91081 funciones de varias variables jaime

UNIVERSIDAD TECNOLGICA METROPOLITANA 1T+1 DEPARTAMENTO DE MATEMTICA Jaime Reveco Martnez

....Prof.: Jaime Reveco Martnez .......................Prof.: Jaime Reveco Martnez .......................Prof.: Jaime Reveco Martnez .......................Prof.: Jaime Reveco Martnez ...................e-mail: [email protected]

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

RegionesDefinicin: a) es un punto interior de una regin s, es el centro de un discoB C V9 9

que se encuentra totalmente en .V b) es un punto Frontera de s, todo disco con centro en B C V B C 9 9 9 9

contiene puntos que pertenecen a y puntos que No pertenecen a V V

Regiones Cerradas: Una regin es cerrada si todos los puntos fronteras pertenecena la Regin.

Regiones Abiertas: Una regin es abierta si solo contiene puntos interiores.

Regiones Acotadas: es acotada si se encuentra dentro de un disco de radio fijo.VDefinicin: Sea D un conjunto de pares ordenados de nmeros reales. Si a cada parordenado de D le corresponde un nmero real , entonces se dice que B C 0 B C 0es una funcin de las variables e El conjunto D es el dominio de la funcin y el B C 0conjunto de valores de es el recorrido de 0 B C 0

Ejemplos: 0 B C B C# #

0 B C B %B C C />- />-$ # $

Ejercicio: Hallar el dominio de la funcin 0 B C B C *B

# #

Solucin:

Pertenecen al dominio de la funcin todos los puntos tales que B C a) B ! b) B C * !# #



3

3

- 3

- 3

Ejercicios propuestos: Hallar el dominio de definicin de las siguientes funciones de dos variables:

+ 0 B C % B C , 0 B C +



Trace curvas de nivel de I4 0B C % B C# #

SUPERFICIES CUDRICASCILINDROS: Superficies compuestas de todas las rectas paralelas a una recta dadaen y pasan por una curva plana dada (generatriz)$

Ej. Cilindro parablico C B ./



Ej limBC!!

$BC

B C# #

Sol.: Sea la Trayectoria , entonces 0C ! ! !B C

lim limB! B!# #

si entonces C B $BB $B $ $B B #B # #

lim lim limB! B! B!# # #

$

como estos lmites son distintos, entonces el lmite no existe.

Ej1.- Encuentre la grfica del dominio de las siguientes funciones. a) b) 0B C #& %B *C 0B C C B # # # c) d) 0B C 68% B C 0B C B C

68# &B (C # #

# #

e) f) 0B C +



3.- Analice continuidad de la funcin.

a) b) 0B C 0B C =3 B C ! ! =3 B C ! !" =3 B C ! ! ! =3 B C ! !

B C B $CB $C B &C# $ % %

% % % %

GRFICA DE UNA FUNCIN DE DOS VARIABLES

La grfica de una funcin de dos variables es un conjunto de puntos0 B C D D 0 B Cdel espacio para los que y geomtricamente es una superficie en elespacio

Ejemplo: 0 B C B C "'# #

Campos escalares y curvas de nivel



Un campo escalar se obtiene asignando el escalar al puntoD 0 B C B C Este campo escalar puede caracterizarse mediante curvas de nivel sobre las cuales0 B C permanece constante.

Si analizamos la superficie anterior y hacemos0 B C B C "'# # y dando valoresD 0 B C B C "' D B C "' # # # # arbitrarios a se obtienen las curvas de nivel.D

Si luegoD ! B C "' ! B C "'# # # # la curva es una circunferencia de radio < %

Si luegoD ( B C "' ( B C *# # # # la curva es una circunferencia de radio < $

Si luegoD "' B C "' "' B C !# # # # se obtiene el punto ! ! "'

Ejercicios: Hallar las curvas de nivel de las superficies y dibuje las corrrespondientes curvas denivel para los valores de indicados:D

+ 0 B C #& %B C , 0 B C B C # # # # D ! " # $ % & D ! # % ' )

- 0 B C ' #B $C . 0 B C B C D ! # % ' ) "! D " " $ $

/ 0 B C 0 0 B C 68 B C BB C# #

D " # D ! " #" $ " $# # # #



Derivadas parciales:

La superficie representada por una funcin de dos variables vara segn varan lasvariables e en forma independiente. En las aplicaciones de las funciones de dosB Cvariables, no siempre es necesario la variacin de ambas en forma simultnea, de modoque se presenta la cuestin de. Cmo se ver afectada la funcin por una variacin deuna de sus variables independientes?, como por ejemplo como vara el grado alcohlico deuna bebida manteniendo constante la cantidad de fermento y haciendo variar slo latemperatura.

Razonando como se hizo en las funciones de una variable, la variacin se obtiene

como en el caso de dos variables el procedimiento es similar y lim2!

0 B 2 0 B

2

se obtiene por:

0 B C B

lim B!

0 BB C 0 BC B

0 B C CC!

0 B CC 0 BC Clim

Si estos lmites existen entonces corresponden a las derivadas parciales de lafuncin con respecto de las variables respectivamente.B / C

Observacin:

Cuando se obtiene la derivada parcial de con respecto de la variable0 B C B C, se considera como una constante. Cuando se obtiene la derivada parcial de con respecto de la variable0 B C C B, se considera como una constante.

