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Números Reales y Notación Científica

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La astronomía ha sido, desde hace mucho tiempo, la fuente de numerosos avances científicos. Desde las Leyes

de Kepler a las Leyes de Newton que dieron lugar a la invención del cálculo diferencial e integral. Este material

toma como base el conocimiento astronómico para abordar el tema de los números reales y la notación

científica.

Contenido Introducción. ............................................................................................................................................................3

La unidad de medida: Unidad Astronómica (U. A.) ..............................................................................................3

¿Qué dice la Ley de Bode?........................................................................................................................................3

Comprobación de la Ley de Bode. ........................................................................................................................4

Predicciones de la Ley de Bode. ...........................................................................................................................5

Notación científica....................................................................................................................................................5

Cantidades muy grandes en notación científica...................................................................................................6

Cantidades muy pequeñas en notación científica................................................................................................7

La nanotecnología y sus aplicaciones. ......................................................................................................................8

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Leyes

científicas.

Las leyes científicas son

afirmaciones que se

caracterizan porque pueden

ser verificadas en la

realidad.

Se considera que una ley

científica es válida mientras

no se encuentre evidencia

en contra.

Las leyes de la ciencia,

constantemente se someten

a prueba mediante la

observación de hechos

naturales o experimentos

diseñados especialmente

para confirmar o refutar su

validez.

Una de las leyes científicas

más conocidas por las

personas es la ecuación de

equivalencia masa – energía

de Albert Einstein:

E = mc2

También son conocidas las

leyes de Newton sobre el

movimiento de los cuerpos y

la ley de la gravitación

universal.

Introducción. El nombre correcto de esta ley, tal vez debería ser:

Ley de Titius – Bode

Con base en la información que se muestra a la izquierda acerca de las

características de una teoría científica, consulta la historia de la Ley de

Bode y escribe un ensayo de 600 palabras acerca del tema.

La unidad de medida: Unidad Astronómica (U. A.) Con la finalidad de facilitar el manejo de distancias astronómicas se

emplea, en lugar del metro o kilómetro, la U. A.

El valor de esta unidad de medida es la distancia de la tierra al sol. Puesto

que la órbita de la tierra alrededor del sol es elíptica, la distancia no es

constante, por lo que se toma el promedio, y es igual a: 149’675,000 Km.

¿Qué dice la Ley de Bode? Esta “ley”, predice a qué distancia del sol se encuentran los planetas

expresadas en unidades astronómicas. El procedimiento para determinar

estas distancias es relativamente sencillo:

1. Se genera una sucesión de números que empieza en cero, tres, seis, …

y luego se van duplicando los números:

0, 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384,…

2. Este es el valor de n en la fórmula:

+ 4 𝑑 = 10

3. Se sustituyen los valores de n en la fórmula y se obtiene:

𝑑 = + 4

= 4

= 0.410 10

Según la Ley de Bode, el planeta más cercano al sol debe encontrase a 0.4

U. A. del sol.

Calcula las distancias de los demás planetas aplicando la misma fórmula y

anota los resultados en la siguiente línea:

0.4,




_______________________________________________

_______________________________________________

_______________________________________________

_______________________________________________

_______________________________________________

_______________________________________________

Comprobación de la Ley de Bode. Pero, esta Ley de Bode, ¿realmente funciona?

En la siguiente tabla se encuentran las distancias de cada uno de los planetas, al sol. Convierte las distancias a

unidades astronómicas y compara los resultados de la fórmula de Bode con las distancias reales.

Nombre del

planeta

Distancia al sol en km

Distancia al sol en U.A.

Predicción de la

Ley de Bode

Mercurio 57’910,000 0.39 0.4

Venus 108’200,000 0.72 0.7

Tierra 149’675,000 1.00 1.0

Marte 227’940,000 1.52 1.6

¿?

Júpiter 778’330,000 5.20 5.2

Saturno 1,429’400,000 9.54 10.0

Urano 2,870’990,000 19.19 19.6

Neptuno 4,504’300,000 30.07 38.8

Plutón 5,913’520,000 39.46 77.2

Escribe, en el siguiente espacio, tu opinión acerca de la Ley de Bode. Argumenta tu respuesta.

