4.3 Anlisis de sistemas de control en el Domino de la frecuencia: Diagramas de BodeLas tcnicas para analizar la respuesta de un sistema en el dominio de la frecuencia son las ms populares para el anlisis y diseo del control de sistemas lineales. Se fundamentan en que cuando un sistema es perturbado con una entrada sinusoidal, la respuesta del sistema alcanza una estabilidad tambin sinusoidal con igual frecuencia pero diferente amplitud y existiendo una fase entre ellas.

Los diagramas de Bode son grficos de AR o MR y 0 en funcin de la frecuencia. Una representacin de Bode consiste de dos grficos: (1) log AR (o log MR) vs. Log w y (2) 0 vs. Log w. Frecuentemente, el termino 20 Log AR se expresa en decibeles y se grafica en vez de Log AR.4.3.1 Grficos de Bode de un elemento de ganancia puraLos grficos de Bode correspondientes a un elemento de ganancia se observan en la Figura 17.2. El valor de AR es constante e igual al valor de la ganancia y el ngulo fase es constante e igual a 0.4.3.2 Grficos de Bode de un sistema con atraso de primer orden

Los grficos de Bode correspondientes a un sistema con atraso de primer orden se observan en la Figura 17.3. El grfico de AR vs w se caracteriza por mostrar una asntota de baja frecuencia de pendiente cero y una asntota de alta frecuencia de pendiente menos uno. La frecuencia de esquina, es decir la interseccin entre las dos asntotas se localiza en 1/. En el grfico del ngulo fase se nota que a bajas frecuencias la fase es 0, mientras que a altas frecuencias se aproxima a -90. En la frecuencia de esquina, el ngulo fase es de -45.

Figura 17.2 Grficos de Bode para un sistema de Ganancia Pura (K =10)

Figura 17.3. Grficos de Bode de un sistema con atraso de primer orden(K = 5, = 1)

4.3.3 Grficos de Bode de un sistema de segundo ordenLos grficos de Bode para un sistema de segundo orden dependen del valor del factor de amortiguamiento y se observan en la Figura 17.4. En el grfico de AR se nota una asntota de baja frecuencia de pendiente cero y una asntota de alta frecuencia de pendiente -2. La frecuencia de esquina se localiza en 1/. La transicin del AR desde baja a alta frecuencia depende del valor de . A bajas frecuencias el ngulo fase se aproxima a 0, mientras que a altas frecuencias se aproxima a -180. En la frecuencia de esquina, el ngulo fase es de -90.Figura 17.4. Grficos de Bode para un sistema de segundo orden(K = 1, = 1).

Figura 17.4. Grficos de Bode para un sistema de segundo orden(K = 1, = 1)

4.3.4 Grficos de Bode de un sistema adelanto de primer orden

Los grficos de Bode correspondientes a un sistema adelanto de primer orden se observan en la Figura 17.5. El grfico de AR vs w se caracteriza por mostrar una asntota de baja frecuencia de pendiente cero y una asntota de alta frecuencia de pendiente +1. En el grfico del ngulo fase se nota que a bajas frecuencias la fase es 0, mientras que a altas frecuencias se aproxima a +90. En la frecuencia de esquina, el ngulo fase es de +45. Por lo tanto, un sistema con adelanto de primer orden proporciona un adelanto de fase.

Figura 17.5. Diagramas de Bode de un sistema con adelanto de primer orden(K = 5, = 1)

4.3.5 Grficos de Bode de un sistema de tiempo muerto puro

Los grficos de Bode correspondientes a un sistema de tiempo muerto puro se observan en la Figura 17.6. Cuando la frecuencia aumenta, el ngulo fase se hace ms negativo. Entre mayor es el valor del tiempo muerto, ms rpido disminuye el ngulo fase (se vuelve ms rpidamente negativo) sin lmite.

4.3.6 Grficos de Bode de un sistema integrador

Los grficos de Bode correspondientes a un sistema integrador se observan en la Figura 17.7. Se observa un grfico de AR o MR que es una lnea recta con pendiente -1 y se cumple que a una frecuencia de 1 radian/unidad de tiempo, la AR o MR es igual a uno

Figura 17.6. Diagramas de Bode de un sistema de tiempo muerto puro (to = 0.1)

Figura 17.7. Grficos de Bode para un sistema integrador (K = 1, = 1)

4.3.7 Grfico de Bode de un controlador PI

Los grficos de Bode correspondientes a un controlador proporcional integral se observan en la Figura 17.8. Se nota un grfico de AR o MR que es una lnea recta con pendiente El grfico de AR versus w, para un controlador PI, se caracteriza por mostrar una asntota de baja frecuencia de pendiente -1 y una asntota de alta frecuencia de pendiente cero en el valor de AR/Kc = 1.0. La frecuencia de esquina, es decir la interseccin entre las dos asntotas se localiza en I w. En el grfico del ngulo fase se nota que a bajas frecuencias la fase es -90, mientras que a altas frecuencias se aproxima a 0. En la frecuencia de esquina, el ngulo fase es de -45.

