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Respuesta en frecuencia: Hace referencia a la respuesta de un sistema ent d t i i t d i id lestado estacionario a una entrada sinusoidal.
La frecuencia de la señal de entrada se varía en un cierto rango, paraestudiar la respuesta resultante.
Los métodos de respuesta en frecuencia fueron desarrollados en los años1930 y 1940 por Nyquist Bode y Nichols entre otros1930 y 1940 por Nyquist, Bode y Nichols entre otros.
Salida en estado estacionario para una entrada sinusoidal
Sistema LTI
Si X(t) es una señal sinusoidal, entonces la salida en estado estacionarioserá también una señal sinusoidal de la misma frecuencia, perof pposiblemente con diferente magnitud y ángulo de fase.
Supóngase ( ) sinx t x tω=
( ) ( )( )
( )( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 ... n
p s p sG s
q s s s s s s s
p sY G X X
= =+ + +
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )p
Y s G s X s X sq s
⇒ = =
Después de alcanzar estadoestacionario, la respuesta enfrecuencia se puede calcular Desplazamiento de fases entresustituyendo s por jω en lafunción de transferencia.
( ) jG j Me Mφω φ= = ∠
ambas señales
( )Cociente de amplitud de las señalessinusoidales de entrada y salida.y
Si Y(s) tiene únicamente polos distintos (simples).
X( ) ( ) ( ) ( ) 2 2
1 2 ... n
XY s G s X s G ss
bb ba a
ωω
= =+
= + + + + +1 2 ns j s j s s s s s sω ω+ − + + +
2 2
1 2
( ) ( ) ( ) ( )
n
XY s G s X s G ss
bb ba a
ωω
= =+
= + + + + +
1 2
1 2
1 2
...
( ) ... ( 0) (*)n
n
s ts t s tj t j tn
s j s j s s s s s s
y t ae ae b e b e b e tω ω
ω ω−− −−
= + + + + ++ − + + +
⇒ = + + + + + ≥
Para un sistema estable tienen parte real negativa.1 2, ... ns s s− − −
Cuando y todos los términos de (*) excepto los 1 2,s t s tt e e− −→∞⇒ 0ns te− →dos primeros, se desprecian en estado estacionario.
Si Y(s) contiene polos múltiples sj de multiplicidad mj entonces y(t)contendrá términos como 1( 0 1 2 )ji s th
j jt e h m− =contendrá términos como 1( 0,1, 2,..., )j jt e h m −
Para un sistema estable los términos → 0 cuando t→ ∞.j jh s tt e−
Independientemente de si el sistema tiene polos distintos o no, larespuesta en estado estacionario es:
j t j t( ) j t j tssy t ae aeω ω−= +
donde 2 2
( )( ) ( )X XG ja G s s jω ωω −= + = −donde 2 2( ) ( )
2s j
a G s s js jω
ωω =−
++
( )X XG jω ω2 2
( )( ) ( )2s j
X XG ja G s s js jω
ω ωωω =
= − =+
Como G(jω) es complejo, entonces ( ) | ( ) | jG j G j e φω ω=(j ) p j , ( ) | ( ) |j j
| ( ) |G jω magnitud φ ángulo
( )1 Im ( )( ) tan
G jG j
ωφ ω − ⎛ ⎞
∠ ⎜ ⎟⎜ ⎟( )( )
( ) tanRe ( )
G jG j
φ ωω
= ∠ = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
Análogamente ( ) ( ) ( )j jG j G j e G j eφ φω ω ω− −− = − =
( ) jX G j e φω − ( ) jX G j ea
φω=( )
2j
aj
⇒ = − 2a
j=
( ) ( )
( ) ( )j t j te ey t X G jω φ ω φ
ω+ − +−
⇒ ( ) sin( )X G j tω ω φ= +( ) ( )2ssy t X G jj
ω⇒ = ( ) sin( )sin( )X G j ty t
ω ω φω φ
= +
= +
Entrada ( ) sinx t X tω=
Salida ( ) sin( )y t Y tω φ= +
Para entradas sinusoidales:
( )( )( )
Y jG jX j
ωω = = CocienteCociente dede amplitudamplitud entreentre laslas señalesseñales sinusoidalessinusoidales dede salidasalida( )( )
jX jω
( )( )( )
Y jG jX j
ωωω
∠ = ∠ =
yy dede entradaentrada..
