COLEGIO DE BACHILLERES

FÍSICA MODERNA I

FASCÍCULO 1. MARCOS DE REFERENCIA Y VELOCIDADESVECTORIALES

Autores: León Gabriel Hernández Roberto Guerrero Domínguez

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Colaboradores

Asesoría PedagógicaJosé Manuel López Estrada

Revisión de ContenidoSalvador Godoy Salas

Diseño Editorial

COLEGIO DEBACHILLERES

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INTRODUCCIÓN 5

PROPÓSITO 7

CAPÍTULO 1 9

1.1 SISTEMA DE EJES COORDENADOS 91.1.1 PARTÍCULAS1.1.2 MARCO TEÓRICO DE REFERENCIA

INERCIAL15

1.2 MOVIMIENTO RELATIVO 21

1.3 PRINCIPIO CLÁSICO DE LARELATIVIDAD

26

1.3.1 LA MECÁNICA DE GALILEO 261.3.2 INVARIANCIA DE LAS LEYES DE

NEWTON32

1.4 SISTEMAS NO INERCIALES 351.4.1 REPRESENTACIÓN VECTORIAL DE LA

VELOCIDAD38

1.4.2 SUMA DE VECTORES(MÉTODOS DEL TRIÁNGULO Y DELPARALELOGRAMO)

42

1.4.3 VELOCIDADES RELATIVAS 45

Í N D I C E

4

RECAPITULACIÓN 51

ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIÓN 52

AUTOEVALUACIÓN 54

BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA 55

5

En el presente fascículo analizarás el movimiento de las partículas desde marcos dereferencia distintos y estimarás su velocidad usando el método gráfico del paralelogramoy su descomposición vectorial.

En tus cursos de Física I y II estudiaste el movimiento de carros y tapas de baja fricciónen términos de las leyes del movimiento de Newton. Estableciste además que: mientrasmenor sea la fricción, el carro y la tapa se desplazarán a distancias iguales en tiemposiguales, es decir, con movimiento rectilíneo uniforme, permaneciendo con estemovimiento o en reposo, hasta que alguna fuerza externa lo haga cambiar su velocidad.

También aprendiste que el cambio en la velocidad de un cuerpo está en relación directacon la fuerza que se le aplica, y en relación inversa con su masa, esto es: a mayor fuerzamayor variación de velocidad, pero, mientras más masa tenga un cuerpo más fuerzanecesitará para provocar la misma aceleración. Con ello se establece que:

F = m V Vt - tf i

f i

− ,

donde ∆V = Vf – Vi y ∆t = tf – ti ;

sustituyendo tenemos que:

F = m Vt

∆∆

,

Puesto que a = Vt

∆∆

, simplificamos:

F = ma .

Para saber qué trayectoria recorre un cuerpo (un carro de baja fricción, por ejemplo), seestablecen puntos de referencia para ubicar distancias (punto inicial y final), e incluso,estimar puntos o lugares en donde la velocidad pudo haber sido mayor o menor. Estospuntos de referencia pueden ser el inicio y final de nuestra masa (dos puntos en el pisodel salón o el espacio del laboratorio); lo que se considera son cambios de posición delas cuerpos en el espacio con respecto al tiempo, por ejemplo, la velocidad dedesplazamiento de una burbuja en un tubo de agua se considera en relación con el

INTRODUCCIÓN

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cambio en su posición, primero “abajo” y después “arriba” del tubo, en función del tiempoy la distancia entre dos puntos, que pueden ubicarse en un sistema de coordenadas;decimos que la burbuja se desplazó sobre el eje de las Y si su movimiento es vertical, siconsideramos un movimiento horizontal hablamos de un desplazamiento sobre el eje delas X, describiendo el movimiento de toda partícula dentro de los marcos de referencia.

Observarás una partícula en movimiento vista desde distintos marcos de referencia osistemas de ejes coordenados, por ejemplo: una pelota lanzada dentro de un camión quese mueve a velocidad constante. ¿Qué trayectoria observará una persona parada fueradel camión?, ¿qué trayectoria observaría la misma persona dentro del camión?,esquemáticamente vemos que:

a) El camión, considerado como un marco de referencia, se mueve a velocidadconstante, mientras el observador (O’) lanza la pelota al aire.

b) Para el observador (O) ubicado en un marco de referencia en reposo, la pelota selanza al aire al mismo tiempo que se desplaza con el camión.

Así, para el observador (O’) la pelota lanzada al aire describe un movimiento vertical,pero para el observador (O), ubicado fuera del camión y parado, la pelota describe unmovimiento parabólico.

7

A través de un sistema de ejes coordenados (tridimensionales), ubicarás en el espacio,el cambio de posición de una partícula en función del tiempo, estableciendo el conceptode marco de referencia inercial. Comprenderás así que la leyes de Newton sólo secumplen en dichos marcos de referencia.

Además, confirmarás que un marco de referencia es inercial sólo cuando se cumplendos condiciones: que esté en reposo o se desplace con movimiento rectilíneo uniforme.De no cumplirse estas condiciones se denomina marco de referencia no inercial. Esto teservirá para entender los límites de validez de las leyes del movimiento de Newton.

Con la suma de velocidades por el método gráfico del paralelogramo y ladescomposición vectorial, estimarás la velocidad relativa de una partícula que se mueveen un marco de referencia con movimiento rectilíneo uniforme, mientras lo observasdesde un marco de referencia en reposo. A partir de esto, interpretarás y harás uso de laexpresión v1 = v2 + V.

P R O P Ó S I T O

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9

CAPÍTULO 1

1.1 SISTEMAS DE EJES COORDENADOS

1.1.1 PARTÍCULAS

En Física es muy común el empleo del término “partícula” al estudiar el movimiento deun cuerpo cualquiera. Un cuerpo es una “partícula” cuando sus dimensiones son muypequeñas en comparación con las demás que participan en el fenómeno. Por ejemplo: siun automóvil de 3 m de longitud se desplaza 15 m, no podrá considerarse como unapartícula; pero, si el mismo automóvil viaja de una ciudad a otra que dista unos 200 km;la longitud del automóvil será pequeña en relación con esta distancia, y el auto seconsiderará una partícula.

Al considerar un cuerpo como partícula, el estudio de su movimiento se simplificabastante, por este motivo, siempre que hablemos de movimiento de un objeto cualquiera(a menos que se indique lo contrario), lo consideraremos como una partícula.

Ahora bien, en Matemáticas IV, para representar un punto (P) en un plano, utilizastepares ordenados de números reales (a,b) que son las coordenadas cartesianas. Porejemplo, los puntos P1 = (3,4), P2 = (-5,3), P3 = (2,-6), P4 = (-7,-5) y P5 = (0,0) selocalizarían como lo muestra la figura 1.

C A P Í T U L O 1

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Figura 1

De igual manera, una partícula en el espacio puede representarse como ternasordenadas de números reales. Para representarla escogemos tres rectas mutuamenteperpendiculares que se intersecten en un punto en el espacio. Llamamos a estas rectaseje X, Y y Z; al punto en que se cruzan lo llamamos origen (éste es nuestro punto dereferencia). A menudo nos referimos al conjunto ejes como a un sistema de coordenadas(Figura 2).

Figura 2. Coordenadas cartesiana en el espacio.

Si identificamos un número real con cada punto en los ejes (como lo hiciste con la rectanumérica real) entonces asociamos a cada punto (P) en el espacio una terna únicaordenada de números reales (a, b, c) y, recíprocamente, asociamos con cada terna unpunto único en el espacio, que representaría la localización de una partícula.

X−X

Y

−Y

P1(3,4)P2(−5,3)

P4(−7,−5) P3(2,−6)

P5(0,0)

1 2 3

Z

Y

X

3

2

1

12

3

11

Supongamos que la terna (0, 0, 0) corresponde al origen del sistema de coordenadas yque las flechas en los ejes indican direcciones positivas. Por ejemplo, la terna (2, 4, 4)representa un punto a dos unidades del origen en dirección positiva a lo largo del eje X,a cuatro unidades en dirección positiva a lo largo del eje Y, y a cuatro unidades endirección positiva a lo largo del eje Z. Esto puede hacerse en cualquier orden. (Figura 3).

Figura 3. Representación geométrica del punto (2, 4, 4) en coordenadas cartesianas.

Desde este punto de vista, un sistema coordenado en el espacio es tridimensional,obtenido a partir de una extensión del sistema bidimensional (X, Y). También vemos que,cuando Z tiene el valor particular 0, el sistema tridimensional (X, Y y Z) se reduce albidimensional (X, Y); por consiguiente, un sistema de coordenadas en el plano seconsidera un caso especial de un sistema de coordenadas en el espacio.

Encuentra los puntos )5,7,6(Py)2,2,3(P),1,3,4(P),3,5,2(P),5,4,1(P 54321 −=−=−=−−−==

en el siguiente sistema de ejes coordenados:

VectorUn vector es un segmento de recta dirigido, que comienza en el origen; esto es, unsegmento de recta con un sentido, una dirección y una magnitud específicas con puntoinicial en el origen (Figura 4).

ACTIVIDAD No. 1

2 4

Z

Y

X

3

2

1

2

4

4 (2,4,4)

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Figura 4. Geométricamente los vectores se pueden considerar como flechas que salen del origen.

Estos vectores se pueden representar por cualquier símbolo, pero siempre y cuando seespecifique que se refiere a un vector. Para nuestros propósitos lo denotaremos comor .Podemos asociar a cada vector r un punto en el espacio (X, Y y Z), que se encontraríadonde r termina; e inversamente, con cada punto en el espacio, asociaremos un vectorr (Figura 5).

Figura 5. Asociación de un punto de origen.

Así, identificamos r con (X, Y y Z), es decir,

r = (X, Y y Z) ------------------------------------- (1)

Z

Y

X

Z

Y

X

P = (X,Y,Z)

r

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Si denotamos $i con un vector que termina en (1, 0, 0), se encontrará sobre el eje X; a$j como el vector que en (0, 1, 0), en el eje Y, y $k el vector cuyo extremo es (0, 0, 1) en

el eje Z. A estos vectores ( $ $ $i , j, k ) se les conoce como vectores unitarios, ya que sumagnitud vale uno. A partir de estos vectores representamos cualquier vector r en elEspacio tridimensional, como una combinación de estos vectores unitarios.

Si r = (X, Y y Z), mediante vectores unitarios tenemos que:

r = X $i +Y $j + Z $k ; --------------------------------- (2)

sustituyendo esta relación por sus equivalentes en coordenadas:

r = X(1, 0, 0) +Y(0, 1, 0) + Z(0, 0, 1).

Observa la figura:

Figura 6.

Al vector r de la expresión (2) se le conoce como radio vector o vector de posición,(Figura 6). ¿Has escuchado decir a un piloto, “estamos en el radio vector de la pista deaterrizaje”? Se refiere al vector que da la dirección y distancia del aeroplano hasta lapista de aterrizaje.

Un ejemplo matemático sería localizar el vector de posición que termina en el punto(2, 3, 2). Primeramente el vector de posición estará dado por r = 2 $i + 3 $j + 2 $k , y sugráfica estará representada por la figura 7.

14

Figura 7. Representación de (2, 3, 2), en términos de la base canónica i, j, k.

Localiza el vector de posición que termina en (0, -1, 4), trazando su respectivo sistemade ejes coordenados.

Si el vector de posición r1 cambia a otro punto fijo r2 , decimos que hubo undesplazamiento ∆ r (Figura 8)

ACTIVIDAD No. 2

Z

Y

X

(2,3,2)

k

j i

2k

3j

2i

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Figura 8.

Este desplazamiento se representa como:

∆ r = r2 – r1 , ------------------------------------- (3)

donde ∆ r es la magnitud del desplazamiento de la partícula en el sistema de ejesccordenados. Esta expresión la utilizarás al hacer apreciaciones acerca del movimientode dos marcos de referencia inercial.

1.1.2 MARCO DE REFERENCIA INERCIAL

Si un vector de posición se asocia con un punto en el espacio, y este punto, llamadopartícula comienza a moverse, entonces decimos que la partícula se encuentra enmovimiento cuando su vector de posición cambia en el transcurso del tiempo (Figura 9).

Figura 9. Una pelota está en movimiento, puesto que su vector de posiciónrespecto al marco de referencia varía al transcurrir el tiempo.

Z

Y

X

r∆

1r 2r

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En la figura 9 tenemos otra variable en el sistema de ejes, que es el tiempo,representado por (t); ahora en vez de tres variables habrá cuatro (X, Y, Z, t) y se llamarámarco de referencia, pero si además este marco se encuentra en reposo o enmovimiento rectilíneo uniforme, cumple la primera Ley de Newton o ley de la inercia quedice: Todo cuerpo persiste en su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniformemientras no sea perturbado por la influencia de alguna fuerza externa.

Todo marco de referencia que satisfaga la primera Ley de Newton se llamará marco dereferencia inercial. El enunciado de la primera Ley de Newton indica que existen dostipos de marcos inerciales, uno que se encuentra en reposo y otro que se mueve conMRU. Estos dos tipos de marcos inerciales los observamos en la figura 10, donde S1representa el marco de referencia inercial en reposo, y S2 el que lleva un MRU.

Figura 10.

Cada marco tiene su propio sistema de coordenadas, ya que S1 está representado por(X1, Y1, Z1) y S2 por (X2, Y2, Z2). Estos marcos inerciales existen en nuestra vida diaria,solamente que nosotros no lo notamos. Por ejemplo, cuando cruzamos una avenida,antes de cruzar esperamos a que no pase ningún carro; si imaginamos que los carrospasan a velocidad constante (cumpliendo con la primera Ley de Newton) cada uno seríaun marco de referencia inercial con velocidad constante y tú serías un marco dereferencia en reposo.

Z

Y

X

v = cero

S1

Z’

Y’

X’

v = constante

S2

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Realiza la siguiente lectura:

Diálogo en un tren1

Dos personas viajan en un tren desde la Ciudad de México a Cuernavaca. Una de ellasdice:- ¿En qué estará pensando ese señor que desde que salimos del Distrito federal mira

por la ventanilla y no se ha movido para nada?[El otro es un físico. Siente gusto por la discusión, por la definiciones precisas, y unpoco también por las bromas. Responde:]

- ¿Cómo que no se ha movido? ¡Lleva recorridos unos 30 km a razón de 100 km porhora…!

- ¡Vamos…! Quiero decir que él no se ha movido, que desde que empezó el viaje haestado clavado en su asiento, mirando por la ventanilla, sin moverse una sola vezpara nada. ¿Está claro?.

- No te excites. Más bien deberías avergonzarte por emplear las palabras tan a laligera.

- No entiendo…- Esto de hablar de moverse o no moverse es cosa peligrosa; las palabras deben

emplearse con sumo cuidado. En primer lugar, fíjate que la discusión empezó porqueolvidaste decir algo muy, pero muy importante…

- ¿De qué me olvidé?- Te olvidaste de aclarar respecto a qué, oye bien, respecto a qué ese señor no se

había movido. Reflexiona que ese detalle es de importancia decisiva. En efecto: elseñor no se ha movido respecto al vagón, en relación con el vagón, a su asiento, a laventanilla, si quieres. Pero en cambio se ha movido ¡y de que manera!, en relacióncon la Ciudad de México. Se ha movido por lo menos 30 km, o ya 34, porque estadiscusión debe llevar unos 4 km, si mi reloj y mi ojo no me engañan.

- ¡Bah!, todo eso don sutilezas y afán de discutir porque sí. No me vas a decir que todaesa palabrería tiene importancia.

- ¡Cuidado! Muchos grandes descubrimientos de la Física fueron hechos gracias aanálisis como éste, que tú calificas de palabrería. ¡Sí tú supieras lo que Galileo,Newton y Einstein aprovecharon con discusiones así…!

- Bien, señor profesor, gracias por la lección, ¿quiere decirme, entonces, de quémanera hay que expresarse para no sucitar la ira de físicos o ingenieros oastrónomos?

1 Tomado de: MAIZTEGUI, Alberto P. y Jorge A. SÁBATO..Introducción ala Física. 9ª. Ed., Kapelusz, 1973, pp. 75-80.

ACTIVIDAD No. 1

18

- No tengo ningún inconveniente. Más todavía; estoy dispuesto a confesar queexperimentaré un gran placer, pero con la condición que respondas cada vez que tehaga una pregunta. Te quiero probar que tú mismo eres capaz de sacarconsecuencias interesantes.

- A ver…- Primero, supongamos que estás en el andén de una estación, a donde has ido para

despedir a tu familia. ¿Cómo sabes que el tren se pone en movimiento?.- Pues, porque veo que las ruedas empiezan a moverse.- No hay necesidad de ver las ruedas. Eso no es lo importante. Además las ruedas

podrían girar y patinar en el mismo lugar, de modo que el tren quedaría todavía enreposo.

- Pues…simplemente porque se aleja.- Estamos de acuerdo, pero si agregas un detalle. ¿Se aleja de quién?, ¿respecto a

qué?, ¿en relación con qué?.- Pues, porque se aleja de mí, respecto a mí, en relación conmigo.- Muy bien; progresas. Veamos si eres capaz, ahora, de decirme cuándo un cuerpo

cualquiera está en movimiento.- Muy sencillo. Un cuerpo está en movimiento cuando aumenta su distancia respecto a

un hombre que está en su lugar.- Bastante bien, pero con dos defectos.- ¿Cuáles son?.- Primer defecto: según tu definición, el tren se movería cuando se va, pero no cuando

viene.- Me olvidé, claro. Habría que decir “cuando aumenta o disminuye su distancia”.- Sí. Pero, ahora viene el segundo defecto: según tu definición, el tren sólo se mueve si

hay un hombre parado en la estación, ¿y si no hubiera nadie, el tren no se movería lomismo?.

- Bueno, claro que no es necesario que haya ningún hombre allí.- Entonces, ¿cómo te parece que sería correcto decir?- Un cuerpo está en movimiento, cuando aumenta o disminuye su distancia respecto a

un punto fijo.- Muy bien, bastante bien para ser aficionado. Fíjate, sin embargo, que el problema no

queda todavía resulto. Hay mucho que hablar.- ¡Cómo! ¿Todavía?.- Ya lo creo. Que algo muy importante, de enorme importancia. ¿Quién se mueve, el

tren o la estación?.- ¡Estás bromeando…!- Hablo en serio.- No sé a dónde quieres ir a parar con esa pregunta de locos, pero te responderé como

si fuera una pregunta cuerda. Es el tren el que se mueve.- Así que la estación está en reposo, ¿no?.- Por supuesto.- ¿Y no se te ha ocurrido pensar que la estación está instalada en un planeta que se

mueve vertiginosamente por el espacio sideral?.[Aquí el amigo del físico se llevó la mano derecha al mentón, frunció el entrecejo,reflexionó y finalmente dijo, casi con pavor:]

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- ¡Caramba! Me parece que lo mejor en la vida sería no pronunciar una sola palabra.Creo que todo es terriblemente difícil. Me acabas de hacer ver algo increíble…Enefecto. Claro…Entonces, si la estación está sobre la Tierra, y si la Tierra gira y setraslada vertiginosamente en el espacio…Diablos…Es la misma cosa de hoy, con elseñor ése y la ventanilla y la estación…Estamos como al comienzo…¡Por el amor deDios! ¿Me puedes decir qué es verdadero y qué es falso? ¿Quién se mueve? ¿Quiénestá en reposo? Ya no entiendo nada.

Figura 11.

- Ahora tienes verdadero interés; ahora no estás fastidiado por la palabrería, ¿no esasí?.

- Lo confieso. Me muero de curiosidad.- Muy bien. Como decía un filósofo griego: el asombro es la madre de la sabiduría. Hay

que empezar por asombrarse y preguntar, como los chicos, ¿por qué?.- Bueno, responde de una buena vez.- Pues, en cierto modo, la respuesta es muy simple. Todos los movimientos son

relativos, es decir, en relación con algo, con un punto. Por ejemplo, para empezar conel señor que originó la discusión, ese señor está en reposo en relación con el vagón,pero también podemos invertir la frase diciendo que el vagón está en reposo enrelación con el señor. Pero ese señor está en movimiento en relación con laestación…

- ¿De modo que alguien o algo puede estar a la vez en reposo y en movimiento?- Exacto. Todo depende del punto de referencia que se elija como fijo. Como decía,

ese señor se mueve respecto a la estación, considerándola fija, pero también es lícitolo inverso: que la estación se mueve respecto a ese señor, considerándolo como fijo.No hay más derecho a decir lo primero que lo segundo, pues la estación no es ningúnente privilegiado, ya que pierde inmediatamente su jerarquía o su importancia encuanto pensamos en el Sol o las estrellas. ¿Acaso la estación está en reposorespecto al Sol? De ningún modo.

- ¿Entonces?.- Entonces, si queremos ser verídicos y no decir más que lo que debemos decir, habrá

que definir el movimiento de esta manera…

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- Un momento, intentaré hacerlo yo: un cuerpo está en movimiento en relación con unpunto elegido como fijo, cuando aumenta o disminuye su distancia respecto a esepunto.

- ¡Magnífico! Se puede todavía hacer una simplificación. En Física hay que emplearsiempre el mínimo de palabras, y acá sobran dos.

- A ver…¡Ya sé!: Un cuerpo está en movimiento en relación con un punto elegido comofijo, cuando varía su distancia a ese punto.

- Muy bien. Ahora, tú mismo puedes extraer algunas conclusiones bastante curiosassobre fenómenos que son bien conocidos. ¿Qué me podrías decir de dos trenesexpresos que corren uno al lado del otro, en la misma dirección, en el mismo sentido,y con la misma velocidad?

- Que un tren está en reposo con respecto al otro.- Perfecto. ¿Qué me podrías decir si uno de esos trenes se mueve a 100 km por hora y

el otro a 90?- Que el primero se mueve 10 km por hora en relación con el segundo.- ¡Magnífico! Creo que la lección ha sido provechosa. Puede sentarse, joven. Le

pondré diez puntos.- ¡Un momento, señor profesor! Me parece que la definición que usted acepta tiene un

defecto.- ¡Esto sí que está bueno! Así es, tiene un defecto. Si has dado en el clavo resultarás

mejor alumno de lo que yo esperaba. ¿Cuál es el defecto?.- ¿Qué pasa si revoloteo una piedra y elijo como punto fijo mi hombro? La piedra

recorre una circunferencia cuyo centro es mi hombro. La distancia de la piedra a mihombro no varía, y sin embargo, la piedra se mueve…

- Ese es el defecto. Para definir el movimiento con toda precisión, debe elegir, no unpunto de referencia sino un sistema de coordenadas. Pero, ¿recuerdas qué es unsistema de coordenadas?.

- Sí tres rectas que se cortan en un mismo punto.- Y cada una perpendicular a las otras dos. Como las aristas de las paredes de una

habitación que concurren a un mismo rincón. Y ahora, en vez de decir: Un cuerpoestá en movimiento con relación a un punto cuando varía su distancia respecto a esepunto.

- Déjamelo decir a mí: Un cuerpo está en movimiento respecto a un sistema decoordenadas, elegido como fijo, cuando varían…¡sus coordenadas!

- Bueno, hombre, ahora tendría que ponerte diez y felicitarte…

Figura 12.

21

1.2 MOVIMIENTO RELATIVO

Qué sucedería si dentro de un tren con movimiento rectilíneo uniforme se lanzara unapelota, y en ese momento cruzara una estación, con una persona en reposo (parada).¿Cómo varía el movimiento de la pelota para la persona en reposo?, ¿Sería igual para lapersona que va en el tren? La figura 13 ilustra el movimiento de la pelota que ven las dospersonas.

Figura 13.

Como se observa, para la persona que va dentro del tren la pelota sube y cae en susmanos, mientras que para la que está en la estación existe un movimiento parabólico.Otro ejemplo es: un avión, al volar horizontalmente, deja caer una bomba, ¿cuáltrayectoria observaría el piloto y cuál la persona sobre la superficie de la Tierra?.

Si estuvieras dentro de la aeronave, verías que la bomba cae siguiendo una líneavertical; mas, si estuvieras de pie sobre la tierra (en B), se advertiría que al caer describeuna trayectoria parabólica (figura 14)

Figura 14. El observador A dentro del avión, ve que la bomba cae verticalmente.Para el observador B, su trayectoria es parabólica.

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En el primer caso el movimiento de la bomba era observado desde un avión, comomarco de referencia inercial con MRU; en el segundo caso, desde un marco dereferencia inercial en reposo sobre la Tierra, este ejemplo demuestra que: el movimientode un cuerpo visto por un observador depende del marco de referencia inercial en el cualse haya situado, es decir, que el movimiento de una partícula que se desplaza dentro deun marco de referencia inercial se considera relativo, pues depende del marco desde elcual la observamos. Si aplicamos las leyes de Newton a la bomba que es lanzada desdeel interior del avión en movimiento, la bomba aun antes de ser lanzada y el avión llevanla misma velocidad (MRU); esto sería verdad para cualquier bomba, independientementede su peso. La ley de la inercia nos dice que un cuerpo (MRU) continuará avanzando enuna trayectoria horizontalmente recta, mientras no actúe sobre él alguna fuerza externa.Por eso, una vez que la bomba y el avión se aceleran hasta alcanzar una velocidadconstante, ninguna fuerza se necesita para mantenerlos en movimiento rectilíneouniforme.

La bomba y el avión se mueven todo el tiempo con la misma velocidad y en la mismadirección, pues ambos tienen la propiedad de la masa inercial. Ahora, cuando es lanzadaverticalmente hacia abajo, su velocidad descendente no depende de su velocidadhorizontal y la bomba sigue avanzando hacia adelante, por eso es que se desplaza enuna trayectoria parabólica, por encima del observador en tierra.

1. ¿Qué consideraciones debe tener un piloto para que, al lanzar una bomba, dé en elblanco?___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

2. Un carrito se mueve dentro de un vagón de ferrocarril que se desplaza con MRU(Figura 15).

Figura 15.

ACTIVIDAD No. 1

23

Si una pelota es lanzada hacia arriba desde el carrito, ¿cuál es su trayectoria desde lossiguientes puntos de vista?

a) ¿Para un observador en el carrito?b) ¿Para un observador en el vagón de tren?c) ¿Para un observador fijo en un punto de la superficie terrestre?

OBJETIVO:

Observarás las diferentes apreciaciones sobre el movimiento de un cuerpo, dependiendode tu ubicación en el marco de referencia.

MATERIAL:

− Carro balístico y balín

PROBLEMATIZACIÓN:

HIPÓTESIS:

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

PROCEDIMIENTO:

Prepara el disparador del carro y coloca el balín, sujeta fuertemente el carro –evitandoque se mueva- y acciona el disparador; observa la trayectoria que sigue el balín al serlanzado desde el carro balístico en reposo.

Figura 16.

ACTIVIDAD EXPERIMENTAL No. 1

24

Preguntas

Supongamos que el carro balístico es el marco de referencia S2, y tú el marco S1. Conbase en lo que observaste, responde:

1. ¿Con qué velocidad se desplazan los marcos de referencia S1 y S2?

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

2. ¿Qué trayectoria describe el balín al ser lanzado, si lo observamos desde S1?

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

3. ¿Qué trayectoria describe si lo observas desde S2?

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

4. ¿Por qué S1 y S2 son marcos de referencia inerciales?

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

Ahora sí consideramos el mismo fenómeno, pero aplicando a S2 un movimiento rectilíneouniforme, mientras S1 (tú) permanece en reposo.

Colócate a un lado de la mesa y pídele a un compañero que, mientras permanece en eselugar, dé un empujón suave al carro, accionando el disparador, procurando que durantesu desplazamiento permanezca con MRU. Un poco de práctica les permitirá realizar laactividad como se muestra en la siguiente figura:

Figura 17.

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5. ¿Qué trayectoria describe el balín al ser lanzado si lo observas desde S1?

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

6. ¿Cuál es la trayectoria si lo observas desde S2?

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

7. ¿En que momento S2 se mueve con MRU?

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

a) Desde que lo empiezas a jalarb) Al accionar el disparador y dejar de jalarloc) Cuando el balín cae en el carro.

8. ¿Por qué consideramos a S1 y a S2 como marcos inerciales, en este caso?

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

26

1.3 PRINCIPIO CLÁSICO DE LA RELATIVIDAD

Por relatividad nos referimos al aspecto que presenta la naturaleza para un observadoren reposo, y su relación con el aspecto que tiene la naturaleza para otro observador, quepuede estar en movimiento con respecto al primero, como lo vimos en el tema anterior.El estado de movimiento relativo de un observador no debería alterar as leyes de lanaturaleza; el cuerpo cae independientemente de quien observe su caída, pero,¿afectará el marco de referencia –desde donde observamos nuestras apreciaciones-, alos fenómenos de la naturaleza?

1.3.1 LA MECÁNICA DE GALILEO*

Veamos que decía Galileo sobre la forma en que el marco de referencia, desde el queobservamos, determina nuestra apreciación de un fenómeno físico. Realiza la siguientelectura.

Por primera vez este principio fue formulado para la mecánica por Galileo Galilei en laobra titulada Diálogo sobre dos importantísimos sistemas del mundo. Esta es la mismaobra que trajo sobre él la ira de la Iglesia. Fue publicada en 1632, y en 1633 ya eraobjeto de juicio en el Tribunal de la Inquisición. Galileo exponía sus ideas con unlenguaje literario excepcional, considerando que había que hacerlas inteligibles paramuchos. Los personajes de sus libros discuten muchos planteamientos relacionados conla mecánica y el origen. Entre otros se encuentra el planteamiento de cómo ocurren losdiferentes fenómenos físicos en un sistema que se mueve uniformemente y en línearecta. Galileo escribía:

“Reúnase con alguno de sus amigos en una habitación amplia bajo la cubierta dealgún barco y traiga consigo moscas, mariposas y otros insectos voladoressemejantes; supongamos que allí usted también tendrá una pecera grande conpececillos moviéndose dentro de ella; después cuelgue del techo un balde del cualel agua va a caer gota a gota a otro recipiente con cuello angosto, colocado debajodel primero. Mientras el barco no se mueve observe con atención cómo lospequeños insectos voladores se mueven con la misma velocidad en todasdirecciones de la habitación, los peces, como usted podrá comprobar, van amoverse indiferentemente en todas direcciones; todas las gotas caerán en elrecipiente puesto debajo y usted, al lazar algún objeto, no tendrá que hacerlo conmás fuerza en una dirección que en otra si las distancias son las mismas; y siusted va a saltar con las dos piernas al mismo tiempo, entonces ejecutará el mismobrinco a la misma distancia en cualquier dirección. Observe atentamente todo esto,aun que no nos surge ninguna duda de que esto debe ocurrir precisamente así,mientras el barco está inmóvil. Ahora haga moverse al barco con cualquiervelocidad y entonces (sólo si el movimiento del barco va a ser uniforme y sinbalanceos a uno y otro lado) en todos los fenómenos mencionados usteddescubrirá el más pequeño cambio y por ninguno de ellos usted podrá determinarsi el barco se mueve o se encuentra inmóvil. Al brincar usted se desplazará sobreel piso a la misma distancia que antes, y no va a hacer brincos más grandes endirección a la popa que en dirección a la proa, con base en que el barco se mueverápido, aun que en este tiempo cuando usted va a estar en el aire el piso que se

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encuentra bajo usted va a moverse en dirección contraría a su brinco, y al lanzaruna cosa a su compañero usted no lanzará con más fuerza cuando él se encuentreen la proa y usted en la popa, que cuando sus posiciones sean viceversas; lasgotas van a caer como antes en el recipiente inferior y ninguna de ellas va a caermás cerca de la popa, aunque mientras la gota se encuentre en el aire el barcorecorrerá muchos palmos; los peces en el agua no van a moverse con masesfuerzo hacia la parte frontal que hacia la parte trasera del recipiente y con lamisma agilidad se van a lanzar sobre la comida colocada en cualquier lugar delrecipiente; y finalmente, las mariposas y las moscas van a volar en todas lasdirecciones y nunca va a ocurrir que se reúnan en la pared dirigida hacia la popa,como si estuvieran cansadas de seguir el rápido movimiento del barco, del cualestuvieron completamente aisladas teniendo que detenerse mucho tiempo en elaire; y si de una gota de incienso se forma un poco de humo, entonces se verácomo sube y se detiene al igual que una nube moviéndose indiferentemente tantoa un lado como a otro…”.

Los libros de nuestro tiempo no son tan locuaces. En ellos la idea se formula de unamanera más corta, en la forma del principio de la relatividad de Galileo. Una de estasformulaciones dice:

“En un sistema de referencia que se mueve en línea recta y con velocidadconstante todos los procesos mecánicos ocurren de la misma manera que en unsistema en reposo”, en otras palabras: “Ningún experimento mecánico puededetectar el movimiento uniforme y rectilíneo de un sistema, si el experimento serealiza dentro del mismo sistema”.

Solamente asomándose a la ventana del camarote veremos que el barco se mueve, peroincluso en este caso se registra solamente el movimiento de la ribera con respecto albarco. Apoyándose con los codos sobre un mirador de granito del Río Neva se puedeuno concentrar e imaginar que se mueve con respecto a las aguas inmóviles del río, Elmovimiento y su velocidad siempre son relativos, y no puede darse preferencia porningún experimento ni al observador en la ribera, ni al observador en el barco, siempreque el movimiento sea uniforme. En nuestro tiempo este principio es evidente, y laaclaración de que el movimiento uniforme siempre es relativo parece despojada deinformación. Digamos, el barco se mueve con respecto a la ribera, el cohete se aceleracon respecto a la Tierra, la Tierra gira con respecto a las estrellas inmóviles; todas estasafirmaciones parecen completamente idénticas. Sin embargo en realidad esto no es así.Dentro de un automóvil que se mueve uniformemente todo ocurre de la misma maneraque en un automóvil en reposo (en un automóvil, evidentemente, “imaginario”, sinsacudimientos). Pero cuando el automóvil frena bruscamente al encender la luz roja delsemáforo, entonces el tirón que casi lo saca a usted del asiento testimonia de un modoirrefutable que un sistema acelerado se diferencia de la calle, donde ninguno de lostranseúntes se cayó como resultado del cambio brusco de la velocidad relativa delautomóvil. De esta manera, la aceleración, a diferencia de la velocidad, se puede medirdentro de un sistema acelerado sin tener que mirar hacia fuera. Lo mismo se puede decirsobre la “relatividad” de rotación. Incluso en un tiempo nublado, cuando no se ven lasestrellas se puede descubrir la rotación de la Tierra alrededor de su eje. Recordemos losfamosos experimentos con el péndulo de Foucault suspendido bajo la cúpula de laCatedral de San Isaac; el plano de oscilación del péndulo gira , y este experimento,realizado dentro de un sistema de referencia sin ninguna mención sobre las estrellas

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inmóviles, nos demuestra que la rotación de la Tierra es absoluta. Así es que el principiode la relatividad de Galileo no es una ley de la lógica, sino un resultado del razonamientosobre experimentos reales que va muy lejos. De este principio se deriva que en cualquiersistema inercial son idénticos tanto la forma de las leyes físicas, como los valoresnuméricos de las constantes físicas que figuran en estas leyes, por ejemplo, las masasde las partículas. Un mecánico calculará la desviación de la trayectoria de una estacióninterplanetaria con respecto a Júpiter por las mismas leyes por las que la desviación conrespecto a Saturno, aunque los planetas también se mueven uno con respecto al otro.Los valores de las magnitudes físicas, por ejemplo de las velocidades de movimiento delos cuerpos, pueden ser distintos en diferentes sistemas de referencia, pero éstas sesujetan a las mismas leyes físicas y a las mismas ecuaciones, y desde el tiempo deGalileo nadie, en ningún laboratorio del mundo, ha podido descubrir desviaciones deeste gran principio.

En la lectura anterior los dos marcos de referencia, uno en reposo y otro en movimientorectilíneo uniforme, son totalmente equivalentes. Esto es: ambos son inerciales, enambos se describe la mecánica de igual forma, y se tienen las mismas leyes delmovimiento (leyes de Newton). Además automáticamente el principio de Galileo suponemarcos de referencia que no están ni en reposo ni en movimiento rectilíneo uniforme,estos son marcos acelerados como lo que aumentan o disminuyen su velocidad, marcosque giran en movimiento circular, como la superficie de la Tierra. Desarrollaremos elprincipio clásico de la relatividad de una manera más formal, es decir, matemáticamente(Figura 18).

Figura 18.

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Los dos marcos de referencia, S1 y S2, se mueven uno con respecto al otro. Además, porsimplicidad sus ejes son paralelos y el vector de velocidades relativas Vt es paralelo alos ejes X1 y X2. Se presupone que los relojes S1 y S2 marchan a la misma velocidad, yestán sincronizados para marcar t = 0, cuando los orígenes de los dos sistemascoinciden. Así, no será necesario escribir t1 o t2, ya que el tiempo es el mismo en los dosmarcos de referencia y basta escribir t para el tiempo en ambos marcos. Es importantecomprender, en este contexto, la lectura del tiempo que marcan los relojes; el vector Vt oel vector de las velocidades relativas indica que hubo un desplazamiento del origen deS2, con respecto al origen de S1, es decir:

Vt = (0 0 ) i1 2$ $i

En la relatividad clásica, un observador O1 el sistema S1, ve la misma hora t en su relojque la que lee en el reloj del observador O2, en el sistema S2. Recíprocamente, elobservador O2 lee la misma hora en ambos relojes.

La similitud del tiempo leído en cualquiera de los dos sistemas es una suposición básica.Al principio ésta puede parecer adscrita al simple “sentido común”, pero como verás enel fascículo IV de Física Moderna I, el tiempo no es tan simple. Deberíamos haceralgunas suposiciones adicionales de sentido común acerca del espacio que S1 y S2

ocupan. Con los vectores unitarios $i1 e $i2 , sobre los ejes X1 y X2, suponemos que unvector unitario siempre lo es, cualquiera que sea el marco en el cual se vea o se mida, yque un vector unitario siempre permanece siendo un vector unitario.

Para establecer la equivalencia de los tres ejes, suponemos que un vector unitario$j1yace sobre el eje Y1, que $j2 yace sobre el eje Y2 y que $j1 = $j2 para todos los t sin

importar cuál es el observador que hace la medición.

