notas funciones de varias variables

7/24/2019 Notas Funciones de Varias Variables

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Notas de clase R. Urbn

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Facultad de economa Matemticas I

Funciones en varias variables.

En muchas situaciones en la vida real, se requiere trabajar con modelos econmicos que

necesariamente consideran ms de una variable en forma simultnea. Las funciones de

varias variables son necesarias para explicar procesos complejos. Por ejemplo, la cantidadde dinero que obtenemos al final del ao si invertimos en bonos depender del tipo de

inters, pero tambin de la cantidad invertida. La demanda de un bien depende del

precio, renta, gustos y de los precios de los bienes complementarios. Este tipo de

funciones son muy importantes en economa porque muchas variables de inters con las

que usualmente trabajamos estn funcionalmente relacionadas con otras variables. En

macroeconoma tenemos, por ejemplo, que el consumo se considera que es una funcin

del nivel del ingreso y la tasa de inters o que la demanda de saldos monetarios es una

funcin del nivel del producto de la economa, de la tasa de inters y de la tasa de

inflacin. En microeconoma, la demanda de un bien depende del precio del mismo bien,los precios de los bienes sustitutos y complementarios, del ingreso del consumidor. Para

simplificar nuestro anlisis vamos a referirnos exclusivamente a funciones de dos

variables.

Funcin de dos variables.

Una funcin(,)de dos variables con dominio 2, es una regla que asigna acada par ordenado de nmeros reales (x, y) perteneciente a un conjunto D un nico

nmero real a cada punto (,) . El conjunto D es el dominio de la funcin y losvalores que toma =(,)es el rango de la funcin.Al igual que en el caso de funciones de una variable, suponemos que a menos que se digalo contrario, el dominio de una funcin definida por una regla o frmula son los valores delas variables para los cuales la frmula tiene sentido y da un valor nico. En particular, lasfunciones que tratamos en economa, hay restricciones explicitas o implcitas de variacinde las variables; por ejemplo, la no negatividad de las variables

Suponga una cooperativa rural que produce caf inorgnico y orgnico. El costo deproducir un kilo de caf inorgnico es de 15 pesos y el orgnico es de 24 pesos. La

cooperativa tiene costos fijos mensuales de 4000 pesos.a) Encuentre el costo mensual de produccin de ambos tipos de caf.b) Si la cooperativa coloca en el mercado el caf inorgnico en 60 pesos y el orgnico en75, obtenga la funcin de utilidad.


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a) El costo de produccin de kilos de inorgnico y kilos de orgnico es de 15yde 24 respectivamente.(,) = + (,) = 4000 + (15 + 24)

b) Para encontrar la funcin de utilidad, primero encontramos la funcin de ingreso

total para los dos tipos de caf.(,) =1 + 2(,) = 60 + 75Finalmente la utilidad est dada por la diferencia entre =(,) = =(,) = 60 + 75 (4000 + 15 + 24) =(,) = 45 + 51 4000

Las variables y son las variables independientes mientras que la funcin de utilidad es la variable dependiente. Como en el caso de funciones de una variable, el dominio de lafuncin tiene que estar especificado de manera que sea vlida en el campo de los

nmeros reales. Cuando se trata de funciones de aplicacin en economa, el dominio de lafuncin debe tener, adems, sentido econmico.

El dominio en el caso de funciones de varias variables ya no se define por un intervalo depuntos, tenemos que trabajar en un plano cartesiano.

Los dominios son ahora figuras planas.

:

(,) (,)

Ejemplo: Calcular el dominio de las siguientes funciones y representar en forma grfica.

a)(,) = + 42 4 , Se nos pide calcular el dominio de(,), surepresentacin en un grfico y calcular cuando

(2,0),

(

2

2, 2)

Solucin Los valores que tendran sentido son para aquellos que el radicando sea mayor oigual que cero,

+ 42 4 0 + 42 4


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De esta manera el dominio es el conjunto de lospares (,) tales que + 42 4, es decir(,) = {(,)/ + 42 4}Para obtener su grfica, supondremos en primer

lugar la funcin como una ecuacin tal que + 42 = 4 y la rescribimos como = 4 42.Trazamos la curva, que es una parbola que abrehacia abajo con vrtice en (0,4)

La regin que determina el dominio es el conjuntode puntos que satisface la desigualdad + 42 4y todos los puntos que estn en lasparbolas superiores.

b)(,) =(4 2 + )Para que la funcin est bien definida y sea un nmero realse tiene que cumplir que 4

2

+

> 0, entonces:

={(,) / 4 2 + > 0}Sabemos que la representacin grfica de esta regin del plano es un

semiplano por ser una desigualdad lineal. Para determinar el semiplano

rpidamente, primero graficamos la recta 4 2 + = 0, punteada pues lospuntos sobre la recta no satisface la desigualdad.

Luego tomamos un punto de prueba fuera de la recta, si este punto satisface ladesigualdad el semiplano es donde est este punto, en caso que no se cumpla ladesigualdad el conjunto solucin es el otro semiplano.


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El punto escogido es de nuevo (0,0)porque est fuera de la curva 4 2 + = 0. Comoel punto (0,0)satisface la desigualdad 4 2 + > 0, entonces el dominio de la funcines el semiplano que contiene el origen. De nuevo insistimos, se ha dibujado la recta4 2 + = 0en forma punteada para indicar que ella no pertenece al dominio de lafuncin.

Grfica de funciones bivariadas

Representar grficamente una funcin de varias variables solo es posible para funcionesde 2. La funcin: (, ) (,) se representa en un espacio de tresdimensiones por la ecuacin =(,). Dibujar estas funciones a mano no es simplepero podemos facilitar su trazo para algunos tipos de funciones1.

Un punto en el espacio tridimensional de 3, serepresenta por una terna ordenada de nmeros(

0,

0,

0). Los tres ejes coordenados,

determinan los tres planos de coordenadas,para cuando = 0, si = 0 y para lasternas que se forman con un valor de = 0. Estostres planos se cruzan en el punto (0,0,0) ydividen el espacio de tres dimensiones en ochopartes (2donde n es la dimensin del espacio).

Para dibujar una recta en el plano tridimensional, por ejemplo la recta que une los puntos(10, 3,5)y (3,6,12)se ve as en el plano.Las rectas CD y EF son proyecciones de la recta AB sobrelos planos XY y XZ respectivamente. La primera une lospuntos (10,3, 0)y D(3,6,0) y la segunda E(10,0, 5)yF(3,0,12).

1Existen una gran variedad de programas de computadora que nos permiten obtener grficos de funciones

complejas con una gran calidad, como; MAPLE, MATHCAD, MATHEMATICA, Scientific Workplace, etc.


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Curva de nivel

Una manera de visualizar una funcin de dos variables y de particular inters en la Economa sonlas llamadas curvas de nivel. Estas se caracterizan porque en el contorno de la curva el valor de

(

,

) es constante. Para trazar una curva de nivel se toma un valor fijo de la variable

dependiente y se calculan las diferentes combinaciones de las dos variables independientes queproducen el valor fijo de la variable dependiente; es decir se dan cortes horizontales a la grfica y apartir de estos cortes se construye la grfica.

