diagramas de bode de magnitud y...

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Diagramas de Bode de magnitud y faseDiagramas de Bode de magnitud y fase de una constante

Dada la función circuital F(j~) = K, podemos expresarla en la forma:

( ) 0F jK eK e

KK

0>

<

0j

j~ =r

)

La magnitud en decibelios es FdB(~) = 20 log K . El diagrama de Bode de magnitud consiste de una recta horizontal que puede estar por encima del eje de frecuencias, sobre el eje de frecuencias o por debajo del mismo, dependiendo de K .

Si K < 1, la recta está por debajo.Si K > 1, la recta está por encima.

En cuanto a la fase, el diagrama de Bode correspondiente es una recta horizontal que es igual a cero si K > 0 y es igual a r si K < 0.

Diagramas de Bode de magnitud y fase de un derivador

Un circuito derivador presenta una función de transferencia de la forma ( ) .F s sp~

= En adelante se hará el siguiente cambio de variable ,S s

p~= con lo cual obtenemos el derivador normalizado F(S) = S; si hacemos la sustitución S = jX, obtene-

mos:

( ) .F j j j e 2jX X X= =r

La magnitud en decibelios de la función está dada por ( ) 20 .logFdB X X= El diagrama de Bode de magnitud es una recta que pasa por la frecuencia característica y tiene una pendiente de 20 decibelios por década. La figura 1 ilustra el diagrama de Bode de magnitud para un derivador.

En cuanto a la fase, el diagrama de Bode será la recta horizontal ( ) .2~r

H =

40

20

0

-40

-20

~00.01 ~0 ~0

0.1 ~010 ~0100

(~)FdB

Figura 1


Diagramas de Bode de magnitud y fase de un circuito integrador

Un circuito integrador se caracteriza por la función de transferencia ( ) ,F s sp~

=

( ) .F S S1=

Puede mostrarse que la magnitud de la función en decibelios está dada por:

( ) 20 .logFdBp

~~~=- ` j

Claramente se observa que el diagrama correspondiente es una recta que pasa por y tiene una pendiente de -20 decibelios por década.

Es pertinente anotar que el integrador es el inverso multiplicativo del derivador y, en consecuencia, el diagrama de Bode del integrador es el inverso aditivo del diagrama de Bode del derivador.

En cuanto a la fase, el diagrama de Bode correspondiente es la recta horizontal ( ) .2~r

H =- La figura 2 muestra el diagra-ma de Bode de magnitud para el integrador.

40

20

0

-40

-20

~00.01 ~0 ~0

0.1 ~010 ~0100

(~)FdB

Figura 2

Diagrama de Bode de magnitud de una función lineal

Una función circuital lineal presenta la forma ( ) 1 ( ) 1 .F s s F S Sp&

~= + = + Al efectuar la sustitución S = X, se obtiene

F = (jX) = 1 + jX.

La magnitud en decibelios está dada por ( ) 10 .logF 1dB2X X= +6 @

Para representar el diagrama de Bode correspondiente es necesario dibujar dos asíntotas y el punto de la gráfica correspon-diente a la frecuencia característica, el cual denominaremos como la “corrección”.

Las asíntotas del diagrama de Bode de magnitud son las rectas que se obtienen para frecuencias por debajo y por encima de la frecuencia característica, así:

1. Para frecuencias menores que ~p, obtenemos FdB(Ω < 1) = 0.2. Para frecuencias mayores que ~p, obtenemos FdB(Ω > 1) = 20 log (Ω).3. Para la frecuencia ~p, obtenemos FdB(Ω = 1) =3.


La figura 3 ilustra el diagrama de Bode asintótico de magnitud para la función lineal.

La fase de la función lineal está dada por ( ) ( ) .tanaX XH =

Para dibujar el diagrama de Bode de fase es necesario trazar tres asíntotas, las cuales se deducen al analizar la expresión matemática, así:

i. En el intervalo 0 < ~ < 0.1~p, la fase es prácticamente cero y en consecuencia obtenemos la asíntota ( ) .0XH =

ii. En el intervalo 0.1 ~p < ~ < 10 ~p, la fase es prácticamente lineal en escala logarítmica, así: ( ) ( ) .log4 4r r

X XH = + Se puede notar que (0.1 ) 0p~H = y (10 ) .2p~

rH =

iii.En el intervalo ~ > 10~p, la fase es prácticamente de noventa grados, esto es, la asíntota es la recta horizontal ( ) .2XH = r

La figura 4 ilustra el diagrama asintótico de fase de la función.

40

20

0

-40

-20

~00.01 ~0 ~0

0.1 ~010 ~0100

(~)FdB

Figura 3

~00.01 ~0 ~0

0.1 ~010 ~0100

r

r/4H(~)

0

Figura 4


Diagramas de Bode de magnitud y fase para el inverso multiplicativo de una función lineal

En este caso la función de transferencia es de la forma F(S) = (1+S)-1.

El estudiante puede verificar que:

1. Para frecuencias menores que ~p, obtenemos FdB(~ < ~p) = 0.2. Para frecuencias mayores que ~p, obtenemos FdB(~ < ~p) = -20 log (X). 3. Para la frecuencia ~p, obtenemos FdB(~ = ~p) = -3.

Observe que la figura 5 correspondiente es el inverso aditivo del diagrama de Bode de magnitud de la función lineal. La figura 6 muestra el correspondiente diagrama de Bode asintótico de fase.

40

20

0

-40

-20

~00.01 ~0 ~0

0.1 ~010 ~0100

(~)FdB

Figura 5

~00.01 ~0 ~0

0.1 ~010 ~0100

-r/2

-r/4H(~)

0

Figura 6

Diagramas de Bode de magnitud y fase para una función cuadrática

Una función cuadrática presenta la forma:

F(S) = 1+2zS + S2.

La cantidad z es el coeficiente de amortiguamiento y es responsable de la corrección del diagrama de Bode. Al efectuar la sustitución S = jΩ, se encuentra que la función circuital se puede expresar como:

F(j~) = 1 - Ω2 + j(2zΩ).


Consecuentemente, la magnitud y la fase estan dadas por:

( ) 10 ( ) ( ) ,( ) .

logtan

zz

f 1 2

12a

2 2 2

2

dB X X X

H XXX

= - +

=-

6

;

@

E

Al igual que en el caso lineal, el diagrama de Bode de magnitud presenta dos asíntotas y una corrección a la frecuencia característica, así:

1. Para frecuencias menores que ~p, obtenemos FdB(~ < ~p) = 0. 2. Para frecuencias mayores que ~p, obtenemos FdB(~ > ~p) = 40 log (Ω).3. Para la frecuencia ~p, obtenemos FdB(~ = ~p) = 20 log (2z).

La corrección estará por encima del eje de frecuencias si se verifica que 1.z2 > La corrección estará por debajo del eje de frecuencias si se verifica que 1.z2 <

La figura 7 ilustra el diagrama de Bode asintótico de magnitud correspondiente a la función cuadrática.

Para hacer la gráfica corregida a la frecuencia ~p, es conveniente usar un paquete graficador. La figura 8 ilustra el diagrama de Bode para dos valores del coeficiente de amortiguamiento, usando el paquete Mathcad. La línea punteada corresponde a z = 1 y la línea sólida corresponde a z = 0.1.

En cuanto al diagrama de Bode de fase, se procede de manera similar a la función lineal. Si hacemos el cambio de variable

p~~

X = , tenemos: ( ) .tan z

12a 2XXX

H =-

c m Primero calculamos las tres asíntotas del diagrama, así:

1. En el intervalo 0 < ~ < 0.1~p, la asíntota es H(X) = 0.2. En el intervalo ~ > 10~p, la asíntota es H(X) = r.3. En el intervalo 0.1~p < ~ < 10~p , la asíntota es ( ) ( ) .log2 2

r rX XH = +

En la figura 9 se ilustra el diagrama asintótico de fase para la función cuadrática.

80

40

0

-80

-40

~00.01 ~0 ~0

0.1 ~010 ~0100

(~)FdB

Figura 7


806040

20

-200

-400.01 0.1 1 10 100

Figura 8

~00.01 ~0 ~0

0.1 ~010 ~0100

r

r/2H(~)

0

Figura 9

Supongamos que el coeficiente de amortiguamiento es mayor que la unidad; en tal caso, la función está dada por: ( ) 1 2 .F s z s s 2

p p~ ~= + + ` j

Si hacemos el cambio de variable ,S sp~

= se tiene F(S) = 1 + 2zS + S2. Si z $ 1, la función se puede expresar como el producto de dos funciones lineales, así:

( ) (1 ) (1 ),F s aS aS= + + donde .a a

S z2+ =

La fase de la función será la suma de las fases individuales, así:

( ) ( ) .tan tana aa aX XX

H = + c m Se hizo la sustitución S = jX. El valor de a está dado por z z 1a 2= + - ; en consecuencia, para z $ 1 la expresión matemática para la fase es:

( ) .tan tanz z z z1 1a a2 2X X XH = + - + - -^ ^h h

Evidentemente la fase es una función continua para todos los valores de la variable.

Teniendo en cuenta la identidad trigonométrica ( ) ( )( ) ( )tan tan tan

tan tan1a b

a b

a b+ =

-

+^ h , se puede escribir:


( ) .tan tana a z1 1

2a a2 2XX

XX

XX

H =-

+=

-> ;H E

Se puede concluir que la expresión de arriba es continua en X = 1, al menos para z $ 1.

Veremos que si z < 1, la función deberá ser continua.

Supongamos ahora que el coeficiente de amortiguamiento es menor que la unidad z < 1. En este caso podemos expresar la función circuital en la forma:

F(s) = 1 + 2zS + S2 = 1 + 2zS + z2S2 + (1 - z2)S2 = (1 + zS)2 + (1 - z2)S2.

En forma factorizada, queda (1 ) (1 ) .zS j z S zS j z S1 12 2+ + - + - - Haciendo el cambio de variable S = jX , resulta:

( ) (1 ) (1 ) .F j z jz z jz1 12 2X X X X X= - + + - +

La fase correspondiente está dada por:

( ) .tan tanz

zz

z1 1 1 1a a2 2X

X

X

X

XH =

- -+

+ -c cm m

A partir de la expresión anterior se llega al mismo resultado que se obtuvo para z > 1. Para evitarnos un doble trabajo en la gráfica de la fase, usaremos la siguiente expresión que es válida para cualquier valor de z:

( )1

1

tan

tan

z

z1

2

12

a

a

2

2 2

#

rX

XX

X

XX

XH =

-

+-

c

c

m

m

Z

[

\

]]

]]

La figura 10 muestra el diagrama corregido de fase para dos valores del coeficiente de amortiguamiento, usando el mismo paquete. La línea punteada corresponde a z = 1 y la línea sólida corresponde a z = 0.1.

0

0.79

1.57

2.36

3.14

0.01 0.1 0.1 10 100Figura 10

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