Pienso que debería ser llamada con el nombre Ley de Bode – Titius, ya que el alemán Johann Bode, tomo su ley ya elaborada Por su compatriota conocido como Titius Quien fue el encargado de desarrollar la Fórmula para calcular distancias a cada Planeta a partir del sol, él también se Baso a estudios de los antepasados.




Predicciones de la Ley de Bode. Cuando se publicó esta ley, el planeta Urano no se había descubierto, de modo que cuando se descubre y su

distancia al sol coincide con la predicción de Bode, esta ley ganó cierta notoriedad.

Lo mismo podemos decir del espacio en blanco identificado con signos de interrogación entre Marte y Júpiter.

Según Bode, ahí debería existir un planeta; posteriormente se confirmó que tenía razón, aproximadamente a

esa distancia se encuentran los asteroides que, según ciertas teorías, son los restos de un paneta que fue

destruido.

Por otro lado, la predicción “falla” con Neptuno, que parece ser una anomalía, y Plutón se encuentra a la

distancia “correcta”.

¿Qué explicaciones existen acerca de los aciertos de Bode? Yo pienso que, según la teoría de Bode, son muy aproximadas las distancias, por ejemplo en El caso del planeta que esta entre Marte y Júpiter, si existe un pequeño planeta y si hubo Algún error en los datos con Neptuno es aceptable ya que la teoría se aproximaba bastante.

Notación científica. El uso de la unidad astronómica fue una forma de facilitar el manejo de distancias muy grandes, sin embargo,

actualmente contamos con una mejor herramienta: la notación científica.

Por ejemplo; uno de los prefijos empleados en el sistema internacional de unidades es Tera, que significa

billones, 5.8 Terámetros son 5.8 billones de metros. Este es el nombre correcto que se da a esta unidad de

medida, sin embargo, actualmente se prefiere expresar como 5.8x1012 metros.

También las calculadoras, cuando se obtiene un resultado muy grande, lo expresan en notación científica. Es

muy útil, solamente debemos aprender a interpretar esta notación mediante una sencilla regla: Si el exponente

del 10 es positivo, significa que debemos recorrer el punto decimal hacia la derecha tantos lugares como

indique la potencia del diez, y si es negativo, entonces el punto se recorre hacia la izquierda.

Ejemplos:

1.5x1015 significa recorrer el punto decimal 15 lugares hacia la derecha, rellenando con

ceros los lugares que se van generando: 1,500’000,000’000,000

15 lugares hacia la derecha desde

donde estaba originalmente.

3.1x10-12 significa recorrer el punto decimal 12 lugares hacia la izquierda, rellenando

con ceros los lugares que se van generando: 0.000 000 000 0031

12 lugares hacia la izquierda desde

donde estaba originalmente.




Cantidades muy grandes en notación científica. Vamos a practicar la notación científica realizando algunas operaciones relacionadas con la velocidad de la luz.

¿Sabes lo que es un año luz? Se le llama así a la distancia que recorre la luz en un año. Si la velocidad de la luz

en el vacío es de: 299,792.458 Km/s determina las siguientes distancias:

Distancia que recorre la luz en un segundo: 299,792.48 Km.

Distancia que recorre la luz en un minuto: 17,987,547.48 Km.

Distancia que recorre la luz en una hora: 1,079,252,849 Km.

Distancia que recorre la luz en un día: 2.590206837x10^10 Km.

Distancia que recorre la luz en un año: 6.216496409x10^11 Km.

Seguramente algunos de estos resultados fueron presentados por la calculadora empleando notación

Científica. El último resultado es la equivalencia, en kilómetros, de un año luz. Consulta el valor exacto y explica

por qué existe diferencia con el valor que calculamos. La calculadora muestra este valor con notación científica debido a que se muestra en su límite y

El número es demasiado grande. Y el valor exacto es 9454255649280 Km, base a XL Precision.