Si tenemos la funcin =(,) = 1 2 2, para encontrar su representacin grfica pormedio de curvas de nivel, podemos separar la funcin de esta manera

2 + 2 = 1 Es la ecuacin de una circunferencia en donde puede tomar cualquier valor comprendido entre(, 1], no tendra sentido un valor de > 1. De esta manera habra una familia decircunferencias con centro en el origen y radio = (1 ). As,

Radio r Curva de nivel tipo de curva = 0 {(, 2; 2 + 2 = 0} Es el punto(0,0) = 1 {(, 2; 2 + 2 = 1} Circunferenciade radio r=1 = 2 {(, 2; 2 + 2 = 4} Circunferenciade radio r=2 = 3 {(, 2; 2 + 2 = 9} Circunferenciade radio r=3

= 4 {(

,

2;

2 +

2 = 16} Circunferencia

de radio r=4

En tres dimensiones la grfica se visualizara as,


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Otra forma de encontrar la grfica de una funcin bivariada es la siguiente. Consideremos lasiguiente funcin. (,) = 16 42 2Para realizar el trazo de esta funcin, empezamos por fijar el valor de una de las variables, porejemplo

= 0, de esta manera la funcin que nos queda es,

=(,) = 16 42 0 = 16 42Tenemos una ahora una funcin de dos variables, que corresponde a la de una parbola que abrehacia abajo construimos para su grfico la siguiente tabla.

16 420 16

.5 151 12

1.5 72 0

Repetimos ahora con un valor de x=0, la tabla devalores es la siguiente,

16 20 16

1 15

2 123 7

4 0

Esta ltima grafica representa solamente un trazo de la funcin, podemos repetir trazos paradiferentes valores de x y de y al final tendramos una grfica como la siguiente,


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En una curva de nivel la funcin mantiene un valor constante, lo que explica las diferentes formasque toma en la economa.

Curvas de indiferencia o de preferencia. Se definen cuando la funcin bajo consideracinrepresenta conjuntos de bienes para los que la satisfaccin del consumidor es la misma entodos los puntos. Recordemos que la funcin de utilidad es una forma de representar laspreferencias del consumidor.

Isocuantas. En estas la funcin en cuestin es la funcin de produccin. Representadiferentes combinaciones de factores, como podran ser el trabajo y el capital, queproporcionan en cualquier punto de la curva un mismo nivel de produccin.

Curvas de isocoste. Si la funcin de inters es el costo, esta funcin nos expresa lasdiferentes combinaciones de factores de produccin, por ejemplo de capital y de trabajo,que se pueden adquirir con el mismo gasto total. Las lneas de isocostos son rectas,afirmndose con esto que la empresa no tiene control sobre los precios de los insumos,aunque los precios sean iguales, no importa cuntas unidades se compren.

Funciones de produccin

Las funciones de produccin son un caso muy claro de funciones de varias variables.Sabemos que la funcin de produccin es una relacin que asocia la cantidad producidade diferentes elementos, o factores, necesarios para la produccin. Se distinguen dosfactores de produccin, las cantidades empleadas de capital ()y el trabajo (). El capitalincluye todos los bienes duraderos (herramientas, mquinas, edificios, etc.) utilizado porel productor para producir otros bienes. La funcin de produccin de un bien puedeescribirse en forma general =(, ).Una funcin de produccin muy usual en Economa es La funcin de produccin llamadaCobb-Douglas2. Esta funcin relaciona funcionalmente a los insumos de capital y trabajonecesarios para producir de la manera ms eficiente posible una determinada cantidad deun bien:

=(, ) =; , > 0; , 0, > 0K y L representan las cantidades de capital y trabajo respectivamente, y sonconstantes; tambin A es una constante, que representa el estado de la tecnologa. Yes la

2

A finales de los aos cuarenta, dos economistas keynesianos, Sir Roy Harrod en Gran Bretaa y Evsey D.Domar en Norteamrica, desarrollaron de forma independiente un anlisis del crecimiento econmico quees conocido como el modelo Harrod-Domar. Es la funcin de produccin neoclsica por excelencia. Para unestudio sobre las diferentes visiones se puede consultar el artculo de Valle B, Alejandro, PRODUCTIVIDAD:LAS VISIONES NEOCLASICA Y MARXISTA, Revista Investigacin Econmica, 198, octubre-diciembre de 1991,pp 45-69, Mxico.


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cantidad mxima del bien que se puede producir dados los insumos utilizados de capital ytrabajo.

Supongamos que tenemos la funcin de produccin = 1.010.250.75. La vamos aanalizar utilizando curvas de nivel. Tomemos un valor fijo de

= 100 y calculamos todos

las combinaciones de K y L que producen ese resultado. Es decir podemos escribir lafuncin as;

100 = 1.010.250.75Despejamos el valor de K,

= 1001.010.75

10.25

Tenemos ahora una funcin en una variable independiente. Con esta formulaencontramos los valor de K para un conjunto de valores de L, en una representacin

grfica,

L k

100 96.1

110 72.2

120 55.6140 35.02150 28.5

160 19.56180 16.48

200 12.01

A esta curva de nivel se le denomina Curva de Isoproducto o Isocuanta, porque a lolargo de ella el producto es el mismo, en este caso igual a 100. La isocuanta puedeinterpretarse como las combinaciones o tcnicas posibles de capital y trabajo paraproducir de manera eficiente 100 unidades. Cul de esas combinaciones escoger elproductor si tiene que producir 100 unidades? Eso depender de los precios relativos delcapital y del trabajo. Si el capital es caro en relacin con la fuerza de trabajo, entonces seusar ms capital que trabajo que en otra circunstancia en la que el capital sea barato enrelacin con el trabajo. En la grfica anterior podemos dibujar numerosas (infinitas) curvasde nivel que corresponden a la misma funcin pero para valores de Y diferentes de 100.

La siguiente grfica muestra las curvas Isocuantas a diferentes niveles de produccin.


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Derivadas parciales

Para una funcin de dos variables con (,) asociados a (,), podemos estudiar laexistencia en cada punto (0,0)de su dominio la existencia de dos derivadas llamadasderivadas parciales. Si dejamos una variable fija por ejemplo variamos la otra, de estamanera tendremos una funcin de una variable ya que las otras sern consideradas comoconstantes,() =(0,0), donde 0es una constante, que para nuestro caso vale .Visto de esta manera, la funcin es una funcin numrica de una variable real sifijamos la variable a un cierto valor 0y la derivada de esta funcin es, con la notacinde Leibniz,

(

0,

0)

As, sies una funcin de dos variables y , la derivada parcial decon respecto a oest definida por,

(0,0) = lim0(0 + ,0) (0,0) (0,0) = lim0(0,0 + , ) (0,0) Siempre que los lmites existan.

El smbolo se lee derivada parcial de con respecto a x. Otras notaciones

comnmente utilizadas sonoy tambin o para referirse a las parciales decon respecto a y respectivamente.


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Las derivadas parciales pueden obtenerse si aplicamos las mismas reglas utilizadasen la evaluacin de las derivadas para una sola variable. Solo debemos recordar queexcepto la variable de derivacin el resto de las variables deben ser consideradas comoconstantes.

