funciones de varias variables

884 CAPÍTULO 13 Funciones de varias variables

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V �%�� '��W(��.�6� �! X(��.�+� �.0I� ��

Hasta ahora en este texto, sólo se han visto funciones de una sola variable (indepen-diente). Sin embargo, muchos problemas comunes son funciones de dos o más variables.Por ejemplo, el trabajo realizado por una fuerza y el volumen de un cilindrocircular recto son funciones de dos variables. El volumen de un sólido rec-tangular es una función de tres variables. La notación para una función dedos o más variables es similar a la utilizada para una función de una sola variable. Aquíse presentan dos ejemplos.

Función de 2 variables.

2 variables

y

Función de 3 variables.

3 variables

En la función dada por y son las y variables independientes y zes la variable dependiente.

Pueden darse definiciones similares para las funciones de tres, cuatro o n va-riables donde los dominios consisten en tríadas (x1, x2, x3), tétradas (x1, x2, x3, x4) y

adas (x1, x2, . . ., xn). En todos los casos, el recorrido o rango es un conjunto denúmeros reales. En este capítulo, sólo se estudian funciones de dos o tres variables.

Como ocurre con las funciones de una variable, la manera más común paradescribir una función de varias variables es por medio de una ecuación, y a menos quese diga explícitamente, se puede suponer que el dominio es el conjunto de todos lospuntos para los que la ecuación está definida. Por ejemplo, el dominio de la funcióndada por

se supone que es todo el plano xy. Similarmente, el dominio de

es el conjunto de todos los puntos en el plano para los que Esto consisteen todos los puntos del primer y tercer cuadrantes.

xy Y 0.�x, y�

f �x, y� � ln xy

f �x, y� � x2 � y2

n-

yxz � f �x, y�,

w � f �x, y, z� � x � 2y � 3z

z � f �x, y� � x2 � xy

�V � lwh��V � � r2h�

�W � FD�

Z�[]\]^+_`[]a \cb []d+eDf�gBh]\]i]a j]j]h+k lcm$ncocp l$ncmcqcrsct$u/vxwzy`{ | | vB} vB{ ~$� vxwxvx} ��$tcwBvz|c�cw tc�D| vxu/�Q�cv� wxvx�`w=u+tc�cvx| tc}��cvxtcu/�x� wz{ � tc}��cvB� �$~ � { tc~cvx}G�$vy��`wz{ �`}Gy��`wz{ ��$| vz} ��s$��| { �cw t�u/�`} � t$~ct � { �ct]��D�$�=�-�x� �c�`�c� �x�B�`�� c�B�/�x�� x�c� ��} vB�c�$�$| { � �vx~�� c =�x�

Arc

hive

Pho

tos

¡£¢¥¤R¦£§©¨�ª3«X¬6¯®Comparación de dimensiones Sinusar una graficadora, describir la grá-fica de cada función de dos variables.

a)b)c)d)e) z � �1 � x2 � y2

z � �x2 � y2

z � x2 � y

z � x � y

z � x2 � y2

°%±/²>³ ´�³ µ�³ ¶�´'·�±¹¸�´»º¼²z¸�´»µ�³ ¶�´'·»±3·»½�¾!¿�º+ÀÁ³ º6Â»Ã ±/¾

Sea D un conjunto de pares ordenados de números reales. Si a cada par ordena-do (x, y) de D le corresponde un único número real f(x, y), entonces se dice quef es una función de x y y. El conjunto D es el dominio de f, y el correspon-diente conjunto de valores f(x, y) es el rango o recorrido de f.

Ä�ÅzÄ�ÆÈÇ»É!ÊÌË Í%Î,ÏÑÐzÒ!ÐzÎ�Ó�Ô!ÕÈÖ�×,Ò!Ø/ÐzÎ,Ò,Õ�Ó�Ô,ÕÚÙ�Û�ÜÝÐzÛ»Ó�Ù�Û�ÜÝÐzÛ»Þ!ßzÕ�Ó

Hallar el dominio de cada función.

a) b)

Solución

a) La función está definida para todos los puntos tales que y

Por tanto, el dominio es el conjunto de todos los puntos que están en el círculoo en su exterior, con excepción de los puntos en el eje y, como se

muestra en la figura 13.1.b) La función g está definida para todos los puntos tales que

Por consiguiente, el dominio es el conjunto de todos los puntos que seencuentran en el interior de la esfera de radio 3 centrada en el origen.

Las funciones de varias variables pueden combinarse de la misma manera que lasfunciones de una sola variable. Por ejemplo, se puede formar la suma, la diferencia,el producto y el cociente de funciones de dos variables como sigue.

