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$: Algebra Linear e Multilinearprofessor.ufabc.edu.br/~roldao.rocha/wordpress/wp... · note on Biquaternions"e \On the classi cation of Geometric Algebra" { at e culmi-narem no artigo$
Algebra Linear eMultilinear

Prof. Roldao da Rocha, CMCC/UFABC,

2015

http : //professor.ufabc.edu.br/~ roldao.rocha

E permitido o uso e a reproducao destas notas para fins exclusivamenteeducacionais, COM A AUTORIZACAO EXPLICITA DO AUTOR.

U ⊗ (V ⊗ (W ⊗X))ξ- (U ⊗ V )⊗ (W ⊗X)

ξ- ((U ⊗ V )⊗W )⊗X

=

U ⊗ ((V ⊗W )⊗X)

Id⊗ ξ

? ξ - (U ⊗ (V ⊗W ))⊗X

ξ ⊗ Id

6

i

Men wanted for hazardous journey. Low rages, bitter cold, long months of completedarkness, isolation and starvation, constant danger, safe return doubtful.1

Ernest Shackleton

Recovery is overrated. What counts in a battle is what you do when the pain sets in.

1Em 29 de dezembro de 1913, anuncio de um jornal britanico, convocando voluntarios para viagemao Polo Sul. Mais de cinco mil inscritos, dentre os quais tres mulheres.

Sumario

1 Prefacio 3

2 Corpos e Espacos Vetoriais 72.1 Corpos: definicoes fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Os corpos Zp (p primo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3 Isomorfismo entre corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4 Outras estruturas algebricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.5 Espacos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.5.1 Subespacos Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.5.2 Bases de um Espaco Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.5.3 Transformacoes Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5.4 Bandeiras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.6 Espaco Dual e Funcionais Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.7 Nucleo e Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.8 Soma Direta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.9 Espacos Quocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.9.1 Teoremas de Isomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3 Operadores Lineares e Dualidade 413.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2 Transformacoes Gradiente e Contragradiente . . . . . . . . . . . . . . . 43

iii

Sumario 1

4 Formas Bilineares 474.1 Funcionais Bilineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2 Espacos Euclidianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.3 Espacos Unitarios (Hermitianos) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.4 Processo de Ortonormalizacao de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . 564.5 Normas em espacos vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.5.1 Definindo normas em matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.5.2 Correlacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.6 Dualidade e Adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.6.1 Aplicacoes Duais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.7 Aplicacoes Ortogonais, Simetricas e Antissimetricas . . . . . . . . . . . . 73

5 Autovalores e Autovetores 79

6 Forma Canonica de Jordan 876.1 Forma Canonica de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.2 Funcoes de Aplicacoes Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.3 Outra prova da existencia de uma base de Jordan . . . . . . . . . . . . . 106

Bibliografia 109

Capıtulo 1Prefacio

Em 1878 William Kingdon Clifford publicou um artigo no American Journal ofMathematics intitulado “Applications of Grassmann’s extensive algebra”[?]. Nesse tra-balho Clifford apresentou uma nova estrutura matematica que ele denominou “algebrageometrica”, mas que hoje costuma ser mais conhecida como algebra de Clifford. Al-guns anos antes, em 1973, Clifford havia publicado um artigo no Proceedings of theLondon Mathematical Society denominado “Preliminary Sketch of Biquaternions”,onde apresentou os primeiros rudimentos de suas ideias, que posteriormente evoluirampassando por dois manuscritos nao publicados escritos em 1876 – chamados “Furthernote on Biquaternions”e “On the classification of Geometric Algebra” – ate culmi-narem no artigo de 1878. Em poucas palavras, o que Clifford fez foi sintetizar duasestruturas matematicas aparentemente dissociadas: os quaternions de Hamilton e aalgebra de extensao [Ausdehnungslehre] de Grassmann.

Podemos tracar a origem das algebras de Clifford aos esforcos em representar ge-ometricamente um numero complexo. A ideia de relacionar operacoes geometricas ealgebricas ja havia sido preconizada por Leibniz em 1679, em uma carta a Huygens,que foi posteriormente publicada em 1833. Essa ideia se manifestou para os numeroscomplexos em termos do chamado plano de Argand ou de Argand-Gauss – em home-nagem aos resultados publicados com esse proposito por Argand em 1806 e Gauss em1831. Entretanto, o primeiro a ter sucesso em representar os numeros complexos em um

3

4 1. PREFACIO — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015

plano foi o noruegues Wessel, que em 1797 apresentou seus resultados a Real AcademiaDinamarquesa de Ciencias e Letras atraves do trabalho “Om Directionens analytiskeBetegning”, o qual foi publicado em 1799, mas que permaneceu na obscuridade ate apublicacao de sua traducao em Frances em 1897.

O sucesso na representacao geometrica dos numeros complexos levou Hamilton abuscar por uma generalizacao desses de forma a se relacionar com o espaco tridimen-sional. Apos varios anos de tentativas frustradas, Hamilton alcancou o exito em 1843com os quaternions. Como consequencia, Hamilton e seus seguidores buscaram poranos desenvolver a teoria dos quaternions e suas aplicacoes.

Por outro lado, em 1844 foi publicada a grande obra de Hermann Grassmann: DieLineale Ausdehnungslehre. Nesse trabalho – influenciado por ideias de seu pai, JustusGrassmann – ele apresentou um sistema algebrico baseado em um produto geometricoque, de tao inovador e abstrato para epoca, mostrou-se de difıcil compreensao. Numatentativa de facilitar o conhecimento de sua obra, Grassmann apresentou em 1862 umanova versao do Ausdehnungslehre. Mas o trabalho de Grassmann continuou obscuropara muitos, com notaveis excecoes como a de Clifford.

Curiosamente, apos a publicacao em 1833 da carta de Leibniz a Huygens, a Ja-blonowskischen Gesellschaft der Wissenschaft ofereceu em 1844 uma premiacao paraquem desenvolvesse as ideias de Leibniz. O premio foi concedido a Grassmann em1846 com um trabalho onde ele desenvolveu um pouco mais o seu sistema algebricoapresentado no Ausdehnungslehre de 1844, mas nem essa premiacao ajudou a chamara atencao da maioria da comunidade cientıfica para o trabalho de Grassmann. Maissobre os trabalhos de Hamilton, Grassmann e outros importantes nomes na historiada analise vetorial pode ser encontrado em [?].

O grande achado de Clifford em 1878 foi essencialmente introduzir o analogo doproduto de quaternions dentro da estrutura da algebra de extensao de Grassmann,obtendo assim um sistema naturalmente adaptado para a geometria ortogonal de umespaco arbitrario. Nesse cenario, os quaternions se apresentam como um caso particularde uma algebra de Clifford. Mas infelizmente Clifford nao pode continuar seu trabalho:ele faleceu no ano seguinte, entao com 33 anos.

Nao demorou para as algebras de Clifford serem reinventadas. Em 1880 Lipschitzestudou a representacao de rotacoes por numeros complexos e quaternions e sua ge-neralizacao para dimensoes maiores, e dessa forma foi levado a definicao da algebrageometrica de Clifford e do grupo Spin.

O desenvolvimento da teoria das algebras de Clifford teve a contribuicao de variospersonagens. Um dos mais importantes foi certamente Elie Cartan. Dentre outrascontribuicoes, ele classificou as algebras de Clifford como algebras de matrizes e desco-briu a periodicidade 8 dessas algebras (teorema de periodicidade). Foi tambem Cartanquem introduziu em 1913 o conceito de espinor e em 1938 o de espinor puro.

Foi atraves do conceito de espinor que as algebras de Clifford marcaram presencadecisiva e definitiva na Ciencia. Dirac mostrou, em 1928, que a equacao fundamentalda mecanica quantica relativıstica e escrita em termos de uma algebra de Clifford,sendo o eletron descrito por um espinor, ou melhor, por um campo espinorial. Desdeentao varias outras aplicacoes das algebras de Clifford foram encontradas, nao apenas

5

nas Ciencias Fısicas, mas tambem em Engenharias e Ciencia da Computacao. Comoexemplos, pode-se citar [?, ?, ?, ?].

Esse livro foi dividido em seis capıtulos. No primeiro e feita uma revisao dos prin-cipais conceitos e resultados de Algebra Linear que serao necessarios para a sequenciado livro. Uma maior atencao e dada aos tensores e a algebra tensorial, pois destapodemos chegar as definicoes da algebra exterior e da algebra de Clifford.

O segundo capıtulo e dedicado a apresentacao das algebras exterior e de Grassmann.Varios autores tomam essas denominacoes como sinonimos, o que nao e o caso aqui.A algebra exterior e entendida nesse livro como uma estrutura desprovida de metrica,enquanto a algebra de Grassmann apresenta uma estrutura metrica. Nesse capıtulosao introduzidos alguns conceitos fundamentais, tais como produto exterior, contracaoe isomorfismo de Hodge.

As algebras de Clifford sao definidas no terceiro capıtulo. Sao ainda discutidas variasde suas propriedades e apresentadas tres diferentes definicoes de algebras de Cliffordque realcam as suas mais diversas caracterısticas.

No quarto capıtulo sao apresentados varios teoremas a respeito da estrutura dasalgebras de Clifford, que sao posteriormente utilizados para apresentar a classificacaoe representacao das algebras de Clifford em termos de algebras de matrizes. E discutidoainda como construir explicitamente uma representacao matricial.

Os grupos que estao associados com as algebras de Clifford sao os objetos de discussaodo quinto capıtulo. Devem ser destacados aqui os grupos Pin e Spin. Sao discutidasainda as algebras de Lie dos grupos associados e as transformacoes conformes.

O sexto capıtulo e dedicado ao estudo dos espinores. Sao apresentadas tres diferentesdefinicoes de espinores e discutidas suas propriedades. Os espinores dito puros saotambem analisados. Um estudo detalhado dos chamados espinores de Weyl, que e abase do formalismo de Penrose e Rindler [?], finaliza esse capıtulo.

O projeto desse livro teve inıcio com as notas de aula escritas pelo primeiro autorpara dois cursos sobre algebras de Clifford ministrados por ele em 1999 e em 2005no Instituto de Matematica, Estatıstica e Computacao Cientıfica (IMECC) da Uni-versidade Estadual de Campinas (UNICAMP). Com a colaboracao e a insercao detopicos adicionais escritos pelo segundo autor, aquelas notas de aula se transforma-ram no presente livro. Aqueles que ja tem familiaridade com as algebras de Clifforde suas aplicacoes certamente darao conta de uma ausencia importante: os operadoresde Dirac. Uma discussao sobre os operadores de Dirac certamente seria benvinda, masisso estava fora do objetivo daquelas notas de aula, que foi o de ser um material deapoio para um curso de 30 horas semestrais. Para um estudo dos operadores de Dirac,recomenda-se [?, ?].

Roldao da Rocha Jr.

Capıtulo 2Corpos e Espacos Vetoriais

2.1 Corpos: definicoes fundamentais

Primeiramente apresentaremos o conceito de corpo utilizando uma notacao similarao que e usado usualmente no caso dos numeros inteiros — que nao e um corpo. Umcorpo K e um conjunto nao-vazio dotado de duas operacoes binarias “ + ” e “ · ”,denominadas adicao e multiplicacao, satisfazendo as seguintes propriedades1:

1. A operacao de soma tem as seguintes propriedades:(a) Comutatividade: para todos a, b ∈ K, a+ b = b+ a.(b) Associatividade: para todos a, b, c ∈ K, vale a+ (b+ c) = (a+ b) + c.(c) Elemento neutro: existe um elemento z ∈ K, chamado de elemento nulo, ou zero,tal que a+ z = a = z + a para todo a ∈ K.(d) Inversa: para cada a ∈ K existe um elemento denotado por b com a propriedadea + b = z. Esse elemento e mais comumente denotado por −a em alguns casos, porexemplo, quando K = R.

2. A operacao de produto tem as seguintes propriedades:(a) Comutatividade: para todos a, b ∈ K vale a · b = b · a1A notacao ( · ) e comumente usada para produto escalar, e aqui enquanto possıvel tentaremos denotar

o produto no corpo por justaposicao.

7

8 2. CORPOS E ESPACOS VETORIAIS — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015

(b) Associatividade: para todos a, b, c ∈ K vale a · (b · c) = (a · b) · c(c) Elemento neutro: existe um elemento e ∈ K, chamado de unidade, tal que a · e =a = e · a para todo a ∈ K.(d) Inversa: para cada a ∈ K, a 6= z, existe um elemento denotado por b∗ com apropriedade a · b∗ = e. Esse elemento no caso onde K = R e mais comumente denotadopor a−1.

3. Distributividade: o produto e distributivo em relacao a adicao: para todos a, b, c ∈ Kvale a · (b+ c) = a · b+ a · c.

4. Se a · b = z, entao a = z ou b = z.

Alguns autores consideram conveniente incluir tambem a hipotese de que o elementoneutro e o elemento nulo sao distintos, e 6= z, pois de outra forma terıamos K = {z}(prove!), uma situacao trivial.

Obs. 1: Um grupo e um conjunto nao-vazio G munido de uma operacao binaria◦ : G×G→ G, denominada produto, com as seguintes propriedades:

(a) Elemento neutro: existe um elemento e∗ ∈ G, denominado elemento neutro, talque g ◦ e∗ = e∗ ◦ g = g para todo g ∈ G.(b) Elemento inverso: existe uma operacao G → G (g 7→ g−1) bijetiva denominadainversa, tal que g ◦ g−1 = e∗ = g−1 ◦ g, para todo g ∈ G.(c) Associatividade: para todos a, b, c ∈ G vale (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c)

Quando uma das tres propriedades acima que definem um grupo nao e satisfeita, temosoutras estruturas algebricas. Quando somente (a) e (b) valem, dizemos que G e umgrupoide. Quando somente a propriedade (c) e satisfeita, G e dito ser um semigrupo(alguns autores adicionam a condicao (a) neste caso). Quando somente (a) and (c) saovalidas G e dito ser um monoide. Um monoide e portanto um semigrupo com unidadee um grupoide e um grupo nao associativo. Note-se que corpos sao grupos comutativosem relacao a operacao de soma e monoides comutativos em relacao a operacao deproduto.

A distributividade e a unica propriedade listada acima que relaciona as operacoesde soma e produto. Os elementos de um corpo sao comumente denominados escalares.Por motivos estruturais, e importante enfatizar que um corpo depende da definicao doconjunto K e das operacoes binarias + e · nele definidas, e muitas vezes nos referiremosa um corpo como sendo uma tripla (K, +, ·). E frequente omitir-se o sımbolo “·” deproduto por escalares quando nao houver confusao.

Em um corpo K sempre vale a · z = z para todo a ∈ K. De fato, como z = z + z(Prove!), segue que a · z = a · (z + z) = a · z + a · z. Somando-se a ambos os lados oelemento inverso (−a · z), teremos a · z + (−a · z) = a · z + a · z + (−a · z), ou seja,z = a · z + z = a · z, como querıamos provar. Pela comutatividade do produto valetambem z · a = z para todo a ∈ K.

� Exercıcio 1: Mostre que o elemento neutro da adicao e unico, e que a identidademultiplicativa tambem e unica. �

2.2. OS CORPOS ZP (P PRIMO) — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015 9

� Exercıcio 2: Verifique que Q, R e C sao corpos em relacao as operacoes usuaisde soma e produto. O conjunto das matrizes n×n para qualquer n ≥ 2 com o produtousual de matrizes e um corpo?�

� Exercıcio 3: Mostre que R[√

2] := {a + b√

2 | a, b ∈ R} nao e um corpo e que

Q[√

2] := {a+ b√

2 | a, b ∈ Q} e um corpo.�

2.2 Os corpos Zp (p primo)

Uma relacao de equivalenciaR definida em um conjuntoX e uma relacao (i) reflexiva,(ii) simetrica e (iii) transitiva, respectivamente (i) xRx, (ii) se xRy entao yRx, e (iii)se xRy e yRz entao xRz, ∀x, y, z ∈ X. O conjunto de todos os elementos equivalentesa x constituem a classe de equivalencia de x, denotada por [x] = {y ∈ X | yRx}. Oconjunto dessas classes de equivalencia e denotado por X = X/R = {[x] |x ∈ X}, edenominado espaco quociente. Uma notacao muita utilizada para xRy e x ∼ y. Umelemento x ∈ [x] ou qualquer outro elemento em [x] e denominado representante de[x].

Tais classes de equivalencia sao disjuntas, no sentido de que [x] ∩ [y] = ∅. Mostra-remos que se [x] ∩ [y] 6= ∅, entao [x] = [y]. Supondo entao que [x] ∩ [y] 6= ∅, existec ∈ [x] ∩ [y], e em particular c ∼ x e c ∼ y. Por transitividade, x ∼ y. Agora mos-traremos que [x] ⊂ [y]. Tomando um elemento arbitrario x1 ∈ [x] temos que x1 ∼ x,e como x ∼ y, entao y ∼ x1, isto e, x1 ∈ [y], e portanto, [x] ⊂ [y]. Analogamentepodemos mostrar que [y] ⊂ [x], e portanto [x] = [y].

B Exemplo 1: Para n ∈ N, no conjunto dos inteiros Z podemos definir a seguinterelacao de equivalencia: a ∼ b ⇔ a − b = kn, k ∈ {0,±1,±2, . . .} ou seja, os inteirosa e b sao considerados equivalentes se diferirem por um multiplo de n. A classe deequivalencia de a consiste portanto no conjunto

[a] = {c ∈ Z | c = a+ kn} = {a, a± n, a± 2n, a± 3n, . . .}.

O conjunto das classes de equivalencia de Z modulo ∼ e o conjunto Zn = Z/∼, oconjunto dos inteiros modulo n. Outra notacao tambem utilizada e Z/nZ. Lembramosque, se a, b ∈ Z, dizemos que a e congruente a b modulo n — e denotamos a ≡ b(mod n) — se n| (a − b). Podemos ainda mostrar que nesse caso, a ≡ b mod n se esomente se existir um inteiro k tal que a = b+ kn.