Ejemplos. Calcule y para las siguientes funciones.a)(,) =3 + 33 + 52

Seguimos las mismas reglas que para las derivadas de una variable. Primero

calculamos, recordemos que la variable y se comporta como una constante,

entonces, (3 + 33 + 52) = (3) + (33) + (52)= 3

2 + 3

3

(

) + 0

= 32 + 33 (3 + 33 + 52) = 0 + 3 (3) + (52)= 92 + 10

b)(,) = +Ahora aplicamos la regla del cociente,

2 +

2 = (2 +2) () () (2 +2)

(

2 +

2)2

=(2 + 2) ()(2)(2 + 2)2 = 2 + 3 22(2 + 2)2 = 3 2(2 + 2)2

Para la parcial decon respecto a procedemos de manera similar, 2 + 2 =

(2 + 2) () () (2 +2)(2 +2)2

=(2 + 2) ()(2)

(2 + 2)2 = 3 + 2 22(2 + 2)2 = 3 2(2 + 2)2c)

(

,

) = (

33

2)

5

Aplicamos la regla de la potencia generalizada. (3 32)5 = 5(3 32)4 (3 32)= 5(3 32)4(32) = 152(3 32)4


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(3 32)5 = 5(3 32)4 (3 32)= 5(3 32)4(6) =30(3 32)4

d) (,) =3 + 22Nuevamente aplicamos la regla de la potencia generalizada

(3 + 22)1 2 = 12 (3 + 22)121 (3 + 22)=

1

2(3 + 22)12(32) = 32

23 + 22 (3 + 22)1 2 = 12 (3 + 22)121 (3 + 22)=

1

2(3 + 22)12(4) = 4

23 + 22Las derivadas parciales pueden ser evaluadas en un punto especfico (0,0), como en lossiguientes ejemplos,

a)(,) =3 , evaluar en(2,1)y(3,1)Primero obtenemos las derivadas parciales y al final evaluamos en el punto sealado. (3 )(2,1) =3 () () =3 al evaluar tenemos (3 )(2,1) = 1 2 y la parcial decon respecto a (3 )

(3,1) = (3) () = 32 al evaluar tenemos

(3

)(3,1) = 9 33

b)(,) = ln ( + 3)Aplicamos la regla de la multiplicacin y despus evaluamos, ( ln ( + 3))(1,3) = (ln ( + 3)) + (ln ( + 3)) ()

= 0 + [ln ( + 3)] al evaluar tenemos=1 ln(6) = 2.718(1.791) = 4.87

( ln ( + 3))

(

1,

3)

=

(ln ( + 3)) + (ln ( + 3))

()

= + 3 + 0 al evaluar tenemos=16

= 0.453


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Ejercicios.

1. Encontrar los dominios de las siguientes funciones

a.(,) =9 2 + 2b.

(

,

) =

2

9 +

9

2

2. Obtener la grfica de las siguientes funciones, utilizando curvas de nivel para losvalores de k que se indican.

a.(,) =2 + 2 para los valores de = 0,1,2,3b.(,) = 22 + 2 para los valores de = 0,1,2,3c.(,) =2 2 para los valores de =1,0,1,2,3

3. Para cada una de las siguientes funciones, obtenga sus derivadas parciales.

a.(, ) =2 523b.(, ) =2 + 3 4, = (2,7) = (3,1)c.(, ) =+d.

(

,

) = ln(

+ 3

)

e. (,) =3 ln Interpretacin geomtrica de las derivadas parciales.

La interpretacin geomtrica de las derivadas parciales es anloga a la de las funciones deuna variable. Si tenemos la funcin(,), su representacin grfica en un espacio 3. Sise mantiene, digamos =0 entonces(,0) es la ecuacin de la grfica de estafuncin y el plano =0. En este plano(,0)se puede calcular la recta tangente encualquier punto 0(0,0, 0). Para encontrar la pendiente en un punto de un plano

=

0, obtenemos la derivada parcial de la funcin con respecto a

. De manera anloga

para encontrar la pendiente en un punto del plano =0, obtenemos la derivada parcialde la funcin con respecto a .


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Derivadas parciales y tasa de cambio. Derivadas de primer orden.

De manera similar a las derivadas de una funcin

=

(

), la derivada parcial

(,)

mide la tasa de variacin de la funcin cuando cambia. En otras palabras, si la variable permanece constante e incrementamos en una unidad, se produce un cambio en lafuncin(,) que es aproximadamente igual a (,) . Algo similar ocurre cuando lavariable que vara es , la tasa de variacin es (,) . As, las derivadas parciales puedenemplearse para aproximar los cambios de valor de la variable dependiente si se produceun cambio en una de las variables dependientes.

Supongamos que una empresa, durante un periodo de tiempo, la funcin de

produccin es

(

,

) = 56

3 4

1 4 , donde

son las unidades que requieren de mano

de obra, adems

representa las unidades de capital que son necesarios para producir

un cierto nmero de artculos.

a) Determinar las derivadas parciales,(,) y(,)

b) Evaluary cuando = 81, = 16

c) Interpretar los resultados

Solucin,

a)(,)

= 56

34

1 4

1 4 = 42

(,) = 56 14 3 43 4 = 14 b)

(81,16) = 42 (16)

(81) = 28(81,16) = 14 (81)

(16) =1894 c) La productividad marginal del trabajo

(,) es de 28, si el capital es de 16 yse incrementa el trabajo en una unidad. Por otro lado, la productividad

marginal del capital(,) es de 1894 cuando el trabajo aumenta en una

unidad y el trabajo se fija en 28 unidades. Estas productividades marginales son

siempre positivas; sin embargo, , disminuyen si el capital o el trabajorespectivamente aumentan


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Costo y productividad marginal.

Una funcin de costo conjunto es aquella en la que se concentran los costos totales deproduccin de dos o ms artculos similares, y que pueden diferir en su presentacin final,su sabor, aroma, o cualquier cosa que los haga distintos en la forma de presentarse alconsumidor, pero que su proceso de produccin sea bsicamente el mismo.

Si la funcin de costo conjunto de producir las cantidades xy yde dos satisfactores estdeterminada por:

C(x,y)

entonces las derivadas parciales de C son las funciones de Costo Marginal; as

x

C

es el costo marginal con respecto ax

yC

es el costo marginal con respecto a y

El costo marginal con respecto a x (x

C

), proporciona informacin sobre los incrementos

en los costos totales de produccin cuando se altera la fabricacin del artculo xmientrasla produccin de y se mantiene constante. De manera similar, el costo marginal con

respecto a y (y

C

), representa los incrementos en el costo total cuando aumentamos la

produccin del artculo y, manteniendo la fabricacin dexconstante.

EJEMPLOUn fabricante produce 3 unidades de un artculoxy 6 unidades de un artculo y.Los costosde produccin se comportan de acuerdo a la funcin C(x, y) = 15 + 2x2 + xy + 5y2. Si sedesea incrementar la produccin total a 10 unidades, tomando una de las opciones de latabla, determinar la opcin ms conveniente.

Produccin x y total

Actual 3 6 9

Opcin 1 4 6 10Opcin 2 3 7 10

La opcin 1 propone incrementar la produccin de xde 3 a 4 y mantener a yconstante en6. Mientras que la opcin 2 propone incrementar a yde 6 a 7 manteniendo a xconstanteen 3. La opcin a escoger ser aquella que incremente los costos lo menos posible. Parasaberlo, requerimos los costos marginales de cada producto:


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x

C

= 4x + y. Para x = 3, y = 6,

x

C

= 18

y

C

= x + 10y. Para x = 3, y = 6,

y

C

= 63

Esto significa que incrementar el producto x manteniendo a y constante (opcin 1),incrementa los costos totales en $18, mientras que incrementar el producto ymanteniendo axconstante (opcin 2), incrementa los costos totales en $63, por lo que laopcin 1 resulta la ms indicada.

SUPERFICIE DE DEMANDA

Si se consideran dos bienes relacionados para los cuales las cantidades demandadas sonxy y, siendo p y q los respectivos precios, entonces las funciones de demanda puedenrepresentarse por

x = f(p, q) y y = g(p, q)

Suponiendo que las cantidades demandadas,xy y, dependen solamente de los precios,py q, de los artculos. Si estas funciones son continuas, podrn ser representadas como unasuperficie denominada superficie de demanda.