No se puede formar la composición de dos funciones de varias variables. Sin embar-go, si es una función de varias variables y es una función de una sola variable,puede formarse la función compuesta como sigue.

El dominio de esta función compuesta consta de todo en el dominio de tal queestá en el dominio de Por ejemplo, la función dada por

puede verse como la composición de la función de dos variables dadas por y la función de una sola variable dada por El dominio de

esta función es el conjunto de todos los puntos que se encuentran en la elipse dada por4x2 � y2 � 16 o en su interior.

Una función que puede expresarse como suma de funciones de la forma (donde c es un número real y m y n son enteros no negativos) se llama una funciónpolinómica de dos variables. Por ejemplo, las funciones dadas por

y

son funciones polinómicas de dos variables. Una función racional es el cociente dedos funciones polinómicas. Terminología similar se utiliza para las funciones de másde dos variables.

g�x, y� � 3xy2 � x � 2f �x, y� � x2 � y2 � 2xy � x � 2

cxmyn

g�u� � �u.16 � 4x2 � y2h �x, y� �

f �x, y� � �16 � 4x2 � y2

g.h �x, y�h�x, y�

�g � h��x, y�gh

�x, y, z�

x2 � y2 � z2 à 9.

�x, y, z�

x2 � y2 � 9,

x2 � y2 9.

x � 0�x, y�f

g�x, y, z� �x

�9 � x2 � y2 � z2f �x, y� ��x2 � y2 � 9

x

SECCIÓN 13.1 Introducción a las funciones de varias variables 885

Figura 13.1

Composición.�g � h��x, y� � g�h�x, y��

Suma o diferencia.

Producto.

Cociente.fg

�x, y� �f �x, y�g�x, y� g�x, y� � 0

� f g� �x, y� � f �x, y�g�x, y�� f ± g��x, y� � f �x, y� ± g�x, y�

á�âÁã!äæå ç�èêé�ëWì%í�èêäDì%í�ç�å î�í¯é�ëWé�ï�ð'ñ�è.â+å è.òIó ë�ð

Como en el caso de las funciones de una sola variable, se puede saber mucho acercadel comportamiento de una función de dos variables dibujando su gráfica. La gráficade una función f de dos variables es el conjunto de todos los puntos para losque y está en el dominio de f. Esta gráfica puede interpretarsegeométricamente como una superficie en el espacio, como se explicó en las secciones11.5 y 11.6. En la figura 13.2, hay que observar que la gráfica de es unasuperficie cuya proyección sobre el plano xy es D, el dominio de f. A cada punto (x, y) en D corresponde un punto (x, y, z) de la superficie y, viceversa, a cada punto (x,y, z) de la superficie le corresponde un punto (x, y) en D.

ô�õzô�öÈ÷»ø!ùûú ü%ý�þBÿ��,ÿ��,ý ��xÿ��!ý��!ÿ��,ý ��,þ��xý�þ

¿Cuál es el recorrido o rango de Describir la gráfica de f.

Solución El dominio D dado por la ecuación de f es el conjunto de todos los puntos(x, y) tales que Por tanto, D es el conjunto de todos los puntosque pertenecen o son interiores a la elipse dada por

Elipse en el plano xy.

El recorrido o rango de f está formado por todos los valores tales queo

Recorrido o rango de f.

Un punto (x, y, z) está en la gráfica de f si y sólo si

De acuerdo con la sección 11.6, se sabe que la gráfica de f es la mitad superior de unelipsoide, como se muestra en la figura 13.3.

Para dibujar a mano una superficie en el espacio, es útil usar trazas en planosparalelos a los planos coordenados, como se muestra en la figura 13.3. Por ejemplo,para hallar la traza de la superficie en el plano se sustituye en la ecuación

y se obtiene

Por tanto, la traza es una elipse centrada en el punto (0, 0, 2) con ejes mayor y menorde longitudes y

Las trazas también se usan en la mayor parte de las graficadoras tridimensionales.Por ejemplo, la figura 13.4 muestra una versión generada por computadora de lasuperficie dada en el ejemplo 2. En esta gráfica la calculadora tomó 25 trazas parale-las al plano xy y 12 trazas en planos verticales.

Si se dispone de una graficadora tridimensional, utilícese para representar variassuperficies.

2�3.4�3

x2

3�

y2

12� 1.2 � �16 � 4x2 � y2

z � �16 � 4x2 � y2z � 2z � 2,

x2

4�

y2

16�

z2

16� 1, 0 z 4.

