FUNCIONES DE VARIAS VARIABLESEn este captulo consideraremos el clculo de funciones que son, en la mayora de las veces, funciones de dos variables.POR EJEMPLO: Algunas funciones de dos variables.

DEFINICION: Una funcin de dos variables es una regla de correspondencia que asigna a cada par ordenado de nmeros reales (x,y) en el subconjunto del plano xy uno y solo numero z en el conjunto R de nmeros reales. El conjunto de pares ordenados (x,y) se llama dominio de la funcin y el conjunto de valores correspondientes de z recibe el nombre de rango. En la funcin dada por . Las variables x y y se denominan variables independientes de la funcin y z es la variable dependiente.Como ocurre con las funciones de una variable, la manera ms comn para describir una funcin de varias variables es por medio de una ecuacin, y a menos que se diga explcitamente lo contrario, se puede suponer que el dominio es el conjunto de todos los puntos para los que la ecuacin est definida.EJEMPLO I: DOMINIO DE UNA FUNCION DE DOS VARIABLES.A) Dado que encuentreB) Dibuje el dominio de la funcion.Solucin:A)

B) El dominio de consiste en todos los pares ordenados (x,y) para los cuales Como se ilustra en la figura 13.1.1 el dominio consiste en todos los puntos sobre las rectas y=x y y=-x, y es la regin sombreada entre ellas.GRAFICA DE UNA FUNCION DE DOS VARIABLES.

Como en el caso de las funciones de una sola variable, se puede saber mucho acerca del comportamiento de una funcin de dos variables dibujando su grfica. La grfica de una funcin f de dos variables es el conjunto de todos los puntos para los que y est en el dominio de f. Esta grfica puede interpretarse geomtricamente como una superficie en el espacio. En la figura hay que observar que la grfica de es una superficie cuya proyeccin sobre el plano xy es D, el dominio de f. A cada punto (x, y) en D corresponde un punto (x, y, z) de la superficie y, viceversa, a cada punto (x, y, z) de la superficie le corresponde un punto (x, y) en D.

EJEMPLO II: DESCRIPCION DE LA GRAFICA DE UNA FUNCION DE DOS VARIABLES.

Cul es el rango de ? Describir la grafica de f.

Solucion:El dominio D dado por la ecuacin de f es el conjunto de todos los puntos (x, y) tales que Por tanto, D es el conjunto de todos los puntos que pertenecen o son interiores a la elipse dada por

elipse en el plano xy. El rango de f est formado por todos los valores tales que o sea

Rango de f.Un punto (x, y, z) est en la grfica de f si y slo si. se sabe que la grfica de f es la mitad superior de un elipsoide, como se muestra en la figura.

CURVAS DE NIVELLas curvas de nivel de una funcin f tambin reciben el nombre de lneas de contorno. A nivel prctico, los mapas de contorno son usados ms a menudo para desplegar curvas de igual elevacin.

EJEMPLO III: CURVAS DE NIVEL.Las curvas de nivel de una funcin polinomial son la familia de curvas definidas por Como se muestra en la figura, cuando o un miembro de esta familia de curvas es una hiprbola. Para obtenemos las rectas y = x y y = -x.

EJEMPLO IV: El paraboloide hiperblico dado por Dibujar un mapa de contorno de esta superficie.

Solucion:Para cada valor de c, sea f(x,y)=c y dibjese la curva de nivel resultante en el plano xy. Para esta funcin, cada una de las curvas de nivel es una hiprbola cuyas asntotas son las rectas Si c0, el eje transversal es vertical. Por ejemplo, la curva de nivel para c=4 est dada por hiperbola con eje transv erzal vertical.Si c=0, la curva de nivel es la cnica degenerada representada por las asntotas que se cortan, como se muestra en la figura.

SUPERFICIES DE NIVELEl conjunto de puntos (x, y, z) en el espacio donde una funcin de tres variables independientes tiene un valor constante de f(x,y,z)=0 , es una superficie de nivel de f. EJEMPLO V: DESCRIPCIN DE LAS SUPERFICIES DE NIVEL DE UNA FUNCIN DE TRES VARIABLES.describa las superficies de nivel de la funcin

SOLUCION:El valor de f es la distancia del origen al punto (x, y, z). Cada superficie de nivel es una esfera de radio c con centro en el origen. La figura muestra una vista con un corte de estas esferas. La superficie de nivel consta slo del origen

LIMITES Y CONTINUIDAD

LIMITES La definicin del lmite de una funcin de dos o tres variables es similar a la definicin del lmitede una funcin de una sola variable, pero con una diferencial crucial.

