diagrama de bode

Control Automtico

Diagrama de Bode

Mauricio guila Aguilar

Juan Pablo lvarez Hijerra

Karen Escobar Avaria

Eduardo Jara Langhaus

Brbara Quedumn Snchez

Carolina Reyes Morales

Control Automtico

Ejercicio 1

Sea un proceso fsico y(s)/x(s) P(s) al que se te ha sometido a un conjunto de entradas

senoidales de diferentes frecuencias: x(t)=Asen(t), donde = 2f, y se han monitorizado

sus respuestas: y(t)=Bsen(t +). La representacin de los resultados de dicha experimentacin se presenta en el diagrama de Bode siguiente.

A partir de su anlisis se pide:

a) Determinar el tipo de sistema.

b) Hallar la funcin de Transferencia del proceso: P(s).

c) Si el proceso P(j) se excita con una entrada senoidal de frecuencia f = 159.15 Hz y

amplitud A = 10, siendo x(t)= A sen(t), 2f, encontrar a partir del diagrama de Bode la

seal de salida en estado estacionario: y(t)= B sen(t +).

Control Automtico

DESARROLLO

Se trazan las asntotas de manera que se tiene:

- Pendiente inicial de -20 dB/dcada, por lo que existe un trmino 1/s.

- Cambio de +20 dB/dec, a la frecuencia de 1 = 0.8 rad/s, por lo que hay un trmino (1s+1).

- Cambio de +20 dB/dec, a la frecuencia de 2 = 50 rad/s, por lo que hay un trmino (2s+1).

- Cambio de -20 dB/dec, a la frecuencia de 3 = 600 rad/s, por lo que hay un trmino 1/(3s+1).

- Cambio de -20 dB/dec, a la frecuencia de 4 = 2000 rad/s, por lo que hay un trmino 1/(4s+1).

Luego, la FT tiene la siguiente forma:

1 2

3 4

( 1)( 1)( )

( 1)( 1)

K s sG s

s s s

Como

1 2

3 4

1 2

3 4

1 1

( )

1 1

1 1

( )

1 1

s sK

G ss ss

K j j

G j

j j j

Desarrollando esta expresin, tenemos que:

1 2 3 4

1/ 2 1/ 22 2

1 2

20log ( ) 20log 20log 1 20log 1 20log 20log 1 20log 1

20log ( ) 20log 20log 1 20log 1 20log

20log 1

j j j jG j K j

G j K

1/ 2 1/ 22 2

3 4

20log 1

Del diagrama, vemos que en = 1, 20log ( ) 23G j . Luego, despreciando los trminos

en que i >> nos queda:

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23 20log 10log(2.56)

23 20log 4.082

27.082 20log

0.044

K

K

K

K

Por lo tanto la funcin de transferencia del sistema es:

0.044(1.25 1)(0.02 1)

( )1 1

600 2000

s sG s

s ss

De la FT podemos decir que el sistema es de tipo 1. Al ingresar esta FT en MATLAB, se

obtuvo un diagrama muy similar al original, el que se muestra a continuacin:

num=0.044*conv([1.25 1],[0.02 1]); den=conv([1 0],conv([1/600 1],[1/2000 1])); sys=tf(num,den); bode(sys)

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Ejercicio 2

Dados los siguientes diagramas de Bode, calcular:

El Tipo de sistema al que representan.

La funcin de transferencia G(s) del sistema.

Los errores en estado estacionario del proceso ante entradas escaln, rampa.

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DESARROLLO.

CASO A

La pendiente inicial es cero.

Se tiene un cambio en la pendiente de -20dB/dcada en una frecuencia de 0,1 [rad/seg]. De

esta manera, la funcin de transferencia incluye un termino 1/(s + 1), donde la frecuencia en el punto de cambio de pendiente es (1/).

Como no hay otros cambios de pendiente, la funcin de transferencia es de la forma:

( )( 1)

KG s

s

,donde = 10 seg.

( )(10 1)

KG s

s

La funcin de respuesta de frecuencias del sistema es:

2

( 10 1) ( 10 1)( )

(10 1) (10 1)( 10 1) (100 1)

K K j K jG j

j j j

Por lo tanto:

2 2 2 2

2 2 2

100 1 100( )

(100 1) (100 1) 100 1

K K K KG j

De la figura, cuando 20log ( ) 20G j , entonces 0,1 , de modo que:

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2

2

20log 20100 1

20log 20100(0,1) 1

20log 202

log 1 10 10 2 14,142 2

14,14( )

10 1

K

K

K

K KK

G ss

Para verificar el tipo o clase de sistemas, podemos ver la funcin del modo:

0

14,14( )

(10 1)G s

s s

Ya que el exponente de s es cero, se dice que el sistemas es de clase 0.

Ahora para calcular el error de estado estable se debe calcular:

0 0

( )lim ( ) lim 6,6%

1 ( )

escalon

s s

R ssE s s

G s

0 0

( )lim ( ) lim

1 ( )

rampla

s s

R ssE s s

G s

Para corroborar que la funcin de transferencia encontrada es la correcta, se construy el

grafico de BODE.

