x � 0

fxy�x, y� � 4xyfyy�x, y� � 2x2,fxx�x, y� � 2y2,

y � 0.x � 0fy�x, y� � 2x2y,fx�x, y� � 2xy2

f �x, y� � x2y2.

d � fxx�a, b� fyy�a, b� � � fxy�a, b��2� 0

�43, 43�,

fxx�43, 43� � �8 < 0

> 0

� 16

� �8��4� � 16

d � fxx�43, 43� fyy�4

3, 43� � � fxy�43, 43��2

�43, 43�,

d � fxx�0, 0� fyy�0, 0� � � fxy�0, 0��2 � 0 � 16 < 0

fxy�x, y� � 4fyy�x, y� � �4,fxx�x, y� � �6x,

y � x �43.y � x � 0

x � y,4x � 4y � 0.�3x2 � 4y � 0fy�x, y�fx�x, y�

fy�x, y� � 4x � 4yfx�x, y� � �3x2 � 4y

f �x, y� � �x3 � 4xy � 2y2 � 1.


Figura 13.69

Figura 13.70

Los extremos absolutos de una función se pueden presentar de dos maneras.Primero, algunos extremos relativos también resultan ser extremos absolutos. Así, enel ejemplo 1, es un mínimo absoluto de la función. (Por otro lado, el máxi-mo relativo encontrado en el ejemplo 3 no es un máximo absoluto de la función.)Segundo, los extremos absolutos pueden presentarse en un punto frontera deldominio. Esto se ilustra en el ejemplo 5.

EJEMPLO 5 Encontrar extremos absolutos

Hallar los extremos absolutos de la función

en la región cerrada dada por y

Solución La expresión de las derivadas parciales

y

permite ver que todo punto en la hipérbola dada por es un punto crítico. Entodos estos puntos el valor de f es

el cual se sabe que es el máximo absoluto, como se muestra en la figura 13.71. El otropunto crítico de que se encuentra en la región dada es Este punto da un mí-nimo absoluto de 0, ya que

implica que

Para localizar otros extremos absolutos se deben considerar las cuatro fronteras de laregión formadas por las trazas, de los planos verticales y Al hacer esto, se encuentra que sen xy � 0 en todos los puntos del eje x, en todos lospuntos del eje y, y en el punto Cada uno de estos puntos es un mínimo absolu-to de la superficie, como se muestra en la figura 13.71.

Los conceptos de extremos relativos y puntos críticos pueden extenderse a fun-ciones de tres o más variables. Si todas las primeras derivadas parciales de

existen, puede mostrarse que se presenta un máximo o un mínimo relativo en (x1, x2,x3, . . . , xn) sólo si cada una de las primeras derivadas parciales en ese punto es 0. Estosignifica que los puntos críticos se obtienen al resolver el sistema de ecuaciones si-guiente.

La extensión del teorema 13.17 a tres o más variables también es posible, aunque nose considerará en este texto.

fxn�x1, x2, x3, . . . , xn� � 0

� fx2

�x1, x2, x3, . . . , xn� � 0

fx1�x1, x2, x3, . . . , xn� � 0

w � f �x1, x2, x3, . . . , xn�

��, 1�.

y � 1.y � 0,x � �,x � 0,

0 ≤ sin xy ≤ 1.

0 ≤ xy ≤ �

�0, 0�.f

f �x, y� � sin �

2� 1

xy � ��2

fy�x, y� � x cos xyfx�x, y� � y cos xy

0 ≤ y ≤ 1.0 ≤ x ≤ �

f �x, y� � sin xy

f ��2, 3�


Figura 13.71

sen

sen

sen

En los ejercicios 1 a 6, identificar los extremos de la funciónreconociendo su forma dada o su forma después de completarcuadrados. Verificar los resultados empleando derivadas par-ciales para localizar los puntos críticos y probar si son extremosrelativos. Utilizar un sistema computarizado para álgebra yrepresentar gráficamente la función e indicar los extremos.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

En los ejercicios 7 a 16, examinar la función para localizarextremos relativos.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13. 14.

15. 16.

En los ejercicios 17 a 20, utilizar un sistema computarizadopara álgebra y representar la superficie y localizar los extremosrelativos y los puntos silla.

17.

18.

19.

20.

En los ejercicios 21 a 28, examinar la función para localizar losextremos relativos y los puntos silla.

21.

22.

23. 24.

25.

26.

27.

28.

En los ejercicios 29 y 30, examinar la función para los extremossin utilizar los criterios de la derivada y utilizar un sistema computarizado para álgebra y representar gráficamente la su-perficie. (Sugerencia: Por observación, determinar si es posibleque z sea negativo. ¿Cuándo z es igual a 0?)

29. 30.

Para pensar En los ejercicios 31 a 34, determinar si hay unmáximo relativo, un mínimo relativo, un punto silla, o si lainformación es insuficiente para determinar la naturaleza de lafunción en el punto crítico

31.

32.

33.

34. fxx�x0, y0� � 25, fyy�x0, y0� � 8, fxy�x0, y0� � 10

fxx�x0, y0� � �9, fyy�x0, y0� � 6, fxy�x0, y0� � 10

fxx �x0, y0� � �3, fyy�x0, y0� � �8, fxy�x0, y0� � 2

fxx�x0, y0� � 9, fyy�x0, y0� � 4, fxy�x0, y0� � 6

�x0 , y0�.f �x, y�

z ��x2 � y2�2

x2 � y2z ��x � y�4

x2 � y2

z � 12

� x2 � y2e1�x2�y2

z � e�x sin y

f �x, y� � 2xy �12�x4 � y4� � 1

f �x, y� � x3 � 3xy � y3

g�x, y� � xyh�x, y� � x2 � 3xy � y2

g�x, y� � 120x � 120y � xy � x2 � y2

h�x, y� � x2 � y2 � 2x � 4y � 4

z � exy

z � �x2 � 4y2�e1�x2�y2

f �x, y� � y3 � 3yx2 � 3y2 � 3x2 � 1

z ��4x

x2 � y2 � 1

f �x, y� � �x � y� � 2g�x, y� � 4 � �x� � �y�h�x, y� � �x2 � y2�1�3 � 2f �x, y� � 2�x2 � y2 � 3

z � �3x2 � 2y2 � 3x � 4y � 5

z � 2x2 � 3y2 � 4x � 12y � 13

f �x, y� � x2 � 6xy � 10y2 � 4y � 4

f �x, y� � �5x2 � 4xy � y2 � 16x � 10

f �x, y� � �x2 � 5y2 � 10x � 30y � 62

f �x, y� � 2x2 � 2xy � y2 � 2x � 3

f �x, y� � �x2 � y2 � 4x � 8y � 11

f �x, y� � x2 � y2 � 2x � 6y � 6

f �x, y� � �25 � �x � 2�2 � y2

f �x, y� � �x2 � y2 � 1

g�x, y� � 9 � �x � 3�2 � �y � 2�2

g�x, y� � �x � 1)2 � �y � 3�2



sen

43. Una función tiene segundas derivadas parciales continuas enuna región abierta que contiene el punto crítico (3, 7). La fun-ción tiene un mínimo en (3, 7) y para el criterio de lassegundas derivadas parciales. Determinar el intervalo para

si y

44. Una función f tiene segundas derivadas parciales continuas en unaregión abierta que contiene el punto crítico (a, b). Si y

tiene signos opuestos, ¿qué implica esto? Explicar.

En los ejercicios 45 a 50, hallar los puntos críticos y determinarlos extremos relativos. Dar los puntos críticos en los cuales elcriterio de las segundas derivadas parciales no es concluyente.

45.

46.

47.

48.

49. 50.

En los ejercicios 51 y 52, hallar los puntos críticos de la funcióny, por la forma de la función, determinar si se presenta un má-ximo o un mínimo relativo en cada punto.

51.

52.

En los ejercicios 53 a 62, hallar los extremos absolutos de la fun-ción en la región R. (En cada caso, R contiene sus puntos fron-tera.) Utilizar un sistema computarizado para álgebra paraconfirmar los resultados.

53.

La región triangular en el plano xy con vértices (2, 0), (0, 1)y

54.

La región triangular en el plano xy con vértices (2, 0), (0, 1)y

55.

La región en el plano xy acotada por las gráficas de y

56.

La región en el plano xy acotada por las gráficas de y

57.

58.

59.

60.

61.

62.

¿Verdadero o falso? En los ejercicios 63 y 64, determinar si ladeclaración es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué odar un ejemplo que demuestre que es falsa.

63. Si f tiene un máximo relativo en entonces ƒx(x0, y0)� ƒy(x0, y0) � 0.

64. Si f es continua para todo x y y y tiene dos mínimos relativos,entonces f debe tener un máximo relativo por lo menos.

�x0, y0, z0�,

R � ��x, y� : x ≥ 0, y ≥ 0, x2 � y2 ≤ 1

f �x, y� �4xy

�x2 � 1��y2 � 1�

R � ��x, y� : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1

f �x, y� �4xy

�x2 � 1)�y2 � 1�

R � ��x, y� : 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ �x f �x, y� � x2 � 4xy � 5

f �x, y� � x2 � 2xy � y2, R � ��x, y� : x2 � y2 ≤ 8 f �x, y� � x2 � 2xy � y2, R � ��x, y� : �x� ≤ 2, �y� ≤ 1 f �x, y� � x2 � xy, R � ��x, y� : �x� ≤ 2, �y� ≤ 1

y � 1y � x2R:

f �x, y� � 2x � 2xy � y2

y � 4y � x2R:

f �x, y� � 3x2 � 2y2 � 4y

�1, 2�R:

f �x, y� � �2x � y�2

�1, 2�R:

f �x, y� � 12 � 3x � 2y

f �x, y, z� � 4 � �x�y � 1��z � 2��2

f �x, y, z� � x2 � �y � 3�2 � �z � 1�2

f �x, y� � �x2 � y2�2�3f �x, y� � x2�3 � y2�3

f �x, y� � ��x � 1�2 � �y � 2�2

f �x, y� � �x � 1�2�y � 4�2

f �x, y� � x3 � y3 � 6x2 � 9y2 � 12x � 27y � 19

f �x, y� � x3 � y3

fyy�a, b�fxx�a, b�

fyy�3, 7� � 8.fxx�3, 7� � 2fxy�3, 7�

d > 0

f


Desarrollo de conceptos35. Definir cada uno de los siguientes conceptos para una fun-

ción de dos variables.

a) Mínimo relativo

b) Máximo relativo

c) Punto silla

d) Punto crítico

36. Enunciar el criterio de las segundas derivadas parciales paraextremos relativos y puntos silla.

En los ejercicios 37 a 40, dibujar la gráfica de una funciónarbitraria f que satisfaga las condiciones dadas. Decir si lafunción tiene extremos o puntos silla. (Hay muchas res-puestas correctas.)