Finalmente, dejemos los vectores unitarios $k1 y $k2 a lo largo de los ejes Z1 y Z2,respectivamente, con las mismas relaciones de igualdad establecidas para los otrosvectores unitarios. Esto es:

$i1 = $i2$j1 = $j2$k1 = $k2

Ahora, consideremos los dos marcos de referencia S1 y S2 de la figura 15 y olvidemoslos subíndices de los vectores unitarios, ya que los vectores son los mismos en ambossistemas. Imaginemos ahora que un evento sucede en un punto en el espacio M y en untiempo que puede ser observados, tanto desde S1, como desde S2. Este suceso ocurreen el tiempo t, leído en cualquiera de los relojes de los dos sistemas. Por consiguiente,escribimos la expresión vectorial:

∆r = ( )$0 01 2 i , ------------------------------------- (4)

30

donde : ∆r r r= −2 1 y ( )$0 01 2 i , es la distancia desde el origen de S1 hasta el origen deS2 en el tiempo t del suceso. Por lo tanto, sustituyendo en la ecuación (4) queda:

r r1 2− = ( )$0 01 2 i -------------------------------------(4)

donde: i)00( y r -rr 211 2=∆ , es la distancia desde el origen de S1 hasta el origen de S2

en el tiempo t del suceso. por lo tanto, sustituyendo en la ecuación (4) queda:

i)00(rr 2121 =− ;despejamos:

r r1 = +( )$0 01 2 2i ------------------------------------- (5)Como los relojes fueron puestos en marcha cuando los orígenes coincidían:

( )$ $0 01 2 i = Vti -------------------------------------- (6)

Los vectores de posición en S1 y S2 se escriben, en términos de sus componentes:

r X i + Y j + Z k1 1 1 1= $ $ $ , ----------------------------------- (7)

r X i Y j + Z k2 2 2 2= +$ $ $ , ----------------------------------- (8)

donde (X1, Y1, Z1) son las coordenadas de M en S1 en el tiempo t, y (X2, Y2, Z2) son lascoordenadas del mismo punto M pero en S2, en el tiempo t. Ahora, sustituimos losvectores de posición $r1 y $r2 de la expresión (5) por sus componentes; por consiguiente:

X i Y j Z Vti + X i + Y j + Z k1 1 1 2 2 2$ $ $ $ $ $ $+ + =k . ---------------------- (9)

Factorizamos los $i del lado derecho y queda:

X i Y j Z (Vt + X )i + Y j + Z k1 1 1 2 2 2$ $ $ $ $ $+ + =k . -------------------- (10)

Ya que $i , $j y $k son ortogonales (u objetos funcionalmente independientes), laexpresión no factorizada se expresa como tres ecuaciones simultáneas:

X1 = X2 + vtY1 = Y2Z1 = Z2

t1 = t2 --------------------------------------- (11)

Las componentes vectoriales de cada lado (según la ecuación factorizada) se hancancelado. El sistema (11) es el primer ejemplo de una transformada de coordenadas.

_r2

31

Esta transformación indica al observador en S1, cómo relacionar las coordenadas S1 deM con las coordenadas S2 de M, que el observador en S1 mide en ambos sistemas dereferencia. Si el observador S2 quiere relacionar las coordenadas que mide en el marcoS1, entonces se mantienen a la misma transformación pero a la inversa. La inversa delsistema (11) es:

X2 = X1 + vtY2 = Y1Z2 = Z1

t2 = t1 --------------------------------------- (12)

Los sistemas (11) y (12) son parte de lo que se conoce como un grupo detransformaciones galileanas. Ahora, extendamos nuestra teoría sobre estastransformaciones para incluir los efectos dinámicos; averiguaremos cómo debenentenderse las velocidades cuando se observa desde diferentes marcos. Imaginemosque nuestra partícula M se encuentra ahora en movimiento, en el tiempo t. Si utilizamosX1 del grupo de transformaciones galileanas, tenemos que:

X1 = X2 - Vt, -------------------------------------- (13)

que, al derivar con respecto al tiempo la ecuación anterior, da:

∆∆

∆∆

∆∆

Xt

= Xt

- V tt

1 2 ,

esto es:

∆∆

∆∆

Xt

= Xt

- V1 2 ;

pero tenemos que la velocidad de la partícula respecto a S1 es v1, donde:

v = Xt11∆

∆; --------------------------------------- (14)

la velocidad de la partícula, con respecto a S2, es:

v = Xt22∆

∆; --------------------------------------- (15)

Sustituyendo estas velocidades en la ecuación X1 = X2 - Vt, tenemos que:

v1 = v + V2 . ------------------------------------- (16)

32

La velocidad de la partícula v1, vista desde S1, es la misma velocidad de la partícula v2,más la velocidad del marco de referencia que, como se sabe, es una velocidad constanterepresentada como V. La ecuación (16) puede llamarse composición galileana (o clásica)de velocidades. Esta también tiene su inversa:

v2 = v - V1 . ------------------------------------- (17)

que es la velocidad de la partícula vista desde el marco de referencia S2, que se estámoviendo a velocidad constante.

Una observación sobre el tiempo es que el sistema S2, se mueve con velocidad constateV, respecto a S1. Tomamos cualquiera de las ecuaciones (16) y (17), ya que vamos atener el mismo resultado:

∆∆

∆∆

∆∆

vt

vt

+ Vt

1 2= . ------------------------------------- (18)

Como la derivada de una constante es cero y V es constante, ésta se elimina y laecuación anterior queda:

∆∆

∆∆

vt

vt

1 2= . ------------------------------------------ (19)

Además, como la aceleración de S1 y S2 está dada por a1 y a2, y éstas están dadas por:

a = vt11∆

∆ y a =

vt22∆

∆, ------------------------------------- (20)

entonces sustituimos la ecuación (20) en la (19) y queda:

| a1 = a2. ------------------------------------------------ (21)

Así, las aceleraciones son las mismas de uno a otro marco. Decimos que la aceleraciónes una invariante respecto a una transformación galileana. Ya que la masa también esuna invariante en este tipo de transformaciones, el producto de la masa por laaceleración, o fuerza, también es una invariante respecto a una transformación galileana.

1.3.2 INVARIANCIA DE LAS LEYES DE NEWTON

Consideremos de nuevo una partícula de masa m con velocidades v1 y v2 , vista desdelos marcos de referencia S1 y S2, respectivamente, donde V es la velocidad relativa conque S2 se mueve respecto a S1.

33

Figura 19.

En el tema anterior encontramos la composición galileana de velocidades, representadapor la ecuación (16) y además, encontramos que las aceleraciones eran las misma enlos marcos de referencia y las representamos por la ecuación (21). Ahora, si suponemosque la masa es constante en los dos marcos de referencia, multiplicamos por m (21). Porlo tanto:

ma = ma1 2 . ------------------------------------------------ (22)

Pero en el sistema S1, la fuerza F1 está dada por:

F = ma1 1 , ------------------------------------------------- (23)

y en el sistema S2, la fuerza F2 es:

F = ma2 2 . ------------------------------------------------- (24)

Sustituyendo las dos ecuaciones anteriores en ma = ma1 2 , nos queda:

F = F1 2 . --------------------------------------------------- (25)

La ecuación (25) muestra que las fuerzas son las misma en los dos marcos de referenciaS1 y S2.Por lo tanto, se comprueba que la segunda ley de la mecánica de Newton esinvariante para todos los marcos inerciales. Esto es, marcos que se mueven los unosrespecto a los otros, con velocidad constante.

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Con base en el mismo razonamiento, se puede mostrar que las otras leyesfundamentales de la mecánica –la conservación del momento lineal y de la energía-también permanecen invariantes para todos los marcos inerciales. Por lo tanto, elprincipio clásico de la relatividad puede exponerse en esta forma: Todas las leyes de lamecánica permanecen invariantes para todos los observadores que se mueven los unosrespecto a los otros con velocidad constante (observadores inerciales).

35

1.4 SISTEMAS NO INERCIALES

En el tema anterior estudiaste que se cumplen las leyes de Newton en un marco dereferencia inercial, pero ¿qué sucede si tomamos como marco de referencia unaplataforma giratoria? Imagina que se lanza una pelota a esta plataforma giratoria, porejemplo, un carrusel. Notarás que los objetos tienden a alejarse del centro de laplataforma giratoria, y si alguien se sube también se sentirá expulsado hacia el exterior.La trayectoria de la pelota es una curva, a pesar de que no existe ningún agente externoque pueda ejercer fuerza sobre la pelota. Esto se debe a que el movimiento de laplataforma giratoria es acelerado. Por lo tanto, en este marco de referencia no secumplirán las leyes de Newton, pero ¿por qué no se cumplen en un sistema no inercial?,¿Se cumplirán sobre la Tierra? Ya que ésta, aparte de tener movimiento rotacionalposee el de traslación, que es una elipse alrededor del Sol; por esto, nuestro planeta esun marco no inercial.

Este planteamiento inquietó al hombre cuando se percató que la Tierra giraba alrededordel Sol: ¿cómo podría un objeto lazarse verticalmente hacia arriba desde la Tierra y caeren el mismo lugar? Por ejemplo, un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba hasta unaaltura de 19.6 m no sólo emplea 4 s en su vuelo (dos para ascender y dos para caer)sino que en la Tierra debería caer 120 km atrás. ¿Cómo se obtienen estos 120 km?Supongamos que la Tierra está a 160 millones de kilómetros del Sol y que tarda,aproximadamente 400 días en completar una revolución a su alrededor. De esto deduceque la Tierra, durante su traslación, se mueve en el espacio aproximadamente a:

t = 2 rt

= (2 )(1.6 x 10 x

= 3 x 10 m / s8

4π π kmdias

)4 102

Figura 20. ¿Si un objeto es lanzado verticalmente hacia arriba desde la Tierra, descenderá 120 km atrás?

Por consiguiente, en 4 s una bola lanzada verticalmente con una velocidad inicial de19.6 m/s debería caer al suelo a 120 km detrás de la persona que la lanzó, es decir, labola tendría que caer más atrás, ya que la Tierra gira alrededor de su eje.

36

Estos cálculos indican cuántos kilómetros “debería” retrasarse el objeto. Sin embargo,sabemos que las bolas lanzadas verticalmente hacia arriba no se alejan kilómetros alvolver, sino que caen verticalmente o, por lo menos, esto “nos parece”. ¿Por qué caenen el mismo lugar si el razonamiento indica algo diferente? Es cierto que la superficie denuestro planeta es un marco de referencia no inercial, sin embargo, existen razones porlas cuales las leyes de Newton se cumplen como si se realizaran en un marco inercial.La Tierra se mueve describiendo una elipse; para un observador terrestre, un segmentode esa elipse puede ser considerado como una recta.

Figura 21. En un tiempo corto, el segmento de la elipse que recorre la Tierrapuede considerarse como una línea recta.

Ahora bien, la Tierra recorrería en un poco tiempo, dicho segmento de elipse; en eselapso, la variación en su velocidad sería casi imperceptible para el observador; porconsiguiente, cuando consideramos distancias cortas y tiempos cortos en el movimientode la Tierra podemos pensar que su movimiento es rectilíneo y uniforme, es decir,podemos tomarla como un marco de referencia inercial. Pero ¿podemos hacer lasmismas consideraciones para el movimiento de rotación de la Tierra? Sobre todo siconsideramos que las dimensiones de nuestro planeta son inmensas.

Para notar los efectos no inerciales de la Tierra se requieren, entonces, masas muygrandes, grandes velocidades y tiempos largos. Ejemplo de estos efectos no inercialesde la Tierra es el desplazamiento de los vientos, que debido al movimiento no inercial dela Tierra forman ciclones.

Figura 22. Formación de ciclones.

37

Existen dos formas experimentales de observar estos efectos: la primera es el llamadopéndulo de Foucault, el cual es un péndulo gigante que al oscilar todo el día cambia latrayectoria de su oscilación conforme transcurren las horas; así, si el péndulo oscila deeste a oeste o viceversa, llegará el momento en que después de dar una vuelta completaregresará a su posición original, esto es, nuevamente oscilará en el mismo punto en quecomenzó.

Figura 23. Foucault descubrió que la Tierra no es un sistema inercial. El péndulo oscila con un movimientocasi lineal, mientras la Tierra verifica su movimiento de rotación. Un hombre en la Tierra ve girarel plano de oscilación del péndulo.

OBJETIVO:

Demostrar la no inercialidad de la Tierra.

MATERIAL:

− Palangana

PROBLEMATIZACIÓN:

HIPÓTESIS:

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

ACTIVIDAD EXPERIMENTAL No. 2

38

PROCEDIMIENTO:

I. Coloca la palangana en tu mesa de trabajo y llénala de agua. Mantén la llave de pasocerrada.

1. ¿Crees que la palangana con agua es un marco de referencia inercial? ¿Por qué

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

2. ¿Cuál sería el movimiento del agua al abrir la llave de paso?

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

II. Ahora abre la llave de paso, y representa el comportamiento del agua.

______________________________________________________________________

______________________________________________________________________

¿Qué hace que el agua gire? ¿En qué sentido lo hace? Con base en los temasanteriores, explica por qué el agua forma un remolino si parte del reposo (es decir, sucomportamiento es no inercial). Cuando un objeto se mueve a través de una superficiegiratoria ( en nuestro caso, la Tierra), se desvía hacia la derecha o hacia la izquierda,según el sentido de la rotación. Como la Tierra gira hacia el este, todos los objetos queestán en movimiento, en el Hemisferio Norte, tienen a desviarse hacia la derecha, y en elHemisferio Sur, hacia la izquierda. Por ello, al vaciar el agua de la palangana se formaun remolino que gira hacia la derecha; si estuviéramos en el Hemisferio Sur el remolinogiraría hacia la izquierda.

1.4.1 REPRESENTACIÓN VECTORIAL DE LA VELOCIDAD

En el tema anterior, la representación gráfica de un vector de posición estaba dada enfunción de tres ejes coordenados (X, Y, Z) como se muestra en la figura 7; en losucesivo, por simplicidad, solamente consideraremos movimientos en dos ejescoordenados, lo que podemos hacer asignando al eje Z el valor de Z = 0; por lo tanto losejes (X, Y, Z) se reducirán a dos (X, Y): sistema bidimensional.

39

Figura 24.

Entonces, las transformadas de coordenadas de la ecuación:X1 = X2 + vtY1 = Y2Z1 = Z2t1 = t2.

Con Z = 0, se reduce la expresión:X1 = X2 + vtY1 = Y2t1 = t2.

Ahora bien, para estimar velociddes en un marco de referencia inercial utilizaremos:

v v + V21 =

que se derivó de la expresión:X1 = X2 – Vt.

Para ello es necesario entender el concepto de vector de velocidad, es decir, establecerque la velocidad tiene características vectoriales; ¿qué queremos decir con esto?, queno todos los movimientos son susceptibles de representarse como un vector, porejemplo: cuando decimos que corremos en nuestro carro a 100 km/h, sin especificar ladirección y el sentido del movimiento del carro, nos referimos a una magnitud escalarque en física se conoce como rapidez, mientras que si a nuestra afirmación agregamosel sentido y la dirección del movimiento estaremos hablando de una magnitud vectorial, yen este caso la velocidad (100 km/) se representa como un vector (Figura 25).

Y

X

(P1)

40

Figura 25 . Representación de un móvil con velocidad de 100 km/h a 30° NE, donde N equivale al eje Y y E al eje X.

En adelante, al hablar de la velocidad nos referiremos a un vector y la representaremoscon v . La abertura en grados (°) que resulta sobre el eje X (Figura 25) determina sudirección y sentido, en este caso se toma como origen del ángulo, el semieje positivo deX en sentido contrario a las manecillas del reloj; pero ¿cómo determinamos el tamaño deun vector? por ejemplo, comparando un vector v de magnitud 100 km/h con otro de 50km/h, éste debe corresponder a la mitad de aquél de acuerdo con la escala y quedaríacomo lo muestra la figura 26.

Figura 26.

Es importante, que todos los vectores involucrados en un problema sean proporcionalesen tamaño con los valores de v que se representen.

41

A continuación presentamos cuatro vectores de velocidad ( )v en un plano bidimensional.

Determinar la magnitud de cada uno suponiendo que cada centímetro equivale a 10km/h; además, determina su dirección y sentido auxiliándote de un transportador:

Figura 27

Para v1 , ¿qué dirección y sentido tiene?______________________________________.

Para v2 , ¿qué dirección y sentido tiene?______________________________________.

Para v3 , ¿qué dirección y sentido tiene?______________________________________.

Para v4 , ¿qué dirección y sentido tiene?______________________________________.

ACTIVIDAD No. 1

N

EO 45° =4v

3v

2v

1v = 25 km/h

S

42

1.4.2 SUMA DE VECTORES (MÉTODO DEL TRIÁNGULO Y DEL PARALELOGRAMO)

Método del triángulo

El proceso de la suma de vectores se ilustra mediante un ejemplo que incluye dosdesplazamiento. Supongamos que un barco arranca desde el punto A y navega hacia elnorte 6 km hasta el punto B, donde cambia de curso y navega al este 4 km hasta elpunto C. Aunque el barco haya navegado una distancia total de 6 km + 4 km, o sea 10km, es obvio que la distancia al punto de partida no es esta suma. Para encontrar eldesplazamiento real, o sea, la distancia desde el punto de partida, dibuja a escala undiagrama igual al de la figura 28.

Figura 28. Esquema que ilustra la suma de vectores aplicada a desplazamientos.

Con un lápiz y una regla (graduada en centímetros) dibuja una línea vertical AB de 6 cmde largo, para representar el desplazamiento de 6 km al norte. La línea BC se dibujadespués hacia la derecha desde B con 4 cm, para indicar 4 km al este. Finalmente, secompleta el triángulo uniendo A y C con una flecha apuntando hacia C. La hipotenusa Rmide 7.2 cm y representa el desplazamiento, que fue de 7.2 km. Vectorialmente,escribimos:

AB + BC = AC ,

O sea:

R = a + b .

Con un transportador, se mide el ángulo, que es de 33.7°. La dirección del vectorresultante R es, por lo tanto, 33.7° al Este.

B

R

7.2

4b c

a 6

33.7°

A

N

EO

S

43

En cualquier diagrama vectorial es usual representar todas las cantidades vectorialescon una línea arriba del término o por las flechas, cada una trazada en la dirección ylongitud apropiadas. La figura mostrará –sin importar la escala a la que se dibuje eldiagrama- que la resultante tendrá siempre la misma magnitud y dirección, y que, cuantomás cuidadosamente se dibuje el diagrama, más preciso será el resultado medido.

Para calcular la magnitud de la resultante R , en la figura 29, utilizamos el teorema dePitágoras, que se expresa así: para cualquier triángulo rectángulo, el cuadrado de lahipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados;

R = a + b22 .

Sustituyendo los dos valores de a y b:

R2 = (6)2 + (4)2

R2 = 36+ 16R2 = 52R = 52R = 7.21 km

Otro ejemplo: un hombre camina hacia el este 10 km, luego al noreste 5 km. ¿Cuál es eldesplazamiento resultante? Siguiendo el procedimiento anterior, primero se traza la líneahorizontal AB de 10 cm de largo. El segundo vector BC se dibuja en dirección NE, osea a 45°, y 5 cm de largo. Entonces se dibuja la resultante R y se mide; se encuentraque su longitud es de 14 cm, lo cual representa un desplazamiento de 14 km. El ánguloA se mide con un transportador y es de 14.6°. El resultado es de 14 km. en dirección14.6° al noreste.

Para calcular la magnitud R , se forma un triángulo (Figura 29).

Figura 29.

El teorema del triángulo rectángulo (teorema de Pitágoras) se aplica al triángulo BCD:

(BC)2 = (BD)2 + (CD)2

Puesto que los dos ángulos BCD son iguales entre sí, el triángulo es isósceles y loslados BD y CD son iguales.

Por lo tanto:

44

(BC)2 = 2(BD) 2 = 25,

de la cual:

(BD)2 = 25/2,y

BD = 12 5. =3.540Aplicando el teorema del triángulo rectángulo ADC, obtenemos:

R2 = (3.54)2 + (13.54)2 = 195 8. ,

Donde: R = 14 km.

Método del paralelogramo

Hay dos métodos, totalmente equivalente, para la suma de vectores; uno es el métododel triángulo descrito anteriormente junto con sus figuras, el otro es el paralelogramo quese describe a continuación: consideramos la suma de los mismos dos vectoresrb = 10 km , y

ra = 5 km , formando entre sí un ángulo de 45°.

Figura 30.

Primero se dibujan los vectores hacia fuera partiendo del mismo origen A. Luego se trazacon línea punteada, desde D, una paralela al vector b, y desde B una línea paralela alvector a, como en la figura del centro. Desde el punto C, donde se cruzan las dos rectas,se dibuja la diagonal AC y se rotula con una punta de flecha como la resultante R .

Una comparación del paralelogramo con el triángulo de la figura 30 muestra que eltriángulo ABC, en ambos diagramas, es idéntico si se usa la misma escala. Por lo tanto,ambos métodos conducen al mismo resultado independientemente de la escala usada.Al resolver ciertos problemas, el método del triángulo será más conveniente, mientras enotros el del paralelogramo resultará más fácil de aplicar.

Hay dos sistemas para designar las direcciones de las cantidades vectoriales: uno esreferir todos los ángulos a los puntos de la brújula (figura 30), y el otro es especificar losángulos relacionados con el eje X (figura 31). En navegación, el rumbo verdadero de unbarco se mide desde el norte siguiendo el movimiento de las manecillas del reloj,alrededor de la brújula. Navegar hacia el este es tener un rumbo verdadero de 90°, ynavegar hacia el sudoeste es tener un rumbo verdadero de 225°.

45

Cuando las direcciones se refieren al eje X, los ángulos medidos en sentido contrario alde las manecillas del reloj desde el eje +X, se llaman positivos; los medidos en el mismosentido desde ésta línea se llaman negativos. Por ejemplo, el ángulo de dirección delsegundo vector en la figura 25 es de +60°, o –300°.

Figura 31.

1.4.3 VELOCIDADES RELATIVAS

Un estudiante visitó a su primo Juan que vive en Tenosique, Tabasco. El primer día desu visita, Juan invitó a Chucho a nadar en un río cercano. Al llegar al río notaron que alotro lado había un árbol de durazno. Como Chucho no sabe nadar dijo que se quedaríaen la orilla para advertir a Juan de posibles dificultades y observar su hazaña. Chuchosabe, por cursos de Física, que es difícil cruzar un río en línea recta (perpendicular a lacorriente), pues siempre se debe considerar que la velocidad del río influye en lavelocidad y trayectoria del nadador, por lo que se preguntaba si era posible predecir lavelocidad de Juan nadando y el punto al que llegaría cuando finalmente cruzara al otrolado.

Figura 32. ¿es posible determinar en qué punto llegará Juan?

46

¿Qué datos debe tener en cuenta Chucho para sus estimaciones? En primer lugar, lavelocidad del río. Chucho la estimó con una velocidad constante de 8j km/h. ¿Cómoestimarías la velocidad de la corriente de un río? Por otro lado, debía saber a quévelocidad nadaba Juan, quien en aguas tranquilas nada a una velocidad de 4 km/h.Chucho consideró la orilla del rió desde la que observaba como un marco de referenciaen reposo, mientras que al río lo consideraría como un marco de referencia inercial avelocidad constante, con V = i8 km/h.

Así, Juan era una partícula que se desplazaba con v2 = 4km/h, en ese marco dereferencia inercial (el río); concluyó que el problema podía ser planteado en términos dela composición galileana de velocidades:

V, v +=v 21

donde:

v2 = velocidad de Juan, i4 km/h;V = velocidad constante del río, 8 $j km/h.

Chucho entonces debería encontrar la velocidad resultante V v v +de)( 21 . Para resolverel problema representó gráficamente ambas velocidades considerando los marcos dereferencia.

Figura 33. Chucho representó la orilla desde la que observaba como un marco de referencia (S1) en reposo,y al río como un marco de referencia (S2) a velocidad constante. ¿Con qué velocidad nada Juan en el río?

Puesto que la relación V v +2 se localiza en el marco S2, Chucho creyó pertinente noconsiderar por el momento su marco de referencia (S1) y estimar, por el método delparalelogramo, la suma de ambas velocidades en (S2).

47

Figura 34. Representación de la relación v2 + V por el método del paralelogramo dondev1 es la velocidad con que nada Juan desde el marco de referencia de Chucho.

Con estos resultados se puede predecir que la velocidad real de Juan, nadando en el río,será de 8.9 km/h con un sentido y dirección de 45° río abajo. Dudando de sus resultados,Chucho los comprobó por el método del triángulo, donde se aplica el teorema dePitágoras, que se expresa:

222

21 += V v v

Sustituyendo:222

1 )h/km8(+)h/km4(= v

h/km64+h/km16=21 v

h/km80=1 vh/km9.8=1 v

Figura 35.

v2 = 4 km/h

v1 = 8.9 km/h

V = 8 km/h 45°

v2 = 4 km/h v1 = 8.94 km/h

V = 8 km/h

45°

48

Ambos métodos arrojan el mismo resultado, salvo un pequeño margen de error queatribuimos al trazo del tamaño de los vectores en el paralelogramo. Por lo tanto, lavelocidad resultante de la relación V v +2 , quedaría como

velocidad resultante ,h/km9.8=1 v la velocidad con que Chucho observa que Juannada.

La composición galileana de velocidades V v v += 21 , le sirvió a Chucho pararepresentar la situación en términos de marcos de referencia inerciales, ahora bien, siChucho, desde su marco observa que Juan se desplaza en el río a una velocidad de 8.9km/h, ¿qué velocidad observaría si se situara en el marco de referencia S2 con velocidadconstante? Representamos la situación gráficamente:

Figura 36. En este caso, ¿con qué velocidad nada Juan?

Donde: v2 = 4 km/h; V = 0

Por lo tanto:

V v v += 21

v =1 4 km/h + 0 v =1 4 km/h

Puesto que a Chucho y Juan los lleva la corriente con la misma velocidad, Chuchoobservará que el nadador se acerca a él en línea recta, a una velocidad de 4 km/h y node 8.9 km/h, como en el caso anterior. ¿Podrías explicar por qué de acuerdo con latransformación de las velocidades de Galileo?

En este caso V = 0, pues Chucho, al ser llevado por la corriente junto con Juan, sóloaprecia el desplazamiento del nadador en dirección a él.

Considera el siguiente caso: si dos trenes se desplazan con velocidad constante deV = 20 km/h, uno al lado del otro en vías paralelas, y en el mismo sentido y dirección;los pasajeros de ambos trenes, al mirarse de frente y después de cierto tiempo,concluirán que el pasajero de la ventanilla de enfrente ha permanecido en el mismopunto, es decir, en reposo, por lo que la velocidad relativa de los trenes se consideraríacero.

49

Figura 37. ¿Observarán los pasajeros del tren A algún cambio en la velocidad del tren B, si ambos viajaran a 20 kilómetros por hora?

Sabemos que un marco de referencia inicial es aquel que, o permanece en reposo o sedesplaza con movimiento rectilíneo uniforme a velocidad constante, por lo que los trenesdel caso anterior son marcos de referencia inercial.

Responde con falso o verdadero las siguientes afirmaciones:

a) Un pasajero puede saltar de un tren a otro de la misma forma que lo haría siéstos estuvieran en reposo.

b) Los pasajeros del tren B notarán un cambio de velocidad en el tren A, sólosi éste acelera o frena

c) La velocidad de un pasajero que camina hacia el frente del tren donde viajaes mayor que 20 km/h, para un observador en tierra firme.

d) La velocidad de ese mismo pasajero caminando hacia el cabús del tren esmenor que 20 km/h, para un observador en tierra firme.

e) Dos péndulos, dentro de cada uno de los trenes, oscilarán uniformemente.

f) Si un pasajero, situado sobre el tren B, camina con V = 0.5 km/h, lospasajeros del tren A estimarán su velocidad en esa misma magnitud.

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

50

g) Si el tren B entre en una curva, el péndulo situado dentro de él dejará deoscilar uniformemente, es decir, cambiará sus oscilaciones.

h) Si el tren B entra en una curva, el pasajero situado sobre él será arrojadofuera del tren.

¿Por qué en las películas del oeste los bandidos saltan de un tren a otro cuando ambostrenes se mueven paralelamente en la misma dirección y sentido?__________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

51

RECAPITULACIÓN

PARTÍCULA

REPRESENTACIÓNVECTORIAL DE LA

VELOCIDAD

MARCO DEREFERENCIA NO

INERCIAL

INVARIANCIADE LAS LEYESDE NEWTON

SUMA DEVELOCIDADES

VELOCIDADESRELATIVAS

SISTEMAS DEEJES

COORDENADOS

MARCO DEREFERENCIA

INERCIAL

PRINCIPIOCLÁSICO DE LARELATIVIDAD

52

1. Dos hombres se lanzan una pelota a bordo de una lancha de vela que navega avelocidad constante V de 18 km/h. Lanzan la pelota de popa a proa y viceversa ( estoes, de adelante hacia atrás y de atrás hacia delante), con omisión aparente delmovimiento de la lancha.

a) Si la lancha navega con dirección al Este a 18∧i km/h y la pelota se lanza de popa

a proa con una velocidad de 5∧i m/s, ¿cuál es la velocidad de la pelota para un

observador en tierra?, ¿cuál es la velocidad de la pelota en relación con el bote?____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

b) Si la pelota se lanza de proa a popa con una velocidad de 5∧i m/s, ¿cuál es la

velocidad de la pelota, en este caso, para el observador en tierra?, ¿ cuál es lavelocidad de la pelota en relación con el bote?____________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Una lancha que desarrolla una velocidad V de 10∧j m/s, atravesará un río (siguiendo

una trayectoria de Sur a Norte), cuya corriente tiene una velocidad V de 20∧j m/s,

desplazándose con dirección de Oeste a Este. Representa con un dibujo la situación,señalando ambas velocidades con vectores.

a) Ahora, sin o hubiera corriente (aguas tranquilas), ¿Cuál sería la velocidad de lalancha para un observador en tierra? Marca con rojo, la trayectoria que seguiría laembarcación en estas condiciones.

b) Considerando la corriente, ¿qué trayectoria sigue la lancha y con qué velocidad?Marca con azul estos nuevos vectores.

ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIÓN

53

3. Un avión vuela a una velocidad v de 200 km/h. En determinado momento comienza

a soplar un viento fuerte, con velocidad V de 80∧j km/h, dirigido de Norte a Sur.

a) ¿Cuál será la velocidad del avión respecto a la tierra, suponiendo que vuele denorte a sur?___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

b) ¿Cuál será la velocidad del avión respecto a la tierra, suponiendo que vuela de sura norte?_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4. Imagina que el mismo avión viaja de oeste a este. Traza los vectores v : de lavelocidad del avión, del aire y de la velocidad resultante.

5. Una muchacha, nada con una velocidad v de 7.5∧j m/s, debe atravesar un río, cuya

corriente lleva una velocidad de 13î m/s. Suponiendo que la muchacha quiereatravesarlo perpendicular a la corriente, ¿hacia qué dirección debe orientar su nado ycuál es su velocidad real en el agua? En un esquema marca los respectivos vectoresv .

54

1.

a) Para un observador en tierra la velocidad de la pelota es de 36 km/h o 10 km/s. Enrelación con el bote, la velocidad de la pelota será de 18 km/h o 5 m/s.

b) Para un observador en tierra, la velocidad de la pelota es de cero. En relación conel bote, la velocidad de la pelota será de 18 km/h o de 5 m/s.

2.

a) 10 m/s

b) 22.36 m/s con dirección NE

3.

a) 280 km/h

b) 120 km/h

4. Velocidad resultante: R = 215.40 km/h

5. La velocidad real de la muchacha nadando en el agua será de 15 m/s; la dirección ala que debe orientar su nado dependerá del dibujo que se elabore, ya sea que lacorriente se desplace de oeste a este o viceversa.

AUTOEVALUACIÓN

55

ALVARENGA, Máximo. Física General. 3ª ed. Harla, México, 1983.

DUBROVSKI, V., et al. El mundo relativista. Mir, Moscú.

GENZER, Irvin, et al. Física. Publicaciones Cultural, México, 1989.

MAIZTEGUI, Alberto P., et al. Introducción a la Física. 9ª ed. Kapelusz, 1973.

SHAPIRO, G. Física sin Matemáticas. Alhambra, España, 1981.

WHITE, H. E. Física Moderna, vol. 1 UTEHA, México, 1986.

BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA

1

COLEGIO DE BACHILLERES

FISICA MODERNA I

FASCÍCULO 2. CONSERVACION DEL MOMENTO LINEAL

Autores: Elsa Aurora Valadez Espino Fernando Juárez Soto

2

Colaboradores

Asesoría PedagógicaJosé Manuel López Estrada

Revisión de Contenido

Diseño Editorial

COLEGIO DEBACHILLERES

3

INTRODUCCIÓN

CAPITULO 1. CONSERVACION DEL MOMENTO LINEAL

PROPÓSITO

1.1 IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO 1.2 EL TIEMPO Y SUS EFECTOS EN EL IMPULSO EL MOMENTO LINEAL 1.3 ESTABLECIMIENTO DEL CONCEPTO DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO 1.4 COLISIONES ENTRE CUERPOS DUROS 1.5 COLISIONES ELASTICAS E INELASTICAS

RECAPITULACIÓN

ACTIVIDADES DE CONSOLIDACION

AUTOEVALUACIÓN

BIBLIOGRAFIA

Í N D I C E

4

5

Antes de iniciar la lectura del presente fascículo, es importante que organices tu estudioen función de las siguientes preguntas:

¿Qué vas a aprender?

Aprenderás que cuando a un cuerpo le aplicas una fuerza, durante cierto tiempo (Ft, loque en física llamanos IMPULSO), dicho cuerpo sufrirá un cambio en el producto de sumasa por su velocidad (m V ), que en física se le llama el momento lineal o cantidad demovimiento.

Observarás que al aplicar la ley del impulso — momento (segunda ley de Newton), juntocon la ley de la acción y reacción (3ª. ley de Newton), durante una colisión; el momentolineal final será igual al momento lineal inicial.

¿Cómo lo vas a lograr?

Desarrollando, experimentalmente, actividades en las cuales, cuantificarás el valor de lasmasas y de las velocidades en diferentes cuerpos, antes y después de un choque; lo quete permitirá calcular la variación del momento lineal, en cada cuerpo, haciendo uso de losmétodos gráficos y analítico.

¿Para qué te va a ser útil?

Para establecer que en todo tipo de colisiones, elásticas e inelásticas, el momento lineal,antes de la colisión (p ai + p bi), es igual al momento lineal después de la colisión ( af +

bf); lo cual llamamos : ECUACION DE CONSERVACION DEL MOMENTO LINEAL.

p af + p bf = p ai + p bi

P R O P Ó S I T O

6

7

Una experiencia común nos indica, que cuando intentamos detener un cuerpo enmovimiento, nos será más difícil hacerlo si se desplaza a gran velocidad. Se requiere unmayor esfuerzo para detener una bicicleta que se mueve a 2 m/seg, que para detenerlacuando se desplaza a 0.5 m/seg. Seguramente, también te habrás dado cuenta que dedos cuerpos en movimiento, a la misma velocidad, es más difícil detener al de mayormasa. Una automóvil que va a 1 m/seg, se detendrá con mayor dificultad que un tricicloque se desplaza a la misma velocidad.

Al producto de la masa por la velocidad del cuerpo en movimiento, Newton le dio elnombre de momentum. Hoy se le llama cantidad de movimiento o momento lineal y se ledenota por la letra p ; esto es: p = m V

INTRODUCCIÓN

¿Cuál de los 4 automóviles se detendrán con mayor dificultad?

8

Como sabes, para que un cuerpo deje de estar en reposo o en movimiento rectilíneouniforme, se requiere que actúe sobre él una fuerza externa, haciendo que varíe suvelocidad. Si un cuerpo está en reposo y le aplicas una fuerza, éste empezará a moversey su rapidez dependerá del valor de la fuerza y del tiempo que ésta actúe sobre él. Porejemplo: una bola acelera su movimiento cuando empujas o la golpeas, es decir, cuandole aplicas una fuerza. Cuan rápido se mueva dependerá de algo más que su masa,también dependerá del tiempo. Una fuerza sostenida durante un tiempo largo permite ala bola adquirir un mayor cambio en su velocidad, una fuerza sostenida en un tiempobreve provocará un cambio pequeño en la velocidad del mismo cuerpo.

En el fascículo anterior aprendiste lo que decía Galileo sobre la inercia y el movimiento,así como la relación que guardan con la segunda ley de Newton. Estos conocimientos teservirán para entender el concepto de cantidad de movimiento, p = m V .

UNA FUERZA SOSTENIDA DURANTE UN TIEMPO LARGO PERMITE UNMAYOR CAMBIO EN LA VELOCIDAD

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Cuestionario Guía

¿Has presenciado un choque entre dos autos? o ¿has visto alguno en el cine o latelevisión? Seguramente has notado que lo aparatoso de éste, depende del tamaño delos vehículos y de las velocidades con que se mueven; de acuerdo a tus experiencias,¿qué causa más daño, un auto desplazándose a 100 km/h o desplazándose a 10km/h?.De la misma manera, ¿qué causará más daño, un trailer que se esta moviendo con unavelocidad de10km/h y le pega a un sedan o una colisión entre dos carros sedanmoviéndose a la misma velocidad que el trailer?

Seguramente, también habrás observado un juego de béisbol, de fútbol o algún partidode tenis, ¿cómo logran los jugadores un mayor impulso a la pelota? ¿Influye el tiempo enesos resultados? ¿Hay algún principio que te ayude a encontrar una respuesta a lasinterrogantes que planteamos? Te invitamos a descubrirlo con la lectura de estefascículo.

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11

CAPÍTULO 1 CONSERVACIÓN DEL MOMENTO LINEAL

1.1 IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO

Recordaremos que en nuestro primer curso de física estudiamos que la aceleración espor definición el cambio de la velocidad con respecto al tiempo, esto es:

toVfVa −

=

La ocurrencia de este cambio de velocidad con respecto al tiempo, se debe, según lasegunda ley de Newton, a la aplicación de una fuerza sobre el cuerpo.

