la derivada

LADERIVADA

Francisco Hernández

Guillermo de la HozJesús Echávez

Carlos de la PeñaJaime Bravo

11°A

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

DERIVADA: DEFINICION

¿Qué significa

“derivar”?

La derivada es uno de los conceptos más importante en matemáticas. La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto. Pero vayamos por partes.

La definición de derivada es la siguiente:

Aún no entiendo

DERIVADA: DEFINICION

El concepto se derivada se aplica en los casos donde es necesario medir la rapidez con que se

produce el cambio de una situación. Por

ello es una herramienta de

cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y

Biología.

La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado

para la variable independiente se toma cada vez más pequeño.

La derivada de la función en el punto

marcado equivale a la pendiente de la recta

tangente (la gráfica de la función está dibujada en negro; la tangente a la curva está dibujada

en rojo).

DERIVADA: DEFINICION

DERIVADA DE UNA FUNCION

Y este concepto,

¿qué?

Si aprendiste límites, lo

sabrás

La función derivada de una función f(x) es una función que asocia a cada número real su derivada, si existe. Se expresa por f'(x).

Ejemplo: Determinar la función derivada de x2 − x + 1.

DERIVADA DE UNA FUNCION

EJEMPLO: Sea la función cuadrática f(x)= x2 definida para todo x perteneciente a los reales. Se trata de calcular la derivada de esta función para todo punto x ∈ R — puesto que es continua en todos los puntos de su dominio —, mediante el límite de su cociente de diferencias de Newton. Así:

El cociente de diferencias de Newton es la definición de

derivadas que hemos visto.

REGLAS DE DERIVACIÓNLas reglas de derivación son los métodos que se emplean para el cálculo de la derivada de una

función. Dependiendo del tipo de función se utiliza un método u otro.

DERIVADA DE UNA POTENCIA REAL

Una función potencial con exponente real se

representa por f(x)=axn

y su derivada es f’(x)=anxn-1.

DERIVADA DE UNA SUMA

Se puede demostrar a partir de la definición de

derivada, es decir:

(f+g)’(x)= f’(x)+g’(x)

DERIVADA DE UN PRODUCTO

La derivada de un producto está definida

como:h(x)=(f .g)(x)

Y su derivada es:h’(x)=f’.g + f.g’

REGLAS DE DERIVACIÓNLas reglas de derivación son los métodos que se emplean para el cálculo de la derivada de una

función. Dependiendo del tipo de función se utiliza un método u otro.

DERIVADA DE UN COCIENTE

La derivada de un cociente se determina por

la siguiente relación:

REGLA DE LA CADENA

La regla de la cadena es una fórmula para calcular

la derivada de la composición de dos o más

funciones.

EN RESUMEN

La derivada de una función es un concepto

local, es decir, se calcula como el límite

de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el

intervalo considerado para la variable

independiente se toma cada vez más

pequeño.

1. Las reglas de derivación son los métodos que se emplean para el

cálculo de la derivada de una función.

Dependiendo del tipo de función se utiliza un

método u otro.• Regla de la

constante• Regla de la potencia

real• Regla de la suma• Regla del producto• Regla del cociente• Regla de la cadena

3.La definición de derivada es la

siguiente:

Esta expresión es el cociente de diferencias de Newton. La derivada de f en x es el límite del valor del cociente diferencial,

conforme las líneas secantes se aproximan a

la línea tangente.

2.

DERIVADA EN UN PUNTO

La derivada de una función en un punto se obtiene como el límite del cociente incremental: el incremento del valor de la función con respecto al incremento de la variable, cuando este tiende a

cero.La derivada de una función en un punto es un número real.

Por tanto, la derivada de una función en un punto x0 viene dada

por la pendiente de la recta tangente a la

curva en el punto de abscisa x0 , es decir P(x0, f(x0)). Si una

función tiene derivada en un punto

se dice que es derivable.

Clic aquí para saber qué es

esto.

Sea una función y = f(x) y x0 un punto del eje x. Si se toma un punto x0 + h muy próximo a x0 (h es un número infinitamente pequeño), a medida que se hace tender h a cero, la recta secante que une los puntos [x0,f(x0)] y [(x0+h),f(x0+h)] tiende a confundirse con la tangente a la curva en el punto [x0,f(x0)].

Ahora sabremos el porqué de la derivada en un punto, mediante su interpretación geométrica.