Una funcin de demanda proporciona informacin sobre el comportamiento de las ventas

de un artculo dependiendo de su precio unitario. En las funciones de demanda quehemos estudiado en captulos anteriores, las ventas estaban en funcin de su propioprecio, de manera que sus incrementos o disminuciones, eran provocados slo porcambios en los precios unitarios. En esta seccin veremos que, a pesar de que el precio deun artculo no cambie, sus ventas pueden variar, esto por la influencia que tiene sobre elartculo, el precio de otro con el cual se relaciona.

Dos artculos en el mercado, pueden relacionarse de alguna de las dos formas siguientes:

Relacin competitiva.- Ocurre cuando los artculos se sustituyen, es decir, para satisfacer

una necesidad, se compra el artculo x el artculo y, pero no los dos a la vez, ya queambos satisfacen la misma necesidad.


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Relacin complementaria.- Ocurre cuando un producto requiere de algn artculoadicional para satisfacer una necesidad. En este caso se compra tanto el artculoxcomol ypara satisfacer una necesidad.

El objetivo en esta seccin es, a travs de ecuaciones de demanda conocidas, determinar

si los artculosxy y, guardan una relacin complementaria o competitiva.

En la funcin de demanda, x = f(p, q), la demanda del artculo x, depende no slo de suprecio p, sino que tambin se ve influenciada por q, que es el precio del artculo y. Deigual forma, en la funcin de demanda y = g(p, q), la demanda del artculo y, adems dedepender de su propio precio q, tambin los cambios en p, que es el precio dex, influyensobre ella. Las maneras como el precio de un artculo puede influir sobre la demanda delotro, aparecen en el siguiente cuadro.

Relacin Competitiva Relacin Complementaria

Precio Demanda Precio Demanda

p x p x

q y q y

En el cuadro anterior, las flechas indican el comportamiento del preciop, y el consecuentecambio en las demandas de los artculos xy y. En ambas relaciones, el incremento () enel precio p, provoca una natural disminucin () en la demanda de x, sin embargo, lainfluencia de p en la demanda de y, vara dependiendo de la relacin. En la relacincompetitiva, el incremento en p, provoca tambin un incremento en la demanda de y, yaque se deja de consumir x. En la relacin complementaria, la disminucin en el consumodel artculox, tambin provoca que el consumo de yse vea disminuido, ya que satisfacen

juntos una misma necesidad, y no tiene caso comprar slo uno de ellos. Ntese cmo enel cuadro, no se alter el precio q, as que se sabe que los cambios en las demandas, sedebieron exclusivamente a los incrementos del preciop. Si los incrementos hubieran sidoen el precio q, se hubieran registrado comportamientos similares en las demandas de xyy, en ambas relaciones.

Los comportamientos anteriores pueden observarse a partir de las ecuaciones dedemanda dexy de y. La herramienta para poder descubrir la relacin entre x y y, a partirde sus ecuaciones de demanda, es la llamada DemandaMarginal.

La demanda marginal proporciona informacin sobre el incremento o disminucin quesufre la demanda de un artculo por cada alteracin que experimenta su precio o el preciodel artculo con el cual se relaciona. Si la demanda marginal resulta positiva, significa queincrementos en el precio, provocan que la demanda aumente. Si resulta negativa, significaque incrementos en el precio, provocan que la demanda del artculo disminuya. Las


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demandas marginales se representan por las derivadas parciales de las ecuaciones dedemandax = f(p, q)y y = g(p, q).De cada ecuacin de demanda, resultan dos demandasmarginales:

=

p

xDemanda marginal del artculo x con respecto al precio p

=

q

xDemanda marginal del artculo x con respecto al precio q

=

p

yDemanda marginal del artculo y con respecto al precio p

=

q

yDemanda marginal del artculo y con respecto al precio q

De las cuatro demandas marginales,p

x

y

q

y

muestran el comportamiento de las

demandas con respecto a sus propios precios. Estas demandas no proporcionan

informacin acerca de la relacin entre x y y. En cambio,q

x

y

p

y

representan la

influencia de los precios de los artculos con los cuales se relacionan. Son los signos deestas demandas marginales los que nos dirn la relacin entre los artculosxy y.

Siq

x

y

p

y

son ambas positivas, entonces los artculos son competitivos.

Siq

x

y

p

y

son ambas negativas, entonces los artculos son complementarios.

Si los signos de las demandas marginales no son iguales, entonces los artculos no estnrelacionados.

Ejemplo. Suponer quepes el precio del artculoxy qel del artculo y, y que las ecuacionesde demanda para ambos artculos, se determinan por: = 13 5 + 2 , = 15 + 3Encontrar la naturaleza de la relacin entre los artculos x y y.

Para hacer esto, calculamos las correspondientes derivadas parciales;


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q

x

= 2 ,

p

y

= 1. Como ambas derivadas son positivas, concluimos que los artculos son

competitivos. Los valores numricos representan la magnitud del incremento en losartculos demandados por cada aumento en el precio.

Si las ecuaciones de demanda fueran:

= 20 2 , = 9 2q

x

= -1 y

p

y

= -1. Ambas derivadas son negativas, por lo que los artculos son

complementarios.

EJERCICIO 2

Para las siguientes funciones de demanda, encontrar la naturaleza de la relacin entre losartculosxy y(p es el precio dexy q es el precio de y).

1. x = 20 - 6p - 4q , y = 12 - 8p - 6q 4. x =3

2

2q

9p , y =

42p

5q

2. x = 10 - 8p + 2q , y = 4 - 3p - 2q

3. x = 8 - 5p + 3q , y = 7 + p - 5q 5. x =2pq

6 , y =

qp2

14

Productividad marginal

Si la cantidad de un cierto producto se obtiene utilizando las cantidades x y y,respectivamente, de dos factores de produccin, la funcin de produccin z = f(x, y)proporciona la cantidad de producto final z cuando se usan simultneamente lascantidadesxy yde insumos.

Las derivadas parciales del producto final zcon respecto a las cantidadesxy yde insumos,representan lasproductividades marginalesde cada material.

x

z

= Productividad marginal del insumo x

y

z

= Productividad marginal del insumo y


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19


La productividad marginal ser, entonces, el incremento que sufre la cantidad de productoterminado, por cada unidad de insumo que se agregue a la mezcla, manteniendo a losdems insumos constantes. Es la capacidad que tiene el insumo de incrementar elproducto terminado z.

Supongamos que la cantidad zde un artculo se produce mezclando las cantidadesxy ydemateriales. Tal produccin se calcula mediante la ecuacin

= 43 41 4 x

z

=

41

413/

/

x

y representa la productividad marginal del insumox

y

z

=

43

43

/

/

y

x representa la productividad marginal del insumo y

Cantidades precisas de insumo, dan mayor significado a la productividad. Por ejemplo, lafuncin de produccin de un artculo se determina por la funcin

= 4 + 32 22 + 200Se mezclan 3 unidades del insumoxcon 5 de y. Si sustituimos estas cantidades de insumoen z, obtendremos z = 237, que es la cantidad total de producto con esta mezcla. Pero sisustituimos estas mismas cantidades en las productividades marginales,

x

z

= 4y + 6x, para x = 3, y = 5,

x

z

= 38, que es lo que se incrementa la produccin de z

cuando agregamos una unidad ms del ingrediente x a la mezcla. De igual manera, la

productividad marginal de y, y

z

= 4x - 4y, que para x = 3, y = 5, es igual a - 8, indica una

reduccin de 8 unidades en el producto z, cuando agregamos una unidad adicional delinsumo y. Las productividades negativas se interpretan como reducciones en laproduccin total por habernos excedido en el insumo: demasiada agua, demasiadofertilizante, demasiados obreros en una sola lnea de produccin, tienden a perjudicar laproduccin en lugar de beneficiarla.