Notacin para las derivadas parciales primeras de 0 B C

Sea las derivadas parciales se denotan:D 0 B C

0 B C 0 B C D 0 B CB B "

` `D`B `B

0 B C 0 B C D 0 B CC C #

` `D`C `C



Ejemplo:

Hallar para la funcin 0 0B C

D 0 B C B C %B C %# $ #

Solucin:

0 #B )BCB

0 $C %BC

# #

Ejercicios:

Hallar para las siguientes funciones de dos variables:0 0B C

+ D 0 B C 68 B C , D 0 B C B /# # # #C

- D 0 B C . D 0 B C 68 B C B %C

B C #C B

# #

/ D 0 B C 0 D 0 B C =/8 #B C / B C # #

1 D 0 B C =/8 BC 2 D 0 B C =/8 $B-9= $BC/C

3 D 0 B C > " .> 4 D 0 B C +1 B $BC (B

C

# # #

5 D 0 B C #> " .> #> " .>( (B C

C B

6 D 0 B C >1 BC +



Las derivadas parciales de una funcin de dos variables tiene unaD 0 B C interpretacin geomtrica til. Si entonces representa la curvaC C D 0 B C

! !

formada por la interseccin de la superficie con el plano D 0 B C C C!

x

y

z

T T

M N

o

A

B

P

Tracemos el plano La interseccin de este plano con la superficie,B ->/determina la curva Consideremos, sobre el plano un punto para TX SBC Q B C Bdado. Al punto le corresponde el punto ,de la superficie Q T B C D D 0 B CManteniendo invariable, demos a la variable un incremento LaB C C QR TX wfuncin sufrir un incremento .D D XX

C

w

La razn es igual a la tangente del ngulo formado por la secante con la DCC TX

direccin positiva del eje SC y por consiguiente, el lmite: DC

wC >1 XTX t

limC!

D

CC

`D`C es igual a la tangente del ngulo formado)

por la tangente ( en el sentido geomtrico) a la curva en el punto con laTF TX Tdireccin positiva del eje SC

`D`C >1 )



Por tanto, el valor de la derivada parcial es igual a la tangente del ngulo`D`C

formado por la recta tangente ( en sentido geomtrico) a la curva definida por lainterseccin de la superficie D 0 B C B ->/ con el plano por una parte, y la recta dela interseccin de los planos y por otra parte.BSC B ->/

De modo semejante, el valor de la derivada parcial `D`B es igual a la tangente delngulo formado por la tangente a la curva definida por la interseccin de la superficie9D 0 B C ->/ con el plano por una parte, y la recta de la interseccin de los planosBSC / C ->/

Ejercicios:

Hallar y si " 0 # $ 0 # $ 0 B C B CB C # # ) Hallar 1 y 5 si # 0 $ 0 # 0 B C B C B C Hallar y si $ 0 & % 0 ( $ 0 B C 68 B B C B C # # Hallar y si % 0 # " 0 # " 0 B C B C BC C

B

Hallar y si & 0 % $ 0 % $ 0 B C +



Hallar las derivadas parciales para las siguientes funciones de" 0 0 0B C Dtres variables:

+ 0 B C D BC BD BD#

, 0 B C D D =/8 BC #D#

- 0 B C D B C D

B D #C#

. 0 B C D 68 B C D # $ % / 0 B C D

"

B C D # # $ 0 0 B C D +1

B C

C D

#

#

# Hallar si 0 # $ & 0 # $ & C 0 # $ & 0 B C D 68 BC DB C

Calcular e $ =3 B < -9= C < =/8 `B `B`< ``C `C`< `

)

)

) )

Demostrar , que si % B C # D 68 B BC C `D `D`B `C

# #

Demostrar , que si & B C BC D D BC B `D `D`B `C

/CB

Demostrar , que si ' ! ? B C C D D B`? `? `?`B `C `D

a ba ba b

Determine Si ( B -9= C =/8

D D

`B `B `B` ` `D`C `C `C` ` `D`D `D `D` ` `D

3 )

3 )

3 )

3 )

3 )

Determine Si ) B =/8 -9= C =/8 -9=

D -9=

`B `B `B` ` ``C `C `C` ` ``D `D `D` ` `

3 ) 9

3 ) 9

3 ) 9

3 9 )

3 9 )

3 9

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR



Lo mismo que sucede con las derivadas ordinarias, es posible hallar derivadasparciales de una funcin de varias variables de rdenes segundo, tercero y superiores,supuesto que tales derivadas existen. En el caso de las funciones de dos variables, hay cuatro formas deD 0 B Cderivadas de segundo rden.

a) Derivar dos veces respecto de la variable B

` `0 ` 0

`B `B `B 0

#

# BB

Derivar dos veces respecto de la variable , C

` `0 ` 0

`C `C `C 0

#

# CC

Derivar primero con respecto a y a continuacin con respecto a - B C

` `0 ` 0

`C `B `C `B 0

#

BC

Derivar primero con respecto a y a continuacin con respecto a . C B

` `0 ` 0

`B `C `B `C 0

#

CB

Ejemplo: Hallar las derivadas parciales de segundo orden

y calcular el valor de D 0 B C $BC #C &B C 0 " # # # # ` 0"#`C`BBC#

Solucin.

0 $C "!BCB# #

0 "!CBB#

0 'C #!BCBC

0 " # " ' #! # " ' %! %'BC



0 'BC # "!B CC#

0 'B "!BCC#

0 'C #!BCCB

Ejercicios:

Hallar las derivadas de segundo rden para las funciones:"

+ D 0 B C B #BC $C , D 0 B C B =/- C# #

- D 0 B C B / . D 0 B C C#

B / C /C B

/ D 0 B C #BC C 0 D 0 B C # +1 BC"BC 1 ? 0 B C D BC BD CD 2 ? 0 B C D B C D! " $

Hallar si # 0 ! ! 0 ! ! 0 ! ! 0 B C " B " CBB BC CC 7 8

Demuestre que la funcin satisface la ecuacin$ ? +1 CB

` ? ` ?`B `C

# #

# # !

Demuestre que la funcin% ? B > E =/8 + > =/8 B- ) - satisface la ecuacin de vibracin de una cuerda

` ? ` ?`> `B

## ## # +

Demuestre que si & /8>98-/= ? B C ` ? ` ?`B`C `C`B# #

verifique si satisface la ecuacin' ? B 9



Si es una funcin de e tal que son continuas en la regin0 B C 0 0 0 0 0B C BC CBabierta entonces para cada enV B C V

0 B C 0 B C BC CB

Ejemplo: Hallar para ( )0 0 0 B C +1 B

CBC CB

Solucin:

0 0 " " C " B B

" " C B C C B CB CB B

C C# # # # ## #

# #

0 0 B C B C

B C B C BC CB

# # # #

# # # # # #

Ejercicios: Hallar para :0 0BC CB

+ 0 B C B C , 0 B C BC# #

- 0 B C +1 . 0 B C #BC CB C

" BC #

Ej Para Encuentre 0B C & ` 0 ` 0 ` 0B C " `B `C `D# # # # #

# # #

DIFERENCIAL TOTAL Sea una funcin Si nos movemos de a un punto cercano0B C B C 9 9 La diferencial resultante de , es:B B C C B .B C .C 09 9 9 9

.0 0 B C .B 0 B C .C .0 `0 .B `0 .C

.> `B .> `C .>B 9 9 C 9 9 o

Ej. Si e Determine D BC B -9=> C =/8> .D.> $

1

.D .D "

.> .> $ # C =/8> B-9=> -9=#>

1



Ejercicios1.- Un bicho se mueve sobre una esfera de radio 4. Determine la variacin

infinitesimal de su posicin cuando pasa de a " " " !" ! *&

2.- Determine el error en la determinacin de el volumen de una caja de # $ &[cm], si el error en la medida de cada medida es de 0,05.

3.- El radio y la altura de un cilindro circular recto se miden con un errror mximodel 2% en el radio y 2,5% en la altura. Determine el mximo de error en ladeterminacin del volumen del cilindro.

4.- En un circuito de tres resistencias en paralelo, se detecta que la resistividad decada resistencia cambia en un 1%. En cunto cambia la resistencia total delcircuito.?

5.- El perodo de un pndulo de longitud viene dado por , dondeX P X # P111 es la aceleracin de la gravedad. Un pndulo se traslada desde un lugar enla zona del Canal, donde , a otro de Groenlandia donde1 $#" :3/==#1 $##% :3/== # A causa del cambio de temperatura, la longitud delpndulo cambia de a pies. Estimular el cambio en el perodo del#& #%)pndulo.

6.- La presin de un gas encerrado en un volumen a una temperatura , estaT Z Xdada por , con cte. Determine el error en la presin si elT 5 5 X

Zvolumen se mide con un error del 1% y la temperatura con un 0,49%.

7.- Determine la cantidad de cobre que hay que usar en la construccin de una cajarectngular, sin tapa, de dimensiones Dcm. si se usa una lmina$ & (de 0,35 Dcm de espesor.

8.- Determine en forma aproximada los siguientes valores (sin calculadora). a) b) !**

'!" $*(

#*( $#!"+



Si est definida en toda regin R del plano y R y 0B C B C ? ? ? 9 9 " #

? 3 ? 4 B B > ? C C > ?" #

9 " 9 # un vector unitario, entonces e parametrizan larecta que pasa por y es paralela al vector B C ?9 9

La razn de cambio de en en la direccin de 0 T B C ? /= 9 9

H 0.0 0B > ? C > ? 0B C

.> >?T ? T

lim>!

9 " 9 # 9 9

Ej. Encuentre la derivada de en P en la direccin 0B C C BC # " @ " "# p

Sol. El vector unitario entonces? @ " " " "@ # # #

p

p

.0

.> >

0# > " > 0# "

?Tlim>!

" "# #

Interpretacin geomtrica de la Derivada Direccional Es la pendiente de la recta tangente a la curva C en B C 9 9

3 4? 3 ? 4.0 `0 .B `0 .C `0 `0

.> `B .> `C .> `B `C?T T T T T9 9 9 9 9

" #

GRADIENTE El vector gradiente de en P es el vector:0B C B C 9 9 f0B C 3 4

`0B C `0B C

`B `C9 9

9 9 9 9

El vector gradiente de en es:0B C D T B C D 9 9 9

f0B C D 3 4 9 9 9`0B C D `0B C D `0B C D

`B `C `D

9 9 9 9 9 9 9 9 9 5

Teo. Si las derivadas Parciales de existen en P , entonces la Derivada0B C B C 9 9direccional, est dada por:

f0B C ? f0 ? -9=.0

.> ?T9 9

) Sea una funcin diferenciable en el punto entonces:0 B C a) Si entonces f0B C ! H 0B C !? b) La direccin de Mximo crecimiento de est dada por y el valor 0 f0B C



mximo de es H 0B C f0B C? GRADIENTES Y TANGENTES A CURVAS DE NIVEL

Si una funcin diferenciable , tiene un valor constante a lo largo de0B C -una curva suave que a su vez forma una curva de nivel de , entonces la 1> 2> 0funcin Por tanto su derivada0B C 01> 2> ->/

.01> 2> .-

.> .> !

.01> 2> `0 `1 `0 `2 `0 `0 `1 `2

.> `B `> `C `> `B `C `> `> 3 4 3 4

!

En consecuencia f0 .

es normal al vector tangente Normal a la curva.Entonces rectas tangentes a las curvas de nivel son rectas normales a las gradientes.

La recta que pasa por y es normal al vector B C R E9 9p

3 F 4 tiene porecuacin: Por tanto la ecuacin de la recta normal es:EB B FC C !9 9

0BB C B B 0 B C C C !9 9 9 C 9 9 9

ECUACIONES PARA PLANOS TANGENTES Y RECTAS NORMALES

Si 1>3 4 5

2> => es una curva suave sobre la superficie de nivel0B C D - 0 2> => - de una funcin diferenciable entonces1>

.01> 2> => `0 `1 `0 `2 `0 `=

.> `B `> `C `> `D `> !

,

`0 `0 `0 `1 `2 `=

`B `C `D `> `> `>3 4 5 3 4 5

!

En todo punto a lo largo de la curva, el vector f0 es ortogonal al vectorvelocidad de la curva, por lo tanto la ecuacin del plano tangente es:

0 0B DB C D B B 0 B C D C C B C D D D !9 9 9 9 C 9 9 9 9 9 9 9 9

y la recta normal, es: B B B C D >9 9 9 90B C C B C D >9 9 9 90C



D D B C D >9 9 9 90D

Ej.1.- Encuentre la direccin en que crece ms rpido decrece ms rpido0B C B C# # en " "

2.- Encuentre el gradiente de en el punto Determine0B C D B C D " " "# $ % los ngulos directores. 3.- Determine el ngulo entre los gradientes y para lasf0" # $ f0$ # "

funciones:a) b)0B C D B C D 0B C D B B C B C D$ # # $

4.- Encuentre el vector normal a la superficie , en un0B C ) #B #C # #punto cualquiera de su dominio.