4x2 � y2 � z2 � 16z2 � 16 � 4x2 � y2

z � �16 � 4x2 � y2

0 z 4.

0 z �16z � f �x, y�

x2

4�

y2

16� 1.

16 � 4x2 � y2 0.

f �x, y� � �16 � 4x2 � y2?

z � f �x, y�

�x, y�z � f �x, y��x, y, z�


Figura 13.2

"!$#&%('*) + ,(!$-&..�/10 !$23+ 4�!*-5/ 6&78.�%(+ 98%:-8.:6&;5.(0 + 7&/ 98+ -&.Figura 13.3

<�=?> @ � � � A(B � CD=FE � @�E

Figura 13.4

GIHKJML3N�OQPSRUTSV L�RXW

Una segunda manera de visualizar una función de dos variables es usar un campoescalar en el que el escalar se asigna al punto Un campo escalarpuede caracterizarse por sus curvas de nivel (o líneas de contorno) a lo largo de lascuales el valor de es constante. Por ejemplo, el mapa climático en la figura 13.5muestra las curvas de nivel de igual presión llamadas isobaras. Las curvas de nivelque re-presentan puntos de igual temperatura en mapas climáticos, se llaman isoter-mas, como se muestra en la figura 13.6. Otro uso común de curvas de nivel es la rep-resentación de campos de potencial eléctrico. En este tipo de mapa, las curvas de nivelse llaman líneas equipotenciales.

Los mapas de contorno suelen usarse para representar regiones de la superficie dela Tierra, donde las curvas de nivel representan la altura sobre el nivel del mar. Estetipo de mapas se llama mapa topográfico. Por ejemplo, la montaña mostrada en lafigura 13.7 se representa por el mapa topográfico de la figura 13.8.

Un mapa de contorno representa la variación de z respecto a x y y mediante espa-cio entre las curvas de nivel. Una separación grande entre las curvas de nivel indica quez cambia lentamente, mientras que un espacio pequeño indica un cambio rápido en z.Además, en un mapa de contorno para dar una mejor ilusión tridimensional es impor-tante elegir valores de c uniformemente espaciados.

f �x, y�

�x, y�.z � f �x, y�


Figura 13.7

Y"Z\[1]�^8_(`*Z*[Ma8b:c&d `eb�f&gh^&b([ i�_(Z\c5f Z\[1f j c8b�Z*[Ma8bd k&^8Z\f&l8_(b([ d m&con d [�p8q8Z\_(Z*[�r1g3b�a8d a8Z\[1b�cg5d f d q8Z\_sb�[Figura 13.5

Y"Z\[1]�^8_(`*Z*[Ma8b:c&d `eb�f&gh^&b([ i�_(Z\c5f j c&b(Z*[Ma8b:d k8^&Z*fi�b�g3l8b(_�Zti�^8_(Zun d [ p&i�b(_�g5Z*[ rMg3b(a&d a&Z*[Mb(c5k&_(Z*a&p8[v1Z\w8_(b(c&w8b(d iFigura 13.6

Figura 13.8

USG

S

Alf

red

B. T

hom

as/E

arth

Sce

nes

x�y�x�z�{$|�}�~ �K��?��$�� ?��

El hemisferio dado por se muestra en la figura 13.9. Di-bujar un mapa de contorno de esta superficie utilizando curvas de nivel que corres-pondan a

Solución Para cada c, la ecuación dada por es un círculo (o un punto) enel plano xy. Por ejemplo, para la curva de nivel es

Círculo de radio 8.

la cual es un círculo de radio 8. La figura 13.10 muestra las nueve curvas de nivel delhemisferio.

x�y�x�z�{$|�}�� K��?��$�� ?��

El paraboloide hiperbólico dado por

se muestra en la figura 13.11. Dibujar un mapa de contorno de esta superficie.

Solución Para cada valor de c, sea y dibújese la curva de nivel resultanteen el plano xy. Para esta función, cada una de las curvas de nivel es una hipér-bola cuyas asíntotas son las rectas Si el eje transversal es horizontal.Por ejemplo, la curva de nivel para está dada por

Hipérbola con eje transversal horizontal.

Si el eje transversal es vertical. Por ejemplo, la curva de nivel para estádada por

Hipérbola con eje transversal vertical.

Si la curva de nivel es la cónica degenerada representada por las asíntotas quese cortan, como se muestra en la figura 13.12.

c � 0,

y2

22 �x2

22 � 1.

c � 4c � 0,

x2

22 �y2

22 � 1.

c � �4c � 0,y � ±x.

�c � 0�f �x, y� � c

z � y2 � x2

x2 � y2 � 64

c1 � 0,f �x, y� � c

c � 0, 1, 2, . . . , 8.

f �x, y� � �64 � x2 � y2


�5�(�3� � � �(�(� �Figura 13.9

��*�&�$ 8�:¡(�&¢8£��&��¢&�Figura 13.10

¤"�\�(�t¥8�§¦ �8� &�"¨&� �8�(��¥8©&¦ � ¡(�Figura 13.11

ª"« �(¬*�*�M 8�:¢8� ¬e�(¦?¨8� �8��(¥8©&¦ � ¡��*� ¡(�8¢5� ¢&¡(�s��3�(¢8£��&�1 &�5®(¯Figura 13.12

Un ejemplo de función de dos variables utilizada en economía es la función deproducción de Cobb-Douglas. Esta función se utiliza como un modelo para repre-sentar el número de unidades producidas al variar las cantidades de trabajo y capital.Si x mide las unidades de trabajo y y mide las unidades de capital, el número deunidades producidas está dado por

donde y son las constantes con

°�±�°�²�³$´�µ�¶ ·�¸�¹�º�»�¼�½�¾»�¿�À Á�Â1Ã�¿�º�¼�¼�½�¾»�¿�À ÄÅÃ�Æ�Æ�Ç1ÈÉÃº�ÊhË�¸$Ì

Un fabricante de juguetes estima que su función de producción es donde x es el número de unidades de trabajo y y es el número de unidades de capital.Comparar el nivel de producción cuando x � 1 000 y y � 500 con el nivel de produc-ción cuando x � 2 000 y y � 1 000.

Solución Cuando x � 1 000 y y � 500, el nivel de producción es

ƒ(1 000, 500) � 100(1 0000.6)(5000.4) � 75 786.

Cuando x � 2 000 y y � 1 000, el nivel de producción es

ƒ(2 000, 1 000) � 100(2 0000.6)(1 0000.4) � 151 572.

Las curvas de nivel de se muestran en la figura 13.13. Nótese que al doblarambas x y y, se duplica el nivel de producción (ver ejercicio 79).

ÍÏÎKÐhÑXÒ&Ó1Ô ÕSÔ ÑÖQ×SÑUØSÔ Ù�ÑÛÚ

El concepto de curva de nivel puede extenderse una dimensión para definir una super-ficie de nivel. Si f es una función de tres variables y c es una constante, la gráfica dela ecuación es una superficie de nivel de la función f, como se muestraen la figura 13.14.

Gracias a las computadoras, ingenieros y científicos han desarro-llado otras man-eras de visualizar las funciones de tres variables. Por ejemplo, la figura 13.15 mues-tra una simulación por computadora que utiliza colores para representar la distribu-ción óptima de esfuerzos en la puerta de un automóvil.

f �x, y, z� � c

z � f �x, y�

f �x, y� � 100x0.6y0.4,

0 Ü a Ü 1.aC

f �x, y� � Cxa y1�a


Ý"Þ8ß(à*á*âMã&ä"å&æ àeä�ç:è é(ê&å5æ å8é(ß(ä(ë3ä(å&ì�ê8âMã8ä5í�î5î8î&î8ïFigura 13.13

ð&Þ8ñ&ä(ß(ò æ é(æ ä(âMã8ä:å&æ àeä(ç?ã8äFigura 13.14

ó

Figura 13.15

ô õö ÷øùõúûüûýøõù÷ö úû�þÿ�� þ

� ûüö õ� �û�� û÷û�ö �õ� ý�öýõõùú�� ýü þ

� �!� "$#&%('*) +-,(.(/103254!674!/18:9(/$;(4!<7/1=

Describir las superficies de nivel de la función

Solución Cada superficie de nivel tiene una ecuación de la forma

Ecuación de una superficie de nivel.

Por tanto, las superficies de nivel son elipsoides (cuyas secciones transversales para-lelas al plano yz son círculos). A medida que c aumenta, los radios de las seccionestransversales circulares aumentan según la raíz cuadrada de c. Por ejemplo, las super-ficies de nivel correspondientes a los valores c � 0, c � 4 y c � 16 son como sigue.

Superficie de nivel para (un solo punto).

Superficie de nivel para (elipsoide).

Superficie de nivel para (elipsoide).

Estas superficies de nivel se muestran en la figura 13.16.

NOTA Si la función del ejemplo 6 representara la temperatura en el punto (x, y, z), las super-ficies de nivel mostradas en la figura 13.16 se llamarían superficies isotermas.

>@?BA(CED FHG(IKJ1L:?:FHLNMOJ1PRQ3G(SRL:?BG

El problema de dibujar la gráfica de una superficie en el espacio puede simplificarseusando una computadora. Aunque hay varios tipos de graficadoras tridimensionales,la mayoría utiliza alguna forma de análisis de trazas para dar la impresión de tresdimensiones. Para usar tales graficadoras, por lo general se necesita dar la ecuaciónde la superficie, la región del plano xy sobre la cual la superficie ha de visualizarse yel número de trazas a considerar. Por ejemplo, para representar gráficamente la super-ficie dada por

se podrían elegir los límites siguientes para x, y y z.

Límites para .

Límites para .

Límites para .

La figura 13.17 muestra una gráfica de esta superficie generada por computadora uti-lizando 26 trazas paralelas al plano yz. Para realizar el efecto tridimensional, el pro-grama utiliza una rutina de “línea oculta”. Es decir, comienza dibujando las trazas enprimer plano (las correspondientes a los valores mayores de x), y después, a medidaque se dibuja una nueva traza, el programa determina si mostrará toda o sólo parte dela traza siguiente.

Las gráficas en la página siguiente muestran una variedad de superficies quefueron dibujadas por una computadora. Si se dispone de un programa de computado-ra para dibujo, podrán reproducirse estas superficies.

z 0 z 3

y�3 y 3x�3 x 3

f �x, y� � �x2 � y2�e1�x2�y2

c � 16x2

4�

y2

16�

z2

16� 1

c � 4x2

1�

y2

4�

z2

4� 1

c � 0 4x2 � y2 � z2 � 0

4x2 � y2 � z2 � c.

f �x, y, z� � 4x2 � y2 � z2.


Figura 13.16

Figura 13.17


TVUXWXY[Z]\ Y ^�_]Y[`V\ a WXUXWXbV^�WXY[`cWed _&fcUXg]a \ hX_&`VW i� jBk l � � � m � lBn � j5n � oqp � r]s � �tVs �u �

TVUX_]v5_]Y[w&hXxVU5Zy_qYz`cWebc\ Z{WXdc`cWed _&fcUXg]a \ hX_&`VW7i� jBk l � �

� |zjj n � l n � }

TVUX_]v5_]Y[Y \ ~��Vd WXY TVUX_]v5_]Y[`V�c��d W5Y � xVU5Zy_qYz`cW�bV\ Z{WXd

En los ejercicios 1 a 4, determinar si z es una función de x y y.

1. 2.

3. 4.

En los ejercicios 5 a 16, hallar y simplificar los valores de la fun-ción.

5.a) b) c)

d) e) f)

6.a) b) c)

d) e) f)

7.a) b) c)

d) e) f)

8.a) b) c)

d) e) f)

9.

a) b) c) d)

10.a) b)

c) d)

11. f(x, y) � x sen y

a) b) c) d)

12.a) b) c) d)

13.

a) b) c) d)

14.

a) b) c) d)

15. 16.

a) a)

b) b)

En los ejercicios 17 a 28, describir el dominio y rango o recorri-do de la función.

17. 18.19. f(x, y) � arcsen(x � y) 20.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

29. Para pensar Las gráficas marcadas a), b), c) y d) son gráficasde la función Asociar cada grá-fica con el punto en el espacio desde el que la superficie esvisualizada. Los cuatro puntos son (20, 15, 25), (�15, 10, 20),(20, 20, 0) y (20, 0, 0)

a) b)

c) d)

30. Para pensar Usar la función dada en el ejercicio 29.

a) Hallar el dominio y recorrido o rango de la función.

b) Identificar los puntos en el plano xy donde el valor de la fun-ción es 0.

c) ¿Pasa la superficie por todos los octantes del sistema decoordenadas rectangular? Dar las razones de la respuesta.

En los ejercicios 31 a 38, dibujar la superficie dada por la función.

31. 32.33. 34.35. 36.37.

38.

En los ejercicios 39 a 42, utilizar un sistema computarizadopara álgebra y representar gráficamente la función.

39. 40.41. 42. f(x, y) � x sen yf �x, y� � x2e��xy�2�

z �112�144 � 16x2 � 9y2z � y2 � x2 � 1

f �x, y� � �xy,0,

x 0, y 0x � 0 or y � 0

f �x, y� � e�x

z �12�x2 � y2z � 4 � x2 � y2

g�x, y� �12xf �x, y� � y2

f �x, y� � 6 � 2x � 3yf �x, y� � 5

f �x, y� � �4x��x2 � y2 � 1�.

g�x, y� � x�yg�x, y� �1xy

f �x, y� � x2 � y2f �x, y� � ex�y

z �xy

x � yz �

x � yxy

f �x, y� � ln�xy � 6�f �x, y� � ln�4 � x � y�

f �x, y� � arccos�y�x�f �x, y� � �4 � x2 � 4y2f �x, y� � �4 � x2 � y2

f �x, y � �y� � f �x, y��y

f �x, y � �y� � f �x, y��y

f �x � �x, y� � f �x, y��x

f �x � �x, y� � f �x, y��x

f �x, y� � 3xy � y2f �x, y� � x2 � 2y

�12, 7��2, 5��6, 3��4, 1�

g�x, y� � �y

x

1t

dt

�0, 32��3

2, 4��1, 4��0, 4�

g�x, y� � �y

x�2t � 3� dt

�6, 4��4, 8��5, 2��3, 10�V�r, h� � � r2h

�4,�

2��3,�

3�3, 1��2,�

4

�10, �4, �3��4, 6, 2��6, 8, �3��0, 5, 4�

f �x, y, z� � �x � y � z

�5, 4, �6��2, 3, 4��1, 0, 1��2, 3, 9�

h�x, y, z� �xyz

�e, e��2, �3��0, 1��e, 0��5, 6��2, 3�

g�x, y� � lnx � y�t, t��x, 2��5, y��2, �1��3, 2��5, 0�

f �x, y� � xey

�t, 1��x, 0��1, y��2, 3��0, 1��0, 0�

f �x, y� � 4 � x2 � 4y2

�5, t��x, 2��5, y��30, 5��1, 4��3, 2�

f �x, y� � x�y

z � x ln y � 8 � 0x2

4�

y2

9� z2 � 1

xz2 � 2xy � y2 � 4x2z � yz � xy � 10


�z�e��V�R� �R� ��R�� *�e��H�R� �N��-��X�

43. Conjetura Considerar la función

a) Dibujar la gráfica de la superficie dada por f.

b) Formular una conjetura acerca de la relación entre las gráfi-cas de y Utilizar un sistema compu-tarizado para álgebra y confirmar la res-puesta.

c) Formular una conjetura acerca de la relación entre las gráfi-cas de y Utilizar un sistema compu-tarizado para álgebra y confirmar la respuesta.

d) Formular una conjetura acerca de la relación entre las gráfi-cas de y Utilizar un sistema compu-tarizado para álgebra y confirmar la respuesta.

e) En la superficie del apartado a), dibujar las gráficas dey

44. Conjetura Considerar la función para y

a) Dibujar la gráfica de la superficie dada por

b) Formular una conjetura sobre la relación entre las gráficasde y Utilizar un programa infor-mático de álgebra para confirmar su respuesta.

c) Formular una conjetura sobre la relación entre las gráficasde y Utilizar un programa informáticode álgebra para confirmar su respuesta.

d) Formular una conjetura sobre la relación entre las gráficasde y Utilizar un programa informáticode álgebra para confirmar su respuesta.

e) Sobre la superficie del apartado a), dibujar las gráficas de

En los ejercicios 45 a 48, asociar la gráfica de la superficie conuno de los mapas de contorno. [Los mapas de contorno estánmarcados a), b), c) y d).]

a) b)

c) d)

45. 46.

47. 48.

En los ejercicios 49 a 56, describir las curvas de nivel de la fun-ción. Dibujar las curvas de nivel para los valores dados de c.

49.50.51.52.53.54.

55.

56.

En los ejercicios 57 a 60, utilizar una graficadora para repre-sentar seis curvas de nivel de la función.

57. 58.

59. 60. h(x, y) � 3 sen(�x � � �y �)g�x, y� �8

1 � x2 � y2

f �x, y� � xyf �x, y� � x2 � y2 � 2

c � 0, ±12, ±1, ±

32, ±2f �x, y� � ln�x � y�,

c � ±12, ±1, ±

32, ±2f �x, y� �

xx2 � y2,

c � 2, 3, 4, 12, 13, 1

4f �x, y� � exy�2,

c � ±1, ±2, . . . , ±6f �x, y� � xy,

c � 0, 2, 4, 6, 8f �x, y� � x2 � 2y2,

c � 0, 1, 2, 3, 4, 5z � �25 � x2 � y2,

c � 0, 2, 4, 6, 8, 10z � 6 � 2x � 3y,

c � �1, 0, 2, 4z � x � y,

f �x, y� � cos �x2 � 2y2

4 f �x, y� � lny � x2

f �x, y� � e1�x2�y2f �x, y� � e1�x2�y2

z � f �x, x�.

g�x, y� �12 f �x, y�.f

g�x, y� � �f �x, y�.f

g�x, y� � f �x, y� � 3.f

f.

y 0.x 0f �x, y� � xy,

z � f �x, 1�.z � f �1, y�

g�x, y� � 4 � f �x, y�.f

g�x, y� � f �x, y � 2�.f

g�x, y� � f �x, y� � 2.f

f �x, y� � x2 � y2 .


�� e¡£¢�¢¥¤N¦X¦ ¤¨§R�ª©H¤:«H©H�¬H®[¤¯

61. Definir una función de dos variables.

62. ¿Qué es una gráfica de una función de dos variables? ¿Cómose interpreta geométricamente? Describir las curvas de nivel.

63. Todas las curvas de nivel de la superficie dada por son círculos concéntricos. ¿Implica esto que la gráfica de f esun hemisferio? Ilustrar la respuesta con un ejemplo.

64. Construir una función cuyas curvas de nivel sean rectas quepasen por el origen.

z � f �x, y�

Redacción En los ejercicios 65 y 66, utilizar las gráficas de lascurvas de nivel (valores de c uniformemente espaciados) de lafunción f para dar una descripción de una posible gráfica de f.¿Es única la gráfica de f ? Explicar la respuesta.

65. 66.

67. Inversión En el 2005 se efectuó una inversión de $1 000 al10% de interés compuesto anual. Suponemos que el com-prador paga una tasa de impuesto R y que la tasa de inflaciónanual es I. En el año 2015, el valor V de la inversión en dólaresconstantes de 2005 es

Utilizar esta función de dos variables para completar la tabla.

68. Inversión Se depositan $1 000 en una cuenta de ahorro quegana una tasa de interés compuesto continuo r (expresado enforma decimal). La cantidad A(r, t) después de t años es

A(r, t) � 1 000ert.

Utilizar esta función de dos variables para completar la tabla.

En los ejercicios 69 a 74, dibujar la gráfica de la superficie denivel en el valor dado de c.

69.70.71.72.

73.74. f(x, y, z) � sen x � z ,

75. Explotación forestal La regla de los troncos de Doyle es unode varios métodos para determinar el rendimiento en maderaaserrada (en tablones-pie) en términos de su diámetro d (en pul-gadas) y su longitud L (en pies). El número de tablones-pie es

a) Hallar el número de tablones-pie de madera aserrada pro-ducida por un tronco de 22 pulgadas de diámetro y 12 piesde longitud.

b) Evaluar

76. Modelo de colas La cantidad de tiempo promedio que uncliente espera en una cola para recibir un servicio es

donde y es el ritmo o tasa media de llegadas, expresada comonúmero de clientes por unidad de tiempo, y x es el ritmo o tasamedia de servicio, expresada en las mismas unidades. Evaluarcada una de las siguientes cantidades.

a) b) c) d)

77. Distribución de temperaturas La temperatura T (en gradosCelsius) en cualquier punto (x, y) de una placa circular de acerode 10 metros de radio es

donde x y y se miden en metros. Dibujar algunas de las curvasisotermas.

78. Potencial eléctrico El potencial eléctrico V en cualquier punto(x, y) es

Dibujar las curvas equipotenciales de y

79. Función de producción de Cobb-Douglas Utilizar la funciónde producción de Cobb-Douglas (ver ejemplo 5) para mostrarque si el número de unidades de trabajo y el número de unidadesde capital se duplica, el nivel de producción también se duplica.

80. Función de producción de Cobb-Douglas Mostrar que la fun-ción de producción de Cobb-Douglas puede rees-cribirse como

81. Costo de construcción Una caja rectangular abierta por arri-ba tiene x pies de longitud, y pies de ancho y z pies de alto.Construir la base cuesta $0.75 por pie cuadrado y construir loslados $0.40 por pie cuadrado. Expresar el costo C de construc-ción de la caja en función de x, y y z.

82. Volumen Un tanque de propano se construye soldando hemis-ferios a los extremos de un cilindro circular recto. Expresar elvolumen V del tanque en función de r y l, donde r es el radio delcilindro y de los hemisferios, y l es la longitud del cilindro.

lnzy

� ln C � a ln xy.

z � Cxay1�a

V �14.V �

13,V �

12,

V�x, y� �5

�25 � x2 � y2.

T � 600 � 0.75x2 � 0.75y2

W�4, 2�W�12, 6�W�12, 9�W�15, 10�

W�x, y� �1

x � y, x ° y

N�30, 12�.

N�d, L� � �d � 44

2

L.

c � 0

c � 0f �x, y, z� � 4x2 � 4y2 � z2,

c � 1f �x, y, z� � x2 �14y2 � z,

c � 9f �x, y, z� � x2 � y2 � z2,

c � 4f �x, y, z� � 4x � y � 2z,

c � 6f �x, y, z� � x � 2y � 3z,

f �x, y, z � c

V( I, R) =1 0001+ 0.10(1 R)

1 + I

10


Tasa deTasa de inflación

impuestos 0 0.03 0.05

0

0.28

0.35

Número de años

Tasa 5 10 15 20

0.02

0.04

0.06

0.08

83. Ley de los gases ideales De acuerdo con la ley de los gasesideales, donde es la presión, es el volumen, esla temperatura (en kelvins) y k es una constante de propor-cionalidad. Un tanque contiene 2 600 pulgadas cúbicas denitrógeno a una presión de 20 libras por pulgada cuadrada y unatemperatura de 300 K.

a) Determinar

b) Expresar P como función de V y T y describir las curvas denivel.

84. Modelo matemático La tabla muestra las ventas netas x (enmiles de millones de dólares), los activos totales y (en miles demillones de dólares) y los derechos de los accionistas z (enmiles de millones de dólares) de Wal-Mart desde 1998 hasta el2003. (Fuente: 2003 Annual Report for Wal-Mart)

Un modelo para estos datos es

a) Utilizar una graficadora y el modelo para aproximar z paralos valores dados de x y y.

b) ¿Cuál de las dos variables en este modelo tiene mayor in-fluencia sobre los derechos de los accionistas?

c) Simplificar la expresión de e interpretar su signifi-cado en el contexto del problema.

85. Meteorología Los meteorólogos miden la presión atmosféri-ca en milibares. A partir de estas observaciones elaboran mapasclimáticos en los que se muestran las curvas de presión atmos-férica constante (isobaras) (ver la figura). En el mapa, mientrasmás juntas están las isobaras es mayor la velocidad del viento.Asociar los puntos A, B y C con a) la mayor presión, b) lamenor presión y c) la mayor velocidad del viento.

Figura para 85 Figura para 86

86. Lluvia ácida La acidez del agua de lluvia se mide en uni-dades llamadas pH. Un pH de 7 es neutro, valores menores co-rresponden a acidez creciente, y valores mayores a alcalinidadcreciente. El mapa muestra las curvas de pH constante y da evi-dencia de que en la dirección en la que sopla el viento de áreasmuy industrializadas la acidez ha ido aumentando. Utilizar lascurvas de nivel en el mapa, para determinar la dirección de losvientos dominantes en el noreste de Estados Unidos.

87. Uso del aire acondicionado El mapa de contorno mostradoen la figura representa el promedio estimado de horas anualesde uso de aire acondicionado en los hogares. (Fuente: Associa-tion of Home Appliance Manufacturers)

a) Hacer un análisis del uso de colores para representar las cur-vas de nivel.

b) ¿Corresponden las curvas de nivel a horas de uso anual uni-formemente espaciadas? Explicar.

c) Describir cómo obtener un mapa de contorno más detallado.

88. Geología El mapa de contorno de la figura representa ampli-tudes sísmicas en código de color de una falla horizontal y unmapa de contorno proyectado que se usa en los estudios de te-rremotos. (Fuente: Adaptado de Shipman/Wilson/Todd, An In-troduction to Physical Science, Eighth Edition)

a) Analizar el uso de colores para representar las curvas de nivel.

b) ¿Corresponden las curvas de nivel a amplitudes uniforme-mente espaciadas? Explicar.

¿Verdadero o falso? En los ejercicios 89 a 92, determinar si ladeclaración es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué odar un ejemplo que demuestre que es falsa.

89. Si entonces y

90. Una recta vertical puede cortar la gráfica de a losumo una vez.

91. Si es una función, entonces

92. La gráfica de es un paraboloide hiperbólico.f �x, y� � x2 � y2

f �ax, ay� � a2f �x, y�.f

z � f �x, y�y0 � y1.x0 � x1f �x0, y0� � f �x1, y1�,

f �x, 55�

z � f �x, y� � 0.156x � 0.031y � 1.66.

k.

TVPPV � kT,


Año 1998 1999 2000 2001 2002 2003

118.0 137.6 165.0 191.3 217.8 244.5

45.4 50.0 70.3 78.1 83.5 94.7

18.5 21.1 25.8 31.3 35.1 39.3z

y

x

Geo

Que

st S

yste

ms,

Inc

.

funciones de varias variables

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