la derivada
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INTRODUCCIÓN
1ª Parte
A LA DERIVADA
La derivada es, con toda seguridad, uno de los conceptos
más importantes de la matemática…
Tenemos derivadas en multitud de situaciones, como en…
Tenemos derivadas en multitud de situaciones, como en…
La Física
Tenemos derivadas en multitud de situaciones, como en…
Si una pelota de tenis es impulsada hacia arriba con una velocidad de 20 m/s, la distancia recorrida (esto es: la altura que alcanza) al cabo de t segundos, viene dada por la función
2520)( ttts −=
Tenemos derivadas en multitud de situaciones, como en…
La Física
Si una pelota de tenis es impulsada hacia arriba con una velocidad de 20 m/s, la distancia recorrida (esto es: la altura que alcanza) al cabo de t segundos, viene dado por la función
Cabe preguntarse: a) ¿Qué altura alcanzará la pelota al cabo de 1 s.?b) ¿Cuál es su velocidad media durante el “segundo segundo”, o sea en el intervalo [1, 2] ?c) ¿Cuál es la velocidad “instantánea” que lleva la pelota en t=4?
2520)( ttts −=
Tenemos derivadas en multitud de situaciones, como en…
La Ecología
El nivel promedio de monóxido de carbono, en partes por millón, de una gran ciudad viene dado por la función
donde x indica años a partir del 1 de Enero de 1998.Calcula: a) La tasa de variación media del nivel de CO durante 1999 y 2000b)El ritmo de crecimiento al empezar el año 2002
31,002,0)( 3 ++= xxxM
Tenemos derivadas en multitud de situaciones, como en…
Las Ciencias Sociales
A partir de 1960, la población, en miles de personas, de un pueblo cercano a Madrid, se ajustó a la función
siendo t, el tiempo en años.
Calcula: a) La población en 1960 (t=0) y en 1980 (t= ?)
b) La tasa de variación media en el período [1960, 1980]
c) La tasa instantánea de variación a principios de 1970 ( t=10)
101,0
165180)(
2 +−=
ttP
Tenemos derivadas en multitud de situaciones, como en…
La Economía
El beneficio ( en €) de cierta empresa viene dado por la expresión
siendo x, el tiempo en años transcurridos desde 1990.
Calcula: a) La tasa de crecimiento medio del beneficio durante 1994 y 1995
c) La tasa instantánea de beneficio al comenzar 1997
322,0)( 2 ++= xxxB
Podríamos seguir con otras cienciascomo
Podríamos seguir con otras cienciascomo
La Biología
o la Química
Pero vamos a fijarnos también en un problema que corresponde a la matemática abstracta…
Pero vamos a fijarnos también en un problema que corresponde a la matemática abstracta…
Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola
en el punto de abscisa x = 2432 +−= xxy
Todos estos problemas se van a resolver de modo muy parecido
usando la
DERIVADA
Vamos a resolver alguno de ellos
Si una pelota de tenis es impulsada hacia arriba con una velocidad de 20 m/s, la distancia recorrida (esto es: la altura que alcanza) al cabo de t segundos, viene dada por la función
Cabe preguntarse: a) ¿Qué altura alcanzará la pelota al cabo de 1s.?b) ¿Cuál es su velocidad media durante el “segundo segundo”, o sea en el intervalo [1, 2] ?c) ¿Cuál es la velocidad “instantánea” que lleva la pelota en t=4?
2520)( ttts −=
Puesto que la altura que alcanza la pelota al cabo de t segundos, viene dada por la función
a) ¿A qué altura estará la pelota al cabo de 1s.?
2520)( ttts −=
2520)( ttts −=
.15)1(5)1(20)1( 2 ms =⋅−⋅=
SOLUCIÓN:
b) ¿Cuál es su velocidad media durante el “segundo segundo”, o sea en el intervalo [1, 2] ?
2520)( ttts −=
SOLUCIÓN:
2520)( ttts −=
./512
1520
12
)1()2(]2,1[ sm
ssvm =
−−=
−−=
c) ¿Cuál es la velocidad “instantánea” que lleva la pelota en t=4?
2520)( ttts −=
2520)( ttts −=
SOLUCIÓN: En primer lugar vamos a calcular la velocidad instantánea en un instante cualquiera “t0”
Para ello, lo mejor es calcular la velocidad media en un intervalo muy pequeño de tiempo (digamos, desde hasta )"" 0 tt ∆+"" 0t
Para ello, lo mejor es calcular la velocidad media en un intervalo muy pequeño de tiempo (digamos, desde hasta )
2000 )(5)(20)( tttttts ∆+−∆+=∆+
"" 0 tt ∆+"" 0t
Así que podemos poner
2000 520)( ttts −=
Para ello, lo mejor es calcular la velocidad media en un intervalo muy pequeño de tiempo (digamos, desde hasta )
2000 )(5)(20)( tttttts ∆+−∆+=∆+
"" 0 tt ∆+"" 0t
Así que podemos poner
2000 520)( ttts −=
y teniendo bien presente lo que significa “velocidad media”, escribimos:
=−∆+
−∆+=∆+00
0000 )(
)()(],[
ttt
tsttstttvm
Ahora es el momento de recordar las identidades notables y desarrollar la expresión anterior:
=−∆+
−∆+=∆+00
0000 )(
)()(],[
ttt
tsttstttvm
=∆
−−∆+−∆+=
=−∆+
−∆+=∆+
t
tttttt
ttt
tsttstttvm
}520{})(5)(20{
)(
)()(],[
200
200
00
0000
=∆
−−∆+−∆+=−∆+
−∆+=∆+t
tttttt
ttt
tsttstttvm
}520{})(5)(20{
)(
)()(],[
200
200
00
0000
==∆
+−∆−∆−−∆+= )(52010552020 2000
2200 cálculoslosverificarprocura
t
tttttttt
=∆
∆−∆−∆=t
tttt 02 10520
=∆
−−∆+−∆+=−∆+
−∆+=∆+t
tttttt
ttt
tsttstttvm
}520{})(5)(20{
)(
)()(],[
200
200
00
0000
==∆
+−∆−∆−−∆+= )(52010552020 2000
2200 cálculoslosverificarprocura
t
tttttttt
=∆
∆−∆−∆=t
tttt 02 10520
=∆
∆−∆∆−
∆∆=
t
tt
t
t
t
t 02 10520
=∆
−−∆+−∆+=−∆+
−∆+=∆+t
tttttt
ttt
tsttstttvm
}520{})(5)(20{
)(
)()(],[
200
200
00
0000
==∆
+−∆−∆−−∆+= )(52010552020 2000
2200 cálculoslosverificarprocura
t
tttttttt
=∆
∆−∆−∆=t
tttt 02 10520
=∆
∆−∆∆−
∆∆=
t
tt
t
t
t
t 02 10520
010520 tt −∆−=
=∆
−−∆+−∆+=−∆+
−∆+=∆+t
tttttt
ttt
tsttstttvm
}520{})(5)(20{
)(
)()(],[
200
200
00
0000
==∆
+−∆−∆−−∆+= )(52010552020 2000
2200 cálculoslosverificarprocura
t
tttttttt
=∆
∆−∆−∆=t
tttt 02 10520
=∆
∆−∆∆−
∆∆=
t
tt
t
t
t
t 02 10520
010520 tt −∆−=
En resumen: La velocidad media desde """" 00 tthastat ∆+
es:
=∆
−−∆+−∆+=−∆+
−∆+=∆+t
tttttt
ttt
tsttstttvm
}520{})(5)(20{
)(
)()(],[
200
200
00
0000
==∆
+−∆−∆−−∆+= )(52010552020 2000
2200 cálculoslosverificarprocura
t
tttttttt
=∆
∆−∆−∆=t
tttt 02 10520
=∆
∆−∆∆−
∆∆=
t
tt
t
t
t
t 02 10520
010520 tt −∆−=En resumen: La velocidad media desde """" 00 tthastat ∆+
es: smtttttvm /10520],[ 000 −∆−=∆+
smtttttvm /10520],[ 000 −∆−=∆+Velocidad media
smtttttvm /10520],[ 000 −∆−=∆+Velocidad media
Para saber la velocidad instantánea de la pelota cuando t=t0, sólo tenemos que calcular…
smtttttvm /10520],[ 000 −∆−=∆+Velocidad media
¡Un límite!
Para saber la velocidad instantánea de la pelota cuando t=t0, sólo tenemos que calcular…
smt
tt
tttvtv
t
mt
/2010
10520lim
],[lim)(
0
00
000
0
+−=
=−∆−=
=∆+=
=
→∆
→∆
:DEFINICIÓN
.tt EN AINSTANTÁNE VELOCIDAD 0
Es, en resumen, el límite de las tasas de variación media, cuanto el incremento de la variable independiente tiende a cero.
smt
tt
tttvtv
t
mt
/2010
10520lim
],[lim)(
1
10
110
1
+−=
=−∆−=
=∆+=
→∆
→∆
En otro instante cualquiera t1, la velocidad sería,
smt
tt
tttvtv
t
mt
/2010
10520lim
],[lim)(
0
0
+−=
=−∆−=
=∆+=
→∆
→∆
Y concretamente, la velocidad de la pelota en t=4 será, sin más:
smv /20204020)4(10)4( −=+−=+−=
En general,
Tema para reflexión:
Tema para reflexión:
¿Qué interpretación hemos de dar al hecho de v(4) sea negativa?
CÁLCULO DE DERIVADAS
2ª Parte
Volvamos al problema de la pelota de tenis
Volvamos al problema de la pelota de tenis
La posición en el instante “t” era:
Volvamos al problema de la pelota de tenis
La posición en el instante “t” era: 2520)( ttts −=
Volvamos al problema de la pelota de tenis
La posición en el instante “t” era: 2520)( ttts −=
o, si se prefiere…
Volvamos al problema de la pelota de tenis
La posición en el instante “t” era: 2520)( ttts −=
o, si se prefiere… ttts 205)( 2 +−=
Volvamos al problema de la pelota de tenis
La posición en el instante “t” era: 2520)( ttts −=
La velocidad en el instante “t” era, según dedujimos mediante el límitemediante el límite:
o, si se prefiere… ttts 205)( 2 +−=
Volvamos al problema de la pelota de tenis
La posición en el instante “t” era: 2520)( ttts −=
2010)( +−= ttv
o, si se prefiere… ttts 205)( 2 +−=
La velocidad en el instante “t” era, según dedujimos mediante el límite:mediante el límite:
Esto no es casualidad
Esto no es casualidadPor eso tenemos un procedimiento muy simple para derivar funciones polinómicaspolinómicas…
Esto no es casualidad
Para derivar una función polinómica
(hallar su tasa de variación instantánea)
en un punto “t”,
Por eso tenemos un procedimiento muy simple para derivar funciones polinómicaspolinómicas…
Basado en el cálculo del límite de la tasa de variación medialímite de la tasa de variación media
Sólo hay que proceder como en los ejemplos siguientes:
5610)('532)(
38)('34)(15)('5)(
425
2
23
+−=+−=+−=+−=
==
zzzhzzzzh
xxgxxxgttfttf
)(f'DERIVADA FUNCIÓN)f(FUNCIÓN
Sólo hay que proceder como en los ejemplos siguientes:
5610)('532)(
38)('34)(15)('5)(
425
2
23
+−=+−=+−=+−=
==
zzzhzzzzh
xxgxxxgttfttf
)(f'DERIVADA FUNCIÓN)f(FUNCIÓN
Ejemplos donde se han usado diversos nombres para las funciones y para las variables.
Sólo hay que proceder como en los ejemplos siguientes:
5610)('532)(
38)('34)(15)('5)(
425
2
23
+−=+−=+−=+−=
==
zzzhzzzzh
xxgxxxgttfttf
)(f'DERIVADA FUNCIÓN)f(FUNCIÓN
Ejemplos donde se han usado diversos nombres para las funciones y para las variables.
