MTODOS DE RESPUESTA EN

FRECUENCIA

Las seales de prueba (entradas) tpicas

para los sistemas de control de lazo cerrado

en el dominio del tiempo son el escaln, la

rampa y la parbola.

En los mtodos de repuesta en frecuencia,

se emplea como seal de prueba (entrada)

para estado estable una seal sinusoidal.

La respuesta en frecuencia de un SLIT, est

definida como la respuesta de estado estable a una

seal sinusoidal de entrada. La seal de salida

resultante es otra seal sinusoidal, que difiere de la

entrada slo en amplitud y fase.

Para los mtodos de respuesta en frecuencia, teniendo

, Se reemplaza s por j, con variable.

Sabemos que para un sistema con funcin de transferencia

de lazo cerrado T(S), la salida est dada por:

)()()( SRSTSY

tSenAtr )(

Sindo:

22)(

S

ASR

la seal sinusoidal de entrada, y su correspondiente transformada de Laplace:

n

i

ipS

Sm

Sq

SmST

1

)(

)(

)(

)()(

Si consideramos que )(ST esta dada por:

Donde se asume que los ip polos son distintos. Entonces, se deduce que )(SY

en forma de fracciones parciales esta dada por:

22

1

1 ...)(

S

S

pS

k

pS

kSY

n

n

Tomando la transformada inversa

Donde y son constantes.

2211)(

S

Sekekty

tp

n

tp n ... 1

Si el sistema es estable, entonces todos los ip tienen parte real negativa diferente

de cero, y

Puesto que cada trmino exponencial 0 tpiiek .tconforme

En el lmite para ),(ty obtenemos para t (en estado estable):

22)(

S

Sty 1

22lim)(lim

S

Sty

tt1

o

)()(1

)(

tSenjTAty

)()()( tSenjTAty

Donde:

)( jTArg

En conclusin, la salida en estado estable depende de la magnitud y de la fase De ).( jT

tSenAtr )( )()()( tSenjTAty() ()

A

A

()

tSenAtr )( )()()( tSenjTAty()

PROBLEMA Mediante la respuesta frecuencial de un sistema en lazo cerrado, se desea determinar su performance, por lo que se hicieron las siguientes mediciones en las frecuencias indicadas. Se pide: a) Completar la siguiente tabla:

b) Trazar las curvas de Bode del sistema y medir el mximo pico Mpw, la frecuencia de resonancia WR y la frecuencia de ancho de banda a 3dB.

SOLUCION: a) La amplitud de la seal de entrada () y de la seal de salida (), dan la funcin de transferencia (Ver figura):

que en decibelios es:

De otra parte, el desfasaje temporal entre la seal de entrada y la seal de salida

(medido mediante intersecciones de las seales con el eje de las abscisas) est dado por:

=

, 20 () = 202

=

2 ()

=

360

Usando las expresiones de ganancia en decibelios y la fase en grados sexagesimales, llenamos la siguiente tabla, que muestra en las columnas con recuadros anaranjados las respuestas pedidas.

Respuesta a)

b) Con la tabla anterior, graficamos las curvas de ganancia en dB y de fase en grados sexagesimales siguiente:

20 () = 202

()

rad/seg

rad/seg

Donde se aprecia : Mpw 17 db a Wr 3.76 rad/seg (Lneas de trazos rojas) WB 5.9 rad/seg, para una atenuacin de 3dB en bajas frecuencias. (Lneas de trazos verdes).

Respuesta b)

MTODOS DE RESPUESTA EN FRECUENCIA

1. Las curvas de Bode de Magnitud y Fase

2. Los Diagramas de Nyquist

3. Las Cartas de Nichols

CURVAS DE BODE

Las curvas de bode son dos, la de magnitud en decibelios y la de fase en grados sexagesimales. Para trazar las curvas de Bode de la funcin de transferencia de un sistema, por ejemplo dela funcin de transferencia de lazo abierto (), se debe reemplazar s por , es decir, () . La curva de magnitud , en decibelios (dB), se trazar con la expresin

20 () La curva de fase, en grados sexagesimales se trazara con la fase de = .

CURVAS DE BODE PARA DIFERENTES TIPOS DE FACTORES DE LA FUNCIN DE TRANSFERENCIA

Usualmente, una funcin de transferencia, por ejemplo contiene factores de la forma:

, Ganancia de Bode

Polos y/o ceros en el origen

Polos y/o ceros reales Pares de polos y/o ceros reales complejos conjugados

()

()

( + 1) [ 2 + 2 + ]

FORMA DE BODE DE UNA FUNCIN DE TRANSFERENCIA

Expresin de la ganancia de la funcin de transferencia para trazar la curva de magnitud en decibelios:

Expresin de la ganancia de la funcin de transferencia para trazar la curva de magnitud en decibelios:

APROXIMACIN ASINTTICA DE LAS CURVAS DE BODE

Ganancia

KjGH

KsGH

)(

)(

KjGH log20)(log20

0K 180

0 K 00

Karctg

Polo en el origen (integrador)

j

jGs

sG1

)( 1

)(

[dB] log20

log201log20

1log20)(log20

j

GH

901)( j

Pendiente = -20 dB/dcada

90)( n

[dB] log20)(log20 nGH

Polos mltiples en el origen:

Polo Real

jjGH

ssGH

1

1)(

1

1)(

[dB] 1log20

1

1log20)(log20

22

j

GH

)( 1 Tan

90

)1/(

log201log20

s)frecuencia (altas

0

)1/(

01log20

s)frecuencia (bajas 0

22

22

(Ejemplo para = 1)

Polo Real

=1

frecuencia de corte: la frecuencia a la que se interceptan las dos asntotas

Pendiente = -20 dB/dcada

Curva exacta

Error max. 3dB

Pendiente = -45/dec

real

asinttico

=0.1/

=10/

c

Caso < 0.707 (caso con resonancia)

Asntotas

Exacta

20logMr

n frecuencia de corte

-90/dec

-40dB/dec

0.1 n

10 n

()

Polos complejos conjugados

20 (1 2)2+(2)212

= 10 (1 2)2+12

= 10 (1 2)2+424

= 1(2

1 2)

Ejemplo Mediante aproximacin asinttica, trazar la curvas de Bode de la siguiente funcin de transferencia y analice su estabilidad.

=2500( + 10)

( + 2)(2 + 30 + 2500)

=5(1 + 0.1)

(1 + 0.5) 1 50

2+ 0.6

50

(a) Trazado manual de curvas de Bode exactas

Se requiere la forma de Bode de GH(S):

20 log = 20 log 5 + 20log 1 + 0.012 20log 20 1 + 0.252 20 1

50

2 2

+ 0.6

50

2

= 1 0.01 90 1 0.5 10.6

50

1 50

2

Expresin para trazar la curva de ganancia en dB

Expresin para trazar la curva de ganancia en dB

-150

-100

-50

0

50

Mag

nitud

e (

dB

)

10-1

100

101

102

103

-270

-225

-180

-135

-90

Pha

se

(d

eg

)

Bode Diagram

Frequency (rad/s)

>> n=[2500 25000]; >> d=[1 32 2560 5000 0]; >> sys=tf(n,d) sys = 2500 s + 25000 -------------------------------- s^4 + 32 s^3 + 2560 s^2 + 5000 s Continuous-time transfer function. >> bode(sys)

(b) Trazado de curvas de Bode exactas mediante el comando bode de MATLAB

() =2500 + 25000

4 + 323 + 25602 + 5000

0

90

180

270

360

20 ()

()

101 100 101 102 103 104

101 100 101 102 103 104

=2500( + 10)

( + 2)(2 + 30 + 2500)

=5(1 + 0.1)

(1 + 0.5) 1 50

2+ 0.6(

50)

(c) Trazado de curvas de Bode Mediante aproximacin Asinttica.

-150

-100

-50

0

50

Mag

nitud

e (

dB

)

10-1

100

101

102

103

-270

-225

-180

-135

-90

Pha

se

(d

eg

)

Bode Diagram

Gm = 28.6 dB (at 47.5 rad/s) , Pm = 48.6 deg (at 2.94 rad/s)

Frequency (rad/s)

>> n=[2500 25000]; >> d=[1 32 2560 5000 0]; >> sys=tf(n,d) sys = 2500 s + 25000 -------------------------------- s^4 + 32 s^3 + 2560 s^2 + 5000 s Continuous-time transfer function. >> margin(sys)

ESTABILIDAD RELATIVA : MARGEN DEGANANCIA Y MARGEN DE FASE

ESPECIFICACIONES DE FUNCIONAMIENTO EN EL DOMINIO DE LA FRECUENCIA

2

( + 2)

Considerando el lazo de control:

R(s) Y(s)

Siendo la funcin de transferencia de lazo cerrado:

=2

2 + 2 + 2

La respuesta en frecuencia de la FTLC es:

Donde:

: Mximo pico.

: Frecuencia de resonancia.

: Ancho de Banda a -3dB.

A la frecuencia de resonancia se produce el mximo pico de la

respuesta en frecuencia de la magnitud de la FTLC.

El ancho de banda es la frecuencia a la cual la respuesta en Frecuencia de la magnitud de la FTLC ha declinado 3 dB en bajas Frecuencias.

= (1.19 + 1.85)

Vlida para 0.3 0.8

Relacin aproximada entre y y

Relacin entre y

Relacin entre y

Relacin entre y y

PROBLEMA El sistema de control de la figura, debe tener un sobre paso menor al 10%.

(a) Halle el valor de en el dominio de la frecuencia para la FTLC. (b)Determine la frecuencia de resonancia . (c) Determine el ancho de banda .