Ejercicios. Encontrar los costos marginales para las siguientes funciones de costoconjunto:

1) C (x,y) = x2(y + 10) 2) C(x, y) = (x + 2y)2+ (xy)1 / 2+ 53) C (x,y) = x 3+2y 2- xy + 20 4) C (x,y) = x 2y 2-3xy + y + 8


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Encontrar la naturaleza de la relacin entre los artculos

5) x = 15 - 2p + q 6) x = 5 - 2p + qy = 16 + p - q y = 8 - 2p - 3q

7)p

qx = 8)

2pq

4x =

q

py

2

= 2pq

16y =

Obtener las productividades marginales para cada una de las siguientes funciones deproduccin:

9)y

1

x

125z = 10) z = 80 + 4(x - 5) 2 + 2(y - 4) 2

11) z = 5xy - 2x2 - 2y2 12) z = 6x1 / 2y 1 / 2- 24y + x2+ 4y 2 + 50

RESPUESTAS

1)x

C

= 2x(y + 10),

y

C

= x2 2)

x

C

= 2(x + 2y) +

2/1

2/1

2x

y,

y

C

= 4(x + 2y) +

2/1

2/1

2y

x

3)x

C

= 3x2- y,

y

C

= 4y - x 4)

x

C

= 2xy2- 3y,

y

C

= 2x2y - 3x + 1

5)q

x

= 1,

p

y

= 1 competitivos 6)

q

x

= 1,

p

y

= - 2 sin relacin

7)p

1

q

x=

,

q

2p

p

y=

competitivos 8)

q

x

=

3pq

8,

p

y

=

22qp

16complementarios

9)2x

1

x

z=

,

2y

1

y

z=

10)

x

z

= 8(x - 5),

y

z

= 4(y - 4)

11)x

z

= 5y - 4x,

y

z

= 5x - 4y 12)

x

z

= 2x

x

3y2/1

2/1

+ ,y

z

= +

2/1

2/1

y

3x8y - 24

Elasticidad cruzada de la demanda.

La demanda de un artculo no solo es sensible a sus cambios de precio, sino tambinpuede verse afectada por el precio de otros artculos complementarios y sustitutos. Sitenemos dos artculos, las funciones de demanda,

=1(,) =2(,)


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Podemos calcular cuatro derivadas parciales

, , , Estas derivadas son las demandas marginales de cada artculo, A o B, con respecto a los

precios. Es decir , mide la cantidad en que la demanda del producto A crece porincremento unitario en el precio de producto B.

Si se fija el precio de B, en general un incremento en el precio , obliga a unadisminucin en la demanda de A. Es decir,

< 0Lo mismo ocurre para la demanda del producto B

Estas dos derivadas parciales pueden ser positivas en cuyo caso tendremos productoscomplementarios o bien negativas que nos indicara que los productos soncomplementarios.

Ejemplo, las demandas de dos productos son,

= 300 + 5 72 = 250 + 2 9Los productos son competitivos o complementarios?

Solucin, las derivadas parciales de los productos que requerimos son, = 5 = 2Las parciales son positivas, los productos son competitivos.

Supongamos dos artculos, A y B, para medir la variacin de la cantidad demandada de un artculoante las variaciones de los precios de los bienes relacionados con la elasticidad cruzada de lademanda, que se define de la forma siguiente:

Precio de la elasticidad de la demanda delbien = =


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Elasticidad cruzada de la demanda oelasticidad precio cruzada de la demandadel biencon respecto a al precio =

=

Donde

Es la razn del cambio porcentual de la demanda de

al cambio porcentual

en el precio decuando se fija el precio de . Por otro lado, mide la respuesta de lademanda del producto A al cambio en el precio de B, cuando el precio dese mantienesin cambio.

La elasticidad cruzada de la demanda puede ser positiva o negativa. Es positivasi la cantidad demandada del bien A aumenta cuando se incrementa el precio de B, . Eneste caso los bienes son competitivos.

Por lo contrario, si > 0los bienes son complementarios; es decir, una aumentodel precio del bien B provoca una cada en la demanda de A.

Ejemplo.a) Una empresa artesanal fabrica un dulce que tiene como funcin de demanda = 15 + 0.42 33. Donde es el precio de dulce que fabrica la empresa yes el precio de un dulce equivalente de la competencia.

Determine las elasticidades . Si el precio de los productos son, = 3y = 35.Para este ejercicio las derivadas parciales son, =92 = 0.8As, cuando

= 3y

= 35

=9(3)2 =81 = 28Las elasticidades son, si = 15 + 0.4(35)2 3(3)3 = 424

= = 3(81)424 0.57 = = 35(28)424 2.311Se interpreta como, un incremento del 1%en el precio del dulce de la empresa provocara

una cada del 0.57% en su demanda; por otro lado, un incremento del 1% en el precio dela competencia produce un aumento en la demanda del 2.311% en eldulce que fabrica la

empresa artesanal.
http://es.wikipedia.org/wiki/Demanda_%28econom%C3%ADa%29http://es.wikipedia.org/wiki/Demanda_%28econom%C3%ADa%29


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Derivadas de segundo orden.

Las derivadas de primer orden de una funcin =(1, 2, 3, ), tienen unaderivada de primer orden con respecto a .

1,

2,

3, . . . . . ,

Estas derivadas primeras, pueden a su vez volver a derivarse, estas nuevas derivadas sellaman derivadas parciales de segundo orden y as sucesivamente lo que define lasderivadas parciales de orden superior, con respecto a la variable 1.212 ,

212 , 213 , .

De la misma manera, las derivadas parciales con respecto a la variable 22

22,

2

21,

2

23, .

As, para una funcin de dos variables(, )las derivadas parciales segundas seran las4 cuatro siguientes, 22 , 22 , 2 , 2Las derivadas

, se les denominan, derivadas parciales mixtas o derivadas

cruzadas.

Teorema de Schwartz3.

Sea(,)una funcin en el espacio real 2. S,2 , 2Existen y son continuas, se puede demostrar que,

2

=

2

3 Tambin se lo conoce como teorema de Clairaut. Laurent Schwarts fue un matemtico francs, nacido en

Pars, 5 de marzo de 1915, su aporte mas conocido es sobre la teora de las distribuciones, Recibi lamedalla Fields en 1950. Referencia http://es.wikipedia.org/wiki/Laurent_Schwartz


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Ejemplo. Encontrar las derivadas parciales de las siguientes funciones,a)(,) = 23 + 32 44b)(,) =+ c)

(

,

) = 5

3

2 + 3

3

= 15

2

2;

= 30

2;

= 10

3

+ 9

3

= 103 + 273; = 302; = 302

Derivacin implcita

Muchos modelos econmicos consisten de funciones compuestas. Se trata de funcionesde varias variables que tambin son funciones de otras variables. Por ejemplo, Lacantidad producida puede ser funcin del capital y del trabajo y ambos a su vez sonfunciones del tiempo.

Suponga que es funcin de las variables y , dada implcitamente a travsde una ecuacin, por ejemplo (, , ) = 0 , y se quiere determinar la derivada de con respectos a alguna de las dos variables. Muchas veces resulta imposible despejar

en funcin de las otras dos variables. El mtodo de derivacin implcita no requiereel despeje de z para calcular las derivadas parciales de z con respecto ax y.Para encontrar la derivada de

de una funcin implcita, como por ejemplo,

2 32 +2 = 0, podemos partir del siguiente mtodo inicial.