Portanto definimos o conjunto das classes de equivalencia a partir da relacao a ∼ b⇔ a = b mod n. C

� Exercıcio 4: Prove que a ∼ b definida por a ≡ b mod n e uma relacao deequivalencia �

� Exercıcio 5: Dado (a, b) ∈ Z×Z\{0}, com a, b ∈ Z, defina a relacao R em Z×Zpor (a, b)R(c, d) se, e somente se ad = cb. Mostre que R e uma relacao de equivalencia

�


Denotamos tambem o conjunto Zn = {[0], [1], . . . , [n − 1]}, com n ∈ N, n ≥ 2,com a soma definida por [a] u [b] ≡ [(a + b) (mod n)] = [a + b], para [a], [b] ∈ Zn.Podemos tambem considerar em Zn uma operacao de produto, definida por [a] • [b] ≡ab (mod n) = [ab].

I Teorema 1: Se o conjunto Zn e um corpo com as operacoes acima definidas, entaon e um numero primo. J

Demonstracao: As operacoes de soma e produto definidas acima sao comutativas,associativas e distributivas (justifique!). Sempre vale que [−a] = [n − a], ∀[a] ∈ Zn,o que implica na existencia de um inverso aditivo. Resta-nos estudar a existencia deelementos inversos [a]−1. Vamos supor que Zn seja um corpo. Entao [a] ∈ {[2], . . . , [n−1]} tem uma inversa em Zn, ou seja, um numero [b] ∈ {[1], . . . , [n−1]} tal que [a]• [b] =1. Lembrando a definicao de produto em Zn, isso significa que existe um inteiro k talque ab = kn+1. Mas isso implica b− 1

a = k na . Como o lado esquerdo nao e um numerointeiro, o lado direito tambem nao pode ser. Portanto n/a nao pode ser inteiro paranenhum a ∈ {2, . . . , n − 1}, ou seja, n nao tem divisores, sendo portanto um numeroprimo o

Os conjuntos Zn tem profundas aplicacoes em teoria de codigos e e relevante tambemem outras areas de Algebra e Geometria.

B Exemplo 2: Tome por exemplo n = 7. Neste caso, [4]u [6] = [10] = [3], enquantoque [6] • [6] = [6 · 6] = [36] = [1]. As tabelas de soma e produto em Z7 sao dadas por

u [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6]

[0] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6][1] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [0][2] [2] [3] [4] [5] [6] [0] [1][3] [3] [4] [5] [6] [0] [1] [2][4] [4] [5] [6] [0] [1] [2] [3][5] [5] [6] [0] [1] [2] [3] [4][6] [6] [0] [1] [2] [3] [4] [5]

• [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6]

[0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0][1] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6][2] [0] [2] [4] [6] [1] [3] [5][3] [0] [3] [6] [2] [5] [1] [4][4] [0] [4] [1] [5] [2] [6] [3][5] [0] [5] [3] [1] [6] [4] [2][6] [0] [6] [5] [4] [3] [2] [1]

Os valores de [a]u [b] e [a] • [b] para Z7 sao exibidos na intersecao da [a]-esima linha[b]-esima coluna, na tabela apropriada. C

� Exercıcio 6:

2.3. ISOMORFISMO ENTRE CORPOS — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015 11

a) Quais sao os elementos invertıveis de Z10 com respeito a adicao e a multiplicacaoinduzidas?

b) Mostre que Z e Z6 nao sao corpos.

c) Faca a tabela multiplicativa de Z6, Z8 e Z9, identificando quais sao os respectivoselementos inversıveis de tais conjuntos

�

I Proposicao 1: As operacoes u e • estao bem definidas em Zn J

Demonstracao: Provaremos que tais operacoes independem da escolha de repre-sentantes nas classes de equivalencia. Dados a, b, c, d ∈ Z, suponha que [a] = [c] e[b] = [d] em Zn. Entao a = c+ un e b = d+ vn, para u, v ∈ Z apropriados. Assim,

[a+ b] = [c+ un+ d+ vn] = [c+ d+ (u+ v)n]

= [c+ d] + [(u+ v)n] = [c+ d] + [0] = [c+ d]

[a · b] = [(c+ un) · (d+ vn)]

= [c · d+ (c · v + u · d+ u · n · v) · n] = [c · d]

o

2.3 Isomorfismo entre corpos

Dois corpos (K1,u, ◦) e (K2,+, ·) sao ditos serem isomorfos se existir uma aplicacaobijetiva φ : K1 → K2 que preserve as operacoes algebricas de K1 e K2, ou seja, talque φ(a u b) = φ(a) + φ(b), φ(a ◦ b) = φ(a) · φ(b). Podemos provar que φ(1K1

) = 1K2

e φ(0K1) = 0K2

. Acima, 1Kj e 0Kj sao a unidade multiplicativa e o elemento nulo,respectivamente, de Kj , j = 1, 2.

� Exercıcio 7: Prove que φ(−a) = −φ(a) para todo a ∈ K1 e que φ(a−1) = (φ(a))−1

para todo a ∈ K1, a 6= 0K1�

� Exercıcio 8: Considere o conjunto de todas as matrizes reais da forma(a −bb a

),

com a, b ∈ R. Mostre que esse conjunto e um corpo em relacao as operacoes usuais desoma e produto de matrizes. Mostre que esse corpo e isomorfo ao corpo dos numeroscomplexos C, atraves da aplicacao

Θ : C → M(2,R)

(a+ ib) 7→(a −bb a

)(2.1)

�


Considere agora um corpo K com unidade. De acordo com a definicao dada paraum corpo, todo corpo possui unidade. Para um numero natural n, definimos n · 1 =n vezes︷︸︸︷

1 + · · ·+ 1. Define-se a caracterıstica de K — e denotamos por char(K) — como sendoo menor numero natural nao-nulo n tal que n · 1 = 0. Se um tal numero nao existir,dizemos que o corpo tem caracterıstica zero.

� Exercıcio 9: Prove que Q,R,C tem caracterıstica zero, e prove que Zp, com p

primo, tem caracterıstica p �

� Exercıcio 10: Prove que quando char(K) 6= 0, entao char(K) e sempre um numero

primo �

� Exercıcio 11: Prove que quando char(K) = p, entao para quaisquer a, b ∈ Ktemos que (a+ b)p = ap + bp. �

� Exercıcio 12: Sejam a, b ∈ K. Quais das seguintes relacoes sao necessariamenteverdadeiras? Prove ou justifique.

1. 0.a = 0

2. (−1) · a = −a

3. (−a) · (−b) = a · b

4. 1 + 1 6= 0

5. Se a 6= 0 e b 6= 0 entao a · b 6= 0

�

� Exercıcio 13: Dado um isomorfismo de corpos φ : (K1,u, ∗)→ (K2,+, ·), mostreque

1. φ(0K1) = 0K2

2. Se 1K1 denota a identidade de K1, entao a identidade em K2 e dada por φ(1K1).

3. φ(an) = (φ(a))n

4. φ−1 : K2 → K1 existe e tambem e isomorfismo.

5. Se (K3,�,�) e um corpo, e se ψ : (K2,+, ·) → (K3,�,�) e isomorfismo, entaoψ ◦ φ : (K1,u, ∗)→ (K3,�,�) e tambem um isomorfismo

�

2.4. OUTRAS ESTRUTURAS ALGEBRICAS — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015 13

2.4 Outras estruturas algebricas

Considere elementos a, b, c de um conjunto S, e as seguintes propriedades:

A1) a+ b = b+ a

A2) (a+ b) + c = a+ (b+ c)

A3) ∃z ∈ S tal que z + a = a+ z = a

A4) para cada a ∈ S, ∃a∗ ∈ S tal que a+ a∗ = a∗ + a = z

M1) a · b = b · a

M2) (a · b) · c = a · (b · c)

M3) ∃e ∈ S tal que e · a = a · e = a

M4) para cada a ∈ S tal que a 6= z, ∃a′ ∈ S tal que a · a′ = a′ · a = e

D) a · (b+ c) = a · b+ a · c e (a+ b) · c = a · c+ b · c

Z) Se a · b = z entao a = z ou b = z (ou ambos).

Usamos as palavras zero e identidade para descrever os elementos z e e respectiva-mente. Qualquer elemento a ∈ S (incluindo a = z) para o qual existe b 6= 0 talque a · b = z e chamado de divisor de zero. Substituımos as notacoes 0, 1,−a, a−1respectivamente por z, e, a∗, a′ para evitarmos atribuir mnemonicamente algumas pro-priedades que decorrem das definicoes, mas que nao sao axiomas, e portanto devemser provadas. A seguinte tabela ilustra as diversas estruturas algebricas advindas doconjunto S equipado com as operacoes binarias “+” e “·” :

A1 A2 A3 A4 M2 D M1 M3 M4 Z 〈S,+, ·〉• • • • • • − − − − anel• • • • • • • − − − a.c.• • • • • • − • − − a.u.• • • • • • − − − • a.c.u.s.d.z• • • • • • • • − − a.c.u.• • • • • • • − − • a.c.s.d.z.• • • • • • − • − • a.u.s.d.z.• • • • • • • • − • a.i.• • • • • • − • • • a.d.• • • • • • • • • • corpo

Tabela 1.1: usamos na ultima coluna a notacao: anel comutativo: a.c.; anel com unidade:

a.u.; anel com unidade sem divisores de zero: a.c.u.s.d.z; anel comutativo com unidade: a.c.u.;

anel comutativo sem divisores de zero: a.c.s.d.; anel unital sem divisores de zero: a.u.s.d.z;

anel de integridade: a.i.; anel de divisao: a.d.

Um exemplo de anel bastante utilizado e o anel dos polinomios.


� Exercıcio 14: Prove que as propriedades M4 e Z nao sao satisfeitas para Znquando n e um inteiro composto. Prove que todas as outras propriedades sao satisfeitas�

I Teorema 2: Seja p um inteiro positivo primo. Entao Zp satisfaz as propriedadesM4 e Z J

Demonstracao: a) Suponha que [a] ∈ Zp, [a] 6= [0] e denotemos o produto emZp por •. Entao p - a (isso denota que p nao divide a) em Z, e portanto o maximodivisor comum (m.d.c.) entre p e a, denotado por (p, a) satisfaz (p, a)=1. Portanto,existem r, s ∈ Z tais que rp + sa = 1. Entao [1]=[rp + sa] = [sa] = [s] • [a]. Logo[s]•[a] = [a]•[s] = 1, e segue-se que Zp satisfaz M4.b) Agora suponha que [b], [c] ∈ Zp tais que [b]•[c] = 0. Ou [b] = [0] e nao ha mais nadaa se provar, ou [b] 6= [0]. Pela parte a) da demonstracao, entao existe [t] ∈ Zp tal que[t]•[b] = [1]. Entao, [0] = [t]•[0] = [t]•([b]•[c]) = ([t]•[b])•[c] = [1]•[c] = [c]. Portantoquando assumimos que [b]•[c] = [0] concluımos ou que [b] = [0] ou que [c] = [0], eportanto a propriedade Z e satisfeita para Zp o

2.5 Espacos Vetoriais

Um espaco vetorial V sobre um corpo K e um conjunto de elementos chamadosvetores, munido de uma operacao aditiva +: V × V → V , denominada soma vetorial,e tambem de um produto por escalares . : K×V → V com as seguintes propriedades:

1) A cada par u, v de vetores em V , e associado um elemento u+v ∈ V , denominadosoma de u e v, com as seguintes propriedades:(a) A soma e comutativa: u+ v = v + u para todos u, v ∈ V .(b) A soma e associativa: u+ (v + w) = (u+ v) + w para todos u, v, w ∈ V .(c) Existe um vetor denotado por 0, denominado vetor nulo, tal que u + 0 = u paratodo u ∈ V .(d) A cada u ∈ V existe associado um unico vetor denotado por (−u) tal que u+(−u) =0.

2) A cada par a ∈ K, u ∈ V existe associado um vetor denotado por au ∈ V ,denominado produto de u por a, de forma que(a) O produto por escalares e associativo: a.(b.u) = (ab).u, para todos a, b ∈ K eu ∈ V , onde ab e o produto de a por b em K.(b) 1.u = u para todo u ∈ V , onde 1 denota a unidade de K.(c) O produto por escalares e distributivo em relacao a soma de vetores: a.(u + v) =a.u+ a.v, para todo a ∈ K e todos u, v ∈ V .(d) O produto por escalares e distributivo em relacao a soma de escalares: (a+ b).u =a.u+ b.u, para todos a, b ∈ K e todo u ∈ V .

� Exercıcio 15: Prove que os espacos vetoriais sao grupos comutativos em relacaoa operacao de soma �

2.5. ESPACOS VETORIAIS — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015 15

Os elementos de um corpo sobre os quais um espaco vetorial se constitui sao fre-quentemente denominados escalares. Usamos o sımbolo “+”tanto para a operacao deadicao do corpo K quanto para a operacao de adicao do espaco vetorial V , ainda que setrate de operacoes distintas. Igualmente usamos o mesmo sımbolo “0” para designaro vetor nulo de V e “0” para denotar o elemento nulo de K.

� Exercıcio 16: Mostre que usando os postulados acima, que 0.u = 0 para todou ∈ V , onde, o elemento “0” do lado esquerdo representa o zero do corpo K e o do ladodireito o vetor nulo de V . Em seguida, prove que para todo a ∈ K e todo u ∈ V vale(−a).u = −(a.u), sendo que −a denota a inversa aditiva de a em K e −(a.u) denota a

inversa aditiva de a.u ∈ V �� Exercıcio 17: Prove que:

1. Se K e um corpo, entao K e um espaco vetorial sobre K com as mesmas operacoesde soma e produto definidas em K.

2. Se K e um corpo e L e um subcorpo de K (ou seja, um subconjunto de K quee por si so um corpo com as operacoes definidas em K), entao K e um espacovetorial sobre L.

3. Se K e um corpo, o produto cartesiano Kn = {(k1, . . . , kn) | kj ∈ K, j = 1, . . . , n}e um espaco vetorial sobre K com a operacao de soma definida por (k1, . . . , kn)+(l1, . . . , ln) = (k1 + l1, . . . , kn + ln) e o produto por escalares por a.(k1, . . . , kn) =(ak1, . . . , akn) para todo a ∈ K. O vetor nulo e o vetor (0, . . . , 0).

4. O conjunto Mm×n(K), de todas as matrizes m × n cujos elementos de matrizpertencem a K, e um espaco vetorial sobre K, com a soma sendo a soma usualde matrizes e o produto por escalares sendo o produto usual de matrizes pornumeros escalares. O vetor nulo e a matriz com todas as entradas nulas

�

� Exercıcio 18: Determine se os seguintes conjuntos sao espacos vetoriais:

1. K = C, V = C, com soma usual, e multiplicacao definida por a•v = a2 v, paraquaisquer v ∈ V e a ∈ K.

2. K = C, V = C, com soma usual, e multiplicacao definida por a•v = (Re a) v,∀v ∈ V e a ∈ K

3. O conjunto de todas as funcoes pares.

4. O conjunto de todas as funcoes ımpares.

�

� Exercıcio 19: Considere o conjunto R com a operacao de soma usual, um corpoZp, com p primo e o produto Zp × R → R, a ∈ Zp e x ∈ R dado pelo produto usual

em R. Essa estrutura define um espaco vetorial? Justifique �


2.5.1 Subespacos Vetoriais

Um subconjunto U 6= ∅ de um espaco vetorial V e dito ser um subespaco vetorialde V se dados a ∈ K e u, v ∈ U , au + v ∈ U . Subespacos vetoriais sao, nestesentido, fechados com relacao a combinacoes lineares. Adicionalmente, o conjunto {0}e elemento de todo subespaco de V . De fato, se U for subespaco vetorial de V , entaosendo w e um elemento arbitrario de U , entao 0.w ∈ U , e ja que 0.w = 0, entao 0 ∈ Upara todo U ⊂ V . Alem disso, quando em particular a = 1, entao u+ v ∈ U .

� Exercıcio 20: Considere V = C3 e os seguintes conjuntos U ⊆ V consistindo dosvetores de componentes (a, b, c), onde a, b, c ∈ C tais que

1. a = 0

2. b = 0

3. a+ b = 1

4. a+ b = 0

5. Re a+ Re b ≥ 0 (aqui Re a denota a parte real de a)

6. a ∈ R

Em quais desses casos U e subespaco vetorial de V ? �

B Exemplo 3: Considere V o espaco vetorial P(R) dos polinomios de grau n comcoeficientes reais, e Ui ⊆ V (i = 1, 2, 3, 4) consistindo dos polinomios p(t) sobre umcorpo K que satisfazem a propriedade i:

1. possuem grau tres.

2. 2p(0) = p(1).

3. p(t) ≥ 0 sempre que 0 ≤ t ≤ 1.

4. p(t) = p(1− t),∀t ∈ R.

Queremos determinar em quais desses casos U e subespaco vetorial de V e para tantoiremos analisar cada caso em separado:

1. O espaco dos polinomios que possuem grau tres nao constitui um subespacovetorial de V . De fato, adicionando ou subtraindo dois polinomios de grau trespode resultar em um polinomio de grau menor. Por exemplo, se f(x) = x3 − 3xe g(x) = x3, entao f(x) − g(x) = 3x e o grau de (g − f) e igual a um. Umaobservacao mais imediata e que o polinomio identicamente nulo nao pertence aU e portanto U nao e um subespaco de V .

2. Aqui U e subespaco vetorial de P(R). Com efeito, p(t) ≡ 0 satisfaz a definicao2p(0) = p(1). Alem disso, se p, q ∈ P(R) sao tais que 2p(0) = p(1) e 2q(0) = q(1),entao para a ∈ R temos 2(ap+q)(0) = 2ap(0)+2q(0) = ap(1)+q(1) = (ap+q)(1).


