FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Definición. Una función real de n- variables , f , definida de D ⊂ ℝ n es una regla de correspondencia que asigna a cada vector X = ( x1 , x2 , x3 , …, xn ) , donde xi ∈ ℝ ∀ i = 1,2,..,n , perteneciente a D , un único número real z , denotado por Z = f (x1 , x2 , x3 , …, xn ).

Simbólicamente,

F : D ⊂ ℝ n → ℝ X El conjunto D se llama dominio de f , y su imagen es el conjunto de todas los valores reales de f .

Dom ( f ) = { X ∈ ℝ n / ∃ ! Z ∈ ℝ ∧ z = f ( X ) } Im ( f ) = { z ∈ ℝ / ∃ X ∈ ℝ n ∧ z = f ( X ) }

Z = f X ) = f ( x1 , x2 , x3 , …, xn )

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Nota- A este tipo de funciones se les llama campos escalares

X

y

O

D

⋅(x,y)

ℝ

z = f (x, y )

f

2

OTRA FORMA DE VISUALIZAR F : ℝ2 →ℝ

X

Y

Z

O

D

. (x,y,0)

. (x,y,f(x,y))

f(x,y)

3

IMAGEN DE f

4

2. f ( x , y ) = 4x - 6y - 8

3. g(x , y ) = 9x ² + 4y ² 4. h( x, y ) = 4x² - y²

5

6

CURVAS DE NIVEL

Si z = f ( x , y ) representa a la superficie S ,entonces las curvas proyectadas sobre el plano XY tienen la forma

f ( x , y ) = k ; k ∊ Im(f)Definición .-Las curvas de nivel de una función f : IR² → IR son las curvas cuyas ecuaciones son f ( x , y ) = k , donde k es un elemento de la imagen d e f. NOTAS:1. Cada punto de la curva de nivel f ( x , y ) = k , corresponde a un único punto de la superficie que se encuentra k unidades arriba de él .2. Al conjunto de curvas de nivel obtenidas al variar K , se le llama MAPA DE CONTORNO3. Los valores de z = f ( x , y ) cambian más rápidamente cuando mas próximas entre sí se encuentren sus curvas de nivel . 4. Si f : IR 3 → IR , la gráfica de f está contenida en IR 4 , cuya proyección en el Plano XYZ son superficies de la forma : w = f ( x , y , z ) , llamadas SUPERFICIES DE NIVEL de f

7

8

= k

9

-5

0

5

-5

0

5

0

20

40

60

80

100

10

11

-5

0

5

-5

0

5

-100

-80

-60

-40

-20

0

12

13

-5

0

5

-5

0

5

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

z

z=sin(sqrt(x.2+y.2))./sqrt(x.2+y.2)

xy

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