1. Sustituimos el valor de en la funcin implcita por =(,), en el caso de dosvariables.

2. Calculamos la derivada con respecto 3. Recuperamos el valor de

sustituyendo

(

,

)por

Para nuestro ejemplo, hacemos lo siguiente,

((, )2 32 + 2) = 0

Seguimos los 3 pasos,

(, )2

32 +

2 = 0 recordemos que

()

=()1

()

De esta manera 2(,)

(,) 6 = 0

(,) = 6

2

(

,

)

Recuperamos el valor de y encontramos la derivada buscada, = 3 Una frmula alternativa para simplificar el proceso de derivacin parte de la regla de lacadena que veremos un poco ms adelante. Para tres variables esta regla nos dice que, si


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tenemos una funcin(,, ) si derivamos con respecto a una de las variables, porejemplo tendremos, + + = 0Es claro que

= 1y

= 0lo que nos queda,

+ = 0Despejamos la derivada que nos interesa,

=

Que es la frmula de clculo rpido que nos interesa. De la misma manera podemosobtener,

=

Para el ejemploanterior 2 32 + 2 = 0. Las derivadas parciales que se requierenson, = 2, =6 =32 + 2Sustituimos en las formulas rpidas y nos queda, = 62 = 3 = 32 22


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Regla de la cadena.

Recordemos que para derivar funciones compuestas de una sola variable, podemosutilizar la regla de la cadena. Si

=

(

)es una funcin diferenciable de

y

tambin es

una funcin de , por la regla de la cadena para funciones de una variable, = En el caso de varias variables, si tenemos una funcin =(,)con derivadas parcialescontinuas y las funciones derivables =(), =(), la regla de la cadena para estasfunciones compuestas es, = + Es tambin conocida como la derivada total de

con respecto a

Ejemplos,

a) Sea =(, ) = 22 + 2 + donde = 5 y =3encontrar Aplicamos la formula anterior de la regla de la cadena. = (4 + )(5) + (2 + )(32) = 20 + 5 + 62 + 32

Sustituimos las variables ,y nos queda,

= 20(5

) + 5

3 + 6

3

2 + 3(5

)

2 = 100

+ 5

3 + 6

5 + 15

3 =

= 65 + 203 + 100b) Si = + 21 2 41 2 donde = 4 3 =2 3 calcular Por la regla de la cadena tenemos =1 + 1 2 41 2 432+ 21 2 21 223 =

Una generalizacin de la regla de la cadena se da cuando =(,)y las variables y dependen de otras variables, por ejemplo y . En este caso, si las funciones tienenderivadas parciales continuas la funcin

=

(

(

,

),

(

,

)) y su derivada, de

acuerdo a la regla de la cadena sern igual a las siguientes derivadas parciales,

= + = +


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Ejemplo,

a) Encontrar ,de la funcin =2+ = (,) =32 = (,) = + 2

Aplicamos la regla de la cadena de acuerdo a su generalizacin,

= (22+) 2 32 + (2+)() =2+(2 2)Este resultado lo expresamos en trminos de y, as = 22

32 ++( ) = 23++( )= 2()( )

De la misma manera encontramos la derivada de

= (2

2+)

3

2

+ (

2+)(

+ 2

) =

2+(

3

+

+ 2

)

=22+( )Expresamos el resultado en trminos de y, =2232 ++( ) =2()( )

b) Una empresa manufacturera elabora dos tipos de chocolates, con almendras ()y con nuez (). La funcin de costos correspondiente a estos productos es,(,) = 0.02( + )3 0.1( + )2 + 3( + ) + 300Y las funciones de demanda = 125 2 0.12 ; = 130 0.12 22 Por la regla de la cadena calcular

. Evaluar este clculo para = 2 = 3


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Diferencial total.

Ya hemos mencionado que las derivadas parciales son tasas de cambio. Sirven paraconocer que tanto cambia una funcin con respecto a pequeos cambios de su variable.Si tenemos

y

pequeos en un punto (

,

). Un cambio en la variable

de

unidades,

produce un cambio en la funcin(,)de (,) unidades y un cambio en y de kunidades, aproximadamente de (,) unidades, no nos sorprende que ambascoordenadas cambien, este cambio es aproximadamente,

( + , + ) (, ) =(, ) + (,) La expresin del lado derecho es la diferencial total y depende de los valores de y y delas derivadas parciales. De esta manera,

( + , + ) (, ) =

+

Y las derivadas parciales son evaluadas parax = a

yy = b

, si solo tenemos dos variables.

Ejemplo. Una empresa que fabrica llantas para carros de juguete tiene un volumen deventas de acuerdo a la siguiente ecuacin.

v(w, p) = 2500 + 50(1 w)e2pDonde w es el gasto en mercadotecnia de la empresa y p el precio unitario de las llantas.Calcular las ventas totales si w = 12pesos y p = 1. A partir de este resultado estimar lasventas cuando la publicidad aumenta a 12.5 pesos y el precio se reduce a $0.90.

a) Para este caso las ventas totales son de v(12,1) = 2425.6. La estimacin de lasventas para v(12.5,0.9). Las parciales son,

fw =50e2p y fp = 100e2p(w 1)fw =50e2(1) =6.7668 y fp = 100e2(11) = 148.87Los valores de h y kson; h = . 5y k =.1 de esta manera

v(12.5,0.9) v(12,1) 6.7668(. 5) + 148.87(.1) = 2407.3Las ventas crecen en 2407.3El valor correcto es de v(12.5,0.9) = 2405, la diferencia, o error, es de 2.3

Aproximaciones.

La diferencial total tambin puede ser utilizada para obtener aproximaciones de unafuncin de dos variables.


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Mximos y mnimos.

Para determinar los puntos donde se alcanza un mximo o un mnimo en una funcin deuna variable y = f(x), partimos de las derivadas primera y segunda.

El caso de funciones de dos variables es similar al caso de funciones de una variable. Pordefinicin, una funcin tiene un mnimo local o relativo en (0,0) si el valor de lafuncin en este punto es menor a los valores que toma en los puntos vecinos. Es decir si(0,0) (,) para todo (,) en una regin que contenga a (0,0). Si nosfijamos en la grfica de la funcin que tiene un mnimo en un punto (0,0), vemos queen este punto el plano tangente es horizontal. La situacin es la misma para el mximo.

Los puntos mnimos relativos correspondengeomtricamente a los valles o baches y losmximos relativos a las crestas. En estospuntos las derivadas parciales son cero. En

otras palabras son puntos estacionarios. Por lotanto, para que una funcin f(x, y) tenga unmximo o un mnimo en un punto (x0, y0), esnecesario que la primera derivada de lafuncin sea,

f(x, y)x(x,y) = 0 f(x, y)y(x,y) = 0Estos puntos mximos o mnimos son

llamados valores extremos relativos o localesde la funcin4. El mximo valor que toma lafuncin se conoce como mximo absoluto y elmenor valor es el mnimo absoluto.

Los mximos o mnimos no sonnecesariamente los mximos o mnimosabsolutos de la funcin. Ms adelanteveremos condiciones necesarias y suficientespara que encontrar cuando tenemos un punto

mximo o mnimo absoluto.

4Algunos autores tambin les llaman puntos estacionarios


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Un tercer caso de puntos extremos son losllamados puntos silla, por la similitud de lagrfica con una silla de montar. Un punto silla

tiene mnimo desde un lado del eje y mximoen el otro eje.