37. y para todo

38. Todas las primeras y segundas derivadas parciales de f son0.

39.

y para todo

40.

y para todo

41. La figura muestra las curvas de nivel de una función descono-cida ¿Qué información, si es que hay alguna, puededarse acerca de f en el punto A? Explicar el razonamiento.


42. ¿La figura muestra las curvas de nivel de una función descono-cida f(x, y). ¿Qué información, si es que hay alguna, puededarse acerca de f en los puntos A, B, C y D? Explicar el razo-namiento.

f �x, y�.

�x, y�.fxy�x, y� � 0fyy�x, y� < 0,fxx�x, y� < 0,

fx�x, y��> 0,

< 0,

x < 2

x > 2, fy�x, y��> 0,

< 0,

y < 1

y > 1

fx�2, 1� � 0, fy�2, 1� � 0

�x, y�.fxy�x, y� � 0fyy�x, y� < 0,fxx�x, y� > 0,

fx�x, y��< 0,

> 0,

x < 0

x > 0, fy�x, y��> 0,

< 0,

y < 0

y > 0

fy�0, 0� � 0fx�0, 0� � 0,

�x, y�.fy�x, y� < 0fx�x, y� > 0


Sección 13.9 Aplicaciones de los extremos de funciones de dos variables

• Resolver problemas de optimización con funciones de varias variables.• Utilizar el método de mínimos cuadrados.

Problemas de optimización aplicada

En esta sección se verán algunas de las muchas aplicaciones de los extremos de fun-ciones de dos (o más) variables.

EJEMPLO 1 Hallar un volumen máximo

Una caja rectangular descansa en el plano xy con uno de sus vértices en el origen. Elvértice opuesto está en el plano

como se muestra en la figura 13.72. Hallar el volumen máximo de la caja.

Solución Sean x, y y z el largo, ancho y la altura de la caja. Como un vértice de lacaja se encuentra en el plano se sabe que z � –1

3(24 � 6x �4y), y así se puede expresar el volumen xyz de la caja en función de dos varia-bles.

Igualando a 0 las primeras derivadas parciales

se obtienen los puntos críticos (0, 0) y En (0, 0) el volumen es 0, así que ese

punto no proporciona un volumen máximo. En el punto se puede aplicar el cri-terio de las segundas derivadas parciales.

Como

y

se concluye de acuerdo con el criterio de las segundas derivadas parciales que el vo-lumen máximo es

unidades cúbicas.

Nótese que el volumen es 0 en los puntos frontera del dominio triangular de V.

� 649

V�43, 2� �

13�24�4

3��2� � 6�43�2�2� � 4�4

3��22��

Vxx�43, 2� � �8 < 0

Vxx�43, 2�Vyy�4

3, 2� � �Vxy�43, 2��2

� ��8��329 � � ��8

3�2�

643 > 0

Vxy�x, y� �13�24 � 12x � 8y�

Vyy�x, y� ��8x

3

Vxx�x, y� � �4y

�43, 2�,

�43, 2�.

Vy�x, y� �13�24x � 6x2 � 8xy� �

x3

�24 � 6x � 8y� � 0

Vx�x, y� �13 �24y � 12xy � 4y2� �

y3

�24 � 12x � 4y� � 0

� 13�24xy � 6x2y � 4xy2�

V�x, y� � �x��y��13�24 � 6x � 4y��

6x � 4y � 3z � 24,

6x � 4y � 3z � 24

Figura 13.72

NOTA En muchos problemas prácti-cos, el dominio de la función a optimizares una región acotada cerrada. Paraencontrar los puntos mínimos o máxi-mos, no sólo se deben probar los puntoscríticos, sino que también los valores dela función en los puntos frontera.

En las aplicaciones de los extremos a la economía y a los negocios a menudo setiene más de una variable independiente. Por ejemplo, una empresa puede producirvarios modelos de un mismo tipo de producto. El precio por unidad y la ganancia obeneficio por unidad de cada modelo son por lo general diferentes. La demanda decada modelo es a menudo función de los precios de los otros modelos (así como supropio precio). El siguiente ejemplo ilustra una aplicación en la que hay dos produc-tos.

EJEMPLO 2 Beneficio máximo

Un fabricante de artículos electrónicos determina que la ganancia o beneficio P (endólares) obtenido al producir x unidades de un reproductor de DVD y y unidades deun grabador de DVD se aproxima mediante el modelo

Hallar el nivel de producción que proporciona una ganancia o beneficio máximo.¿Cuál es la ganancia máxima?

Solución Las derivadas parciales de la función de beneficio son

y

Igualando estas derivadas parciales a 0, se obtiene el sistema de ecuaciones siguiente.

Después de simplificar, este sistema de ecuaciones lineales puede expresarse como

2x � 2y � 08 000

2x � 2y � 10 000.

Resolviendo el sistema se obtiene x � 2 000 y y � 4 000. Las segundas derivadas par-ciales de P son

Pxx(2 000, 4 000) � �0.002

Pyy(2 000, 4 000) � �0.002

Pxy(2 000, 4 000) � �0.001.

Como y

Pxx(2 000, 4 000)Pyy(2 000, 4 000) � [Pxy(2 000, 4 000)]2 �

se concluye que el nivel de producción con x � 2 000 unidades y y � 4 000 unidadesproporciona el beneficio máximo. El beneficio máximo es

P(2 000, 4 000) � 8(2 000) � 10(4 000) �

(0.001)[2 0002 � 2 000(4 000) � 4 0002)] � 10 000

� $18 000.

NOTA En el ejemplo 2 se supuso que la planta industrial puede producir el número requeri-do de unidades para proporcionar el beneficio máximo. En la práctica, la producción estará li-mitada por restricciones físicas. En la sección siguiente se estudiarán tales problemas de opti-mización.

��0.002�2 � ��0.001�2 > 0

Pxx < 0

10 � �0.001��x � 2y� � 0

8 � �0.001��2x � y� � 0

Py�x, y� � 10 � �0.001��x � 2y�.Px�x, y� � 8 � �0.001��2x � y�

P�x, y� � 8x � 10y � �0.001��x2 � xy � y2� � 10,000.

SECCIÓN 13.9 Aplicaciones de los extremos de funciones de dos variables 961

PARA MAYOR INFORMACIÓNPara más información sobre el uso de lamatemática en la economía, ver el artícu-lo “Mathematical Methods ofEconomics” de Joel Franklin en TheAmerican Mathematical Monthly.

El método de mínimos cuadrados

En muchos de los ejemplos en este texto se han empleando modelos matemáticos,como en el caso del ejemplo 2 que se emplea un modelo cuadrático para el beneficio.Hay varias maneras para desarrollar tales modelos; una es la conocida como el méto-do de mínimos cuadrados.

Al construir un modelo para representar un fenómeno particular, los objetivos sonsimplicidad y precisión. Por supuesto, estas metas entran a menudo en conflicto. Porejemplo, un modelo lineal simple para los puntos en la figura 13.73 es

Sin embargo, la figura 13.74 muestra que si se elige, ligeramente más complicado,*el modelo cuadrático es

se logra mayor precisión.

Como medida de qué tan bien se ajusta el modelo a la colección de puntos

se pueden sumar los cuadrados de las diferencias entre los valores reales y y los val-ores dados por el modelo para obtener la suma de los cuadrados de los errores oerrores cuadráticos

Gráficamente, S puede interpretarse como la suma de los cuadrados de las distanciasverticales entre la gráfica de f y los puntos dados en el plano (los puntos de los datos),como se muestra en la figura 13.75. Si el modelo es perfecto, entonces S = 0. Sinembargo, como la perfección no es posible, podemos conformarnos con un modeloque haga mínimo el valor de S. Por ejemplo, la suma de los errores cuadráticos en elmodelo lineal en la figura 13.73 es En estadística al modelo lineal que mini-miza el valor de S se le llama recta de regresión o por mínimos cuadrados. Lademostración de que esta recta realmente minimiza S requiere minimizar una funciónde dos variables.

* En el ejercicio 39 se describe un método para hallar el modelo cuadrático de mínimoscuadrados para una colección de datos.

S � 17.

��x1, y1�, �x2, y2�, �x3, y3�, . . . , �xn, yn��

y � f�x�

y � 0.1996x2 � 0.7281x � 1.3749

y � 1.8566x � 5.0246.


Suma de los cuadrados de los errores o errores cuadráticos.S � �n

i�1 � f�xi� � yi�2.

Suma de los cuadrados de los errores:

Figura 13.75S � d1

2 � d22 � d3

2

Figura 13.73 Figura 13.74

Demostración Sea la suma de los errores de los cuadrados para el modeloy el conjunto de puntos dado. Es decir,

donde los puntos representan constantes. Como S es una función de a y b, sepueden usar los métodos de la sección anterior para encontrar el valor mínimo de S.Las primeras derivadas parciales de S son

Igualando estas dos derivadas parciales a 0, se obtienen los valores de a y b que indicael teorema. Se deja como ejercicio aplicar el criterio de las segundas derivadas parciales(ver ejercicio 40) para verificar que estos valores de a y b dan un mínimo.

Si los valores de x están simétricamente distribuidos respecto al eje y, entoncesy las fórmulas para a y b se simplifican:

y

Esta simplificación es a menudo posible mediante una traslación de los valores x. Porejemplo, si los valores x en una colección de datos son los años 2003, 2004, 2005,2006 y 2007, se puede tomar 2005 como 0.

b �1n

�n

i�1 yi.

a ��n

i�1 xiyi

�n

i�1 xi

2

� xi � 0

� 2a�n

i�1 xi � 2nb � 2�

n

i�1yi.

Sb�a, b� � �n

i�1 2�axi � b � yi�

� 2a�n

i�1 xi

2 � 2b�n

i�1 xi � 2�

n

i�1 xiyi

Sa�a, b� � �n

i�1 2xi�axi � b � yi�

�xi, yi�

� �n

i�1 �axi � b � yi�2

S�a, b� � �n

i�1 � f�xi� � yi�2

f�x� � ax � bS�a, b�


TEOREMA 13.18 Recta de regresión (o de mínimos cuadrados)

La recta de regresión de mínimos cuadrados para {(x1, y1), (x2, y2), . . . . (xn,xn)} está dada por donde

y b �1n�

n

i�1 yi � a�

n

i�1 xi.a �

n�n

i�1 xiyi � �

n

i�1 xi�

n

i�1 yi

n�n

i�1 xi

2 � �n

i�1 xi

2

f�x� � ax � b,

ADRIEN-MARIE LEGENDRE (1752-1833)

El método de mínimos cuadrados lo introdujoel matemático francés Adrien-Marie Legendre.Legendre es mejor conocido por su trabajo engeometría. De hecho, su texto “Elementos deGeometría” fue tan popular en EstadosUnidos que se usó durante un periodo de másde 100 años y hubo 33 ediciones.