Considerando que la segunda ley se expresa = m ā y sustituyendo la aceleración porsu equivalente,

toVfV − , nos queda:

−=

toVfVmF

Si multiplicamos ambos miembros de la ecuación por tiempo(t) tenemos:

tt

oVfVmtF

−= ,

Por lo tanto nos queda:

oVmfVmtF −= ,

12

la cual se lee: la fuerza multiplicada por el tiempo, durante el cual actúa es igual alcambio de la cantidad de movimiento. La ecuación anterior, ha sido de tanta utilidad enla solución de problemas de colisiones, que estudiaremos cada término por separado.

F t es el producto de la fuerza por el tiempo, se le denomina impulso y lo denotamos porla letra Ī = F t; éste es una magnitud vectorial, su dirección es la misma que la de lafuerza aplicada.

En el sistema internacional (S.I), la unidad de fuerza es el Newton, y la unidad de tiempoes el segundo. Por lo tanto, la unidad de impulso, en el S.I. es el Newton-segundo (N-s).

El segundo término de la ecuación, m v , es el producto de la masa por la velocidad y,como dijimos anteriormente, lo llamamos momento lineal o cantidad de movimiento y lodenotamos por el vector:

p = m V .

La unidad de masa en el S.I. es el kilogramo. La unidad de velocidad en el S.I. es m/s.Por lo tanto la unidad de cantidad de movimiento es el Kg.m/s.

El impulso es igual al cambio de la cantidad de movimiento, esto es: Ī = ∆p = p f - p o.

Esta ecuación es totalmente equivalente a la segunda ley de Newton, y debe pensarsede ella como una manera diferente de expresar la misma ley física.

¿Qué pasa si la fuerza resultante, aplicada sobre un objeto, es cero? En este caso, suimpulso (F t) será cero sin importar el tiempo que consideremos. Por lo tanto, con baseen la relación impulso – momento lineal, concluimos que el cambio del momento lineal escero. Esto es, el momento lineal final debe ser igual al momento lineal inicial (ley deconservación del momento lineal), en otras palabras, el momento lineal se conserva. Sino hay fuerza, un cuerpo en reposo permanece en reposo, y si estaba con ciertavelocidad, permanece con esa misma velocidad. Esto es equivalente a la segunda ley deNewton.

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1.2 EL TIEMPO Y SUS CONSECUENCIAS SOBRE EL IMPULSO Y EL MOMENTO LINEAL

Siempre que se desee cambiar la cantidad de movimiento o momento lineal de uncuerpo, es necesario considerar la fuerza aplicada y el tiempo de su aplicación. Unejemplo de ésto sería cuando un beisbolista golpea una pelota con gran fuerza, paraproporcionarle una cierta cantidad de movimiento (momento lineal) pero, si deseaobtener el máximo de momento lineal prolongará el tiempo de contacto de la fuerzasobre la pelota. Una fuerza grande multiplicada por un tiempo grande da por resultado ungran impulso, y éste a su vez, producirá un mayor cambio en el momento lineal de lapelota.

Siempre que se desee impartir el mayor impulso a un objeto, simplemente se aplicamayor fuerza y se prolonga tanto como sea posible, el tiempo de contacto.

Supongamos ahora, que un auto se desplaza a alta velocidad y choca contra un muro decontención. Su gran momento lineal cesa en un tiempo muy breve. Fácilmentecomprendemos que para detener súbitamente un objeto que posee un gran momentolineal, la fuerza aplicada debe ser muy grande.

PARA LOGRAR UN MAYOR IMPULSO, EL BEISBOLISTA PROLONGA SUBATAZO EL MAYOR TIEMPO POSIBLE

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Podríamos comparar los resultados de un auto, que a alta velocidad choca contra unmuro de concreto, con los resultados de otro auto que choca contra una montaña dearena. En ambos casos el cambio de momento lineal o cantidad de movimiento es elmismo. Sin embargo, los tiempos de impacto son distintos.

Cuando el auto golpea el muro de concreto, el tiempo de impacto es corto, por lo que lafuerza de impacto promedio es enorme. En cambio, cuando golpea la montaña de arenala fuerza se prolonga por un tiempo mayor y en consecuencia ésta es considerablementemenor.

Otro ejemplo sería, cuando un boxeador trata de reducir al mínimo la fuerza de impactoprovocada por un puñetazo con gran momento lineal, la fuerza aplicada será menor si seprolonga el tiempo del impacto; esto es, el boxeador se hace hacia atrás mientras esgolpeado. Si recibe el puñetazo al acercarse a su oponente, el tiempo de contacto sereduce, lo que da por resultado una mayor fuerza.

¿EN QUE CASO ES MAS GRANDE LA FUERZA DE IMPACTO?

¿QUÉ EFECTO TIENE EL TIEMPO SOBRE EL MOMENTO LINEAL

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Podemos considerar, también, el caso de una persona que salta al suelo desde unaposición elevada y dobla sus rodillas al hacer contacto, prolongando así, el tiempodurante el cual su momento lineal se reduce a cero. Una caída brusca sería el resultadode un salto con las piernas rígidas, lográndose la reducción del momento lineal en untiempo muy corto. Las rodillas dobladas reducen de 10 a 20 veces las fuerzas recibidaspor los huesos.

Por la misma razón, una persona cae más “suavemente” sobre un piso de madera quesobre uno de concreto. Esto se debe a que el de madera, con mayor elasticidad, permiteun tiempo de mayor de impacto, y por tanto una fuerza de menor contacto, a diferenciade un piso de concreto con poca elasticidad.

Podríamos preguntarnos: ¿tiene impulso un cuerpo libre en movimiento?

La fuerza en una medida de la interacción de un objeto con algún agente externo. Unavez que la interacción cesa, el concepto de fuerza desaparece; así pues, un cuerpo noposee fuerza, no podemos hablar de la fuerza de un cuerpo ni del tiempo de un cuerpo.Con base en estas consideraciones un cuerpo libre no puede poseer impulso.

No tiene sentido hablar del impulso de un cuerpo libre, aunque en leguaje coloquial escomún que se exprese en esa forma.

Considera ahora, un sistema de dos masas a y b, que se mueven libremente unarespecto a la otra, excepto, quizás, cuando chocan. El sistema total (a + b) esta libre defuerzas externas. Las únicas fuerzas a considerar serán las fuerzas de interacción, alchocar una partícula contra la otra. En este último caso, por la tercera ley de Newton, lasfuerzas de cada cuerpo son iguales y opuestas, dando entonces, para el sistema enterode dos masas, una suma vectorial de F = 0, aún si hay colisiones.

La ley de impulso–momento lineal (2ª. ley de Newton), junto con la tercera ley deNewton, nos dicen, entonces, que en una colisión se satisface la relación:

0 = P inicial - P final

donde p es el momento de todo el sistema, esto es:

P = P a + P b

Por lo tanto, en una colisión tenemos:

P af + P bf = P ai + P bi

Esto es, la ecuación de conservación del momento lineal. Esta relación es válida en todacolisión.

16

1. Une dos carros de baja fricción que tengan la misma masa, por medio de hilo y colocaentre ellos un resorte, de tal manera que al quemar el hilo, el resorte impulse a loscarros; como se ilustra en la siguiente figura:

¿Cómo es la fuerza del carro A, comparada con la del carro B?

¿Cuál es la suma total de las fuerzas en el carro A más las fuerzas del carro B?

¿Cuál es el impulso en el sistema A + B?

¿Cuál es el momento total en el sistema A + B, antes de romper el hilo?

¿La fuerza en el carro A, es distinta que en el carro B? ¿Cuál es la suma de las dosfuerzas?

¿Cuál es el momento lineal, individual, de cada carrito, antes de romper el hilo?

¿Cuál es el momento lineal, individual, de cada carrito, después de romper el hilo?

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

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Utilizando la relación impulso-momento lineal ¿qué podemos deducir de los momentosindividuales, después de romper el hilo?

¿Se conserva la cantidad de movimiento? Explica.

Ahora, coloca sobre el carro A una mas de 0.5 Kg. Y sobre el carro B una de 1 Kg, atalos carros, como en la actividad anterior y quema el hilo

¿Cuál de los dos carros se detuvo primero? ¿Cómo explicas la diferencia en la distanciaque ambos carros recorren?

En este último caso, ¿crees que se halla conservando la cantidad de movimiento?

18

Material necesario:

Dos carritos de baja fricción.Dos pesas de un kilogramo.Dos pesas de 0.5 kilogramos.Una regla metálica.Un resorte.Una tabla de formaica (se puede utilizar la mesa del laboratorio).

Procedimiento:

Considera el sistema constituido por el resorte comprimido y los carritos A y B.

En la figura se observa que los carritos están en reposo sobre una superficie horizontal,en la que la fricción es mínima (no hay fuerzas horizontales aparte del resorte) ycomprimen entre sí al resorte.

Al soltar los carritos, uno de ellos adquiere una velocidad V a y el otro una velocidad V b;posteriormente el resorte vuelve a un estado de reposo.

ACTIVIDAD EXPERIMENTAL No. 1

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Cada uno de los carritos adquiere cierto momento lineal; pero el momento lineal totaldebe permanecer constante durante toda la interacción.

p a = ma V a p b = mb V b

p a + p b = 0Luego:

ma V a + mb V b = 0

de donde:

mb

V a = ————— V b

m a

Por la expresión, es fácil darse cuenta de que las velocidades presentan direccionescontrarias.

Coloca en ambos carritos masas de 2 kilogramos como lo indica la siguiente figura(resorte comprimido) y suéltalos.

Detén los carros después de transcurrido un segundo y mide las distancias Xa y Xb quese hayan alcanzado respectivamente. ¿Cuál fue la velocidad desarrollada por cadacarrito? Calcula la p inicial y la p final de cada carro.

20

Completa la siguiente tabla con los datos que corresponden a los siguientes casos:

I). Los dos carritos solamente.

II). Los dos carritos con masas extra de 2 kilogramos cada uno.

III). Un carrito con una masa extra de 1 kilogramo y el otro con una mas extra de 2kilogramos

MV final mV inicialmVV Total(mVf – mVi)No

DEEVENTO Carro

ACarro

BCarro

ACarro

BCarro

ACarro

B A + B

I)

II)

III)

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1.3 ESTABLECIMIENTO DEL CONCEPTO DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO (*)

Al observar los objetos que nos rodean, es fácil comprobar que los que se encuentran enmovimiento siempre acaban, después de cierto tiempo, perdiendo velocidad hastaquedar en reposo. A los filósofos del siglo XVIII les preocupaban estas observaciones, yaque parecían indicar que el “movimiento total” del Universo estaba disminuyendo, o enotras palabras, que “el Universo moría”. Para ellos, esta idea era inaceptable, pues comoel Universo era obra de Dios, debía ser eterno.

Varios filósofos y científicos de la época empezaron, entonces, a creer en la posibilidadde la existencia de una magnitud relacionada con el movimiento, que debía permanecerconstante, mientras que los cuerpos interactuaban unos con otros, aunque algunos,finalmente acaban por detenerse.

Al tratar de encontrar cuál era esta magnitud que permanecía constante, inicialmente seelaboró la hipótesis de que, tal vez, el vector velocidad V satisfacía esta condición. Auncuando, en algunos casos, el vector velocidad de cuerpos que interactúan realmentepermanezca constante, es fácil hallar ejemplos en los cuales no sucede esto. Porejemplo, en el choque completamente inelástico de dos cuerpos de diferente masa, queinicialmente se mueven con velocidades de igual valor pero de sentidos opuestos.

(*) Tomado de: Alvarenga, Beatriz. Et al FÍSICA GENERAL.3ª. Edición. México. 1983 páginas 340 – 342.

22

Tenemos que: antes del choque

V 1 + V 2 = 0

Después del choque,

V 1 + V 2 ≠ = 0

Entonces la velocidad vectorial total no se conservó durante este choque, y podemosconcluir que esta magnitud no es la que permanece constante en las interacciones de loscuerpos.

El gran filósofo y científico francés, René Descartes, preocupado por este problema,sugirió que la cantidad buscada debería obtenerse multiplicando la masa del cuerpo porla magnitud de su velocidad. Creía que esta cantidad sí permanecía constante en lasinteracciones entre los cuerpos, y la llamó “cantidad de movimiento” de un cuerpo. Porlo tanto, según Descartes, la “cantidad de movimiento” era una cantidad escalar, q dabapor q = mV.

En este choque no hay conservación del vector velocidad V

23

No obstante el reconocido genio de Descartes, su postulado no era correcto y fueduramente criticado por el gran matemático alemán Leibnitz, quién con ejemplos muysencillos, presentó varios tipos de choques en los cuales la cantidad a escalar q = mVno se conservaba, contrariamente a lo que supuso Descartes.

La manera adecuada de medir la “cantidad de movimiento” por medio de una magnitudcuyo valor total se conservará en las interacciones de los cuerpos, vino a serdescubierta, algunos años más tarde, por Isaac Newton. Este gran físico definió la“cantidad de movimiento” en la forma en que lo hemos hecho en este fascículo, es decir,como una cantidad vectorial dada por la relación p = m V . Realmente, como ya vimos,el valor total de esta cantidad se conserva en cualquier tipo de choque y en lasinteracciones de un sistema aislado. En otras palabras, la cantidad de movimiento totaldel Universo (en forma en que Newton la definió) permanece constante en el transcursodel tiempo. Por lo tanto, se había resuelto el problema que tanto preocupó a los filósofosdel siglo XVII.

24

1.4 COLISIONES ENTRE CUERPOS DUROS

Ahora veamos, que al sumar los mementos lineales de un sistema permanecenconstantes, aún cuando después de chocar los cuerpos toman direcciones distintas,formando cierto ángulo entre las dos trayectorias.

Una bola de acero, de masa (m), con cierta velocidad, se mueve sobre una superficielisa hacia una segunda bola (de acero) que está en reposo, y que tiene una masa (m´).Los cuerpos chocan y se alejan en diferentes direcciones; supongamos que la masa enambas bolas es de 100 gramos y que su velocidad es de 0.5 m/seg, entonces podemoscalcular la cantidad de movimiento (p ) de cada una de ellas después del choque. Losvectores p a y p b de la figura, representan los momentos lineales que tienen después delchoque. En la figura se muestra cómo se suman los vectores p a y p b que nosrepresentan las respectivas p de las esferas, utilizando el método del paralelogramo.

Pb

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Materiales:

1 rampa para tiro horizontal.

2 balines de acero, de 1.5 cm de diámetro.

1 pesa de 10 kilogramos.

2 cartulinas tamaño comercial (las cuales deberás llevar al laboratorio)

1 transportador de madera para uso de pizarrón.

1 regla graduada de 1m.

8 hojas de papel carbón.

1.5 metros de hilo.

Cinta adhesiva

Anteriormente hemos investigado las cantidades de movimiento de los cuerpos a lo largode una línea recta, pero ¿qué sucede cuando los dos cuerpos salen en diferentesdirecciones después del choque? Lo determinaremos dejando caer una bola de aceropor una pendiente (rampa) de tal modo que realice una colisión rasante sobre otra bolade acero del mismo o diferente tamaño.

En este experimento se suelta un balín del alto de la rampa, con lo cual adquiere ciertacantidad de movimiento horizontal al llegar al extremo inferior, luego cae libremente alpiso y se registra el punto de impacto.

Se coloca un segundo balín sobre la cabeza de un tornillo que se encuentra en elextremo inferior de la rampa y el otro balín se suelta nuevamente desde la parte superiory en esta forma se produce un choque, el cual no debe ser frontal, sino lateral, variandola posición del tornillo, de modo que la cantidad de movimiento inicial sé reparta entre losdos balines.

Cuando las masa de las esferas son iguales, los vectores velocidad representan tambiénlas cantidades de movimiento de las esferas.

ACTIVIDAD EXPERIMENTAL No. 2

26

Procede a representar gráficamente los vectores P de cada uno de los balines despuésdel choque. Suma gráficamente los dos vectores correspondientes, situando el extremodel que corresponde al balín “blanco” sobre el vector correspondiente a la esferaincidente.

¿Qué relación existe entre la suma vectorial de las dos cantidades de movimientosfinales y la cantidad de movimiento inicial de la esfera incidente?

¿Se ha conservado la cantidad de movimiento en estas interacciones?

27

1.5 COLISIONES ELASTICAS E INELASTICAS

Siempre que dos o más cuerpos sufren una colisión, se nos presentará una de dossituaciones. Una: los cuerpos son objetos duros, y por lo tanto casi no sufrirándeformación; prácticamente su Energía Cinética se conservara al igual que su cantidadde movimiento. Este será un choque o colisión elástica, como ejemplo podríamosmencionar el choque entre dos balines, o entre dos bolas de billar, en ambos casocumplirían con las condiciones anteriormente enunciadas y por lo tanto diríamos que lacolisión fue elástica.

En el segundo caso, si los cuerpos son blandos y presentan deformaciones elásticaspermanentes debido a la colisión, entonces se perderá energía cinética, debido a lafricción y al calentamiento de los materiales que se deforman. A este tipo de colisión, quepierde energía, la llamaremos: inelástica. Nótese que aunque en una colisión inelásticase pierde energía cinética, la cantidad de movimiento, pa + pb, continua siendo constante.

Dentro de las colisiones inelásticas podemos considerar el caso particular en el cual loscuerpos luego de chocar, adquieren igual velocidad; podríamos citar como ejemplo elcaso de dos automóviles que después del choque se desplazan unidos.

Podemos afirmar que la mayoría de las colisiones se encuentran entre una colisiónperfectamente elástica y una colisión perfectamente inelástica. En el fascículo siguienteanalizarás con más detalle este tipo de situaciones.

28

RECAPITULACION

MOMENTO LINEAL

CANTIDAD DE MOVIMIENTO

(P = m V )

IMPULSO

( Ī = F t )

2ª LEY DE NEWTON

(F = ma)

3ª LEY DE NEWTON

COLISIONES ELASTICAS

COLISIONES INELASTICAS

CONSERVACION DEL MOMENTO LINEAL

RECAPITULACION

29

1. Un automóvil de 1 500 kg. Se desplaza en línea recta, reduciendo su velocidadde 20 m/s a 15 m/s al cabo de 3 segundos. ¿Cuál es la fuerza promedio queretarda su movimiento?

2. Una pelota de béisbol con 250 gramos. Se mueve hacia el bateador a unavelocidad de 12 m/s y al ser golpeada, sale en dirección contraria con unavelocidad de 24 m/s. Calcula el cambio en su cantidad de movimiento.

3. Un avión DC 9 tiene una masa de 50,000 Kg. y vuela a una velocidad de 700Km/h su motor desarrolla un empuje total de 70,000 N. Si no consideramos ni laresistencia del aire, ni el cambio en la altura, ni el consumo de combustible.¿Qué tiempo tarda el avión en alcanzar esta velocidad partiendo en reposo?

4. ¿Qué impulso debe recibir un ciclista para aumentar su velocidad de 5 m/s a10.5 m/s, si la masa del ciclista con su bicicleta suma 90 Kg. ?

5. ¿Qué valor tiene la cantidad de movimiento de una patinadora de 55 Kg, que sedesliza a una velocidad de 6.4 m/s?

ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIÓN

30

1. F = – 2500 N

2. F ∆t = 9 Kgm/s

3. t = 138.7 seg

4. Ī = 495.kgm/s

5. p = 3,520 Kgm/s

AUTOEVALUACIÓN

31

ALVARENGA, Beatriz y Máximo, Antonio. FISICA GENERAL. 3ª edición. Harla, México1983.

BUECHE, F. FUNDAMENTOS DE FISICA. Editorial Mc Graw Hill. México 1982.

HEWITT, P. CONCEPTOS DE FISICA. Editorial Limusa. México 1992.

MORONES. PRACTICAS DE LABORATORIO DE FISICA. Editorial Harla. México 1982.

PSSC. GUIA DE LABORATORIO DE FISICA. Editorial Reverté, s.a. México, s/f

TIPPENS, Paul E. FISICA: CONCEPTOS Y APLICACIONES. Editorial Mc Graw Hill.México 1981.

BIBLIOGRAFÍA

32

FASCÍCULO 3. CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA

Autores: Oseas Mecinas Contreras Guillermo Jesús Rosas Martínez

COLEGIO DE BACHILLERES

FÍSICA MODERNA I

2

Colaboradores

Asesoría PedagógicaMaría Elena Huesca del RíoJosé Manuel López Estrada

Revisión de ContenidoSalvador Godoy Salas

Diseño EditorialLeonel Bello CuevasJavier Darío Cruz Ortiz

COLEGIO DEBACHILLERES

3

INTRODUCCIÓN 5

PROPÓSITO 7

CUESTIONAMIENTO GUÍA 9

CAPÍTULO 1 CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍAMECÁNICA

11

1.1 TRABAJO MECÁNICO 11 1.1.1 Relación Energía – Trabajo 15

1.2 ENERGÍA MECÁNICA 16 1.2.1 Energía Cinética 16 1.2.2 Energía Potencial 24 1.2.3 Fuerzas 31

1.3 CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA

34

1.3.1 Colisiones 41

RECAPITULACIÓN 44

ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIÓN 45

AUTOEVALUACIÓN 48

BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA 49

Í N D I C E

4

5

La energía tiene infinidad de aplicaciones en la vida: tecnológicas, industriales ydomésticas. Se explota una amplia variedad de recursos energéticos, desdecombustibles fósiles hasta el átomo. Por desgracia no es posible aprovechar la mayorparte de la energía ya que durante el proceso de uso tiene grandes pérdidas; la energíacon la que se dispone es limitada.La ley de la conservación de la energía es uno de los principios más importantes de laFísica, ya que a partir de esta se establecen formas respecto a su conservación yutilización.En mecánica, relatividad, gravitación, termodinámica, electromagnetismo, Física atómicao Física nuclear, la ley de la conservación de la energía es de suma importancia, lo quese comprobará con el estudio de la energía mecánica.

INTRODUCCIÓN

6

7

Con base en las características del trabajo mecánico y su relación con la energía,analizarás las características de la energía mecánica para establecer la ley de laconservación de la energía mecánica y qué sucede con la energía potencial y cinética enlas colisiones.Lo anterior lo lograrás considerando las características de la energía potencial y cinéticay, a partir de una actividad experimental (colisiones), concluirás con la ley de la energíamecánica; las características de lo que sucede con esta energía, considerando loschoques elásticos e inelásticos.Comprenderás en que condiciones se cumple la ley de la conservación de la energíamecánica y establecerás el concepto de energía de configuración de un sistema (análisisde los choques elásticos).

P R O P Ó S I T O

8

9

Como recordarás, la Física estudia las propiedades de la materia y la energía, pero,¿por qué necesitamos estudiar las propiedades de la energía? ¿Qué tipo de energíaconoces? ¿Cómo se mide y que beneficios nos proporciona? ¿Qué relación hay entreenergía y trabajo? Desde el punto de vista de la Física, ¿quién realiza más trabajo, unfutbolista o un investigador? ¿Por qué? La respuesta a esta y otras preguntas laencontrarás al estudiar, en este fascículo, las propiedades de la energía y su interaccióncon la materia para lograr un mayor y eficiente aprovechamiento de la energía.

CUESTIONAMIENTO GUÍA

10

11

CAPÍTULO 1CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA

1.1 TRABAJO MECÁNICO

La Física define trabajo como “una forma para medir la energía teniendo comoantecedente que las personas tienden a medir el trabajo que realizan por el cansancioque sienten”, pero podemos preguntarnos acerca de las máquinas cómo se cuantifica laenergía que emplean y cuál es el resultado de su trabajo.

Anteriormente consideramos que para levantar un cuerpo era necesario aplicar unafuerza, cuanto más pesado era éste mayor sería la fuerza y como consecuencia eltrabajo sería mayor. De la misma manera, si la altura a la que se levantaba el cuerpo eramayor, el trabajo sería mayor. De la misma manera, si la altura a la que se levantaba elcuerpo era mayor, el trabajo sería mayor. De este análisis concluimos una relación parael trabajo:

W = pa,

donde:

W = trabajo expresado en joules (J);P = peso expresado en newtons (N);a = altura expresada en metros.

Esta expresión algebraica de trabajo (W = Pa) no es válida cuando empujamos oarrastramos un cuerpo, pues en este caso la altura del cuerpo sobre el piso es cero; porconsiguiente, en lugar de considerar su altura nos estaremos refiriendo a la distancia (d)que recorre y la fuerza (f) aplicada, obeteniendo la relación:

W = Fd.

En general, tanto la fuerza F como el trabajo W no dependen de la masa del cuerpo, yaque dos cuerpos de diferente masa reciben el mismo trabajo. No debemos olvidar que lafuerza gravitacional si depende de la masa del cuerpo y en este caso F = mg = P (figuras1, 2, 3 y 4).

12

ACTIVIDADES

Observa las siguientes ilustraciones y coloca una (w) dentro del paréntesis cuandoconsideres que se está realizando trabajo. Anota tus observaciones en cada caso.

Figura 1. Tomado de Máximo Alvarenga,Máximo. Física general con experimentos.México, 1983.( ) _________________________________________________________________________________

Figura 2. Tomado de Cetto, Ana María yTambutti, Romilio. El mundo de la física.Méxcio,1987.( ) ___________________________________________________________________________________

Figura 3. Tomado de Smoot, Murphy. Física,principios y problemas. México,1991.( ) ___________________________________________________________________________________

Figura 4. Tomado de Pérez Montiel, Héctor,Física general. Publicaciones Cultural, México,1992.( ) ___________________________________________________________________________________

13

En estos casos se aplica fuerza sobre los cuerpos, pero éstos no se mueven; por lotanto, el trabajo realizado es nulo (no hay trabajo), y la distancia es igual a cero, esto es:

W = Fd

W = F (0)

W = 0

Recuerda que el peso es una propiedad de la materia debido a la fuerza gravitacionalque actúa sobre la masa de un cuerpo; es una magnitud vectorial, ya que es una fuerzacon dirección vertical y sentido dirigido hacia el centro de la Tierra. Su magnitud otamaño se calcula por medio de la siguiente expresión

P = mg,

donde:

P = peso expresado en newtons;

m = masa expresada en kg;

g = aceleración de la gravedad = 9.82s

m ;

en la superficie de la Tierra.

De ahí su equivalencia P = F;F = fuerza expresada en newtons.

La masa es la cantidad de materia que contiene un cuerpo. Nótese la gran diferencia delos conceptos de peso y masa y la relación entre los mismos. Recuerda que:

W = trabajo;

F = fuerza;

d = distancia expresada en metros.

Al aplicar la fuerza al cuerpo éste se mueve (desplaza), más si el desplazamiento delcuerpo es paralelo a la fuerza ( en este caso se dice que la fuerza es en dirección aldesplazamiento) se realiza un trabajo positivo (figura 5).

Figura 5. El trabajo es la fuerza F, multiplicada por la distancia D · W = f x d. Una fuerza más pequeñarecorriendo una mayor distancia d1, debe dar el mismo resultado.

F

d

14

Cuando la fuerza que se aplica no es paralela al desplazamiento, es necesario, por lotanto, considerar solo la fuerza que actúa paralelamente al desplazamiento. Figura 6.

Figura 6. La fuerza y el desplazamiento forman un ángulo θ.Tomado de Oyarzábal y Velasco, Félix. Lecciones de física. México, 1987.

Con base en nuestros conocimientos de Trigonometría establecemos que la fuerza queactúa paralelamente al desplazamiento, se obtiene mediante:

Fd = F cos

Donde:

Fd = fuerza en dirección del desplazamiento;θ = ángulo formado por la fuerza con respecto a la dirección de desplazamiento;cos θ = valor numérico adimensional;F = Fuerza aplicada al cuerpo.

De acuerdo con estas consideraciones nuestra expresión sobre el trabajo presenta unapequeña modificación valida en cualquier caso.

W = Fd d o W = F cos θ d W = Fd cos θ

La componente vertical (fuerza vertical) no realiza trabajo porque no haydesplazamiento del cuerpo en esa dirección. Recuerda que:

Joules = newtons x metros, y

Newtons = Kg x 2s

m , es decir,

Newtons = masa multiplicada por la aceleración.

W = Fdd = F (cos θ) d = F d cos θ

15

Si ahora consideramos una fuerza que actúa en sentido contrario al desplazamiento,esto es, que retarde el movimiento del cuerpo, ¿qué sucede con el trabajo realizadosobre el cuerpo? Puesto que el coseno de θ = 180° es –1, al sustituir este valor ennuestra expresión, tendremos:

W = Fd cos θW = Fd (-1)W = -Fd

Por consiguiente

1.1.1 Relación Energía−Trabajo

Al aplicar una fuerza se manifiesta energía y esta fuerza nos permite realizar un trabajo.En el pasado la mayor parte de la fuerza necesaria para realizar un trabajo lasuministraba el hombre y las bestias (caballos y bueyes), hoy las máquinas las hanreemplazado.

Las máquinas funcionaban con base en el consumo de un combustible (energíaquímica); en el caso de las máquinas mecánicas, su función se da a partir de laaplicación de una fuerza, en donde consideramos que se realiza un trabajo sobre elsistema para que desarrolle otro denominado trabajo de entrada y trabajo de salida. Porconsiguiente:

Cuando la fuerza actúa en sentido opuesto al desplazamiento,el trabajo realizado sobre un cuerpo será negativo.

En conclusión, el trabajo puede ser positivo o negativo deacuerdo con el sentido de la fuerza respecto al desplazamiento.

Un sistema cualquiera intercambia energía cuando realiza untrabajo, es decir, la energía intercambiada por el sistema y susalrededores se medirá por el trabajo que realiza; si la energía larecibe el cuerpo, el trabajo es positivo; si la energía la cede elcuerpo, el trabajo será negativo.

16

1.2 ENERGÍA MECÁNICA

En el capítulo anterior consideramos que cuando un cuerpo posee energía tiene lacapacidad de realizar trabajo, pero existen muchas formas de energía, por ejemplo:química, gravitacional, eléctrica y nuclear, entre otras; no obstante, la analizaremos en elsentido mecánico par comprender la ley de la conservación de la energía.

1.2.1 Energía Cinética

En Física, la energía se define como capacidad de realizar trabajo, en tanto es cinética,por lo que todo cuerpo en movimiento tiene capacidad de realizar trabajo, de ahí laimportancia de este fenómeno.

Figura 7. Tomado de Alvarenga, Máximo. Física general con experimentos. México, 1983

El trabajo se manifiesta al cambiar la velocidad del cuerpo sobre el que actúa una fuerza,figura 8. Sea el ejemplo de un cuerpo que se mueve sin rotación bajo la acción de unafuerza.

Figura 8. Tomado de Alvarenga, Máximo. Física general con experimentos. México, 1983

17

El trabajo realizado por la fuerza resultante produce una variación en la energía cinéticadel cuerpo donde:

m = La masa del cuerpo en kilogramos;F = fuerza que actúa sobre él en la línea del movimiento en newtons;t = intervalo de tiempo en segundos;Vf = velocidad final en metros/segundos;Vi = velocidad inicial en metros/segundos.

Momentum original es mVi y momentum final mVf, por consiguiente, el incremento demomentum es m (Vf-Vi) y de acuerdo con la segunda ley de movimiento, es igual a Ft(impulso).

Ft = m(Vf-Vi).

Puesto que la fuerza es constante, la velocidad aumenta uniformemente con el tiempo; lavelocidad media es la media aritmética de las velocidades inicial y final.

V = 21 (Vf-Vi),

y la relación entre la distancia recorrida y el tiempo empleado es:

V = td ; despejando d:

d = Vt ; sustituyendo la velocidad media:

d = 21 ( Vf – Vi )t ; multiplicando entre sí los miembros correspondientes de esta última

ecuación con la del impulso tenemos:

Ftd = 21

21 22 mVimVf t.

Simplificando:

Fd = 21 mVf2 -

21 mVi2;

donde Fd es el trabajo hecho por la fuerza F que actúa sobre el cuerpo mientras éste semueve a través de la distancia d en la dirección de aquella. Tenemos:

Fd = 21 mVf2 -

21 mVi2 = W

21 mVf2 -

21 mVi2;

18

Si 21 mVi2 es el semiproducto de la masa por el cuadrado de la velocidad, éste

corresponderá a la energía cinética del cuerpo (Ec) al principio, y si este parte del

reposo: - 21 mVi2 = 0.

Entonces: 21 mVf2 será la energía cinética después de la acción de la fuerza f a través de

la distancia d.

Ec = energía cinética: Ec = 21 mV2.

Ya que se ha definido a la energía de un cuerpo como la capacidad que tiene para hacertrabajo y se mide por el trabajo que puede hacer, la energía cinética de un cuerpo es laenergía que tiene la virtud de estar en movimiento (figuras 9,10, 11 7 12).

Ec = mV2o.

Ec = 21 mV·V, es decir, el semiproducto de su momentum por su velocidad.

Figura 10. Tomado de Alvarenga, Máximo,Física general con experimentos. México, 1983

Figura 12 .Tomado de Cetto, Ana María y TambuttiRomilio. El mundo de la física. Méxcio,1987

Figura 9. Tomado de Alvarenga, Máximo,.Física general con experimentos. México, 1983

Figura 11 Tomado de Cetto, Ana María y TambuttiRomilio. El mundo de la física. Méxcio,1987

19

ACTIVIDADES

En cuál de las ilustraciones anteriores la energía cinética vale cero (0) y ¿por qué?

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

Al realizar trabajos positivos, la velocidad del cuerpo y su energía cinética aumentan(figura 13). Cuando el trabajo es negativo la velocidad del cuerpo disminuye y su energíacinética también disminuye (figura 14).

Figura 13. Figura 14.

20

Figura 15. Colisión entre una masa m y un muelle atado a una pared sólida que en apariencia no se mueve.Tomado de Haber-Scaim, et al. Física. PSSC. 1975.

El trabajo de una fuerza depende del ángulo entre ella y el desplazamiento (figura 15).

ACTIVIDADES

¿Qué trabajo (positivo o negativo) se realiza en las figuras 16, 17 y 18? ¿Por qué?

Una masa m se aproxima a un muellecon velocidad V0.

Choca contra el muelle e inicia lacompresión (trabajo negativo, el cuerpose frena).

Cuando el muelle es comprimido, ladistancia x adquiere la longitud s, lavelocidad de la masa disminuye a v. Lamasa ha perdido energía cinética, quese almacena en forma de energíapotencial por el muelle comprimido.

En el estado de máxima compresión, lamasa queda en reposo. Toda suenergía cinética ha desaparecido.

A medida que el muelle se dilata, lamasa gana velocidad y energía cinética(trabajo positivo).

La masa ha vuelto al lugar donde inicióla interacción. De nuevo posee lavelocidad original V0 y la energíacinética inicial. La interacción haterminado.

La masa continúa desplazándose convelocidad V0 y con su energía cinéticaoriginal.

21

Ejemplos

1. ¿Cuál es la energía cinética de un automóvil de 1.6 toneladas para los siguientescasos?

a) Parte de reposo (Vi = 0).

Fórmula Conversión

Ec =21 mV2 m = 1.6 x

1kg1000 = 1600 kg.

Equivalencia Desarrollo

1 = 1000 kg. Ec =21 (1600 kg) (0);

Solución Ec = 0J.

Figura 16. Tomado de Alvarenga, Máximo, Físicageneral con experimentos. México, 1983.

Figura 18. Tomado de Alvarenga, Máximo. Físicageneral con experimentos. México, 1983

Figura 17. Tomado de Alvarenga, Máximo,. Físicageneral con experimentos. México, 1983.

22

b) viaja a 30 h

km .

Equivalencia Conversión

1 km = 1000 m 30 h

km x km1

m1000 x

s 3600h 1

= 8.333 sm

1 h = 3600 s

Fórmula Desarrollo

Ec = 21 mV2. Ec =

21 (1600 kg)

sm333.8

2 =

21 x 1600 x 69.438 kg

2

2

sm ;

Solución Ec = 55 551.1.J.

c) Viaja a 60 h

km

Conversión Fórmula

60h

km x 1km1

m1000 x

s 3600h

= 16.666sm Ec =

21 mV2.

Desarrollo

Ec = 21 (1600 kg) 16.666

2

sm

= 21 (1600)(277.777) 2

2

sm kg

;

Solución

ACTIVIDADES

1. Un automóvil de 3 t que se mueve inicialmente con una velocidad de 50 km/h,acelera hasta alcanzar una velocidad de 120 km/h.

a) ¿Cuál es la energía cinética final del automóvil?b) ¿Cuánto trabajo realiza la fuerza de tracción del automóvil?c) ¿Cuánto trabajo se requiere para detener al automóvil?

Nota: recuerda que debes transformar a unidades SI.

2. Un satélite artificial gira con movimiento circular uniforme alrededor de la Tierra,(figura 19).

Ec = 222 222.2

23

a) ¿Cuál es el ángulo entre la fuerza (F) de atracción de la Tierra y la velocidad (V)

del satélite?_______________________________________________________

________________________________________________________________

b) Con base en la respuesta anterior, que trabajo realiza la fuerza (F) sobre elsatélite.__________________________________________________________

c) Entonces, ¿la fuerza (F) transfiere energía al satélite?________________________________________________________________

d) De este modo la Ec del satélite ¿aumenta, disminuye o permanececonstante?________________________________________________________

3. Observa la figura 20.

Figura 20.

Figura 19. Tomado de Alvarenga, Máximo,. Físicageneral con experimentos. México, 1983.

F = 5 Na)

d = 10 m

F = 5 N

d = 10 m

θ = 30°b)

24

¿En cuál de los dos ejemplos hay mayor trabajo? Justifica tu respuesta._____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4. Una persona levanta un cuerpo de 1500 N desde el suelo hasta una altura de 1.30m. Si mantiene el cuerpo a esa altura y camina sobre el suelo a 4.5 m, ¿cuántotrabajo realiza durante la actividad?_______________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

1.2.2 Energía Potencial

Otra forma de energía que corresponde a la energía almacenada es la energía potencial,que depende de la posición del cuerpo.

Las posiciones o configuraciones en las que se basa la energía potencial son entre dospuntos cualesquiera, a desnivel uno del otro (figura 21). Entre las diversas formas deenergía potencial está: la gravitacional (figura 22), la de un resorte, o la de una sustanciaquímica.

Figura 21. Tomado de Cetto, Ana María yTambutti Romilio. El mundo de la Física.Méxcio,1987.

Figura 22. Tomado de Alvarenga, Máximo.Física general con experimentos. México, 1983.

25

Como ejemplo de la aplicación de la energía potencial podemos citar:

1. El agua contenida en una presa; al abrir las compuertas de la misma, el agua baja yrealiza un trabajo para accionar las turbinas de las centrales eléctricas.