Figura 17.8. Diagrama de Bode Controlador PI (K = 5, = 2)

4.3.8 Grfico de Bode de un controlador PID

Los grficos de Bode correspondientes a un controlador proporcional integral derivativo se observan en la Figura 17.9. El grfico de AR versus w, muestra una asntota de baja frecuencia de pendiente -1, otra de alta frecuencia de pendiente 1 y otra entre las dos de pendiente cero para una ordenada de AR/Kc igual a uno. . Se observan dos frecuencias de esquina localizadas en 1/I y en 1/D.

Figura 17.9. Diagrama de Bode Controlador PID (K = 5, I = 10, D = 2)

4.3.9 Grficos de Bode de sistemas complejosLas ecuaciones (17.11) y (17.12) permiten la construccin de los grficos de Bode para sistemas complejos con funciones de transferencia que incluyen tiempo muerto, adems de zeros y polos como la siguiente:

Los comandos disponibles en Matlab permiten la construccin del diagrama de Bode con mucha facilidad y que se muestra en la Figura 17.10. A bajas frecuencias, w < 0.33, la pendiente es -1 a causa del trmino integrador. A una frecuencia w = 0.33, uno de los atrasos de primer orden comienza a contribuir al grfico y, por lo tanto, la pendiente de la grfica cambia a -2 a esta frecuencia. A una frecuencia w = 0.5, el otro atraso de primer orden comienza a contribuir cambiando la pendiente de la asntota a -3. Finalmente, a una frecuencia w = 1, el adelanto de primer orden entra con una pendiente de +1 y la pendiente de la asntota cambia nuevamente a -2.

En forma similar, el grfico del ngulo fase se obtiene mediante la suma algebraica de los ngulos individuales.

4.4 Criterio de NyquistSiguiendo un desarrollo en todo paralelo al de los sistemas en tiempo continuo, este criterio se basa en el principio del argumento: El nmero de races de 1 + G[z] en una regin del plano complejo (exterior del crculo unitario) iguala la suma de polos de 1 + G[z] en dicha regin ms el nmero de rodeos en sentido horario sobre el origen que realiza la curva 1 + G[z] para valores de z en el contorno de la regin.N = P + RP: nmero de polos con mdulo >1 de G[z]. Si hay polos z=1 se completa la curva con otros tantos semicrculos de gran dimetro horarios, desde 0 a +0.

R: nmero de rodeos horarios sobre el punto -1 de la curva de respuesta en frecuencia , para 0 s (0 Ts 2).

Ejemplo 3.6En el sistema de la Figura 3.2, a partir de la Figura 3.3 puede obtenerse la forma del grfico de Nyquist del lazo abierto G[z] para k1=1: Figura 3.7.

Figura 3.7 Grfico de Nyquist Puede comprobarse que hay 2 rodeos, N = 0 + 2, y el sistema en lazo cerrado es inestable.Para una fase de 180 la amplitud es 1,25: el sistema sera estable para k1< 1/1,25=0,8

4.4.1 Transformacin bilinealComo se estudi la transformacin bilineal convierte la circunferencia unitaria en z en el eje imaginario en w. Por medio de esta transformacin pueden aplicarse criterios de sistemas en tiempo continuo.

4.4.2 Criterio de Routh HurwitzPuede aplicarse al polinomio caracterstico A(w) obtenido al aplicar la transformacin bilineal al polinomio caracterstico A[z] A (w) = an (c+w)n + an-1 (c+w)n-1 (c-w) + ... + a1 (c+w) (c-w) n-1 + a0 (c-w) nEs tpico adoptar el valor c=1, ya que no interesan las frecuencias.

4.4.3 Criterio de NyquistPuede aplicarse a la respuesta en frecuencia racional G(w) obtenida al aplicar la transformacin bilineal al lazo abierto G[z]; w = jB para - B (que corresponde a -s/2 s/2).La forma del diagrama de Nyquist es idntica para G[z] y G (w); difiere la graduacin en frecuencia, por lo que es preciso transformar esta graduacin para interpretar pulsaciones caractersticas como la de cruce 0, o la de oscila-cin u. Una eleccin adecuada de c puede hacer que B y difieran poco en la zona de inters.