The

Gra

nger

Col

lect

ion

En los ejercicios 1 y 2, hallar la distancia mínima del punto alplano (Sugerencia: para simplificar los cál-culos, minimizar el cuadrado de la distancia.)

1. 2.

En los ejercicios 3 y 4, hallar la distancia mínima del punto alparaboloide

3. 4.

En los ejercicios 5 a 8, hallar tres números positivos x, y y z quesatisfagan las condiciones dadas.

5. La suma es 30 y el producto es máxima.

6. La suma es 32 y es máxima.

7. La suma es 30 y la suma de los cuadrados es mínima.

8. La suma es 1 y la suma de los cuadrados es mínima.

9. Volumen máximo La suma de la longitud y el perímetro desección transversal de un paquete transportado por un servicio

de entrega no puede exceder 108 pulgadas. Hallar las dimen-siones del paquete rectangular de volumen máximo que puedeenviarse.

10. Volumen máximo El material para construir la base de unacaja abierta cuesta 1.5 veces más por unidad de área que elmaterial para construir los lados. Dada una cantidad fija dedinero C, hallar las dimensiones de la caja de mayor volumenque puede ser fabricada.

11. Volumen máximo El volumen de un elipsoide

es Dada una suma fija mostrar que elelipsoide de volumen máximo es una esfera.

12. Volumen máximo Mostrar que la caja rectangular de volu-men máximo inscrita en una esfera de radio r es un cubo.

13. Volumen y área exterior Mostrar que una caja rectangular devolumen dado y área exterior mínima es un cubo.

a � b � c,4�abc�3.

x2

a2 �y 2

b2 �z2

c2 � 1

P � xy2z

�5, 0, 0��5, 5, 0�

z � x2 � y 2.

�1, 2, 3��0, 0, 0�

2x � 3y � z � 12.



EJEMPLO 3 Hallar la recta de regresión de mínimos cuadrados

Hallar la recta de regresión de mínimos cuadrados para los puntos (�3, 0), (�1, 1),(0, 2) y (2, 3).

Solución La tabla muestra los cálculos necesarios para hallar la recta de regresiónde mínimos cuadrados usando

Aplicando el teorema 13.18 se obtiene

y

La recta de regresión de mínimos cuadrados es como se muestra enla figura 13.76.

f �x� �813x �

4726,

b �1n �

n

i�1 yi � a�

n

i�1 xi �

14�6 �

813

��2� �4726

.

a �

n�n

i�1 xiyi � �

n

i�1 xi �

n

i�1 yi

n�n

i�1 xi

2 � �n

i�1 xi

2 �4�5� � ��2��6�4�14� � ��2�2 �

813

n � 4.

Recta de regresión de mínimos cuadradosFigura 13.76

TECNOLOGÍA Muchas calcu-ladoras tienen “incorporados” progra-mas de regresión de mínimos cuadra-dos. Se puede utilizar una calculadoracon estos programas para reproducirlos resultados del ejemplo 3.

0 0 9

1 1

0 2 0 0

2 3 6 4

�n

i�1 xi

2 � 14�n

i�1 xiyi � 5�

n

i�1 yi � 6�

n

i�1 xi � �2

�1�1

�3

x2xyyx

14. Volumen máximo Repetir el ejercicio 9 bajo la condición deque la suma de los perímetros de las dos secciones transversalesmostradas en la figura no puede exceder 144 pulgadas.

15. Área Un comedero de secciones transversales en forma detrapecio se forma doblando los extremos de una lámina de alu-minio de 30 pulgadas de ancho (ver la figura). Hallar la seccióntransversal de área máxima.

16. Área Repetir el ejercicio 15 con una lámina de w pulgadas deancho.

17. Ingreso máximo Una empresa fabrica dos tipos de tenis, tenispara correr y tenis para baloncesto. El ingreso total de unidades de tenis para correr y unidades de tenis de balonces-to es donde y

están en miles de unidades. Hallar las y que maximizanel ingreso.

18. Ingreso máximo Una tienda al menudeo vende dos tipos de cortadoras de césped, los precios son y Hallar las p1 yp2 que maximicen el ingreso total, donde R � 515p1 � 805 p2� 1.5 p1p2 � 1.5p2

1 � p22.

19. Ganancia o beneficio máximo Una empresa fabrica velas endos lugares. El costo de producción de unidades en el lugar1 es

y el costo de producción de x2 unidades en el lugar 2 es

Las velas se venden a $15 por unidad. Hallar la cantidad quedebe producirse en cada lugar para aumentar al máximo el be-neficio

20. Ley de Hardy-Weinberg Los tipos sanguíneos son genética-mente determinados por tres alelos A, B y O. (Alelo escualquiera de las posibles formas de mutación de un gen.) Unapersona cuyo tipo sanguíneo es AA, BB u OO es homocigóti-ca. Una persona cuyo tipo sanguíneo es AB, AO o BO es hete-rocigótica. La ley Hardy-Weinberg establece que la proporciónP de individuos heterocigótica en cualquier población dada es

donde p representa el porcentaje de alelos A en la población, qrepresenta el porcentaje de alelos B en la población, y r repre-senta el porcentaje de alelos O en la población. Utilizar el hechoque para mostrar que la proporción máxima deindividuos heterocigóticos en cualquier población es

21. Costo mínimo Hay que construir un conducto para aguadesde el punto P al punto S y debe atravesar regiones donde loscostos de construcción difieren (ver la figura). El costo porkilómetro en dólares es 3k de P a Q, 2k de Q a R, y k de R a S.Hallar x y y tales que el costo total C se minimice.

22. Distancia Una empresa tiene tres tiendas de ventas al menudeolocalizadas en los puntos (0, 0), (2, 2) y (�2, 2) (ver la figura). Ladirección planea construir un centro de distribución localizado detal manera que la suma S de las distancias del centro a las tiendassea mínimo. Por la simetría del problema es claro que el centro dedistribución se localizará en el eje y, y por consiguiente S es unafunción de una variable y. Utilizando las técnicas presentadas enel capítulo 3, calcular el valor de y requerido.


23. Investigación Las tiendas de ventas al menudeo descritas en elejercicio 22 se localizan en (0, 0), (4, 2) y (�2, 2) (ver la figura).La localización del centro de distribución es (x, y), y por con-siguiente la suma S de las distancias es una función de x y y.

a) Escribir la expresión que da la suma S de las distancias.Utilizar un sistema computarizado para álgebra y represen-tar S. ¿Tiene esta superficie un mínimo?

b) Utilizar un sistema computarizado para álgebra y obtener y Observar que resolver el sistema y esmuy difícil. Por tanto, aproximar la localización del centro dedistribución.

c) Una estimación inicial del punto crítico es Calcular con componentes y ¿Qué dirección es la dada por el vector

d) La segunda estimación del punto crítico es

Si se sustituyen estas coordenadas en entonces S seconvierte en una función de una variable t. Hallar el valor det que minimiza S. Utilizar este valor de t para estimar

e) Realizar dos iteraciones más del proceso del apartado d)para obtener Dada esta localización del centro dedistribución, ¿cuál es la suma de las distancias a las tiendasal menudeo?

f) Explique por qué se usó para aproximar el valormínimo de S. ¿En qué tipo de problemas se usaría �S�x, y�?

��S�x, y�

�x4, y4�.

�x2, y2�.

S�x, y�,�x2, y2� � �x1 � Sx�x1, y1�t, y1 � Sy�x1, y1�t�.

��S�1, 1�?�Sy�1, 1�.�Sx�1, 1��S�1, 1�

�x1, y1� � �1, 1�.

Sy � 0Sx � 0Sy.Sx

23.

p � q � r � 1

P� p, q, r� � 2pq � 2pr � 2qr

P � 15�x1 � x2� � C1 � C2.

C2 � 0.05x22 � 4x2 � 275.

C1 � 0.02x12 � 4x1 � 500

x1

p2.p1

x2x1x2

x1R � �5x12 � 8x2

2 � 2x1x2 � 42x1 � 102x2,x2

x1


24. Investigación Repetir el ejercicio 23 con tiendas de ventas almenudeo localizadas en los puntos y

En los ejercicios 27 a 30, a) hallar la recta de regresión de mí-nimos cuadrados y b) calcular S, la suma de los errores alcuadrado. Utilizar el programa para regresión de una calcu-ladora para verificar los resultados.

27. 28.

29. 30.

En los ejercicios 31 a 34, hallar la recta de regresión de mínimoscuadrados para los puntos dados. Utilizar el programa de regre-sión de una graficadora para verificar los resultados. Utilizar lagraficadora para trazar los puntos y representar la recta de regre-sión.

31.

32.

33.

34.

35. Modelo matemático En la tabla se muestran las edades x (enaños) y las presiones arteriales sistólicas y de siete hombres.

a) Utilizar el programa de regresión de una graficadora para ha-llar la recta de regresión de mínimos cuadrados para los datos.

b) Utilizar una graficadora para trazar los datos y representar elmodelo.

c) Utilizar el modelo para aproximar la variación en la presiónarterial sistólica por cada incremento de un año en la edad.

36. Modelo matemático El gerente de tienda quiere conocer lademanda y de una barra de energía en función del precio x. Lasventas diarias a tres precios diferentes de la barra de energía semuestran en la tabla.

a) Utilizar el programa de regresión de una graficadora parahallar la recta de regresión de mínimos cuadrados para losdatos.

b) Usar el modelo para estimar la demanda cuando el precio es$1.40.

37. Modelo matemático Un agrónomo prueba cuatro fertilizantesen los campos de cultivo para determinar la relación entre laproducción de trigo y (en bushels por acre) y la cantidad de fer-tilizante x (en cientos de libras por acre). Los resultados semuestran en la tabla.

Utilizar el programa para regresión de una graficadora para ha-llar la recta de regresión de mínimos cuadrados para los datos,y estimar la producción para una aplicación de 160 libras defertilizante por acre.