2. El martinete que se utiliza en las obras de construcción para hacer pilotes.

Figura 23. La peña tiene energía potencial en relación con su configuración al nivel inferior,por consiguiente, puede realizar un trabajo. Tomado de Alvarenga, Máximo,. Física general

con experimentos. México, 1983.

Recuerda que el trabajo está dado por:

W = fd.

Para este caso la distancia es igual a la altura h, por lo que W = Fh y la energíapotencial desarrolla el trabajo, W = Ep, donde Ep = energía potencial expresada en J, yasí Ep = Fh. La fuerza de gravedad sobre el cuerpo es igual a su peso, F = P.

Recuerda que P = mg y que g = 9.82s

m ; por consiguiente, la energía potencial en el caso

de la fuerza gravitacional queda expresada de la siguiente forma:

Ep = mgh.

Distintas fuerzas darán diferentes expresiones para la energía potencial. De

26

hecho, hay fuerzas que no poseen energía potencial.

Figura 24. De acuerdo con la Física el futbolista hace más trabajo que el investigador.Tomado de Cetto, Ana María y Tambutti Romilio. El mundo de la Física. Méxcio,1987.

La Ep se reduce cuando la altura disminuye y la Ep aumenta cuando la altura seincrementa. Por ejemplo, si se lanza una pelota de masa m hacia arriba, actúa unafuerza vertical hacia debajo de magnitud mg; por lo tanto, al subir la altura, aumenta laenergía potencial en ∆ Ep = Fd = (mg)d (figura 25).

Independientemente de la velocidad que lleva la pelota y de la trayectoria que siga, elcambio de Ep depende sólo del tipo de interacción y del cambio de altura.

Figura 25. El cambio de Ep no depende de la trayectoria que sigue la pelota.

Otro aspecto que debemos analizar es el punto de referencia, el cual tampoco serelaciona con la Ep. Este nivel se escoge por comodidad respecto al punto más bajo enque el objeto puede alcanzar, pero el nivel donde h es cero puede ser cualquiera (figura26).

27

Figura 26. Podemos elegir cualquier altura para localizar energía potencial cero. La elección es arbitrariaporque solo trataremos de variaciones de energía potencial. Tomado de Haber-Scaim, et al. Física. PSSC.

1975.

Supongamos que un cuerpo que cae desde una altura h por encima de la superficie de laTierra a una altura h´, recorriendo la distancia d = h – h ´, la energía potencia cambia en:

Ep = mgh en la altura h; y Ep´ = mgh´ en la altura h´;

por lo que la variación de la energía potencia será:

Ep´ - Ep = mgh´ - mgh;Ep – Ep = mg (h´- h);y como d = h – h´;Ep´ - Ep = - mgd.

Como mgd representa el producto de la fuerza mg que actúa sobre la masa m,multiplicada por la distancia que esta recorre en su caída, el trabajo W es igual aldecremento de energía potencial W = - (Ep´ - Ep). Por lo tanto, esta expresión nos da elcambio de energía cinética experimentando al pasar de h a h´.

mgd = Ec´- EcEp´- Ep = -mgd = - (Ec´- Ec).

Los cambios de energía y potencial cinética son exactamente opuestos,pues al caer un cuerpo la energía potencial decrece y la energía cinéticase incrementa en la misma cantidad. Al descender un cuerpo la energíacinética disminuye y la energía potencial crece en igual valor.

28

Como toda transformación de energía potencial viene acompañada de un cambio igual yopuesto de energía cinética, la suma de ambos tipos de energía permanece constante.

Ep + Ec = Ep´ + Ec´,donde:

E = Ep + Ec y E = Ep´ + Ec´.

E es la energía total; en un instante los valores de Ep y Ec pueden variar, pero la sumapermanece constante.

Ejemplos

1. Una masa de 1 500 kg cae sobre la parte superior de un pilote desde una altura de 3.5m y lo entierra 75 cm en el suelo.

a) ¿Cuánta energía comunica la masa del pilote?

Datos Equivalencia

m = 1 500 kg 1 m = 100 cm.h = 3.5 m + 75 cm

g = 9.8 2s

m

Fórmula Conversiones

Ep = mgh. 75 cm x cm100

m1 0.75 m;

h = 3.5m + 0.75m = 4.25 m.

Desarrollo

Ep = mgh

Ep = 1500 kg x 9.82s

m x 4.25 m

Ep = 62 475 J

b) ¿Cuánto trabajo puede realizar la masa? Como la energía potencial se convierte

Recuerda que la energía potencial, al igual que la cinética, son de granimportancia, pues ambas desarrollan un trabajo; la segunda depende desu velocidad y la primera de su configuración.

29

en trabajo:

W = Ep;por lo tanto:

W = 62475 J.

2. A un recipiente de 10 N se le aplica una fuerza y se levanta 1 m. A cuánto equivale eltrabajo realizado?

Fórmula Desarrollo

W = Pa W = 10 N x 1mW = 10 N x m, oW = 10J.

Figura 27.

a) Calcula el trabajo realizado por la fuerza al desplazar 2 m el cuerpo.

Fórmula Desarrollo

W = F d cos θ W = 200 N x 2m x cos 25°W = 400 N x m x 0.9063W = 362.52J.

b) Calcula el trabajo si la fuerza es paralela al desplazamiento.

Fórmula Desarrollo

W = F d W = 200 N x 2mW = 400 J

30

ACTIVIDADES

1. Supón que alzas un bulto de 50 Kg de altura, a velocidad constante, y luego lo dejascaer hasta el suelo.

a) Calcula el trabajo realizado para subir el bulto.b) Establecer el trabajo realizado sobre el bulto durante la caída.c) Calcular la fuerza con que se realizó este último trabajo,

2. ¿Qué cuesta más trabajo:alzar un bulto de 50 kg a 2 m o levantar un bulto de 100 kg a1m? ¿Por qué?________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

3. ¿Qué cuesta más trabajo: imprimirle a un coche en reposo de 800 kg una velocidad de80 km/h, o imprimirle a un coche de 1600 kg una velocidad de 40 km/h? ¿Por qué?____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

4. Un coche avanza a 40 km/h ¿Qué cuesta más trabajo: elevar su velocidad de 80 km/ho detenerlo? ¿Por qué?____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

5. Una honda describe un movimiento circular uniforme bajo la acción de una fuerza

centrípeta.

a) ¿Sea altera la energía cinética de la honda durante su movimiento? ¿Por qué? __________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

b) ¿Se realiza algún trabajo sobre la honda? ¿Cuál?

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________

31

1.2.3 Fuerzas

Fuerzas conservativas

Para estas fuerzas la energía potencial Ep se puede definir considerando que el trabajono depende de la trayectoria recorrida; las fuerzas conservativas permiten elalmacenamiento de energía potencial.

La energía mecánica es un caso particular del principio de la conservación de la energía,se conserva aun cuando actúan fuerzas conservativas sobre el cuerpo.

La energía mecánica total de un sistema se conserva únicamente para fuerzasconservativas, esto es, la Ep y Ec siempre dan el mismo valor al sumarse en cualquiermomento. Mediante la siguiente analogía lo comprenderás (figura 28).

Figura 28.

En todos los casos la cantidad de agua se conserva, por lo que el sistema se llamaráconservativo.

Ahora, considerando un cuerpo que para desplazase del punto A al B, lo puede hacerpor tres trayectorias diferentes, de acuerdo con la figura 29.

32

Figura 29.

Y recordando que p = mg, el trabajo que se realiza en cada una de las trayectorias es:Trayectoria 1: WAB = EPA - EPB

WAB = trabajo realizado del punto A al B.EPA = energía potencial en el punto A.EPB = energía potencial en el punto B.

Trayectoria 2: WAB = EPA – EPB.Trayectoria 3: WAB = EPA – EPB.

De acuerdo con estos resultados, el trabajo realizado por el peso de un cuerpo nodepende de la trayectoria, sino del cambio en la energía potencial de éste (figuras 30 y31).

Figura 30. En estos casos el trabajo es independiente de la trayectoria seguida.Tomado de Cetto, Ana María y Tambutti Romilio. El mundo de la Física. México, 1987.

33

Figura 31. La energía potencial de la bola de 10 N es la misma (30 J) en los tres casos, porque el trabajoefectuado para elevarla 3 m es el mismo, ya sea que a) se levante con 10 N de fuerza, b) se le empuje con 6N de fuerza hacia arriba, los 5 m del plano inclinado, o c) se levante con 10 N cada metro de la escalera. Nose efectúa trabajo al moverá en forma horizontal aun haciendo caso omiso de la fricción. Tomado de Heitt.Conceptos de Física. México, 1992.

Fuerzas no conservativas

Ejemplo de éstas es la fuerza de fricción, donde de acuerdo con la trayectoria el trabajotendrá valores distintos. Para estas fuerzas no se puede definir la energía potencial. Lafricción se conoce como una fuerza disipativa y una cierta cantidad de trabajo no esdestruida si se le hace con una fuerza didipativa; da como resultado la producción decierta cantidad de calor, pero la energía no es almacenada ni recuperable, en el mismosentido que el trabajo hecho al comprimir un resorte o levantar un cuerpo.

34

1.3 CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA MECÁNICA

Existe la costumbre de observar la transformación de un tipo de energía en otro: lapotencial en cinética y viceversa; algunos ejemplos de este tipo son la presa y el pilotedonde la energía potencial se convierte en cinética, y el péndulo, donde los tipos deenergía se transforman periódicamente uno en otro (figura 32).

En todos los casos donde actúen fuerzas conservativas, la energía mecánica total, esdecir, la energía cinética más la energía potencial en cualquier instante de la trayectoriaes la misma; por ejemplo, la fuerza gravitacional, pues en cualquier trabajo que realiceun cuerpo contra la fuerza de gravedad de la Tierra, la energía se recuperaráíntegramente cuando el cuerpo descienda.

Em = Ec + Ep

donde Em = energía mecánica total expresada en joules. Sustituyendo las expresionesde las energías:

Em = 21 mv2 + mgh.

En resumen, “la energía existente en un sistema es una cantidad constante que no secrea ni se destruye, únicamente se transforma”.

Respecto de fuerzas no conservativas (por ejemplo la fricción) no podemos hablar deenergía potencial; sin embargo, la conservación de la energía se mantiene en la forma:

Em = Ec + Q

donde Q es ahora el calor disipado al ambiente. En este caso la EC disminuye siempre yeventualmente el calor transporta la energía a la atmósfera.

Figura 32.

35

Un péndulo es otro ejemplo de la conversión entre Ec y Ep. Al mover el péndulo hacia unlado antes de soltarlo se ha hecho un trabajo en contra de la gravedad, puesto que lamasa ha sido levantada a una altura h. En la posición A tiene una cantidad de Ph deenergía (P es el peso del cuerpo). Al ser soltado, el péndulo oscila hacia abajo y la Epcambia a Ec al estar en el punto más bajo. Después de pasar este punto, la Ec vuelve aser Ep; y en caso de que no haya resistencia del aire, la masa volverá a subir la mismaaltura h.

Si tenemos en cuenta lo que sucede con el movimiento del péndulo –en el punto másbajo dejamos al péndulo en libertad- este seguirá la trayectoria conforme al esquemasiguiente.

Figura 33.

Se observa que la velocidad es horizontal cuando el péndulo queda en libertad, porconsiguiente, la llamamos Vx y la Ec se calcula mediante:

Ec = 21 mV2 =

21 mV2x

La velocidad Vx se determinará por medio de: Vx = tx

.

Se ha comprobado que el tiempo que tarda un cuerpo en llegar al piso en caída libre esigual si se lanza en forma horizontal, con la misma condición, por lo tanto, el tiempo quetarda el péndulo en chocar con el suelo, recorriendo la distancia x, se calcula por medio

de t2 = gh12

, expresión que determina el tipo en la caída libre de un cuerpo, la cual se

sustituirá en:

Ec = 2

txm

21

quedando: Ec =

gh2

x

m21 1

2

.

36

Las consideraciones anteriores nos permiten cuantificar la energía potencial del cuerpo ylña energía cinética que alcanza en el momento de liberarse.

Si Ep = Ec y Ep = mg (h2 – h1 ), Ec = 21 m

gh

x1

2

2 ;

mg (h2 – h2 ) = 2

21 1

2

gh

x

m

Al simplificar. tenemos:

(h2 – h2 ) = 1

2

4hx

,

Ep = Ec

TRANSFORMACIÓN DE LA ENERGÍA

Objetivo

El alumno comprobará la transformación de la energía potencial a energía cinéticamediante el movimiento de un péndulo, en el instante en que éste queda en libertad.

Material y equipo

1 pesa de 50 g con gancho 1 pliego de cartulina blanco o papel bond blanco1 pinza universal 8 hojas de papel carbón1 plomada 1 nuez1 soporte universal con varilla de 1 m 2 metros de hilo para coser1 flexómetro 1 navaja con filo y costilla

ACTIVIDAD EXPERIMENTAL No. 1

37

Indicaciones

Utilizar un péndulo que se deja en libertad de movimiento a partir de una posición cuyaaltura se deberá medir considerando un punto de referencia; al cambiar la posición delpéndulo variará su energía potencial, por lo que se deberá tener en cuenta nuevamentela altura en ese momento; al soltar el péndulo, éste pasará por su posición, donde secolocará una navaja para que corte el hilo y la pesa seguirá su trayectoria hasta chocarcon el piso. Posteriormente se comparará la Ep de la pesa con la Ec alcanzada.

Figura 34.

Procedimiento

a) Montar el dispositivo que se muestra en la figura 34, con la pinza universal sujeta lanavaja en posición horizontal; para obtener una mejor posición de la navaja,colócala entre dos monedas y posteriormente en la punta de las pinzas.

b) Hacer un péndulo con la pesa de 50 g y colocarlo en el soporte universal de maneraque quede a ras de la navaja el gancho de la pesa.

c) Colocar la cartulina en el piso fijándola con cinta adhesiva y sobre ésta el papelcarbón para marcar la posición A y B mostrada en la figura 34.

38

d) Marcar con la plomada la posición A en la cartulina, teniendo en cuenta la posiciónde equilibrio del péndulo.

e) Medir la altura del péndulo desde el piso hasta la pesa y anotar la lectura en la tablade datos como h1.

f) Desplazar la pesa hasta una altura h2 que deberá medirse; anótala en la tabla comoh2.

g) Desde la posición anterior soltar la pesa cuidando que la navaja corte el hilo; la pesaseguirá su trayectoria cayendo sobre la cartulina cubierta de papel carbón, (posiciónB). Retirar el papel carbón y medir la distancia x, de la posición A a la posición B,anotando la medición en la tabla de datos.

h) Repetir la experiencia para otros tres o cuatro eventos, considerando diferentesalturas (llena la tabla con los datos).

Número deeventos h1 en metros h2 en metros Distancia A – B

en metros x h2 – h1X2

4h1

1234

i) En una hoja de papel milimétrico traza un eje de coordenadas, marca los valores de latabla de resultados y traza la gráfica.

h2 – h1

1

2

4hx

Conclusiones

a) ¿En qué posición la energía potencial es máxima?___________________________

____________________________________________________________________

b) ¿En qué posición la energía cinética es máxima?____________________________

_______________________________________________________________________

39

c) Con base en la tabla de resultados, cómo es la energía potencial comparada con laenergía cinética en cada experimento?

___________________________________________________________________

d) Si la pesa empleada para este experimento fuera de 100g, ¿se cumplirá la ley de laconservación de la energía?______________________________________________

____________________________________________________________________

¿Por qué? ____________________________________________________________

_____________________________________________________________________

e) ¿Cuál es tu conclusión respecto a la gráfica? ________________________________

_______________________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________

Figura 35. Conservación e la energía. La cantidad (1/2 Mv2 + Mgh) permanece constante.Tomado de O. Soglowf the New Yorquer Inc.

40

Figura 36. La energía potencial del martinete elevado se convierte en energía cinéticacuando se lo deja caer. Tomado de Heitt. Conceptos de Física. México, 1992.

Figura 37. Un clavadista circense tiene energía potencial de 10 000 J en la parte superior de un poste; alsaltar, ésta se convierte en energía cinética. Nótese que en las posiciones sucesivas de un cuarto, un medio,

tres cuartos y el total recorrido de la caída, la energía total es constante. Tomado de Heitt. Conceptos deFísica. México, 1992.

41

1.3.1 Colisiones

La energía mecánica total en un sistema está dada por la suma de la energía potencialmás la energía cinética. Cuando tenemos un sistema formado por partículas, la energíatotal del sistema es la suma de las energías cinética y potencial de todas las partículas.El proceso que ilustra la aplicación de las leyes de conservación del momentum y de laenergía es el choque o colisiones de dos cuerpos, y pueden ser intencionales o al azar.

En general, las colisiones se clasifican en elásticas e inelásticas según se conserve laenergía cinética.

Colisiones elásticas

En estas tiene lugar la transformación de la energía de un tipo a otro durante el choquede dos cuerpos elásticos; por ejemplo:

− Una bolsa de acero contra un plancha del mismo material.− Una pelota de goma contra el suelo.− Colisión entre átomos y moléculas de un mismo gas.

Choque elástico

Análisis gráfico del choque de dos cuerpos

Figura 38. a) Antes del choque; b) en el momento del choque; c) Después del choque.

M1 U1 M2U2

M2 V2M1V2

M1

F1

M2

F2

42

F1 y F2 = fuerza.M1 y M2 = masas de los cuerpos.U1 y U2 = velocidades antes del choque.V1 y V2 = velocidades después del choque.

Antes del choque, los cuerpos con masas M1 y M1 llevan una velocidad U1 y U1 en lamisma dirección, pero en sentido opuesto; en el momento de la colisión cada cuerpoaplica una fuerza al otro cuerpo en el sentido que llevaban. Finalmente, después delchoque los cuerpos se separan y se mueven en la misma dirección, pero en sentidoopuesto con sus respectivas velocidades V1 y V2, que son distintas a las velocidades quellevaban antes del choque.

Choques inelásticos

En estos no se conserva la energía cinética, porque durante el choque parte de laenergía se transforma en calor y ocasiona una deformación en los cuerpos, quedandounidos después del choque. Su velocidad final será la misma; por ejemplo, la balaincrustada en un bloque de madera.

Choque inelastico. Análisis gráfico del choque de dos cuerpos.

Figura 39. a) Antes del choque; b) En el momento del choque; c) Después del choque.

Se considera que un choque es elástico cuando se considera laenergía cinética, es decir, la energía cinética permanececonstante antes y después del choque.

Se debe tener presente que en choques inelásticos se conservael momentum, más no se conserva la energía cinética.

M1 U1 M2U2

M1

F1

M2

F2

M1 M2 V

43

M1 y M2 = masas de los cuerpos.U1 y U2 = velocidad de los cuerpos antes del choque.F1 y F2 = fuerza de los cuerpos.V1 y V2 = velocidad de los después del choque.

Antes del choque los cuerpos con masas M1 y M2 llevan una velocidad U1 y U2 en lamisma dirección, pero en sentido opuesto; en el momento de la colisión cada cuerpoaplica una fuerza al otro cuerpo en el sentido que llevaban. Después del choque loscuerpos permanecen unidos y se mueven en el mismo sentido, dirección y la mismavelocidad. El choque entre algunos objetos grandes es muy cercano al elástico.

Caracterización

Predicción delcomportamientode los cuerpos

La energíacinética

Antes ydespués del

choque

Conservaciónde la cantidadde movimiento

Choqueselásticos Si Es constante Eci = Ecf Cmi = Cmf

Choquesinelásticos No

No es constante,se pierde energíacalorífica y sonido

Eci ≠ Ecf Cmi = Cmf

Eci = energía cinética inicial.Ecf = energía cinética final.Cmi = cantidad de movimiento inicial.Cmf = cantidad de movimiento final.

44

Al aplicar una fuerza a un cuerpo sin que éste se desplace, se determina que el trabajoes cero. Asimismo, se caracterizó el trabajo mayor o menor en la situación de un cuerpoque se le aplica la misma fuerza en distintos ángulos con respecto al desplazamiento.

En la relación que existe entre el trabajo y la energía cinética, así como con la energíapotencial, se observa que la energía es transferible, pero indestructible. Estosconocimientos se resumen en la ley de la conservación de la energía: “La energía no secrea ni se destruye, solo se transforma de un tipo a otro”.

Las fórmulas del trabajo y de las energías describen las relaciones cuantitativas queexisten ante una situación dada de un cuerpo y la aplicación de una fuerza que ocasionasu desplazamiento. Además se caracterizó a los choques elásticos e inelásticos.

RECAPITULACIÓN

45

I. Anota en el paréntesis la letra cuya opción consideras correcta.

1. El agua del río se retiene por medio de una presa situada antes de las cataratas. Alsoltar el agua ésta cae 66 metros por las cataratas. ¿Cuál de las siguientesafirmaciones es correcta? ( )

a) La energía mecánica cinética del agua en la parte superior de las cataratas seconvierte en energía mecánica potencial en la base.

b) Parte de la energía mecánica del agua se consume.c) La energía potencial del agua aumenta a medida que ésta cae.d) Cuando el agua golpe la base de las cataratas su energía mecánica potencial

se convierte en energía cinética.

2. Cuando se transforma energía de una forma a otra. ( )

a) Parte de la energía se consume.b) Se crea nueva energía.c) La energía total se conserva.d) La cantidad total de energía depende de la forma en que se transforma.

3. Carol y Leonel mueven cajas idénticas a distancia iguales en dirección horizontal.Carol resbala la caja en una superficie que no tiene fricción. Leonel levanta sucaja, la carga la distancia requerida y la baja de nuevo. ( )

a) Carol hace menos trabajo que Leonel.b) Carol hace más trabajo que Leonel.c) Ni Carol ni Leonel hacen trabajo alguno.d) La cantidad de trabajo que hace cada uno depende del tiempo que tomaron.

4. La cuerda de un reloj posee energía. ( )

a) Cinéticab) Potencialc) Luminosad) Calorífica

ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIÓN

46

5. ¿Qué sucede a la energía cinética en un choque inelástico? ( )

a) Es constanteb) Aumentac) No es constanted) Disminuye

6. En un choque elástico se puede predecir el comportamiento de los cuerpos. ( )

a) Nob) Posiblementec) Dependiendo de los cuerposd) Sí

II. Resuelve los siguientes problemas.

1. Una pelota de besisbol con masa de 0.140 kg tiene una velocidad de 25 m/s.¿Cuánto trabajo detendrá a la pelota?

2. Un martinete levanta una masa de 120 kh hasta una altura de 15 m. ¿Cuántaenergía potencial posee el cuerpo en este punto?

3. En la figura 40 se muestra un esquema . En esté, el carro con carga tiene unamasa de 2 000 kg. El punto de partida de la bajada está a 22 m sobre el punto A;la bajada del punto B al punto C tiene 120 m de longitud; el tramo del punto C alpunto D es de 100 m. En el punto D se aplican los frenos, parando el carro 15 mmás allá, en el punto E. Determina:

figura 40.

a) El trabajo efectuado para levantar el carro hasta su punto de partida para sudescenso (Punto B).

b) La energía cinética en el punto C.c) La energía potencial en el punto E.

47

III. Observa la figura 41.

Figura 41.

a) Si un hombre sostiene un cuerpo de 20 kg una altura de 20 cm, ¿qué trabajohace al mantenerlo en esta posición?

b) ¿Qué cantidad de trabajo es efectuado si levanta el cuerpo verticalmente hastauna altura de 50 centímetros?.

c) ¿Cuánto trabajo realiza si lo levanta, siguiendo la trayectoria B de la figura?

48

I.

1. d2. c3. b4. b5. c6. d

II.

1. W = 43.75J2. Ep = 17 640J3. a) W = 431 200J

b) Ec = 588 000Jc) Ep = 156 800J

III.

a) Ninguno, puesto que no se efectúa ningún movimientob) El hecho de levantar el cuerpo requiere una fuerza de 20 kg y ésta se mueve hasta

una distancia de 30 cm en dirección de la fuerza, por lo tanto, el trabajo efectuado esde 20 kg x 30 cm = 600 kg/cm.

c) Únicamente se debe considerar la distancia que va en la dirección en que esaplicada la fuerza, y como a fin de cuentas el cuerpo es movido 30 cm verticalmente,el resultado es el mismo que en B (600 kg/cm).

AUTOEVALUACIÓN

49

ALVARENGA, Máximo. Física general con experimentos. Harla, México, 1983.

BLACKWOOD, Kelly y Bell. Física general. CECSA, México, 1988, pp. 107-1114.

BLATT, Frank J. Fundamentos de Física. 3ª. ed, Prentice-Hall Hispanoamericana,México.1991, pp 86-102 y 122-129.

CETTO, Ana María y Tambutti Romilio. El mundo de la física. Trillas, Méxcio,1987.

OYARZÁBAL, Félix y Velasco. Lecciones de física. CECSA, México, 1987, pp.169-178.

HABER-SCAIM, CROSS, DODGE y WALTER: Física. PSSC, vol 2, 3ª. ed. Reverté,Barcelona, 1975.

HEITT. Conceptos de física. Limusa, México, 1992.

MURPHY / SMOOT. Física, principios y problemas. CECSA, México,1991, pp.151-171.

PÉREZ Montiel, Héctor, Física general. Publicaciones Cultural, México, 1992, pp.191-199 y 208.

STOLLERG/HILL. Fundamentos y fronteras. Publicaciones Cultura, México, 1981, pp.119-133.

WILSON. Física con aplicaciones. 2ª. ed. Mc Graw-Hill, México.

BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA

1

COLEGIO DE BACHILLERES

FÍSICA MODERNA I

FASCÍCULO 4. TEORÍA DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL

Autores: María Isabel Villaseñor Díaz

2

Colaboradores

Asesoría Pedagógica María Elena Huesca del Río

Revisión de Contenido Salvador Godoy Salas

Diseño Editorial

COLEGIO DEBACHILLERES

3

PROPÓSITO 5

INTRODUCCIÓN 7

CUESTIONAMIENTO GUÍA 9

CAPÍTULO 1. TEORÍA DE LA RELATIVIDADESPECIAL

11

1.1 TRANSFORMACIONES DE GALILEO 11

1.1.1 Marco de Referencia Inercial 13

1.2 SURGIMIENTO DE LA TEORÍA ESPECIALDE LA RELATIVIDAD

17

1.2.1 Principio de Simultaneidad 22

1.2.2 La Aparente Incompatibilidad de la Propagaciónde la Luz con el Principio Relatividad

25

1.2.3 Transformación Galileana y la TeoríaElectromagnética

27

1.2.4 Experimento de Michelson-Morley 29

1.2.5 Postulados de la Teoría Especial de la Relatividad 31

1.2.5.1 Principio de la Relatividad en SentidoRestringido

32

Í N D I C E

4

1.3 LA TRANSFORMACIÓN DE LORENTZ 33

1.4 LA CONTRACCIÓN DE LORENTZ-FITZGERALD

43

1.4.1 Comportamiento de las Varillas Rígidas yCuerpos en Movimiento

43

1.4.2 Dilatación del Tiempo 48

1.4.3 Relatividad de la Masa 53

1.5 FORMA RELATIVISTA DE LA SEGUNDA LEY DE NEWTON Y LA ENERGÍA

62

RECAPITULACIÓN 66

ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIÓN 67

AUTOEVALUACIÓN 68

GLOSARIO 71

BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA 72

5

Antes de empezar a leer este fascículo, te sugerimos consideres las siguientespreguntas para que organices tu estudio en función de ellas.

P R O P Ó S I T O

¿QUÉ VOY AAPRENDER?

COMPRENDER LA TEORÍA DE LA RELATIVIDADESPECIAL DE EISNTEIN CONSIDERANDO PRINCIPIOS YPOSTULADOS EN SISTEMAS DE REFERENCIAINERCIALES PARA CUERPOS QUE SE MUEVEN AVELOCIDADES CERCANAS A LA VELOCIDAD DE LA LUZY ESTABLECER QUE EL ESPACIO, LA MASA Y ELTIEMPO SON MAGNITUDES RELATIVAS.

¿CÓMO LO VOY ALOGRAR?

MEDIANTE EL ANÁLISIS TEÓRICO DE LASMODIFICACIONES QUE HIZO LORENTZ A LASTRANSFORMACIONES DE GALILEO Y QUE DESPUÉSUTILIZÓ EINSTEIN PARA FORMULAR SU TEORÍA DE LARELATIVIDAD.RESOLVIENDO EJERCICIOS DE APLICACIÓN PARAVERIFICAR LOS RESULTADOS TEÓRICOS.

¿PARA QUÉ ME VAA SERVIR?

PARA DETERMINAR LA CONSERVACIÓN DE LAMASA-ENERGÍA Y DAR CUENTA DE LOS LÍMITES DE LAMECÁNICA CLÁSICA. TAMBIÉN PARA EXPLICAR LOSFENÓMENOS FÍSICOS EN EL MUNDO MICROSCÓPICO(MICROESCALA) DENTRO DEL ÁTOMO, Y LOS QUEOCURREN A GRAN ESCALA (MACROESCALA), CUANDOLOS CUERPOS SE DESPLAZAN A VELOCIDADESCERCANAS A LA VELOCIDAD DE LA LUZ.

6

7

El siglo XVII está considerado como el comienzo de la era científica; en él se operó uncambio en la concepción del universo natural y la investigación científica emprendió unaserie de actitudes que llevó a la necesidad práctica de nuevos inventos y nuevasexplicaciones.

Hacia los años 1970-79, la electricidad y el magnetismo se estudiaban comocontracciones y desplazamientos de éter, y las ecuaciones de James Clerk Maxwellexpresaban en términos matemáticos las diferentes relaciones existentes entre lasfuerzas electromagnéticas, visualizadas en el marco del éter.

Mientras que la aberración* de la luz “demostraba” que el éter se encontraba en reposo,y bajo estas condiciones, según el astrónomo inglés James Bradley, la tierra al describirsu revolución anual alrededor del sol (movimiento de traslación), tenía que moverse através del éter y crear algo así como “viento del éter”; algo parecido a lo que ocurrecuando en un día sin corrientes de viento en la atmósfera te subes a un automóvil que aldesplazarse origina un viento para los ocupantes del vehículo. Por otro lado, losexperimentos de Michelson-Morley mostraban que al no ser detectado, éste debíamoverse junto con la tierra.

En éste fascículo aprenderás en qué se transforman las Coordenadas Galileo, cuando lavelocidad del cuerpo que nos interesa analizar se desplaza con velocidades muycercanas a la velocidad de la luz. También vas a darte cuenta por qué no es posible queun cuerpo se desplace con la velocidad de la luz.

Aprenderás que, de acuerdo con la teoría especial de la Relatividad y dependiendo desi el observador está en reposo o se desplaza con el cuerpo que se mueve, la longitud,el tiempo, la distancia y la masa ya no son las mismas que en la Mecánica Clásica, yque lo anterior también sucede para la energía.

* Ver el significado en el glosario.

INTRODUCCIÓN

8

9

Seguramente cuando viajas en la combi y ésta se detiene a subir pasajeros, y luegopasa junto a ella un carro materialista que se desplaza con cierta velocidad, has tenido laexperiencia de sentir que aunque la combi esté detenida, parece que se mueve. Cuandovolteas a tu alrededor, te das cuenta que es el carro materialista el que tiene unmovimiento y que la combi permanece en reposo.

¿Por qué cuando te subes al martillo de Chapultepec ves que las personas que estánabajo, los edificios y los árboles pasan a gran velocidad? ¿A qué crees que se deba estapercepción del movimiento? ¿Cómo puedes explicarlo? Si les dices a los compañerosque esperaban su turno para subirse, que te pareció que eran ellos los que se movían, tecontestarán que ellos vieron que el se movió fuiste tú. ¿Quién tiene la razón?

Si te subes a un tren que se mueve con velocidad v0 y te levantas a caminar por unvagón desplazándote con velocidad v1, ¿cuál es la velocidad total vista por unobservador situado en tierra?

En una discusión entre dos personas, cuando una de estas no está de acuerdo, utiliza laexpresión todo es relativo. ¿A qué se está refiriendo?

También en tu experiencia diaria, cuando dos eventos ocurren al mismo tiempo,¿puedes afirmar que son simultáneos?

¿Cuál es el objetivo del experimento de Michelson-Morley?

¿Cuáles son las dimensiones del espacio en el cual ocurren loseventos de la naturaleza, según la Relatividad Especial?

¿Cuál es la máxima velocidad que puede adquirir un cuerpo en el universo?

Para que puedas contestar éstas y muchas otras preguntas te invitamos a leer estafascículo.

CUESTIONAMIENTO GUÍA

10

11

CAPÍTULO 1

TEORÍA DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL

1.1 TRANSFORMACIONES DE GALILEO

En tus cursos anteriores de Física, te has cuenta que la Mecánica siempre describe lamanera en que los cuerpos cambian en el espacio y en el tiempo. Es decir, que todoevento de la naturaleza tiene lugar en un espacio de cuatro dimensiones, y siempre quehables de la teoría de la relatividad emplearás la frase espacio-tiempo. Ésta fue unade las frases más novedosas introducidas por Minkowski, que después utilizó AlbertEisntein.

Pero, ¿qué encierra la frase espacio-tiempo?

Antes de la relatividad de Eisntein, la palabra se usaba como espacio y tiempo. Esto es,dos conceptos independientes, no interconectados. Hoy sabemos que esto es falso.

Cuando quieras determinar dónde y cuándo tienen lugar ciertos hechos, tendrás quemencionar cuatro dimensiones que, según la idea tradicional, las tres primeras dan laposición en el espacio, mientras que la cuarta da la posición en el tiempo.

Estarás de acuerdo que en las observaciones que haces de las cosas, una de ellas serefiere al movimiento; y que cuando un cuerpo se mueve, es porque cambia de posición.O dicho de otra manera, siempre que quieres localizar un evento, o realizar ladescripción de un fenómeno, lo haces respecto a un cuerpo fijo o sistema de referncia.Es así que eliges un sistema de coordenadas.

Este concepto es muy importante e involucra toda una serie de conceptos que, en elmarco de la Geometría Euclideana, lleva al establecimiento de sistemas de coordenadaspara interpretar adecuadamente los conceptos de distancia, trayectoria, cambio deposición, etcétera.

12

La finalidad de la Mecánica es determinar el movimiento de los cuerpos, una vez que seconocen las fuerzas que actúan sobre ellos.

Por lo tanto:

El conocimiento de la leyes que rigen los movimientos de los cuerpos se logró gracias aNewton, y la descripción del movimiento depende del sistema de referencia en que seobserve.

Si te hacen la pregunta: ¿con respecto a qué se mueven los cuerpos? ¿Cuál sería turespuesta? _____________________________________________________________

Para que respondas la pregunta te sugerimos que pienses en el siguiente evento:

Si te encuentras en un carro que se mueve con velocidad uniforme y desde la ventanilladejas caer libremente una piedrita fuera del carro sin que le des algún impulso, desde elcarro en movimiento verás que la trayectoria de la piedrita es una línea recta, pero paraun observador que se encuentre en la carretera, o un peatón que se encuentra en laacera fuera del carro, la trayectoria que observarán será la de una parábola.

¿Cuál de las dos trayectorias es la verdadera?

Si le preguntas a tu profesor de Física te dirá que ambos observadores están reportandola observación correctamente, ¿por qué?

Estarás de acuerdo en que tanto tú como el observador de la carretera, tienen su propiomarco de referencia inercial y, por lo tanto, ambos tienen razón porque para cada unoes el “punto de referencia” en el que se encuentran donde se observa el fenómeno.

Este concepto es muy importante e involucra toda una serie de conceptos que, en elmarco de la Geometría Euclidiana, lleva al establecimiento de sistemas de coordenadaspara interpretar adecuadamente los conceptos de distancia, trayectoria, cambio deposición, etcétera.

Por lo tanto puedes concluir que:

Para determinar el movimiento de los cuerpos es necesarioconocer las leyes que lo rigen.

Cuando la Mecánica Clásica menciona “punto de referencia”, se entiendeque es el lugar de origen de las coordenadas cartesianas (o polares u otras),con respecto a un sistema de referencia, que en el caso de coordenadascartesianas está formado por tres ejes perpendiculares entre sí.

13

Lo anterior quiere decir que, cuando se describen los movimientos de los cuerpos, sehace con respecto a un marco de referencia prácticamente rígido.

La Mecánica de Newton interpreta el movimiento de partículas en el espacio y en eltiempo, utilizando los conceptos de “marcos de referencia inercial”.

1.1.1 Marco de Referencia Inercial

En los dominios de la Mecánica Clásica, una descripción completa del movimiento seestablece solamente cuando se indica cómo cambia de lugar con el tiempo; es decir, quees necesario indicar para cada punto de la trayectoria, en qué momento y tiempo seencontrará allí el cuerpo.

Regresando a nuestro ejemplo, para describir el movimiento, es necesario tomar encuenta cómo observadores en dos sistemas inerciales de referencia, comparan losvalores numéricos para describir un mismo evento o cualquier otro fenómeno físico.

En la siguiente figura se muestran dos sistemas de referencia S y S’, que se mueven convelocidad uniforme entre sí en la dirección x.

Figura 1. Dos sistemas inerciales de referencia. Para el observador en S, el sistema S’parece ser el que se está moviendo en la dirección +x con velocidad u. Para el sistema S’,el sistema S, parece estar moviéndose en la dirección negativa de las x, con velocidad -u.El eje de los tiempos sale perpendicular a la hoja del papel en cada uno de los sistemas.

Un sistema, o marco de referencia inercial es aquél en donde sonválidas las leyes de Newton; esto es, donde observamos que un cuerpolibre de fuerzas, si está inicialmente en reposo, permanece en reposo, ysi está inicialmente con una velocidad, mantiene esa velocidad.

La relación que compara los parámetros para la descripción del mismo eventodesde los diferentes sistemas de referencia se llama TRANSFORMACIÓN.

sistema s

velocidad u → sistema S´

y y´

x’ 0’

0 x

14

La relación entre las coordenadas ( r , t ) de un evento vistos por S y las coordenadas( r’ , t’ ) vistos por S´ en Física Clásica, se conocen como Transformaciones de Galileoy se utilizan para describir los procesos de la naturaleza, cuando las velocidades a lasque se realizan son muy pequeñas comparadas con la velocidad de la luz. Más adelanteverás que cuando el cuerpo se mueve a velocidades muy grandes se hace unamodificación a las transformaciones de Galileo.