3. p(t) ≥ 0 sempre que 0 ≤ t ≤ 1. Neste caso U nao e um subespaco vetorial deV pois o inverso aditivo de uma funcao que e nao negativa e nao positiva. Porexemplo se q(x) = x2, entao q ∈ U mas −q /∈ U .

4. p(t) = p(1 − t),∀t ∈ R. Aqui U e subespaco vetorial de P(R), pois o polinomioidenticamente nulo satisfaz a condicao p(t) = p(1 − t) Dado outro polinomioq ∈ P(R), entao (ap+ q)(t) = ap(t) + q(t) = ap(1− t) + q(1− t) = (ap+ q)(1− t).

C

� Exercıcio 21: Prove que a intersecao de subespacos vetoriais e um subespacovetorial �

� Exercıcio 22: Prove que os unicos subespacos de R, sao o proprio R e o subspaconulo. Mostre que todos os subespacos de R2 sao o proprio R2, o subespaco nulo ou ossubespacos consistindo dos conjuntos dos multiplos de um vetor fixo em R2 centradona origem (retas que passam pela origem) �

2.5.2 Bases de um Espaco Vetorial

Seja V um espaco vetorial sobre um corpo K. Um conjunto finito {v1, . . . , vn} ⊂ Vde vetores e dito ser linearmente dependente (LD) se existir um conjunto de escalares{a1, . . . , an} ⊂ K, nem todos nulos, tais que a1v1 + · · · + anvn = 0. Um conjuntoarbitrario de vetores e dito ser linearmente independente (LI) se nao possuir nenhumsubconjunto finito que seja linearmente dependente.

Para um conjunto finito de vetores {v1, . . . , vn} ⊂ V e de escalares {a1, . . . , an} ⊂ K,uma expressao como a1v1 + · · · + anvn e dita ser uma combinacao linear dos vetoresvi.

Considerando agora um conjunto de vetores U ⊆ V , o espaco gerado por U e deno-tado por 〈U〉 e o conjunto de todos os vetores de V que podem ser escritos como umacombinacao linear finita de elementos de U .

Denotando um conjunto arbitrario nao-vazio de ındices por J , uma base em umespaco vetorial V e um conjunto A = {vi | i ∈ J} de vetores linearmente indepen-dentes que geram V (qualquer vetor v ∈ V pode ser escrito de modo unico como umacombinacao linear de elementos de A). Um espaco vetorial e dito ser de dimensaofinita se possuir uma base finita, neste caso sendo sua dimensao e definida como sendoo numero de elementos de sua base.

B Exemplo 4: V = Cn sobre C e V = Rn sobre R sao ambos espacos vetoriais dedimensao finita n, enquanto que V = Cn sobre R e espaco vetorial de dimensao finita2n. Isso mostra a dependencia da dimensao com o corpo utilizado. Esse conceito serabastante utilizado quando falarmos de produto tensorial C

� Exercıcio 23: Em um corpo finito Zp, p primo, calcule o numero de subespacos

vetoriais de dimensao j em um Zp-espaco vetorial (Zp)n �


� Exercıcio 24: Dois conjuntos disjuntos de R2 podem gerar o mesmo espacovetorial? Qual e em R3 o espaco gerado pelo conjunto{(1, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 0)}? �

B Exemplo 5: V = R sobre o corpo dos reais. O conjunto dos reais sobre o corpodos reais e um espaco vetorial unidimensional, pois qualquer elemento v ∈ R pode serescrito como v = v.1, onde {1} e o unico elemento da base de R. Ao considerarmosV = R sobre o corpo Q dos racionais, tal espaco vetorial nao possui dimensao finita,pois nao existe um conjunto finito {x1, . . . , xm} de numeros reais tais que todo x ∈ Rpossa ser escrito como x = q1x1 + · · · + qmxm, onde qi ∈ Q. Como Q e um conjuntocontavel, a colecao de numeros que podem ser escritos como o lado direito e uma colecaocontavel e tem a mesma cardinalidade de Qm, porem o conjunto R nao e contavel C

� Exercıcio 25: Verifique se P2(R) tem como base os vetores u1(t) = 1 + t, u2(t) =

t+ 2t2 e u3(t) = 1− t2. �

I Teorema 3: Se em um espaco vetorial V existir um conjunto {vi} de n vetoreslinearmente independentes, entao a dimensao de V e maior ou igual a n J

Demonstracao: Suponhamos por absurdo que exista uma base B = {u1, . . . , uk}em V com k < n. Entao podemos escrever v1 = a1u1 + · · ·+ akuk pois B e uma basee pelo menos ak 6= 0, portanto

uk = (ak)−1(v1 − a1u1 − · · · − ak−1uk−1) (2.2)

Analogamente temos que v2 = b1u1 + · · ·+ bkuk e usando a Eq.(2.2) escrevemos v2 =c1u1+ · · ·+ck−1uk−1+d1v1. Os ci nao podem ser todos nulos, senao v2 = d1v1, contra-riando a hipotese de que os {vi} sao LI. Suponhamos que ck−1 seja o elemento nao-nulo,podemos escrever uk−1 como uma combinacao linear envolvendo {u1, . . . , uk−2} e osvetores v1 e v2. Apos k passos provamos que vk+1 = α1v1 + · · · + αkvk, contrariandoa hipotese de que os vi sao LI. o

� Exercıcio 26: Se K e um corpo com p elementos, quantas bases existem em Kn?�

Vimos que o espaco V tem dimensao finita se ele possui uma base finita. Duas basesquaisquer de V tem o mesmo numero (finito) de elementos.

� Exercıcio 27: Prove as seguintes afirmacoes:a) O conjunto de vetores {e1, . . . , en} e LD se e somente se pelo menos um dos vetoresej for combinacao linear dos outros.b) Se o conjunto {e1, . . . , en} e LI e o conjunto {e1, . . . , en, en+1} e LD, entao en+1 e

combinacao linear de e1, . . . , en �

� Exercıcio 28: Considere Kn−1[x] o espaco dos polinomios na variavel x que temgrau menor ou igual a n− 1, com coeficientes em um corpo K. Verifique que:a) O conjunto {1, x, . . . , xn−1} forma uma base de Kn−1[x], e tambem que as coorde-nadas de um polinomio f ∈ Kn−1[x] em tal base sao seus coeficientes.


b) O conjunto S = {1, x− a, (x− a)2, . . . , (x− a)n−1} forma uma base de Kn−1[x]. Sechar(K)= p > n, entao os coeficientes de um polinomio f sao elementos do conjunto

{f(a), f ′(a), . . . , f(n−1)(a)(n−1)! }, em relacao a base ordenada S.

c) Sejam a1, . . . , an ∈ K elementos distintos dois a dois. Seja gi(x) =∏i 6=j(x−aj)(ai−

aj)−1. Os polinomios g1(x), . . . , gn(x) formam uma base de Kn−1[x] — denominada

base de interpolacao — e as coordenadas do polinomio f nessa base e {f(a1), . . . , f(an)}�

Obs. 2: Dado U = {e1, . . . , en} um conjunto finito de vetores em V , e W ={ei1 , . . . , eim} um conjunto LI de U , dizemos que W e maximal se cada elemento de Upuder ser escrito como uma combinacao linear dos elementos de W

I Proposicao 2: Qualquer conjunto {e1, . . . , en} ⊂ S maximal LI e uma base doespaco gerado 〈S〉 de S J

Demonstracao: Mostraremos que qualquer vetor em 〈S〉 pode ser escrito como umacombinacao linear dos vetores e1, e2, . . . , ek. Por definicao, qualquer vetor em 〈S〉 podeser expresso como uma combinacao linear de vetores em S. Qualquer vetor v ∈ S podeser expresso com uma combinacao linear de e1, e2, . . . , ek. Para v ∈ {e1, . . . , en} ⊂ S,isso e obvio. Para v /∈ {e1, . . . , en}, sabemos que um vetor v pode ser expresso comoqualquer combinacao linear de e1, . . . , en se, e somente se v, e1, . . . , en sao LD. Portantosegue o enunciado o

Aplicando as consideracoes do Lema anterior a S = V , obtemos o

I Teorema 4: Qualquer conjunto de vetores LI em V pode ser completado a umabase J

Em particular, qualquer 0 6= v ∈ V esta contido em alguma base de V , e qualquerconjunto de n vetores LI em um espaco vetorial V n-dimensional forma uma base deV .

I Teorema 5: Qualquer subespaco vetorial U de um espaco vetorial de dimensaofinita V tambem possui dimensao finita, e dim U ≤ dim V. Alem disso, se U 6= V ,entao dim U < dim V J

Demonstracao: Seja {e1, . . . , ek} um sistema maximal de vetores LI em U .{e1, . . . , ek} e uma base de U e dim U = k. O conjunto LI {e1, . . . , ek} pode sercompletado a uma base de V , e se U 6= V , entao dim V > k o

� Exercıcio 29: Dados U,W subespacos vetoriais de V , para quais espacos vetoriaisV temos valida a propriedade V ∩ (U +W ) = V ∩ U + V ∩W? �

� Exercıcio 30: Prove que se U e um subespaco de V e dim U = dim V < ∞,entao U = V �


2.5.3 Transformacoes Lineares

Considere U e V espacos vetoriais sobre um corpo K. Uma aplicacao φ : U → V edito ser linear se ∀u, v ∈ U , a ∈ K, tivermos φ(au) = aφ(u) e φ(u+ v) = φ(u) + φ(v).Uma aplicacao linear e um homomorfismo de grupos aditivos. Com efeito, φ(0) =φ(0.0) = 0.φ(0) = 0 e φ(−u) = φ((−1).u) = −φ(u). Denotamos por Hom(U, V ) oconjunto dos homomorfismos entre U e V .

� Exercıcio 31: Mostre que as aplicacoes de homotetia f : V → V , definidos porf(u) = a.u,∀a ∈ K, u ∈ V , sao transformacoes lineares �

Dizemos que dois K-espacos vetoriais U, V sao isomorfos se o homomorfismo φ :U → V for uma aplicacao bijetiva. A aplicacao φ e denominada isomorfismo entre Ue V .

Se {e1, e2, . . . , en} e {f1, f2, . . . , fn} forem bases de U e V respectivamente, a matrizA ∈Mm×n(K) de φ em relacao a tais bases acima tem elementos Aij tais que φ(ei) =a1if1 + · · · + amifm, i = 1, . . . , n. (Isto e, as colunas de A sao as coordenadas dosvetores φ(e1), . . . , φ(en) em relacao a base {f1, f2, . . . , fn} ⊂ V .

I Proposicao 3: Sejam U, V espacos vetoriais sobre um corpo K, e considere{e1, . . . , en} ⊂ U e {h1, . . . , hn} ⊂ V dois conjuntos de vetores com o mesmo numerode elementos. Entao, se 〈e1, . . . , en〉 coincide com U , existe somente uma aplicacaoψ : U → V tal que ψ(ei) = hi, para todo i entre 1 e n. Alem disso, se {e1, . . . , en} forLI — e neste caso {e1, . . . , en} forma uma base de U — entao a aplicacao ψ existe, ee um isomorfismo J

Demonstracao: Sejam ψ e ψ′ duas aplicacoess tais que ψ(ei) = ψ′(ei) = hi.Considere a aplicacao φ = ψ − ψ′, onde (ψ − ψ′)(ei) = ψ(ei) − ψ′(ei). Verifique queφ : U → V e linear, e dada a combinacao linear u = a1e1 + · · ·+ anen ∈ U , temos queφ(u) = 0. Portanto ψ(u) = ψ′(u),∀u ∈ U , logo ψ = ψ′. Agora, ja que cada elementode u ∈ U pode ser unicamente representado na forma u = a1e1 + · · ·+ anen, definimosψ : U → V por ψ(a1e1 + · · ·+ anen) = b1h1 + · · ·+ bnhn, onde bk ∈ K. Prove que talaplicacao e linear o

� Exercıcio 32: Mostre que o conjunto Hom(U, V ) e um espaco vetorial �

Mostraremos agora que a inversa de uma aplicacao linear e linear. Seja ξ ∈Hom(U, V )uma aplicacao bijetiva. Portanto existe ξ−1 : V → U . Mostremos entao que ξ−1 e li-near. Ja que ξ e bijetiva, existem vetores — unicamente definidos — u1, u2 ∈ U tais queV 3 vi = ξ(ui). Das expressoes ξ(u1+u2) = ξ(u1)+ξ(u2) e ξ(a u1) = a ξ(u1), aplicamosξ−1 em ambos os lados dessas duas expressoes, e portanto u1+u2 = ξ−1(ξ(u1)+ξ(u2)) ea u1 = ξ−1(a ξ(u1)). Portanto, ξ−1(v1)+ξ−1(v2) = ξ−1(v1+v2) e a ξ−1(v1) = ξ−1(a v1)

� Exercıcio 33: Mostre que se φ e uma aplicacao linear, entao φn tambem e linear,para todo n ∈ N �

I Proposicao 4: Qualquer K-espaco vetorial V n-dimensional e isomorfo a Kn J


Demonstracao: Seja {e1, . . . , en} uma base de V . Considere a aplicacao φ :V → Kn que associa a cada vetor v ∈ V , a n-upla (a1, . . . , an) de coordenadas dovetor v na base {ei}. Tal aplicacao e bijetiva. Agora, se v = a1e1 + · · · + anen eu = b1e1 + · · ·+ bnen, entao

u+ v = (a1 + b1)e1 + · · ·+ (an + bn)en

λv = (λa1)e1 + · · ·+ (λan)en

Portanto φ e isomorfismo o

I Teorema 6: Dois K-espacos vetoriais U, V de dimensao finita sao isomorfos se esomente se eles possuem a mesma dimensao J

Demonstracao: O isomorfismo φ : U → V leva a base de U na base de V , eportanto dim U = dim V . Reciprocamente, considere dim U = dim V . ConsidereBU = {e1, . . . , en} ⊂ U e BV = {h1, . . . , hn} ⊂ V respectivamente bases de U e V .A expressao φ(a1e1 + · · · + anen) = b1h1 + · · · + bnhn define uma aplicacao linearde U em V , de acordo com a penultima Proposicao. Alem disso φ e bijetiva, poisa1e1 + · · ·+ anen = φ−1(b1h1 + · · ·+ bnhn) o

Obs. 3: Na demonstracao acima tomamos o isomorfismo φ : U → V , e se{e1, . . . , en} e base de U , entao {φ(e1), . . . , φ(en)} e base de V , portanto dim U = dimV . Reciprocamente, provamos no Teorema acima que qualquer K-espaco vetorial Vn-dimensional e isomorfo a Kn, e portanto esses espacos tambem sao isomorfos entresi, por relacao de equivalencia

2.5.4 Bandeiras

Um dos metodos usuais para se estudar conjuntos S que possuem estruturas algebricase por meio de sequencias de subconjuntos — ou cadeias crescentes — S0 ⊂ S1 ⊂ S2 ⊂· · · . No formalismo dos espacos vetoriais, uma sequencia estritamente crescente desubespacos (supondo dim V = n), correspondendo a filtracao2 V0 ⊂ V1 ⊂ · · · ⊂ Vrem V e denominada bandeira. O numero r e denominado comprimento da bandeiraV0 ⊂ V1 ⊂ . . . ⊂ Vr. A bandeira V0 ⊂ V1 ⊂ . . . ⊂ Vn e dita ser maximal se V0 = {0},⋃ni=1 Vi = V , e um subespaco nao pode ser inserido entre Vi e Vi+1: se Vi ⊂M ⊂ Vi+1,

entao ou Vi = M ou M = Vi+1. Quando r = n, entao dim Vi = i para todo i(1≤ i ≤ n), e a bandeira e denominada completa. Neste caso a bandeira e uma seriede composicao de V .

Denominamos assinatura da bandeira V0 ⊂ V1 ⊂ . . . ⊂ Vn a sequencia {dim V0, dimV1, . . . , dim Vn}.

Uma bandeira de comprimento n pode ser construıda a partir de qualquer base doespaco V , definindo-se V0 = {0} e Vi = 〈e1, . . . , ei〉, para i ≥ 1. Tal bandeira e maximale tal construcao nos fornece todas as bandeiras maximais.

2Uma filtracao e um conjunto indexado Si de subobjetos de uma estrutura algebrica S, onde osındices i estao em um conjunto I totalmente ordenado, sujeito a condicao de que se i ≤ j entaoSi ⊆ Sj .


I Teorema 7: A dimensao do espaco vetorial V e igual a dimensao de qualquerbandeira maximal de V J

Demonstracao: Seja V0 ⊂ V1 ⊂ V2 ⊂ · · · uma bandeira maximal em V . Para todoi ∈ N, tomamos um vetor ei ∈ Vi\Vi−1 e mostraremos que {e1, . . . , ei} formam umabase de Vi. Primeiramente, 〈{e1, . . . , ei−1〉 ⊂ Vi−1 e ei /∈ Vi−1, portanto segue-se porinducao sobre i (ja que e1 6= 0), que {e1, . . . , ei} e LI para todo i.

Agora, por inducao em i mostramos que {e1, . . . , ei} gera Vi. Assuma que talafirmacao seja verdadeira para i − 1 e seja M = 〈e1, . . . , ei〉. Entao Vi−1 ⊂ M deacordo com a hipotese de inducao e Vi−1 6= M , ja que ei /∈ Vi−1. A definicao demaximalidade de uma bandeira implica que M = Vi.

Se V0 ⊂ V1 ⊂ V2 ⊂ . . . ⊂ Vn = V e uma bandeira maximal finita em V , entao deacordo com o que ja foi mostrado, os vetores {e1, . . . , en}, onde ei ∈ Vi\Vi−1, formamuma base de V tal que dim V = n. Se V contem uma bandeira maximal infinita, entaoessa construcao fornece um numero arbitrariamente grande de conjuntos de vetores emV , e portanto V possui dimensao infinita o

� Exercıcio 34: Prove que qualquer bandeira em um espaco V de dimensao finitapode ser estendida a bandeira maximal, e seu comprimento nao excede a (dim V ) �

� Exercıcio 35: Mostre que em uma bandeira V0 ⊂ V1 ⊂ · · · ⊂ Vr, verifica-se que0 ≤ dim V0 < dim V1 < · · · < dim Vr ≤ n �

Uma bandeira de qualquer comprimento pode ser obtida a partir de uma bandeiracompleta, quando eliminamos alguns subespacos vetoriais apropriados. Reciproca-mente, qualquer bandeira pode ser completada, inserindo tambem subespacos vetoriaisapropriados. Em geral isso pode ser feita de maneiras alternativas.