Si β es el ángulo que forma la secante con el eje de abscisas, y α el ángulo que determina la tangente con ese mismo eje, en el triángulo rectángulo de vértices [x0,f(x0)], [(x0+h),f(x0+h)] y [(x0+h),f(x0)], se verifica:

tan 𝛽=𝑓 (𝑥0+h ) − 𝑓 (𝑥0)

h

Al hacer tender h a cero, y puesto que la secante tiende a confundirse con un segmento de la tangente, tan β tiende a tan α, es decir, a la pendiente de la tangente a la curva en el punto [x0,f(x0)]. Esto se expresa matemáticamente así:

limh →0

tan 𝛽=limh → 0

𝑓 (𝑥0+h ) − 𝑓 (𝑥0)

h= tan𝛼

DERIVADA DE UNA FUNCION EN UN PUNTO

La derivada de la función f(x) en el punto x = a es el valor del límite, si existe, de un cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.

Calcular la de derivada de f(x)=2x2-6x+5 en x=-5

EJEMPLOS

Calcular la derivada de en x=2 Calcular la derivada de en x=2

DERIVADAS LATERALES

Una función es derivable en un punto si, y sólo si, es derivable por la izquierda y por la derecha en dicho punto y las derivadas

laterales coinciden.

Derivada lateral por la derecha

Derivada lateral por la izquierda

EJEMPLOS

Calcular las derivadas laterales para la función especificada

EJEMPLOS

¿ lim𝑥→ 1+¿

−𝑥2+5 𝑥− 4 −(0)𝑥−1

= lim𝑥→1+¿

− (𝑥− 4 )∗ ( 𝑥−1)𝑥− 1

¿

¿ ¿

¿

¿ lim𝑥→ 1+¿ −𝑥+4=−1+4=3¿

¿

¿ lim𝑥→ 1 −

𝑥3 −1 −(0)𝑥− 1

= lim𝑥→ 1 −

(𝑥−1 )∗ (𝑥2+𝑥+1 )𝑥− 1

¿ lim𝑥→ 1 −

𝑥2+𝑥+1=1+1+1=3

Como el la derivada lateral por la derecha coincide con la izquierda, se dice que f(x) es derivable en x=1 y en f’(1)=3

EN RESUMEN

La derivada de una función en un punto se obtiene como el límite

del cociente incremental: el

incremento del valor de la función con

respecto al incremento de la variable, cuando

este tiende a cero.

1.La definición de derivada de una

función en un punto es la siguiente:

2.Una función es

derivable en un punto si, y sólo si, es derivable por la

izquierda y por la derecha en dicho punto

y las derivadas laterales coinciden.

3.

DERIVADA EN UN INTERVALO

DOMINIO DE DERIVABILIDADDecimos que una función es derivable en un intervalo abierto (x1,x2) de su dominio si lo es en cada uno de sus puntos. En general el conjunto de puntos donde la función es derivable constituye su

dominio de derivabilidad.

Hay que observar que el dominio de derivabilidad de una función puede no coincidir con el dominio de la función. O dicho de otra forma, el dominio de la función f(x) puede no coincidir con el dominio de la función derivada f ´(x).EJEMPLO: Consideremos la función valor absoluto de x que queda definida de la siguiente manera:

El dominio de y=f(x) es R (conjunto de números reales) mientras que el dominio de y´ es R - {0} puesto que en x=0 la función f(x) presenta un punto anguloso y la pendiente por la izquierda no coincide con la pendiente por la derecha. La gráfica de la función derivada es:

DERIVABILIDAD EN UN INTERVALO

1° Una función es

derivable en un intervalo abierto si es derivable en cada uno de sus puntos.

2° Una función es

derivable en un intervalo cerrado [a,b] si es derivable en cada uno de los puntos del intervalo abierto y derivable por la derecha en a y por la izquierda en b.

En la gráfica podemos observar que la función es derivable en el intervalo (n,p) pero no en el (m,p) ya que en este último intervalo

contiene un punto anguloso

EJEMPLOS

¿Es derivable la función en el intervalo cerrado [0,2]?𝑓 (𝑥 )=𝑥2

Sí lo es, pues al ser polinómica es derivable en cada uno de los puntos del intervalo cerrado [0,2]. Por otra parte, es derivable tanto por la derecha de x=2 como por la izquierda de x=0.

EJEMPLOS

¿Es derivable la función en el intervalo abierto (-2,2)?

Como una función es derivable en un intervalo abierto si todos los puntos dentro de ese intervalo son derivables, revisamos si esta condición se cumple. Analicemos si la función es derivable en el punto x=0.

Como los límites laterales no coinciden, se dice que la función no es derivable en el punto x=0, por lo tanto no se cumple la condición. Así llegamos a la conclusión de que la función no es derivable en (-2,2).

EN RESUMEN

En general el conjunto de puntos donde la función es derivable

constituye su dominio de derivabilidad. Hay que observar que el

dominio de derivabilidad de una

función puede no coincidir con el

dominio de la función.

1.

Una función es derivable en un

intervalo abierto si es derivable en cada uno

de sus puntos.

2.Una función es derivable en un

intervalo cerrado [a,b] si es derivable en cada uno de los puntos del intervalo abierto y

derivable por la derecha en a y por la

izquierda en b.

3.