Para que te quede más claro y comprendas la deducción de dichas transformaciones,imagínate que tú y yo somos observadores en el sistema S y que intercambiamosinformación con otro observador colocado en el sistema S’. Supongamos queobservamos una partícula en el punto A, moviéndose paralelamente en la dirección x.

Nosotros denotamos la velocidad por vx, y el observador en S’ usa el símbolo 'xv . Para

encontrar la relación (transformación) que nos permite interpretar el movimiento desdelos dos sistemas de referencia, procedamos de la siguiente manera:

Supongamos que un evento ocurre en A, según se indica en la figura 2.

Figura 2. El evento ha visto en S y en S’. El eje los tiempos, en ambos sistemas,sale perpendicular a la hoja del papel.

Estamos suponiendo que los dos sistemas de coordenadas son paralelos.

En el sistema S, diríamos que el evento A ocurrió en la posición x, y en el instante t. Enel sistema S´ especificaremos la posición por x´, y en el instante t´.

Suponemos que los relojes de ambos sistemas han sido sincronizados y loscomprobamos también en ambos sistemas de referencia, estableciendo t=0 en elinstante en que los orígenes 0 de S, y 0´ de S´ coinciden. Por lo tanto, dada lasincronización de los relojes, los observadores de S y S´ concordarán al reportar losmismos números:

para el instante en que ocurre el evento A.

0’

sistema s

sistema S´

y y´

x’ 0

x

xA

t = t´ y t´ = t

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Es importante que te des cuenta que estamos usando el concepto Newtoniano de tiempoabsoluto: “…fluyendo igualmente sin relación a nada externo”. Punto de vista que seobtiene de la experiencia humana ordinaria.

Los valores medidos para las otras coordenadas son los siguientes:

Sistema S Sistema S´

x = x´ + u t´vx = ´

xvax = a´x

x´ = x - u t´xv = vx – u´xa = ax

Estas ecuaciones se llaman Transformaciones de Galileo, sólo son válidas paravelocidades muy pequeñas con respecto a la velocidad de la luz c.

Nótese que ambos observadores S y S´, detectan la misma aceleración ax = ´xa . Como

clásicamente la fuerza Fx y la masa m son en principio un concepto independiente delobservador, entonces Fx = ´

xF . Esto quiere decir, que ambos observadores estarán deacuerdo que si para uno de ellos (S) es válida la relación:

Fx = m ax ,

El otro observador (S´) también medirá la misma relación (en sus propias coordenadas):

´x

´x am=F

En otras palabras, para ambos vale la misma ecuación de la 2ª ley de Newton. Ambosobservadores son inerciales. Esto ocurre con todos los observadores que están enreposo o se mueven con velocidad uniforme.

Ejemplo:

Una partícula se mueve en la dirección positiva x´ con respecto a S´ con velocidad de´xv = 30 km/h. Si la velocidad relativa de los sistemas es de u=20 km/h, ¿cuál será la

velocidad vx de la partícula respecto de nosotros si nos encontramos colocados en S?

Solución:vx = ´

xv + u

vx = 30 km/h + 20 km/h = 50 km/h

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La mayor curiosidad que presenta la teoría de la relatividad, es que está relacionada conla velocidad de la luz, y ésta no obedece la ley de suma de velocidades que acabamosde ver. De hecho, uno de los postulados sobre los que fundamentó Einstein su teoría, esque la velocidad de la luz es la misma en todos los sistemas inerciales. Por eso nopuede obedecer la ley Galileana de la suma de velocidades.

El hecho de que la velocidad de la luz se transmite a una velocidad determinada, seestableció por primera vez mediante observaciones astronómicas. Los satélites deJúpiter son eclipsados a veces por el mismo Júpiter. Se comprobó que cuando Júpiterestaba más cerca de lo normal de la tierra, se podía observar un eclipse de uno de sussatélites unos minutos antes de lo esperado. Y cuando Júpiter estaba más lejos de lonormal, el eclipse producía unos minutos después. Llegándose a la conclusión de queestas desviaciones podían registrarse porque la luz tenía cierta velocidad. Por lo tanto, loque en un “momento” se observaba que estaba sucediendo en Júpiter, había sucedidorealmente un poco antes, y mucho antes cuando Júpiter está más distante.

Al desarrollar la teoría ondulatoria de la luz, los científicos encontraron necesario dotaral espacio vacío de propiedades mecánicas. Sintieron la necesidad de suponer que elespacio era una especie de sustancia (antes de Newton, el filósofo Descartesargumentaba que la mera separación de los cuerpos por una distancia, probaba laexistencia de un medio entre ellos). Durante los siglos XVIII y XIX, para los físicos eraobvio que si la luz “consistía” de ondas, debería existir un medio que las sustentara, deigual manera como el agua propaga las olas del mar, y el aire transmite las vibracionesque generan al sonido. Este medio fue llamado Éter. De aquí surgió la idea de que eléter lumínico podría ser un sistema de referencia especial, con respecto al cual laluztiene la velocidad que sería una constante universal.

Se pensó que mediante experimentos ópticos se podía medir la velocidad de la tierrarespecto al éter. Estos experimentos dieron resultados nulos, por lo que se requiriórevisar a fondo las teorías clásicas de la Mecánica y la Electrodinámica.

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1.2 SURGIMIENTO DE LA TEORÍA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD

¿Fallan las leyes de la Mecánica Clásica?

A la pregunta puedes contestar que es gracias a esas leyes que se han podido lanzar lossatélites artificiales desde la tierra; se han puesto en órbita los satélites metereológicos:se llegó a la superficie lunar; se diseñan máquinas para las fábricas que hacenprosperar la industria de un país, etcétera, y otros tantos motivos y justificacionesválidas.

Si en tu mundo ordinario te pones a enumerar todos los fenómenos de desplazamiento,velocidad y aceleración de cuerpos, te darás cuenta que para describir sucomportamiento utilizas las leyes de la Mecánica Clásica.

Al parecer, no existen fenómenos en la naturaleza que en términos de nuestraexperiencia ordinaria, no puedan ser descritos por un modelo concreto o predichas porlas leyes mecánicas “asombrosamente” exactas de Newton. Por lo tanto podemosconcluir que:

¿Crees que se pueda aplicar lo anterior cuando se analiza el movimientode los cuerpos y se tienen dimensiones y/o distancias muy grandes en

Astronomía (macroescala), o cuando las mediciones son hechas endimensiones mucho muy pequeñas en átomos (microescala)?

En otras palabras, ¿serán válidas las leyes de la MecánicaNewtoniana a nivel cósmico y a nivel atómico?

En el Fascículo I de Física Moderna I se afirmó que el tiempo medido en todos lossistemas inerciales tiene el mismo valor; es decir, que el funcionamiento de los relojes nodependía de la velocidad con que se movieran, lo cual se reflejó en las ecuaciones detransformación de Galileo, t = t´, para cualesquiera dos sistemas inerciales que tienenuna velocidad relativa uno con respecto al otro.

El principio de relatividad Newtoniano o Galileano establece que: Las leyes mecánicasque son válidas en un lugar, lo son igualmente en cualquier otro lugar que se muevauniformemente en línea recta…”.

En los dos siglos siguientes, pareció que el punto de vista de Newton prevalecería; sinembargo a finales del siglo XIX se empezaron a manifestar dudas acerca de laasombrosa exactitud de las leyes de la Mecánica Clásica, y aunque las inquietudes noeran muchas, si eran fundamentales, ocasionando que todo el universo de la Mecánicade Newton comenzara a desmoronarse.

Para la mayoría de los fines prácticos, y virtualmente para todo loreferente a la ingeniería, las transformaciones de Galileo y la mecánicade Newton, proporcionan resultados suficientemente correctos.

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Veámoslo, ubicándonos en el quehacer científico de esa época:

Al terminar el siglo XIX, la Física se apoyaba en tres hipótesis fundamentales:

a) La validez de la transformación de Galileo.

b) La validez de las leyes de Newton.

c) La validez de las ecuaciones de Maxwell.

Casi todo lo que pudiera ser derivado de ellas concordaba bien con el experimento,cuando éste había sido realizado en forma adecuada.

Las hipótesis predecían que todos los marcos inerciales de referencia en mutuatraslación uniforme, eran equivalentes en lo que respecta a fenómenos mecánicos,aunque no lo eran en relación a fenómenos electromagnéticos, y que para éstos últimossólo existe un marco de referencia, que como veremos más adelante se le designó conel nombre de ETER, y en el cual la velocidad de la luz es igual a una constante: c.

Así como Newton en su obra “Los Principia”, la primera ley se encuentra al principio delas leyes del movimiento, para librar a la Física de los puntos de vista aristotélicos; deigual manera Einstein, en la introducción a su trabajo a la teoría de la relatividad, realizauna emancipación del dominio imperante del concepto de ETER, y las nociones delTIEMPO y ESPACIO ABSOLUTOS.

Veamos el siguiente ejemplo: Tú y uno de tus compañeros se encuentran a la orilla deun río de anchura D, cuyas aguas llevan una velocidad constante Vo, cada uno disponede una barquilla; además ambas barquillas cuentan con un motor que las desplaza conla misma velocidad V. Designemos a cada una de las barquillas por A y por B, que semuestran en la figura más adelante.

Se te ocurre hacer los siguientes recorridos y le propones a tu compañero que se realiceuna competencia para ver quien tarda menos tiempo en recorrer de ida y vuelta ladistancia D. Los recorridos que propones son los siguientes:

1. Cruzar el río hasta un punto opuesto al punto de partida, de manera que el vectorresultante de la velocidad de la barquilla siempre sea perpendicular al vectorvelocidad Vo, que representa la velocidad de las aguas del río. Lo que equivale acruzar el río de ida y vuelta y que el vector resultante de la velocidad de la barquillasiempre siga una dirección perpendicular al vector velocidad de la corriente del río.

2. Recorrer la distancia D de ida y vuelta, pero siguiendo la dirección de la corriente delrío y luego regresar en la misma dirección.

Como ves en ambos casos debe recorrerse 2D.

¿Cuál de los dos casos escogerías? _________________________________________

¿Por qué? ______________________________________________________________

19

Si crees que en ambos casos el tiempo empleado en el recorrido de ida y vuelta es elmismo, entonces será indistinto el escoger cualesquiera de las dos.

Analicemos lo que está sucediendo:

Como ambas barquillas se desplazan con la misma velocidad V, entonces en el primercaso la barquilla A siempre se verá arrastrada por la corriente del río y no llegará alpunto opuesto sino más abajo; mientras que la barquilla B del segundo caso, cuandonavega aguas abajo, tendrá una velocidad con respecto a la orilla de río de: V + Vo; estose debe a lo que viste en el fascículo I de la suma de velocidades, y en su viaje deregreso su velocidad (desde el marco de referencia orilla del río) será igual a ladiferencia entre su velocidad V y la velocidad Vo del río V-Vo. Ver la siguiente figura (3).

Figura 3. La barquilla A debe atravesar hasta la orilla opuesta y luego regresar a su puntode partida. La barquilla B navega aguas abajo la misma distancia siguiendo el sentido de

la corriente para luego regresar a su punto de partida navegando contra la corriente.

Figura 4. Dirección de la barquilla A para compensar la corriente delrío. Obsérvese el diagrama de las fuerzas que representan.

20

Cuando la barquilla B navega aguas abajo con respecto al marco de referencia de laorilla del río, es igual a la suma de su propia velocidad más la velocidad de la corrientedel río. Ver la siguiente figura.

Figura 5. Cuando la barquilla B navega aguas abajo siguiendo el sentido de la corriente del río, suvelocidad se ve incrementada por Vo, mientras que cuando regresa a su punto de partida, navegando

contra la corriente, su velocidad disminuye por Vo.

Al analizar el diagrama vectorial de la figura 5 para la barquilla A, tenemos que:

Sea V´ la componente de la velocidad perpendicular a la corriente a la corriente del río.Entonces aplicando el Teorema de Pitágoras:

despejando a V´ nos queda

|V´| = )V/V1(V=VV 22o

22o

2 - -

Donde las barras de V´ son para indicar que es la magnitud del vector V´.

Por lo tanto, la velocidad neta con la que la barquilla A atraviesa el río, en direcciónperpendicular es:

|V´| 22o V/V1V= -

¿Cómo obtienes el tiempo total de ida y vuelta de la barquilla?

V2 = (V´)2 + (Vo)2

21

Como el ancho del río es D, entonces la distancia total será de 2D, ya que la trayectoriaes ida y vuelta. Y como el tiempo es igual a la distancia dividida por la velocidad, por lotanto:

22o

AV/V1V

D2=t

- ||

es decir:

22o

AV/V1

V/D2=t

-

Analicemos lo que sucede con la barquilla B:

Si cuando navega aguas abajo su velocidad es Vo + V, entonces el tiempo empleado delrecorrido en el sentido de la corriente del río será:

V+VD

=to

y el tiempo de regreso será:

VVD

=to -

El tiempo total para el recorrido de ida y vuelta es la suma de los dos tiempos, es decir:

VVD

+V+V

D=t

ooB -

realizando las operaciones algebraicas necesarias nos queda:

-

22o

B V/V1V/D2

=t

¿Cuál de los dos tiempos fue mayor?

Si analizas los dos tiempos, tanto tA como tB tienen en el numerador el mismo término

VD2

, por lo que tA < tB.

Como conoces la velocidad de las dos barquillas, puedes determinar la velocidad de la

corriente del río con la relación B

A

tt

.

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Ejercicio:

¿Cuál es el resultado que se obtiene del cociente: B

A

tt

?

Realiza todos los pasos algebraicos.

Tu resultado del cociente B

A

tt

debió ser:

2

2o

VV

1- ,

que es el factor que teníamos para V´. Éste será un factor que como te darás cuentaaparecerá en otros resultados más adelante.

Habíamos dicho que a los físicos del siglo XIX les parecía que sólo necesitaban inventarun mecanismo inteligible para explicar la naturaleza del éter,

El razonamiento empleado para las barquillas fue el mismo que el del problema del pasode las ondas de luz a través del éter. Los científicos pensaron que si el espacio estaballeno de éter, entonces nos deberíamos mover a través de él a una velocidad igual a lade la tierra en su movimiento de traslación alrededor del sol, es decir de 3x104 m/s; y quesi el Sol también se movía, entonces nuestra velocidad a través del éter sería todavíamayor. En esto se basó el experimento de dos grandes físicos de la época (Michelson yMorley) que más adelante, en este fascículo, podrás enterarte en qué consistió y a quéconclusiones llegaron.

1.2.1 Principio de Simultaneidad

Supongamos que tenemos una vía de ferrocarril, y que en esa vía avanza un tren muylargo con una velocidad constante v y en el sentido indicado en la figura 6:

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

23

Figura 6. Dibujo del tren.

Supongamos que en los puntos A y B, muy distantes el uno del otro, han caído dosrayos, y que además afirmamos que esos dos rayos han sido “simultáneos”, ¿crees queesa afirmación tiene un significado? En caso de que tu respuesta sea afirmativa,¿podrías explicar cuál es el significado de esa afirmación?

Aunque el significado de esa afirmación parece clara por sí misma; tendrías quereflexionar, para establecer por medio de observaciones si los rayos cayeronsimultáneamente. Supongamos que un especialista en Física de la Atmósfera predijoque, por las condiciones atmosféricas y climáticas del lugar, los rayos deben caersiempre simultáneamente en los puntos A y B; entonces debes comprobar si esteresultado teórico corresponde o no corresponde a la realidad. Lo mismo que para esteejemplo, se requiere para todos los enunciados físicos en los cuales desempeña algúnpapel el concepto de “simultaneidad”.

El concepto de simultaneidad, existe para el físico solamente en los casos en queencuentra la posibilidad de verificar, para el evento concreto del que se trate, si elconcepto es o no exacto, para lo cual necesita una definición de simultaneidad que lesuministre un método por medio del cual pueda decidir, a través de experimentos, si losdos rayos han sido o no han sido simultáneos. Mientras no se cumpla con esta exigenciase puede ser víctima de la ilusión, al creer que se puede asociar un significado a laafirmación de simultaneidad. Además debe cumplir la condición de suministrar, en cadacaso real, un medio experimental para poder decidir si el concepto se confirma o o no seconfirma.

Para nuestro caso de los relámpagos, es necesario establecer una definición del tiempo;es decir, que si se colocan relojes en los puntos A, M Y B de la vía férrea (sistema decoordenadas), los cuales son ajustados de tal manera que las posiciones respectivas desus manecillas sean simultáneas. Supón que colocas en M (que es el punto medio entreA y B) un observador con un aparto que está provisto de dos espejos que forman entre síun ángulo de 90°, que le permite observar simultáneamente los puntos A y B. Si elobservador percibe los dos relámpagos al mismo tiempo, entonces dichos rayos sonsimultáneos; siempre y cuando se suponga que la luz que emiten los relámpagos alobservador situado en M, se propaga con la misma velocidad sobre la recta que va de Ahacia M que sobre la recta que va de B hacia M (es una convención que el observadorpuede establecer).

Así se está dando una definición del tiempo como: “la indicación (posición de lasmanecillas) del reloj que se encuentra en la vecindad inmediata del acontecimiento.

24

Así nuestra definición del tiempo puede usarse no sólo para dar un significado “exacto” ala simultaneidad de dos acontecimientos, sino para un número cualesquiera deacontecimientos (eventos), independientemente de la posición relativa que ocupen loslugares en donde se producen dichos acontecimientos con respecto al cuerpo dereferencia, que para el caso del ferrocarril es la vía férrea.

Se supone además que esos relojes “marchan al mismo ritmo”:

La definición de simultaneidad debe cumplir la condición de suministrar, en cada casoreal, un medio empírico para decidir, si el concepto por definir es posible confirmarlo opor el contrario no se confirma.

Una vez establecido el concepto de simultaneidad, contesta la siguiente pregunta: ¿seráválida la definición de simultaneidad con respecto al tren que con respecto a la víaférrea?

¿Cuál sería tu respuesta? __________________________________________________

_______________________________________________________________________

Justifica tu respuesta _____________________________________________________

_______________________________________________________________________

Recuerda que para que se pueda aplicar en este caso, debe satisfacer las propiedadesasignadas a la definición de simultaneidad.

Estarás de acuerdo en que si los dos relámpagos en A y B son simultáneos con respectoa la vía férrea, entonces los rayos luminosos que parten de A y B deben encontrarse enel punto medio M (de la distancia AB, que está situado sobre la vía).

Si dos relojes en reposo, colocados en lugares distintos del marco dereferencia, están ajustados de tal manera que la posición de lasmanecillas de uno y la posición de las manecillas del otro sonsimultáneas, entonces las posiciones iguales de las manecillas seránsiempre simultáneas.

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

25

Ahora bien, “en el momento” de ocurrencia del evento, a los puntos A y B situados sobrela vía férrea, les corresponden también los lugares A y B en el tren. Sea M´, el puntomedio de la recta AB, sobre el tren en marcha. ¿Cuándo coinciden los puntos M´ con M?Si tú como observador te colocas sobre el terraplén, M´ y M coinciden en el instante enque se produce el relámpago.

Pero como el tren se desplaza hacia la derecha con velocidad v, entonces M´ sedesplaza hacia la derecha con la misma velocidad, pero si uno de tus compañeros es unsegundo observador, situado en M´, que visto desde el terraplén avanza con velocidad Vhacia el rayo de luz proveniente de B, y se adelanta al rayo de luz proveniente de A.

Por lo tanto el observador colocado sobre el tren (en M´), verá el rayo de luz provenientede B antes que el rayo luminoso proveniente de A. Los observadores que utilizan el trencomo marco de referencia deben llegar a la conclusión de que el relámpago B se produjoantes que el relámpago A. Por lo tanto, se puede formular como resultado el siguienteprincipio:

Este resultado nos indica que ya no es posible sostener lo que la Mecánica Clásicaestablece: la suma de velocidades.

Justifica las razones para ello: ______________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

1.2.2 La Aparente Incompatibilidad de la Propagación de la Luz con el Principio de el principio de relatividad

Nuevamente usemos nuestro ejemplo del tren que se desplaza con velocidad v conrespecto al terraplen. Si un hombre se desplaza dentro de uno de sus vagones convelocidad w, en el mismo sentido del tren, entonces la velocidad del hombre conrespecto al terraplén será:

W = v + w

Dos acontecimientos que son simultáneos con respecto al marco enreposo (vía férrea), no son simultáneos respecto al marco que está enmovimiento (el tren), y recíprocamente: cada marco de referencia(sistema de coordenadas), tiene su tiempo propio, ya que una indicaciónde tiempo sólo tiene significado cuando indica el marco de referencia alque se refiere.

26

Sabes que la luz se propaga en línea recta a una velocidad de 300, 000 km/s, y que estavelocidad es la misma para todos los colores.

El astrónomo holandés De Sitter, basado en las observaciones de las estrellas dobles,demostró que la velocidad de propagación de la luz no puede depender de la velocidadcon la cual se mueve la fuente luminosa. Aún no salía a la luz pública la teoría de larelatividad.

Supongamos que aceptas lo anterior, luego, uno de tus compañeros te hace la siguientepregunta:

¿Cuál es la velocidad de propagación del rayo luminoso referido al vagón?, y te recuerdael teorema de la adición de velocidades, que ya habías comprendido y supones que esverdadera.

Trata de explicarle sin contradecir las leyes de la Mecánica Clásica. Argumenta larespuesta que le darías a tu compañero : ______________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

Seguramente te enfrentaste a un problema (de la misma forma, todos los físicos que demanera reflexiva pensaban en las consecuencias de aceptar como verdadera dicha ley,los colocó en grandes dificultades).

El proceso de la velocidad de propagación de la luz, como cualquier otro proceso, tieneque estar vinculado con un sistema de coordenadas. Volvamos a escoger como nuestrosistema de referencia el terraplén y hagamos la siguiente suposición: que el aire que seencuentra arriba del terraplén es extraído por algún mecanismo (una gran bomba desucción), de tal manera que el rayo de luz se desplace con velocidad de 300, 000 km/scon respecto al terraplén. Como el vagón se desplaza sobre la vía con velocidad v, en elmismo sentido en que se desplaza el rayo de luz, donde v « c. Al aplicar la relación:

W = v + w, donde w = W – v

El hombre que se desplaza a lo largo del vagón del tren en marcha, desempeña el papeldel rayo de luz, por lo que su velocidad W con respecto al terraplén es sustituída por lavelocidad de la luz con respecto al propio terraplén. Por lo tanto la velocidad de la luzcon respecto al vagón será:

w = c - v

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¡la velocidad de la luz con respecto al vagón resulta ser menor que c! Lo cual seencuentra en contradicción con el principio de relatividad.

¿Acaso la explicación razonada que le diste a tu compañero no fue la adecuada?¿Cómo le aclaras esta contradicción?

De acuerdo con este resultado, ¿crees que exista incompatibilidad entre la ley depropagación de la luz y el principio de relatividad?

La aparente incompatibilidad nos resultó porque basamos nuestro razonamiento en lassiguientes hipótesis de la Mecánica Clásica:

1. Que el intervalo de tiempo entre dos acontecimientos es independiente del estado demovimiento del cuerpo de referencia.

2. Que la distancia espacial entre dos puntos de un cuerpo rígido es independiente delestado de movimiento del cuerpo de referencia.

Si rechazamos estas dos hipótesis, tendremos que admitir que: ¡el teorema de la adiciónde velocidades ya no es válido!

Te sugiero que repases el razonamiento que seguimos, ¿será necesario modificarnuestro razonamiento? En caso de ser así, ¿cómo debemos modificarlo?

Nos interesa que desaparezca la contradicción y conciliar la ley de propagación de la luzen el vacío con el principio de relatividad.

Históricamente lo anterior dio lugar a la formulación de una ley de transformación de lasmagnitudes espacio-temporales cuando se pasa de un cuerpo de referencia a otro.

1.2.3 La Transformación Galileana y la Teoría Electromagnética

Las ecuaciones de Maxwell, predicen la existencia de perturbaciones electromagnéticasque se propagan a través del espacio en la forma que es característica del movimientoondulatorio, con una rapidez de propagación que es independiente de la frecuencia delmovimiento ondulatorio (para medios cuyo índice de refracción es constante), como loson las ondas de radio cuya frecuencia es de ≅ 108/seg., la radiación infrarroja de≅ 1013/seg., las ondas luminosas para las frecuencias de ≅ 1015/seg., y rayos X para lafrecuencia ≅ 1019/seg. Que pertenecen básicamente al mismo fenómeno.

Los físicos del siglo XIX cuya visión era sumamente mecanicista, se sintieronrelativamente seguros de que la propagación de las ondas predichas por las ecuacionesde Maxwell, requería de un medio para propagarse.

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Argumentaban que: “así como las ondas de agua se propagaban en el agua, las ondaselectromagnéticas deberían propagarse a través de un medio”. A este medio se le dio elnombre de ÉTER. El éter, para que no discrepara con algunos hechos conocidos,debería poseer ciertas propiedades extrañas: debería carecer de masa (ya que seobservaba que las ondas electromagnéticas como la luz podían propagarse en el vacío),debería poseer propiedades elásticas para soportar las vibraciones que son inherentes ala idea de movimiento ondulatorio.

Prosigamos pues con nuestro desarrollo del tema respecto a los avances de la Física afinales del siglo XIX. Pese a que se encontraban dificultades a ese medio llamado éter, elconcepto era considerablemente más atractivo que, por otro lado suponer, que lasperturbaciones electromagnéticas se propagasen sin necesitar medio alguno.

Una vez supuesta la existencia del éter, era de esperarse que las perturbaciones sepropagaran en él con rapidez constante (del mismo modo que las ondas sonoras sepropagan con una rapidez constante respecto al aire).

Se supuso que las ecuaciones de Maxwell eran válidas en el marco de referencia que seencuentra en reposo respecto al éter: MARCO DEL ÉTER. Sin embargo, en un marco dereferencia que se traslade uniformemente con él, las ecuaciones de Maxwell tendríanuna forma matemática distinta a la que tienen en el marco del éter. Pero si recuerdas enel Fascículo I de Física Moderna I, al aplicar una transformación Galileana a lasecuaciones de Maxwell cambia la forma de éstas. Por lo tanto al calcular la rapidez de lapropagación de las ondas electromagnéticas, en el nuevo marco de referencia,empleando las ecuaciones de Maxwell en la forma que toman en ese marco, seencontraba un valor distinto para la velocidad de la luz.

¿Cuál crees que sea la razón de lo anterior? :__________________________________

_______________________________________________________________________

Estarás de acuerdo que la razón es la rapidez de propagación predicha por lasecuaciones; como es de esperarse, depende de la forma de las ecuaciones.

Lo anterior quiere decir que al aplicar la Transformación Galileana a las ecuaciones deMaxwell y resolverlas, se encontraba que la velocidad de la luz medida en el nuevomarco de referencia resultaba diferente del valor de la velocidad medida en el marco deéter, o sea:

Es decir: V2 = V1 éter - ´1V éter

Donde: V2 es la velocidad de la luz con respecto al nuevo marco. V1 éter es la velocidad de la luz con respecto al éter. ´

1V éter es la velocidad del nuevo marco con respecto al éter.

Velocidad de la luz con respecto al nuevo marco = velocidad de la luz conrespecto al éter MENOS velocidad del nuevo marco con respecto al éter.

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1.2.4 Experimento de Michelson-Morley

Hemos dicho que a finales del siglo XIX, conforme las mediciones de la velocidad de laluz se hicieron más refinadas, surgió la interrogante de cuál sería el sistema dereferencia respecto al cual se mide la velocidad de la luz.

¿Se mide la velocidad de la luz tomando como marco de referenciaa la tierra, al aire, a las estrellas, a Júpiter, etcétera?

Y si se hacían los siguientes cuestionamientos: Si para el sonido el medio preferencialpara desplazarse es el aire, ¿no existirá igualmente un medio preferencial para la luz? Ysi es posible medir la velocidad del sonido con respecto a la tierra, sumando lasvelocidades (donde deben sumarse la velocidad del sonido respecto al aire con lavelocidad del aire respecto a la tierra), mediante una transformación Galileana, entoncespor analogía debe existir (suponían), un medio preferencial de propagación de la luz enel espacio infinito.

Michelson y Morley, en 1887, diseñaron un experimento de gran importancia parademostrar la existencia de un marco especial de referencia, el marco del éter, ydeterminar en él el movimiento de la Tierra respecto al éter. Pensaron que se podríandiseñar experimentos precisos para mostrar que la velocidad de la luz respecto a la tierradepende de la dirección en que viaje la luz respecto al movimiento de la tierra a travésdel éter (de acuerdo con las transformaciones de Galileo).

La idea básica del experimento consistía en la división en dos partes de un hazluminoso, una parte dirigida en dirección este-oeste y la otra en la dirección norte-sur, loscuales se reflejan nuevamente a un punto común. Michelson y Morley en lugar de medirla diferencia extremadamente pequeña en los intervalos de tiempo, superpusieron loshaces luminosos en su regreso al origen con el objetivo de que formaran un patrón deinterferencia, y buscaron la evidencia de una diferencia entre las velocidades este-oestey norte-sur en el patrón de desfasamiento de pequeñas fracciones de una longitud deonda entre los dos haces.

Para lo que querían encontrar, el experimento fue un fracaso, pero este fracaso fue detal manera que después se demostró que había sido un éxito. El experimento falló en elsentido de detectar la diferencia de tiempo necesaria para que la luz recorriera lastrayectorias paralela y perpendicular al movimiento de la tierra. Se realizó el experimentovarias veces y en diferentes épocas del año, y en todos los casos los resultados fueronlos mismos: el movimiento de éter no era detectable, es decir, carecía de propiedadesmedibles.

La ausencia de éter llevó a los físicos a concluir que no existe un marco absoluto ouniversal de referencia. También llegaron a la conclusión de que el éter debería serarrastrado por la superficie de la Tierra y que por esta razón no se encontraba ningúnefecto en el experimento de Michelson-Morley.

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NOMBRE: INTERFERÓMETRO MICHELSON

OBJETIVO

Manejar el Interferómetro de Michelson y detectar patrones de interferencia para doshaces de luz que se superponen.

Dicho dispositivo cuenta con un espejo semiplateado que tiene la propiedad de reflejar lamitad de la luz incidente y transmitir la otra mitad.

PROCEDIMIENTO

Debes leer las instrucciones para el uso del dispositivo.

Ajusta el aparato de manera que la luz emitida por la fuente luminosa proyecte un hazbrillante.

Cuando hayas realizado la lectura del instructivo procede a proyectar el rayo luminoso enel espejo plateado que se encuentra frente a la lámpara. Como el haz luminoso esdividido por el espejo en dos partes iguales, entonces la mitad de la luz se mueve enuna trayectoria y la otra mitad en la otra. Por reflexión, la luz regresa por las trayectoriasoriginales y puedes examinarla observando a través del mismo espejo, pero colocándotea 90° de la fuente de luz.

Como la luz es un movimiento ondulatorio, los dos haces parten con la misma fase, esdecir, con el mismo tiempo.

Si los haces regresan al mismo tiempo, entonces el tiempo necesario para los dosrecorridos es igual.

ACTIVIDAD EXPERIMENTAL No. 1

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Figura 7. Diagrama esquemático del Interferómetro del experimento deMichelson-Morley.La placa de vidrio transparente tiene por objeto conseguir

que ambos rayos atraviesen los mismos espectros de aire y vidrio.

¿A qué resultados crees que llegaron?

Varias veces repitieron el experimento, porque los resultados que presupusieron debíanresultar no se obtenían. Otros contemporáneos de ellos también se dieron a la tarea derealizar el experimento, con los mismos resultados: no se detectaba eléter.

1.2.5 Postulados de la Teoría Especial de la Relatividad

Hemos dicho anteriormente que la teoría especial de la relatividad fue el resultado deanalizar las consecuencias físicas que implicaba la ausencia de un marco inercial dereferencia, y que dicha teoría estudia los procesos físicos de aquellos fenómenos en losque intervienen marcos de referencia en movimiento a velocidades constantes(incluyendo los fenómenos electromagnéticos), y los casos en los que los marcos dereferencia se mueven uno con respecto al otro con traslación uniforme.

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Fue así como Einstein estableció los siguientes dos postulados de la relatividad especial:

Uno de los grandes triunfos de la Física Moderna, fue la confirmación experimental deestos dos postulados.

1.2.5.1 Principio de la relatividad en sentido restringido

Manteniendo los principios de la relatividad y mediante el análisis de los conceptosfísicos de espacio y tiempo, la teoría ha demostrado que en realidad no existeincompatibilidad alguna entre el principio de relatividad y la ley de propagación de la luz,y que por el contrario, si se mantienen de una manera firme y sistemática esosprincipios, se llega al establecimiento de una teoría sólida y sistemática de esosprincipios que de manera lógica se salva de cualquier objeción.

A dicha teoría se le ha dado el nombre de Teoría de la Relatividad Restringida.

Por todo lo que hemos venido analizando, queda de manifiesto que la teoría de larelatividad surgió de la electrodinámica y de la óptica, en cuyos dominios, si bien no hacambiado los enunciados de la teoría, si ha simplificado considerablemente el edificioteórico; es decir, la derivación de las leyes, de las hipótesis independientes sobre lascuales se apoya.

La relatividad en sentido restringido (que así la llamó Einstein), no es más que elestablecimiento de que:

¿En qué consiste dicha transformación? Y ¿Por qué es tan importante?

1. Las leyes físicas deben tener el mismo significado (deben serexpresadas mediante ecuaciones de la misma forma), en todos lossistemas que se muevan a velocidad constante unos respecto a otros.

2. La velocidad de la luz en el vacío es independiente del movimiento desu fuente y por lo tanto, tiene el mismo valor para todos losobservadores, independientemente de si se mueve o no.

Toda ley de naturaleza debe ser tal que se transforme en una leyde la misma forma cuando en vez de las variables espacio-tiempo, x, y,z, t; de cualquier sistema de coordenadas primitivo S (sistema original),se introducen nuevas variables de epsacio-tiempo dadas por x’, y’, z’, t’del sistema de coordenadas S’, en el cual la relación matemática entrelas magnitudes del sistema original y el sistema primado estén dadas poruna transformación llamada Transformación de Lorentz.

33

1.3 LA TRANSFORMACIÓN DE LORENTZ

Siguiendo a Einstein se considera que no tiene sentido considerar la existencia de unéter si no hay manera de detectarlo.

Pero históricamente se necesitaron una serie de trabajos e investigaciones teóricas,pues no era tan comprensible para los científicos de la época el aceptar que el éter noera detectado.

Conjugando los dos postulados de la relatividad se obtienen las leyes de transformaciónpara las coordenadas rectangulares x, y, z, y el tiempo t, de cualquier acontecimientoque constituye los procesos de la naturaleza, pero el resultado obtenido no fue latransformación de Galileo sino una corrección a las transformaciones de Galileo hechapor H. A. Lorentz, quien afirmó que los objetos en movimiento se contraen en la direccióndel movimiento a través de éter. Se conoce como la contracción de Lorentz.

Uno de los primeros en estudiar las implicaciones del experimento de Michelson-Morleyfue el gran físico holandés Hendrik Anton Lorentz (1853-1928). De hecho Lorentz sepropuso salvar la existencia del éter y para ello lo hizo a costa de postular una variaciónen las dimensiones de las varas de medir al moverse a través del éter. Su trabajo sepublicó diez años antes de que Einstein creara la Teoría Especial de la Relatividad.

Quedamos en que los experimentos de Michelson-Morley fueron un fracaso aparente.No fue así, ya que debido a la resistencia de los físicos de la época a aceptar talevidencia experimental, un físico teórico fio una explicación para que fuera consistentecon lo aceptado hasta entonces.

Veámoslo ubicándonos en aquella época:

Antes de teoría de la relatividad, los físicos supusieron tácitamente que el significado delos datos temporales era absoluto; es decir, independiente del estado de movimiento delcuerpo de referencia.

Pero ya vimos que esa suposición es incompatible con la de simultaneidad entre la leyde propagación de la luz y el principio de relatividad.

Entonces, ¿cuáles son los valores de x’, y’, z’, t’, de un sucesocon respecto S’, que no coincidad con x, y, z, t, y que nos den

las magnitudes de x, y, z, t, con respecto a S?

La cuestión la resolvemos tomando en cuenta que las relaciones tienen que elegirse detal manera que la ley de propagación de la luz en el vacío se satisfaga para un mismorayo de luz (y desde luego para todo rayo), con relación a S´ y a S.

Cuando analizamos el caso del tren solamente, consideramos acontecimientos queocurren a lo largo de una línea recta ya que visto así, y desde el punto de vistamatemático, el terraplén representa una línea recta, y hemos considerado que losacontecimientos ocurren a lo largo de él.

34

Es desde luego natural que todo acontecimiento se realiza en un espacio tridimensionaly por lo tanto podemos suponer lo siguiente:

Supongamos que el cuerpo de referencia se encuentre prolongado hacia los lados, haciaarriba y hacia abajo.

Para la orientación espacial relativa de los sistemas de coordenadas, el problema seresuelve mediante las ecuaciones siguientes.

Recuerda que la Mecánica Clásica se basa principalmente en las siguientes hipótesis.

¿Crees que exista una manera de conciliarlas?

Estarás de acuerdo que para ello debemos modificar el razonamiento de tal manera quedesaparezca la contradicción aparente entre esos resultados que son producto de laexperiencia.

Nuevamente utilicemos los lugares y los tiempos considerados con respecto al tren y conrespecto al terraplén.

Pero, una vez conocidos el lugar y el tiempo de un acontecimiento con respecto alterraplén, ¿cómo se puede determinar el lugar y el tiempo con respecto al tren? ¿Habráalguna manera de responder la pregunta cuya respuesta sea tal que la ley depropagación de la luz en el vacío no contradiga al principio de relatividad?

De ser así, entonces estarás de acuerdo en que debe existir una relación de losacontecimientos particulares entre el lugar y el tiempo, con respecto a los dos cuerposde referencia, de tal manera que todo rayo de luz posea la misma velocidad depropagación c, tanto con respecto al terraplén como con respecto al tren.

Para resolver el problema debe encontrarse, o formularse una ley o regla detransformación de las magnitudes espacio-temporales con las propiedades de que seaválida para un acontecimiento cuando pasa de un cuerpo de referencia al otro.