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CASO B

La pendiente inicial es de -20dB/dcada, por lo tanto hay un termino 1/s.

Existe un cambio en la pendiente de +20dB/dcada por lo que hay un termino (s+1). La frecuencia en el punto de cambio de pendiente es 0,4 rad/seg

10,4 2,5

Entonces:

(2,5 1)( )

K sG s

s


2 2

2 2

(2,5 1) (2,5 ) 2,5( )

jK j K j K jKG j

j j

Por lo tanto:

2 4 2 2 2

2

6,25 6,25 1( )

K K KG j


2

2

2 0,30,3

6,25 120log 6

6,25 1log 0,3

6,25 1 10 0,410 0,56

2

1,4 0,56( )

K

K

KK

sG s

s

Control Automtico


1

1,4 0,56( )

sG s

s

Ya que el exponente de s es uno, se dice que el sistema es de clase 1.


0 0

( )lim ( ) lim 0%

1 ( )

escalon

s s

R ssE s s

G s

0 0

( )lim ( ) lim 1.78

1 ( )

rampla

s s

R ssE s s

G s


grafico de BODE.

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CASO C

La pendiente inicial es de -40dB/dcada, por lo tanto hay un termino 1/s2.

Existe un cambio en la pendiente de +20dB/dcada por lo que hay un trmino (s+1). La frecuencia en el punto de cambio de pendiente es 0,2 rad/seg

10,2 5

Entonces:

2

(5 1)( )

K sG s

s


2

(5 1)( )

K jG j

Por lo tanto:

2

2

25 1( )

KG j

De la figura, cuando 20log ( ) 10G j , entonces 1 , de modo que:

2

2

2

2

2 0,50,5

2

2 2

25 120log 10

25 1log 0,5

25 1 10 110 0,62

26

0.62 13.1 0.620.2

( )

K

K

KK

s

sG s

s s

Control Automtico

Este es un sistema de clase 2.


0 0

( )lim ( ) lim 0%

1 ( )

escalon

s s

R ssE s s

G s

0 0

( )lim ( ) lim 0%

1 ( )

rampla

s s

R ssE s s

G s


grafico de BODE.

Control Automtico

Ejercicio 3

Sea un proceso fsico P al que se le ha sometido a un conjunto de entradas senoidales de

diferentes frecuencias: x() = A sen (t), donde w=2Pif, y se han monitorizado sus

respuestas: y() = B sen (t + (/180) ). Los resultados de dicha experimentacin se

presentan en la tabla adjunta.

Proceso P

x() = A sen (t) y() = B sen (t + (/180) )

(rad/seg) A B (grad)

0.01 1 30 -91

0.1 1 3 -102

0.2 1 1.61 -113

0.4 1 0.96 -131

0.8 1 0.71 -153

1 1 0.67 -159

2 1 0.61 -177

4 1 0.56 -195

10 1 0.42 -222

100 1 0.06 -264

200 1 0.03 -267

1000 1 0.006 -269

A partir de su anlisis se pide:

Dibujar el diagrama de Bode del proceso Fsico.

Determinar el tipo de sistema.

Encontrar los mrgenes de estabilidad del proceso al cerrar el lazo: margen de fase y ganancia.

Hallar la funcin de transferencia del proceso: P(s)

Control Automtico

DESARROLLO

A continuacin se presenta el Diagrama de Bode, en Amplitud vs Frecuencia y Fase vs

Frecuencia.

Control Automtico

La pendiente inicial es de -20dB/dcada, por lo tanto hay un termino 1/s.

Existe un cambio en la pendiente de +20dB/dcada por lo que hay un trmino ( s+1).

La frecuencia en el punto de cambio de pendiente es 0,1 rad/seg

10,1 10

Entonces:

(10 1)( )

K sG s

s


2 2

2 2

(10 1) (10 ) 10( )

jK j K j K jKG j

j j

Control Automtico

Por lo tanto:

2 4 2 2 2

2

100 1( )

K K KG j


2

2

2

100 120log 0

100 1log 0

100 1 1 0,11 0,07

2

0,7 0,07( )

K

K

KK

sG s

s


1

0,7 0,07( )

sG s

s

Ya que el exponente de s es uno, se dice que el sistema es de clase 1.

Para corroborar que la funcin encontrada es la correcta se grafico bode, con lo cual

obtuvimos lo siguiente:

Control Automtico

Para determinar directamente los mrgenes de ganancia y de fase, se usar en Matlab los

comandos [Gm,Pm,Wcg,Wcp] = MARGIN(NUM,DEN) que se usan cuando se trabaja con

la funcin de transferencia, siendo margen de ganancia (Gm), margen de fase (Pm),

frecuencia de cruce de ganancia (Wcg) y la frecuencia de cruce de fase (Wcp).

Por lo que en Matlab finalmente queda:

num=[0.7 0.07]

den=[1 0]

sys=tf(num,den)

bode(sys)

[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(num,den)

Control Automtico

Cuyo resultado es:

Control Automtico

diagrama de bode

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