38. Modelo matemático La tabla muestra los porcentajes x y losnúmeros y (en millones) de mujeres en la fuerza laboral endeterminados años. (Fuente: U.S. Bureau of Labor Statistics)

a) Utilizar el programa para regresión de una graficadora parahallar la recta de regresión de mínimos cuadrados para losdatos.

b) Según este modelo, ¿aproximadamente cuántas mujeresingresan a la fuerza laboral por cada incremento de un puntoen el porcentaje de mujeres en la fuerza laboral?

39. Hallar un sistema de ecuaciones cuya solución proporcione los coeficientes a, b y c para el modelo cuadrático de regresiónde mínimos cuadrados para los puntos

minimizando la suma

40. Utilizar el criterio de las segundas derivadas parciales para ve-rificar que las fórmulas para a y b proporcionadas en el teore-ma 13.18 dan un mínimo.

Sugerencia: Considerar el hecho que n�n

i�1 xi

2 ≥ �n

i�1 xi

2

. �

S�a, b, c� � �n

i�1 �yi � axi

2 � bxi � c�2.

�x1, y1�, �x2, y2�, . . . , �xn, yn�y � ax2 � bx � c

�6, 4�, �1, 2�, �3, 3�, �8, 6�, �11, 8�, �13, 8��0, 6�, �4, 3�, �5, 0�, �8, �4�, �10, �5��1, 0�, �3, 3�, �5, 6��0, 0�, �1, 1�, �3, 4�, �4, 2�, �5, 5�

�12, 2�.�1, 6�,��4, 0�,


Desarrollo de conceptos25. Con sus propias palabras, describir la estrategia para la solu-

ción de problemas de aplicación de mínimos y máximos.

26. Con sus propias palabras, describir el método de mínimoscuadrados para hallar modelos matemáticos.

Edad, 16 25 39 45 49 64 70

Presión arterial 109 122 143 132 199 185 199sistólica, y

x

Precio, $1.00 $1.25 $1.50

Demanda, 450 375 330y

x

Fertilizante, 1.0 1.5 2.0 2.5

Rendimiento, 32 41 48 53y

x

Año 1965 1970 1975 1980

Porcentaje, 39.3 43.3 46.3 51.5

Número, 26.2 31.5 37.5 45.5y

x

Año 1985 1990 1995 2000

Porcentaje, 54.5 57.5 58.9 59.9

Número, 51.1 56.8 60.9 66.3y

x

En los ejercicios 41 a 44, utilizar el resultado del ejercicio 39para hallar el modelo cuadrático de regresión de mínimoscuadrados para los puntos dados. Usar el programa para regre-sión de una calculadora para confirmar los resultados. Utilizarla graficadora para trazar los puntos y representar la curva deregresión de mínimos cuadrados.

41.

42.

43. 44.

45. Modelo matemático Después de que fue desarrollado un nue-vo turbopropulsor para un motor de automóvil, se obtuvieronlos datos experimentales siguientes de velocidad y en millas porhora a intervalos x de dos segundos.

a) Hallar un modelo cuadrático de regresión de mínimoscuadrados para los datos. Utilizar una graficadora para con-firmar los resultados.

b) Utilizar una graficadora para trazar los puntos y representar elmodelo.

46. Modelo matemático La tabla muestra a las poblaciones mun-diales y (en miles de millones) en cinco años diferentes. (Fuente:U.S. Bureau of the Census, International Data Base)

representa el año 1994.

a) Utilizar el programa para regresión de una graficadora paraha-llar la recta de regresión de mínimos cuadrados para losdatos.

b) Utilizar el programa para regresión de una graficadora parahallar el modelo cuadrático de regresión de mínimos cuadra-dos para los datos.

c) Utilizar una graficadora para trazar los datos y representarlos modelos.

d) Utilizar ambos modelos para estimar la población mundialen el año 2010. ¿Cómo difieren los dos modelos cuando seextrapola hacia el futuro?

47. Modelo matemático Un meteorólogo mide la presión atmos-férica P (en kilogramos por metro cuadrado) a una altitud h (enkilómetros). Los datos se muestran en la tabla.

a) Utilizar el programa para regresión de una graficadora parahallar una recta de regresión de mínimos cuadrados para lospuntos

b) El resultado del apartado a) es una ecuación de la formaExpresar esta forma logarítmica en forma

exponencial.

c) Utilizar una graficadora para trazar los datos originales yrepresentar el modelo exponencial del apartado b).

d) Si una graficadora puede ajustar modelos logarítmicos adatos, utilícela para verificar el resultado del apartado b).

48. Modelo matemático Los puntos terminales del intervalo devisión se llaman punto próximo y punto lejano del ojo. Con laedad, estos puntos cambian. La tabla muestra los puntos próxi-mos y en pulgadas a varias edades x (en años).

a) Hallar el modelo racional para los datos tomando el recípro-co o inverso de los puntos próximos para generar los puntos

Utilizar el programa para regresión de una grafi-cadora para hallar una recta de regresión de mínimoscuadrados para los datos revisados. La recta resultante tienela forma

Despejar

b) Utilizar una graficadora para trazar los datos y representar elmodelo.

c) ¿Puede utilizarse el modelo para predecir el punto próximoen una persona de 70 años? Explicar.

y.

1y

� ax � b.

�x, 1�y�.

ah � b.ln P �

�h, ln P�.

x � 4

�0, 10�, �1, 9�, �2, 6�, �3, 0��0, 0�, �2, 2�, �3, 6�, �4, 12��4, 5�, ��2, 6�, �2, 6�, �4, 2��2, 0�, ��1, 0�, �0, 1�, �1, 2�, �2, 5�

Edad, 16 32 44 50 60

Punto próximo, 3.0 4.7 9.8 19.7 39.4y

x


Altitud, 0 5 10 15 20

Presión, 10 332 5 583 2 376 1 240 517P

h

Años 1994 1996 1998 2000 2002

Población, 5.6 5.8 5.9 6.1 6.2y

Proyecto de trabajo: Construcción de un oleoductoUna empresa petrolera desea construir un oleoducto desde suplataforma A hasta su refinería B. La plataforma está a 2 millas de lacosta, y la refinería está 1 milla tierra adentro. Además, A y B estána 5 millas de distancia una de otra, como se muestra en la figura.

El costo de construcción del oleoducto es $3 millones pormilla en el mar, y $4 millones por milla en tierra. Por tanto, el costodel oleoducto depende de la localización del punto P en la orilla.¿Cuál sería la ruta más económica para el oleoducto?

Imaginar que hay que redactar un informe para la empresapetrolera acerca de este problema. Sea x la distancia mostrada en lafigura. Determinar el costo de construir el oleoducto de A a P, y elcosto de P a B. Analizar alguna trayectoria muestra para el oleo-ducto y sus costos correspondientes. Por ejemplo, ¿cuál es el costode la ruta más directa? Utilizar después el cálculo para determinarla ruta del oleoducto que minimiza el costo. Explicar todos lospasos del desarrollo e incluir una gráfica pertinente.

Tiempo, 0 2 4 6 8 10

Velocidad, 0 15 30 50 65 70y

x


Sección 13.10 Multiplicadores de Lagrange

• Entender el método de los multiplicadores de Lagrange.• Utilizar los multiplicadores de Lagrange para resolver problemas de optimización

con restricciones o ligaduras.• Utilizar el método de multiplicadores de Lagrange con dos restricciones o ligaduras.

Multiplicadores de Lagrange

Muchos problemas de optimización tienen restricciones, o ligaduras, para los valoresque pueden usarse para dar la solución óptima. Tales restricciones o ligaduras tienden acomplicar los problemas de optimización porque la solución óptima puede presentarseen un punto frontera del dominio. En esta sección, se estudia una ingeniosa técnica pararesolver tales problemas. Es el método de los multiplicadores de Lagrange.

Para ver cómo funciona esta técnica, supóngase que se quiere hallar el rectángu-lo de área máxima que puede inscribirse en la elipse dada por

Sea (x, y) el vértice del rectángulo que se encuentra en el primer cuadrante, como semuestra en la figura 13.77. Como el rectángulo tiene lados de longitudes 2x y 2y, suárea está dada por

Función objetivo.

Se quieren hallar x y y tales que es un máximo. La elección de (x, y) estárestringida a puntos del primer cuadrante que están en la elipse

Restricción o ligadura.

Ahora, considérese la ecuación restrictiva o de ligadura como una curva de nivel fija de

Las curvas de nivel de f representan una familia de hipérbolas

En esta familia, las curvas de nivel que satisfacen la restricción o ligadura dada corres-ponden a hipérbolas que cortan a la elipse. Es más, para maximizar se quierehallar la hipérbola que justo satisfaga la restricción o ligadura. La curva de nivel quehace esto es la que es tangente a la elipse, como se muestra en la figura 13.78.

f �x, y�,

f �x, y� � 4xy � k.

g�x, y� �x2

32 �y2

42.

x2

32 �y2

42 � 1.

f �x, y�f �x, y� � 4xy.

x2

32 �y2

42 � 1.

Función objetivo: Figura 13.77

f �x, y� � 4xyRestricción o ligadura:

Figura 13.78

g�x, y� �x2

32 �y2

42 � 1

Para encontrar la hipérbola apropiada se usa el hecho de que dos curvas son tangentesen un punto si y sólo si sus vectores gradiente son paralelos. Esto significa que

debe ser un múltiplo escalar de en el punto de tangencia. En el con-texto de los problemas de optimización con restricciones o ligaduras, este escalar sedenota con la letra griega � (lambda minúscula del alfabeto griego).

Al escalar � se le conoce como un multiplicador de Lagrange. El teorema 13.19 dalas condiciones necesarias para la existencia de tales multiplicadores.

Demostración Para empezar, se representa la curva suave dada por me-diante la función vectorial

donde y son continuas en un intervalo abierto Se define la función comoEntonces, como es un valor extremo de f, se sabe que

es un valor extremo de Esto implica que y, por la regla de la cadena,

Así, es ortogonal a Por el teorema 13.12, también es orto-gonal a Por consiguiente, los gradientes y son paralelos, ydebe existir un escalar � tal que

El método de los multiplicadores de Lagrange emplea el teorema 13.19 paraencontrar los valores extremos de una función sujeta a una restricción o ligadura.f

�f �x0, y0� � ��g�x0, y0�.