Si en la orientación relativa de los sistemas de coordenadas, los ejes de las x de los dossistemas coinciden de una manera permanente, debemos dividir el problema, primeroconsiderando solamente los acontecimientos localizados sobre el eje de las x, de talmanera que un acontecimiento quede representado con respecto al sistema de

Que el intervalo de tiempo entre dos acontecimientos esindependiente del estado de movimiento del cuerpo de referencia, yque la distancia espacial entre dos cuerpos, para un cuerpo rígido, esindependiente del estado de movimiento del cuerpo de referencia.

Lo anterior lleva a una aparente incompatibilidad entre la ley depropagación de la luz y el principio de relatividad.

35

referencia S por la abscisa x y el tiempo t; mientras que con respecto al sistema dereferencia S’ queda representado por la abscisa x’ y el tiempo t’.

Lo que debemos es encontrar los valores de x’ y t’ cuando conocemos a x y a t.

Si una señal luminosa avanza a lo largo del eje positivo de las x, se propagará deacuerdo con la ecuación x = ct, es decir que x – ct = 0.

Como la misma señal luminosa se propaga con respecto al sistema de coordenadas S’,con la misma velocidad c, entonces con respecto a S’, el rayo luminoso se propaga deacuerdo con la ecuación x’ – ct = 0.

Los acontecimientos espacio-temporales que satisfacen la ecuación para el sistema S,también deben satisfacer las ecuaciones para el sistema S, por sólo un factor que nosrepresente el hecho de que uno de los sistemas se está moviendo. Esto se cumple conla relación:

(x’ – ct’) = λ(x – ct) ……………………………….………

λ representa una constante. Esto es porque si no lo hacemos así, entonces la anulaciónde (x – ct) = 0 implicaría la anulación de (x’ – ct’).

De manera análoga, si los rayos luminosos se propagan a lo largo de los ejes en elsentido negativo, el resultado de la relación será:

(x’ + ct’) = µ(x + ct)……………………………………….

Al sumar (o restar) las ecuaciones y se tiene:

(x’ – ct’) + (x’ + ct’) = λ (x - ct) + µ(x + ct)

2x’ = x(λ + µ) + ct(µ - λ)

por lo que:

x’ = 2

)λ - µ(ct +

2µ + λ(x

para simplificar operaciones, hagamos:

a = 2

)µ + λ(

b = 2

)λ - µ(

entonces:x’ = ax – b(ct)……………………………………….……

36

Resta ahora las ecuaciones y sustituye nuevamente a y b, luego despeja a ct’ en el ladoderecho de la ecuación.

¿Cuál fue el valor al que llegaste?

Si tu resultado fue:

ct’ = a(ct) – bx…………………………………………..…

entonces encontraste el resultado correcto.

Con las ecuaciones y se puede resolver, siempre y cuando se conozcan lasconstantes a y b.

¿Cómo se obtienen los valores de las constantes a y b?

Hagámoslo.

Para el origen del sistema de coordenadas S’, se tiene permanentemente que:

x’ = 0

por lo tanto, de acuerdo con la ecuación ,

0 = ax – b(ct),

significa que:ax = b(ct),

es decir que:

.ta

bc = x

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

37

Si designamos por v a la velocidad con la cual el origen del sistema de coordenadas S’se mueve con respecto al sistema de coordenadas K, entonces:

= ta

(bc)t

= tx

v

lo que da:

v= a

bc…………………………………………………….

PROBLEMA

Calcula el mismo valor para v, a partir de las ecuaciones y/o , pero ahora conrespecto al sistema de coordenadas S, de otro punto del sistema S’; o bien la velocidaden el sentido negativo de las x, de un punto del sistema S, con respecto al sistema S’.

Escribe todos los pasos algebraicos necesarios para obtener el resultado.

Resultado:

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

38

Por el resultado de la ecuación y el obtenido por ti, se puede concluir que v representala velocidad relativa de los dos sistemas.

Por otra parte, de acuerdo con el Principio de la relatividad, es claro que la longitud delsistema de coordenadas S, de una regla de magnitud unidad que se mide cuando seencuentre en reposo con respecto al sistema S’, debe ser exactamente la misma que lalongitud en el sistema S’ de una regla de la misma unidad de medida, que se encuentreen reposo con respecto al sistema S.

Para determinar cómo se presentan en el sistema S, los puntos del eje de las x’, esnecesario que consideres una especie de fotografía instantánea del sistema S’ y delsistema S; lo cual significa que se debe de introducir para t (tiempo del sistema S), unvalor determinado, por ejemplo t = 0.

Entonces de la ecuaciónx’ = ax – b(ct)

se obtiene

x’ = ax

¿Qué crees que signifique esta última relación?

La última relación nos está indicando que dos puntos del eje de las x’, que se encuentranseparados por la distancia x’ = 1, medida en el sistema S’, están separados en nuestrafotografía instantánea por la distancia

∆x = a1

.

Pero, ¿qué ocurrirá si tomas la fotografía instantánea desde el sistema S’?

Al tomar la fotografía desde el sistema S’ con t’ = 0, entonces realizando las operacionesresulta:

X’ = ax – b(ct)

y

ct’ = a(ct) - bx

parat’ = 0, act = bx

donde resulta que

acbx

= t

39

y por lo tanto

x’ = ax - bc )acbx

(

= )x )cb

( a

bc - a(

pero como

v = a

bc implica que va = bc

y por lo tanto

2ca

= cb

ica que = b implca vv

que al sustituir en el último valor para x’ tenemos:

x’ = (a – v x)c

1(a=x))c

a( 2

2

2v

- v

De la última relación se concluye que dos puntos dl eje de las x, separados por ladistancia 1 (con respecto al sistema S), tienen en nuestra fotografía instantánea ladistancia:

∆x’ = a(1 - )c2

2v

Debes tener presente que las dos instantáneas deben ser idénticas, y por lo tanto el

incremento ∆x = a1

tiene que ser igual al incremento ∆x’.

De tal manera que resulta

2

22

c1

1=a

v -

es decir que 2/1

2

2

2

2)

c1(

1=

c1

1=a

v -

v

-

Las ecuaciones v = 12

22 )

c1(1=ay,

abc -v

-

nos determinan las constantes a y b que buscábamos.

40

Al sustituir los valores de esas constantes en las ecuaciones para x’ y para ct’, tenemos:

2

2

c1

tx='x

v -

v - ;

2

2

2

c1

)c

xt(

='tv

-

v -

Es así como hemos obtenido las transformaciones de Lorentz para los acontecimientosque ocurren sobre el eje de las x, agregando las relaciones

y = y’z = z’

sistema de ecuaciones que se conoce como Transformación de Lorentz.

Observa la siguiente figura:

Figura 8. Coordenadas en el sistema S y S’.

¿Se pueden usar éstas transformadas para eventos que se desplacen convelocidades muy pequeñas comparadas con la velocidad de la luz?

Estarás de acuerdo de que si en lugar de haber partido de la ley de propagación de la luzlo hubiéramos hecho partiendo de la vieja Mecánica, sobre el carácter absoluto detiempos y longitudes, a las transformaciones a las que habríamos llegado serían:

x’ = x - vty’ = yz’ = zt’ = t

sistema s

velocidad u → sistema S´

y y´

x’ 0’

0 x

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Sistema que se conoce, ya lo hemos dicho antes, como transformación Galileana.

Si en la transformación de Lorentz igualamos la velocidad de la luz c, a un valor muchomuy grande en comparación con la velocidad v, se obtiene la transformación de Galileo.

¿Cómo será dicha relación? ________________________________________________

Toma en cuenta que el cociente entre la velocidad v y la velocidad c debe ser muypequeño.

EJEMPLO

Este ejemplo s para que te des cuenta que de acuerdo con la transformación de Lorentz,la ley de propagación en el vacío se cumple tanto para el cuerpo de referencia S, comopara el cuerpo de referencia S’.

Se envía un rayo luminoso a lo largo del eje x positivo, el rayo se propaga con lavelocidad c según:

x = ct

De acuerdo con las ecuaciones de la transformación de Lorentz, la anterior relación entrex y t determina una relación entre x’ y t’.

Si en la transformación de Lorentz se sustituye el valor de x = ct, en x’ tendremos lassiguientes relaciones:

2c1

tc='x

2v -

v) - (

2

2

c1

t)c

1(='t

v -

v -

De las cuales se sigue inmediatamente despejando a t, que:

X’ = ct’

Ésta última es la relación por la que se rige la propagación de la luz cuando se refiere alsistema S’.

Por lo tanto hemos mostrado que la velocidad de propagación de la luz relativa alcuerpo de referencia S’ también es igual a c.

Lo mismo sucederá para cualquier rayo de luz que se mueva en cualquier otra dirección.

42

Lorentz con su transformación demostró que las fórmulas fundamentales delelectromagnetismo son las mismas en todos los marcos de referencia. Años más tarde,Einstein descubrió su pleno significado.

¿Cómo se obtienen las transformaciones del sistema S’ al sistema S?

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

Para ello, lo que tienes que hacer en las ecuaciones de transformación de Lorentz essustituir los valores con comillas por valores sin comillas, y v por -v, lo cual nos da lasecuaciones de:

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

Transformación inversa de Lorentz

Para transformar las relaciones del sistema de coordenadas S, los únicos cambios quedebemos hacer en las ecuaciones de transformación de Lorentz, consisten en sustituirlos valores con comillas por los valores sin comillas, y el valor de v por -v,quedándonos las ecuaciones de la transformación inversa de Lorentz de la siguientemanera:

2

2

c1

't+'x=x

v -

v

y = y’z= z’

2

2

2

c1

c'x

+'t=t

v -

v

43

1.4 LA CONTRACCIÓN DE LORENTZ-FITSGERALD

Las transformaciones de Lorentz nos indican:

1. Que las mediciones del lugar y del tiempo dependen del marco de referencia delobservador, de tal manera que dos acontecimientos que ocurren simultáneamenteen un marco en lugares diferentes no tienen por qué ser simultáneos en otro.

2. Que las ecuaciones de Lorentz se pueden reducir a las ecuaciones de Galileo,cuando la velocidad relativa v de S y S’, es pequeña con respecto a la velocidadde la luz c.

Durante los años 1890, el físico irlandés G. F. Fitzgerald y el físico holandés HendrikAnton Lorentz (1853 – 1928), propusieron independientemente la hipótesis de que elresultado negativo del experimento de Michelson-Morley podía explicarse si la longitudde cualquier objeto material se contraría por la fracción

2

2

c1

v - en la dirección de su movimiento a través del éter.

Lo que estaba sugiriendo era la posibilidad de una contracción física real de los cuerposen movimiento con velocidades cercanas a la de la luz. Este efecto se conoce comocontracción de Lorentz-Fitzgerald. Años después, Einstein en el examen de lasdefiniciones operacionales de longitud y tiempo dio exactamente la misma fórmulaalgebraica.

LA conclusión de Fitzgerald era, que si un cuerpo se mueve a velocidades cercanas a lade la luz, se contrae en la dirección del movimiento; la extendió, y encontró relacionesmatemáticas para describir el aumento en la masa, la contracción de la longitud y ladilatación del tiempo de un cuerpo en movimiento, que son la base de la teoría de larelatividad especial.

1.4.1 Comportamiento de las Varillas Rígidas y Cuerpos en Movimiento

¿Cuál será la longitud de la varilla respecto a un marco de referencia S’que se mueve paralelamente a la varilla con velocidad v?

Analicémoslo:

Si L0 es la longitud respecto al marco de referencia S en reposo, y L es la longitud en elmarco de referencia S’ que se mueve con velocidad v.

44

Para que te quede más clara la idea, imagínate que puedes observar la longitud(horizontal) de una viga que está colocada justo a un lado de la carretera; para los casosene que estás colocado en el suelo, a un lado de la viga, y luego cuando pasas junto aella en coche se mueve a gran velocidad.

Para calcular la longitud L, debes utilizar la Transformación de Lorentz, para pasar delmarco de referencia S al marco de referencia S’.

En el marco de referencia S:

L0 = x2 – x1,

es decir que si lo expresamos como parejas ordenadas:

(x2 , t) , (x1 , t)

Se mide al mismo tiempo en S.

Mientras que en el S’ es:L = '

2x - '1x

)t' , (x ),'t , x( '1

'2

Se mide al mismo tiempo en S’.

Por lo tanto

2

2

•'1

1

cv

- 1

t' v +x = x

2

2

•'22

cv

- 1

t' v + x = x

por lo que:

L0 = x2 – x1 =

2

2

•'1

2

2

'2

cv

- 1

t' v + x -

cv

- 1

t' v + x •

que al realizar las operaciones nos queda:

2

2

'1

'2

0

cv

- 1

x- x = L

45

pero si recuerdas:

'1

'2 x- x= L

por lo que

2

20

cv

- 1

L = L

Si realizas las operaciones para L, o despejando directamente de la relación anterior,encontrarás que:

L = L0 2

2

vv

- 1

La última relación se conoce como la Contradicción de Lorentz-Fitzgerald y lo que nosestá diciendo, es que la longitud de un objeto que se encuentra en movimiento conrespecto a un observador, le parece más corta que cuando está en reposo.

Recuerda que las velocidades relativas de S y S’ pueden ser: bien que el observador seael que se mueva, o que quien se mueva sea el objeto y el observador esté en reposo.

Si en lugar de la varilla lo que te interesa es calcular la longitud de un cohete, debesproceder de la siguiente manera:

Si L0 es la longitud del cohete antes del lanzamiento, es decir cuando está en reposo:

2

2

0 cv

- 1 L = L

Si tú te vas en el cohete, ¿cuál será la longitud que observasde los objetos que se encuentran en la tierra?

Si vas en el cohete, cuya velocidad es v, estarás de acuerdo en que tu velocidad es lamisma que la del cohete, y para ti los objetos te parecerán más cortos por el factor:

2

2

cv

- 1 .

Por todo lo anterior se puede concluir que:

La longitud de un objeto es máxima cuando de mide en un marco de referenciacon respecto al cual nos parece estacionario, y su longitud es menor cuandose mide en un marco de referencia con respecto al cual se mueve.

46

EJEMPLO:

Imagínate una varilla rígida, situada a lo largo del eje positivo de las x, en el marco dereferencia S.

Si tu varilla rígida es de 1 m de longitud, que la colocas sobre el eje de las x de l sistemaS’, de tal manera que uno de sus extremos (por ejemplo el origen), coincida con el puntox’ = 0, y el otro extremo con el punto x’ = 1. ¿Cuál crees que será la longitud de la reglacon respecto al sistema S?

Los extremos de la varilla se colocan al mismo tiempo t’: (0, t’), (1, t’).

Para saberlo tienes que contestarte primero la pregunta de dónde se encuentra el origeny el otro extremo de la regla, con respecto al sistema S, en un instante determinado delmarco de referencia del sistema S.

De acuerdo con la primera de las ecuaciones de transformación de lorentz, los valoresde esos puntos, para el tiempo t son:

X(origen de la regla) = 0 2

2

cv

- 1 , donde 0 significa origen.

X(fin de la regla) = 1 2

2

cv

- 1

Luego entonces:

La distancia entre esos dos puntos es igual a: 2

2

cv

- 1

Pero con respecto a S, la regla se mueve con la velocidad v. Por lo que podemosconcluir que:

La regla rígida en movimiento, es por tanto, más corta que la misma regla en reposo, yserá tanto más corta mientras más rápido sea su movimiento.

La longitud de una regla rígida que mide un metro y se mueve convelocidad v en su sentido longitudinal, es igual a:

L = L0 2

2

cv

- 1 (metros), visto desde un observador en reposo.

47

Para la velocidad v = c, la expresión 2

2

cv

- 1 es igual a cero.

En el caso de velocidades todavía mayores a c, el valor del radical se hace un númeroimaginario, lo cual para el caso no tiene sentido.

Ahora ya puedes concluir que:

Debes tener siempre en cuenta, que el papel de la velocidad c como una velocidadlímite, resulta de las propias ecuaciones de la transformación de Lorentz, ya que dichasecuaciones carecen de sentido si se da a v un valor mayor de c.

Si por el contrario hubieras considerado una regla colocada en el eje de las x, el cual seencuentra en reposo con respecto al sistema S, habrías encontrado entonces que sulongitud, con respecto al sistema S’, sería igual a

2

2

cv

- 1 ; lo cual está completamente de acuerdo con el principio de relatividad.

Comprenderás que es evidente que de las ecuaciones de transformación se debetambién de extraer información del comportamiento de los relojes, ya que en dichasecuaciones aparece el tiempo. ¿Por qué?

Si sólo te hubieras basado en las transformaciones de Galileo, no habrías obtenido unacortamiento de la regla a causa de su movimiento. ¿Pasará lo mismo para el tiempo?

Explica por qué: _________________________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

La relatividad prohibe velocidades mayores a c

En la teoría de la relatividad, la velocidad c desempeña elpapel de ser una velocidad límite, que no puede ser alcanzadapor un cuerpo real y que, menos aún podrá ser superada.

48

1.4.2 Dilatación del Tiempo

Los intervalos de tiempo también sufren una transformación desde el marco dereferencia de la Teoría de la Relatividad, y son de tal manera que todo reloj que semueva con respecto a un observador que se encuentre en reposo, parece que tiene untic-tac más lento que cuando ambos (observador y reloj) se encuentran en reposo.

Para que te quede más claro, considera un reloj, el cual se encuentra en reposo, de unamanera permanente, en el origen x’ = 0 del sistema de coordenadas S’; luegoconsidera el intervalo para '

1t = 0, y para '2t = 1, como dos medidas consecutivas del

reloj.

Nota que los eventos (0, 0) y (0, 1) ocurren en la misma posición x’ = 0.

Para ver cómo se realiza la dilatación del tiempo, considera que el reloj está situado enel punto x’ del marco de referencia en movimiento, cuando en el marco S’ la lectura deltiempo es '

1t ; mientras que para el observador en S, encontrará que la lectura es t1, porlo que según la ecuación de transformación de Lorentz para el tiempo resulta:

2

2

2

''1

1

cv

- 1

cvx

+ t = t

después de un intervalo de tiempo t0, para un observador situado en el marco dereferencia en movimiento, encuentra que ahora el tiempo es '

2t , según su reloj, es decir:

'0t = '

1'2 t - t

Sin embargo, el observador situado en el marco de referencia en reposo S, mide para elfinal del mismo intervalo un tiempo diferente cuyo valor está dado por:

2

2

2

''2

2

cv

- 1

cvx

+ t = t

por lo que para dicho observador S la duración del intervalo de tiempo t será:

t0 = t2 – t1

49

sustituyendo los valores de t2 y de t1 y realizando las operaciones tenemos:

2

2

'1

'2

0

cv

- 1

t - t = t

pero como '0

'1

'2 t = t - t , relación anterior queda, ya simplificada como:

2

2

'0

0

cv

- 1

t = t : dilatación del tiempo.

Si analizas esta última relación, nuevamente aparece el factor:

2

2

cv

- 1

1

Si realizamos las mediciones como es común realizarlas en laboratorio, para estas dosposiciones, de las ecuaciones de transformación de Lorentz tienes que:

Con respecto al sistema de coordenadas S, que hemos venido manejando, el reloj semueve con la velocidad v. y con respecto a este cuerpo de referencia, el intervalo detiempo que separa a esos dos eventos consecutivos no será de un segundo si no de:

2

2

cv

- 1

1 segundos.

Es decir, que es un intervalo de tiempo un poco mayor. A causa de su movimiento, elreloj camina un poco más lento que cuando se encuentra en estado de reposo.

Resulta que también en esta último caso, la velocidad de propagación de la luz en elvacío c, desempeña el papel de velocidad límite, que es imposible de alcanzar.

1. Realiza un análisis por escrito de contracción y/o dilatación de la longitud de una viga(o varilla), cuando vas dentro de un carro que se desplaza a gran velocidad.

2. Haz lo mismo para los relojes que están colocados sobre el cuerpo en movimiento yen la orilla de la carretera.

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

50

Resuelve los problemas en tu cuaderno de notas y luego con tu maestro analiza elresultado que obtuviste.

Ya sabes que las coordenadas de los extremos de la varilla, en el sistema S está dadopor L0 = x2 – x1, donde L0 es la longitud de la varilla con respecto al cual se ve l0 enreposo.

Ten presente que la contracción relativista nunca la vas a observar para las velocidadesordinarias a las que estamos acostumbrados, porque sólo son observables a velocidadescercanas a la velocidad de luz en el vacío.

Cuando quieras encontrar la razón de longitud de una varilla en movimiento en un marcode referencia S’, con respecto a un marco de referencia en reposo S, debes suponer quela longitud de la varilla en el marco en reposo tiene el 100% de su longitud original, esdecir 1. ¿Estás de acuerdo?

Luego calculas 2

2

0 cv

- 1 = LL

EJEMPLO:

Si la velocidad de un objeto es de 2,000 km/s, ¿cuál será el acortamiento que produce?

SOLUCIÓN:

2

2

0 km/s) 000,300(km/s) (2,000 - 1

LL

= = 9964.0 10 x 910 x 4 - 1

10

6=

Es decir que 0L

L es aproximadamente el 99.64 %.

Como te das cuenta, una velocidad de 2,000 km/s es muy grande comparada con lasvelocidades a las que estamos acostumbrados, y sin embargo el acortamiento que sufrees menos del 1%.

¿En cuánto se acortará un objeto que se desplaza a 0.90 veces la velocidad de la luz?

Recuerda que lo que debes calcular es oL

L

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

51

Otro hecho importante que debes tener en cuenta acerca de la contracción de Lorentz-Fitzgerald, es que sólo tiene lugar en la dirección del movimiento; es decir, en lacomponente de las coordenadas a la cual v es paralela.

Otro ejemplo de aplicación:

Un hecho importante, que sorprendió a los científicos porque se verificaba la dilatacióndel tiempo, fue la desintegración de los mesones µ*, los cuales se producen en la altaatmósfera por la acción de los rayos cósmicos que llegan a la tierra procedentes delespacio exterior y alcanzan la superficie terrestre en grandes cantidades.

La velocidad característica de los mesones es de 2.994 x 108 m/s, que corresponde a0.998 la velocidad de la luz.

La vida media del mesón es de t0 = a x 10-6 segundos.

Si usamos la teoría clásica para calcular la distancia vertical que recorre, tendremos:

La distancia y, que recorre en ese tiempo, está dada por la ecuación:

y = vt0 = (2.998 x 108 m/s) (2 x 10-6 s) = 600 m

Evidentemente que el resultado está equivocado, ya que la mayor producción de losmesones µ ocurre en la estratosfera, la cual comienza a una altura sobre el nivel del marde entre 9,000 a 12,000 m (dependiendo de la latitud).

¿Cómo resolverás el problema?

Para obtener un resultado correcto, debes resolver el problema desde el marco dereferencia de la teoría de la relatividad especial.

Haremos el análisis desde el punto de vista del mesón, cuya media es de 2x 10-6 s, esdecir, que su distancia a la tierra se ve acortada por:

2

2

2

28

0 cc) (0.998

- 1 = c

m/s) 10 x (2.99 - 1 =

yy

es decir: 0.0632 = (0.998) - 1 2 ≅ 6%

* Ver significado en el glosario.

52

Pero la distancia de 600 m, que es la distancia máxima en la cual el mesón puede existir,según su propio marco de referencia, tenemos que:

Como v = 0.998C, antes de desintegrarse, ¿cuál será la distancia y0 que recorre ennuestro marco de referencia de la tierra?

SOLUCIÓN:

2

220

c(0.998c)

- 1

600 =

cv

- 1

y = y

que realizando las operaciones nos resulta:

06324.0600

= 0.99604 - 1600

= y0 ≅ 9493.6 m

resultado que se aproxima, pues está de acuerdo con los datos tomados por los satélitesmetereológicos.

Desde el marco de referencia del suelo, la altura a la que el mesón es producido es y0y, según lo visto anteriormente, su tiempo de vida se alarga desde nuestro marco dereferencia, debido al movimiento relativo, cuyo valor está dado por:

0tt

, que al sustituir en ella los valores correspondientes nos resulta:

2

20

0

cv

- 1

t = t =

2

2

-6

c(0.998c)

- 1

10 x 2

y realizando las operaciones nos resulta:

00632.0s 10 x 2

= t-6

≅ 31.6456 x 10-6 s

Este tiempo resulta ser casi 16 veces mayor que 2 x 10-6 s, que es el consideradocuando estamos en reposo.

Ahora sí puedes sustituir a t en la relación y0 = v t, para la velocidad del mesón de0.998c, entonces te quedará:

y0 = v t = (2.994 x 108 m/s) (31,7 x 10-6 s) ≅ 9,500 m

53

Recuerda que la relatividad del tiempo está relacionada con la existencia de la velocidadlímite.

La paradoja de los gemelos

Dos hermanos gemelos deciden realizar la siguiente experiencia queconsiste en que uno de ellos, que es astronauta, se aleja en su cohete agran velocidad, mientras que su hermano se queda en tierra. Ambossincronizaron sus relojes para que marcaran el mismo tiempo. El astronautave que su reloj marcha más lentamente que el reloj de su hermano que estáen la tierra, por lo tanto piensa que se mantiene más joven y con alegríaexclama: ¡Al regresar a la Tierra seré más joven que mi hermano gemelo!

El gemelo del astronauta observa que quien se va alejando a gran velocidadde la nave es él y por lo tanto observa que su reloj camina más lentamenteque el de su hermano gemelo y exclama: ¡Cuando regrese mi hermano yoestaré más joven!

¡Qué contradicción!

¿Será posible que cada uno de los gemelos sea más joven que el otro?

Discute la respuesta con tu asesor. _________________________________________

_______________________________________________________________________

_______________________________________________________________________

Veamos que no existe ninguna contradicción:

Cada gemelo va comparando su reloj con el reloj del otro (sistema), por lo que no resultararo que el reloj de cada uno marche más lentamente que el del otro. Entonces cada unopuede decir que es más joven que el otro, es decir, que los efectos son los mismos paraambos gemelos. ¿Por qué? El primer postulado de la relatividad establece que todas lasleyes de la Física son las mismas para todos los sistemas inerciales. Cuando se alejó elastronauta tuvo que acelerar la nave y de regreso debió frenarla; es decir que el sistemaestá acelerado. Todo sistema que se acelera deja de ser inercial. Como la nave seconvirtió, aunque sólo momentáneamente en un sistema no inercial, el gemelo de lanave regresa más joven.

1.4.3 Relatividad de la Masa

Por lo analizado anteriormente, te diste cuenta que la teoría de la relatividad restringidasurgió de la electrodinámica y de la óptica. La relatividad ha otorgado a la teoría deMaxwell-Lorentz un grado de evidencia tal, que los físicos han tenido que aceptarla.

54

Pero ¿qué pasa con la masa, que es una de lascantidades elementales de la Física?

Si te interesa saberlo, es recomendable que continúes leyendo este Fascículo.

Einstein en uno de sus artículos, afirmaba que uno de los resultados más importantes,de carácter general, al que condujo la Teoría de la Relatividad Restringida, se refería a lanoción de masa.

Veamos en qué consiste la relatividad de la masa,

¿Cómo fue que llegó a ellos Einstein?

Recuerda que la Mecánica Clásica se había desarrollado suponiendo que el espacio y eltiempo eran absolutos, pero de acuerdo con la relatividad es falso. Para que las leyes delmovimiento de Newton estén de acuerdo con la Teoría Especial de la Relatividad, fuenecesario modificar dichas leyes cuando los cuerpos se mueven a velocidades cercanasa la velocidad de la luz.

¿Cuáles fueron esas modificaciones?

Para que lo comprendas, iniciemos el análisis con la segunda ley de Newton.

Según la 2ª ley de Newton, cuando una fuerza F actúa sobre un cuerpo, ésteexperimenta una aceleración a, es decir que le ocasiona un cambio en su velocidad conel tiempo de acuerdo con la relación:

Más adelante veremos esta expresión para el caso relativista.

Donde m es la masa inercial del cuerpo, y la masa inercial es una medida de laresistencia que presentan los cuerpos al cambio de velocidad.

Para que comprendas el concepto de masa inercial, imagínate que le das el mismoempujón a un balín y aun carro; el carro experimentará una menor aceleración porquetiene mayor masa, lo cual se expresa diciendo que el cuerpo que tiene mayor masa tienemás inercia.

Uno de los resultados más famosos e importantes de larelatividad especial es el expresado por la fórmula E=mc2.

F = m a

55

Antes de la relatividad especial, se pensaba que la masa de un cuerpo siemprepermanecía constante para cualquier velocidad. ¿Seguirá siendo válida dicha afirmaciónde acuerdo con la relatividad especial?

Si le aplicas una fuerza de 1,000 N a un cuerpo de 1 kg, su aceleración será:

22 km/s 1 = m/s 1,000 = kg 1

N 1,000 =

mF

= a

Lo cual significa que en cada segundo su velocidad aumenta 1 km/s. Aumento develocidad que es independiente de la velocidad inicial que haya tenido el cuerpo. Demanera que si su velocidad inicial era de 300 km/s, después de un segundo será de 301km/s; pero si era de 300,000 km/s, después de un segundo sería de 300,001 km/s.¡Velocidad superior a la velocidad de la luz!

Toma en cuenta que estamos considerando que la masa del cuerpo permanececonstante. Por lo que según el resultado, si la masa de un cuerpo permanece constante,se podría lograr que se moviera con velocidades superiores a c, cuando se le aplica unafuerza constante durante suficiente tiempo.

Pero recuerda que la relatividad asegura que la máxima velocidad posible a la que sepuede mover un cuerpo es la velocidad de la luz, y que no es posible rebasarla.También, así como no es posible que un cuerpo rebase la velocidad de la luz, es aúnmás difícil acelerarlo cuando inicialmente se mueve con velocidad cercana a la velocidadc. De acuerdo con la inercia que tienen los cuerpos, mientras mayor va siendo, suoposición al movimiento va aumentando, y es tal que si un cuerpo alcanzara la velocidadde la luz ¡ya no sería posible moverlo más!

Por lo tanto: la resistencia de un cuerpo a cambiar su velocidad, aumenta cuando semueve rápidamente.

Este resultado fue encontrado por Einstein y una manera de expresarlo es la siguiente:

La masa m de un cuerpo que se mueve con velocidad v, es mayor que su masa m0que tiene cuando se encuentra en reposo.

Es decir

2

20

cv

- 1

m = m

A continuación se presenta una gráfica que muestra la variación de la masa de acuerdoa la velocidad.

56

Figura. Gráfica que muestra la variación de la masa en función de la velocidad.En reposo, el cuerpo tiene masa m0, y conforme aumenta su velocidad, su masa aumenta.

EJEMPLO:

Si la velocidad de un cuerpo fuera de v = c, entonces:

2

20

cv

- 1

m = m =

2

20

cc

- 1

m =

0m

= 1- 1

m 00 infinito

Mientras que si la velocidad es muy pequeña comparada con la velocidad de la luz, el

término 2

2

cv

≅ 0 , y 1 = 0 - 1 por lo que m= 1

m0

Por lo anterior debes tener presente que:

y que:

En la relatividad la masa no se conserva, ya que la masaaumenta con la velocidad.

Al modificar la Mecánica de Newton, Eisntein mostró que elefecto de una fuerza sobre un cuerpo es modificar tanto lavelocidad como la masa del cuerpo.

57

¿Qué ocurre con la energía del cuerpo?

Para aumentar la velocidad de un cuerpo se requiere realizar trabajo sobre él, con lo cualse incrementa su energía cinética, que es su energía de movimiento.

Pero de acuerdo con la relatividad, al aumentar la velocidad del cuerpo, su masatambién aumenta, por lo que un aumento en su energía cinética implica un incrementoen su masa.

De acuerdo con la Teoría de la Relatividad, la energía cinética de una partícula de masam ya no se encuentra dada por la expresión:

2v m 2

, sino por la expresión

2

2

20

cv

- 1

c m

Pero si hacemos la expresión

m =

cv

- 1

m

2

20

tendremos que

2

2

20

cv

- 1

c m= m c2, que es la energía de un cuerpo que se mueve con

velocidad v.

Es decir E = m c2 ; donde E = energía. Esta expresión nos dice que la masa mequivale a una energía E = m c2.

Para un cuerpo en reposo está dada por:

Importante resultado encontrado por Eisntein.

Estarás de acuerdo que la expresión

2

2

20

cv

- 1

c m tiende a infinito, cuando la velocidad v

tiende a la velocidad de la luz c. Por lo tanto la velocidad debe ser siempre inferior a c,por grandes que sean las energías empleadas en su aceleración.

E = m0 c2

58

Si analizas detenidamente las expresiones, cuando se entra al terreno de la relatividad,

verás que en todas ellas aparece la expresión 2

2

cv

- 1 , factor que debes tomar siempre

en cuenta cuando resuelvas problemas para velocidades cercanas a la velocidad de laluz.

EJEMPLO:

¿Cuál es equivalente en energía de 1g de masa?

SOLUCIÓN

1 gramo = 0.001 kg

Sustituyendo en la ecuación E = m c2, se tiene:

E = (0.001 kg) c2 = (0.001 kg)(108 m/s)2 = 9 x 1013 joules

La anterior energía es muy grande y se necesitarían quemar 3 x 108 kg de carbón paraproducir la misma energía.

Recuerda que:

El resultado más importante, de carácter general, al que ha conducido la Teoría de laRelatividad Restringida, está referido a la noción de masa.

La Física prerrelativista considera dos principios de conservación fundamentales, asaber:

1. El principio de la conservación de la energía, el cual establece que la energía totaldel universo es constante.

2. El principio de conservación de la masa.

Los anteriores principios eran considerados independientes uno del otro.

Uno de los más célebres resultados que Einstein obtuvo, en virtud de los resultados de larelatividad fue el haberlos reunido en uno solo.

El principio de la relatividad exige que el principio deconservación de la de la energía sea válido, no solamente conrespecto a un sistema de coordenadas S, sino también conrespecto a cualquier otro sistema de coordenadas S’, que seencuentre animado de un movimiento de traslación uniformecon respecto a S, es decir, con respecto a cualquier sistema decoordenadas galileano.

59

Para pasar de un sistema de coordenadas al otro, cuando el cuerpo se mueve avelocidades cercanas a la velocidad de la luz, lo que debe usarse es la Transformaciónde Lorentz. Y ya no la transformada de Galileo como en la Mecánica Clásica.

Tomando como premisa fundamental lo anterior y considerando las ecuacionesfundamentales de la Electrodinámica de Maxwell fue como Einstein infirió la siguienteconclusión:

También debes tener siempre presente que:

- El principio de relatividad exige que el principio de conservación de la energía seaválido tanto para el sistema de coordenadas S como para el sistema de coordenadasS’ (el cual se encuentra animado de un movimiento de traslación uniforme conrespecto a S).

- Para pasar de un sistema a otro, nos sirve la Transformación de Lorentz.

- Partiendo de las premisas mencionadas y de las ecuaciones fundamentales de laElectrodinámica de Maxwell fue como Einstein propuso por medio de relacionesrelativamente simples la siguiente conclusión:

22 c m = E bien o

cE

= m

Es decir que la masa es una forma de energía, donde un cuerpo de masa m posee laenergía dada por E = m c2.

Relación que no solamente se cumple para la energía cinética, sino que se cumple paracualquier tipo de energía.

Todo cuerpo que esté animado con velocidad v y que absorbeuna cantidad de energía E0 en forma de radiación, sin que cambiesu velocidad, experimenta un incremento en su energía igual a:

2

20

cv

- 1

E

Según la relatividad, si la velocidad de un cuerpo es próxima ac, la masa del cuerpo cambia muchísimo, como consecuenciade que al aplicarle una fuerza a un cuerpo cambia tanto lavelocidad como la masa del cuerpo; esto se interpreta comoPrincipio de equivalencia entre masa-energía.

60

Es así como Einstein afirmó que todos los cuerpos al moverse a grandes velocidades(cercanas a la velocidad de la luz), experimentan cambios de la materia-energía cumplencon dicho principio.

1. ¿En qué consiste la Ley de la Conservación de la Energía de Newton?

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

2. ¿Cuál es la masa de un cuerpo en movimiento? ______________________________

3. Si la velocidad de un cuerpo es pequeña, ¿cómo es el cambio de su masa?

_____________________________________________________________________

4. ¿Sigue siendo válido el principio de conservación de la masa cuando el cuerpo semueve a velocidades cercanas a la velocidad de la luz?

____________________________________________________________________

5. ¿Cuál es la fórmula para la energía de un cuerpo que se mueve a una velocidadcercana a la de la luz? _________________________________________________

6. Si la masa es una forma de la energía, ¿será posible la conversión de l masa encualquier otra forma de energía? __________ ¿Por qué? ______________________

____________________________________________________________________

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

61

Una de las aplicaciones que se han encontrado, se relaciona con la radiación solar:

La transformación de masa en energía electromagnética por medio de reaccionesnucleares, es el origen de la energía que emite el sol.

En el Sol se llevan a cabo reacciones en las cuales los núcleos de los elementos ligerosse unen par formar elementos más pesados, proceso que se llama fusión nuclear. Esasí que al unirse 4 núcleos de hidrogeno forma un núcleo de helio, como resultado, lamasa del núcleo de helio en lugar de ser 4 veces la masa de un núcleo de hidrogeno,resulta ser 3.97 veces la masa, es decir, que falta 0.03. ¿Qué le pasó al resto de lamasa? La cantidad de masa faltante se convierte en energía electromagnética. Es asícomo se produce la energía solar.

Cada segundo el sol emite una cantidad de energía de 3.7 x 1026 joules, debido a lo cualel sol pierde una masa de:

kg 10 x 4 s/m 10 x 9

joules 10 x 3.7 cE m 9

2216

26

2===

¡Es una masa muy grande!

Pese a ser una masa muy grande la que está perdiendo el sol, afortunadamente sólorepresenta una pequeña parte de la masa total del sol. Se necesitan 1011 años para quela masa total del sol disminuya en 1%.

Otras de las aplicaciones que tiene la Teoría Especial de la Relatividad es en la FísicaNuclear y en la Física de partículas elementales, ya que en ellas se efectúan procesosde conversión de masa en algún otro tipo de energía y viceversa.