� Exercıcio 36: Complete a seguinte bandeira de R3:{0} ⊂ R2 (plano-xy) ⊂ R3, de duas maneiras diferentes �

2.6 Espaco Dual e Funcionais Lineares

Seja V um espaco vetorial sobre um corpo K. Uma aplicacao α : V −→ K e dita serum funcional linear se α(au+ bv) = aα(u) + α(v), para todos u, v ∈ V e a ∈ K.

� Exercıcio 37: Mostre que de acordo com a definicao acima, para qualquer fun-cional linear α : V −→ K temos que α(0) = 0K �

O conjunto de todos os funcionais lineares de V em K e denominado espaco dualde V e denotado V ∗. O conjunto V ∗ e um espaco vetorial sobre K, ao definirmos(aα+ β)(u) := aα(u) + β(u), ∀α, β ∈ V ∗, a ∈ K, u ∈ V .

� Exercıcio 38: Prove que V ∗ e espaco vetorial sobre K �

O vetor nulo de V ∗ e o funcional linear α que associa trivialmente todo vetor de Va zero: α(u) = 0K,∀u ∈ V .

2.6. ESPACO DUAL E FUNCIONAIS LINEARES — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015 23

B Exemplo 6: Sejam a1, . . . , an ∈ K escalares. Definimos φ : Kn → K a aplicacaoφ(x1, . . . , xn) = a1x1 + · · ·+ anxn. A matriz de φ e dada por (a1, . . . , an) em relacao abase usual de Kn e a base {1} de K. Notamos que todas as funcoes lineares sobre Knsao dessa forma, e se x = x1e1+ · · ·+xnen ∈ Kn, entao φ(x) = x1φ(e1)+ · · ·+xnφ(en).Denote φ(ei) = ai C

� Exercıcio 39: Defina um funcional α ∈ (C2)∗ tal que α(1, 1) = 0. Defina um

funcional α em (C3)∗ tal que α(1, 1, 1) = 0 e α(1, i, 3) = 0 �

� Exercıcio 40: Considere um funcional linear sobre um C-espaco vetorial. Talfuncional pode assumir somente valores reais? �

� Exercıcio 41: Seja C[a, b] o espaco das funcoes contınuas, f : [a, b]→ R. Defini-

mos φ(f) =∫ baf(t)dt. Prove que φ e um funcional linear �

O seguinte teorema sera implicitamente usado varias vezes no que se segue.

I Teorema 8: Seja um espaco vetorial V sobre um corpo K. Se um vetor v ∈ V tema propriedade α(v) = 0 para todo α ∈ V ∗, entao v = 0 J

Demonstracao: Seja B uma base de V . Para cada elemento u ∈ B podemosassociar um funcional linear αu, definido como

αu(v) = vu, ∀v ∈ V (2.3)

onde, como todo v ∈ V pode ser escrito como uma combinacao linear de elementosde B, podemos sempre escrever v = vu u + v′, onde v′ e uma combinacao linear deelementos de B e vu ∈ K. Alem disso, vu = 0, caso u nao faca parte na decomposicaode v em uma soma finita de elementos de B). Seja entao v ∈ V um vetor como noenunciado do Teorema. Se α(v) = 0 para todo α ∈ V ∗, vale obviamente que αu(v) = 0,para todo u ∈ B. Isso implica que v = 0 o

� Exercıcio 42: Mostre que, para cada u ∈ B, αu : V → K dada pela Eq.(2.3) e

um funcional linear �

� Exercıcio 43: Considere o espaco M(n, K), n ∈ N, das matrizes n × n sobre ocorpo K. Denotando as componentes de A ∈ M(n,K) por {Aij}, defina o traco damatriz como sendo o operador

Tr : M(n,K) → K

A 7→n∑i=1

Aii = A11 +A22 + · · ·+Ann

1. Mostre que Tr e um funcional linear sobre M(n,K).

2. Dado n ∈ N e dadas matrizes A,B ∈ M(n,K), mostre que Tr(AB) = Tr(BA).


3. Mostre que nao existem matrizes A,B ∈ M(n,K) tais que AB − BA = In×n,n ∈ N. Exiba operadores A,B ∈ Hom(V, V ) tais que AB − BA = IV onde V eum espaco vetorial de dimensao infinita.

4. Ainda em V como acima, suponha que AB − BA = idV . Mostre que AmB −BAm = mAm−1, m ∈ N.

�

I Proposicao 5: Se dim V = n, entao dim V ∗ = n e V ' V ∗ J

Demonstracao: Seja {e1, . . . , en} uma base de V . Para cada i ∈ {1, . . . , n}, existeum unico ei ∈ V ∗ tal que ei(ej) = δij , para j ∈ {1, . . . , n}. O conjunto {e1, . . . , en} sao

LI. De fato, se α = α1e1 + · · · + αne

n, entao α(ei) =∑ni=1 αje

j(ei) = αiei(ei) = αi.

Suponhamos que α = 0, ou seja, dada uma combinacao linear nula dos vetores {ej},isso implica que αi = 0, para i ∈ {1, . . . , n}. Alem disso, o conjunto {e1, . . . , en} formauma base para V ∗. Com efeito, mostramos que {ei} e linearmente independente e quetambem gera V ∗. Se α ∈ V ∗, entao α(ei) = αi, e α = α1e

1 + · · ·+ αnen. A base {ej}

e dita ser a base dual de {ei} o

� Corolario 1: Utilizando a notacao acima, α =∑ni=1 α(ei)e

i e v =∑ni=1 e

i(v)ei,para cada α ∈ V ∗ e v ∈ V . De fato, seja α =

∑ni=1 αie

i. As coordenadas αi sao unicas,dadas por α(ei) = αi. Analogamente, se v =

∑ni=1 biei, entao ej(v) = bje

j(ej) = bj

Obs. 4: O isomorfismo (entre espacos vetoriais) V ' V ∗ nao e canonico ounatural, no sentido que tal isomorfismo depende da escolha de bases. Se mudamos debase em V o isomorfismo tambem e modificado

B Exemplo 7: Suponha V tal que dim V = 1. Para qualquer e1 ∈ V \0, o conjunto{e1} e base de V . Considere a base dual {e1} ⊂ V ∗, que satisfaz por definicao a relacaoe1(e1) = 1. Dado a ∈ K\{0}, tome outra base {a e1} de V , portanto {a−1 e1} ⊂ V ∗ ea base dual associada. Mas as aplicacoes lineares φ : e1 7→ e1 e φa : ae1 7→ a−1e1 saodiferentes no caso onde a2 6= 1 C

A todo espaco vetorial V esta associado o espaco dual V ∗ de V . Ja vimos queesse espaco e o conjunto dos funcionais lineares α : V → K, tambem denominadoscovetores. Alem disso os covetores ei, (i ∈ {1, . . . , n}) foram definidos como

ei(ej) = δij =

{1, i = j,0, i 6= j.

Como demonstrado na Proposicao anterior, segue-se que os covetores {ei} formamuma base para V ∗. As coordenadas de um covetor arbitrario α nessa base sao dadaspelo valor de α na base {ei} de V . De fato, dado v =

∑ni=1 v

iei, entao α(v) =α(∑ni=1 v

iei) =∑ni=1 v

iα(ei) =∑ni=1 v

iαi.

2.6. ESPACO DUAL E FUNCIONAIS LINEARES — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015 25

� Exercıcio 44: Seja {e1, e2, e3} uma base de V = R3 dada por e1 = (1, 0, 1)ᵀ,e2 = (1, 1,−1)ᵀ e e3 = (0, 1, 2)ᵀ. Seja α ∈ V ∗ o covetor dado por α(e1) = 4, α(e2) = 1,α(e3) = 1. Determine α(v) para v = (a, b, c)ᵀ e expresse α em termos da base canonica

de R3�

Como V ∗ e um espaco vetorial, e natural nos perguntarmos se podemos definirtambem um espaco dual ao espaco V ∗. Isso e possıvel, e para tal definimos os funcionaislineares

τ : V −→ (V ∗)∗

v 7→ τv : V ∗ −→ Kα 7→ τv(α) := α(v) (2.4)

Nesse sentido, temos que τv(α) = α(v). Obviamente τv : V ∗ −→ R. A soma dessesfuncionais lineares e dada por τu + τv = τv+u e a multiplicacao por um escalar poraτv = τ(av). Nao e difıcil vermos que dim (V ∗)∗ = dim V . O resultado fundamentalaqui e:

I Teorema 9: Os espacos vetoriais V e (V ∗)∗ sao (canonicamente) isomorfos J

Demonstracao: Pela definicao, dados a ∈ K, u, v ∈ V e α, β ∈ V ∗, entaoτ(au+v)(α) = α(au + v) = aα(u) + β(v) = aτu(α) + τv(α). Portanto τu e elementode (V ∗)∗ e e linear. Como dim V = dim V ∗ = dim (V ∗)∗, entao τ e isomorfismode V em (V ∗)∗ oA definicao na Eq.(2.4) τv(α) = α(v) e a essencia do isomorfismocanonico, ja que α(v) nao depende de escolha de bases, ja que e um escalar, e portantoinvariante.

Obs. 5: Mais geralmente, dados dois espacos vetoriais V e W , e dada umaaplicacao linear φ : V → W , temos uma aplicacao dual associada φ∗ : W ∗ → V ∗

definida por φ∗(α)(v) = α(φ(v)), para cada α ∈W ∗ e v ∈ V . Alem disso, temos aindaa aplicacao bidual φ∗∗ : V ∗∗ →W ∗∗. O diagrama

VτV - V ∗∗

W

φ

? τW- W ∗∗

φ∗∗

?

comuta. De fato, denotando por τV e τW respectivamente a aplicacao (2.4) restrita aV e a W , e dados v ∈ V e α ∈W ∗, segue-se que

((φ∗∗ ◦ τV )(v))(α) = (φ∗∗(τV (v)))(α) = (τv)(φ∗(α))

= (φ∗(α))(v) = α(φ(v)) = (τW (φ(v)))(α)

= ((τW ◦ φ)(v))(α)

� Exercıcio 45: Seja dim V <∞ e φ ∈ (V ∗)∗. Mostre que existe um unico v ∈ Vtal que φ(α) = α(v), ∀α ∈ V ∗ �


Obs. 6: E bem sabido que todos os espacos vetoriais com a mesma dimensao saoisomorfos, mas o resultado aqui e mais forte: existe um isomorfismo natural (canonico)entre V e (V ∗)∗ dado por τ . Ja vimos que para um espaco vetorial V e o seu dual V ∗

nao existe um isomorfismo natural (no sentido discutido acima). Precisamos de umaestrutura a mais para definirmos o isomorfismo entre estes espacos, e essa estruturaadicional e chamada correlacao. Para tanto precisamos munir V com uma metricaaqui a denominacao para uma forma bilinear simetrica nao-degenerada.

Obs. 7: Com o isomorfismo canonico V ' V ∗∗, muitas vezes se identificalegitimamente o espaco vetorial bidual V ∗∗ como sendo o proprio espaco vetorial V , apartir da identificacao v 7→ τv. Segue-se que a sequencia de espacos

V → V ∗ → V ∗∗ → V ∗∗∗ → V ∗∗∗∗ → · · ·

e essencialmente dada por V → V ∗ → V ∗∗, de maneira que fundamentalmente seprecisamos dos espacos V, V ∗ e V ∗∗ para fins praticos.

Considere agora um subespaco U ⊂ V , definimos o anulador (ou aniquilador) de U :

U = {α ∈ V ∗ |α(v) = 0 ,∀v ∈ U} (2.5)

� Exercıcio 46: Mostre que U e subespaco de V ∗. Se U = {0}, entao U = V ∗; se

U = V , entao U = {0} ⊂ V ∗ �I Lema 1: dim U = dim V− dim U J

Demonstracao: Seja {e1, . . . , en} uma base de V tal que U = 〈e1, . . . , ek〉. Se{e1, . . . , en} e uma base de V ∗, entao U = 〈ek+1, . . . , en〉 o

Ja que sabemos identificar os espacos V e (V ∗)∗, o aniquilador de um subespaco Z ∈ V ∗esta em V . Por definicao, Z = {τv ∈ (V ∗)∗ | τv(α) = α(v) = 0 ,∀α ∈ Z}.

I Teorema 10:˚U ' U , para todo subespaco U ⊂ V J

Demonstracao:˚U = 〈τe1 , . . . , τek〉 ' 〈e1, . . . , ek〉 = U . O isomorfismo

˚U e canonico

o

� Exercıcio 47: Dado um K-espaco vetorial V , mostre que se U ⊂ V , entao V ⊂ U�

� Exercıcio 48: Sejam U1 e U2 subespacos de um K-espaco vetorial V . Mostre que(U1 ∩ U2) = U1 + U2 (aqui definimos a soma U1 + U2 = {u1 + u2 | u1 ∈ U1, u2 ∈ U2}.�

2.7 Nucleo e Imagem

Considere φ ∈ Hom(U, V ). O conjunto ker φ = {u ∈ U |φ(u) = 0} ⊂ U e denomi-nado nucleo de φ, e o conjunto Im φ = {v ∈ V | ∃u ∈ U, φ(u) = v} ⊂ V e denominadoimagem de φ. A dimensao da imagem de uma aplicacao e denominada posto destaaplicacao.

2.7. NUCLEO E IMAGEM — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015 27

� Exercıcio 49: Seja A ∈ End(R3) definida por: A(x1, x2, x3) = (x1−x2+2x3, 2x1+x2,−x1−2x2+2x3). Verifique que A e uma transformacao linear e determine a imagem

e o posto de A �

� Exercıcio 50: Mostre que ker φ e Im φ sao respectivamente subespacos vetoriaisde U e V �

I Teorema 11: φ ∈ Hom(U, V ) e injetiva se e somente se ker φ = {0} J

Demonstracao: Suponha que ker φ = {0}. Entao φ(u1) = φ(u2) ⇒ φ(u1 − u2) =φ(u1)− φ(u2) = 0 e u1 − u2 ∈ ker φ, o que implica que u1 − u2 = 0, ou seja, u1 = u2.Reciprocamente, suponha que φ seja uma transformacao linear injetiva e, se u ∈ kerφ, entao φ(u) = 0 = φ(0)⇒ u = 0, logo ker φ = {0} o

� Exercıcio 51: Mostre que φ ∈ Hom(U, V ) e injetiva se, e somente se, φ leva

vetores LI em U em vetores LI de V �

Obs. 8: Vimos que um homomorfismo φ : U → V e uma aplicacao que preservaestruturas algebricas, no sentido de que ∀u, v ∈ U , a ∈ K, φ(au + v) = aφ(u) + φ(v).Um homomorfismo que possui o nucleo trivial — e portanto injetivo — e denominadomonomorfismo (ou imersao). No caso em que φ(U) = V , e portanto φ e sobrejetivo, φ edenominado um epimorfismo. Ainda, denominamos por endomorfismo todo elementoφ ∈ Hom(V, V )= End(V ), e por automorfismo um isomorfismo φ : V → V (isomorfismodo mesmo espaco)

� Exercıcio 52: No espaco Kn+1[x] dos polinomios na variavel x, considere asaplicacoes φ, ψ ∈ End(V ) definidas por

φ(a0 + a1x+ · · ·+ anxn) = a1 + a2x+ · · ·+ anx

n−1

ψ(a0 + a1x+ · · ·+ anxn) = a0x+ a1x

2 + · · ·+ anxn+1

Mostre que φ ◦ ψ = I e ψ ◦ φ 6= I. A aplicacao φ possui inversa? �

I Teorema 12: (Teorema do Nucleo e da Imagem) Seja U um espaco vetorial dedimensao finita e φ ∈ Hom(U, V ). Entao ker φ e Im φ tem dimensao finita e

dim kerφ + dim Imφ = dim U

J

Demonstracao: ker φ tem dimensao finita, ja que ker φ e um subespaco veto-rial de U . Tome entao uma base {e1, . . . , em} de ker φ e estenda essa base a umabase {e1, . . . , em, em+1, . . . , em+n} para todo o espaco U . Mostraremos que o conjuntoφ(em+1), . . . , φ(em+n) forma uma base de Im φ. Qualquer vetor em Im φ possui aforma

φ

(m+n∑i=1

aiei

)=

m+n∑i=m+1

aiφ(ei), (2.6)


pois∑mj=1 ajφ(ej) = 0, ja que {e1, . . . , em} ⊂ ker φ, o que significa que φ(e1) = · · · =

· · · = φ(em) = 0. Portanto o conjunto {φ(em+1), . . . , φ(em+n)} gera a Im φ. Seja agora

a combinacao linear nula∑m+ni=m+1 aiφ(ei) = 0. Entao, φ

(∑m+ni=m+1 aiei

)= 0, o que

significa que∑m+ni=m+1 aiei ∈ ker φ, isto e, a combinacao linear

∑m+ni=m+1 aiei pode ser ex-

pressa como∑mj=1 a

′jej , pois {e1, . . . , em} e base de ker φ. Mas φ

(∑m+ni=m+1 aiei

)= 0 so

e possıvel se todos os coeficientes ai, a′i forem nulos, pois {e1, . . . , em, em+1, . . . , em+n}

e base de U . Portanto o conjunto de vetores {φ(em+1), . . . , φ(em+n)} e, pois em par-ticular os coeficientes ai sao nulos o

� Corolario 2: Temos que dim U = dim Im φ se e somente se dim ker φ = 0, istoe, ker φ = {0}. Neste caso, φ e uma aplicacao injetiva e tambem sobrejetiva, ou seja,φ e isomorfismo

� Exercıcio 53: Para cada operador linear abaixo, encontre bases para o nucleo ea imagem, verifique o resultado do Teorema do Nucleo e da Imagem e determine se Te bijetiva.

1. T : R3 → R2, T (a, b, c) = (a− b, 2c).

2. T : R2 → R3, T (a, b) = (a+ b, 0, 2a− b).

3. T : P2(R)→ P3(R), T (p(t)) = tp(t) + p′(t).

4. T : M(2,R)→ R, T (M) = tr M .

�

� Exercıcio 54: Seja P (R) o conjunto dos polinomios reais. Mostre que T : P (R)→P (R) dada por T (p) =

∫ ᵀ0p(s)ds e injetiva, mas nao e sobrejetiva. �

� Exercıcio 55: De exemplos de transformacoes lineares T1, T2 : V → W tais queker T1 = ker T2 e Im T1 = Im T2, mas T1 6= T2. �

� Exercıcio 56: Sejam V e W espacos vetoriais de dimensao finita e T : V → Wlinear. Prove que se dim V < dim W entao T nao pode ser sobrejetiva. Prove que sedim V > dim W entao T nao pode ser injetiva �

� Exercıcio 57: Seja T : R3 → R. Descreva geometricamente as possibilidadespara o nucleo de T �

Um subespaco de dimensao n − 1 de um K-espaco vetorial V de dimensao n edenominado hiperplano — ou subespaco de codimensao 1. Se 0 6= α ∈ V ∗ e se dimV = n, entao dim Im α = 1 e dim ker α = n − 1, pois Im α = K, e dim K = 1. OTeorema do Nucleo e da Imagem nos diz que dim ker α = n− 1.

Obs. 9: Quando a dimensao de V e infinita, um hiperplano e um subespacoU ⊂ V tal que U 6= V , e se W e um subespaco tal que U ⊆W ⊆ V , entao W = V ouW = U , o que caracteriza U como um subespaco proprio maximal de V

2.8. SOMA DIRETA — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015 29

I Teorema 13: Se α ∈ V ∗\{0}, entao (ker α) e hiperplano em V . Reciprocamente,todo hiperplano de V e o nucleo de um funcional α ∈ V ∗ (α nao e unico). J

Demonstracao: Dado α ∈ V ∗\{0}, existe v ∈ V tal que α(v) 6= 0. Seja u ∈ V ,definamos a = α(u)/α(v). Entao w = u − av ∈ ker α, pois α(w) = α(u − av) =α(u) − aα(v) = 0. Portanto u = w + av ∈ (ker α + 〈v〉), e (ker α) e um hiperplano,ja que u e um elemento arbitrario de V . Reciprocamente, seja (ker α) um hiperplanoem V , e seja v ∈ V \(ker α). Entao, ja que (ker α) e subespaco proprio maximal de V ,temos que V = ker α + 〈v〉, e cada u ∈ V tem a representacao u = w + av, a ∈ K ew ∈ (ker α). Se tivessemos u = w′+a′v, a′ ∈ K e w′ ∈ ker α, entao (a−a′)v = w′−w.Se a− a′ 6= 0, temos v ∈ ker α, o que nao e possıvel. Portanto a = a′ e w = w′ o

� Exercıcio 58: Seja V = M(n,K). Prove que End(V ) ' (End(V ))∗ (Dica: Proveque para qualquer α ∈ V ∗ existe uma unica matriz A ∈ V com a propriedade de queα(X) = Tr(AX), ∀X ∈ V ). �

2.8 Soma Direta

Considere um conjunto {Vi}ni=1 de subespacos vetoriais em um K-espaco vetorial V .Dizemos que V e soma direta de V1, . . . , Vn se todo v ∈ V puder ser representado daforma v =

∑ni=1 vi, onde vi ∈ Vi e vi /∈ Vj , para cada j 6= i. Se isso ocorrer, escrevemos

V = V1 ⊕ V2 ⊕ · · · ⊕ Vn = ⊕ni=1Vi

B Exemplo 8: Considere {e1, . . . , en} uma base de V e seja Vi = 〈ei〉. EntaoV = ⊕ni=1Vi. E claro que quando V = ⊕ni=1Vi segue-se que V =

∑ni=1 Vi. A recıproca

nao e verdadeira. C

Seja V um espaco vetorial e U,W subespacos de V . Definimos a soma de U e Wpor

U +W = {u+ w ∈ V |u ∈ U,w ∈W}

Se U ∩W = {0}, denotamos U +W por U ⊕W . Este conjunto chama-se soma diretade U e W .

� Exercıcio 59: Mostre que U +W e subespaco de V . Mostre que se V = U ∩W ,entao todo elemento de V se escreve de maneira unica como soma de um elementode U com outro elemento de W . Mostre que se B1 e base de U e B2 e base de W eV = U + W e U ∩W 6= {0}, entao V = 〈B1 ∪ B2〉, mas B1 ∪ B2 nao e base de V .Mostre que se B1 e base de U e B2 e base de W e V = U +W e U ∩W = {0}, entao

V = 〈B1 ∪B2〉, e B1 ∪B2 e base de V �

� Exercıcio 60: Verifique, em cada um dos itens abaixo, se V = U ⊕W :

1. V = R2 e U,W sao retas distintas que passam pela origem.

2. V = R3 e U,W sao planos distintos que passam pela origem.


3. V = M(2,R), U =

{(a 00 b

) ∣∣∣∣ a, b ∈ R}

, W =

{(0 cd 0

) ∣∣∣∣ c, d ∈ R}

.

4. V = M(n,R) e U,W denotam, respectivamente, os espacos das matrizes simetricase anti-simetricas.

5. V = C(R,R) e o espaco das funcoes reais e U,W sao respectivamente o espacodas funcoes pares e ımpares.

�

Mais geralmente, se tivermos uma colecao finita de espacos vetoriais V1, . . . , Vn sobreum mesmo corpo K procedemos analogamente, primeiro definindo o grupo abelianoV1 ⊕ · · · ⊕ Vn e depois definindo a multiplicacao por escalares por a(v1 ⊕ · · · ⊕ vn) :=(av1)⊕ · · ·⊕ (avn), com a ∈ K e v1⊕ · · ·⊕ vn ∈ V1⊕ · · ·⊕Vn. O espaco vetorial (sobreK) assim definido e denotado por V1 ⊕K · · · ⊕K Vn.

� Exercıcio 61: Mostre que dados vi ∈ Vi, as aplicacoes

φ : (V1 ⊕ V2)⊕ V3 → V1 ⊕ V2 ⊕ V3(v1 + v2) + v3 7→ φ((v1 + v2) + v3) = v1 + v2 + v3

ψ : V1 ⊕ (V2 ⊕ V3) → V1 ⊕ V2 ⊕ V3v1 + (v2 + v3) 7→ ψ(v1 + (v2 + v3)) = v1 + v2 + v3

sao isomorfismos (canonicos) �

� Exercıcio 62: Sejam V1 e V2 subespacos vetoriais de V , com V1 ∩ V2 = {0}.Defina a aplicacao linear

φ : V1 × V2 → V1 ⊕ V2(v1, v2) 7→ φ(v1, v2) = v1 + v2, v1 ∈ V1, v2 ∈ V2

Prove que φ e um isomorfismo. �

Agora, se V1 ∩ V2 6= {0}, defina a aplicacao linear

φ : V1 × V2 → V1 + V2

(v1, v2) 7→ v1 + v2, v1 ∈ V1, v2 ∈ V2

φ e sobrejetiva, o que implica que dim (Im φ) = dim (V1 + V2). Alem disso, kerφ = {(v,−v) | v ∈ V1 ∩ V2}. A aplicacao

ψ : V1 ∩ V2 → kerφ

v 7→ (v,−v)

2.8. SOMA DIRETA — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015 31

e um isomorfismo (Prove!). Portanto,

dimV1 + dimV2 = dim(V1 × V2)

= dim kerφ+ dim Im(φ),

= dim kerφ+ dim(V1 + V2)

= dim(V1 ∩ V2) + dim(V1 + V2)

� Exercıcio 63: Dados U1 e U2 subespacos vetoriais de U tais que U1 ∩ U2 = {0},mostre que B1 ∪B2 e base de U1 ⊕ U2, onde B1 e base de U1 e B2 e base de U2. �

I Teorema 14: Sejam {Vi}ni=1 ⊂ V subespacos vetoriais de um K-espaco vetorial V .Entao V = ⊕ni=1Vi se e somente se valer qualquer uma das seguintes condicoes:a) V =

∑ni=1 Vi e Vj ∩ (

∑i 6=j Vi) = {0}, ∀j = 1, . . . , n.

b) V =∑ni=1 Vi e

∑ni=1 dim Vi = dim V (aqui assumimos que dim V = n <∞ ) J

Demonstracao:

a) A unicidade da representacao de qualquer vetor v ∈ V na forma∑ni=1 vi ∈ V

e equivalente a unicidade do vetor 0 ∈ V . Com efeito, se∑ni=1 vi =

∑ni=1 v

′i, entao

0 =∑ni=1(vi − v′i) e vice-versa. Se existir uma representacao nao-trivial de 0 =∑n

i=1(vi − v′i), na qual, digamos, vj − v′j 6= 0, entao vj − v′j ∈∑i 6=j Vj ∩ (

∑i6=j Vi), e

portanto a condicao a) nao e mais valida.

b) Se V = ⊕ni=1Vi, entao∑ni=1 Vi = V e

∑ni=1 dim Vi ≥ dim V , pois ∪ni=1Vi = V e

portanto contem uma base de V . Pelo Teorema anterior — que diz que dim V1 + dimV2 = dim (V1 ∩ V2) + dim (V1 + V2) — aplicado aos subespacos Vj e

∑i 6=j Vi, temos

dim

Vj ∩∑i 6=j

Vi

+ dimV = dimVj + dim

∑i 6=j

Vi

Mas a assercao a) nos diz que dim

(Vj ∩

(∑i 6=j Vi

))= 0. Ademais, se

∑ni=1 Vi =

⊕ni=1Vi, entao∑i6=j Vi = ⊕i 6=jVi, e, por inducao, provamos que

dim

∑i 6=j

Vi

=∑i 6=j

dimVi.

Portanto,∑ni=1 dim Vi = dim V .

Reciprocamente, se∑ni=1 dim Vi = dim V , entao a uniao das bases de todos os

Vi consiste de (dim V ) elementos, e gera todo o K-espaco vetorial V , sendo portantouma base de V . Com efeito, uma representacao nao-trivial do vetor 0 ∈ V na forma∑ni=1 vi ∈ V forneceria uma combinacao nula nao-trivial de elementos da base, o que

seria impossıvel o


Dizemos que uma aplicacao linear P : V → V e um operador de projecao se P 2 =P ◦ P = P . Podemos associar n operadores de projecao {Pi}ni=1 a soma direta ⊕ni=1Vida seguinte maneira: para quaisquer vj ∈ Vj ,

Pi

n∑j=1

vj

= vi

As aplicacoes Pi estao bem definidas, ja que v ∈ V pode ser unicamente representadopor v =

∑nj=1 vj , onde vj ∈ Vj . A linearidade de Pi e a propriedade P 2

i = Pi seguemdiretamente da definicao. Evidentemente, Vi = Im Pi.

� Exercıcio 64: a) Verifique que PiPj = O, se i 6= j.

b) Prove que∑ni=1 Pi = I �

� Exercıcio 65: Quando a soma de dois operadores de projecao e novamente umoperador de projecao? �

� Exercıcio 66: Mostre que dado φ ∈ End(V ), se ker φ = ker (φ2) podemos escreverV = ker φ ⊕ Im φ. A recıproca e verdadeira? (Mostre, se for verdadeira, ou de um

contra-exemplo) �

� Exercıcio 67: Dado φ ∈ Hom(U, V ) tal que φ2(1 − φ) = O, φ e idempotente?

Tal condicao e equivalente a φ(1− φ)2 = O? �

� Exercıcio 68: Se ker φ = Im φ, prove que a aplicacao φ ∈ End(V ) e uma projecao.

�

I Teorema 15: Sejam P1, . . . , Pn : V → V um conjunto finito de operadores deprojecao satisfazendo as condicoes PiPj = O, se i 6= j, e

∑ni=1 Pi = I. Seja Vi = Im

Pi. Entao, V = ⊕ni=1Vi. J

Demonstracao: Aplicando-se o operador I =∑ni=1 Pi a cada vetor v ∈ V , obtemos

v =∑ni=1 Pi(v), onde Pi(v) ∈ Vi. Portanto V =

∑ni=1 Vi. Para mostrar que essa soma

e uma soma direta, pelo criterio a) do Teorema anterior, considere v ∈ Vj ∩(∑

i6=j Vi

).

A definicao dos espacos Vi = Im Pi implica que existem vetores v1, . . . , vn tais que

v = Pj(vj), pois em particular se v ∈ Vj ∩(∑

i 6=j Vi

), isso significa que v ∈ Vj = Im Pj

e v ∈∑i6=j Im Pi(vi). Portanto,

v = Pj(vj) =∑i 6=j

Pi(vi).

Aplicando Pj a igualdade acima, e usando que P 2j = Pj , PiPj = O, i 6= j, obtemos

PjPj(vj) = Pj(vj) =∑i 6=j

PjPi(vi) = 0. (2.7)

2.9. ESPACOS QUOCIENTES — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015 33

Provamos que dado um vetor v ∈ Vj∩(∑

i6=j Vi

)arbitrario, entao v = 0, o que significa

que Vj ∩(∑

i 6=j Vi

)= {0}, e portanto pelo criterio a) do Teorema anterior, segue-se

que ∩ni=1Vi = {0} o

Obs. 10: Se dim V = n <∞, entao para qualquer subespaco V1 ⊂ V , existe umsubespaco V2 ⊂ V tal que V = V1⊕V2. Dizemos que V2 e o complemento direto de V1.

Podemos definir somas diretas de operadores lineares, considerando U = ⊕ni=1Ui eV = ⊕ni=1Vi e φ : U → V uma aplicacao linear tal que φ(Ui) = Vi. Denotamos porφi : Ui → Vi a aplicacao linear induzida, e escrevemos φ = ⊕ni=1φi. Escolhendo basesde U e V como a respectiva uniao de bases de Ui e Vi, a matriz de φ e a uniao deblocos diagonais.

� Exercıcio 69: Considere V1 ⊂ V2 ⊂ · · · ⊂ Vn uma bandeira em um K-espacovetorial de dimensao finita, onde mi = dim Vi. Prove que dada uma outra bandeiraV ′1 ⊂ V ′2 ⊂ · · · ⊂ V ′n tal que m′i = dim V ′i , entao existe ζ ∈ Aut(V ) que leva uma

bandeira na outra se, e somente se, mi = m′i, para todos i = 1, . . . , n �

I Teorema 16: Seja P ∈ End(V ). Se P 2 = P , entao V = ker P ⊕ Im P J

Demonstracao: Para todo v ∈ V , podemos escrever v = P (v) + (v − P (v)). Umcalculo imediato mostra que (v − P (v)) ∈ ker P , e portanto V = ker P + Im P . Seu ∈ ker P ∩ Im P , temos que P (u) = 0 e P (u) = u, pois para todo u ∈ Im(P ), temosque u = P (w), para algum w ∈ V , o que significa que P (u) = P (P (w)) = P (w) = u.Portanto u = 0 e V = ker P ⊕ Im P o

� Exercıcio 70: Considere uma involucao ω ∈ End(V ) (isto e, ω2 = I). Defina osconjuntos V1 = {v ∈ V |ω(v) = v} e V2 = {v ∈ V |ω(v) = −v}. Mostre que V1 e V2sao subespacos vetoriais de V e que V = V1 ⊕ V2. Mostre que para todo v = v1 + v2,onde va ∈ Va (a = 1, 2), temos que ω(v) = v1 − v2, e que P = 1

2 (ω + I) e a projecao

sobre V1 paralelamente a V2 �

� Exercıcio 71: Considere Kn[x] o conjunto dos polinomios de grau menor igualque n, sobre um corpo K. Mostre que o conjunto de todos os polinomios pares KEn [x](p(x) = p(−x)) e o conjunto de todos os polinomios ımpares KOn [x] (p(x) = −p(−x))

sao subespacos vetoriais. Mostre tambem que Kn[x] = KEn [x]⊕KOn [x] �

2.9 Espacos Quocientes

Considere um subespaco vetorial U ⊆ V . Existem geralmente varios subespacosW ⊂ V tais que W ∩ U = {0} e W + U = V . Em outras palavras, U pode terdiversos complementos, e nao ha uma maneira natural de escolher qualquer um dessescomplementos. Contudo, existe uma construcao natural que associa a U e V um novoespaco que, heuristicamente, desempenha o papel de complemento de U em relacaoa V . A vantagem formal que essa construcao possui sobre qualquer outra que possa


descrever um complemento arbitrario de U e que ela tem um carater natural, e emparticular nao depende da escolha de uma base.

Suponha por exemplo V = R2 e U = {(x, y) | y = 0} o eixo-x. Cada complementode U e uma linha — que nao seja o eixo-x — atraves da origem. Observando quecada complemento possui a propriedade de que a unica intersecao com o eixo-x constade um unico ponto, a ideia que paira sobre espacos quocientes neste caso e podermosconstruir todo o R2 a partir de linhas horizontais.

Voltando agora ao caso mais geral, se v ∈ V , o conjunto v+U que consiste de todosos vetores v + u, u ∈ U , e denominado classe lateral de U . No exemplo do paragrafoanterior, as classes laterais sao linhas horizontais, e podemos ter v1 + U = v2 + U ,mesmo que v1 6= v2.

Dado um subespaco vetorial U ⊆ V , as translacoes de U por um vetor v ∈ Vcorrespondem ao conjunto

v + U = {v + u |u ∈ U}.

Tais translacoes nao sao, necessariamente, subespacos vetoriais de V, e sao denominadassubvariedades lineares.