¿A cuántas unidades astronómicas equivale un año luz? 63066.66667

¿Qué prefijo del sistema internacional de unidades conviene emplear para expresar la equivalencia de un año

luz en metros? Parámetros

¿A qué distancia se encuentra la estrella más cercana a la tierra (después del sol)? Anota esta distancia en

kilómetros empleando la notación normal y la notación científica. Después, convierte a unidades astronómicas

y finalmente utiliza el prefijo más adecuado para expresar la distancia en metros:

Distancia en kilómetros, notación común: 43,000,000,000,000 Km

Distancia en kilómetros, notación científica: 43x10^13 Km

Distancia en unidades astronómicas: 287289.1264 UA

Distancia en metros con el prefijo adecuado: 42 Hexametros

El factorial de un número es el resultado de multiplicar todos los enteros hasta el número indicado, por

ejemplo, el factorial de 5 es: 1×2×3×4×5 = 120. Utiliza tu calculadora para obtener los siguientes factoriales:

20! = 2.432902008x10^18

30! = 2.652528598x10^32

40! = 8.159152832x10^47

50! = 3.04140932x10^64

¿Cuál es el máximo factorial que puedes obtener con una calculadora científica? Anótalo en seguida:

69! 1.711224534x10^98___________________________________________




Esta factorial máxima que, generalmente puede obtenerse en una calculadora científica, es muy cercano al

valor de un número llamado Gúgol o Googol. Consulta el significado y el valor de estos números, anótalos y

escribe un comentario sobre el tema en las líneas siguientes: Un gùgol es 10^100, es aproximadamente igual al factorial de 70 y sus factores primos son 2 y 5 En el sistema binario ocuparía 333 bits. Un gùgol es mayor a la cantidad de átomos que hay en el Universo, sin embargo con la invención de las computadoras y algoritmos rápidos, el cálculo de Números del tamaño de un gùgol se ha convertido en rutina.

Cantidades muy pequeñas en notación científica. El átomo más ligero, el de hidrógeno, tiene un diámetro de aproximadamente 10-10 metros y una masa de

alrededor de 1.7x10-27 gramos. Escribe estos números en la notación decimal común e indica el prefijo del

sistema internacional (SI) de unidades que es conveniente emplear con cada uno de ellos.

Diámetro del átomo de hidrógeno en notación común:

0.0000000001 m

Prefijo del SI que es conveniente emplear para expresar esta cantidad en metros: Nano

Masa del átomo de hidrógeno en notación común:

0.00000000000000000000000000077 g

Prefijo del SI que es conveniente emplear para expresar esta cantidad en gramos: Yodo

El electrón tiene una masa, en reposo, de 9.11x10-31 Kg y su carga es de 1.6x10-19 Coulomb. Escribe estos

números en la notación decimal común e indica el prefijo del sistema internacional (SI) de unidades que es

conveniente emplear con cada uno de ellos.

Masa del electrón en notación común:

0.0000000000000000000000000000977 g

Prefijo del SI que es conveniente emplear para expresar esta cantidad en gramos: Yodo

Carga del electrón en notación común:

0.0000000076 co

Prefijo del SI que es conveniente emplear para expresar esta cantidad en Coulomb: Zepto

Realiza un ejercicio similar para la carga y masa del protón.

Protón 0.00000000000000076 prefijo Zepto Masa 0.000000000000000000000000076 Kg prefijo Yodo




La nanotecnología y sus aplicaciones. Esta disciplina científica ha producido, en los últimos años, sorprendentes e interesantes resultados y

aplicaciones en diferentes ámbitos de la investigación científica y tecnológica.

Realiza una investigación y explica las magnitudes empleadas en esta disciplina científica. Selecciona tres

resultados de investigación que te llamen la atención y sus aplicaciones y anótalos en las siguientes líneas:

Magnitudes empleadas en la nanotecnología: Es el estudio y desarrollo de sistemas en escala manométrica, trabaja con materiales y estructuras cuyas magnitudes se miden en nanómetros, lo cual equivale a la mil millonésima parte de un metro, gracias a la nanotecnología.

Resultado de investigación y aplicaciones (1):

La nanotecnología presenta tentadoras oportunidades al ser humano, especialmente cuando se considera que podría mejorar diversas prácticas y procedimientos, tales como los diagnósticos, las curaciones, la administración de medicamentos y las cirugías.

Resultado de investigación y aplicaciones (2): La nanotecnología podría mejorar muchos aspectos de algunas industrias tradicionales, que la gente no siempre relaciona con el termino tecnología, tal es el caso del mundo textil y del calzad, y los sectores alimenticio, sanitario, automotriz, etc.

Resultado de investigación y aplicaciones (3): Uno de los primeros pasos en el desarrollo de la nanotecnología ha sido la comprensión del ADN como un factor clave en la regulación de los procesos del organismo.

Lecturas complementarias recomendadas.


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