5.- Encuentre vector normal a en el punto 0B C -9==/8 B -9= B 1 1# # 6.- Halle la ecuacin del plano tangente y de la recta normal a la superficie en el punto indicado.

a) b) -0B C B C / " " 0B C " "# B C B CBC# #

c) d) 0B C B # " D #D B C " ! " " "C $ $ #

e) B C D #B #C %D % ! " ! $# # #

REGLA DE LA CADENA

Sea una funcin diferenciable de las variables y , yA 0B C D > B C D >cada una de estas variables son funciones diferenciables: B B? @ C C? @ D D? @ > >? @y entonces À À `B À À `D À `>`? `B `? `C `? `D `? `> `?

`C

À À `B À À `D À `>`@ `B `@ `C `@ `D `@ `> `@

`C

Ej.: Si con A B C C D B =/8 -9= C -9= =/8 & $ $ & 3 ! " 3 ! "y Determine para y D -9= % $! 3 " 3 ! " 1À`!



Ejercicios 1.- Si , con diferenciable, muestre1> = 0> = = > 0# # # #que es solucin de la ecuacin:1 = > !`1 `1`> `=

2.- Determine `D `D`> `= a) D B C B C B " => C " =># $ $ # b) D B C B / C / # # => => c) D +1 B =68> C =/BBC >

3.- Encuentre `A `A`> `=

a) A B=/8CD C=/8BD B => C = > D = ># # $ $ %

b) A =/8 -9= >1 =68> >=/8=! " % ! " %>=>

REGLA DE LA CADENAPERPECTIVA GENERAL

Sea , una funcin definida en el conjunto abierto , tal que:0 Y 8 7 80 0 0 0 0 0 Y 3 " # $ 7

" # $ 7 3, con 8

Si , entonces la funcin es diferenciable en si una Transformacin Linealk k9 9 Y b

0 0w 8 7k k9 9

llamada derivada de en , tal que:

donde 0 2 0 0 2 / 0 0 >/ 0 / > 0 / 0 >/ 0 w k k k

9 4 9 4 9



Si tenemos0 / > ! /8>98-/= 2 !0 >/ 0

> >

/ 0

>w k

k k9 4

9 4 9

`0 `0 `0 `0

`B `B `B `B" # $ 7

4 4 4 4

9 9 9 9k k k k

Entonces la sima columna de la matriz que representa a , est formada por las4 0 w k9

derivadas parciales de las funciones componentes respecto a su sima variable.4 Por lo tanto la Derivada de la funcin en , queda representada por la matrizk

9

`0 `0 `0 `0

`B `B `B `B

`0 `0 `0 `0

`B `B `B `B

" " " "

" # 4 8

9 9 9 9

# # # #

" # 4 8

9 9 9

k k k k

k k k k

k k k k

9

7 7 7 7

" # 4 8

9 9 9 9

`0 `0 `0 `0

`B `B `B `B

Est matriz se denomina de la funcin en y que denotaremos por:Matriz Jacobiana 0 k9

N 3 N 0 k k9 3 9

La -sima fila la denotaremos por y es igual a

N0 0 `0 `0 `0

`B `B `B3 9 9 9 9 3 93 3 3

" # 8

k k k k k

Ej1.- Determine la matriz Jacobiana de la funcin dada en el punto P indicado 0 a) P0 0B C D D B D C " " " $ # # #"B"D

#

#

b) P0 0B C +B ,C -B .C B C 2 #9 9

c) P0 0B C B C / B / C / " # 2 5 C B BC C B d) P0 0B C D > C > D B + , - . 4 4

2.- Sea una funcin diferenciable tal que Suponga que la0 0! ! ! ! 2 #

matriz Jacobiana de en es -0 : ! ! N 0: $ "# #

Sean las funciones coordenadas de . Obtenga las matrices0 0 0" #

2

Jacobianas de las funciones indicadas en el origen de coordenadas. a) J J B C 0 B C 0 B C 2

" #

b) J J B C =/80 B C -9=0 B C 2" #



c) J J B C B C 0 B C 0 B C 2 $" #

d) J 2 $

JB C $0 B C 1>.> *0 B C ( 1>.> 1>.>" #

# #

" "

( ( (! 0 BC #0 BC

0 BC $ %0 BC

Donde es una funcin continua tal que 1 J 1! "

Funcin Implicita

Consideremos ecuacin cuya grfica corresponde a una curvaJB C - de nivel de la funcin que toma el valor sobre la grfica de la funcinD 0B C -C 0B, entonces

Adems si tiene derivadas Parciales continuas,D JB 0B - J B Centonces

.D `J `J .C

.B `B `C .B ! 9

.D .C

.B .B J B C J B C !B C

.C J B C

.B J B CB

C

I4 J B C B C J #B J #C Si y # # B C

C .C #B B

.B #C C

Teorema de la Funcin Implicita. Sea una funcin con Derivadas Parciales continuas en algn entornoJB C

de y supongamos que y entonces existe unB C J B C - J B C !9 9 Cintervalo de con la propiedad de que existe diferenciable, talque B C 0B9C 0B J B 0B -

.C J B C

.B J B C9 9

B

Cy

Resumiendo: Si la ecuacin define a implicitamente como funcinJB C ! C

derivable de entonces B .C J B C.B J B C

B

C



Si la ecuacin define a implicitamente como funcin diferenciable deJB C D ! DB C e entonces

y `D J B C D `D`B J B C D `C J B C D

J B C DB

D D

C

Ej Si Determine B D CD #BC "& `D`B

# & $

Sol.: Derivando implicitamente con respecto a B

#BD B &CD #C ! `D `D

`B `B# % $

`D #BD #C

`B B &CD

$

# %

Usando Derivadas parciales Si JB C D B D CD #BC # & $

y J #BD #C J B &CDB $ # %D

`D J #BD #C

`B J B &CDB

D

$

# %

Funcin Implicita Segunda Versin

Teo. Sea un punto talque D JB B B C :B B B C J : !" # 8 # 8"

8"

Suponga que tiene derivadas parciales continuas y en alguna bolaJ !`J `J`B `C3

con centro en , entonces puede resolverse para en: J B B B C ! C" # 8

terminos de y definir as una vecindad del punto unaB Z B B B 3 8 " # 8funcin que tiene derivadas parciales continuas en C 0B B B Z

" # 8

pudiendo calcularse, como:

`0 `C

`B `BB B B

B B B C

B B B C3 3

`J`B

`J`C

" # 8

3 " # 8

" # 8

Ej. Sea Como DetermineJB C D B #C $D ' J " " " ! `D `D`B `C

# # #

Sol.: y `D #B B `D %C #C`B 'D $D `C 'D $D



OPTIMIZACIN DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES. Extremos de funciones de dos variables.1) Definicin: a) Se dice que la funcin tiene un mximo en el punto esD 0 B C Q B C o ! !

decir, cuando e si para todos los puntosB B C C 0 B C 0 B C ! ! ! !

B C B C suficientemente prximos al punto pero distintos de l.! !

b) Se dice que la funcin tiene un mnimo en el punto esD 0 B C Q B C 9 ! !decir, cuando e si para todos los puntosB B C C 0 B C 0 B C

! ! ! !

B C B C suficientemente prximos al punto pero distintos de l.! !

2) Definicin: Dirmos que es un punto de si se verifica una de lasB C 0

! !crtico

siguientes afirmaciones:

a) y 0 B C ! 0 B C !B C! ! ! ! b) o no existen.0 B C 0 B C B C! ! ! !

Teorema: LOS EXTREMOS RELATIVOS SE PRODUCEN SOLAMENTE ENPUNTOS CRTICOS. Si es un extremo relativo de en una regin0 B C

! !0

abierta , entonces es un punto crtico de V 0 B C ! !

Ejemplo: Hallar los extremos relativos de 0 B C #B C )B 'C #!# #



0 B C ! %B ) !B ! ! 0 B C ! #C ' ! B C # $ C ! !

0 # $ # # $ ) # '$ #! $# #

? Cmo saber si es un mximo o un mnimo

a) Un mtodo para dirimir es comparando valores de la funcin, completando loscuadrados se obtiene.

luego, comparando0 B C #B # C $ $# #

luego se puede concluir que en el punto se0 B C $ a B C # $ $ produce un mnimo relativo, y ste es 0 # $ $

b) Un segundo mtodo es el de las derivadas parciales. Sea una funcin con derivadas parciales primeras y segundas continuas0

en una regin abierta que contiene al punto para el que + , 0 + , 0 + , !B CPara determinar si en dicho punto hay un extremo relativo de definimos la0cantidad:

0 + , 0 + , 0 + , 0 + , 0 + ,

0 + , 0 + ,BB CC BC# BB BC

CB CC

mnimo relativo1) Si y entonces es un ! 0 + , ! 0 + , BB mximo relativo2) Si y entonces es un ! 0 + , ! 0 + , BB



punto de silla3) Si entonces el punto es un ! + , 0 + , 4) Si este criterio no da informacin ! El valor de se puede obtener mediante el determinante

0 + , 0 + , 0 + , 0 + , BB BCCB CC

Ejemplo: Hallar extremos relativos de la funcin: 0 B C #B #BC C #B $# #

Solucin: 0 %B #C # 0 #B #CB C

puntos crticos: %B #C # B " C "

#B #C !

0 " " % ! 0 " " # ! 0 " " # 0 " " #BB CC BC CB

% # # % !#

luego es un mnimo relativo. 0 " " D " " %

Usando el determinante

%0 " " 0 " " 0 " " 0 " " # #

% # BB BCCB CC

EXTREMOS LIGADOS ( MULTIPLICADORES DE LAGRANGE )

Muchos problemas de optimizacin estn sujetos a restricciones ( ligaduras )que condicionan la solucin. El mtodo de los Multiplicadores de Lagrange nospermite resolver estos problemas.

Mtodo de multiplicadores de Lagrange.

Sea una funcin de dos variables que tiene un mximo o un mnimo0 B C sujeto a la ligadura entonces dicho extremo se producir en uno de los1 B C !puntos crticos de la funcin ) dada por:J llamada funcin objetivo



J B C 0 B C 1 B C - -

Obs. Si la funcin est sujeta a las ligaduras y entonces la1 B C ! 1 B C !" #

Funcin Objetivo o de Lagrange, es:

J B C 0 B C 1 B C 1 B C - - -" " # #

Ejemplos: 1) Maximizar la funcin sujeta a la ligadura0 B C B C # # B C % !

Solucin: Funcin objetivo J B C B C B C %- -# #

J B C B B C C %- - - -# #

J B C #B B - - J B C #C C - - J B C B C %- -

El ( los ) punto (s) crtico (s) se obtienen de la solucin del sistema #B ! B # C # %

#C !

B C %

- -

-

luego el valor mximo se produce cuando B # C #

El valor del parmetro indica la tasa de cambio de las curvas de nivel.- %

2) Minimizar la funcin sujeta a la ligadura 0 B C D B C D# # #B C D ' !

Solucin: Funcin objetivo J B C D B C D B C D ' - -# # # J #B B - J #C C - J #D D - J B C D '-

El valor crtico resulta de la solucin de

#B ! B C D #

#C !

#D !

B C D '

-

-

-

luego el mnimo se produce en 0 # # # "'



Ejercicios propuestos: Hallar extremos relativos y puntos de silla para las funciones:a) 0 B C B " #C V 738 0 " ! # #

b) 0 B C B BC C #B C V 738 0 " ! # #

c) 0 B C B C ' B C B ! C ! V 7+B 0 $ # $ #

d) 0 B C B C #B %BC #C V 738 0 # # % % # # e) 0 B C " B C V 7+B 0 ! ! # # #$

f) 0 B C #B $C %B "#C V :>9 =366+ " # # #

g) 0 B C B C "#B $C V 738 0 " # :>9 =366+ " # $ #

h) 0 B C BC 68 B C V :>9 =366+ # # "#

i) 0 B C B C V 738 0 " # 7+B 0 " #" "B C :>9= ./ =366+ " #

j) 0 B C B # C # B C $ V 738 0 & &$ $ :>9= ./ =366+ # # " # # "

k) 0 B C =/8 B =/8 C =/8 B C V 7+B 0 1 1$ $ ! B ! C 1 1# #

Extremos ligados:a) Maximizar sujeto a 0 B C BC B C "!

b) Minimizar sujeto a 0 B C B C #B %C "& ! # #c) Maximizar sujeto a 0 B C / B C )BC # #

d) Maximizar sujeto a 0 B C B C B #C ' !# #

e) Maximizar sujeto a 0 B C #B #BC C #B C "!!f) Minimizar , sujeto a 0 B C D B C D B C D '# # #



Problemas de aplicacin:Ejemplo 1. Hallar tres nmeros positivos que satisfacen la condicin:B C D a) La suma es $! b) El producto es mximo Solucin: Sean los nmeros buscados, entoncesB C D B C D $! D $! B C

Funcin objetivo es: T B C D B C D

luego T B C B C $! B C $! BC B C BC# #

T B C $!C #BC CB#

T B C $!B B #BCC#

Puntos crticos: $!C #BC C ! $!B #BC B !

#

#

$!C #BC C $!B #BC B# #

$!B $!C B C ! B C$! B C !# #

de desecha pues B C ! B C $! D !

luego sustituyendo se obtieneB C

$!B #B B ! $B "! B ! B "! C "!# #

T #C T #B BB CCT $! #B #CBC

T "! "! #! ! T "! "! #! !BB CCT "! "! "!BC

#! #! "! $!! !#

en el punto hay un mximo, por tanto los nmeros son "! "! B C D "!

Ejemplo 2. U a corporacin de cremas dentfricas orgnicas produce crema dental enndos tamaos, de 100 y 150 millitros. El costo de produccin de cada tubo de cadatamao es de US$ 0.6 y US$ 0.9, respectivamente. Las demandas ( pedidos ) B

"

y ( en miles ) para los tamaos son deB#

B $ : : " # "



B $#! $: &:# " #

donde y son los precios en centavos de los tubos. Determine los precios y: : :" # "

:# que maximizan las utilidades de la compaa.

Solucin:La utilidad obtenida por cada tubo de 100 millitros de crema es de y : '! ->@=

"

la utilidad por ceda tubo de 150 millitros es de Por tanto, la utilidad : *! ->@= T#

Ben miles de centavos porque las demandas son en miles ) obtenida vendiendo "

tubos de 100 millitros y tubos de 150 millitros est dada por:B#

T : '! B : *! B" " # #

T : : $: '!: : : *! $#! $: &: " # " # " # " #

T : : $: &: ': : *!: &*!: #))!!" # " # " #" #

# #

`T `T`: `:

" ## " " #

': ': *! ': "!: &*!

Puntos crticos:

': ': *! ! : ""! : "#&

': "!: &*! !# " " #

" #

` T ` T ` T

`: `: `: `: ' "! '

# # #

# #" # " #

' "! ' #% !#

en el punto hay un mximo, por tanto los precios ""! "#& $ y US$ 125 producirn la utilidad mxima a la: YW ""! :

" #

compaa

PROBLEMAS PROPUESTOS1) Hllense tre nmeros positivos, que satisfacen las condiciones dadas:B C D a) La suma es 32 y el producto es mximo.T BC D# b) La suma es 30 y la suma de sus cuadrados es mnima2) Determine las dimensiones de la caja de mayor volumen que se puedeinscribir en una esfera de radio



X

Y

Z

2 X

2Y

2Z

La ecuacin de una esfera es B C D



Z # < -9==

$ "-9= #-9= -9= ""-9= "-9= -9= -9=

9 = 9

= 9 9 =

Z # # < -9=9

$ "-9= -9= -9= "-9= "-9= #

= = 9 = 9"-9= "-9= -9= -9= = 9 9 =

Z # < -9=9

$ "-9= #-9= -9= ""-9= "-9= -9= -9=

= 9 =

= 9 9 =

Puntos crticos

" -9= # -9= -9= " !

" -9= # -9= -9= " !

= 9 =

9 = 9

" -9= ! -9= " ! 9 9 9 9 1

" -9= ! -9= " ! = = = = 1

valores que son descartados por construccin de la caja luego debe ocurrirque:

# -9= -9= " ! -9= -9= # -9= -9= " !

9 = 9 == 9

"$

, si entonces-9= -9= 9 = "$

Z -9==

# < $ "-9= #-9= -9= ""-9= "-9= -9= -9=

9 = 9

= 9 9 =

# < # < !$ $" # " "" "

" " " # # "$ $ $ $ $ $

" " " " # #$ $ $ $ $ $

Z # < !-9=9

$ "-9= #-9= -9= ""-9= "-9= -9= -9=

= 9 =

= 9 9 =

Z -9= -9== =# < $ #-9= " "-9= "-9= -9= -9= #-9= -9= "

"-9= "-9= -9= -9=

9 = 9 9 = = 9

= 9 9 =

Z -9= "-9== 9

Z -9= -9=9 9# < $ #-9= " "-9= "-9= -9= -9= #-9= -9= "

"-9= "-9= -9= -9=

= = 9 9 = 9 =

= 9 9 =

Z -9= "-9=9

=

Z -9= -9=

-9=

= 9

9# < $ #-9= -9= "-9= " #-9= -9= ""-9= "-9= -9= -9= ( %= 9 9 = 9

= 9 9 =

Z -9= "9



Z ' ! " "$ $

-9= -9== = #

$

Z ' ! " "$ $

-9= -9=9 9 #

$

Z " "$ $

-9= -9=9 =

# #$ $

Z Z Z -9= -9= -9= -9= -9= -9=9 9 = = = 9

#

' ' # # # #$ $ $ $ # $' !# % # $#! #$ * $ * $

en el punto existe un mximo " "$ $

la caja es un cubo.3) Una compaa fabrica dos productos. Los ingresos totales por la venta de B

"

unidades del producto y de unidades del producto son" B ##

M B B &B )B #B B %# B "!# B" # " # " #" #

# #

Hllense de tal forma que los ingresos sean mximos,B C B" #

4) Una empresa produce dos tipos de productos, A y B. El costo diario total (en dlares ) de producir unidades de A e unidades de B est dado por laB Cfuncin de costo conjunto Determine elG B C #&! %B (C !#B !"C # #nmero de unidades de A y B que la empresa debe producir al da con el objeto deminimizar el costo total. R: B "! C #&

5) Una empresa utiliza dos tipos de materia prima X e Y, en la elaboracin desu producto. Usando unidades de X, e unidades de Y, la empresa puedeB Celaborar P unidades del producto, con P !B !%)C !"#BC !!(B !!'C # #Si el costo de cada unidad de X es de $ 5.10 y de $ 1.80 por cada unidad de Y, y laempresa puiede vender todas las unidades que produce a % 15 cada una. Qucantidades de X e Y debera utilizar la empresa con el objeto de maximizar lasutilidades?. R: 27 30B C



6) A una compaia le cuesta $ 2 por unidad elaborar su producto. Si A dlaresse gastan por mes en publicidad, entonces el nmero de unidades por mes que sevender est dado por en donde es el precio deB $! " / ## : :!!!"Eventa. Halle los valores de que maximizarn la utilidad mensual y determine elE C :valor de esta utilidad. R: : "# E "!! 68 $

7) Empleando unidades de mano de obra y unidades de capital, unaP Oempresa puede elaborar unidades de su producto, con T T PO &! P O# "$ $ Le cuesta a la empresa $ 100 por cada unidad de mano de obra y $ 300 porcada unidad de capital empleado. La empresa dispone de una suma de $ 45 000para propositos de produccin. Usando multiplicadore de Lagrange determine lasunidades de mano de obra y de capital que la empresa debera utilizar a objeto demaximizar la produccin. R: 300 unidades de mano de obra y 50 de capital.

8) La corporacin " PARRAV " lider en la fabricacin de parrillas para avionesproduce parillas para Jet y para Avionetas. El costo de producir parrillas para JetBe parillas para avioneta est dado por la funcin de costo conjuntoCG B C B "&C $!!# # Cuntas unidades de cada tipo deben producirse a finde minimizar los costos totales si la empresa decide producir un total de 200unidades?. ( use multiplicador de Lagrange ). R: 2 80B " ! C

9) Una empresa puede elaborar su producto en dos de sus plantas. El costo deproducir unidades en su primera planta e unidades en la segunda planta estB Cdado por la funcin de costa conjunto Si la empresaG B C B #C &BC (!!# #debe suministrar 500 unidades, cuntas unidades deben producirse en cadaplanta a fin de minimizar el costo total? ( use multiplicador de Lagrange ).



CAMPOS VECTORIALES

Def. Un Campo Vectorial sobre , es una funcin que le asigna a cada8 Jpunto un vector de dimensin 8

Ejemplos: Si entonces 8 # J B C T B C UB C T 3 U 4

Si entonces 8 $ J B C D T 3 U 4 V5

Ej Si Encuentre el campo vectorial que define los0B C D B C D # # #vectores normales a la superficie.

ROTACIONAL Y DIVERGENCIA

ROTACIONAL Si es un campo vectorial en y existen todasJB C D T 3 U 4 V5

$

las derivadas parciales de y , entonces el T U V Rotacional de es el campoJvectorial en , definido por:$

J 3 4 5`V `U `T `V `U `T

`C `D `D `B `B `C

Si consideramos el operador diferencial vectorial ( nabla ), como:

y recordamos que ` ` ``B `C `D

3 4 5

cuando

opera sobre una funcin escalar, obtenemos el gradiente de , es decir:0

entonces el rotacional lo 0 `0 `0 `0`B `C `D

3 4 5

podemos enunciar como:

J J

T U V

3 4 5` ` `

`B `C `D

Teo: Si es una funcin de tres variables que tienen derivadas parciales0continuas de segundo orden, entonces



0 !

Obs. Un campo vectorial es conservativo si entonces J 0 J !

Ej1.- Si Demuestre que es un CampoJB C D C D #BCD $BC D J# $ $ # #Vectorial Conservativo. Adems encuentre una funcin escalar tal que0 0 J

2.- Determine Rotacional de los siguientes Campos: a) JB C B =/8C C =/8B b) JB C D #B =/8 C B -9= C $C # #

c) JB C D C #BC / $C / # $D $Dd) JB C D B C D"

B C D # # # $ e) JB C D B / C / D / CD BD BC

f) JB C D C D u #BCD v $BC D 5# $ $ # #

DIVERGENCIASi es un campo vectorial en y existen JB C D T 3 U4 V5 `T

`B

$

`U`C y , entonces la de es la funcin escalar de tres

`V

`DJDivergencia

variables, definida por

div , entonces la Divergencia se puedeJ `T `U `V`B `C `D

denotar como:

divJ J

Teo. Si es un campo vectorial en y y JB C D T 3 U4 V5 T U V

$tienen derivadas parciales continuas de segundo orden, entonces div J !

Ej 1.- Determine Divergencia de los siguientes Campos a) JB C B =/8C C =/8B b) JB C D #B =/8 C B -9= C $C # #

c) JB C D C #BC / $C / # $D $D



d) JB C D B C D"B C D # # # $

e) JB C D B / C / D / CD BD BCf) JB C D C D u #BCD v $BC D 5# $ $ # #

INTEGRALES MULTIPLES

Prof.: Jaime Reveco Martnez

I.- Introduccin: En clculo en una variable, se definio la suma de Riemann para

una funcin definida en el intervalo [a,b], como

W8 0B B"

3"

8

3 3*

Si el nmero de intervalos en que se particiona el dominio tiendea infinito, obtenemos la conocida integral definida, esto es:

lim8_

8+

,

W ( 0B.B Si , la suma de Riemann representa el rea bajo la curva.0B !

II.- Integrales dobles Si est definida sobre un rectngulo cerradoD 0B C

V B C + B , - C .# y se particiona en sub-rectngulos

de longitudes y , con y B C 3 " # 8 4 " # 73 4siendo el rea de cada sub-rectngulo , la suma deE B C34 3 4Riemann para una funcin de dos variables est dada por:

W 0B C E87 343 4 ""

3" 4"

8 7

Definicin La Integral Doble de la funcin definida sobre un rectngulo ,D 0B C V

es:



si lmite existe.( ( ""V

0B C.E W 0B C Elim87_

87 34

3" 4"

_ _

3 4



Propiedades

1.- ( ( ( (V V

50B C.E 5 0B C.E

2.- [ ]( ( ( ( ( (V V V

0B C 1B C .E 0B C.E 1B C.E

3.- si sobre ( (V

0B C.E ! 0B C ! V

4.- si sobre ( ( ( (V V

0B C.E 1B C.E 0B C 1B C V

5.- ( ( ( ( ( (V V V" #

0B C.E 0B C.E 0B C.E

Interpretacin de la Integral doble. Si est definida sobre un rectgulo yD 0B C V

aB C V 0B C ! Z, entonces el volumen del slido que se encuentrasobre el rectngulo y bajo la superficie , es:V D 0B C

Z 0B C.E( (V

Ej1.- Estime el valor del volumen del slido lmitado superiormente porD #& #B C V ! # ! ## # y que tiene por base , usando unaparticin de cuatro cuadrados iguales.

Sol. Si consideramos en cada subrectngulo los vrtices superiores, obtenemos:

Z ""3" 4"

# #

0B C E 0" " " 0" # " 0# " " 0# # "3 4

34

## "* "' "$ (!

Estime el valor del volumen utilizando 16 cuadrados iguales.



INTEGRALES ITERADAS

Teo1. Teorema de Fubini Si es continua sobre el rectngulo , entonces0B C V B + , C - .

( ( ( ( ( (V

0B C.E 0B C.C.B 0B C.B.C+ - - +

, . . ,

Ej2.- Utilice Teorema de Fubini para determinar volumen de slido de Ej1.

Sol. Z 0B C.E #& #B C .C.B #&C #B C .BC$

( ( ( ( ( V

! ! !

# # ## # #

$

!

#

&! %B .B &!B B B "!! ?6 ) % ) $# "' "

$ $ $ $ $ $( !

## $ $

!

#

Obs. Qu puede decir de los resultados obtenidos?.

Ej .- Determine , con $ B-9=BC.E V B C! B " ! C ( (V

1



Sol. Si aplicamos el teorema de Fubini, integrando primero con respecto a , tenemos:C

( ( ( ( (V

B-9=BC.E B-9=BC.C.B =/8BC .B! ! !

" "1 1!

- - - =/8 B.B -9= B " " " " #(

!

"

1 11 1 1

"!

Determine integral usando iteracin inversa.Obs: UsandoMaple: Int(Int(x*cos(x*y),y=0..Pi),x=0..1)=int(int(x*cos(x*y),y=0..Pi),x=0..1);

III.- Integrales dobles sobre regiones acotadas No rectangulares

Teo2. Teorema de Fubini (fuerte) Sea una funcin continua en la regin D 0B C V 1.- Si est definida por con y continuas en ,V + B , 1B C 0B 0 1 + ,

entonces

( ( ( (V

0B C.E 0B C.C.B+ 1B

, 0B

(Regin tipo I )



2.- Si est definida por con y continuas enV - C . 2C B WC 2 W- ., entonces

( ( ( (V

0B C.E 0B C.B.Cc

d

2C

WC

(Regin tipo II )

Ej4.- La altura de un slido esta definida por D #B $C% # y la base est acotada porlas parbolas e Determine Volumen del slido.C #B " C B # #

Sol.

Las parbolas se intersectan en y corresponde a una regin del tipo I,B "esto es: - , entoncesV B C " B " #B " C B # #

Z ( ( ( - -" #B " "

" B "% # % $

B

#B "#

# #

##B $C .C.B #B C C .B

#B B %B #B #B " .B( ""

' ' ' % # $

-

- *B "%B 'B ".B( ""

' % #

-

=

-

B B #B B ? @96* "% $'

( & $&( & $

"

"-

Obs. Usando Maple: Int(Int(2*x^4+3*y^2,y=2*x^2-1..x^2),x -1..1) int(int(2*x^4+3*y^2,y=2*x^2-1..x^2),x=-1..1);



Al considerar la regin como tipo II, la regin la debemos considerar como lasuma de tres regiones, Por qu? justifique!.

Ej5.- La altura en todo punto de un slido est definida por , si la baseD sen BBcorresponde a la regin acotada por: e . Determine elC #B B " C !volumen del slido.

Ej6.- Trace la regin de integracin de y determine su valor( (!

% C

C#

# %B.B.C

usando integral equivalente.

IV.- Integrales dobles en forma polar En reiteradas ocaciones evaluar una integral doble en coordenadas

cartesianas es imposible y en otras muy complicadas, pero si cambiamos acoordenadas polares resulta mucho ms fcil.

Si es continua en rectngulo dado por D 0B C V ! + < ,! ) " " ! 1 # , donde 0 entonces

( ( ( (V

0B C.E 0< -9= < =/8 < .< .!

"

+

,

) ) )

Ej7.- Determine donde est limitada por ( ( V

# #

/ .E V B " CB C #

Sol. Como B " C # corresponde a una semicircunferencia ubicada en elsegundo y tercer cuadrante, implica [ ]) 1 1

# #

$y por tanto< ! "

( ( ( ( ( (V

# # # #

# # #

$ $ $# # #

/ .E /

91081 funciones de varias variables jaime

Documents