ñ Definicao 1: Dados U ⊆ V um subespaco vetorial e v1, v2 ∈ V , dizemos que v1 econgruente a v2 modulo U se v1−v2 ∈ U e escrevemos v1 ≡ v2 (mod U) ou v1 ≡ v2 (U)

ou v1U≡ v2. A congruencia modulo U e uma relacao de equivalencia sobre V . (Mostre!)

3

Obs. 11: Se v ∈ V , a classe lateral de v e dada por v = {w ∈ V | v − w ∈ U} ={v + w |w ∈ U}. Por essa razao indicamos v = {v + U | v ∈ V }.

ñ Definicao 2: A colecao de todas as classes laterais de U sera indicada por V/U .Dados v1, v2 ∈ V e a ∈ K, definimos a soma e multiplicacao por escalar como:a) v1 + v2 = v1 + v2b) av1 = av1 3

A fim de verificarmos que a definicao esta correta, devemos mostrar que a soma emultiplicacao por escalar independem dos representantes, e dependem exclusivamentedas classes laterais. Suponha que v1(= v1 + U) = w1(= w1 + U). Pela definicao,v1 − w1 = u1 ∈ U e v2 − w2 = u2 ∈ U . Portanto,

v1 + v2 = (v1 + v2) + U = (w1 + w2) + u1 + u2 + U

= (w1 + w2) + U

= w1 + w2

Agora, como v1 − w1 = u1 ∈ U , entao av1 − aw1 = au1 ∈ U e portanto

av1 = av1 + U = aw1 + au1 + U

= aw1 + U

= aw1


Isso mostra que a soma e multiplicacao por escalar dependem somente das classeslaterais e estao bem definidas. O espaco vetorial V/U assim obtido e denominadoespaco quociente de V por U .

Obs. 12: O vetor nulo 0 de V/U e a classe de equivalencia que consiste de0 = {0 + U} = U .

� Exercıcio 72: Mostre que o conjunto V/U e um espaco vetorial sobre o corpo Kcom as operacoes definidas acima �

� Exercıcio 73: Prove que se {v1 + W, . . . , vn + W} sao LI em V/W , entao

{v1, . . . , vn} sao LI em V . �

� Exercıcio 74: Seja U um subespaco de V . Suponha que {v1, . . . , vn} ⊂ Vsejam LI e gerem um subespaco W tal que U ∩ W = {0}. Prove que o conjunto

{v1 +W, . . . , vn +W} e LI em V/W . �

A transformacao

π : V → V/U

v 7→ π(v) = v = v + U

e denominada projecao canonica.

Podemos provar que π ∈ Hom(V, V/U) e que ker π = U e Im π = V/U . De fato, dadosu, v ∈ V e a ∈ K, temos que π(au+v) = au+v+U = a(u+U)+v+U = aπ(u)+π(v).Alem disso, ker π = {v ∈ V |π(v) = 0 = 0 + U = U}, e portanto v ∈ U . Podemos daıdemonstrar o

I Proposicao 6: Se V tem dimensao finita, entao (dim V/U) = dim V − dim U J

Demonstracao: Em relacao a aplicacao canonica π : V → V/U , ja que ker π = Ue Im π = V/U , pelo Teorema do Nucleo e da Imagem, temos que dim ker π + dim Imπ = dim V , e portanto dim U + dim V/U = dim V . Portanto,

(dimV/U) = dimV − dimU

o

Obs. 13: O numero (dim V/U) e geralmente denominado codimensao do su-bespaco vetorial U em V , e denotado por codim U ou codimV U

ñ Definicao 3: Sejam W,V dois K-espacos vetoriais. Dado φ ∈ Hom(W,V ), acoimagem e o conucleo de φ sao definidos por

coim φ = W/ker φ, coker φ = V/Im φ

A coimagem e o conucleo estao bem definidos, no sentido de que Im φ e subespaco deV , enquanto ker φ e subespaco vetorial de W .


Definimos tambem o ındice de φ como sendo o numero

ind φ = dim coker φ− dim ker φ

3

No caso onde V e W possuem dimensao finita, obtemos do Teorema acima, que

ind φ = (dim V − dim Im φ)− (dim W − dim Im φ)

= dim V − dim W

Nesse caso, o ındice de um operador φ ∈ Hom(W,V ) somente depende dos espacos Ve W .

� Exercıcio 75: Prove que ind φ = 0, ∀φ ∈ Aut(V ), onde V e um K-espaco vetorial

de dimensao finita �

Vimos que existe um epimorfismo natural (canonico) π entre V e o espaco quoci-ente V/U , que mapeia v ∈ V a sua classe de equivalencia v = [v]. O nucleo de talepimorfismo e o subespaco U . Definimos a sequencia exata

{0} - U - Vπ- V/U - {0}

B Exemplo 9: Considerando U = R2 ⊂ V = R3, a sequencia exata acima citadatoma a forma

{0} - R2 - R3 π- R3/R2 ' R - {0}

C

2.9.1 Teoremas de Isomorfismos

O Teorema a seguir diz que dado um homomorfismo ϕ : V → U entre dois K-espacosvetoriais, entao

V/ker ϕ ' Imϕ

I Teorema 17: Seja ϕ ∈ Hom(V,U) tal que ϕ(V ) = U . Entao existe um unicoisomorfismo ϕ : V/ker ϕ → U tal que ϕ = ϕ ◦ π, onde π : V → V/ker ϕ e a projecaocanonica J

Demonstracao: Note que π : V → V/ker ϕ e ϕ : V/ker ϕ → U , e portantoϕ = ϕ ◦ π : V → U = ϕ(V ). Defina a aplicacao induzida

ϕ : V/ker ϕ → U = ϕ(V )

v = v + ker ϕ 7→ ϕ(v)

Primeiramente devemos verificar se ϕ e, de fato, bem definida. Com efeito, dadosv1, v2 ∈ V e portanto v1 = v1 + ker ϕ, v2 = v2 + ker ϕ ∈ V /ker ϕ. Se v1 = v2,


significa que v1 + ker ϕ = v2 = v2 + ker ϕ. Daı, existe w ∈ ker ϕ tal que v1 = v2 +w.Segue-se que

ϕ(v1) = ϕ(v1) = ϕ(v2 + w) = ϕ(v2) + ϕ(w), pois ϕ ∈ Hom(V,U)

= ϕ(v2) + 0, pois w ∈ ker ϕ

= ϕ(v2) = ϕ(v2)

Portanto a funcao ϕ esta bem definida.A fim de provar que ϕ e isomorfismo, resta agora provar que ϕ e bijetiva e linear.

Por construcao ϕ e linear, pois e a composicao de duas aplicacoes lineares.Para ver que ϕ e sobrejetiva, como ϕ(v) = ϕ(v) e ja que ϕ(V/kerϕ) = ϕ(V ) = U ,

entao a funcao ϕ : V/ker ϕ→ U contempla todo o contradomınio U .Agora para provar que ϕ e injetiva, mostraremos que ker ϕ = 0. Por definicao,

ker ϕ = {v ∈ V/kerϕ | ϕ(v) = 0}= {v + kerϕ |ϕ(v) = 0}= {v + kerϕ | v ∈ kerϕ}= kerϕ

= 0 + kerϕ

= 0 (2.8)

Ja demonstramos que se o nucleo de uma aplicacao consistir somente do vetor nulo,entao tal aplicacao e injetiva. Portanto ϕ e bijetiva e linear, sendo portanto um iso-morfismo. Resta mostrar que tal isomorfismo e unico. Suponha que existam doisisomorfismos ϕ1 : V/ker ϕ → U e ϕ2 : V/ker φ → U , ambos com a propriedadeϕ(v) = ϕ(v). Entao, para todo v ∈ V , ϕ1(v) − ϕ2(v) = ϕ(v) − ϕ(v) = 0, e portanto(ϕ1 − ϕ2)(v) = 0, para todo v ∈ V/ker ϕ. Consequentemente, ϕ1 − ϕ2 = O e portantoϕ1 = ϕ2 o

O teorema acima demonstrado pode ser ilustrado pelo seguinte diagrama:

Vϕ - U

V/kerϕ

ϕ

6

π-

Obs. 14: Esse teorema e mais conhecido como o Primeiro Teorema dos Homo-morfismos. Aqui ele e enunciado em termos de espacos vetoriais por se tratarem degrupos abelianos com relacao a soma.

BExemplo 10: Tomando-se a projecao P : Rn+1 → Rn dada por P (x1, . . . , xn, xn+1) =(x1, . . . , xn, 0), podemos ver que ker P = (0, 0, . . . , 0, xn+1) ' R e portanto pelo Teo-rema acima, considerando-se V = Rn+1, temos que Im P = Rn, e portanto, segue-se


queRn+1/R = Rn

C

� Exercıcio 76: Mostre que Rn/Rp ' Rn−p para todo p ∈ {0, 1, . . . , n} �A seguir enunciaremos e demonstraremos o chamado 2o Teorema dos Homomorfis-

mos

I Teorema 18: Considere V1, V2 ⊂ V dois subespacos vetoriais de V . Entao

V1 + V2V2

' V1V1 ∩ V2

J

Demonstracao: Defina a aplicacao

σ : V1 → V1 + V2V2

v1 7→ v1 + V2, ∀vi ∈ Vi, i = 1, 2

Ja que v1 + V2 = v1, entao σ e um epimorfismo, pois sendo sobrejetiva, dados a ∈ K ew1 ∈ V1,

σ(av1 + w1) = av1 + w1 = av1 + w1

= aσ(v1) + σ(w1)

e portanto σ e linear. Agora provaremos que ker σ = V1 ∩ V2. Por um lado, ker σ ={v1 ∈ V1 |σ(v1) = 0 = 0+V2}. Mas σ(v1) = v1+V2, o que implica que v1 deve estar emV2 tambem. Portanto dado v ∈ ker σ, necessariamente v ∈ V1 ∩ V2. Reciprocamente,dado v ∈ V1 ∩ V2, entao σ(v) = v + V2 = V2 = 0, pois em particular v ∈ V2. Portantoker σ = V1 ∩ V2.

A partir do 1o. Teorema dos Isomorfismos, como ja sabemos que para σ ∈Hom(V1, (V1+V2)/V2) temos V1/ker σ ' Imσ, identificando kerσ = V1 ∩ V2 e Im σ = (V1 + V2)/V2,temos

V1 + V2V2

' V1V1 ∩ V2

o

� Exercıcio 77: Dados V1, V2 subespacos vetoriais de V , explicite o Segundo Teo-rema dos Isomorfismos quando V1 e o eixo-x e V2 e o eixo-y �

� Exercıcio 78: Suponha que um K-espaco vetorial V possa ser escrito comoV = V1 ⊕ V2. Considere a aplicacao canonica

κ : V1 → V

V2v 7→ v = v + V2

Mostre que κ e um isomorfismo �


� Exercıcio 79: Dado U um subespaco vetorial de um K-espaco vetorial V , mostreque (V/U)∗ ' U �

Capıtulo 3Operadores Lineares e Dualidade

3.1 Preliminares

Uma aplicacao linear φ : W → V e unicamente determinada pelas imagens dosvetores da base de W . Com efeito, dada uma base {ei} de W e o conjunto {ai} ⊂ K,para todo vetor v =

∑i aiei temos

φ(v) =∑i

aiφ(ei) .

Se vi ∈ V sao vetores arbitrarios, entao a aplicacao φ : W → V definida como φ(v) =∑i aivi e linear, e φ(ei) = vi. Considerando φ : Kn → Km uma transformacao linear,

aplicando-se φ a {e1, e2, . . . , en} ⊂ Kn, temos que

φ(ej) = (a1j , a2j , . . . , amj)ᵀ ∈ Km, j ∈ {1, 2, . . . , n} .

A matriz do operador φ na base {ei} e a matriz com entradas (aij), determinada porφ(ei) =

∑j aijej .

B Exemplo 11: A rotacao de um vetor por um angulo θ e um operador linear em

41

42 3. OPERADORES LINEARES E DUALIDADE — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015

R2. Em uma base ortonormal sua matriz e dada por

Π(θ) =

(cos θ − sin θsin θ cos θ

)

Em particular, uma rotacao de π/2 nessa base corresponde a matriz

(0 −11 0

). En-

contremos a matriz de tal operador na base {e′1, e′2} ⊂ R2, onde

e′1 = 2e2

e′2 = e1 − e2

A matriz mudanca de base B e dada por

B =

(0 12 −1

)⇒ B−1 =

(1/2 1/21 0

)Portanto

Π(θ)′ = B−1Π(θ)B =

(1/2 1/11 0

)(0 −11 0

)(0 12 −1

)=

(−1 1−2 1

)C

ñ Definicao 4: Um subespaco vetorial U ⊂ V e invariante com respeito a umoperador linear φ ∈ End(V ) se φ(U) ⊂ U 3

A restricao φ|U de φ ao subespaco invariante U e uma aplicacao linear em U . Seescolhermos uma base {e1, . . . , en} de V , tal que U = 〈e1, . . . , ek〉 — o que e semprepossıvel — entao a matriz de φ tem a forma(

A B0 C

), (3.1)

onde A e a matriz do operador φ|U na base {e1, . . . , ek}, C e uma matriz de ordem(n− k) e B e uma matriz de ordem k × (n− k).

No caso em que V = U ⊕ W , onde U e W sao dois subespacos invariantes, se{e1, . . . , ek} e base de U e {ek+1, . . . , en} e base de W , entao {e1, . . . , en} e base de V .Nessa base podemos escrever a representacao matricial de φ como(

A 00 C

),

onde A e a matriz do operador φ|U na base {e1, . . . , ek} e C e a matriz do operador φ|Wna base {ek+1, . . . , en}. Mais geralmente, se pudermos cindir V como a soma diretade k subespacos invariantes V = V1 ⊕ V2 ⊕ · · · ⊕ Vk, entao na base de V , formada por

3.2. TRANSFORMACOES GRADIENTE E CONTRAGRADIENTE — ROLDAO DA ROCHA,CMCC/UFABC, 2015 43

bases dos subespacos Vi, a matriz de φ e da formaA1 0 · · · 00 A2 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · An

,

onde Ai e a matriz do operador φ|Vi .

B Exemplo 12: Similarmente, a rotacao em torno de um eixo por um angulo θ e umoperador linear em R3. Com relacao a uma base ortonormal {e1, e2, e3} tal que e3 sejacolinear com o eixo de rotacao, o operador tem a seguinte forma:(

Π(θ) 00 1

)o que reflete a maneira pela qual R3 e cindido na soma direta R3 = 〈e1, e2〉 ⊕ 〈e3〉 C

� Exercıcio 80: Seja φ : K3 → K3 uma aplicacao linear dada por φ(x, y, z) =(x+ z,−2x+y,−x+ 2y+ 4z). A matriz de φ em relacao a base canonica de K3 e dadapor 1 0 1

−2 1 0−1 2 4

Seja uma outra base {f1, f2, f3} de K3 dada por f1 = (1, 0, 1), f2 = (−1, 2, 1) e f3 =

(2, 1, 1). Determine a matriz de φ na base {fi}�

3.2 Transformacoes Gradiente e Contragradiente

A diferenca entre vetores e covetores pode ser bem explorada quando consideramos,por exemplo, o efeito de uma mudanca de base. Vamos considerar uma mudanca

BB−→ B′ descrita por e′j =

∑ni=1B

ijei. Um vetor v tem componentes {vi} na base B

e componentes {v′i} na base B′, de modo que v =∑i viei =

∑i v′ie′i. A relacao entre

essas componentes e portanto vj =∑iB

jiv′i.

Sejam agora B∗ = {ei} e B′∗ = {e′i} as bases respectivamente duais as bases B ={ei} e B′ = {e′i}, respectivamente. Temos portanto ei(ej) = e′i(e′j) = δij . Como vimosacima, as componentes de um funcional α ∈ V ∗ nas bases B∗ e B′∗ sao dadas pelovalor desse funcional nas bases B e B′, respectivamente. Logo α = αie

i = α′ie′i onde

αi = α(ei) e α′i = α(e′i). Se e′j =∑iB

ijei entao α′j =

∑iB

ijαi e daı ej =

∑iB

jie′i.

Em resumo, em uma mudanca de base as componentes de um covetor transformam-seda mesma maneira que os vetores da base, ou seja, enquanto que as componentes deum vetor transformam-se da mesma maneira que os covetores da base dual.

As vezes se denomina a transformacao dos vetores da base de gradiente e a trans-formacao das componentes de contragradiente. Segundo essa denominacao entao os


vetores da base dual se transformam de maneira contragradiente enquanto que ascomponentes dos covetores se transformam de maneira gradiente.

B Exemplo 13: Sejam B = {ei} a base canonica de R3, ou seja, e1 = (1, 0, 0)ᵀ,e2 = (0, 1, 0)ᵀ e e3 = (0, 0, 1)ᵀ, e B′ = {e′i} uma outra base tal que e′1 = (−1,−1, 1)ᵀ,e′2 = (−1, 0, 1)ᵀ e e′3 = (2, 1,−1)ᵀ. Dado um vetor v = viei = v′ie′i, a relacao entresuas componentes {vi} e {v′i} com relacao a essas bases pode ser expressa na formav1v2

v3

=

−1 −1 2−1 0 11 1 −1

v′1v′2v′3

,

v′1v′2v′3

=

1 −1 10 1 11 0 1

v1v2v3

,

enquanto que a relacao entre os vetores das bases e dada por

e′1 = −e1 − e2 + e3, e1 = e′1 + e′3,

e′2 = −e1 + e3, e2 = −e′1 + e′2,

e′3 = 2e1 + e2 − e3, e3 = e′1 + e′2 + e′3.

Seja B∗ = {ei} e a base dual de B. Escrevendo os vetores {ei} como

e1 = (1, 0, 0)ᵀ , e2 = (0, 1, 0)ᵀ , e3 = (0, 0, 1)ᵀ ,

entao a base dual e escrita como

e1 =(1 0 0

), e2 =

(0 1 0

), e3 =

(0 0 1

).

Seja agora B′∗ = {e′i} a base dual de B′. Devemos ter portanto e′i(e′j) = δij , ou

seja, e′1(e′1) = 1, e′1(e′2) = e′1(e′3) = 0, e assim por diante. Para acharmos a relacaoentre os vetores das bases duais podemos, por exemplo, agir com e′i sobre os vetoresej expressos em termos de B′. Por exemplo:

e′1(e1) = e′1(e′1 + e′3) = e′1(e′1) + e′1(e′3) = 1,

e′1(e2) = e′1(−e′1 + e′2) = −e′1(e′1) + e′1(e′2) = −1,

e′1(e3) = e′1(e′1 + e′2 + e′3) = e′1(e′1) + e′1(e′2) + e′1(e′3) = 1,

de onde concluımos que e′1 = e1 − e2 + e3. O procedimento analogo pode ser usadopara expressar ei em termos da base B′∗. Os resultados que encontramos sao

e′1 = e1 − e2 + e3, e1 = −e′1 − e′2 + 2e′3,

e′2 = e2 + e3, e2 = −e′1 + e′3,

e′3 = e1 + e3, e3 = e′1 + e′2 − e′3.

Seja agora o funcional linear α tal que

α(v) = α1v1 + α2v

2 + α3v3,

3.2. TRANSFORMACOES GRADIENTE E CONTRAGRADIENTE — ROLDAO DA ROCHA,CMCC/UFABC, 2015 45

onde {αi} sao as componentes de α na base B∗. Se escrevemos as componentes de vem termos de uma matriz-linha, entao as componentes do funcional linear α podemser escritas em termos da matriz-coluna [α]B∗ =

(α1, α2, α3

). Portanto

α(v) =(α1, α2, α3

)v1v2v3

= α1v1 + α2v

2 + α3v3.

Se α′i sao as componentes de α na base B′∗, ou seja, α = αiei = α′ie

′i, encontramos aseguinte relacao entre as componentes:

(α1, α2, α3

)=(α′1, α

′2, α′3

)1 −1 10 1 11 0 1

,

(α′1, α

′2, α′3

)=(α1, α2, α3

)−1 −1 2−1 0 11 1 −1

Portanto vemos que ao se multiplicar uma matriz pela direita por um vetor-coluna,estamos relacionando as componentes de um vetor em uma base A em termos dascomponentes em uma baseB, enquanto ao multiplicar essa mesma matriz pela esquerdapor um vetor-linha, estamos relacionando as componentes de um covetor na base Bem termos das componentes na base A. C

B Exemplo 14: Seja F o espaco das funcoes contınuas f : R → R. A integralL(f) =

∫ x1

x0f(x)dx define um funcional linear L sobre F . Vamos agora considerar o

subconjunto P2 de F formado pelas funcoes polinomiais P de grau menor ou igual a2, ou seja, P (x) = a+ bx+ cx2. Uma base para este espaco e portanto B = {1, x, x2},e denotaremos

e1 = 1, e2 = x, e3 = x2.

Vamos definir os seguintes funcionais lineares sobre P2:

Li(P ) =

∫ i

0

p(x)dx, i = 1, 2, 3 .

Temos explicitamente que

L1(P ) = a+1

2b+

1

3c, L2(P ) = 2a+ 2b+

8

3c, L3(P ) = 3a+

9

2b+ 9c.

Se {ei} e a base dual de {ei}, entao da equacao acima podemos concluir que

L1 = e1 +1

2e2 +

1

3e3, L2 = 2e1 + 2e2 +

8

3e3, L3 = 3e1 +

9

2e2 + 9e3.

Seja {Li} a base da qual {Li} e a base dual, ou seja, Li(Lj) = δij , Como Li = ejLi(ej)

e ej = Li(ej)Lj , e da expressao acima temos diretamente {Li(ej)}, segue de imediato


a expressao de {ei} em termos de {Li},

e1 = L1 + 2L2 + 3L3, e2 =1

2L1 + 2L2 +

9

2L3, e3 =

1

3L1 +

8

3L2 + 9L3.

A relacao inversa pode ser obtida com as manipulacoes usuais e o resultado e

L1 = 3− 5x+3

2x2, L2 = −3

2+ 4x− 3

2x2, L3 =

1

3− x+

1

2x2.

Esta e portanto a base de P2 da qual a base {Li} e a base dual. Uma vez queLi = ej(Li)ej e ej = ej(Li)L

i, segue da expressao acima a relacao para {ei} emtermos de {Li}, ou seja,

e1 = 3L1 − 3

2L2 +

1

3L3, e2 = −5L1 + 4L2 − L3, e3 =

3

2L1 − 3

2L2 +

1

2L3.

Finalmente, um funcional arbitrario L dado por

L(P ) =

∫ x1

x0

p(x)dx,

pode ser escrito, por exemplo, na forma

L = λ1e1 + λ2e

2 + λ3e3 = l1L

1 + l2L2 + l3L

3

onde

λ1 = (x1 − x0), λ2 =x21 − x20

2, λ3 =

x31 − x303

,

enquanto as componentes {li} sao dadas por

(l1 l2 l3

)=(λ1 λ2 λ3

) 3 −3/2 1/3−5 4 −13/2 −3/2 1/2

C

Capıtulo 4Formas Bilineares

4.1 Funcionais Bilineares

Os axiomas de espaco vetorial nao incorporam a geometria dos vetores no espacoeuclidiano pois nao ha como se definir comprimento e angulo entre vetores sem intro-duzirmos o conceito de metrica no seu espaco. Consideramos neste capıtulo formasbilineares, que generalizam o produto interno.

ñ Definicao 5: Um funcional bilinear (ou forma bilinear) em um K-espaco vetorialV e uma funcao B : V × V → K que e linear em cada argumento 3

Por bilinearidade entendemos a linearidade em cada um dos argumentos da aplicacao,ou seja, dados a ∈ K e u, v, w ∈ V , entao

B(av + u,w) = aB(v, w) +B(u,w) ,

B(v, au+ w) = aB(v, u) +B(v, w).

Obs. 15: Uma forma bilinear B : V × V → K e simetrica [antissimetrica] se

B(u, v) = B(v, u) [B(u, v) = −B(v, u)], ∀u, v ∈ V .

47

48 4. FORMAS BILINEARES — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015

Um espaco vetorial equipado com um funcional bilinear antissimetrico (nao-degenerado)e dito ser um espaco simpletico. Um funcional bilinear σ : V × V → K e dito ser al-ternado quando σ(u, u) = 0, para todo u ∈ V . Um espaco vetorial equipado com umfuncional bilinear simetrico e dito ser um espaco quadratico.

Obs. 16: E comum definirmos formas quadraticas somente para corpos K comchar(K) 6= 2.

De fato, mostre que:

� Exercıcio 81: Toda forma bilinear alternada e tambem antissimetrica. Prove quequando char(K) = 2 toda forma bilinear antissimetrica e tambem simetrica �

Obs. 17: Adotaremos de agora em diante a notacao B para uma forma aprincıpio arbitraria, g para uma forma bilinear simetrica e σ para uma forma bilinearalternada.

B Exemplo 15: O produto interno euclidiano em R3 e uma funcao bilinear em R3. A

funcao g(f1, f2) =∫ baf1(x)f2(x)dx e uma funcao bilinear no espaco C[a, b] das funcoes

contınuas definidas no intervalo [a, b]. Ja a funcao

g(X,Y ) =1

nTr(XY ), ∀X,Y ∈M(n,K)

e uma funcao bilinear no espaco M(n,K) das matrizes n× n sobre o corpo K C

� Exercıcio 82: Dadas duas transformacoes lineares A1, A2 : V → K, mostre quea funcao B : V × V → K definida por B(u, v) = A1(u)A2(v), para todo u, v ∈ V e

bilinear �

A forma mais geral de uma forma bilinear definida em um espaco de n dimensoespode ser encontrada ao se tomar uma forma bilinear B : Kn × Kn → K. Considereuma base arbitraria {ei}ni=1 ⊂ Kn e escreva

B(ei, ej) = Bij , (i, j = 1, 2, . . . , n) .

Dados quaisquer dois vetores

u =

n∑j=1

aiei, v =

n∑p=1

bpep ,

segue-se que

B(u, v) = B

n∑j=1

ajej ,

n∑p=1

apep

=

n∑j=1

n∑p=1

ajbpB(ej , ep)

=

n∑j=1

n∑p=1

ajbpBjp .

4.1. FUNCIONAIS BILINEARES — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015 49

O nucleo de uma funcao bilinear B e o subespaco

ker B = {v ∈ V |B(u, v) = 0, ∀u ∈ V }.

Dizemos que B e nao-degenerada se ker B = {0}. Pode-se mostrar que o funcionalbilinear B e nao-degenerado se e somente se para cada vetor v 6= 0 existir um vetoru 6= 0 tal que B(v, u) 6= 0.

Dizemos que uma forma bilinear B : V ×V → K e singular se o posto da matriz Bijassociada for menor que a dimensao de V .

Formas bilineares alternadas nao-degeneradas sao denominadas formas simpleticas.Desta forma, uma forma simpletica que mune um espaco vetorial V e uma formabilinear para o qual

σ(u, v) = −σ(v, u), ∀u, v ∈ Ve tal que ker σ = {0}.

� Exercıcio 83: Defina σA : V × V → K como

ωA(u, v) = 〈u,Av〉, ∀u, v ∈ V

e A ∈M(n,R) tal que Aᵀ = −A.

a) Prove que ωA e antissimetrica.b) Prove que ωA e simpletica se e somente se A for inversıvel.

c) Prove que o item b) implica que n deve ser par �

Uma forma bilinear B : V ×V → K e dita ser positiva definida se B(v, v) > 0 sempreque v 6= 0.

O espaco vetorial equipado com um funcional bilinear simetrico positivo definidog : V × V → K e dito ser um espaco com produto escalar. A quantidade simetricag(v, u) e muitas vezes chamada produto escalar entre os vetores v e u se alem daspropriedades acima citadas, g satisfizer a propriedade g(v, v) > 0, para todo v ∈ V \{0}.Se g(v, u) = 0 dizemos que o vetor v e ortogonal a u, com respeito a g. Num casoarbitrario um vetor nao-nulo v pode ser ortogonal a si proprio, ou seja, B(v, v) = 0.Tais vetores sao ditos isotropicos. E imediato que em um espaco simpletico todos osvetores sao isotropicos.

Um funcional bilinear simetrico e completamente determinado pela forma quadraticaQ(v) = g(v, v) atraves do processo de polarizacao. De fato, usando a propriedade debilinearidade para calcularmos Q(v + u) = g(v + u, v + u), podemos escrever

g(v, u) =1

2(Q(v + u)−Q(v)−Q(u)).

Formalmente, dizemos que um espaco quadratico e um par (V,Q) onde V e um K-espaco vetorial de dimensao finita e Q : V → K e a aplicacao que satisfaz as seguintespropriedades:

a) Q(av) = a2Q(v), ∀a ∈ K, v ∈ V ,b) O mapa g(v, u) = 1

2 (Q(v + u)−Q(v)−Q(u)) e bilinear.


B Exemplo 16: Em R2, C((x, y), (x′, y′)) = xx′−yy′ e simetrica. Tambem a forma bi-linear definida como B((x, y), (x′, y′)) = xy′+yx′ e simetrica. Como B((x, y), (x, y)) =2xy, entao B(ei, ei) = 0 para i = 1, 2, onde {e1, e2} e a base canonica de R2 C

Como uma forma bilinear e a generalizacao do produto interno, dados vetores u, v ∈V , a condicao B(v, w) = 0 poderia ser considerada como sendo uma generalizacao doconceito de perpendicularidade.

B Exemplo 17: Em V = R2, considere B((x, y), (x′, y′)) = xx′ + xy′ − x′y −yy′. Temos (1, 0) ⊥ (1,−1), porem (1,−1) nao e perpendicular a (1, 0): a relacaode perpendicularidade para B nao e simetrica C

Ja que pode acontecer o caso onde u ⊥ v mas v nao e perpendicular a u, dizemosque a propriedade de que u ⊥ v e v ⊥ u nos diz que u e v sao ortogonais em ambasas direcoes. As formas bilineares mais importantes sao aquelas em que ⊥ seja umarelacao simetrica: u ⊥ v ⇔ v ⊥ u. Saber quais sao as formas bilineares em que issoacontece e de fundamental importancia:

I Teorema 19: A relacao de perpendicularidade em um espaco bilinear (V,B) esimetrica se e somente se B for simetrica ou alternada J

Demonstracao: Se B for simetrica ou alternada, dados v, w ∈ V , entao B(v, w) =±B(w, v), e portanto B(v, w) = 0 se e somente se B(w, v) se anula. Para provarmosa direcao recıproca, assuma que ⊥ e uma relacao simetrica. Tome quaisquer vetoresu, v, w ∈ V . Primeiramente iremos achar todas as conbinacoes lineares av + bw taisque (av + bw) ⊥ u, o que e equivalente a

aB(v, u) + bB(w, u) = 0 (4.1)

pois B e linear em particular na sua primeira componente. Podemos por exemploobter a relacao (4.1) usando a = B(w, u) e b = B(v, u). Defina agora z = B(w, u)v −B(v, u)w, e daı segue-se que B(z, u) = 0 e portanto que B(u, z) = 0 pela simetria darelacao ⊥. Calculando agora B(u, z) pela linearidade de B em sua segunda entrada eigualando a zero, obtemos

B(w, u)B(u, v) = B(v, u)B(u,w). (4.2)

Mostraremos que uma forma bilinear B que satisfaca (4.2) e simetrica ou alternada.De fato, usando w = u em (4.2):

B(u, u)B(u, v) = B(v, u)B(u, u). (4.3)

Note que B(u, u) aparece em ambos os lados de (4.3). Assim, para todo u, v ∈ V

B(u, v) 6= B(v, u)⇒ B(u, u) = 0 (e similarmente B(v, v) = 0). (4.4)

Agora suponha que a relacao ⊥ seja simetrica e que B nao seja uma forma bilinearsimetrica. Mostraremos que B e alternada. Por hipotese existem u1, u2 ∈ V tais que

B(u1, u2) 6= B(u2, u1). (4.5)

4.1. FUNCIONAIS BILINEARES — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015 51

A partir daı demonstraremos que B(w,w) = 0 para todo w ∈ V . Usando (4.4) e (4.5)segue-se que

B(u1, u1) = 0 = B(u2, u2). (4.6)

Tome agora qualquer vetor w ∈ V . Se B(u1, w) 6= B(w, u1) ou se B(u2, w) 6= B(w, u2),entao (4.4) mostra que B(w,w) = 0. Portanto para provar a relacao B(w,w) = 0,supomos que

B(u1, w) = B(w, u1), B(u2, w) = B(w, u2). (4.7)

Agora faca u = u1 e v = u2 em (4.2), e portanto as condicoes (4.7) implicam que

B(w, u1)B(u1, u2) = B(u2, u1)B(u1, w) (4.8)

e por (4.7) que

B(u1, w)(B(u1, u2)−B(u2, u1)) = 0. (4.9)

Isso imediatamente implica por (4.5) e (4.7) que

B(u1, w) = B(w, u1) = 0. (4.10)

De maneira analoga, substituindo u = u2 e v = u1 em (4.2) implica novamente, por(4.5) e (4.7), que

B(u2, w) = B(w, u2) = 0. (4.11)

Por (4.10), B(u1, u2 +w) = B(u1, u2) e B(u2 +w, u1) = B(u2, u1). Estes sao distintospor (4.5), e portanto a relacao (4.4) com u = u2 + w e v = u1 implica que B(u2 +w, u2 + w) = 0. Finalmente, por (4.6) e (4.10), segue-se que B(w,w) = 0 o

Comparado com o produto escalar usual em Rn, o conceito de perpendicularidadepara outras formas bilineares pode possuir novas caracterısticas. Possivelmente a maisanti-intuitiva delas e que podemos ter v ⊥ v, com v ∈ V \{0}, isto e, o fato de quev ⊥ v nao implica que v tem que ser nulo. Isso e inviavel para o produto escalar usualem Rn.

B Exemplo 18: No Exemplo anterior, em R2 munido com uma forma bilinearsimetrica temos que (1, 1) ⊥ (1, 1), e o subespaco vetorial U , gerado pelo vetor decomponentes (1, 1), tem a propriedade U⊥ = U , e portanto U + U⊥ 6= R2. De fato,veremos em breve que dado um subsepaco vetorial U ⊂ V , se V e munida de umaforma bilinear simetrica g, temos a decomposicao V = U ⊕ U⊥ ⊕ ker g C

Duas construcoes de novos espacos vetoriais munidos de funcionais bilineares podemser obtidas a partir de outros espacos vetoriais. Uma delas e a construcao de subespacosvetoriais: se (V,B) e um espaco vetorial munido de uma forma bilinear e U ⊆ V e umsubespaco de V , entao B restringe a uma forma bilinear em U , e temos um subespacodenotado (U,B|U ) ou simplesmente (U,B). (Estritamente falando, devemos escreverB|U×U , uma vez que B e uma funcao de duas variaveis, mas a notacao mais concisa B|Unao deve gerar confusao.) E obvio que se B for simetrica, alternada ou antissimetricaem V que a propriedade e herdada por qualquer subespaco.


B Exemplo 19: A forma bilinear g : R2 × R2 → R simetrica, definida por

g

((x

y

),

(x′

y′

))= xx′ − yy′

e nao-singular, mas g|U e identicamente nula (e portanto singular), dado o subespacoU = {(x, y)ᵀ ∈ R2 |x = y} C

A soma direta de espacos vetoriais — sobre o mesmo corpo K — munidos de formasbilineares (V1, B1) e (V2, B2), entao V1⊕V2 e um espaco vetorial munido de uma formabilinear B1 ⊕B2 definida por

(B1 ⊕B2)((v1, v2), (v′1, v′2)) := B1(v1, v

′1) +B2(v2, v

′2) .

