Funciones de varias variables

Carmen BetancourtMatilde Osorio Sáenz

Grupo 1

Funciones de varias variables

Función de dos variables

DEFINICIÓN: Una función f de dos variables es una regla que asigna a cada par ordenado de números reales (x,y) de un conjunto D, Un numero real único denotado por f(x,y). El conjunto D es el dominio de f y su imagen es el conjunto de valores que toma f, es decir {f(x,y)|(x,y) D}.

Observación: Cuando tenemos una función de dos variables se suele utilizar z para representar los valores de la función: z = f (x, y) . La variable z es la variable dependiente y (x,y) las variables independientes. Normalmente no se específica cual es el dominio de la función. Cuando éste es el caso tenemos que considerar

El dominio implícito. El dominio implícito de una función de dos variables es el conjunto más amplio de (x, y) donde tiene sentido evaluar la fórmula, y el resultado es Un número real. Muchas veces este dominio se representa gráficamente. En el caso de dos variables la representación es una región en el plano.

Figura 1

Ejemplo 1

Halle los dominio de la siguiente función y evalué f (3,2).

a) f (x,y)

solución: a) f (3, 2)

La expresión f tiene sentido si el denominador no es cero y la cantidad bajo el signo de raíz cuadrada es no negativa . Por tanto el dominio de f es:

D= {(x,y)|x + y +1≥ 0 , x ≠ 1}.

Figura 2

Halle los dominios de la siguiente función y evalué f (3,2).f (x,y)= x ln (y²- x)

f (3,2)= 3 ln (2²- 3)= 3 ln 1= 0Como ln(y²- x) esta definido sólo cuando y²- x > 0, es decir, x < y² , el dominio de f es D = {(x,y)|x < y² }. Este es el conjunto de puntos a la izquierda de la parábola x= y²

Ejemplo 2

Figura 3

Ejemplo 3Encuentre el dominio e imagen de

g(x,y)=

Solución: El dominio de g es D = {(x,y)|9- - ≥ 0 } = {(x,y)| ≤ 9}

Que es el disco con centro en (0,0) y radio 3.

Figura 4

b) La imagen de g es

{z|z = , (, )D }

Como z es una raíz cuadrada positiva, z ≥ 0. Del mismo modo, 9 - - ≤ 9 ≤ 3

Por tanto la imagen es

{z|0 ≤ z ≤ 3 } = 0, 3

Funciones de tres o

mas variables

Una función de tres variables, f, es una regla que asigna a cada terna ordenada (x , y, z)de un dominio D R³ un número real único denotado por f (x , y , z). Por ejemplo, la temperatura T en la superficie de la tierra depende de la longitud (x ) y la latitud (y) del punto y del tiempo t, de modo que escribimos T= f(x, y, t).Es muy difícil visualizar una función f de tres variables por su grafica, puesto que estaría en un espacio de cuatro dimensiones.

EJEMPLO 4

Encuentre el dominio de f si

F(x, y, z)= ln(z – y) + xy sen z

Solución: La expresión para f(x, y, z) está definida mientras z-y > 0, de modo que el dominio de f es

D = {(x, y, z) r³|z > y}.

APLICACIONES

Ejemplos de aplicaciónUna heladería ofrece tinitas y barquillas. Se ha estimado que si se vende la tinita a p1UM y la barquilla a p2 UM, la ecuación de demanda de la tinita está dada por :

D1( p1 , p2 )= 300 - 5p1+10 p2 D2 ( p1 , p2 ) = 200 + 7 p1 - 5p2 al día.

Exprese el ingreso diario de la compañía en función de p1 y p2.

1.

Solución:

El ingreso diario lo podemos calcular a partir de

Ingreso conjunto= Ingreso por la venta de tinita+ingreso por la venta de barquillas.

Ingreso conjunto=(precio de la tinita)(número de tinitas vendidas)+(precio de la barquilla)(número de barquillas vendidas)

I( p1, p2 )= p1(300 - 5 p1+10 p2 ) + p2 (200 +7 p1- 5 p2 )

I ( p1, p2 )= 300 p1- 5 p21 +10 p1 p2 + 200 p2 + 7 p1 p2 -5p2

2

I (p1, p2 )= 300 p1 + 200 p2 +1 7 -5p21 -5p2

2

Suponga que la función de utilidad de consumo de dos bienes para un cliente está dada por u(, )- 2 . El cliente ha comprado 5 unidades del bien X y 4 del bien Y. Represente geométricamente otras posibilidades que tenía el cliente para tener el mismo nivel de satisfacción o de utilidad en su compra.

2.

Solución: Primero calculamos la utilidad o satisfacción del cliente por esta compra. Ella está dada por: u(5,4)=52 . 4 = 100 .

Planteamos la curva de indiferencia para u =100 , ella es 100 = x2 y . Esto es una curva en R2 . Para visualizar mejor la gráfica escribimos está ecuación como una función.

y

Al graficar sólo hemosconsiderado la parte positiva de las x´s.

STEWARD, James. Cálculo Multivariable 4ª edición. Pág. 873 – 883

LARSON, Ron. Cálculo 8ª edición. Pág. 884 - 886

Bibliografía

GRACIAS