DesplazamientoDesplazamiento dede fasefase dede lala señalseñal sinusoidalsinusoidal dede salidasalida conconrespectorespecto aa lala dede entradaentrada..( )jω respectorespecto aa lala dede entradaentrada..
( ) ( )( )
Y j G jX j
ω ω⇒ = Función de transferencia sinusoidal.( )( )
jX jω u c ó de t a sfe e c a s uso da .
Un ángulo de fase positivo se denomina adelanto de fase.g f p f
Un ángulo de fase negativo se denomina retardo de fase.
Ejemplo:
K
( ) , ( ) sin ( ) ??1 ss
KG s x t X t y tT
ω= = ⇒ =
1Ts +
( ) ( ) ( )1 ssyTs +
Sustituyendo s por jω, entonces ( )1
KG sjTω
=+1jTω +
1
2 2( ) ; ( ) tan ( )
1KG j G j TT
ω φ ω ωω
−⇒ = = ∠ = −+
( ) ( ) sin( )ssy t X G j tω ω φ= +como1
2 2( ) sin( tan ( ))
1ss
XKy t T TT
ω ωω
−⇒ = −+
Ejemplo: 1
2
1/( )1/
s TG ss T+
=+
Determine si se trata de una red de adelanto ouna de retraso.
Para ( ) sinx t X tω=
1 2 11/ (1 )( )1/ (1 )
j T T T jG jj T T T jω ωωω ω+ +
⇒ = =+ +2 1 2
2 22 1 1 1
1 22 21 2
1/ (1 )
1( ) ; ( ) tan tan
1
j T T T j
T TG j G j T T
T T
ω ω
ωω φ ω ω ω
ω− −
+ +
+⇒ = = ∠ = −
+
2 22 1 1 1
1 22 21 2
1( ) ; ( ) tan tan
1ss
XT Ty t G j T T
T T
ωφ ω ω ω
ω− −+
⇒ = = ∠ = −+
1 11 2 1 2 1 2tan tan 0Si T T T T Si T T red adelantoω ω− −> ⇒ − > ⇒ > →
Si T T red retardo< →1 2Si T T red retardo< →
La función de transferencia sinusoidal, función compleja de lafrecuencia ω, se caracteriza por su magnitud y ángulo de fase con laf i áfrecuencia como parámetro.
Por lo general se usan tres representaciones gráficas de lasPor lo general, se usan tres representaciones gráficas de lasfunciones de transferencia sinusoidales:
1 Diagrama de Bode o diagrama logarítmico1. Diagrama de Bode o diagrama logarítmico.
2. Diagrama de Nyquist o diagrama polar.
3. Diagrama de magnitud logarítmico contra fase (diagrama de Nichols)
DIAGRAMAS DE BODE
Formado por dos gráficas
Gráfica del logaritmo de la magnitud de la función de transferencia sinusoidal.Formado por dos gráficas f f
Gráfica del ángulo de fase.
A b dib j t l f i l l ít iAmbas se dibujan contra la frecuencia en escala logarítmica
Magnitud logarítmica de G(jω) es 20log|G(jω)| dB
Curvas semilogarítmicasEscala logarítmica para la frecuencia
Escala lineal para la magnitud (dB) o el á l d f ( d )ángulo de fase (grados)
Ventaja Bode: la multiplicación de magnitudes se convierte en suma.
Factores básicos de G(jω)H(jω)
1. La ganancia K
2. Los factores integrales y derivativos ( ) 1jω m
1m3. Los factores de primer orden
4. Los factores cuadráticos
( ) 11 j Tω+ m
( ) ( )121 2 / /n nj jζ ω ω ω ω⎡ ⎤+ +⎣ ⎦m
Los diagramas logarítmicos de estos factores básicos es posibleutilizarlos con el fin de construir un diagrama logarítmico para cualquierf d G(j )H(j ) dib j d l d f dforma de G(jω)H(jω), dibujando las curvas para cada factor y agregandocurvas individuales de forma gráfica ya que agregar los logaritmos de lasganancias corresponde a multiplicarlos entre sí.
Factores básicos de G(jω)H(jω)
La ganancia K
‐ Número mayor que la unidad → valor positivo en decibelios.
‐ Número menor que la unidad → valor negativo.
L d it d l ít i i K t t‐ La curva de magnitud logarítmica para una ganancia K constante es unarecta horizontal cuya magnitud es de 20 log K dB
‐ El ángulo de fase de la ganancia K es ceroEl ángulo de fase de la ganancia K es cero.
El efecto de variar la ganancia K esque sube o baja la curva de magnitud
20log(10 ) 20log 20K K⇒ = +
( )20log 10 20log 20n K K n+logarítmica en la cantidad constantecorrespondiente, pero no afecta a lacurva de fase.
( )20log 10 20log 20K K n= +
( ) 120log 20logKK
= −
( ) 1j mFactores integrales y derivativos ( )jω
120log 20log dB j
ωω
= − Magnitud logarítmica de 1/jω en dBjω
‐ El ángulo de fase de 1/jω es constante e igual a ‐90
‐ En diagramas de Bode, las razones de frecuencia se expresan en términos de octava o décadas.
‐ Una octava es una banda de frecuencia de ω1 a 2ω1donde ω1 es cualquierfrecuencia.
‐ Una década es una banda de frecuencia de ω1 a 10ω1, donde ω1 escualquier frecuencia.
‐ Si se dibuja la magnitud logarítmica de ‐20logω dB con respecto a ω en unaescala logarítmica, se obtiene una recta.
‐ La pendiente de la recta es ‐20dB/década (o ‐6 dB/octava).
‐ La magnitud logarítmica de jω en dB es 20log 20logj dBω ω=
‐ El ángulo de fase de jω es constante e igual a 90º.
‐ La curva de magnitud logarítmica es una recta con una pendiente deg g p20dB/década.
dBdB
( ) 1G j jω ω=
dB
( )G j jω ω=
ω ωφ φφ
ω ω
Para (1/jω)n o (jω)n la magnitud logarítmica viene dada por
120log 20log 20 logn j n dBω ω= − × = −( )
20log 20log 20 logn n j n dBj
ω ωω
= × =
O bien
( )20l 20l 20 ln d( )20log 20log 20 lognj n j n dBω ω ω= × =
L di d l d i d l í i l fLas pendientes de las curvas de magnitud logarítmica para los factores(1/jω)n y (jω)n son ‐20n dB/década y 20n dB/década respectivamente.
El ángulo de fase de (1/jω)n es ‐90º x n durante todo el rango defrecuencia, mientras que el de (jω)n es igual a 90º x n en todo el rangode frecuencia.
Factores de primer orden ( ) 11 j Tω+ m
La magnitud logarítmica viene dada por 2 2120log 20log 11
T dBj T
ωω
= − ++
Para bajas frecuencias ω<<1/T 2 220log 1 20log1 0T dBω⇒ − + − =
Para altas frecuencias ω>>1/T2 220log 1 20logT TdBω ω⇒ − + −
En ω = 1/T la magnitud logarítmica es igual a 0dB
En ω = 10/T la magnitud logarítmica es igual a ‐20dBEn ω 10/T la magnitud logarítmica es igual a 20dB
Entonces el valor de ‐20logωT dB disminuye en 20dB para todas las décadas de ω.
Para ω>>1/T la curva de magnitud logarítmica es una línea recta con una pendientede ‐20dB/década (‐6dB/octava)
La representación logarítmica de la curva de respuesta en frecuencia del factor1/(1+jωT) se aproxima mediante dos asíntotas (líneas rectas) una de las cuales es unarecta de 0dB para el rango de frecuencias 0 < ω < 1/T y la otra es una recta con unarecta de 0dB para el rango de frecuencias 0 < ω < 1/T y la otra es una recta con unapendiente de ‐20dB/década (o ‐6dB/octava) para el rango de frecuencia 1/T < ω < ∞.
La frecuencia en la cuall d í t tlas dos asíntotas seencuentran se denominafrecuencia esquina o decorte
dBcorte.