También cuando se efectúa una reacción química, en la que se desprende o absorbeenergía, debe cambiar la masa de los compuestos, sólo que la energía de estasreacciones es tan pequeña comparada con la de las reacciones nucleares que el cambiode masa es despreciable.

En la relatividad, los principios de conservación de la masa y elde energía son sustituidos por un solo principio: EL PRINCIPIODE LA CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA.

62

1.5 FORMA RELATIVISTA DE LA SEGUNDA LEY DE NEWTON Y LAENERGÍA

En tus cursos anteriores de Física aprendiste que la fuerza F = ma.

Pero como la aceleración a es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo, lo cualquiere decir que podemos expresar a la fuerza como:

dtdv

m = F

Si definimos el impulso* como:

P = mv

¿Cuál será la expresión para el caso relativista?

Si recuerdas, para el caso relativista habíamos definido la masa m como:

2

20

cv

- 1

m = m

Por lo que al sustituir:

P = m v =

2

20

cv

- 1

m v

Y, ¿cuál será la expresión para la energía?

En Mecánica Clásica cuando una fuerza F actúa sobre un cuerpo de masa mproduciéndole un desplazamiento ds, entonces el trabajo está dado por:

dW = F ⋅ sd

Expresión que nos está diciendo que el trabajo no depende de la velocidad.

Recuerda que en general, la fuerza es la rapidez de cambio del impulso.

En el caso no relativista, la anterior afirmación se expresa en la siguiente forma:

dtdv

m = F

* Ver su significado en el glosario.

63

Si la partícula se mueve con velocidad v, el desplazamiento que experimenta en untiempo dt, se puede expresar como:

sd = v dt

Sustituyendo en la definición para el trabajo las dos últimas relaciones tenemos:

dW = F ⋅ sd = (dtdv

m ) ⋅ (vdt)

= (m dv) ⋅ v dtdt

dW = m(dv) ⋅ v

Integrando nos resulta:

∫dW = ∫ m v dv ⇒

W = m ∫v

0

v dv,

donde estamos tomando la velocidad inicial como 0 y la final como v, realizando laintegral del segundo miembro de la igualdad nos queda:

W = 21

m v2, que es la energía cinética.

Recuerda que:

Se dice que una partícula adquiere energía cinética, T, igual aW, como resultado de la acción de una fuerza a lo largo decierto recorrido y que la energía cinética de la partícula enmovimiento está dada por la ecuación:

T = 21

m v2

64

De acuerdo con la Teoría de la Relatividad, la energía cinética de una partícula (ocuerpo), de masa m ya no se encuentra dada por la expresión:

21

m v2.

Sino por la expresión:

2

2

2

cv

- 1

mc

Pero como el principio de la relatividad exige que el principio de conservación de laenergía sea válido, no solamente para el sistema en reposo S, sino también conrespecto a cualquier otro sistema S’, que se encuentre animado de un movimiento detraslación uniforme con respecto a S, es decir, con respecto a cualquier sistema decoordenadas galileano.

Ya antes hemos dicho que la Física prerrelativista consideraba el principio de laconservación de la energía y el principio de conservación de la masa como dosprincipios importantes. Principios que eran considerados independientes uno del otro.

Pero desde el punto de vista de la Relatividad, los anteriores principios quedan reunidosen uno solo.

¿Cómo se realiza esa unión y cómo se interpreta?

Nuevamente nos servirá de norma la transformación de Lorentz (también de lasecuaciones de Maxwell, las cuales sólo te mencionamos por estar fuera de lospropósitos de este fascículo):

Se puede establecer que un cuerpo que se mueve con velocidad v, y que absorbe unacantidad de energía E0 (que es la energía absorbida, con respecto a un sistema decoordenadas que se mueve con el cuerpo), en forma de radiación, sin que varíe suvelocidad, experimenta un incremento en su energía que está dado por:

2

20

cv

- 1

E

Es decir que la energía es:

2

2

2

cv

- 1

mc +

2

20

cv

- 1

E

65

=

2

20

2

cv

- 1

E + mc

E =

2

2

220

cv

- 1

c )cE

+ (m

Esta última expresión nos está diciendo que el cuerpo tiene la energía de un cuerpo cuya

masa es igual a: (m + 20

cE

), que se mueve con la velocidad v.

¿Qué explicación dio Einstein a la expresión para la masa (m + 20

cE

)?

Veamos la interpretación:

Einstein concluyó que si un cuerpo absorbe la energía E0, su masa inercial aumenta en

20

cE

. Lo que significa que la masa de un cuerpo no es constante, sino que varía en

proporción con la variación de su energía. Y la masa inercial de un sistema de cuerpospuede considerarse como la medida de su energía.

Lo anterior lo podemos resumir en los términos siguientes:

El término mc2, es la energía que ya poseía el cuerpo, considerado con respecto a unsistema de coordenadas que se mueve con el cuerpo, antes que absorba la energía E0.

En la Relatividad Especial, el principio de conservación de la masa deun sistema, coincide con el principio de conservación de la energía, yúnicamente es válido si el sistema no absorbe ni emite energía.

66

FÍSICA

FÍSICA CLÁSICATRANSFORMACIONES

DE GALILEO

FÍSICAMODERNA

RELATIVIDAD

- ECUACIÓN DE MAXWELL

- ÓPTICA

MECÁNICAY

ELECTRODINÁMICA

TRANSFORMACIONESDE LORENTZ

(c = cte)

- MECÁNICA CUÁNTICA

- cte DE PLANCK

- MECÁNICA ONDULATORIA

RELATIVIDADGENERAL

POSTULADOS DELA RELATIVIDAD

ESPECIAL

RELATIVIDADESPECIAL

LEYES DENEWTON

RECAPITULACIÓN

67

1. Enuncia los postulados de la relatividad especial de Einstein.

2. ¿Cuál era la finalidad del experimento de Michelson-Morley?

3. ¿Cuáles son las hipótesis en que se basaba la Física a finales del siglo XIX?

4. ¿Cuál es la relación matemática que nos explica el fenómeno de la dilatación deltiempo?

5. ¿Cuáles son las transformaciones de Lorentz para x’, y’. z’, t’?

6. ¿Cuál es la máxima velocidad existente en el universo y a cuánto equivale?

7. En relatividad, todos los fenómenos que experimentan cambios de la materia-energíacumplen con el principio de ______________________________.

8. Si un cuerpo se mueve a una velocidad cercana a la velocidad de la luz, ¿cuál es laexpresión matemática para la masa? ______________________.

9. ¿Cuál es la fórmula para obtener la energía cinética de un cuerpo que se mueve auna velocidad cercana a la velocidad de la luz?

10. ¿Es posible convertir la masa en cualquier tipo de energía? Justifica tu respuesta.

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

11. ¿Cuál es la expresión del impulso para el caso relativista?

12. Escribe las ecuaciones matemáticas para la energía cinética de un cuerpo, para elcaso no relativista y el caso relativista.

13. ¿En cuánto se acorta una varilla que se desplaza a 0.9 veces la velocidad de la luz?

____________________________________________________________________

ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIÓN

68

1. Los postulados de la relatividad especial de Einstein son:

a) En todos los sistemas inerciales que se mueven a velocidad constante unos conrespecto a otros, las leyes físicas deben tener el mismo significado (deben serexpresadas mediante ecuaciones de la misma forma).

b) La velocidad de la luz en el vacío es independiente del movimiento de su fuentey, por lo tanto, tiene el mismo valor para todos los observadores,independientemente si se mueven o no.

2. La finalidad del experimento de Michelson-Morley fue:

Detectar experimentalmente la existencia del eter.

3. Las hipótesis en que se basaba la Física a finales del siglo XIX son:

a) La validez de la Transformación de Galileo

b) La validez de las leyes de Newton

c) La validez de las ecuaciones de Maxwell

4. La relación matemática que nos explica el fenómeno de la dilatación del tiempo es:

2

2

'1

'2

cv

- 1

t - t = t =

2

20

cv

- 1

t

AUTOEVALUACIÓN

69

5. Las Transformaciones de Lorentz son:

2

2

cv

- 1

t v - x = 'x

y’ = y

z’ = z

2

2

2

cv

- 1

cxv

- 't = 't

6. La máxima velocidad existente en el universo es la de:

la luz y equivalente a 300,00 km/s

7. Respuesta:Cumplen con el principio de Equivalencia

8. La expresión matemática para la relatividad de la masa es:

2

20

cv

- 1

m = m

9. Si un cuerpo que se mueve a velocidades cercanas a la velocidad de la luz suenergía cinética está dada por:

E =

2

2

220

cv

- 1

c )cE

+ (m

10. Sí. Por el Principio General de Conservación de la Energía.

70

11. P = m v =

2

20

cv

- 1

m v

12. Ec = 21

m v2 no relativista

E =

2

2

220

cv

- 1

c )cE

+ (m relativista

13. Usando la relación:

2

2

0 cv

- 1 = LL

se sustituye v = 0.9c

es decir: v2 = (0.9c)2 = (0.9)2 (c)2

por lo tanto:

22

22

0(0.9) - 1 =

cc (0.9)

- 1 = LL

0.436 = 0.19 = 0.81 - 1 =

se acorta:

% 43.6 = 100 (0.436) = (100) LL0

71

Aberración: Es el ángulo formado entre la dirección de enfoque

Impulso: Cantidad de movimiento. Es el producto de la masa de un cuerpo por lavelocidad del mismo. P = mv

Invariancia: Cuando dos observadores colocados en los sistemas de referenciainerciales S y S’, al medir un evento ambos encuentran que la propiedad que losrepresenta está caracterizada por el mismo número en cada uno de los sistemas dereferencia inercial, entonces dicha propiedad es invariante bajo la transformación. Ante latransformación galileana, las coordenadas y, µ, t de un evento y las componentes dela velocidad y la aceleración en la dirección y son invariables; mientras que lacoordenada x de un evento y la componente Vx de la velocidad en la dirección delmovimiento relativo de los sistemas (en la dirección x) no son invariantes.

Mesón (µ): Partícula elemental inestable que se presenta en la radiación cósmica yrepresenta el cuanto más importante de las fuerzas nucleares.

GLOSARIO

72

BEISER, Arthur. Conceptos de Física Moderna. Editorial McGraw-Hill. 1970.

CONACYT. Einstein. 1986.

KATZ, Robert. Introducción al la Teoría Especial de la Relatividad. Edit. Reverté. 1974.

HEWITT, Paul G. Conceptos de Física. Editorial Limusa.

McREA, W. H. Física Relativista. Editorial UTEHA. 1976.

BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA

1

COLEGIO DE BACHILLERES

FISICA MODERNA I

FASCÍCULO 5. TEORIA DE LA RELATIVIDAD GENERAL

Autores: Francisco Javier Rodríguez Méndez

2

Colaboradores

Asesoría Pedagógica Ma. Elena Huesca del Río José Manuel López Estrada

Revisión de Contenido Salvador Godoy Salas

Diseño Editorial

COLEGIO DEBACHILLERES

3

INTRODUCCIÓN 5

PROPÓSITO 7

1. GENERALIDADES 9

1.1 PRINCIPIOS DE EQUIVALENCIA 9

1.2 VERSIÓN NEWTONIANA DE LA GRAVITACIÓN 11

1.3 VERSIÓN EINSTENIANA DE LA GRAVITACIÓN 13

1.4 CONCEPTOS DE ACELERACIÓN (LEYES DE NEWTON) 14

2. PRINCIPIOS DE MACH (INERCIA) 17

2.1 RELACIÓN ENTRE MASA INERCIAL Y MASA GRAVITACIONAL

17

3. TEORÍA DEL ESPACIO–TIEMPO–GRAVITACIÓN 21

3.1 GEODÉSICAS 21

3.2 CAMPO GRAVITACIONAL 22

3.3 ESPACIO–TIEMPO CURVO 23

3.4 MODELOS COSMOLÓGICOS (ESTRUCTURA DEL ESPACIO)

25

3.5 CURVATURA DE LA LUZ 26

3.6 MOVIMIENTO GRAVITATORIO HACIA EL ROJO 27

Í N D I C E

4

4. CONSECUENCIAS DE LA TEORÍA GENERAL DE EINSTEIN

29

RECAPITULACIÓN 32

ACTIVIDADES DE CONSOLIDACION 34

AUTOEVALUACIÓN 36

ACTIVIDADES DE GENERALIZACIÓN 38

GLOSARIO 39

BIBLIOGRAFIA CONSULTADA 41

5

Einstein fue un físico que cambió algunos de los conceptos de la Física tradicional comoes el espacio, el tiempo y la interrelación mas a como una cosa única. Antes de explicaren que consiste la teoría de la relatividad general es importante conocer susaportaciones a la Física Moderna.

En el año de 1901 Einstein publicó su primer trabajo que trata sobre el estudio de laatracción capilar, pero dicho trabajo pasó desapercibido.

Entre los años 1902 y 1903 da a conocer da a conocer a la comunidad científica dosaportaciones sobre una teoría relevante que trataba sobre “Los fundamentos estadísticosde la termodinámica”, que consistía en una nueva derivación de la mecánica estadística.

Fue hasta 1905 cuando sale a relucir el genio de Einstein en es año salieron a la luz trestrabajos: el efecto fotoeléctrico con el cual gana el premio Nóbel en 1921, cuyosprincipios contribuyen al desarrollo de la televisión, dispositivos para abrir y cerrarpuertas y sonidos de las películas.

En el segundo trabajo trata sobre el movimiento browniano que contribuye a comprobarexperimentalmente la existencia de las moléculas.

Y por ultimo su trabajo a la relatividad, la cual posteriormente se llamó relatividadespecial o restringida que describe la mecánica del mundo físico a partir de tresvariables: tiempo, espacio y masa. Posteriormente en 1916 se publicó otra que esderivada de ésta y se conoce como teoría de la relatividad general.

Lo que se pretende en este fascículo es explicar la teoría de la relatividad general sintanta complicación.

INTRODUCCIÓN

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Antes de leer el presente fascículo te recomendamos consideres las siguientespreguntas ya que con base en ellas podrás organizar tu estudio sobre la asignatura.

¿Qué voy a aprender? -- Con el estudio de este fascículo te introducirás alconocimiento de la Teoría de la Relatividad General quepropuso Albert Einstein al considerar los efectosgravitacionales

-- Identificarás las variables de las que depende la fuerzade gravedad

¿Cómo lo voy a lograr? -- A través de los principios y teorías sobre la equivalenciaentre un sistema inercial y un sistema acelerado;

-- Utilizando el concepto de gravitación (que retoma lasleyes de Newton) y el de aceleración y

-- Considerando las teorías del espacio-tiempo-gravitación.

¿Para que me va a servir? -- Para conocer fenómenos que se dan en el espacio comola curvatura de un rayo cuando pasa por un campogravitacional; la información que se puede obtener de loseclipses, o la demostración de la curvatura del universo.

-- Para comprender el comportamiento de sistemasacelerados como es el efecto que se produce sobre losobjetos dentro de un elevador; y que la distancia máscorta entre dos puntos no es una recta como estableceEuclides sino una geodésica la cual se puede demostraren la Tierra.

P R O P Ó S I T O

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1. GENERALIDADES

1.2 PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA

Uno de los pilares que se fundamente la relatividad general es el principio deequivalencia de la gravitación y la inercia, el cual menciona que las observaciones echasen un marco de referencia acelerado no puede diferenciarse de las que se hagan en uncampo gravitacional newtoniano.

Esta equivalencia no tendría importancia si sólo se aplicara a los fenómenos mecánicos,pero Einstein fue más allá y afirmó que el principio se cumple para todos los fenómenosnaturales.

Einstein se imaginó así mismo subiendo a una nave espacial la cual antes de despegarcuelga de una gran altura. No se percata que el cable se rompe y no tiene idea deldesastre ocurrido, saca de su bolsillo una pluma y sorprendido se da cuenta quepermanece suspendida en el aire esto sucede por que el objeto cae junto con la nave yEinstein con la misma aceleración lo que concuerda con la Ley de gravitación deNewton. Einstein pudo pensar que fue transportado a un campo de gravedad fuera de latierra. Si pegara un salto flotaría suavemente hacia el techo igual que les pasa a losastronautas en el espacio. Esto obedece a la ley inercial de Newton, con lo cual la navese ha convertido en un sistema inercial y Einstein que va adentro no tiene posibilidad deestablecer si está cayendo en un campo de gravedad o está flotando en le espacio.

Ahora imaginemos otra situación: Einstein sigue en la nave pero esta vez se encuentraen el espacio, los motores de la nave se activan y la nave se acelera y se desplaza“hacia arriba” y como Einstein no tiene la más remota idea de donde se encuentra, sepone a realizar experimentos para estimar su situación. Lo que primero percibe es quesus pies se aprietan contra el piso de la nave, cuando da un salto nota no flota hacia eltecho de la nave percibiendo que el suelo viene detrás de él y cuando deja caer dosbolas, una de plomo y otra de madera éstas no se mueven en dirección horizontal, sinoque caen al suelo. (Figura 1).

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Figura 1. Las dos bolas sin importar sus masas llegan al piso al mismo tiempo. Al recordar la demostración deGalileo, en la torre inclinada de pisa, Einstenio atribuye sus observaciones al la fuerza de gravitaciónLas dos demostraciones son igualmente vÁlidas y Einstenio incorporó esta equivalencia, o laimposibilidad de distinguir entre la gravitación y la aceleración, en su fundamento de la teoría generalde la relatividad.

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1.2 VERSION NEWTONIANA DE LA GRAVITACION

Uno de los logros más grandiosos de la mecánica newtoniana, fue el haber servido paradescribir correctamente el movimiento de los planetas en el sistema solar atraídos a laacción de la fuerza de gravedad. A partir de sus observaciones de los cuerpos que caen(y, como cuenta la leyenda, de la caída de la manzana), Newton propuso una teoría de lagravitación universal.

De acuerdo con ella, todos los cuerpos materiales en el universo se atraen unos a otroscon una fuerza gravitatoria. Algunas de las manifestaciones de esta fuerza gravitatoriapueden ser deducidas de las experiencias diarias. El cordón de una plomada atraídahacia la superficie del planeta por la fuerza gravitacional de la tierra será una líneavertical, esto indicará que la fuerza entre cuerpos materiales de forma esférica estáaplicada a lo largo de la línea que se uno a sus centros.

La fuerza de gravedad que existe entre cuerpos puede ser atribuida a una “carga”gravitatoria, de la misma manera que existen fuerzas eléctricas entre objetos cargadoseléctricamente. Una ojeada a la segunda ley de Newton. (1)

FUERZA = (MASA INERCIAL) X (ACELERACIÓN). . . . (1)

Muestra que para dar lugar a aceleraciones iguales bajo los efectos de la gravedad espreciso que la fuerza gravitacional sea proporcional a la masa inercial del cuerpo. Dichoen otras palabras simples, es más difícil acelerar hacia abajo un cuerpo muy pesado queotro menos pesado, pero la fuerza gravitacional que actúa es mayor en proporcióndirecta a la masa, por eso se presenta una compensación exacta. Podemos manifestareste hecho diciendo que la carga gravitacional es proporcional a la masa inercial, y estehecho demostrará ser de la mayor importancia.

Un conocimiento elemental del comportamiento de los planetas en sus recorridosestelares indica que los más distante del sol emplean más tiempo en girar en torno encomparación con los que se hallan más cercanos al mismo. En consecuencia la fuerzade la gravitación debe disminuir con la distancia.

La fuerza de la gravitación propuesta por Newton estableció que la magnitud de la fuerzade atracción F entre dos cuerpos (compactos) de masas gravitacionales m1 y m2*separados entre sí por una distancia r, está dada por la ecuación (2)

G m1 m2F= ________________________ ………(2)

r2

En donde G una constante que tiene el mismo valor para todos los cuerpos del universo,es conocida con el nombre de constante gravitacional de Newton y es la constante deproporcionalidad necesaria para convertir unidades de masa en unidades de cargagravitatoria.

* Nótese la diferencia entre masa inercial en la 2ª. Ley de Newton y la masa gravitacional en la definición de lafuerza de gravedad.

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Ejemplo:

G = Constante de gravitación universal.

Encontrar la distancia a que hay al colocar dos masas de un kilogramo cada una paraque se atraiga con una fuerza de un newton.

DATOS FORMULA

F = 1 Newton

Newton. metro2

G = 6.67 x 10-11 ________________________

Kg2

m1 = 1 Kg

m2 = 1 Kg

r = 8.2 x 10-6 m

Newton estableció una hipótesis fundamental y de gran relevancia respecto a la fuerzaexpresada por la ecuación anterior: que la fuerza actúa instantáneamente a través delespacio vacío que hay entre los dos cuerpos. Se trata, por consiguiente, de una teoría deacción instantánea a distancia. La instantaneidad es un concepto bien definido según elmodelo newtoniano del tiempo porque la noción de un “mismo tiempo” aún para puntosque estén separados por una distancia r, tiene un significado absolutamente claro. Eltiempo medido en las vecindades de cada uno de los cuerpos es el mismo tiempouniversal.

Al combinar su ley de la gravitación con su ley fundamental del movimiento, Newtonpudo predecir que la trayectoria de un planeta en torno del Sol tendría que ser elipse,pues demostró que aún los “cuerpos celestes”, como se les calificaba entonces,obedecían a leyes físicas “terrestres” que podían ser establecidas en laboratoriosterrestres. Además, esta ley restaura el principio causal en la física, y de ella sedesprenden explicaciones para otros fenómenos que en apariencia no tenían vinculaciónalguna; por ejemplo, logra explicar las mareas, el recorrido irregular de la tierra alrededordel Sol, y la precisión del eje de rotación terráqueo.

La confirmación experimental de la ley de la gravitación Newton fue tan amplia y precisaque relegó por completo su controvertida propagación instantánea a distancia.

m1 m2F = G

r2

G m1 m2r2 =

F

6.67 x 10-11 x 1kg x 1 Kg.r = kg2

1 N

N.m2

G m1 m2r =

F

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1.3 VERSIÓN EINSTENIANA DE LA GRAVITACIÓN

Así en el siglo XX Einstenio lanza al mundo científico su teoría especial de la relatividad,la cual nace con el propósito de explicar la ausencia de un sistema absoluto dereferencia. Tomando como único constante la velocidad de la luz, y aceptando elmovimiento relativo como la única referencia válida. De ésta surgen el tiempo, el espacioy la masa como funciones del movimiento; el tiempo y la masa se dilatan y el espacio secontrae para alguien en movimiento con respecto a un observador. El tiempo y elespacio se fusionan en un solo “continuo” conocido como el continuo espacio-tiempo. Encontraste con el espacio y el tiempo absolutos, que usó Newton en la derivación de susteorías, el continuo einsteniano está internamente ligado, el tiempo no existe sin elespacio. Esto quiere decir que el tiempo depende ahora del espacio y el espaciodepende del tiempo, y que ambos son distintos para dos o más personas en movimientorelativo uniforme.

La mecánica derivable de la relatividad especial es idéntica a la mecánica newtonianasólo bajo la condición de velocidades pequeñas en comparación con la velocidad de laluz.

Innumerables experimentos han confirmado la correcta formulación de la teoría especialde la relatividad, que adopta ese nombre porque su aplicación se restringe amovimientos constantes o, en otras palabras, cuando no hay aceleraciones relativas.

Con el propósito de abarcar situaciones regidas por aceleraciones uniformes, Einsteingeneralizó su teoría ordinaria creando la teoría general de la relatividad.

Su primer gran paso para concluir, por medio de un “experimento mental”, el cualconsiste en imaginar el comportamiento de varios objetos confinados en un elevador(sistema de referencia). Suponiendo que hay un pasajero junto a los objetos, si elelevador cae libremente dentro de un campo gravitacional, tanto éstos como el pasajerocaerán con la misma aceleración que la del elevador. Si el pasajero no está enterado deque va en caída libre, pensará que está en una zona del universo donde todas lasfuerzas gravitacionales se cancelan. Por lo tanto, las leyes de la física, como seconocen, se aplicarán sin mayor problema al comportamiento mismo de los objetos. Unsistema de referencia en caída libre dentro de un campo gravitacional es equivalente aotro sistema localizado en una región del universo libre de influencias gravitatorias. Esteexperimento mental, conocido como “principio de equivalencia”, está sujeto en laactualidad a dos interpretaciones:

- La primera se conoce como el “principio fuerte de la equivalencia” y afirma que lasleyes ordinarias de la física como se observan localmente en un laboratorio en caídalibre, son independientes de la posición que tenga el laboratorio con relación al tiempoy al espacio.

- La segunda interpretación se conoce como “el principio débil de la equivalencia” yestablece que la aceleración gravitacional de cualquier objeto es independiente de sucomposición material.

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Cualquiera de las dos interpretaciones conduce a una misma formulación geométrica degravitación. Por ejemplo, el principio fuerza de equivalencia se infiere que la masainercial de un cuerpo es igual a su masa gravitacional.

Por masa inercial se entiende la utilizada en las leyes de la mecánica newtoniana, pormasa gravitacional, la que reacciona a las atracciones gravitacionales.

Que la masa inercial sea igual a su masa gravitacional significa que la energía asociadaa un campo gravitacional induce efectos de atracción gravitatoria, al igual que la materia,en virtud de la equivalencia entre masa y energía, según los resultados de la relatividadespecial. De manera similar, el hecho de que todo objeto dentro de un campogravitacional tenga una aceleración de caída libre que es independiente a su masa,como lo supone el principio débil de la equivalencia, significa que tal aceleración es unpropiedad del campo mismo. Si se considera el continuo espacio-tiempo como unespacio geométrico de cuatro dimensiones, entonces las trayectorias naturales quesiguen los objetos se adoptan como líneas geométricas.

1.4 CONCEPTO DE ACELERACIÓN (LEYES DE NEWTON)

La aceleración es el cambio de la velocidad con respecto al tiempo. Si la velocidadaumenta la aceleración es positiva, si la velocidad disminuye la aceleración es negativa.

La aceleración debida a la gravedad es el problema más importante al que se aplican lasecuaciones del movimiento con aceleración constante y es el de caída libre de loscuerpos. Experimentalmente se encuentra que, en ausencia del aire, todos los objetossituados en un mismo lugar caen a la tierra con la misma aceleración. La aceleraciónestá dirigida, naturalmente hacia abajo. El valor de esta aceleración varía ligeramentecon su posición geográfica, pero su valor es aproximadamente de 9.8 m/seg2. Serepresentan por g.

Leyes de Newton

1. Un cuerpo permanecerá en estado de reposo o de movimiento rectilíneo yuniforme a menos que esté sometido a la aceleración de una fuerza neta externa.

2. Cuando actúa una fuerza no balanceada sobre un cuerpo, éste se acelerará.(Figura 2)

F = ma …(1)

3. Ley de la acción y la reacción.

Cuando un objeto A ejerce una fuerza sobre otro objeto B, el objeto B ejerce otra fuerzaigual y opuesta sobre A.

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Como recordarás:

1. En la mecánica clásica, todos los sistemas inerciales son equivalentes, bajo lastransformaciones de Galileo

2. En la relatividad general, locamente los sistemas acelerados son equivalentes a lossistemas en campos gravitacionales.

3. En la relatividad especial todos los sistemas inerciales son equivalentes bajo lastransformaciones de Lorentz.

Dentro todo lo anterior podemos observar la importancia de la aceleración no solamentedesde el punto de vista del cambio de velocidad de un objeto material en un campogravitacional como lo establecieron experimentalmente Newton y Galileo sino tambiéncuando la aceleración actúa fuera de dicho campo tal como lo hace Einstein. La reflexiónsobre este hecho relevante nos hace ver el significado que en su momento le dieronGalileo, Newton y Einstein a la aceleración.

Fig.2. El movimiento circular es acelerado. La tierra se mueve en torno al Sol con velocidad constante enuna órbita casi circular. Pero la dirección de la velocidad de la tierra cambia continuamente,Cuando está en A, la tierra se está moviendo hacia el punto B pero la curvatura de la órbita sedesvía hacia el punto C. La dirección del movimiento cambia hacia el Sol a lo largo de BC. Estecambio en la velocidad, es decir, la aceleración es causado por la fuerza gravitacional del Sol,puesto que atrae a la tierra en la dirección BC (flecha doble). No hay ninguna fuerza que actúe enla dirección de la velocidad orbital (fechas sencillas).

Orb

ita te

rrest

re

SOL

B

A

C

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m3

kg seg2

EJEMPLO:

Encontrar la fuerza de atracción gravitacional entre un protón y un electrón en el átomode hidrógeno si la distancia media que los separa es 5.3 x 10-11 m

DATOS

mp = 1.67 x 10-27 Kg

me = 9.11 x 10-31 Kg

r = 5.3 X 10-11

mp = masa protónme = masa electrón

RESOLUCIÓN

6.667 x 10-11 (1.67 x 10-27 kg) ( 9.11 x 10-31 kg)F = _______________________________________________________

( 5.3 x 10-11 m)

F = 3.6 x 10-47 N

1. ¿Experimentará un astronauta alguna aceleración respecto a la nave? Justifica tu

respuesta ___________________________________________________________

___________________________________________________________________

2. Un elevador que cae libremente sería un marco tal para una persona que esté en

interior ¿Por qué? ____________________________________________________

___________________________________________________________________

3. Aplicando la ley de la gravitación universal, encuentra la aceleración con que caentodos los cuerpos colocados sobre una superficie terrestre. Los datos de masa yradio de la tierra son respectivamente: 5.98 x 1024 kg y 6.37 x 106 m y la constantede proporcionalidad o constante de la gravitación universal su valor depende delsistema de unidades que se use, y en S.I.U. que estamos empleando vale6.67 x 1011 m3/ kg seg2.

FÓRMULAmp me

F = G r2

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

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2. PRINCIPIO DE MACH (INERCIA)

El principio de Mach se ocupa de la inercia y su idea básica es la siguiente:Consideremos un cuerpo rotatorio. Podemos medir su rotación en dos formasindependientes:

1. De un modo local absoluto, midiendo las tensiones en ese cuerpo requeridas paraevitar que las partes externas se desprendan.

2. Con relación a la materia distante (las “estrellas fijas”) ¿Cómo es que concuerdanestas dos nociones de rotación? La idea de Mach era que acaso la materia distanteen el universo determina efectos inerciales, como la rotación. Por lo tanto, si alguienacelerase de algún modo la materia distante en el universo, ello afectaría nuestrasdeterminaciones locales de la no aceleración y de la no rotación. Si no existieraninguna materia en el resto del universo, no habrían cosas tales como la inercia o larotación.

Einstein estuvo de acuerdo con la idea básica del principio de Mach. Empero, las ideasde Mach no tienen ninguna expresión en la relatividad especial, donde la estructura delespacio-tiempo no es afectada por la materia que éste presente. En consecuenciaEinstein fue seducido a buscar una nueva teoría en la cual los efectos de la gravitaciónse expresaran en función de la estructura del espacio-tiempo (principio de equivalencia),y la estructura del espacio-tiempo se determinase por la materia presente en el espacio-tiempo (principio de Mach). Su logro a este respecto fue probablemente el más grandelogro aislado ocurrido hasta hoy en la física teórica.

Es muy relevante que, aunque algunas de las ideas de Mach se reflejan en la teoríaeinsteniana de la relatividad general, no es cierto entonces que la relatividad general,incorpore plenamente todas ellas. Puede decirse, en la relatividad general, que elmovimiento de la materia distante afecta a ciertas propiedades inerciales locales, pero noque las fije completamente. En particular, la rotación siempre puede determinarselocalmente aun cuando no hay materia distante.

2.1 RELACION ENTRE MASA INERCIAL Y MASA GRAVITACIONAL

Que en un punto A de espacio existe un campo eléctrico significa sencillamente que, alcolocar allí un cuerpo cargado, éste experimentará una fuerza cuyo valor depende de lacarga. Si el cuerpo está descargado, no actuará fuerza eléctrica alguna. Si está cargado,la fuerza será proporcionalmente mayor en cuanto mayor sea su carga. La fuerza, a suvez, imprimirá al cuerpo una aceleración, cuyo valor dependerá de la masa del cuerpo.Es importante percibir que quien decide el valor de la fuerza es la carga, mientras que elvalor de la aceleración depende de la masa

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Un cuerpo de gran masa, poco cargado, aumentará su velocidad muylentamente; en cambio, un pequeño cuerpo muy cargado lo hará con granvelocidad. En otras palabras, la mas y la carga eléctrica de un cuerpo sonindependientes.

Admitamos que una pared de nuestra habitación está eléctricamente cargada y que, porlo tanto, atrae a una esfera colocada sobre el piso y cargada con electricidad de signoopuesto. Podemos obtener comportamientos muy diversos de las esferas, modificandosu masa y su carga. Una esfera descargada permanece inmóvil, no importa cuál se sumasa. Una pequeña esfera, muy cargada, es atraída hacia la pared con granaceleración. Una gran esfera, apenas cargada, se acerca a la pared aumentando casiimperceptiblemente su velocidad; lleva muy poca aceleración. Las distintasaceleraciones de estas esferas tienen su origen en la independencia existente entre lamasa y la carga eléctrica de los cuerpos. Supongamos, sin embargo, que un buen díaalguien decide jugarnos una broma y prepara una serie de esferas de distinto tamaño,cargándolas adecuadamente de tal modo que se muevan hacia la pared con la mismaaceleración. Ahora si, nos parece, debe existir alguna relación entre masa y carga. Siuna esfera de gran masa es atraída por la pared con igual aceleración que otra masapequeña, significa que la fuerza atractiva sobre la masa grande es mayor sobre lapequeña; lo cual se logra cargando más a una esfera grande. Una esfera de 10kilogramos de masa requiere diez veces más fuerza para alcanzar la misma aceleraciónque una esfera de un kilogramo. Entonces, a la esfera cuya masa es 10 veces mayor,habrá que entregarle diez veces más carga eléctrica. Hemos descubierto la “receta”empleada por el bromista para lograr que las aceleraciones de las esferas sean iguales:le ha dado a cada una de ellas una carga que es proporcional a su masa.

Consideremos ahora el caso gravitatorio. La “pared cargada” es la Tierra; las “esferas”,cuerpos cualesquiera en proximidades de la superficie terrestre. Se le puede asignar acada cuerpo una “carga gravitatoria” a la que los físicos llaman masa gravitatoria. Todocuerpo tiene, pues, dos clase de “masa”: una de ellas la masa inercial (que hemosconsiderado hasta ahora), mide el grado de inercia de un cuerpo, es decir, la resistenciaa ponerse en movimiento si se halla en reposo; la otra, masa gravitatoria, mide lacapacidad del cuerpo de ser influido en mayor o menor medida por un campogravitatorio. A dos metros del suelo, un ladrillo es atraído por la Tierra con mayor fuerzaque un corcho (el ladrillo pesa más); en otras palabras, el campo gravitacional allí ejercemás influencia sobre el ladrillo que sobre el corcho. Vemos aquí que la masa gravitatoriadesempeña, en el estudio de la gravitación, el mismo papel que la carga eléctrica en elcaso electrostático.

¿Son independientes la masa inercial y la masa gravitatoria? ¡De ningún modo! Adiferencia del caso eléctrico, en el caso gravitatorio todos los cuerpos caen con la mismaaceleración. No fue la comprobación del viejo Galileo, si se desdeña la influenciaperturbadora del rozamiento con el aire. Pero sus experimentos de caída libre puedenser vistos ahora bajo una nueva luz, pues prueban que la más inercial y la gravitatoriason proporcionales. Comparemos la caída de una esfera de madera y la de una esferade plomo. La de plomo tiene masa inercial diez veces mayor, pero está sometida a unafuerza (peso) diez veces mayor, y por eso ambas caen con igual aceleración. Si la esferade plomo es atraída con una fuerza diez veces mayor, se debe precisamente a que sumasa gravitatoria es diez veces mayor que la de la esfera de madera.

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En suma, la relación que guardan las masas inerciales de dos cuerpos es lamisma que guardan sus masas gravitatorias: dichas cantidades sonproporcionales.

De hecho, por una elección adecuada de las unidades de medición, ambas masapueden ser identificadas y consideradas iguales para el mismo cuerpo.

La proporcionalidad entre ambas masa fue interpretada por la física clásica como unsingular “coincidencia”. No derivada de ningún supuesto de la mecánica newtoniana. Enrealidad, parecería obra de un bromista, como aquel que cargaba previamente lasesferas para que se moviera hacia la pared con igual aceleración .Fue Einstein quiensospechó por primera vez que es “coincidencia” ocultaba, en realidad, una clave esencialpara su proyecto de generalización del principio de la relatividad a todo sistema.Pensemos nuevamente en la plataforma giratoria analizada por Newton y Mach. Elobservador de la plataforma comprueba que los cuerpos son intervenidos por fuerzas“centrífugas”, a las que puede, según Mach identificar como gravitatorias si consideraque la plataforma está en reposo. ¿Es posible distinguir entre ambas situaciones? Lafuerza centrífuga, detectada por un observador no inercial cuyo sistema rota en respectoa un Sistema Inercial, depende de la masa inercial del cuerpo sobre el que se presenta.Una fuerza gravitacional en cambio, depende de la masa gravitatoria del cuerpo. Siambas masas fuesen independientes (como la masa inercial y la carga eléctrica) seríasuficiente un simple experimento, realizado por el observador de la plataforma, paradecidir entre las dos posibilidades. Al poner en un mismo punto de la plataforma cuerposde igual masa inercial pero distinta masa gravitatoria, la fuerza medida sobre ellos seríaigual si la plataforma girase, pero distinta si existiese un campo gravitatorio.

En el primer caso, se observaría sobre todos los cuerpos una misma aceleración; en elsegundo, cada cuerpo tendría una aceleración distinta. Las situaciones no seríanequivalentes. Algo parecido ocurriría con un vagón que se haya en reposo sobre las víasy que de pronto se pone en movimiento. Un pasajero que se haya dentro del vagón,herméticamente cerrado, puede atribuir a algunas de estas causas el brusco tirón que loha arrojado hacia atrás:

a) El vagón ha sido acelerado con respecto a un sistema inercial.

b) Fuera del vagón se ha manifestado sorpresivamente una gran masa gravitatoria.

Nuevamente, si las masas inerciales y gravitatorias no fueses iguales, un simpleexperimento permitiría al pasajero decidir cuál de esas dos situaciones es la quecorresponde. Einstein, comprendió que la igualdad de ambas masa era una simpleconsecuencia de la incertidumbre de escoger entre las hipótesis anteriores.