�g�x0, y0��f �x0, y0�r��t0�.�g�x0, y0�r��t0�.�f �x0, y0�

h��t0� � fx�x0, y0�x��t0� � fy�x0, y0�y��t0� � �f �x0, y0� � r��t0� � 0.

h��t0� � 0,h.

h�t0� � f �x�t0�, y�t0�� f �x0, y0�

f �x0, y0�h�t� � f �x�t�, y�t��.hI.y�x�

r��t� � 0r�t� � x�t�i � y�t�j,

g�x, y� � c

�f �x, y� � ��g�x, y�

�g�x, y��f �x, y�

SECCIÓN 13.10 Multiplicadores de Lagrange 969

JOSEPH-LOUIS LAGRANGE (1736-1813)

El método de los multiplicadores de Lagrangedebe su nombre al matemático francés JosephLouis Lagrange. Lagrange presentó el métodopor primera vez en su famoso trabajo sobremecánica, escrito cuando él tenía apenas 19años.

NOTA Se puede demostrar que el teo-rema de Lagrange también es válido parafunciones de tres variables, usando unargumento similar con superficies denivel y con el teorema 13.14.

NOTA Como se verá en los ejemplos 1y 2, el método de los multiplicadores deLagrange requiere resolver sistemas deecuaciones no lineales. Esto a menudorequiere de alguna manipulación alge-braica ingeniosa.

TEOREMA 13.19 Teorema de Lagrange

Sean y funciones con primeras derivadas parciales continuas, y tales que tiene un extremo en un punto sobre la curva suave de restricción o liga-dura Si entonces existe un número real � tal que

�f �x0, y0� � ��g�x0, y0�.

�g�x0, y0� � 0,g�x, y� � c.�x0, y0�

fgf

Método de los multiplicadores de Lagrange

Sean y funciones que satisfacen la hipótesis del teorema de Lagrange, y seauna función que tiene un mínimo o un máximo sujeto a la restricción o liga-

dura Para hallar el mínimo o el máximo de seguir los pasos acontinuación.

1. Resolver simultáneamente las ecuaciones y resolviendo el sistema de ecuaciones siguiente.

2. Evaluar en cada punto solución obtenido en el primer paso. El valor mayorda el máximo de sujeto a la restricción o ligadura y el valormenor da el mínimo de sujeto a la restricción o ligadura g�x, y� � c.f

g�x, y� � c,ff

g�x, y� � c

fy�x, y� � �gy�x, y� fx�x, y� � �gx�x, y�

g�x, y� � c�f �x, y� � ��g�x, y�

f,g�x, y� � c.f

gf

Problemas de optimización con restricciones o ligaduras

En el problema presentado al principio de esta sección, se quería maximizar el área deun rectángulo inscrito en una elipse. El ejemplo 1 muestra cómo usar los multipli-cadores de Lagrange para resolver este problema.

EJEMPLO 1 Multiplicador de Lagrange con una restricción o ligadura

Hallar el valor máximo de donde y sujeto a la restriccióno ligadura

Solución Para comenzar, sea

Igualando y se puede obte-ner el sistema de ecuaciones siguiente.

.

.

Ligadura.

De la primera ecuación, se obtiene que sustituido en la segunda ecua-ción da

Sustituyendo en la tercera ecuación x2 por este valor se tiene

Así, Como se requiere que se elige el valor positivo y se halla que

Por tanto, el valor máximo de es

Nótese que el expresar la restricción o ligadura como

o

no afecta la solución, la constante se elimina cuando se calcula �g.

g�x, y� �x2

32 �y2

42 � 1 � 0g�x, y� �x2

32 �y2

42 � 1

f � 3�2

, 2�2� � 4xy � 4 � 3�2��2�2 � � 24.

f

x �3�2

.

�92

�916

�8�

x2 �916

y2

y > 0,y � ±2�2.

y2 � 8.19 �

916

y2� �116

y2 � 1

x2 �916

y2.4x �18�

18yx �y

� � 18y�x,

x2

32 �y2

42 � 1

fy�x, y� � �gy�x, y� 4x �18

�y

fx�x, y� � �gx�x, y� 4y �29

�x

��g�x, y� � �2�x�9� i � ��y�8�j,�f �x, y� � 4yi � 4xj

g�x, y� �x2

32 �y2

42 � 1.

�x2�32� � �y2�42� � 1.y > 0,x > 0f �x, y� � 4xy


NOTA El ejemplo 1 también puederesolverse utilizando las técnicas apren-didas en el capítulo 3. Para ver cómo sehace esto, calcular el valor máximo de

dado que

Para empezar, de la segunda ecuación sedespeja y y se obtiene

Después se sustituye este valor en laprimera ecuación para obtener

Por último, se usan las técnicas del capí-tulo 3 para maximizar A.

A � 4x �43�9 � x2 �.

y �43�9 � x2.

x2

32 �y2

42 � 1.

A � 4xy

EJEMPLO 2 Una aplicación a la economía

La función de producción Cobb-Douglas (ver ejemplo 5, sección 13.1) para un fabri-cante de software está dada por

Función objetivo.

donde x representa las unidades de trabajo (a $150 por unidad) y y representa lasunidades de capital (a $250 por unidad). El costo total de trabajo y capital está limi-tado a $50 000. Hallar el nivel máximo de producción de este fabricante.

Solución De la función dada, se tiene

El límite para el costo de trabajo y capital se refleja en la restricción o ligadura


Así, Esto da lugar al sistema de ecuaciones siguiente.

.

.


Resolviendo para en la primera ecuación

y despejando � de la segunda ecuación, se obtiene

Multiplicar por

Así, Sustituyendo en la tercera ecuación, se tiene

y � 50 unidades de capital

x � 250 unidades de trabajo

Por tanto, el nivel máximo de producción es

Los economistas llaman al multiplicador de Lagrange obtenido en una función deproducción productividad marginal del capital. Por ejemplo, en el ejemplo 2 la pro-ductividad marginal de capital en y es

lo cual significa que por cada dólar adicional gastado en la producción, puede pro-ducirse 0.334 unidades adicionales del producto.

� �x�1�4y1�4

2�

�250��1�4�50�1�4

2� 0.334

y � 50x � 250

� 16,719 product units.

f �250, 50� � 100�250�3�4�50�1�4

1000y � 50,000

150�5y� � 250y � 50,000

x � 5y.

x1�4y3�4. 25x � 125y.

25x3�4y�3�4 � 250�x�1�4y1�4

2 �

� �75x�1�4y1�4

150�

x�1�4y1�4

2

�

150x � 250y � 50,000

fy�x, y� � �gy�x, y� 25x3�4y�3�4 � 250�

fx�x, y� � �gx�x, y� 75x�1�4 y1�4 � 150�

��g�x, y� � 150� i � 250� j.

g�x, y� � 150x � 250y � 50,000.

�f �x, y� � 75x�1�4y1�4 i � 25x3�4y�3�4 j.

f �x, y� � 100x3�4y1�4


PARA MAYOR INFORMACIÓN Paramás información sobre la utilización delos multiplicadores de Lagrange eneconomía, ver el artículo “LagrangeMultiplier Problems in Economics” deJohn V. Baxley y John C. Moorhouse enThe American Mathematical Monthly.

1 000y

unidades del producto.

EJEMPLO 3 Multiplicadores de Lagrange y tres variables

Hallar el valor mínimo de

Función objetivo.

sujeto a la restricción o ligadura

Solución Sea Entonces, como

y

se obtiene el sistema de ecuaciones siguiente.

.

.

.


La solución de este sistema es y � �9 y Por tanto, el valor óptimode es

De la función original y de la restricción o ligadura, resulta claro que notiene máximo. Por tanto, el valor óptimo de determinado arriba es un mínimo.

Al principio de esta sección se dio una interpretación gráfica del problema deoptimización con restricciones o ligaduras para dos variables. Con tres variables, lainterpretación es similar, sólo que se usan superficies de nivel en lugar de curvas denivel. Así, en el ejemplo 3, las superficies de nivel de son elipsoides centradas en elorigen, y la restricción o ligadura

es un plano. El valor mínimo de está representado por la elipsoide tangente al planode la restricción o ligadura, como se muestra en la figura 13.79.

EJEMPLO 4 Optimización en el interior de una región

Hallar los valores extremos de

Función objetivo.

sujeto a la restricción o ligadura

Solución Para resolver este problema, se puede dividir la restricción o ligadura endos casos.

a) Para los puntos en el círculo se pueden usar los multiplicadores deLagrange para hallar que el valor máximo de es 24; este valor se presentaen y en De manera similar, se puede determinar que el valormínimo de es aproximadamente 6.675; este valor se presenta en

b) Para los puntos interiores al círculo, se pueden usar las técnicas analizadas en lasección 13.8 para concluir que la función tiene un mínimo relativo de 2 en el punto(1, 0).

Combinando estos dos resultados, se puede concluir que tiene un máximo de 24 en y un mínimo de 2 en (1, 0), como se muestra en la figura 13.80.��1, ±3�

f

��10, 0�.f �x, y��1, �3�.��1, 3�

f �x, y�x2 � y2 � 10,

x2 � y2 ≤ 10.

f �x, y� � x2 � 2y2 � 2x � 3

f

2x � 3y � 4z � 49

f

ff �x, y, z�

� 147.

f �3, �9, �4� � 2�3�2 � ��9�2 � 3��4�2

fz � �4.x � 3,

2x � 3y � 4z � 49

fz�x, y, z� � �gz�x, y, z� 6z � �4�

fy�x, y, z� � �gy�x, y, z� 2y � �3�

fx�x, y, z� � �gx�x, y, z� 4x � 2�

��g�x, y, z� � 2� i � 3� j � 4�k�f �x, y, z� � 4xi � 2yj � 6zk

g�x, y, z� � 2x � 3y � 4z � 49.

2x � 3y � 4z � 49.

f �x, y, z� � 2x2 � y2 � 3z2


Figura 13.79

Figura 13.80

El método de multiplicadores de Lagrange con dos restricciones o ligadurasEn problemas de optimización que involucran dos funciones de restricción o ligaduras

y se puede introducir un segundo multiplicador de Lagrange, (letra minúsculamu del alfabeto griego), y resolver la ecuación

donde los vectores gradiente no son paralelos, como se ilustra en el ejemplo 5.

EJEMPLO 5 Optimización con dos restricciones o ligaduras

Sea la temperatura en cada punto en la esferaHallar las temperaturas extremas en la curva formada por la inter-

sección del plano y la esfera.

Solución Las dos restricciones o ligaduras son

y

Usando

y

se obtiene el sistema de ecuaciones siguiente.

.

.

.

Restricción o ligadura 1.

Restricción o ligadura 2.

Restando la segunda ecuación de la primera, se obtiene el sistema siguiente.

De la primera ecuación, se concluye que o Si se puede demostrarque los puntos críticos son y (Tratar de hacer esto toma un pocode trabajo.) Si entonces y se puede mostrar que los puntos críticos sepresentan donde y Por último, paraencontrar las soluciones óptimas, se deben comparar las temperaturas en los cuatropuntos críticos.

Así, es la temperatura mínima y es la temperatura máxima en la curva.T �913T � 25

T�3 � 2�33

, 3 � 2�3

3,

3 � 4�33 � �

913

� 30.33

T�3 � 2�33

, 3 � 2�3

3,

3 � 4�33 � �

913

� 30.33

T �3, �1, 1� � T ��1, 3, 1� � 25

z � �3 4�3 ��3.x � y � �3 ± 2�3 ��3x � y� � 0,

��1, 3, 1�.�3, �1, 1�� 0,x � y.� � 0

x � y � z � 3

x2 � y2 � z2 � 11

2z�1 � �� 0

��x � y� � 0

x � y � z � 3

x2 � y2 � z2 � 11

Tz�x, y, z� � �gz�x, y, z� � hz�x, y, z� 2z � 2�z �

Ty�x, y, z� � �gy�x, y, z� � hy�x, y, z� 2 � 2�y �

Tx�x, y, z� � �gx�x, y, z� � hx�x, y, z� 2 � 2�x �

�h�x, y, z� � i � j � k

��g�x, y, z� � 2�x i � 2�y j � 2�z k

�T �x, y, z� � 2i � 2j � 2zk

h�x, y, z� � x � y � z � 3.g�x, y, z� � x2 � y2 � z2 � 11

x � y � z � 3x2 � y2 � z2 � 11.

T�x, y, z� � 20 � 2x � 2y � z2

�f � ��g � �h

h,g


AYUDA DE ESTUDIO El sistema de ecuaciones que se obtiene en el métodode los multiplicadores de Lagrange noes, en general, un sistema lineal, y amenudo hallar la solución requiere deingenio.

En los ejercicios 1 a 4, identificar la restricción o ligadura y lascurvas de nivel de la función objetivo mostradas en la figura.Utilizar la figura para aproximar el extremo indicado, asu-miendo que x y y son positivos. Utilizar los multiplicadores deLagrange para verificar el resultado.

1. Maximizar 2. Maximizar

Restricción Restriccióno ligadura: o ligadura:

3. Minimizar 4. Minimizar Restricción o ligadura: Restricción o ligadura:

En los ejercicios 5 a 12, utilizar multiplicadores de Lagrange parahallar el extremo indicado, suponer que x y y son positivos.

5. Minimizar

Restricción o ligadura:

6. Maximizar


7. Maximizar


8. Minimizar


9. Maximizar


10. Minimizar


11. Maximizar


12. Minimizar


En los ejercicios 13 y 14, utilizar los multiplicadores de Lagran-ge para hallar todos los extremos de la función sujetos a larestricción o ligadura

13. 14.

En los ejercicios 15 a 18, utilizar los multiplicadores de La-grange para hallar los extremos indicados, suponer que x, y y zson positivos.

15. Minimizar


16. Maximizar


17. Minimizar


18. Minimizar


En los ejercicios 19 a 22, utilizar los multiplicadores de La-grange para hallar los extremos de indicados sujetos a dosrestricciones o ligaduras. En cada caso, suponer que x, y y z sonno negativos.

19. Maximizar


20. Minimizar


21. Maximizar


22. Maximizar


En los ejercicios 23 a 26, utilizar los multiplicadores de La-grange para hallar la distancia mínima de la curva o de lasuperficie al punto indicado. [Sugerencia: En el ejercicio 23, mi-nimizar sujeta a la restricción o ligadura

]

Curva Punto

23. Recta:

24. Círculo:

Superficie Punto

25. Plano:

26. Cono:

En los ejercicios 27 y 28, hallar el punto más alto de la curva deintersección de las superficies.

27. Esfera: Plano:

28. Cono: Plano: x � 2z � 4x2 � y2 � z2 � 0,

2x � y � z � 2x2 � y2 � z2 � 36,

�4, 0, 0�z � �x2 � y2

�2, 1, 1�x � y � z � 1

�0, 10��x � 4�2 � y2 � 4

�0, 0�2x � 3y � �1

2x � 3y � �1.f �x, y � x2 � y2

x � 2y � 0x2 � z2 � 5,


x � 3z � 0x � 2y � 6,

f �x, y, z� � xy � yz

x � y � 12x � 2z � 6,

f �x, y, z� � x2 � y2 � z2

x � y � z � 0x � y � z � 32,


f

x � y � 10

f �x, y� � x2 � 10x � y 2 � 14y � 70

x � y � z � 1

f �x, y, z� � x2 � y2 � z2

x � y � z � 6 � 0


x � y � z � 6 � 0

f �x, y, z� � x2 � y2 � z2

f �x, y� � e�xy�4f �x, y� � x2 � 3xy � y2

x2 � y2 ≤ 1.

xy � 32

f �x, y� � 2x � y

x2 � y2 � 8

f �x, y� � exy

2x � 4y � 15 � 0

f �x, y� � �x2 � y2

x � y � 2 � 0

f �x, y� � �6 � x2 � y2

x2y � 6

f �x, y� � 3x � y � 10

2x � y � 100

f �x, y� � 2x � 2xy � y

2y � x2 � 0

f �x, y� � x2 � y2

x � 2y � 6 � 0

f �x, y� � x2 � y2

2x � 4y � 5x � y � 4 � 0

z � x2 � y2z � x2 � y2

2x � y � 4x � y � 10

z � xyz � xy



Desarrollo de conceptos29. Explicar qué se quiere decir con problemas de optimización

con restricciones o ligaduras.

30. Explicar el método de los multiplicadores de Lagrange pararesolver problemas de optimización con restricciones o li-gaduras.

31. Volumen máximo Utilizar los multiplicadores de Lagrangepara hallar las dimensiones de un paquete rectangular de máxi-mo volumen sujeto a la restricción o ligadura que dice que lasuma de la longitud y del perímetro no debe exceder 108 pul-gadas. Comparar la respuesta con la obtenida en el ejercicio 9,sección 13.9.

32. Volumen máximo El material para la base de una caja abier-ta cuesta 1.5 veces más por unidad de área que el material paraconstruir los lados. Utilizar los multiplicadores de Lagrangepara hallar las dimensiones de la caja de mayor volumen quepuede construirse con un costo fijo C. (Maximizar sujeto a Comparar la respuesta conla obtenida en el ejercicio 10, sección 13.9.

33. Costo mínimo Un contenedor (en forma de un sólido rectan-gular) debe tener un volumen de 480 pies cúbicos. Construir labase costará $5 por pie cuadrado y construir los lados y la partesuperior costará $3 por pie cuadrado. Utilizar multiplicadoresde Lagrange para determinar las dimensiones del contenedor deeste tamaño que minimizen el costo.

34. Superficie mínima Utilizar multiplicadores de Lagrange paraencontrar las dimensiones de un cilindro circular recto con vo-lumen de V0 unidades cúbicas y superficie mínima.

35. Volumen máximo Utilizar multiplicadores de Lagrange paradeterminar las dimensiones de la caja rectangular de volumenmáximo que puede ser inscrita (con los bordes paralelos a losejes de coordenadas) en el elipsoide

36. Medias geométrica y aritmética

a) Utilizar los multiplicadores de Lagrange para demostrar queel producto de tres números positivos x, y y z cuya suma tieneun valor constante S, es máximo cuando los tres números soniguales. Utilizar este resultado para demostrar que

b) Generalizar el resultado del apartado a) para demostrar que elproducto es máximo cuando

y todo Después demostrar que

Esto demuestra que la media geométrica nunca es mayorque la media aritmética.

37. Refracción de la luz Cuando las ondas de luz que viajan enun medio transparente chocan con la superficie de un segundomedio transparente, tienden a “desviarse” para seguir la trayec-toria de tiempo mínimo. Esta tendencia se llama refracción yestá descrita por la ley de refracción de Snell, según la cual

donde y son las magnitudes de los ángulos mostrados enla figura, y y son las velocidades de la luz en los dosmedios. Utilizar los multiplicadores de Lagrange para deduciresta ley usando


38. Área y perímetro Un semicírculo está sobre un rectángulo(ver la figura). Si el área es fija y el perímetro es un mínimo, osi el perímetro es fijo y el área es un máximo, utilizar multipli-cadores de Lagrange para verificar que la longitud del rectán-gulo es el doble de su altura.

39. Ley de Hardy-Weinberg Utilizar multiplicadores de Lagran-ge para maximizar sujeta a

(Ver ejercicio 20 en la sección 13.9.)

40. Distribución de temperatura Seala temperatura en cada punto sobre la esfera x2 � y2 � z2

� 50.Hallar la temperatura máxima en la curva formada por laintersección de la esfera y el plano

Nivel de producción En los ejercicios 41 y 42, hallar el má-ximo nivel de producción P si el costo total de trabajo (a $48 porunidad) y capital (a $36 por unidad) está restringido a $100 000,donde x es el número de unidades de trabajo y y es el número deunidades de capital.

41. 42.

Coste En los ejercicios 43 y 44, hallar el coste mínimo paraproducir 20 000 unidades de un producto donde x es el número de unidades de trabajo (a $48 por unidad) y y es el número deunidades de capital (a $36 por unidad).

43. 44.

45. Investigación Considerar la función objetivo sujeta a la restricción o ligadura de que �, �

y sean los ángulos de un triángulo.

a) Utilizar los multiplicadores de Lagrange para maximizar

b) Utilizar la restricción o ligadura para reducir la función g auna función de dos variables independientes. Utilizar un sis-tema computacional para álgebra para representar gráfica-mente la superficie definida por g. Identificar en la gráficalos valores máximos.

g.

cos � cos � cos

g��, �, � �

P�x, y� � 100x0.6y0.4P�x, y� � 100x0.25y0.75

P�x, y� � 100x0.4y0.6P�x, y� � 100x0.25y0.75

x � z � 0.

T �x, y, z� � 100 � x2 � y2

p � q � r � 1.P�p, q, r� � 2pq � 2pr � 2qr

x � y � a.

v2v1

�2�1

sin �1

v1�

sin �2

v2

n�x1 x2 x3 . . . xn ≤x1 � x2 � x3 � . . . � xn

n.

xi ≥ 0.. . . � xn, n

i�1xi � S,

x1 � x2 � x3 �x1 x2 x3 . . . xn

3�xyz ≤x � y � z

3.

x2

a2 �y2

b2 �z2

c2 � 1.

1.5xy � 2xz � 2yz � C.�V � xyz


Preparación del examen Putnam

46. Una boya está hecha de tres piezas, a saber, un cilindro y dosconos iguales, la altura de cada uno de los conos es igual a laaltura del cilindro. Para una superficie dada, ¿con qué forma setendrá el volumen máximo?

Este problema fue preparado por el Committee on the Putnam Prize Competition. © The Mathematical Association of America. Todos los derechos reservados.

sen sen

En los ejercicios 1 y 2, utilizar una graficadora para determinarsi es función de y Explicar.

1.

2.

En los ejercicios 3 a 6, utilizar un sistema computacional paraálgebra y representar gráficamente algunas de las curvas denivel de la función.

3. 4.

5. 6.

En los ejercicios 7 y 8, utilizar un sistema computacional paraálgebra y representar gráficamente la función.

7. 8.

En los ejercicios 9 y 10, dibujar la gráfica de la superficie denivel en el valor dado de

9.

10.

En los ejercicios 11 a 14, hallar el límite y analizar la con-tinuidad de la función (si existe).

11. 12.

13. 14.

En los ejercicios 15 a 24, hallar todas las primeras derivadasparciales.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21.

22.

23. 24.

25. Para pensar Dibujar una gráfica de una función cuyas derivadas y sean siempre negativas.

26. Hallar las pendientes de la superficie en lasdireccionales x y y en el punto .

En los ejercicios 27 a 30, hallar todas las segundas derivadasparciales y verificar que las segundas derivadas parciales mix-tas son iguales.

27. 28.

29. 30.

Ecuación de Laplace En los ejercicios 31 a 34, mostrar que lafunción satisface la ecuación de Laplace

31. 32.

33. 34.

En los ejercicios 35 y 36, hallar la diferencial total.

35. 36.

37. Análisis de errores Al medir los lados de un triángulo rec-tángulo se obtienen los valores de 5 y 12 centímetros, con unposible error de centímetro. Aproximar el error máximo posi-ble al calcular la longitud de la hipotenusa. Aproximar el errorporcentual máximo.

38. Análisis de errores Para determinar la altura de una torre, elángulo de elevación a la parte superior de la torre se midiódesde un punto a 100 pies pie de la base. La medida delángulo da 33°, con un posible error de 1°. Suponer que el sueloes horizontal, para aproximar el error máximo al determinar laaltura de la torre.

39. Volumen Se mide un cono circular recto. Su radio y su alturason 2 y 5 pulgadas, respectivamente. El posible error demedición es –1

8 de pulgada. Aproximar el error máximo posibleen el cálculo del volumen.

40. Superficie lateral Aproximar el error en el cálculo de lasuperficie lateral del cono del ejercicio 39. (La superficie later-al está dada por A � �r�r2 � h2.�

± 12

12

z �xy

�x2 � y2z � x sin

yx

z � ex sin yz �y

x2 � y2

z � x3 � 3xy2z � x2 � y2

�2z�x2 �

�2z�y2 � 0.

g�x, y� � cos�x � 2y�h�x, y� � x sin y � y cos x

h�x, y� �x

x � yf �x, y� � 3x2 � xy � 2y3

�2, 0, 0�z � x2 ln� y � 1�

fyfx

z � f �x, y�

u�x, t� � c sin�akx� cos ktu�x, t� � ce�n2t sin nx

f �x, y, z� �1

�1 � x2 � y2 � z2

f �x, y, z� � z arctan yx

w � �x2 � y2 � z2g�x, y� �xy

x2 � y2

z � ln�x2 � y2 � 1�z � xey � yex

f �x, y� �xy

x � yf �x, y� � ex cos y

lim�x, y�→�0, 0�

y � xe�y2

1 � x2lim�x, y�→�0, 0�

�4x2yx 4 � y2

lim�x, y�→�1, 1�

xy

x2 � y2lim�x, y�→�1, 1�

xy

x2 � y2

c � 0f �x, y, z� � 9x2 � y2 � 9z2,

c � 1f �x, y, z� � x2 � y � z2,

c.f �x, y, z� � c

g�x, y� � �y�1��x�f �x, y� � e��x2�y2�

f �x, y� �x

x � yf �x, y� � x2 � y2

f �x, y� � ln xyf �x, y� � ex2�y2

y.xz


Ejercicios de repaso del capítulo 13

lím lím

lím lím

sen sen

sen

sen

sen

En los ejercicios 41 a 44, hallar las derivadas indicadas a) uti-lizando la regla de la cadena apropiada y b) por sustituciónantes de derivar.

41.

42.

43.

44.

En los ejercicios 45 y 46, derivar implícitamente para encontrarlas primeras derivadas parciales de z.

45.

46.

En los ejercicios 47 a 50, hallar la derivada direccional de lafunción en P en la dirección de v.

47.

48.

49.

50.

En los ejercicios 51 a 54, hallar el gradiente de la función y elvalor máximo de la derivada direccional en el punto dado.

51. 52.

53. 54.

En los ejercicios 55 y 56, utilizar el gradiente para hallar un vec-tor unitario normal a la gráfica de la ecuación en el punto dado.

55.

56.

En los ejercicios 57 a 60, hallar una ecuación del plano tangentey las ecuaciones paramétricas de la recta normal a la superficieen el punto dado.

Superficie Punto

57.

58.

59.

60.

En los ejercicios 61 y 62, hallar las ecuaciones simétricas de larecta tangente a la curva de intersección de las superficies en elpunto dado.

Superficie Punto

61.

62.

63. Hallar el ángulo de inclinación del plano tangente a la super-ficie en el punto

64. Aproximación Considerar las aproximaciones siguientes auna función centrada en

Aproximación lineal

Aproximación cuadrática

[Observar que la aproximación lineal es el plano tangente a lasuperficie en

a) Hallar la aproximación lineal de centrada en

b) Hallar la aproximación cuadrática de centrada en

c) Si en la aproximación cuadrática, ¿para qué funciónse obtiene el polinomio de Taylor de segundo grado?

d) Completar la tabla.

e) Utilizar un sistema computacional para álgebra para repre-sentar gráficamente las superficies y ¿Cómo varía la exactitud de las aproxima-ciones a medida que aumenta la distancia para (0, 0)?

En los ejercicios 65 a 68, examinar la función para determinarextremos relativos. Utilizar un sistema computacional paraálgebra y representar gráficamente la función y confirmar losresultados.

65.

66.

67.

68.

�0.05y3 � 20.6y � 125�z � 50�x � y� � �0.1x3 � 20x � 150� �

f �x, y� � xy �1x

�1y

f �x, y� � 2x2 � 6xy � 9y2 � 8x � 14

f �x, y� � x3 � 3xy � y2

z � P2�x, y�.z � P1�x, y�,z � f �x, y�,

y � 0

�0, 0�.f �x, y� � cos x � sin y

�0, 0�.f �x, y� � cos x � sin y

�0, 0, f �0, 0��.�

12 fxx�0, 0�x2 � fxy�0, 0�xy �12 fyy�0, 0�y2

P2�x, y� � f �0, 0� � fx�0, 0�x � fy�0, 0�y �

P1�x, y� � f �0, 0� � fx�0, 0�x � fy�0, 0�y

�0, 0�.f �x, y�

�2, 1, 3�.x2 � y2 � z2 � 14�

�4, 4, 9�z � 25 � y2, y � x

�2, 1, 3�z � x2 � y2, z � 3

�1, 2, 2�z � �9 � x2 � y 2

�2, �3, 4�z � �9 � 4x � 6y � x2 � y2

�2, 3, 4�f �x, y� � �25 � y 2

�2, 1, 4�f �x, y� � x2y

��

2, 14y sin x � y2 � 3,

�3, 2�9x2 � 4y2 � 65,

z � x2y, �2, 1�z � e�x cos y, �0, �

4

z �x2

x � y, �2, 1�z �

yx2 � y2 , �1, 1�

v � i � j � k�1, 0, 1�,w � 6x2 � 3xy � 4y2z,

v � 2i � j � 2k�1, 2, 2�,w � y2 � xz,

v � 2i � j�1, 4�,f �x, y� �14 y2 � x2,

v � i � j�2, 1�,f �x, y� � x2y,

xz2 � y sin z � 0

x2y � 2yz � xz � z2 � 0

z � 2r � ty � rt,x � 2r � t,

�w�r

, �w�t

w �xyz

,

z � ty � r sin t,x � r cos t,

�u�r

, �u�t

u � x2 � y2 � z2,

y � sin tx � cos t,

dudt

u � y2 � x,

y � 4 � tx � 2t � 3,

dwdt

w � ln�x2 � y2�,

Ejercicios de repaso 977

0 0

0 0.1

0.2 0.1

0.5 0.3

1 0.5

P2�x, y�P1�x, y�f �x, y�yx

sen

sen

sen

sen

sen

sen

Redacción En los ejercicios 69 y 70, redactar un párrafo brevesobre la superficie cuyas curvas de nivel (los valores de c espacia-dos uniformemente) se muestran. Hacer un comentario acercade los posibles extremos, puntos silla, la magnitud del gradiente,etcétera.

69. 70.

71. Ganancia o beneficio máximo Una corporación fabrica, endos lugares, cámaras digitales. Las funciones de costo para pro-ducir unidades en el lugar 1 y unidades en el lugar 2 son

y la función del ingreso total es

Hallar los niveles de producción en los dos lugares que maxi-mizan el beneficio

72. Costo mínimo Un fabricante recibe una orden para 1 000unidades de bancos de madera que pueden producirse en doslugares. Sean y los números de unidades producidos encada uno de los dos lugares. La función del costo es

Hallar la cantidad que debe producirse en cada lugar para sa-tisfacer la orden y minimizar el costo.

73. Nivel de producción La función de producción de un fabri-cante de dulces es

donde x es el número de unidades de trabajo y y es el númerode unidades de capital. Suponer que la cantidad total disponiblepara trabajo y capital es $2 000, y que las unidades de trabajoy capital cuestan $20 y $4, respectivamente. Hallar el nivel deproducción máximo de este fabricante.

74. Hallar la distancia mínima del punto (2, 2, 0) a la superficie

75. Modelo matemático Los datos en la tabla muestran el ren-dimiento y (en miligramos) en una reacción química después det minutos.

a) Utilizar el programa de regresión de una graficadora parahallar la recta de regresión de mínimos cuadrados para losdatos. Después utilizar la graficadora para representar losdatos y el modelo.

b) Utilizar una graficadora para trazar los puntos ¿Parecen seguir estos puntos un modelo lineal con másexactitud que los datos dados en el apartado a)?

c) Utilizar el programa de regresión de una graficadora para hallarla recta de regresión de mínimos cuadrados para los puntos

y obtener el modelo logarítmico

d) Utilizar una graficadora para representar los datos y los mode-los lineal y logarítmico. ¿Qué modelo es mejor? Explicar.