Ejemplos, Encontrar los puntos extremos para los siguientes casos,

a)


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Ejercicios.a) Una empresa agropecuaria rural productora de leche y derivados lcteos, donde x

son los litros de leche, y los derivados, determinan que su ganancia puede

modelarse mediante la siguiente relacin funcional,(, ) = 60 + 120 0.0152 0.0152 0.01 5000Encontrar el nivel de produccin que proporciona una ganancia mxima. Cul esla ganancia mxima?En primer lugar, obtenemos las derivadas parciales de la funcin de beneficio eigualamos a cero para resolver el sistema

Px = 60 0.03x 0.01y 60 = 0.03x + 0.01yPy = 120 0.03y 0.01x 120 = 0.01x + 0.03y

Resolvemos el sistema de ecuaciones, multiplicamos la primera por

3

0.03x + 0.01y = 600.01x + 0.03y = 120

0.09x 0.03y =1800.01x + 0.03y = 120 x = 750y = 3750


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Este punto (750,3750) es un punto crtico. En este instante no podramosasegurar que es un punto mximo por lo que aplicamos el criterio de la segundaderivada.

Pxx =0.03 y Pxy =0.01P

yy=

0.03

De esta manera D = (0.03)(0.03) (0.01)2 = .0008mayor que cero por lotanto es un punto extremo y como Pxx =0.03es negativo el punto es mximo.Sustituimos este punto en la funcin de beneficio,

P(750,3750) = 60(750) + 120(3750) 0.015(750)2 0.015(3750)20.01(750)(3750) 5000 = 242, 500El beneficio mximo es de $242,500

Mnimos cuadrados.

Supongamos que una empresa cuenta con los siguientes datos obtenidos por su comportamientoen el mercado.

P 12 10 8 9Q 30 33 41 37

Estimar la ecuacin de demanda. Utilice un modelo lineal.

Este tipo de modelos son muy comunes en el anlisis econmico. La ms simple ser buscar laecuacin de la recta que mejor siga el comportamiento de los datos, por ejemplo = + . Porsupuesto que vamos a buscar una recta que se aproxime o que siga el comportamiento de los

puntos y lo que buscaremos es estimar la mejor, = + Por supuesto que hay muchas rectas que siguen el comportamiento de los datos, pero lo quebuscamos es la que se desve lo menos posible de estos datos; es decir que la suma de lasdistancias perpendiculares de la recta a cada una de los puntos sea mnima. Es decir

| ( + )|


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As que para encontrar la recta que mejor se ajuste y que minimiza el error tendremos queencontrar los valores de a y b que minimizan,

(, ) =( ( + ))2=1 Que se lee, la suma de cuadrados de los errores que se cometen al aproximar una rectasea mnima, el cuadrado se debe a que los distancias superiores son positivas y lasinferiores son negativas lo que hara que se anularan.


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Para el ejemplo anterior


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Multiplicadores de Lagrange

5

Cuando estudiamos las funciones de una sola variable independiente, observamos que esposible encontrar el nmero de unidades, produccin o venta, ms conveniente para queel costo, el ingreso o la utilidad sean ptimos.

Cuando trabajamos con funciones de varias variables, se puede seguir un proceso similarpara optimizar una funcin econmica. En muchos problemas tenemos restricciones quepueden afectar encontrar los valores ptimos reales, ya que partimos de restriccioneseconmicas, como, el monto a invertir, las condiciones tecnolgicas, etc. Como porejemplo, en un ejercicio anterior encontramos que para obtener un beneficio mximotendramos que producir

,

unidades; sin embrago quiz no contemos con los recursos

suficientes para obtener estos valores. En forma grfica sera equivalente a quetrazramos un plano adicional y tendramos que encontrar el valor ptimo de este plano.

Para incluir estas restricciones en un programa de optimizacin, utilizaremos un mtodoque trabaja con restricciones de igualdad, llamado mtodo de los multiplicadores deLagrange. Supongamos que se va a a optimizar la funcin f (x, y)con base en la restriccing(x, y)= 0. se forma as lafuncin objetivo

(,, ) =(,) (, )

5Matemtico francs de origen italiano, naci en Turn Italia en 1736. Estudi en su ciudad natal y hasta los

diecisiete aos no mostr ninguna aptitud especial para las matemticas. A los 19 aos, fue Profesor degeometra en la Academia Militar de Turn. Falleci el 10 de abril de 1813 en Pars.


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En la que la cantidad es el Multiplicador de Lagrange, el cual es independiente de lasvariables , . El multiplicador tambin se considera una variable que representa lamagnitud del cambio en la funcin objetivo por unidad de cambio en el lmite de larestriccin.

El proceso para determinar los puntos extremos parte de obtener las derivadas parcialesde (,, ) con respecto a las 3 variables x, y, y se igualan a cero las derivadasresultantes; luego se resuelve el sistema de ecuaciones resultante para encontrar losvalores de las variables ,. = = 0 = = 0

=(,) = 0

Normalmente, los valores numricos de, los multiplicadores de Lagrange, no se calculan,sirven solamente para determinar los valores de las variables.

En el caso de optimizacin restringida, para determinar si un punto es mximo o mnimo,el criterio de la segunda derivada cambia un poco. Si < 0, el punto crtico puede serrealmente un mximo o un mnimo de la restriccin aunque sea un mximo o un mnimode la funcin objetivo.

Para considerar que un punto crtico (0,0)se requiere que,1) Las primeras derivadas = 0 = 02) Para determinar si el punto crtico es un mximo o un mnimo restringido,

(0,0) =(0,0)(0,0) 2 (0,0)Si (0,0) > 0, es un mximo si(0,0) < 0 (0,0) < 0

Es un mnimo si(0,0) > 0 (0,0) > 0Si (0,0) 0la prueba no es concluyente y se debe investigar la funcin cercadel punto crtico en el cual se evalan.

Ejemplos.

a) Obtener el mnimo restringido de la funcin(, ) = 52 + 62 con base enla restriccin + 2 = 24.


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(,, ) = 52 + 62 ( + 2 24) = 10

= 12

2

= + 2 24

Igualando a cero cada una de las derivadas parciales, tendremos

0242

0212

010

=+

=

=

yx

xy

yx

Sistema cuya solucin es = 6, = 9, por lo que (6,9)es un punto extremo querequiere que demostremos si es mnimo de

(

,

). Utilizaremos el criterio de la

segunda derivada visto con anterioridad.22 = 10 22 = 12 2 =1 = (19)(12) 1 = 119 > 0 es un punto extremoLa derivada

> 0, el punto extremo (6,9) es un mnimo restringido.b) Encontrar el mximo restringido de(,) = 2 32 2 con base en la

restriccin + = 16(,, ) = 2 32 2 ( + 16) = 2 2 = 2 6 = ( + 16)

Igualando a cero cada derivada parcial y resolviendo el sistema para x y para y,tendremos que x= 9, y = 7, por lo que (9, 7). De acuerdo al criterio de la segunda

derivada tenemos, 22 =2 22 =6 2 = 12 = (2)(6) (2)2 = 8 > 0 es un punto extremo


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La derivada < 0,el punto extremo (9, 7) es un mximo restringido.

c) Una fbrica produce dos tipos de maquinaria pesada en cantidades e . La funcinde costo conjunto est dada por

(,) = 2 + 22 Para minimizar el costo, cuntas mquinas de cada tipo debe producir, si el total debeser de 8 mquinas?

La restriccin esx + y = 8y la funcin objetivo es

)8(42

)8(2),,( 22

+=

=

=

++=

yxL

xyy

Lyx

x

L

yxxyyxyxL

22 = 2 22 = 4 2 =1 = (2)(4) (1)2 = 7 > 0 es un punto extremoIgualando a cero cada una de las derivadas parciales y resolviendo las ecuacionessimultneas para e , se obtiene x = 5, y = 3, lo que significa que, respetando larestriccin de producir un total de 8 mquinas, la combinacin menos costosa es producir8 mquinas de tipo

, y 3 mquinas de tipo

.

d) Una empresa productora de materias primas, tiene la siguiente funcin deproduccin. (,) = 1003414Donde representa las unidades de trabajo a $150 pesos por unidad e representalas unidades de capital a $250 pesos por unidad. El costo total de trabajo y capitalest limitado a $50,000. Hallar el nivel mximo de produccin.