Se utiliza la notación f’(x) para la derivada de f(x)
En general:
Se utiliza la expresión:
Para hallar la derivada de una función polinómica polinómica
F(x)=mxF(x)=mxnn
F’(x)=nmxF’(x)=nmxn-1n-1
Bien. Ya sabemos derivar polinomios pero,
Bien. Ya sabemos derivar polinomios pero,¿Cómo se derivan otras funciones que no son polinomiosno son polinomios?
Bien. Ya sabemos derivar polinomios pero,
Se utilizan las denominadas “reglas de derivación”“reglas de derivación”
¿Cómo se derivan otras funciones que no son polinomiosno son polinomios?
Bien. Ya sabemos derivar polinomios pero,
Se utilizan las denominadas “reglas de derivación”“reglas de derivación”
¿Cómo se derivan otras funciones que no son polinomiosno son polinomios?
Todas ellas pueden demostrarsepueden demostrarse, si bien eso no es necesario en este nivel de conocimientos matemáticos.
Bien. Ya sabemos derivar polinomios pero,
Se utilizan las denominadas “reglas de derivación”“reglas de derivación”
¿Cómo se derivan otras funciones que no son polinomiosno son polinomios?
Todas ellas pueden demostrarsepueden demostrarse, si bien eso no es necesario en este nivel de conocimientos matemáticos.
Pero sí podemos decir que las demostracionesdemostraciones están basadasbasadas en el
cálculo del límite de la tasa de variación medialímite de la tasa de variación media
Bien. Ya sabemos derivar polinomios pero,
Se utilizan las denominadas “reglas de derivación”“reglas de derivación”
¿Cómo se derivan otras funciones que no son polinomiosno son polinomios?
Todas ellas pueden demostrarsepueden demostrarse, si bien eso no es necesario en este nivel de conocimientos matemáticos.
Pero sí podemos decir que las demostracionesdemostraciones están basadasbasadas en el
cálculo del límite de la tasa de variación medialímite de la tasa de variación media
Exactamente como hicimoshicimos en el ejemplo de la pelota de tenispelota de tenis
Bien. Ya sabemos derivar polinomios pero,
Se utilizan las denominadas “reglas de derivación”“reglas de derivación”
¿Cómo se derivan otras funciones que no son polinomiosno son polinomios?
Todas ellas pueden demostrarsepueden demostrarse, si bien eso no es necesario en este nivel de conocimientos matemáticos.
Pero sí podemos decir que las demostracionesdemostraciones están basadasbasadas en el
Cálculo del límite de la tasa de variación medialímite de la tasa de variación media
Exactamente como hicimoshicimos en el ejemplo de la pelota de tenispelota de tenis
Aunque muchas vecesmuchas veces, las demostracionesdemostraciones serán algo difíciles…difíciles…
Haz “click” en este enlace, y podrás acceder a un tabla completa de fórmulas de derivación. (Gracias a http://www.amolasmates.es/pdf/Temas/2BachCT/Calculo%20de%20derivadas.pdf /)
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¿Qué debes hacer con las reglas de derivaciónreglas de derivación?
Haz “click” en este enlace, y podrás acceder a un tabla completa de fórmulas de derivación. (Gracias a http://www.amolasmates.es/pdf/Temas/2BachCT/Calculo%20de%20derivadas.pdf /)
¡MEMORÍZALAS!¡MEMORÍZALAS!
MUCHOS LO HEMOS HECHO YMUCHOS LO HEMOS HECHO Y
¡HEMOS SOBREVIVIDO!¡HEMOS SOBREVIVIDO!
Ahora ya puedes resolver todos aquellos problemas que proponíamos al principio de la presentación.
Ahora ya puedes resolver todos aquellos problemas que proponíamos al principio de la presentación.
Todos ellos se resuelven con el cálculo de derivadas.
¡BUENA SUERTE!
Paco Marcos
Ies Padre Feijoo
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