Solucin La funcin de transferencia de lazo cerrado es

(a) Para un sobrepaso del 10%, se halla

De la FTLC,

de dode

. Tambin,

Luego:

=

2 + 7 +

0.10 = 12 , = 0.59

2 = 7, de donde = 5.93 = 2 = 35.12

= (2 1 2)1= 1.05

(b) Para un sistema de segundo orden tenemos

Con

(c) Para un sistema de segundo orden tenemos

Estimamos

= 1 22 = 0.55 = 3.27

= 0.59 = 5.93

1.19 + 1.85 = 1.14 = 6.8/

-80

-60

-40

-20

0

20

Mag

nitud

e (

dB

)

10-1

100

101

102

103

-180

-135

-90

-45

0

Pha

se

(d

eg

)

Bode Diagram

Frequency (rad/s)

>> n=[35.12]; >> d=[1 7 35.12]; >> sys=tf(n,d) sys = 35.12 ----------------- s^2 + 7 s + 35.12 Continuous-time transfer function. >> bode(sys)

Para K = 35.12, hallamos la repuesta en frecuencia de la FTLC.

PROBLEMA El diagrama de bode de un sistema en lazo cerrado se muestra en la siguiente figura. Asuma que la FTLC tiene dos polos complejos conjugados dominantes. (a) Halle el mejor modelo de segundo orden para el sistema. (b)Determine el ancho de banda del sistema. (c) Cul ser el SP% y Ts para una entrada escaln?

Solucin a) De la curva de Bode de Magnitud de lazo cerrado:

20 = 12 = 3.981

Para el sistema de segundo orden:

= (2 1 2)1

Resolviendo para con = 3.981, tendremos = 0.12. Tambin de la curva de Bode:

= 0.9 /

Luego,

=

1 22= 0.91 /

Por lo tanto, la funcin de transferencia aproximada de segundo orden es:

() =2

2 + 2 + 2 =

0.83

2 + 0.22 + 0.83

b) De la curva de Bode de Magnitud de lazo cerrado:

-3 dB

1.5

c) El sobrepaso del sistema es:

S% = 100 12 , = 0.59 con

S% = 68%

El tiempo de asentamiento del sistema es:

=4

=

4

0.12(0.91)

=36.63 seg.

>> n=[0.83]; >> d=[1 0.22 0.83]; >> sys=tf(n,d) Transfer function: 0.83 ------------------- s^2 + 0.22 s + 0.83 >> bode(sys)

10-1

100

101

-180

-135

-90

-45

0

Pha

se

(d

eg

)

Bode Diagram

Frequency (rad/s)

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

Mag

nitud

e (

dB

)

Step Response

Time (seconds)

Am

plit

ud

e

0 10 20 30 40 50 600

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

>> step(sys)

PROBLEMA La red principal de control en una planta de energa nuclear incluye un atraso de tiempo necesario para transportar fluidos desde el reactor hasta el punto de medicin (ver Figura ). La funcin de transferencia del reactor es:

1

s

e)S(G

ST

R

seg.T 50 .seg.20

Donde y

Calcule el valor de las constantes 21 KyK del controlador ),S(Gc

Para que el sistema tenga un margen de fase de 50 a una frecuencia de cruce de ganancia por 0dB de 2.2 rad/seg. La funcin de transferencia del controlador es:

S

KK)S(Gc

21

Generador de gas

Ncleo del

reactor

Temperatura

deseada

Medicin de

temperatura

Barras de

control

Actuador )S(Gc

Solucin La funcin de transferencia de lazo abierto del sistema es

)s(

e)

s

KK()s(GH

sT

1

21

)j(

e)

j

KK()j(GH

.j

1

50

21

).j(j

e)KjK()j(GH

.j

201

50

12

50906528 1

2

11 .Tg.K

KTg)(

,seg/rad.22del enunciado se deduce que, para

1)2.2( jGH y 130)2.2(

1))2.2(2.01(2.2

)2.2( )2.2(5.012

jj

eKjK j

12220122

22

2

2

12

2

1

).x.(.

)K/K(.K

.K

K.Tg

).(.Tg).(.K

K.Tg

7523906322

130

22509022652822

130

2

11

1

2

11

06921

2 .K

K

651

750

2

1

.K

.K

De las dos ltimas expresiones, se halla:

PROBLEMA Halle el retardo puro del sistema cuya respuesta frecuencial se ve en la Figura.

SOLUCIN Tomamos dos frecuencias altas para la fase del donde solo se tiene influencia del retardo sistema. Vemos que la dinmica ms alta est en 10 rad/seg. Tendramos que ir ms de una dcada despus para tomar estas frecuencias. Sabemos que la fase a esas frecuencias debe corresponder con: = 57.3 . Donde es el valor en el que se mantendra la fase del sistema sin retardo a altas frecuencias y es el tiempo de retardo puro que debemos identificar. Si tomamos dos frecuencias 1 y 2 y las fases respectivas 1 y 2 y hallamos la diferencia:

1 2 = 57.3(21)

=472 + 765

57.3 700 200= 0.01