76. Modelo matemático La tabla muestra la fuerza de fricción yen kilogramos de un vehículo de motor a las velocidades x, enkilómetros por hora, indicadas.

a) Utilizar el programa de regresión de una graficadora parahallar un modelo cuadrático de regresión por mínimoscuadrados para los datos.

b) Utilizar el modelo para estimar la fuerza total de fricción cuan-do el vehículo está en movimiento a 80 kilómetros por hora.

En los ejercicios 77 y 78, utilizar multiplicadores de Lagrangepara localizar y clasificar todos los extremos de la función.

77.


78.


79. Costo mínimo Se va a construir un conducto para agua que vadel punto P al punto S y que debe atravesar por regiones dondelos costos de construcción difieren (ver la figura). El coste porkilómetro en dólares es 3k de P a Q, 2k de Q a R y k de R a S.Para simplificar, sea k = 1. Utilizar multiplicadores de Lagrangepara localizar x, y y z tales que el costo total C se minimice.

80. Investigación Considerar la función objetivo ƒ(x, y) � ax �by sujeta a la restricción Suponer que y

son positivas.

a) Utilizar un sistema computacional para álgebra y represen-tar gráficamente la restricción o ligadura. Si y utilizar el sistema computacional para álgebra y representargráficamente las curvas de nivel de la función objetivo.Mediante ensayo y error, hallar la curva de nivel que pareceser tangente a la elipse. Utilizar el resultado para aproximarel máximo de f sujeto a la restricción o ligadura.

b) Repetir el apartado a) con y b � 9.a � 4

b � 3,a � 4

yxx264 � y236 � 1.

x � 2y � 2

z � x2y

x � y � z � 1

w � xy � yz � xz

y � a � b ln t.�ln t, y�

�ln t, y�.

z � x2 � y2.

f �x, y� � 4x � xy � 2y

C � 0.25x12 � 10x1 � 0.15x2

2 � 12x2.

x2x1

P�x1, x2� � R � C1 � C2.

R � �225 � 0.4�x1 � x2��x1 � x2�.

C2 � 0.03x22 � 15x2 � 6100

C1 � 0.05x12 � 15x1 � 5400

x2x1


Minutos, 1 2 3 4

Rendimiento, 1.5 7.4 10.2 13.4y

t

Minutos, 5 6 7 8

Rendimiento, 15.8 16.3 18.2 18.3y

t

Velocidad, 25 50 75 100 125

Fuerza de fricción, 28 38 54 75 102y

x

5 400

6 100

1. La fórmula de Heron establece que el área de un triángulo conlados de longitudes a, b y c está dada por

donde como se muestra en la figura.

a) Utilizar la fórmula de Heron para calcular el área del trián-gulo con vértices y

b) Mostrar que de todos los triángulos que tienen un mismoperímetro, el triángulo con el área mayor es un triángulo equi-látero.

c) Mostrar que de todos los triángulos que tienen una mismaárea, el triángulo con el perímetro menor es un triánguloequilátero.

2. Un tanque industrial tiene forma cilíndrica con extremos he-misféricos, como se muestra en la figura. El depósito debe al-macenar 1 000 litros de fluido. Determinar el radio r y longitudh que minimizan la cantidad de material utilizado para laconstrucción del tanque.

3. Sea un punto en el primer octante en la superficie

a) Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie en elpunto

b) Mostrar que el volumen del tetraedro formado en los tresplanos de coordenadas y el plano tangente es constante, inde-pendiente del punto de tangencia (ver la figura).

4. Utilizar un sistema computacional para álgebra y representar lasfunciones y en la misma pantalla.

a) Mostrar que

y

b) Hallar el punto en la gráfica de f que está más alejado de lagráfica de g.

5. Considerar la función

y el vector unitario

¿Existe la derivada direccional de f en P(0, 0) en la dirección deu? Si f (0, 0) fuera definida 2 en lugar de 0, ¿existiría la deriva-da direccional?

6. Un cuarto caliente de almacenamiento tiene la forma de unacaja rectangular y un volumen de 1 000 pies cúbicos, como semuestra en la figura. Como el aire caliente sube, la pérdida decalor por unidad de área a través del techo es cinco veces mayorque la pérdida de calor a través del suelo. La pérdida de calor através de las cuatro paredes es tres veces mayor que la pérdidade calor a través del suelo. Determinar las dimensiones delcuarto que minimizan la pérdida de calor y que por consi-guiente minimizan los costos de calefacción.

7. Repetir el ejercicio 6 suponiendo que la pérdida de calor através de las paredes y del techo sigue siendo la misma, pero elsuelo se aísla de manera que no hay ninguna pérdida de calor através del mismo.

8. Considerar una placa circular de radio 1 dada por como se muestra en la figura. La temperatura sobre cualquierpunto de la placa es

a) Dibujar las isotermas

b) Hallar el punto más caliente y el punto más frío de la placa.

9. Considerar la función de producción de Cobb-Douglas

a) Mostrar que satisface la ecuación

b) Mostrar que .

10. Expresar la ecuación de Laplace en coor-

denadas cilíndricas.

�2u�x2 �

�2u�y2 �

�2u�z2 � 0

f �tx, ty� � t f �x, y�

x �fdx

� y �fdy

� f.f

0 < a < 1.f �x, y� � Cxay1�a,

T�x, y� � 10.

T�x, y� � 2x2 � y2 � y � 10.P�x, y�

x2 � y2 ≤ 1,

u �1�2

�i � j�.

f �x, y� � � 4xyx2 � y2

,

0,

�x, y� � �0, 0�

�x, y� � �0, 0�

limx→��

� f �x� � g�x�� 0.limx→�

� f �x� � g�x�� 0

g�x� � xf �x� � 3�x3 � 1

P.

xyz � 1.P�x0, y0, z0�

�6, 0�.�3, 4�,�0, 0�,

s �a � b � c

2,

A � �s�s � a��s � b��s � c�

Solución de problemas 979

SP Solución de problemas

lím lím

11. Un proyectil es lanzado a un ángulo de 45° respecto a la hori-zontal y con una velocidad inicial de 64 pies por segundo. Unacámara de televisión se localiza en el plano de la trayectoria delproyectil, 50 pies detrás del sitio del lanzamiento (ver la figura).

a) Hallar las ecuaciones paramétricas de la trayectoria delproyectil en términos del parámetro t que representa tiempo.

b) Expresar el ángulo que la cámara forma con la horizontalen términos de x y y y en términos de t.

c) Utilizar los resultados del apartado b) para calcular

d) Utilizar una graficadora para representar en términos de ¿Es simétrica la gráfica respecto al eje del arco parabólicodel proyectil? ¿En qué momento es mayor el ritmo o veloci-dad de cambio de ?

e) ¿En qué momento es máximo el ángulo ? ¿Ocurre estocuando el proyectil está a su mayor altura?

12. Considerar la distancia entre el sitio del lanzamiento y elproyectil del ejercicio 11.

a) Expresar la distancia d en términos de x y y y en términosdel parámetro t.

b) Utilizar los resultados del apartado a) para hallar el ritmo ovelocidad de cambio de

c) Hallar el ritmo o velocidad de cambio de la distancia cuan-do

d) Durante el vuelo del proyectil, ¿cuándo es mínimo el ritmoo velocidad de cambio de d? ¿Ocurre esto en el momento enel que el proyectil alcanza su altura máxima?

13. Considerar la función

a) Utilizar un sistema computacional para álgebra y represen-tar gráficamente la función empleando y eidentificar todos los extremos o puntos silla.

b) Utilizar un sistema computacional para álgebra y representargráficamente la función empleando y e iden-tificar todos los extremos o puntos silla.

c) Generalizar los resultados de los apartados a) y b) para lafunción f.

14. Demostrar que si f es una función diferenciable tal que

entonces el plano tangente en es horizontal.

15. La figura muestra un rectángulo que tiene aproximadamentecentímetros de largo y centímetro de altura.

a) Dibujar una franja rectangular a lo largo de la región rec-tangular que muestre un pequeño incremento en la longitud.

b) Dibuje una franja rectangular a lo largo de la región rectan-gular que muestre un pequeño incremento en la altura.

c) Utilizar los resultados en los apartados a) y b) para identificarla medida que tiene mayor efecto en el área A del rectángulo.

d) Verificar analíticamente la respuesta dada en el apartado c)comparando los valores de cuando y cuando

16. Considerar convertir un punto encoordenadas polares a coordenadas rectangulares

a) Utilizar un argumento geométrico para determinar si laexactitud en x depende más de la exactitud en r o de la exac-titud en θ. Explicar. Verificar analíticamente la respuesta.

b) Utilizar un argumento geométrico para determinar si la exac-titud en y depende más de la exactitud en r o de la exactituden Explicar. Verificar analíticamente la respuesta.

17. Sea una función de una variable diferenciable. Mostrar quelos planos tangentes a la superficie se cortan en unpunto común.

18. Considerar la elipse

que encierra el círculo Hallar los valores de a yb que minimizan el área de la elipse.

19. Mostrar que

es una solución a la ecuación de ondas unidimensional

20. Mostrar que

es una solución a la ecuación de ondas unidimensional

(Esta ecuación describe la vibración transversal pequeña de unacuerda elástica como las de ciertos instrumentos musicales.)

�2u�t2 � c2

�2u�x2.

u�x, t� �12

� f �x � ct� � f �x � ct��

�2u�t2 �

�2u�x2.

u�x, t� �12

�sin�x � t� � sin�x � t��

x2 � y2 � 2x.

x2

a2 �y2

b2 � 1

z � y f �xy�f

�.

�x, y�.�18 ± 0.05��5 ± 0.05,

dh � 0.01.dl � 0.01dA

h � 1l � 6

�x0, y0�

f �x0, y0� � 0

� 2,� � �1

� 2,� � 1

f �x, y� � ��x2 � y2�e��x2�y2�, 0 < �� < .

t � 2.

d.

d

�

�

t.�

d�dt.

�


[sen sen

P.S. Problem Solving 981

P.S. Problem Solving See www.CalcChat.com for worked out solutions to odd-numbered exercises.

funciones de varias variables · 884 capÍtulo 13 funciones de varias variables sección 13.1...

Documents