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Diagramas de Bode

Respuesta En Frecuencia

Ing. William Marín MorenoIng. William MarIng. William Maríín Morenon Moreno

Generalidades

Es un diagrama asintótico: se puede aproximar fácilmente trazando líneas rectas (asíntotas).Presenta la respuesta de 1Magnitud y 2Fase con la variación de la Frecuencia de una función de transferencia.Tanto las escalas abscisas como la magnitud misma se representa en unidades logarítmicas.

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Decibeles (dB)

P1

P2

+

V1

-

+

V2

-

Amplificador

Unidad logarítmica utilizada para escalas de magnitud.

Ideado por los Ingenieros de Sistemas telefónicos por la necesidad de medir si se requieren amplificadores en una línea telefónica.

Si la línea es muy largaRL >> Rr se

requiere de un amplificador para que el mensaje se escuche con claridad

Decibeles (dB)El oído humano es un mecanismo logarítmico:La intensidad de un sonido, es proporcional al cuadrado de la amplitud de la onda sonora. La intensidad del sonido es una cantidad objetiva, que se puede medir por medio de diversos instrumentos, como por ejemplo un osciloscopio. Por otro lado, la sonoridad es una sensación fisiológica que difiere de una persona a otra. La sonoridad es subjetiva, pero estárelacionada con la intensidad del sonido.

Ver http://en.wikipedia.org/wiki/Fletcher-Munson_curve

http://en.wikipedia.org/wiki/Robinson-Dadson_curves

ISO 226 :2003

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Debido a que la sensación fisiológica de fuerza sonora no varía directamente con la intensidad, sino que su dependencia es más bien de tipo logarítmico, se utiliza una escala logarítmica para describir el nivel de intensidad de una onda sonora.

Decibeles (dB)

El máximo recomendado 85dB durante 8 horas

1

2logPPB =

Potencia de salida amplificada

Potencia de salida SIN amplificar

Decibeles (dB)Por esa razón los controles de volumen de los equipos de sonido son logarítmicos !!!!!!Siendo que el oído humano es logarítmico, si P2 es el doble que P1, el sonido del mensaje no se escuchará dos veces más alto, sino que seráligeramente mayor.Sabiendo esto, los ingenieros telefónicos midieron la efectividad de los amplificadores en unidades logarítmicas, y definieron el BELIO:

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1

2

2

1

2

1

2 log2loglogVV

VV

PPB =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

RRVP

22

2 =RR

VP2

11 =

1

2log210 V

VB=

1

2log20VVdB =

Puesto que

Pero el BELIO es una unidad muy grande, por lo que se utilizan las décimas de Belio, el decibelio (dB)

Decibeles (dB)

Decibeles (dB)

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Construcción del Diagrama de Bode

Escala Vertical: ganancia(dB)=20 log|Vout/Vin|Escala Horizontal: x = log f

Para construir la gráfica de Bode, primero se debe normalizar la ecuación de la función de transferencia, esto es, escribirla de forma tal que contenga:

•Constantes.•Ceros en el origen.•Polos en el origen.•Ceros finitos•Polos Finitos

Cada uno de los términos anteriores, debe expresarse tal que cada término polo o cero contengan una ganancia DC=0Así, la función de transferencia debe quedar escrita de la forma normalizada, por ejemplo:

Construcción del Diagrama de Bode

)1(

)1('*

)1(

)1(*

)()()(

1

1

1

1

1

1

1

1

+

+=

+

+=

++

=

Pjj

Zj

KP

jj

Zj

PKZ

PjjZjKH ωω

ω

ωω

ω

ωωωω

Los polos y ceros cuadráticos conjugados requieren una notación diferente

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Construcción del Diagrama de Bode

En una forma más general, una ecuación de bode queda como:

[ ][ ]...)(21)1(

...)(21)1()()( 21

21

1

nn

kk

jjpjjjzjjKHωωωωζω

ωωωωζωωω+++

+++=

±

Polo o cero en el origen

cero simple (finito)cero cuadrático

Con esto, graficar)(log20 ωH

Constantes

K<0

7

n

b

1

s⎛ ⎞⎜ ⎟ω⎝ ⎠ ωb

0 dbpendiente=-20n db/dec

Magnitud Fase

-90n°

n

b

s⎛ ⎞⎜ ⎟ω⎝ ⎠

ωb

0 dbpendiente=+20n db/dec

MagnitudFase

+90n°

Polos y ceros en el origen

n

b

1

s 1⎛ ⎞+⎜ ⎟ω⎝ ⎠

Fase0°

-90n°

0.1ωb

10ωb

ωb

0 dbpendiente=-20n db/dec

Magnitud

n

b

s 1⎛ ⎞+⎜ ⎟ω⎝ ⎠ pendiente=

+20n db/dec

ωb

0 db

Magnitud Fase

0°

+90n°

0.1ωb

10ωb

Polos y ceros simples

8

n2

b b

1

s 1 s 1Q

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ω ω⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

Fase0°

-180n°

0.1ωb

10ωb

ωb

0 db pendiente=-40n db/dec

Magnitud

pendiente=+40n db/dec

ωb

0 db

Magnitud Fase

0°

+180n°

0.1ωb

10ωb

n2

b b

s 1 s 1Q

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⋅ +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ω ω⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

Polos y ceros cuadráticos conjugados

Ceros FinitosAsíntota con Pendiente de 20 dB por década

w altaw baja

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dBdB 8010log20 4 ==

dBdBdBdB

86806)4301.0(20)10log2(log2010*2log20 44

=+≈+=+==

6 dB más alta!!6 dB más alta!!

Octavas

En música, una octava (ocho notas) representa el doble de la frecuencia. La nota “la” media es de 440Hz y la siguiente “la” por encima (una octava más alta) es de 880Hz.Si para alta frecuencia se utiliza la aproximación dB = 20 log(w) y con una frecuencia w=104

Si duplicamos w (subimos una octava) tenemos

Asíntota con Pendiente de +6 dB por octava

Asíntota con Pendiente de+ 20 dB por década

Ceros Finitos

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Ejemplo

( ) ( )( ) ( )2

1000 s 20 s 200G s

2 s 2 s 50 7500⋅ ⋅ ⋅ +

=⎡ ⎤⋅ + ⋅ + +⎣ ⎦

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( )

2 2

2

s200000 s 11000 s 20 s 200 10G s2 s 2 s 100 s 100002 s 2 s 50 7500

s s100000 s 1 10 s 110 10

s s s1 s 100 s 10000 11 1 100

⎛ ⎞⋅ ⋅ +⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅ + ⎝ ⎠= =⎡ ⎤ ⋅ + ⋅ + ⋅ +⋅ + ⋅ + +⎣ ⎦

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛+ ⋅ + ⋅ +⎜ ⎟ + ⋅⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝

2 1 S 11 100

⎡ ⎤⎞ + ⋅ +⎢ ⎥⎟⎠⎣ ⎦

ejemplo (Cont.)

( ) ( )2

4) Create the preliminary Magnitude plot of:

1s 1

G s1

1s 1 s 1

s

100 1 100

s 1100

11

1

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎜ ⎟= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ + ⋅ +⎜ ⎟

⎠

+

⎝+

11

ejemplo (Cont.)

( ) ( )2

5) Create the final Magnitude plot by shifting vertically by the gain term:

G s 10

The final Magnitude plot

s 1s 1 110s1 1 s 1 s1 11 100 1 100

p

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎜ ⎟⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎜ ⎟+⎜ ⎟ + ⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

=

lot is:

ejemplo (Cont.)

( ) ( )21

s 111

s 1 s 1100 1 100

6)

1

0

Create the Phase plot o

s1

s 110

f:

G s1

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎜ ⎟= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎛ ⎞ + ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⋅ +⎠

+

⎜ ⎟⎝

+

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Comparando con la curva REAL

2log201log201log20 =+=+=

jajw

aw

dB32log10 ==

Curvas reales

Las curvas reales no siguen las asíntotas con la brusca variación en la frecuencia de corte ω = a.

Se debe entonces realizar una correción de la curva en la frecuencia de corte ω = a. de +3dB

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Curva Real

118.1log205.01log201log202

=+=+=

jajw

aw dB1+=

236.2log2021log201log202

=+=+=

jajw

aw

dB7+=

Curvas realesIgualmente para una octava por debajo del vértice ω = a/2.

Para una octava por encima del vértice ω = 2a.

Pero la curva asintótica ya alcanzó el valor de +6dB en este punto(20dB/dec = 6dB/octava), por lo que solo se hace un corrección de +-1dB en estas frecuencias.

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