EJEMPLO I: UN LIMITE QUE NO EXISTE.Demuestre que limite no existe.Solucion: La funcin se define en todas partes excepto en (0,0) dos maneras de aproximarse a son a lo largo del eje x (y=0) y a lo largo del eje y (x=0). En (y=0) se tiene.

Donde x=0 ,

EJEMPLO II: VERIFICAR UN LIMITE.

SOLUCION: En este caso, los lmites del numerador y del denominador son ambos 0, por tanto no se puede determinar la existencia (o inexistencia) del lmite tomando los lmites del numerador y del denominador por separado y dividiendo despus. Sin embargo parece razonable pensar que el lmite pueda ser 0. En consecuencia, se puede intentar aplicar la definicin de lmite a L=0 Primero, hay que observar que

Entonces, en un entorno de (0, 0), se tiene lo que, para (x, y) (0, 0) implica

Por tanto, se puede elegir y concluir que

CONTINUIDADAl igual que con la definicin de lmite, la definicin de continuidad se aplica a puntos frontera y a puntos interiores del dominio de f. El nico requisito es que el punto (x, y) est en el dominio en todo momento.

EJEMPLO III: ANALISIS DE CONTINUIDAD.

SOLUCION: a) Como una funcin racional es continua en todo punto de su dominio, se puede concluirque es continua en todo punto del plano xy excepto en (0, 0), como se muestra en la figura.b) La funcin dada por es continua excepto en los puntos en los cuales el denominador es 0, Por tanto, se puede concluir que la funcin es continua en todos los puntos excepto en los puntos en que se encuentra la parbola En el interior de esta parbola se tiene y la superficie representada por la funcin se encuentra sobre el plano xy, como se muestra en la figura. En el exterior de la parbola, y < x2, y la superficie se encuentra debajo del plano xy.

DERVADAS PARCIALESEl clculo de varias variables es bsicamente el clculo de una variable aplicado a varias variables a la vez. Al mantener constantes todas las variables independientes excepto una y derivar con respecto a esta variable, obtenemos una derivada parcial.

CALCULO DE UNA DERIVADA PARCIAL: En (1) observe que la variable y no cambia en el proceso del lmite, en otras palabras, y se mantiene fija. De manera similar, en la definicin del lmite (2) la variable x se mantiene fija. Las dos derivadas parciales de primer orden (1) y (2) representan entonces las tasas de cambio de f con respecto a x y y. En un nivel prctico tenemos las siguientes guas simples.

Por reglas de la diferenciacin ordinaria se entienden las reglas formuladas en el captulo3: reglas del mltiplo constante, suma, producto, cociente, potencia y de la cadena.

Para calcula r emplee las leyes de la diferenciacin ordinaria mientras trata a y como una constante. Para calcular emplee las leyes de la diferenciacin ordinaria mientras trata a xcomo una constante.

EJEMPLO I: DERIVADAS PARCIALES.

SOLUCION: Si se considera y como constante y se deriva con respecto a x se obtiene

Escribir la funcin original.

Derivada parcial con respecto a x.

Si se considera x constante y se deriva con respecto a y obtenemos

Escribir la funcin original

Derivada parcial con respecto a y.

EJEMPLO II: PENDIENTE DE RECTA TANGENTE.

Para encuentre la pendiente de la recta tangente en (2,1,4) en

a) el plano x=2 b) el plano y=1

Solucin: a) Al especificar el plano x _ 2, se mantienen todos los valores de x constantes. Por consiguiente, calculamos la derivada parcial de z con respecto a y:

b) En el plano y _ 1, y es constante y por ello encontramos la derivada parcial de z conRespecto a x:

Si entonces los valores de las derivadas parciales y en un punto tambin se denominan pendientes de la superficie en las direcciones x y y, respectivamente.

EJEMPLO III: LAS DERIVADAS PARCIALES PUEDEN SER FUNCIONES DIFERENTES DETERMINE Y SI.

SOLUCIN: Tratamos a f como un cociente y mantenemos a y como constante para obtener.

Con x como constante, obtenemos

EJEMPLO IV:

Hallar las pendientes en las direcciones de x y de y de la superficie dada por en el punto (1/2, 1,2)

SOLUCIN: Las derivadas parciales de f con respecto a x y a y son

Derivadas parciales.

Por tanto, en la direccin de x, la pendiente es Y en la direccin de y, la pendiente es