DISEÑO DE COMPENSADORES USANDO

LOS DIAGRAMAS DE BODE

INTRODUCCIÒN

Se abordará a continuación el problema de especificar los parámetros de compensadores

eléctricos típicos, que son las formas aproximadas de los controladores industriales P,

PI, PD, y PID estudiados anteriormente.

En el cuadro siguiente se muestran las funciones de transferencia de estos

compensadores y a cuáles controladores corresponden.

13

COMPENSADOR EN ADELANTO

La función de transferencia del compensador en adelanto es:

sTsTK

TsTsKG c

cc ⋅⋅+

⋅+=

⋅++

=ααα 1

11

1 con α<1

Para prever los efectos de este compensador en el sistema compensado, se

analiza a continuación el diagrama polar y también el diagrama de Bode del

compensador en adelanto.

Diagrama polar de la red de adelanto:

α+α−

=

αα+

α−

=φ11

21

21

msen en ωm

Nótese que φm aumenta al disminuir el valor de α.

14

El diagrama de Bode de la red de adelanto se muestra a continuación.

15

TECNICAS DE COMPENSACION

MEDIANTE EL USO DE DIAGRAMAS DE BODE.

EJEMPLO DEL DISEÑO DE UN COMPENSADOR EN ADELANTO.

Diseñe un compensador para que el sistema con

)102.0)(15.0(4)(

+⋅+⋅=

ssssGH

cumpla con las siguientes especificaciones:

.- Kv ≥ 40 seg-1 ,

.- MF ≥ 45º,

.- MG tal que W ≥15 rad/seg. (W es la frecuencia que corresponde a una magnitud de -3

db en el diagrama de Bode de lazo abierto).

PROCEDIMIENTO DE RESOLUCION:

a) Determine la ganancia necesaria para cumplir el requisito de coeficiente de error.

Kc’=10 para que Kv=40 ⇒

′ ⋅ =⋅ + ⋅ +

K GH ss s sc ( )( . )( . )

4005 1 0 02 1

b) Trace el diagrama de Bode del sistema de lazo abierto, con la ganancia hallada en

(a), y encuentre los actuales MF, MG, y W.

(MF ≈ 5º; W ≈ 10rad/seg.)

c) Determine el adelanto de fase necesario que debe ser agregado al sistema:

φ = (45º-5º) + 12º = 52º

(los 12º se añaden para compensar el desplazamiento de la frecuencia de transición

de la ganancia).

17

Sistema sin Compensar con K=40 )102.0)(15.0(

40)(++

=sss

sG

10-1 100 101 102 103-200

-100

0

100

Frequency (rad/sec)

GaindB

10-1 100 101 102 103

-90

-180

-270

0

Frequency (rad/sec)

Phasedeg

Bode del compensador en adelanto diseñado:

)10,02242 (119.0)(+

+=

sssG

10-1 100 101 102 1030

10

20

Frequency (rad/sec)

GaindB

10-1 100 101 102 1030

20

40

60

Frequency (rad/sec)

Phasedeg

16

d) Halle α, sabiendo que: sen .φαα

α=−+

⇒ =11

0118

e) Determine la frecuencia a la cual el sistema no compensado tiene una magnitud

igual a −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = = −20

110 9 28log log .

αα db ; esta frecuencia es W=15rad/seg.

Fije esta W, que es la frecuencia media Wm del compensador, como la nueva

frecuencia de transición de la ganancia, (en esta frecuencia se produce precisamente

el φm que aporta el compensador).

f) Determine el cero y el polo de la red de adelanto como se muestra ya

que:

WT

TT

rad seg yT

rad segm = − =⋅

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⇒> = ⇒ =

⋅=15

1019

1515

14366

α α. . / . /

g) Determine la “ganancia” de la red de adelanto: K’c=Kc/α=10/0.118=84,75.

h) Compruebe en el diagrama de Bode del sistema compensado, que se cumplan las

especificaciones requeridas (MF ≈ 45º; W ≈ 20rad/seg).

LIMITACIONES

φm ≤ 60º

α ≥ 0.07 y menor que 1.

18

Sistema Compensado )10,02242 (

119.0*)102.0)(15.0(

40)(+

+++

=s

ssss

sG

10-1 100 101 102 103-100

0

100

Frequency (rad/sec)

GaindB

10-1 100 101 102 103

-90

-180

-270

0

Frequency (rad/sec)

Phasedeg

Compensador en adelanto Respuesta transitoria ante una entrada escalón unitaria

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2*** Sistema Original

--- Sistema con K=40

ooo Sistema Compensado

19

Respuesta temporal del sistema original ante una entrada rampa unitaria

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

7

8

Time (second) Respuesta temporal del sistema compensado ante una entrada rampa unitaria

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Time (second)

20

COMPENSADOR EN ATRASO

Función de transferencia del compensador:

G KT s

T sK s T

s Tconc c

c=+ ⋅

+ ⋅ ⋅=

++ ⋅

⟩( )

( )( )

( )1

11

11

α α αα

Diagrama de Bode de la red de atraso:

21

TECNICAS DE COMPENSACION MEDIANTE EL USO DE DIAGRAMAS DE

BODE.

EJEMPLO DEL DISEÑO DE UN COMPENSADOR EN ATRASO.

Un sistema tiene la siguiente función de transferencia de lazo abierto:

GH ss s

( )( . )( . )

=+ ⋅ + ⋅

21 0 25 1 01 s

Diseñar un compensador en atraso tal que el sistema tenga:

.- Kv ≥ 4 seg-1.

.- MF ≥ 40º

.- MG ≥ 12db.

PROCEDIMIENTO DE RESOLUCION:

a) Determinar la ganancia de lazo abierto tal que se satisfaga el requerimiento de

coeficiente de error:

Kv (actual) = 2 ⇒ K=2Kc=4 ⇒ K GH ss sc ⋅ =

+ ⋅ + ⋅( )

( . )( . )4

1 0 25 1 01 s

b) Con la ganancia así determinada, trazar el diagrama de Bode (de lazo abierto)

del sistema no compensado, y determinar MF y MG. Si son insuficientes,

proceder con los otros pasos.

(Condiciones actuales del sistema: MG ≈ 7db ; MF ≈ 24º)

c) Hallar el valor de la frecuencia que corresponde a un margen de fase igual al

margen de fase requerido más un agregado entre 5 y 12º (que se añaden para

compensar el retardo de fase que produce la red de atraso). Se elige esta

frecuencia como la nueva frecuencia de transición de la ganancia: WT’ ⇒ WT’ (corresponde a MF= 40º+5º=45º)=2.4rad/seg.

22

d) Se elige 1/T una década por debajo de WT’ ⇒ 1/T=0.24rad/seg. (para asegurar T

suficientemente grande y que la curva de fases no se vea afectada en la zona de

transición de la ganancia).

e) Determinar la atenuación necesaria para reducir la curva de amplitud a 0 db en

WT’, atenuación que corresponde a -20 log α.

En el diagrama de bode: WT’ corresponde a 4.2db ⇒ -20 log α=-4.2db.

⇒ α = 1.62 ⇒ 1/ α·T = 0.15rad/seg.

(Este último punto: el polo de la red de atraso, también puede determinarse

como el punto de corte en la recta de 0 db, de una línea recta de pendiente

- 20db/dec que parte del punto correspondiente al cero de la red, en la atenuación

deseada).

f) Finalmente, se obtiene el diagrama de Bode del sistema compensado, y se

comprueban las especificaciones.

(MF ≈ 43º; MG ≈ 13db).

Función de transferencia del sistema compensado:

G GH sss sc ⋅ =

s s++ + ⋅ + ⋅

( ).

.. ( . )( . )

1162

0 24015

41 0 25 1 01

23

Sistema sin Compensar :)11.0)(125.0(

4)(++

=sss

sG

10-1 100 101 102-100

-50

0

50

Frequency (rad/sec)

GaindB

10-1 100 101 102

-90

-180

-270

0

Frequency (rad/sec)

Phasedeg

Bode del compensador en adelanto diseñado: )15.0 (

24.0*62.11)(

++

=sssG

10-2 10-1 100-4

-2

0

Frequency (rad/sec)

GaindB

10-2 10-1 100-15

-10

-5

0

Frequency (rad/sec)

Phasedeg

24

Sistema Compensado:)15.0 (

24.0*62.11*

)11.0)(125.0(4)(

++

++=

ss

ssssG

10-3 10-2 10-1 100 101 102-100

0

100

Frequency (rad/sec)

GaindB

10-3 10-2 10-1 100 101 102

-90

-180

-270

0

Frequency (rad/sec)

Phasedeg

25

Compensador en atraso

Respuesta transitoria ante una entrada escalón unitaria

0 1 2 3 4 5 6 7 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

*** Sistema Original

--- Sistema con K=4

ooo Sistema Compensado

Respuesta temporal del sistema original ante una entrada rampa unitaria

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

7

Time (second)

26

Respuesta temporal del sistema compensado ante una entrada rampa unitaria

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

7

Time (second)

27

TECNICAS DE COMPENSACION MEDIANTE EL USO DE DIAGRAMAS DE

BODE.

EJEMPLO DEL DISEÑO DE UN COMPENSADOR EN ADELANTO-ATRASO.

Un sistema tiene la siguiente función de transferencia:

G sK

s s( )

( . )( .=

+ ⋅ + ⋅1 0 25 1 01 s)

Se quiere que el sistema de lazo cerrado con retroalimentación unitaria tenga:

1.- Coeficiente de error de velocidad: Kv = 15.

2.- MF ≥ 50º.

3.- MG ≥ 10 db.

Del requisito de coeficiente de velocidad

15)1.01)(25.01(

lim)(lim00

=⋅+⋅+/

/=⋅=→→ ss

KsssGsK

ssv

Se dibuja el diagrama de Bode del sistema.

Margen de fase = -15º.

Margen de ganancia = -6db.

El próximo paso en el diseño de un compensador Adelanto-Atraso es la elección

de la nueva frecuencia de transición de ganancia.

De la curva de ángulo de fase de G(jw) vemos que ∠G(jw)=-180º es en

Wc=6rad/seg.

Es conveniente elegir la nueva frecuencia de transición en 6rad/seg para que el

ángulo de fase requerido en W=6rad/seg sea mas o menos 50º.