funciones de varias variables[1]

Calculo 3: 2013-0

1 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS UPN- CAJAMARCA

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Figura 1

Las funciones de dos variables se pueden visualizar por medio de curvas de nivel, que

enlazan puntos donde la funcin toma un valor determinado. La presin atmosfrica a

una hora dada es una funcin de longitud y latitud y se mide en milibaras. Aqu las

curvas de nivel se llaman isobaras y las que se presentan unen puntos que tenan la

misma presin. Las curvas marcadas 1028, por ejemplo, conectan puntos con presin de

1028mb)

EJEMPLOS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

En muchos casos, encontramos funciones que dependen de dos variables.

1. El volumen de un cilindro circular recto est dada por la siguiente formula 2. .r h

donde h es su altura y r es el radio de la base circular, es decir para determinar el

volumen de un cilindro debemos conocer los valores de su altura y radio, por eso

podemos decir que el volumen de un cilindro depende de los valores de su altura y

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radio. En otras palabras podemos expresar el volumen del cilindro como una

funcin de dos variables h y r , a las cuales llamaremos variables independientes.

Dicha funcin puede quedar representada como hrhrV ..),( 2 .

2. Para determinar el rea de un rectngulo es necesario conocer su largo )( l y ancho

)( a , es decir el rea del rectngulo depende del largo y ancho. Es decir podemos

representar el rea de un rectngulo mediante la siguiente funcin alalA .),(

3. Dados dos nmeros cualesquiera, x e y su media aritmtica es el nmero

intermedio entre ambos, es decir:

2

x y

En general, dados n nmeros 1 2, , , nx x x , su media aritmtica es el nmero:

1 2

1 2( , , , )n

n

x x xM x x x

n

La media aritmtica es, pues, una funcin 1 2( , , , )nM x x x de n variables.

4. Dados dos nmeros positivos x e y , su media geomtrica es :

( , )g x y x y .

En general, dados n nmeros positivos 1 2, , , nx x x , su media geomtrica se

define como: 1

1 2 1 2 1 2( , , , ) ( ) .n

n n nG x x x x x x x x x

5. Supongamos que tenemos una placa metlica de grandes dimensiones. La

temperatura(en grados centgrados) de placa es funcin de las coordenadas dcada

uno de sus puntos y viene dada por (Figura 1):

2 2( , ) 500 0.6 1.5T x y x y

6. La media de tiempo que un cliente espera en una cola para ser atendido viene dada

por :

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1( , ) ,g x y y x

x y

,

donde y es la razn media de llegada, expresada como el nmero de clientes por

unidad de tiempo y x es la razn media de servicio, expresada en las mismas

unidades. (Figura 2)

Figura 1 Figura 2

Empezaremos nuestro estudio con las funciones de dos variables.

DEFINICIN Una funcin f de dos variables es una regla de correspondencia que

asigna a cada par ordenado de nmeros reales ( , )x y de un conjunto D un nmero real

nico que se denota por ( , )f x y . El conjunto D es el dominio de f y su rango es el

conjunto de valores que toma f , es decir, ( , ) ( , )f x y x y D .

A menudo, se escribe ( , )z f x y para hacer explicito el valor que toma f en el punto

( , )x y . Las variables x e y son variables independientes y z es la variable dependiente

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Figura 2

GRFICAS

Un modo de representar el comportamiento de una funcin de dos variables es

considerar su grfica.

Definicin Si f es una funcin de dos variables con dominio D, entonces la grfica

de f es el conjunto de todos los puntos ( , , )x y z en 3 tal que ( , )z f x y y ( , )x y

est en D.

Figura 3

A continuacin se ilustran algunas funciones de varias variables hechas por computador

con sus respectivos dominios.

( , , )0 x y

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Figura 4. 2 2( , ) 1 ( )f x y x y

Figura 5. 2 2 2 2( , ) 1 ( )f x y x y x y

Las grficas presentadas a continuacin tienen como dominio 2 .

Figura 5

Para el caso de las funciones con ( 3)n n variables, el concepto de dominio se

mantiene pero la grfica de las funciones ya no se puede visualizar.

f

f

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La formalizacin de lo dicho anteriormente, se describe a continuacin

1 2 1 2

:

, ,..., ( , ,..., )

n

n n

f D

x x x z f x x x

A los nmeros reales nxxxx ,...,,, 321 se les llama variables independientes y forman

lo que se llama la n ada 1 2 3( , , ,..., )nx x x x , que es un punto que pertenece al dominio

de f , mientras que la imagen correspondiente 1 2 3( , , ,..., )nz f x x x x se le llama

variable dependiente y pertenece al rango de f .

El dominio y rango tambin se pueden describir como sigue:

Para el dominio

1 2 1 2( , , , ) ( , , , )nf n nD x x x x z z f x x x

y para el rango

1 2( , , , ) ( )nf nR z x x x x z f x

Nota.- Para el caso 3n , solo se puede visualizar su dominio.

Valor de una funcin de varias variables:

Para determinar el valor de una funcin ),...,,,( 321 nxxxxfz sustituimos los

valores de las variables independientes nxxxx ,...,,, 321 en la regla de

correspondencia de la funcin.

Ejemplo:

Dada la funcin hrhrV ..),( 2 ; deseamos calcular el valor del volumen del

cilindro cuando su altura es 5 y su radio es 9; entonces debemos sustituir en la regla

de correspondencia,

4055.)9(.)5,9( 2 V . Obteniendo un volumen de 3405 u

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OBTENCIN DEL DOMINIO DE UNA FUNCIN DE VARIAS VARIABLES:

Empezaremos nuestro estudio recordando para el caso de una funcin de una variable

y despus generalizaremos al caso de varias variables.

1. Si )(xf es un cociente, este no existe si el denominador se hace cero, por lo que

se deben eliminar del dominio aquellos valores x en lo que esto sucede.

2. Si )(xf es una raz cuadrada, est existir slo si el radicando es mayor o igual

que cero.

3. Si )(xf es un logaritmo natural, est existir si su argumento es mayor que

cero.

Ejemplos:

1. Hallar el dominio de la funcin:2

1)(

xxf

Solucin: Cundo existe ( )y f x ?

y existe si 2x . Por lo tanto , , { }2 2 2 fD

Figura 6

2. Hallar el dominio de la funcin: 1)( xxf


Si 01x , es decir, 1x . Por lo tanto [1,fD

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Figura 7

3. Hallar el dominio de la funcin: )1ln()( xxf


Si 01x es decir: 1x

Por lo tanto 1,fD

Figura 8

Ahora, para determinar el dominio de una funcin real de varias variables, utilizamos

los mismos criterios de las funciones de una variable; es decir excluyendo los valores

que conducen a nmeros complejos o a la divisin entre cero.

EJEMPLOS

1. Hallar el dominio de la funcin:22

1),(

yxyxf

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Solucin:

Cundo existe ( , )z f x y ?; z existe s 022 yx . Por lo tanto

( , )2 0 0 fD

Grfica del dominio

Figura 9

2. Hallar el dominio de la funcin: )ln(),( yxyxf

Solucin

Como la funcin es un logaritmo natural, entonces 0 yx . Por lo tanto el

dominio de la funcin es ( , ) /2 0 fD x y x y y su grfica es

Figura 4

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3. Hallar el dominio de la funcin: xyyxf 2),(

Solucin:

Como la funcin es una raz cuadrada, entonces 02 xy . Por lo tanto el

dominio de la funcin es ( , ) /2 2 0 fD x y y x

Grfica del dominio:

4. Hallar el dominio de la funcin: 221),( yxyxf

Solucin:

Como la funcin es una raz cuadrada, entonces 01 22 yx . Por lo tanto el

dominio de la funcin es ( , ) /2 2 2 1 fD x y x y

Grfica del dominio:

Figura 5

Figura 6

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5. Hallar el dominio de la funcin: yxyxf .ln),(

Solucin:

Como la funcin es un logaritmo, entonces 0. yx . Por lo tanto el dominio de la

funcin es ( , ) / .2 0 fD x y x y

Grfica del dominio:

6. Hallar el dominio de la funcin: 2 2( , , ) ln 1f x y z x y z

Solucin:

Como la funcin es un logaritmo, entonces 01 22 zyx . Por lo tanto el

dominio de la funcin es 3 2 2( , , ) / 1 0fD x y z R x y z

Grfica del dominio:

Figura 7

Figura 8

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7. Hallar el dominio de la funcin: 2221),,( zyxzyxf

Solucin:

Como la funcin es una raz cuadrada, entonces 01 222 zyx . Por lo tanto

el dominio de la funcin es 3 2 2 2( , , ) / 1 0fD x y z x y z

Grfica del dominio: esfera unitaria

8. Hallar el dominio de la 2 2( , , ) 1f x y z x y .

Solucin

Como la funcin es una raz cuadrada, entonces 2 21 0x y . Por lo tanto el dominio

de la funcin es 3 2 2( , , ) / 1 0fD x y z x y el cual es un cilindro de radio 1.

-1

-0.5

0

0.5

1

-1

-0.5

0

0.5

10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 9

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EJERCICIOS PROPUESTOS

A. Hallar y Representar grficamente el dominio de las siguientes funciones

1. 1

( , ).

f x yx y

2. 2( , ) ln( )f x y x y

3. 1

( , )f x yy x

4. 2

2 2( , )

16

x yf x y

x y

5. 2 2

1( , )

1f x y

x y

6. 2( , )f x y x y

7. 2 2( , ) ln(36 4 9 )f x y x y

8. 2 2

( , ) ( )1

x yf x y arctg

x y

9. 2( , ) ln ( 4 )f x y xy y x

10. ( , ) ln( ln( ))f x y x x y

11. ln( 2 )

( , )2

x yf x y

y x

12. ( , , ) ln ln lnf x y z x y z

13. ( , , )x y z

f x y zx y z

14. 2

( , , )z

f x y zx y

15. 2 2 2

1( , , )

ln(1 )f x y z

x y z

16. ( , , ) ln( )f x y z xyz

17. ( , , ) ( ) 2f x y z x y z

18. 2 2( , , ) ln(4 )f x y z x y z

B. Problemas de Aplicacin:

1. Costo de produccin. Una caja rectangular abierta por arriba tiene x pies de

longitud, y pies de ancho y z pies de alto. Construir la base cuesta $0.75por

pie cuadrado y construir los lados $0.40por pie cuadrado. Expresar el costo C

de construccin de la caja en funcin de , ,x y z .

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2. Modelo de construccin. Se elabora una caja rectangular cerrada con tres

tipos de materiales de de modo que contenga un volumen 16 pies3. El material

para la tapa y el fondo cuesta $0.18 por pie cuadrado, el material para las partes

delantera y trasera cuesta $0.16 por pie cuadrado, y el material para las otras

dos caras cuesta $0.12 por pie cuadrado. (a) Obtenga un modelo matemtico

que exprese el costo total del material como una funcin de las dimensiones,

las partes delanteras y trasera. Determine el dominio de la funcin.

(b)Cul es el costo del material si las dimensiones de las partes delantera y

trasera son 2 pie y 4 pie, donde 4 pie es la altura de la caja?

3. Un slido rectangular del primer octante, con tres caras en los ejes planos

coordenados, tiene un vrtice en el origen y el vrtice opuesto en el punto

( , , )x y z en el plano 3 2 6x y z . (a)Obtenga un modelo matemtico que

exprese el volumen de la caja como una funcin de las dimensiones de la base.

Determine el dominio de la funcin. (b) Cul es el volumen si la base es un

cuadrado de lado 1.25 unidades?

4. (a) Obtenga un modelo matemtico que exprese el rea total de la superficie

del slido del ejercicio 3, como una funcin de las dimensiones de la base.

Determine el dominio de la funcin. (b) Cul es el rea total de la superficie si

la base es un cuadrado de lado 1.25 unidades?

5. Volumen. Un tanque de propano se construye soldando hemisferios a los

extremos de un cilindro circular recto. Expresar el volumen V del tanque en

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funcin de r y l , donde r es el radio del cilindro y de los hemisferios, y l es la

longitud del cilindro.

6. Ley de los gases ideales. De acuerdo con la ley de los gases ideales , PV k T

, donde P es la presin V es el volumen, T es la temperatura y k es una

constante de proporcionalidad. Un tanque contiene 2600 pulgadas cbicas de

nitrgeno a una presin de 20 libras por pulgada cuadrada y una temperatura de

300 K.

a) Determine k .

b) Expresar P como una funcin de V y T y describir las curvas de nivel.

7. Un cono circular recto de base r cm se encuentra inscrito en una esfera de R

cm de radio. Calcular el volumen del cono en funcin de los radios

mencionados.

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8. Una tapa cnica descansa sobre la parte superior de un cilindro circular. Si la

altura de la tapa es dos tercios de la altura del cilindro, exprese el volumen del

slido como una funcin de las variables indicadas.

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