Para el factor 1/(1+jωT)la frecuencia ω = 1/T esla frecuencia ω = 1/T esla frecuencia esquina. Enesta ambas asíntotastienen el mismo valor
φ
tienen el mismo valor.1
20T1
10T1
5T1
2T1T
2T
5T
10T
20T
ω
El ángulo de fase exacto φdel factor 1/(1+jωT) es:
1 Tφ
‐ En frecuencia cero: φ = 0dB
1tan Tφ ω−=−
‐ En frecuencia cero: φ = 0
‐ En frecuencia esquina: φ = ‐tan‐1(T/T) = tan‐1(1) = ‐45º
‐ En el infinito: φ = ‐90ºφ
El ángulo de fase tiene una pendiente simétrica con respecto El ángulo de fase tiene una pendiente simétrica con respecto
120T
110T
15T
12T
1T
2T
5T
10T
20T
ω
g p pg p pal punto de inflexión en al punto de inflexión en φ = = ‐‐45º45º
El error de la curva de magnitud es provocado por el uso de las asíntotas.
El error máximo ocurre en la frecuencia esquina y es aproximadamenteEl error máximo ocurre en la frecuencia esquina y es aproximadamente igual a ‐3dB
20log 1 1 20log1 10log 2 3.03dB− + + = − = −
El error en la frecuencia una octava por debajo de la frecuencia esquina ω = 1/2T es
1 520log 1 20log1 20log 0.974 2
dB− + + = − = −
El error en una octava por debajo o por encima de la frecuencia esquina esaproximadamente ‐1dB.
El error en una década por debajo o por encima de la frecuencia esquina esaproximadamente ‐0.04dB
En la práctica, para dibujar una curva de respuesta en frecuencia precisa seintroduce una corrección de 3dB en la frecuencia esquina y una correcciónde 1dB en los puntos una octava por debajo y por encima de la frecuenciaesquina.
La función de transferencia 1/(1+ jωT) tiene la característica de un filtroLa función de transferencia 1/(1+ jωT) tiene la característica de un filtropasa‐baja.
Para frecuencias por encima de ω = 1/T, la magnitudp / , glogarítmica disminuye rápidamente hacia –∞.
En el filtro pasa‐baja, la salida sigue fielmente una entrada sinusoidal abajas frecuencias. Pero, conforme aumenta la frecuencia de entrada, lasalida no puede seguir a la entrada debido a que se necesita ciertasalida no puede seguir a la entrada debido a que se necesita ciertacantidad de tiempo para que el sistema aumente en magnitud.
P lt f i l lit d d l lid ti d l á l dPara altas frecuencias, la amplitud de la salida tiende a cero y el ángulo defase de la salida tiene a ‐90º.
E i l f ió d d i h ó i lEn este caso, si la función de entrada contiene muchos armónicos, lascomponentes de baja frecuencia se reproducen fielmente en la salida,mientras que las componentes de alta frecuencia se atenúan en amplitudy cambian de fasey cambian de fase.
Para factores recíprocos, por ejemplo: 1 + jωT las curvas de magnitudlogarítmica y de ángulo de fase sólo necesitan cambiar de signo
120log 1 20log1
j Tj T
ωω
+ = −+
La pendiente de la asíntota de altafrecuencia de 1 + jωT es 20dB/década y
1
1
11 tan1
j T
j T Tj T
ω
ω ωω
−
+
+ = = −+
el ángulo de fase varía de 0 a 90º amedida que la frecuencia ω seincrementa de 0 a ∞.
dB φdB φ
90o
0 01 0 1 1ω ω
0 01 0 1 1 10
45o
00.01T
0.1T
1T
10T
0.01T
0.1T
1T
10T
45º 1/26 6º 1/ 2
en Ten T
ωω=m
mPara dibujar las curvascon precisión los ángulosde fase son:
26.6 1/ 25.7º 1/1063.4º 2 /
en Ten Ten T
ωωω
===
m
m
m
84.3º 10 /en Tω =m
Para el caso en el que una función de transferencia determinada contienetérminos como , se hace una construcción asintótica similar. La( )1+ mnj Tωfrecuencia esquina es todavía en ω = 1/T y las asíntotas son rectas.
La asíntota de baja frecuencia es una recta horizontal en 0dB mientras quela asíntota de alta frecuencia tiene una pendiente de ‐20n dB/década.
El error implícito en las ecuaciones asintóticas es n veces el que existe para
( ) 11 j Tω+ m
El ángulo de fase es n veces el de en cada punto de frecuencia.( ) 11 j Tω+ m