4.4.4 Grfico de Black y mrgenes de estabilidad.El grfico de Black presenta la relacin entre amplitud y fase con escalas ms cmodas que las del grfico de Nyquist; para la pulsacin hay que recurrir al grfico de Bode. Permite analizar la estabilidad en sistemas normales mediante una simplificacin del criterio de Nyquist, el criterio del reverso. Tambin permite visualizar fcilmente dos medidas tiles de robustez de la estabilidad (distancia al punto crtico 1, en este grfico 0dB, -180). Tambin son medidas del amortiguamiento, y sus pulsaciones asociadas, medidas de la rapidez. Por ltimo, pueden usarse estas medidas para disear controles; aqu se mencionar el ajuste de un control proporcional, dejando para otro captulo otros controles ms elaborados.

4.4.5 Criterio del reversoUn sistema es estable si el grfico de Black de su lazo abierto G[z], recorrido en el sentido de las frecuencias crecientes, deja a la derecha el punto (0dB, -180).

4.4.6 Margen de ganancia

Si el sistema es inestable para ganancias grandes, es el factor por el que hay que multiplicar el lazo abierto para obtener un sistema oscilante. Si K es la ganancia del lazo abierto, y la ganancia que da oscilacin,

Aumentar ganancia equivale a trasladar verticalmente la curva de Black hacia arriba (sumando los dB); es ms cmodo usar . La pulsacin correspondiente es la pulsacin de oscilacin. Analticamente:

Se suele exigir un valor mnimo de 2 (6dB); pero son frecuentes valores muy superiores.

4.4.7 Margen de faseEs el retraso de fase que habra que aadir al lazo abierto para obtener un sistema oscilante.

Retrasar la fase equivale a trasladar horizontalmente la curva de Black hacia la izquierda. La pulsacin correspondiente, , es la pulsacin de cruce (no confundir con la pulsacin de corte). Analticamente:

Valores recomendados son de 45 a 60.4.4.8 Ajuste de control proporcionalEl grfico de Black de la planta P[z] es igual al lazo abierto G[z] con control proporcional = 1. Variar el control equivale a trasladar la curva verticalmente, pero no es necesario efectuar esta traslacin sobre el papel, ya que basta con anotar los puntos correspondientes.

Ejemplo 3.7En el sistema de la Figura 3.2, a partir de la Figura 3.3 puede obtenerse el grfico de Black del lazo abierto G[z] para k1=1, P[z].

Figura 3.8 Grfico de Black de

El sistema en lazo cerrado es inestable para k1=1, ya que deja a la izquierda el punto crtico (0dB, -180). No tiene mucho sentido hablar de margen de ganancia y de fase.Si se especifica un margen de fase m =60, es preciso buscar el punto de fase -180+60 = -120. Corresponde 0Ts = 0,3 (Bode) y A = 12,3 dB.Se ajustar k1 = -12,3 dB = 0,243. Este ajuste equivale a trasladar el eje de 0 dB a la lnea de trazos indicada.Al punto de 180 corresponde uTs = 0,93 (Bode) y A = 1,9 dB. Con este ajuste, resulta A m = 12,3 -1,9 = 10,4 dB = 3,3, igual a 0,8/0,243.

ndice

4.3 Anlisis de sistemas de control en el Domino de la frecuencia: Diagramas de Bode4.3.1 Grficos de Bode de un elemento de ganancia pura4.3.2 Grficos de Bode de un sistema con atraso de primer orden4.3.3 Grficos de Bode de un sistema de segundo orden4.3.4 Grficos de Bode de un sistema adelanto de primer orden4.3.5 Grficos de Bode de un sistema de tiempo muerto puro4.3.6 Grficos de Bode de un sistema integrador4.3.7 Grfico de Bode de un controlador PI4.3.8 Grfico de Bode de un controlador PID4.3.9 Grficos de Bode de sistemas complejos4.4 Criterio de Nyquist4.4.1 Transformacin bilineal4.4.2 Criterio de Routh Hurwitz4.4.3 Criterio de Nyquist 4.4.4 Grfico de Black y mrgenes de estabilidad.4.4.5 Criterio del reverso4.4.6 Margen de ganancia4.4.7 Margen de fase4.4.8 Ajuste de control proporcional

Bibliografa:

Dominio Frecuencia Criterio de Bode, pg. 327Sistemas retroalimentados de control de tiempo discreto, Capitulo III. Pg. 36