La restriccin es 150

+ 250

= 50,000y la funcin objetivo es

(, , ) = 1003414 (150 + 250 50000) = 751414 150 = 253434 250 = 150 + 250 50000


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Despejamos en la primera ecuacin =2 , sustituimos este valor en lasegunda ecuacin nos queda

25

3434

250

= 0

25

3434

250

1414

2

= 0

= 5

Sustituimos en la tercera ecuacin, obtenemos150(5) + 250 50000 = 50 = 250

Obtenemos las segundas derivadas y sustituimos el valor extremo,22 =75 14

454 22 = 754

3474

2 = 754 17422 (250,50)

=

0.05

22

(250,50

)=

1.25

2

(250,50

)= 0.25

= (0.05)(1.254) (0.25)2 = 0.0002 > 0 es un punto extremoPor lo tanto, el nivel mximo de produccin para 250 unidades de trabajo y 50 decapital es.

(250,50) = 100(250)(50) = 16,719unidades de produccinCuando se trata de una funcin de produccin, el multiplicador es la productividadmarginal del capital, para este ejemplo es =

2 = 0.334.

e) La relacin entre las ventas S y las sumas gastadas en dos medios publicitarios est

dada por = + + + La ganancia neta es de de las ventas menos el costo de la publicidad. Elpresupuesto para la propaganda es de 25; determinar cmo debe repartirse ste

entre los dos medios para maximizar la ganancia neta.

La restriccin es + = 25 y la funcin objetivo a maximizar,(,, ) = 152005 + + 10010 + ( + ) ( + 25)


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= 15 (5 + )200 200(5 + )2 = 200(5 + )2 1 = 0 = 15 (10 + )100 100(10 + )2 = 200(10 + )2 1 = 0 = + 25 = 0Igualamos las dos primeras ecuaciones,

200

(5 + )2 1 = 200(10 + )2 1 (5 + )2 = (5 + )2Sustituimos la tercera ecuacin, en esta ltima igualdad + = 25

(5 + 2 5 )2 = (10 + )225 + 250 10 + 252 50 + 2 = 100 + 20 + 2

800 = 80 = 10 = 15; = 12

Obtenemos las segundas derivadas y sustituimos el valor extremo, (15,10)

22 = 200(2)(5 + )3 22 = 200(2)(5 + )3 2 = 0 = (0.05)(0.118) (0)2 = 0.006 > 0 es un punto extremoPor lo tanto, para maximizar la ganancia se requiere = 15 = 10.

Podemos encontrar una gran cantidad de aplicaciones en la Economa que requierenoptimizar una funcin sujeta a restricciones que podran ser presupuestales, tecnolgicas,etc. En primer lugar es necesario establecer con precisin cual es la funcin a optimizar,mximo o mnimo, y despus las restricciones que impone el problema. Algunas de estasaplicaciones podran ser.

a) Maximizacin del beneficio, sujeto a restricciones de presupuesto.b) El mismo caso podra ser la maximizacin de la produccin, con la restriccin de

presupuesto y/o tecnolgica, normalmente una empresa no cuenta con lainfraestructura suficiente para producir cualquier cantidad de producto.

c) Minimizar los costos de produccin, con una restriccin que puede ser de mano deobra, capital, capacidad de produccin, restriccin de la demanda, entre otrasposibles.

Por ejemplo. La funcin de utilidad de una empresa que elabora dos productos estdada por (,) =, donde x e y son las cantidades de producto X e Y adquiridas. Elprecio de una unidad de X es de 2 unidades monetaria y el de una unidad de Y es de 3.

Encuentre las cantidades de cada producto que deber adquirir el consumidor a fin de

maximizar su utilidad de consumo con un presupuesto de 30 unidades monetarias.


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Se trata de un problema de maximizacin. Donde la funcin objetivo es (,) =. Yla restriccin, presupuestal est dada por la funcin. 2 + 3 = 30, as el problema deoptimizacin queda,

(

,

) =

2

. 2 + 3 = 30De esta manera la ecuacin de Lagrange quedara,(, , ) =2 (2 + 3 30)

Encontramos los puntos crticos = 2 2

=

2

3

=2 3 + 30Despejamos el valor de en las dos primeras ecuaciones e igualamos las ecuaciones nosqueda,

= = 2

3

= 23

3 = 0

Entonces = 0 =3. Sustituimos en la tercera ecuacin para encontrar los puntoscrticos y tenemos para = 0obtenemos = 10y para =3sustituimos en la terceraecuacin 2 + 3 3 = 30 de donde = 10. De esta manera los puntos crticos son(0,10 ) (10, 103 ).Para demostrar su naturaleza aplicamos el criterio de la segunda derivada.

22 = 2 22 = 0 2 = 2Para los dos puntos crticos, (0,10 ) (10, 103 )el valor


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En conclusin para un consumo de 10 unidades del producto X y 10/3 unidades delproducto Y se consigue la mxima satisfaccin del cliente que tiene un presupuesto de20um.

El mtodo de multiplicadores de Lagrange se puede extender a un problema deoptimizacin de ms de dos variables. En este caso podemos generalizar el problema a,

Funcin objetivo a optimizar(1, 2,3, ). (1,2,3, )La funcin de Lagrange sera entonces de la forma,

(1, 2,3, , ) =(1, 2,3, ) (1, 2, 3, )El proceso para encontrar los puntos crticos sera el mismo que hemos visto hasta ahora.

La complejidad est en resolver un sistema de n ecuaciones con n incgnitas, que serams simple utilizando algebra de matrices.

Asimismo, el mtodo de Lagrange puede extenderse al caso de una funcin de variablesy restricciones. En este caso la funcin de Lagrange tendra la forma

(1, 2, 3, , ) =(1,2,3, ) =1 (1,2, 3, )Ejemplo. Supongamos la funcin

(

,

,

) =

+ 2

sujeta a las restricciones

+

= 4

y + = 2La funcin de Lagrange sera entonces,(,, , ) = + 2 1( + 4) 2( + 2Obtenemos sus derivadas y puntos crticos. = 1 2 = 0 = 2 1 = 0 = 2 1

=

+ 4

= + 2

2 = 1 = 1 + 12

=

12

Sustituimos en la cuarta y quinta ecuacin


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12

+1 + 1

2 4 = 0

+ 12 2 = 0 1 +

1

2= 4 1 =

7

2 = 2 7 22

=1

4

Sustituimos nuevamente en

2 = 1 = 1 + 12 = 12

= 94 = 74

Finalmente el nico punto crtico del problema es 14 , 74 , 94Demostrar que este punto es un mximo o un mnimo se requiere un paso adicional quees utilizar el llamado Hessiano orlado.

Bibliografa.

Aryna, J. C., Lardner R.W., MATEMTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIN Y A LAECONOMA. Ed. Prentice Hall, Mxico, 2009.

Draper, J.E., Klingman J.S., MATEMTICAS PARA ADMINISTRACIN Y ECONOMIA, Ed.Harla. Mxico, 1976.

Sydsaeter K., Hammond P.J., MATEMTICAS PARA EL ANALISIS ECONOMICO. Ed. PrenticeHall, Mxico, 1998.

notas funciones de varias variables

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