Si un sistema acelerado con respecto a un SI (Sistema Internacional) es equivalente a uncampo gravitacional, las masa inercial y gravitatoria de un cuerpo deben ser iguales.

Cuando un astronauta está bajo la acción de la aceleración de gravedad terrestremanifiesta un cierto peso (g = 9.8 m/s2) y cuando se encuentra fuera del influjo de lafuerza de gravedad (g = 0) entonces deja de ser atraída y flota o tiende a flotar en lanave.

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La ecuación que establece esto es w = mg

Siendo w = pesom = masag = aceleración de la gravedad

1. ¿Qué relación existe entre masa inercial y mas gravitacional?

2. ¿Cuándo pesa y cuándo no pesa un astronauta durante un viaje espacial?

3. Un cuerpo tiene una masa de 2 Kg. mientras otro tiene una masa de 5 Kg. ¿Cuáltiene mayor inercia y por qué?

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

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3. TEORIA DEL ESPACIO-TIEMPO-GRAVITACION

3.1 GEODÉSICAS

Una Geodésica es una línea que se curva tan poco como sea posible. En la esfera, a lasgeodésicas se les llama también círculos máximos; el ecuador es un ejemplo del círculomáximo. Es posible demostrar que el caminos más corto para unir dos puntoscualesquiera debe ser una geodésica, así pues, resulta económico para las líneasaéreas seguir rutas por círculos máximos (geodésicas) entre las ciudades. Lasgeodésicas se pueden definir en el espacio-tiempo como líneas, en el propio espacio-tiempo, que se curvan lo mínimo posible.

Las geodésicas en el espacio-tiempo se clasifican como espaciales, nulas (lumínicas) otemporales.

El significado físico de cada uno de estos tipos de geodésicas es el siguiente:

Si dos observadores inerciales que están en reposo, uno respecto del otro, estiran unacuerda entre ambos, la configuración de la cuerda sobre una superficie de simultaneidad(según la determinan esos observadores inerciales) será una geodésica espacial. Lasgeodésicas nulas y las geodésicas temporales tienen una significación mucho másdirecta. La trayectoria de un rayo luminoso en el espacio-tiempo se describe medianteuna geodésica nula. Los observadores inerciales son precisamente los observadoresque hacen que se muevan las geodésicas temporales de la métrica espacio temporal. Enotras palabras, el movimiento más directo posible de un observador en el espacio-tiempoes el movimiento no acelerado (inercial). El hecho que los movimientos de observadoresinerciales se identifiquen con geodésicas temporales de la métrica del espacio-tiempodesempeña un papel muy importante en la formulación de la relatividad general. Asícomo el camino más corto entre dos puntos sobre una esfera en una geodésica, en elespacio-tiempo la ruta con el tiempo transcurrido más largo entre dos eventosrelacionados temporalmente es una geodésica temporal.

En la geometría euclidiana, las geodésicas inicialmente paralelas permanecen siempreparalelas, es decir, las líneas rectas paralelas nunca se encuentran, ni se apartan una deotra. Se describe esta situación diciendo que la geometría euclidiana es plana. Por otraparte, geodésicas inicialmente paralelas sobre la esfera empiezan a converger entre sí yfinalmente se cruzan. Decimos, por consiguiente, que la geometría de la esfera es curva.Según este criterio, ¿es la geometría del espacio-tiempo plana o curva?.

Como se mencionó anteriormente, las geodésicas temporales en el espacio-tiempo sonsimplemente las trayectorias de observadores inerciales. Dos geodésicas temporales,inicialmente paralelas, corresponden a dos observadores inerciales que inicialmenteestán en reposo (velocidad cero) cada uno respecto al otro. En la relatividad especial, losobservadores inerciales que se hallan inicialmente en reposo permanecen siempre enreposo uno con respecto al otro, es decir, conservan una separación espacial constante.En consecuencia, las geodésicas temporales inicialmente paralelas permanecen siempreparalelas. Es fácil demostrar que el otro tanto debe ocurrir con las geodésicas nulas ycon las espaciales. Por lo tanto, en la relatividad especial la geometría del espacio-tiempo es plana.

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En cuanto a la relatividad general, la presencia de un campo gravitatorio serefleja en el hecho de que las geodésicas –inicialmente paralelas– de la métricade espacio-tiempo, no se mantiene paralelas. En otros términos, el espacio-tiempo es curvo

Si se observa el papel doble de la métrica del espacio-tiempo en relatividad general:

a) Tal como en la relatividad especial, la métrica contiene toda la informaciónacerca de la relación espacio-temporal de los eventos.

b) La misma describe completamente el campo gravitatorio al especificar, pormedio de sus geodésicas temporales, el movimiento de todos sus observadoresque caen libremente.

Así pues, la descripción de la gravitación está íntimamente vinculada a las propiedadesdel espacio y del tiempo en cuanto éstas son descritas mediante una sola cantidad: lamétrica del espacio-tiempo. La presencia de un campo gravitatorio corresponde a lacurvatura de la geometría del espacio-tiempo.

3.2 CAMPO GRAVITACIONALGeneralmente, a la pregunta de: “ ¿por qué cae a la tierra una piedra que elevamos acierta altura y luego la soltamos?”: se contesta: ”Por qué es atraída por la tierra”. La físicamoderna formula una contestación un tanto diferente, por la siguiente razón. Mediante unestudio más preciso de los procesos electromagnéticos, se ha llegado a la concepción deque no existen acciones directas a distancia. Por ejemplo, si un imán atrae a un trozo defierro, no debemos contenernos con la concepción de que el imán actúa directamentesobre el fierro, a través del espacio vacío que los separa, sino que, de acuerdo conFaraday, debemos imaginarnos que el imán produce siempre, en el espacio que lorodea, algo físicamente real a lo que se denomina “campo magnético”. Ese campomagnético actúa, a su vez, sobre el trozo de fierro, de tal suerte que este tiende amoverse hacia el imán. De un modo análogo es como se conciben los efectos de lagravitación.

La acción de la tierra sobre la piedra se realiza de una manera indirecta. La tierraengendra a su alrededor un campo gravitatorio, que actúa sobre la piedra y causa sumovimiento de caída. Como es sabido por la experiencia, la intensidad de esta accióndisminuye de acuerdo con una ley bien determinada, a medida que el cuerpo seencuentra más alejado de la tierra. Esto significa, según nuestra concepción, que la leyque gobierna las propiedades espaciales del campo gravitatorio debe estar muy biendeterminada para representar con exactitud la disminución de la fuerza de gravitación,cuando aumenta la distancia del cuerpo. Podemos imaginarnos, aproximadamente, queel cuerpo (por ejemplo, la tierra) engendra directamente el campo en su vecindadinmediata; a mayor distancia, la intensidad y el sentido del campo se encuentrandeterminados por la ley que rige las propiedades espaciales de los propios camposgravitacionales.

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El campo gravitatorio, a diferencia de los campos eléctricos y de los magnéticos, muestrauna propiedad sumamente notable, que es de importancia fundamental. Los cuerpos quese mueven bajo la influencia exclusiva del campo gravitatorio sufren una aceleración queno depende, en modo alguno, de la materia, ni del estado físico del cuerpo. Un trozo deplomo y un trozo de madera, por ejemplo, caen justamente con la misma velocidaddentro del campo gravitatorio (en el vacío), ya sea que se dejen caer con la mismavelocidad inicial o con velocidades iniciales diferentes. Esta ley rigurosamente válida sepuede formular también de otra manera, en virtud de la siguiente consideración.

De acuerdo con la ley del movimiento de Newton, tenemos que:

(fuerza) = (masa inercial) x (aceleración),... (1)

En donde la “masa inercial” es una constante característica del cuerpo acelerado. Ahorabien, si la gravitación es la causa de la aceleración, por otra parte resulta que:

(fuerza) = (masa gravitatoria) x (intensidad del campo gravitatorio) …(2)

En donde la “masa gravitatoria” es igualmente una constante característica del cuerpo.De esas dos relaciones se obtiene:

(aceleración) = (masa gravitacional) x intensidad del campo gravitatorio …(3) (masa inercial)

Pues bien, si, como lo demuestra la experiencia, la aceleración producida por un ciertocampo gravitatorio es siempre la misma, independientemente de la naturaleza y elestado del cuerpo, entonces la relación entre la masa gravitatoria y la masa inercial debeser también la misma para todos los cuerpos. Por lo tanto, eligiendo convenientementelas unidades, se puede hacer que dicha relación sea igual, a la unidad, obteniéndoseentonces el enunciado siguiente: La masa gravitatoria de un cuerpo es igual a su masainercial.

Aun cuando es cierto que la mecánica ya había registrado ese enunciado, también escierto que no lo había interpretado. Solamente se puede llegar a establecer unainterpretación satisfactoria mediante el reconocimiento de este hecho: una y la mismapropiedad del cuerpo se manifiesta, según las circunstancias, ya sea como “masainercial”, o bien, como masa gravitacional. Anteriormente se manejó la igualdad entredichas masas.

3.3 ESPACIO−TIEMPO CURVO

Ecuación de Einstein: “Curvatura del espacio−tiempo” = densidad energética de la materia

24

Hay que describir el campo gravitatorio en función de la geometría curva del espacio-tiempo. Para completar la especificación de la teoría falta especificar qué geometríaespacio-temporal (es decir campo gravitatorio) está asociada a una determinadaconfiguración de la materia. Einstein lo hizo al postular una ecuación que, en esenciadice:

“Curvatura del espacio−tiempo” = densidad energética de la materia.

Einstein, de este modo, nos proveyó de una teoría de la gravitación verdaderamentenotable y hermosa. Los efectos de la gravitación se expresan plenamente desde el puntode vista de la estructura y, de conformidad con algunas de las ideas de Mach, a laestructura del espacio-tiempo, a ésta se le relaciona con la distribución de la materiamediante la ecuación de Einstein.

Esta descripción de la ecuación de Einstein tiene algo de simplificación, y debe hacersealgunas advertencias. En primer lugar, el lado izquierdo de la ecuación no es la curvaturatotal del espacio-tiempo, sino sólo una parte de ésta. Por lo tanto, fuera de la distribuciónde la materia (donde el lado derecho de la ecuación de Einstein será cero) el espacio-tiempo será en general todavía curvo, es decir, estará presente un campo gravitatorio.Además, la radiación gravitatoria ondulaciones en la curvatura que se propagan por todoel espacio-tiempo puede existir. Enseguida, el lado derecho contiene contribuciones deotras propiedades de la materia además de la densidad de energía. En particular laspresiones y las tensiones contribuyen a la curvatura del espacio-tiempo de la relatividadgeneral.

Si no hay materia presente, el lado de la ecuación de Einstein desaparece y una solasolución, perfectamente válida, es la geometría espacio-temporal plana de la relatividadespecial. (Sin embargo, existen también muchas otras soluciones que describenposiblemente campos gravitatorios exteriores de cuerpos, ondas gravitatorias, etc.) Eneste sentido, la relatividad general incluye a la relatividad especial como un casoparticular.

En nuestra descripción de la relatividad general se postuló que los cuerpos que caenlibremente, siguen las geodésicas de la métrica del espacio-tiempo. Resulta, noobstante, que como se descubrió más de diez años después de la formulación de larelatividad general la proporciona la ecuación de Einstein determina realmente elmovimiento de la materia en el espacio-tiempo. La hipótesis geodésica se deriva enverdad como una consecuencia de la ecuación de Einstenio y no tiene que postularsepor separado

Debe mencionarse, por último, que en la práctica ha resultado muy difícil obtenersoluciones exactas de la ecuación de Einstein. Por fortuna se conocen muchassoluciones de gran interés para la física (por ejemplo, soluciones que describen losagujeros negros) y se han investigado detalladamente la propiedades de estos espacios-tiempos. Pero el estudio de que posibles estructuras del espacio-tiempo se permiten enla relatividad general, continúa obstaculizando por nuestra incapacidad general pararesolver la ecuación de Einstein.

25

3.4 MODELOS COSMOLÓGICOS (ESTRUCTURA DEL ESPACIO)De acuerdo con la teoría de la relatividad generalizada, las propiedades geométricas delespacio, no son independientes, sino que están condicionadas por la materia. Por lotanto, solamente se puede afirmar algo acerca de la estructura geométrica del universo,cuando se supone conocido el estado de la materia. Sabemos por experiencia que, paraun sistema de coordenadas elegido convenientemente, las velocidades de las estrellasson pequeñas en comparación con la velocidad de propagación de la luz. Porconsiguiente, podemos conocer, en una primera aproximación, la estructura del universoen su conjunto, considerando a la materia como si estuviera en reposo.

Ya sabemos, por nuestras reflexiones anteriores, que el comportamiento de las reglas demedir y de los relojes es influido por los campos gravitatorios, es decir, por la distribuciónde la materia. De lo cual se desprende que, en nuestro universo, no se puede hablar quenuestro universo se distinga poco de un universo euclidiano; y esta concepción estodavía más probable por el hecho de que el cálculo nos muestra que, incluso las masade la magnitud de nuestro sol, solamente ejercen una influencia mínima sobre la métricadel espacio que las rodea. Podríamos considerar que nuestro universo se comporta,desde el punto de vista geométrico, como una superficie encorvada irregularmente ensus detalles, pero que, en su conjunto, no se distingue apreciablemente de unasuperficie plana; como ocurre, por ejemplo, con la superficie de un lago ondulada por lasolas pequeñas. Podríamos decir adecuadamente que se trata de un universo cuasi-euclidiano. Espacialmente, este universo sería infinito. Sin embargo, el cálculo nosmuestra que, un mundo cuasi-euclidiano, la densidad media de la materia sería nulo. Porlo tanto, semejante universo no podría estar poblado por todas partes como materia.

En cambio si en el universo la densidad media de la materia difiere de cero, aunque seamuy poco, entonces el universo no es cuasi-euclidiano. Por lo contrario, el cálculo nosmuestra que, si la materia se encuentra distribuida uniformemente, entonces el universodebe ser necesariamente esférico (o elíptico). Pero, como en la realidad la materia seencuentra distribuida irregularmente en detalle, entonces el universo se aparta en eldetalle de la forma esférica, siendo cuasi-esférico. No obstante, el universo seránecesariamente finito. La teoría suministra inclusive una relación simple entre laextensión espacial del universo y la densidad media de la materia que lo constituye.

p x2R2 = . . . .(4)

Para el “radio” R del universo, se obtiene la ecuación:

Utilizando el sistema c.g.s., tenemos:x2 = 1.08 x 1027; p es la densidad media de la

materia.

Fig. 3

R1

R1

R2

S

26

La verificación de ese importante resultado, se la debemos a la Astronomical RoyalSociety. Dicha sociedad, sin detenerse por la guerra, ni por las dificultades de ordenpsicológico suscitadas por ella, envío a varios de sus astrónomos más descartados(Eddington, Crommelin, Davidson) y organizó dos expediciones que tomaron fotografíasdurante el eclipse total de sol que se produjo el 29 de mayo de 1919, en Sobral, (Brasil) yen la Isla Príncipe (África Occidental). Las desviación entones que se habían previstoentre las fotografías tomadas durante el eclipse de Sol y las fotografías de comparacióneran solamente de unos cuantos centésimos de milímetro. Por lo tanto, eranextraordinarias las exigencias que se requerían tanto en la precisión de las fotografíascomo en su medición.

El resultado de las observaciones confirmó las previsiones de la teoría de un maneracompletamente satisfactoria. En la tabla siguiente tenemos componentes rectangularesde las desviaciones de las estrellas, tanto las observadas como las calculadas, medidasen segundos de arco.

Primera coordenada Segunda coordenadaNúmero de la

estrella Desviaciónobservada

Desviacióncalculada

Desviaciónobservada

Desviacióncalculada

115436102

-0.19-0.29-0.11-0.20-0.10-0.08+0.95

-0.22-0.31-0.10-0.12-0.04+0.09+0.85

+0.16-0.46+0.83+1.00+0.57+0.35-0.27

+0.02+0.43+0.74+0.87+0.40+0.32-0.09

3.5 LA CURVATURA DE LA LUZ(1)

“De acuerdo con la teoría de la relatividad generalizada, un rayo luminoso, al pasar porun campo gravitatorio, debe sufrir una encorvadura a la que experimenta la trayectoriade un cuerpo lanzado a través de un campo gravitatorio. Conforme a la teoría, un rayoluminoso que pasa cerca de un cuerpo celeste es desviado hacia dicho cuerpo; el ángulode desviación ∝ para un rayo luminoso que pasa a una distancia del sol igual a ∆ radiosde éste es:

∆=α

arco de segundos 7.1 . . . . (5)

(1) ALBERT EINSTEIN. La relatividad. Editorial Grigalbo (1960)

27

Debemos agregar que, de acuerdo con la teoría, la mitad de esa desviación es producidapor el campo de atracción (newtoniana) de Sol, y la otra mitad por la modificacióngeométrica (“curvatura”) del espacio, producida por el Sol.

Ese resultado permite hacer una verificación experimental, por medio de fotografías delas estrella tomadas durante un eclipse total de Sol. Es necesario esperar a que seproduzca un eclipse, por que en cualquier otro momento, la atmósfera está iluminada tanintensamente por la luz del Sol, que las estrellas vecinas son invisibles. En la figura 3 semuestra claramente cuál es el efecto esperado. Si no estuviese presente el Sol S, sepodría ver una estrella que estuviera prácticamente a una distancia infinita, en ladirección R1. Pero, en virtud de la desviación producida por el Sol, la estrella se ve en ladirección R2, es decir, a una distancia del centro del Sol, un poco mayor de la quecorresponde a la realidad.

En la práctica , la verificación se realiza del modo siguiente. En el momento en que el Soles eclipsado totalmente, se toman fotografías de las estrellas que se encuentran en suvecindad. Además, se toma una segunda fotografía de las mismas estrellas, cuando elSol se encuentra en otra posición en el cielo (es decir, unos meses antes o después deleclipse). Las imágenes de las estrellas en las fotografías tomadas durante el eclipse deSol deben tener un desplazamiento radical hacia el exterior (alejándose del centro delSol), con respecto a sus imágenes en las fotografías de comparación, en una magnitudcorrespondiente al ángulo ∝.

3.6 EL MOVIMIENTO GRAVITATORIO HACIA EL ROJO

Supongamos que un observador 01 envía dos señales, con intervalo ∆ t1 entre éstas, yque el observador 02 recibe esas señales. En el espacio-tiempo curvo –o a un espacio-tiempo plano si hay movimiento relativo entre 01 y 02 – no existe razón por la cual elintervalo de tiempo ∆t2 entre la recepción de las señales por 02 deba ser igual a ∆ t1. portanto, en particular, si 01 emite luz en la frecuencia V1, 02 observará, en general, que lafrecuencia − de aquella es V2 ≠ V1. Si 01 y 02 están “en reposo”, y V2 ≠ V1, −este efecto seconoce como el desplazamiento gravitatorio hacia el rojo. Se puede demostrar que la luzemitida en una región de intensa atracción gravitatoria será vista por un observadordistante con una frecuencia más baja.

No es difícil ver, en verdad, que el desplazamiento gravitatorio hacia el rojo debe ocurrirsi se conserva la energía. La teoría de los quanta nos dice que la energía, E, de un fotón(es decir, la luz) es proporcional a su frecuencia, E = hV, donde h es la constante dePlanck. Si la frecuencia de la luz permaneciera invariable al abandonar una región defuerte atracción gravitatoria, su energía no decrecería. Podríamos entonces convertir laenergía de los fotones en un rayo de luz para conservar la energía de la masa ydisminuir de nuevo la masa en la región del campo fuerte, utilizando la atraccióngravitatoria para operar. Si ahora convertimos nuevamente los fotones la restanteenergía de la masa, habremos vuelto a la misma configuración con la que empezamos,pero se habría ganado energía en el proceso de reducir la masa. Por lo tanto, la fórmulacuántica E = hV, junto con la conservación de la energía, requiere la existencia delfenómeno del desplazamiento gravitatorio hacia el rojo predicho por la relatividadgeneral. Este efecto ha sido confirmado exactamente mediante la experimentación.

28

1. ¿A qué se le llama línea geodésica? Y ¿cómo demuestras que existen?

2. ¿Por qué es necesario que el Sol se encuentra eclipsado al medir la defección de lasestrellas cercanas?.

ACTIVIDAD DE REGULACIÓN

29

4. CONSECUENCIAS DE LA TEORIA GENERAL DE EINSTEIN

La verificación de la teoría general de Einstein ofrece dificultades en grado mucho mayorque la especial, ya que los efectos que predice desviaciones con respecto a la teoríaNewtoniana obligan a emplear una técnica experimental u observacional altamenteperfeccionada. “Toda especulación”, escribe Einstein, “tiene que ser controlada por laexperiencia, y la más hermosa de las teorías tiene que ser rechazada si no se ajusta alos hechos”.

La teoría de Newton es excelente aproximación a la de Einstein (válida en caso defuerzas gravitacionales débiles) y por ello las discrepancias son relativamente pequeñas.Sin embargo, ellas han sido detectadas y avalan la teoría relativista.

De la leyes de la mecánica clásica se infiere una descripción cinemática del movimientoplanetario que asigna a cada planeta una trayectoria elíptica (cerrada). Tal descripciónno coincide exactamente con la que deriva de la Relatividad Generalizada, ya que éstaprevee órbitas elípticas que al mismo tiempo rotan lentamente alrededor del Sol,resultando así una trayectoria semejante a una roseta. Es decir que el punto de la elipsemás cercana al Sol (perihelio) sufre un desplazamiento gradual a medida quetranscurren los años planetarios. Ahora bien, las fuerzas gravitatorias entre el Sol y losplanetas son débiles, y por ello el desplazamiento del perihelio predicho por Einstein esprácticamente inobservable, salvo en el caso de planeta más interior: Mercurio. Laatracción gravitatoria, por su proximidad al Sol, es lo suficientemente elevada como paraque el valor teórico resulte significativo 42.9” por siglo. Según ello la elipse de Mercuriodescribiría una vuelta alrededor del Sol en ¡tres millones de años! En realidad, el efectoya era conocido desde los tiempos de Leverrier (mediados del siglo pasado) sin quenadie hubiera podido hallar una explicación razonable del mismo. El valor medio era42.5´´. Actualmente se ha logrado constatar el desplazamiento del perihelio de Marte, dela Tierra y de Venus (1960).

Sol

∝Fig 4

M

30

Ya en 1911 Einstein solicitaba de los astrónomos que prestasen atención a la posibilidadde detectar la reflexión de los rayos luminosos por efectos de la gravitación. Laoportunidad podría ser propicia durante un eclipse de Sol; si realmente se produce taldesviación al pasar cerca del disco solar un rayo proveniente de unas estrella, la imagende ésta en una placa fotográfica debe mostrar un ligero desplazamiento con respecto ala posición habitual (cuando el disco solar no se encuentra allí). Poco antes de finalizadala primera guerra mundial, fueron enviadas dos expediciones de científicos británicos aSobral (Brasil) y Guinea con el objeto de fotografiar un eclipse total de Sol, el fenómenoera particularmente adecuado para verificar el “efecto Einstein”, ya que el disco solar,oscurecido, se vería proyectado sobre la constelación de Hayas, un grupo de estrellasmuy brillantes.

La concordancia de la desviación observada con la predicción de Einstein resultónotable, y los resultados fueron expuestos por el director del proyecto, Arthur Edington,ante los miembros de la Real Sociedad de Londres a fines de 1919.

Una tercera consecuencia verificable de los supuestos de la relatividad Generalizada serefiere a la posibilidad de detectar la influencia de la gravitación sobre la marcha de losrelojes. Tal cosa es particularmente difícil porque el efecto sólo admitiría ser comprobadobajo campos gravitatorios muy intensos. La relatividad predice que una persona quehabitara en la planta baja de un gran edificio de departamentos envejecería máslentamente que otra instalada en el piso más alto, ya que en la superficie terrestre lagravitación es ligeramente mayor. No hay esperanzas de detectar la diferencia conrelojes disponibles: en diez años, estima George Gamow, la persona de la planta bajahabrá envejecido unas millonésimas de segundo menos que la otra. Tampoco podemosllevar reloj hasta el Sol o una estrella, para cotejar su marcha con la de otro ubicado enla tierra. Sin embargo, como ya hemos dicho, disponemos de relojes muy precisosdistribuidos en los cuerpos celestes: los átomos. Cuando se quema un trozo de clorurode sodio en la llama de un mechero, el color amarillo intenso que se observa indica lapresencia de átomos de sodio que emiten dicha luz. Al pasar ésta a través de un prisma,se obtendrá un espectro cuya línea amarrilla revela inequívocamente la presencia delelemento sodio en sustancia luminosa. La longitud de onda de la luz amarrilla del sodioestá vinculada con la frecuencia con que vibran los átomos de ese elemento, o sea con

Sol

Figura 5

Posición real de laestrella

Posición aparentede la estrella

Tierra

31

el número de oscilaciones que efectúan por un segundo. Un átomo es capaz de emitirsolamente ondas luminosas de frecuencias bien definidas; un atraso en el “ritmo” devibración de los átomos se traducirá en una disminución de dichas frecuencias.

Por lo tanto, las líneas correspondientes del espectro sufrirán un corrimiento en elsentido violeta-rojo del espectro. (El color rojo es el mínima frecuencia en el espectrovisible). En resumen, deberá compararse la posición de las líneas del espectro de unelemento, obtenido en un laboratorio terrestre, con las del mismo elemento en elespectro de la luz solar o de una estrella cualquiera. Dichas líneas, si la mayorgravitación del astro incide sobre el “ritmo” de vibración de los átomos, mostrarán undesplazamiento hacia el rojo, tanto mayor cuanto mayor sea el campo gravitatorio.

El efecto ha sido verificado de modo bastante concluyente durante el estudio de losespectros emitidos por ciertas estrellas muy particulares, las enanas blancas, quepresentan una densidad asombrosa; la de algunas de ellas es tal, que una cuchara demateria pesaría en la Tierra unas 100 toneladas.

Ante un campo gravitatorio de tanta intensidad, el corrimiento hacia el rojo previsto por larelatividad generalizada es considerable y las observaciones realizadas no sóloconfirman su existencia sino que se ajustan razonablemente a las previsiones teóricas.

En la actualidad se dispone de medios experimentales para revelar el “enrojecimiento”de las líneas en laboratorios terrestres por efectos de las variaciones de la gravitación enproximidades de nuestro planeta. Experiencias realizadas con rayos gamma lanzadoshacia abajo desde lo alto de una torre, por aplicaciones del llamado efecto Mössbauer,permitieron verificar en 1960 con excelente precisión el corrimiento relativista.

32

La relevancia del presente fascículo fue el hecho de mostrar en la forma más fácil yamena posible, la teoría de la Relatividad General. La Relatividad General es la teoríaque Einstein propuso para considerar los efectos gravitacionales que la RelatividadEspecial no describía.

Para considera la vigencia de estas ideas podemos adoptar al menos dos puntos devista diferentes y complementarios:

− Uno es la relación de estas teorías con el mundo físico, es decir, su comprobaciónexperimental,

− El otro es la relevancia de estas ideas para la formulación de otras teorías, ya seaque éstas incluyan o no las interacciones gravitacionales descritas por la RelatividadGeneral.

La evidencia experimental que se ha acumulado hasta la fecha para confirmarcuantitativamente las predicciones de la relatividad puede en su forma más somera,clasificarse en evidencia directa e indirecta. La equivalencia entre las masas y la energíaha sido confirmado en múltiples observaciones como son, por ejemplo, la fusión nucleary los experimentos con aceleradores. Otros experimentos que ha servido para confirmarlas predicciones de la teoría son la observación en la presesión del perihelio de Mercurio,el fenómeno de corrimiento al rojo que ha sido verificado con extrema precisiónutilizando el efecto Mossbauer, y el fenómeno de las desviación de la luz por camposgravitacionales que ha sido confirmado en observaciones durante eclipses.

En cuanto a la evidencia indirecta, uno de los más notables descubrimientos recientes hasido el de las observaciones astrofísicas relativas a un par de pulsares que parecen laemisión de ondas gravitacionales predichas por la teoría.

La influencia de las ideas mencionadas con anterioridad en la elaboración de teoríasfísicas es enorme. Mencionamos a continuación algunos de los aspectos teóricos en losque se trabaja activamente en la actualidad y que están íntimamente relacionados conlas ideas de Einstein. Algunas de las extensiones de la teoría de la gravitación deEinstein con las llamadas teorías gravitacionales con torsión. Estas teorías, además deconsiderar la curvatura del espacio-tiempo como producida por las masasgravitacionales, toman en cuenta otros aspecto de la geometría del espacio-tiempo quees el de la torsión, producida o ligada a la rotación de estos cuerpos (spin).

RECAPITULACIÓN

33

La llamada teoría de súper gravedad es otra teoría que contiene a la de Einstein ypretende lograr una unificación de las interacciones gravitacionales con otro tipo deinteracciones.

Es esencialmente del estilo de la de Einstein, pero a ella se han agregado otros camposcuyas propiedades matemáticas son más complejas que las de los camposgravitacionales.

Existen teorías que, en esencia contiene la misma idea manifiesta, pero están referidas aotra clase de transformaciones asociadas con diversos tipos de simetrías. Dentro de estetipo de teorías se está tratando de obtener una unificación de la descripción de lasinteracciones conocidas hasta el momento, o sea, interacciones gravitacionales, débiles,electromagnéticas y nucleares o interacciones fuertes. En este rubro se ha conseguidoun gran éxito recientemente, al construirse una teoría unificada de interaccioneselectromagnéticas débiles.

Existe en el programa de muchos investigadores el problema de unificar interaccionesfuertes electromagnéticas y débiles (llamado proyecto de gran unificación o el proyectode súper unificación), que reúne a los cuatro tipos de interacciones. Una teoría de estetipo, de lograrse constituiría la culminación del sueño de Einstein de entender en formaúnica todos los tipos de interacciones conocidas hasta el momento.

Las teorías son, en última instancia, una aproximación a algunos tópicos delcomportamiento de la naturaleza y, por tanto, el hecho de que existan teorías queabarquen otros aspectos de este comportamiento no considerado en la RelatividadGeneral no resta importancia a esta teoría. En efecto, cualquier teoría que pretendaexplicar otros fenómenos además de la gravitación deberá, en algún límite, reducirse a lateoría de la Relatividad General, cuya explicación de la naturaleza, en lo que a losfenómenos gravitatorios se refiere, es muy satisfactoria.

Por otro lado, no es posible hablar de una unificación teórica sin incluir en esteformalismo la otra teoría fundamental del siglo XX: la teoría cuántica.

34

1 ¿Dónde pesa más una persona?

a) En la luna

b) En la Tierra

c) En Júpiter

¿Por qué?___________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

2 ¿Flotará libremente un astronauta durante todo el viaje o únicamente cuando lasfuerzas de atracción se igualan?

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

3 Si se da la masa y el radio de un planeta X ¿Cómo se calcularía la aceleración de lagravedad sobre la superficie de ese planeta?___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

4 A un cuerpo de 15 kg de masa situado sobre el piso se le aplica una fuerzahorizontal de 40 Newtons. ¿Qué aceleración se le produce si la fuerza de fricciónentre el cuerpo y el piso es de 10 Newtons?___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIÓN

35

5 Si pudiera cavar un túnel hasta el centro de la Tierra ¿Piensas que la fuerza queactúa sobre una masa m todavía obedecería a la ecuación:

6 Encontrar cuál es el valor de la aceleración de la gravedad lunar en la superficie dedicho cuerpo celeste, sabiendo que la mas de la luna es m = 7.34 x 1022 kilogramos yel radio de superficie r = 1.74 x 10 6 m.

7 Una persona en un elevador observa que su peso se reduce a la mitad. ¿Estarásubiendo o bajando?

8 ¿A qué se debe que un rayo de luz se desvíe cuando pasa cerca de la superficie delSol?

9 ¿Qué es el corrimiento hacia el rojo?

10 De todos los planetas ¿ por qué es Mercurio el mejor candidato para hallar laevidencia de la relación de la gravitación en el espacio?.

11 Aplicando la ley de la gravitación universal, encuentra la aceleración con que caentodos los cuerpos colocados sobre la superficie terrestre. Los datos de masa y radiode la Tierra son respectivamente: 5.98 x 1024 kg y 6.37 x 106 m; y la constante deproporcionalidad o constante de gravitación universal su valor depende del sistema

de unidades que se use, y en el S.I.U. que estamos empleando vale 2

311

seg kgm 10 x 67.6 .

m1 m2F = G

r2

36

Las respuestas siguientes son las que debiste dar a las preguntas anteriores. Sonsimilares a las tuyas felicidades, de no ser así, repasa los contenidos correspondientes yubica dónde estuvo la falla.

1. b) Una persona pesará más un planeta o cuerpo que tenga mayor masa. Por lo tantopesará más en Júpiter, menos en la Tierra y mucho menos aún, en al Luna.

2. Flotará únicamente en ausencia de campos de atracción de gravitacional.

3. A partir de la ecuación g =

4. Ft2 = Fn2 + Fv2

FT = Fn2 + Fv2 = (40 N2) + (10 N)2 = 1600 N2 + 100 N2

1700 N2 = 41.23 N

F = ma FT = 41.23 N

a = = N = 2.75

5. La ecuación 2

21

rm m

GF = ya no sería valida por que la fuerza en ese punto es cero.

La fuerza sería nula, pues al estar en el centro de la Tierra ya no hay atracción.

AUTOEVALUACIÓN

GxR2

Fm

41.2315 kg

mS2

37

m3

kg seg2

6. 26

222

311

2 )m10 x 74.1(

)kg10x34.7( )seg kgm10 x 67.6(

r

Gm a

−

==

a = 1.62 2

3

segm

7. El elevador está bajando y es por eso que un a balanza registrará un disminución enel peso de una persona.

8. Esto se debe a que la luz tiene masa y por ese motivo se desvía al acercarse a uncampo gravitacional, curvándose ligeramente.

9. El corrimiento hacia el rojo es la longitud de onda que experimenta la luz de unaestrella que se está alejando de nosotros.

10. Mercurio es el planeta más cercano al Sol, es pequeño y se desplaza a granvelocidad en una órbita elíptica irregular debido a la distorsión a su alrededor delespacio-tiempo como consecuencia de la intensidad del campo gravitacional del Sol.Por esta razón la órbita elíptica sufre una desviación de 43 segundos de arco porsiglo.

11. a = = g

g = aceleración de la gravedad (9.8 ) valor constante

( 6.67 x 10-11 ) ( 5.98 x 1024 kg)g = ________________________________________ = 9.8

( 6.37 x 106 m)2

G mR2

ms2

ms2

38

1. lee el libro de Einstein (Relatividad Fácil) por Javier Cobo T. Producción EditorialDante, S.A. pag. 95 a la 159. Coméntalo con tus compañeros.

2. Visita la “SALA UNIVERSUM” que se encuentra en el Museo Universum en CiudadUniversitaria.

3. Visita el Planetario “Luis Enrique Erro”. Localizado en la Unidad profesionalZacatenco del IPN.

4. Lee los periódicos y colecciona artículos donde se den a conocer los problemasactuales que se traten temas relacionados con la Teoría de la Relatividad General.

ACTIVIDADES DE GENERALIZACIÓN

39

Espacio. Está constituido por tres dimensiones, también se le denomina coordenadasespaciales las cuales son latitud (o anchura), longitud(o largo) y altitud (o altura).

Marco de referencia. Sistema de coordenadas que especifica la posición de un puntoen el espacio y en el tiempo.

Aceleración. Ritmo al que cambia la velocidad de un objeto.

Gravitación. Cambio en la “curvatura” normal del espacio–tiempo ocasionada por lapresencia de cuerpos materiales.

Inercia. Oposición o resistencia al cambio de movimiento o reposo de un cuerpo.

Masa. Cantidad de materia de un cuerpo, su inercia o resistencia a la aceleración.

Peso. La fuerza ejercida sobre un cuerpo por un campo gravitacional. Es proporcionalpero no igual a su masa.

Geodésica. Distancia más corta entre dos puntos.

Segundo–luz (Año luz). Distancia recorrida por la luz en un segundo (o en un año).

Relatividad General. Teoría de Einstein basada en la idea de que las leyes de la cienciadeben ser las mismas para todos los observadores, no importa como se está moviendo.Explica la fuerza de la gravedad en términos de la curvatura de un espacio–tiempo decuatro dimensiones.

Espacio–tiempo. El espacio de cuatro dimensiones, tres formadas por las coordenadasespaciales y la cuarta es el tiempo, cuyos puntos son los sucesos.

Desplazamiento hacia el rojo. Enrojecimiento de la luz de una estrella que se estáalejando de nosotros, debido al efecto Doppler.

Cosmología. Estudio del universo como un todo.

G L O S A R I O

40

Constante cosmológica. Recurso matemático empleado por Einstein para dar alespacio–tiempo una tendencia inherente al expandirse.

Campo. Algo que existe a través de todo el tiempo y el espacio en oposición a unapartícula que existe en un solo punto en un instante.

Principio de equivalencia. Las observaciones locales hechas en un marco dereferencia acelerado, no pueden distinguirse de las observaciones hechas en un campogravitacional newtoniano.

Constante de gravitación universal. Denotada por G la cual tiene el siguiente valor6.67 x 10−11 m3/kg seg2 = 6.67 x 10−11 N m2/kg2. La aceleración de la gravedad =constante denotada por (g) tiene un valor de 9.8 m/seg2 que es diferente a G (constantede gravitación universal).

41

M.WALD ROBERT. Espacio, tiempo y gravitación. Fondo de Cultura Económica.

MENDEL SACHS. El concepto de Tiempo en Física y Cosmología. Ciencia y Desarrollo.Julio-Agosto (1978) No. 21. pag. 102-110.

L. BARNET. El Universo y el Doctor Einstein. Fondo de Cultura Económica.

P.C.W. DAVIES. El Espacio y el Tiempo en el Universo Contemporáneo. Fondo deCultura Económica.

EINSTEIN ALBERT. El Significado de la Relatividad. Editorial Planeta.

JERZY F. PLEBAÑSKI. ALBERT EINSTEIN. Reflexiones en el Centenario de sunacimiento. Ciencia y Desarrollo. Marzo-Abril (1979) No. 25 pag. 5

FELIZ. OYARZABAL. VELASCO. Lecciones de Física. C.E.C.S.A. (1972).

BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA