UNIVERSIDAD NACIONAL “SANTIAGO ANTÚNEZ DE MAYOLO”

Facultad de Ingeniería Civil

Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil

Asignatura: Física

Docente: GARCÍA PERALTA, José Alfredo

Alumno: FIGUEROA CELESTINO, Leonardo

Códigos: 151.0904.472

Tema: Momentos y Centroides

Semestre: 2015 – II

Huaraz – Ancash – Perú

Momento de un Vector

El momento de un vector V ⃗   respecto a un punto O o respecto a una recta o

eje e es otro vector que relaciona al propio vector con su punto de

aplicación respecto del punto O o la recta e. En este apartado vamos a estudiar

tanto uno como otro, así como también sus aplicaciones en Física.

Momento de un vector respecto a un punto

Se define el momento de un vector V ⃗  respecto de un punto O como el producto

vectorial del vector de posición del origen del vector V ⃗   respecto del punto O por el

propio vector V ⃗.M ⃗o=r ⃗×V ⃗ 

Donde:

V ⃗  : Vector al que vamos a calcular su momento

r ⃗  : Vector de posición de V ⃗   respecto al punto O

M ⃗o : Vector momento. Es un vector perpendicular al plano formado por

los vectores r ⃗ y V ⃗  La siguiente imagen es una representación gráfica del momento:

Observa que hemos llamado P al punto de aplicación del vector V ⃗. El vector V ⃗ no

es un vector libre ya que entonces su momento respecto de cualquier punto sería

cero con sólo tomar un equipolente con origen en dicho punto.

Por otro lado, el momento no es más que un producto vectorial. Esto quiere decir

que tiene las siguientes características:

Módulo. ∣∣M ⃗o∣∣=∣∣r ⃗ ×V ⃗∣∣=r⋅V⋅sin(α) 

Dirección. Perpendicular al plano formado por r ⃗ y V ⃗   Sentido. Para determinarlo puedes usar la regla de la mano derecha: Utiliza

la palma de tu mano, orientándola desde r ⃗ hasta V ⃗  por el camino más

cortó. El dedo pulgar determina el sentido del producto, tal y como se ve en

la figura anterior 

Recuerda que, para el cálculo del producto vectorial, también puedes utilizar su

expresión analítica en forma de determinante 3x3, especialmente útil cuando

conocemos las componentes cartesianas de cada vector.

Teorema de Varignon

El momento de un vector se puede descomponer en la suma de los momentos de

cada una de las componentes de dicho vector. Se trata de la aplicación de la

propiedad distributiva del producto vectorial. Así, en el caso de las coordenadas

cartesianas, nos queda:

Momento de un vector respecto a un eje o recta

Al momento de un vector respecto a un eje también se le conoce como momento

de un vector respecto a una recta y momento áxico.

Se define el momento de un vector V ⃗ respecto a un eje e como la proyección sobre

dicho eje del momento de ese vector con respecto a un punto cualquiera del eje.

Normalmente, y por comodidad, solemos escoger el punto del eje más próximo al

origen del vector V ⃗. Su expresión viene dada por:

Donde:

V ⃗ : Vector al que vamos a calcular su momento

r ⃗ : Es el vector de posición del vector respecto de un punto cualquier del

eje e. Normalmente se suele escoger, por comodidad, el punto del eje

más próximo al origen del vector

u ⃗ e : Vector unitario en la dirección del eje e

M ⃗o: Es el momento del vector V ⃗ respecto al punto considerado del eje e.

Se trata de un vector perpendicular al plano definido por el vector V ⃗ y r ⃗   α : Ángulo formado entre el M ⃗o y el eje e

Me: Momento del vector V ⃗ respecto al eje o recta e. Es un escalar

La siguiente imagen es una representación gráfica de lo anterior:

CENTROIDE

Es un punto que define el centro geométrico de un objeto. Su localización puede

determinarse a partir de fórmulas semejantes a las utilizadas para determinar el

centro de gravedad o el centro de masa del cuerpo. En particular, si el material de

que está compuesto un cuerpo es uniforme u homogéneo, la densidad o el peso

específico serán constantes en todo el cuerpo.

Teoremas de Pappus-Guldin

1. Definiciones elementales

Definición 1: Una superficie de revolución se genera mediante la rotación de una

curva plana con respecto a un eje fijo.

Definición 2: Un cuerpo de revolución se genera mediante la rotación de un área

plana alrededor de un eje fijo.

2. Teoremas

Teorema 1: El área de una superficie de revolución es igual a la longitud de la

curva generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el centroide de dicha

curva al momento de generar la superficie.

Demostración. Sea una línea curva de longitud L que rota alrededor del eje x y

considérese un elemento dL de dicha curva. El área dA generada por el elemento

dL es igual a:

dA = 2πy dL

Donde y es la distancia del elemento dL al eje x.

Por tanto, el área total generada por L es:

A = ∫ 2πy dL = 2πyL

Donde 2πy es la distancia recorrida por el centroide de L.

Nota 1. Se debe señalar que la curva generatriz no debe cruzar el eje sobre el

cual rota; si lo hiciera, las dos secciones, una a cada lado del eje, generarían

áreas que tendrían signos opuestos y el teorema no podría aplicarse.

Teorema 2: El volumen de un cuerpo de revolución es igual al área generatriz

multiplicada por la distancia recorrida por el centroide del área al momento de

generar el cuerpo. Demostración. Sea un área A, la cual rota con respecto al eje x,

y considérese un elemento dA de dicha área. El volumen dV generado por el

elemento dA es igual a:

dV = 2πy dA

Donde y es la distancia del elemento dA al eje x.

Por tanto, el volumen total generado por A es:

V = ∫ 2πy dA = 2πyA

Donde 2πy es la distancia recorrida por el centroide de A.

Nota 2. Es importante señalar que el teorema no puede aplicarse si el eje de

rotación interseca al área generatriz.

CALCULO DE CENTROIDES