Se B1 e B2 sao ambos simetricos, ambos alternados ou ambos antissimetricos, entao aforma bilinear B1 ⊕B2 herda essas propriedades respectivamente.

ñ Definicao 6: O espaco (V1⊕V2, B1⊕B2) construıdo acima e denominado a somadireta ortogonal entre V1 e V2 e denotado por V1 ⊥ V2 3

B Exemplo 20: Tomando o corpo K visto como um espaco vetorial unidimensionalsobre si mesmo, a multiplicacao K×K→ K e uma forma bilinear simetrica se char(K)6= 2. O espaco vetorial R ⊥ R e exatamente o espaco R2 munido do produto escalarusual, e a soma direta ortogonal R⊥n = R ⊥ · · · ⊥ R e Rn munido do produto escalarusual C

O espaco V1 pode ser imerso na soma direta ortogonal V1 ⊥ V2 de uma maneiranatural: v1 7→ (v1,0), e similarmente podemos tambem imergir V2 em V1 ⊥ V2 porv2 7→ (0, v2). Se V1 e V2 sao subespacos do espaco V , dizemos que eles sao ortogonaise escrevemos V1 ⊥ V2, se v1 ⊥ v2 para todo v1 ∈ V1 e v2 ∈ V2.

4.2 Espacos Euclidianos

Um espaco euclidiano (V, g) e um R-espaco vetorial munido de uma aplicacao g :V ×V → R bilinear, simetrica positiva definida, ou produto interno (tambem denotadapor 〈 · , · 〉). Lembrando que um produto interno (ou produto escalar) em um R-espacovetorial satisfaz:

a) 〈u, v〉 = 〈v, u〉, para todo u, v ∈ V (comutatividade) ,b) 〈u, v + w〉 = 〈u, v〉+ 〈u,w〉, para todo u, v, w ∈ V (distributividade) ,c) 〈αu,w〉 = α〈u,w〉, para todo α ∈ K e u, v ∈ V ,d) 〈u, u〉 > 0 para todo u 6= 0 e 〈u, u〉 = 0 se u = 0 .

Os axiomas implicam que 〈 · , · 〉 e uma forma bilinear simetrica positiva definida.

B Exemplo 21: Dada uma base {ei} ⊂ Rn e dois vetores u =∑ni=1 xiei e v =∑n

j=1 yjej , o espaco Rn pode ser munido do produto interno g(u, v) = x1y1+· · ·+xnyn,onde u = (x1, . . . , xn)ᵀ, v = (y1, . . . , yn)ᵀ. Essa expressao generaliza a expressao usualdo produto escalar de vetores em tres dimensoes com respeito a um sistema ortogonalC

4.3. ESPACOS UNITARIOS (HERMITIANOS) — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015 53

� Exercıcio 84: Mostre que

a) g(f1, f2) =∫ baf1(x)f2(x)dx definida em C[a, b];

b) g(X,Y ) = 1n Tr(XY ) e definida no espacoM(n,K) das matrizes n×n sobre o corpo

K,sao produtos internos �

O comprimento (ou norma) do vetor v ∈ V e dado por ‖v‖ :=√g(v, v). Em

particular, em R2 tal expressao e o teorema de Pitagoras. No espaco Rn podemosexpressar um vetor u = (a1, a2, . . . , an)ᵀ em uma certa base. A norma desse vetor edada por

‖u‖ =√a21 + a22 + a23 .

O angulo θ entre dois vetores u, v ∈ V e definido pela expressao

cos θ =〈u, v〉‖u‖ ‖v‖

. (4.12)

Essa expressao e menor ou igual a 1. Podemos provar isso atraves do axioma d) deproduto escalar no inıcio desta secao, que

0 = 〈αu+ v, αu+ v〉= α2〈u, u〉 − 2α〈u, v〉+ 〈v, v〉 . (4.13)

Considerando-se o lado direito acima como um trinomio quadratico na variavel α, adesigualdade prescrita vale se o discriminante 〈u, v〉2−〈u, u〉〈v, v〉 for nao-positivo, ouseja, se

〈u, v〉2 − 〈u, u〉〈v, v〉 ≤ 0.

Tomando-se a raiz quadrada, obtemos a relacao

〈u, v〉 ≤ ‖u‖ ‖v‖ , (4.14)

denominada desigualdade de Cauchy-Schwarz.Dizemos que dois espacos euclidianos V e W sao isomorfos se existir uma bijecao

φ : V → W que e um isomorfismo de espacos vetoriais, satisfazendo a condicaog(φ(u), φ(v)) = g(u, v), ∀u, v ∈ V .

� Exercıcio 85: Mostre que dois espacos vetoriais euclidianos de mesma dimensao(finita) sao isomorfos �

4.3 Espacos Unitarios (Hermitianos)

Passando para o corpo dos complexos, nao existem funcoes quadraticas positivasdefinidas em um C-espaco vetorial, o que pode ser contornado atraves da introducao


das formas sesquilineares. Uma funcao ψ : V × V → C e sesquilinear se e linear nosegundo argumento e anti-linear no primeiro:

ψ(av1 + v2, u) = aψ(v1, u) + ψ(v2, u)

ψ(u, av1 + v2) = aψ(u, v1) + ψ(u, v2)

B Exemplo 22: Considerando {ei} uma base de V , enquanto que uma forma bilinearB : V × V → K e determinada pelos escalares bij = B(ei, ej) ∈ K por B(u, v) =∑i,j bijuivj , onde v =

∑i viei, u =

∑uiei ∈ V , uma forma sesquilinear ψ : V ×V → C

e determinada pelos escalares ψij = ψ(ei, ej) ∈ C por

ψ(u, v) =∑i,j

ψijuivj

C

Uma forma sesquilinear ψ e hermitiana [anti-hermitiana] se para todos u, v ∈ V ,tem-se ψ(u, v) = ψ(v, u) [ψ(u, v) = −ψ(v, u)], onde a denota a conjugacao complexade a ∈ C.

� Exercıcio 86: Exiba um operador que mapeia formas hermitianas em formasanti-hermitianas �

� Exercıcio 87: Mostre que uma forma quadratica hermitiana Q(v) = ψ(v, v) e

sempre real �

A desigualdade de Cauchy-Schwarz e de vital importancia no formalismo das formassesquilineares, e sera demonstrada a seguir:

I Teorema 20: Se ψ e uma forma sesquilinear positiva, entao e tambem hermitiana,ou seja ψ(u, v) = ψ(v, u), para todos os vetores u e v em V . Alem disso, temos adesigualdade de Cauchy-Schwarz:

|ψ(u, v)|2 ≤ ψ(u, u)ψ(v, v). (4.15)

J

Demonstracao: Dado α ∈ C e quaisquer vetores u, v ∈ V , pela hipotese depositividade, temos

ψ(u+ αv, u+ αv) ≥ 0 ,

o que implica que

|α|2 ψ(v, v) + αψ(u, v) + α ψ(v, u) + ψ(u, u) ≥ 0. (4.16)

Escrevendo α = x+ iy, segue-se que

ψ(u+ αv, u+ αv) = (x2 + y2)ψ(v, v) + (x+ iy)ψ(u, v)

+(x− iy)ψ(v, u) + ψ(u, u) ≥ 0. (4.17)

4.3. ESPACOS UNITARIOS (HERMITIANOS) — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015 55

Vamos decompor ψ(u, v) e ψ(v, u) nas suas partes reais e imaginarias, escrevendo

ψ(u, v) = a+ ib , ψ(v, u) = c+ id, a, b, c, d ∈ R. (4.18)

Isso implica que

ψ(u+ αv, u+ αv) = (x2 + y2)ψ(v, v) + (xa− yb) + i(xb+ ya)

+(xc+ yd) + i(xd− yc) + ψ(u, u) ≥ 0. (4.19)

Como ψ(u+ αv, u+ αv) tem de ser real e nao-negativa, e como ψ(v, v) ≥ 0 e tambemψ(u, u) ≥ 0, devemos ter

(xb+ ya) + (xd− yc) = x(b+ d) + y(a− c) = 0 ∀x, y ∈ R, (4.20)

o que implica que b = −d e a = c. Comparando com (4.19), segue-se que

ψ(u, v) = ψ(v, u).

Alem disso, as expressoes b = −d e a = c fazem com que a (4.19) seja escrita como

ψ(u+ αv, u+ αv) = (x2 + y2)ψ(v, v) + 2(xa− yb) + ψ(u, u). (4.21)

Vamos agora considerar dois casos: um onde ψ(v, v) = 0 e outro onde ψ(v, v) = 0.No primeiro caso, ψ(u+ αv, u+ αv) = 2(xa− yb) + ψ(u, u). Como ψ(u, u) ≥ 0 pelo

axioma d) de produto escalar, a condicao ψ(u+ αv, u+ αv) ≥ 0 e possıvel para todosx, y ∈ R se e somente se a = b = 0, ou seja, se e somente se ψ(u, v) = 0 para todou ∈ V . Aqui a desigualdade de Cauchy-Schwarz e trivialmente satisfeita, pois ambosos lados sao iguais a zero.

No caso onde ψ(v, v) 6= 0, podemos reescrever o lado direito de (4.21) como

ψ(u+ αv, u+ αv) = ψ(v, v)

[(x+

a

ψ(v, v)

)2

+

(y − b

ψ(v, v)

)2]

+ψ(u, u)−(a2 + b2

ψ(v, v)

), (4.22)

e portanto ψ(u+ αv, u+ αv) ≥ 0 se e somente se

ψ(u, u)−(a2 + b2

ψ(v, v)

)≥ 0 ,

ou seja, se e somente seψ(u, u)ψ(v, v) ≥ a2 + b2 .

Portanto

|ψ(u, v)|2 ≤ ψ(u, u)ψ(v, v) , (4.23)

que e a desigualdade de Cauchy-Schwarz o


Obs. 18: Essa demonstracao poderia ser consideravelmente reduzida se esco-

lhermos α = 〈u,v〉〈v,v〉 em (4.16). Imediatamente isso implica que

0 ≤ 〈u, u〉 − |〈u, v〉|2

〈v, v〉.

o que demonstra a desigualdade.

Alem da desigualdade de Cauchy-Schwarz, temos tambem a chamada desigualdadede Minkowski, que diz que se ψ e uma forma sesquilinear positiva, entao, para todosos vetores u, v ∈ V vale√

ψ(u− v, u− v) ≤√ψ(u, u) +

√ψ(v, v) . (4.24)

De fato,

ψ(u− v, u− v) = ψ(u, u)− ψ(u, v)− ψ(v, u) + ψ(v, v)

= ψ(u, u)− 2<(ψ(u, v)) + ψ(v, v)

≤ ψ(u, u) + 2|ψ(u, v)|+ ψ(v, v)

≤ ψ(u, u) + 2√ψ(u, u)

√ψ(v, v) + ψ(v, v)

=(√

ψ(u, u) +√ψ(v, v)

)2. (4.25)

� Exercıcio 88: No espaco C([0, 1]) das funcoes contınuas definidas no intervalo

[0, 1], defina f(t) = t e g(t) = et. Calcule 〈f1, f2〉 =∫ 1

0f1(t)f2(t) dt, ‖f‖, ‖g‖ e ‖f+g‖.

Verifique a desigualdade de Cauchy-Schwarz �

4.4 Processo de Ortonormalizacao de Gram-Schmidt

O proximo teorema e seus corolarios ilustram porque bases e conjuntos ortonormaissao tao importantes.

I Teorema 21: Seja V um espaco vetorial sobre K = R ou C, munido de um produtointerno e S = {v1, v2, . . . , vk} um conjunto ortogonal de vetores nao-nulos em V . Seu ∈ 〈S〉 e um vetor arbitrario, entao

u =

k∑i=1

〈u, vi〉〈vi, vi〉

vi (4.26)

J

Demonstracao: Como Se u ∈ 〈S〉, entao u =∑ki=1 aivi, onde ai ∈ K. Entao para

1 ≤ j ≤ k, temos

〈u, vj〉 =

⟨k∑i=1

aivi, vj

⟩=

k∑i=1

ai〈vi, vj〉 = aj〈vj , vj〉

Segue-se que aj =〈u,vj〉〈vj ,vj〉 o

4.4. PROCESSO DE ORTONORMALIZACAO DE GRAM-SCHMIDT — ROLDAO DA ROCHA,CMCC/UFABC, 2015 57

Todos os corolarios a seguir seguem desse teorema.

� Corolario 3: Se alem das hipoteses do teorema anterior considerarmos que S eum conjunto ortonormal, entao

u =

k∑i=1

〈u, vi〉 vi

Demonstracao: Imediato, pois como S e ortonormal, segue-se que 〈vi, vi〉 = 1,para 1 ≤ i ≤ k, em (4.26) o

� Exercıcio 89: Para qualquer n ∈ N, considere o espaco das funcoes contınuas queassumem valores complexos, definidas no intervalo [0, 2π], munido do produto escalar

〈f1, f2〉 =1

2π

∫ 2π

0

f(t)g(t)dt .

Mostre que o conjunto das funcoes fn(t) = eint, onde t ∈ [0, 2π] e um conjunto orto-

normal �

Se V possui uma base ortonormal finita, entao o corolario acima nos permite calcularos coeficientes de uma combinacao linear de uma maneira simples:

� Corolario 4: Seja V um espaco equipado com um produto interno e S ⊂ V umconjunto de vetores ortogonais nao-nulos. Entao S e linearmente independente

Demonstracao: Suponha que {v1, . . . , vk} ⊂ S e que∑ki=1 aivi = 0. Da prova

do teorema anterior com u = 0, concluımos que aj =〈0,vj〉〈vj ,vj〉 , para todo j tal que

1 ≤ j ≤ k. Portanto S e linearmente independente o

Obs. 19: O escalar〈u,vj〉〈vj ,vj〉 e a j-esima componente do vetor u na base {vl} ⊂ S

B Exemplo 23: Pelos corolarios acima, o conjunto ortonormal{1√2

(1, 1, 0)ᵀ,1√3

(1,−1, 1)ᵀ,1√6

(−1, 1, 2)ᵀ

}

e uma base ortonormal de R3 munido com o produto interno canonico. Considere ovetor u = (2, 1, 3)ᵀ. Os coeficientes que fazem com que u possa ser expresso como umacombinacao linear dos vetores da base sao

a1 =3√

2

2, a2 =

4√

3

3, a3 =

5√

6

6

e portanto

(2, 1, 3)ᵀ =3√2

(1, 1, 0)ᵀ +4√3

(1,−1, 1)ᵀ +5√6

(−1, 1, 2)ᵀ .

C


O proximo teorema nos mostra como construir um conjunto ortogonal a partir deum conjunto LI de vetores, de tal maneira que ambos os conjuntos geram o mesmosubespaco vetorial. Antes porem de enunciar o teorema, consideremos um caso parti-cular.

Suponha que {u1, u2} seja um conjunto LI de em um espaco munido com produtointerno. Queremos construir um conjunto ortogonal a partir de {u1, u2}, que tambemgere o subespaco gerado por {u1, u2}. Considere entao o conjunto {v1, v2}, onde v1 =u1 e v2 = u2 − au1, onde a ∈ K = R ou C e tomado de tal modo que v2 seja ortogonala 〈u1〉. Podemos calcular a da seguinte maneira:

0 = 〈v2, u1〉 = 〈u2 − au1, u1〉 = 〈u2, u1〉 − a〈u1, u1〉 ,

e portanto

a =〈u2, u1〉〈u1, u1〉

e

v2 = u2 −〈u2, u1〉〈u1, u1〉

u1 .

O teorema a seguir mostra que tal procedimento pode ser estendido para qualquerconjunto finito de vetores LI.

I Teorema 22: (Processo de Gram-Schmidt) Seja V um espaco vetorial munidocom produto interno e S = {u1, u2, . . . , un} ⊂ V um subconjunto LI. Defina T ={v1, v2, . . . , vn}, onde v1 = u1 e

vk = uk −k−1∑j=1

〈uk, vj〉〈vj , vj〉

vj , 2 ≤ k ≤ n . (4.27)

Entao T e um conjunto ortogonal de vetores nao-nulos tal que 〈S〉 = 〈T 〉 J

Demonstracao: Por inducao, para k ∈ {1, 2, . . . , n}, seja Sk = {u1, u2, . . . , uk}.Se n = 1, entao o teorema e provado quando se toma T1 = S1, ou seja, quandov1 = u1 6= 0. Assuma agora que o conjunto Tk−1 = {v1, v2, . . . , vk−1} tenha sidoconstruıdo pelo uso subsequente de (4.27). Entao, mostraremos que o conjunto Tk−1 ={v1, v2, . . . , vk−1} possui as propriedades requeridas, onde vk e obtido de Tk−1 a partirde (4.27). Se vk = 0, entao (4.27) implica que uk ∈ 〈Tk−1〉 = 〈Sk−1〉, contradizendo ofato de que Sk e LI. Para 1 ≤ j ≤ k − 1, segue-se de (4.27) que

〈vk, vi〉 = 〈uk, vi〉 −k−1∑j=1

〈uk, vj〉〈vj , vj〉

〈vj , vi〉

= 〈uk, vi〉 −〈uk, vi〉〈vi, vi〉

〈vj , vi〉

= 0 ,


ja que 〈vj , vi〉 = 0 se i 6= j, pela hipotese de inducao de que Tk−1 e um conjuntoortogonal. Portanto Tk e um conjunto ortogonal de vetores nao-nulos. Agora, por(4.27) temos que 〈Tk〉 ⊆ 〈Sk〉. Como Tk e um conjunto LI, entao segue-se que dim〈Tk〉 = dim 〈Sk〉 = k. Daı Tk = Sk o

B Exemplo 24: Dado o conjunto S = {(1, 0, 1)ᵀ, (0, 1, 1)ᵀ, (1, 3, 3)ᵀ} ⊂ R3 (munidodo produto interno canonico) e u = (1, 1, 2)ᵀ, o processo de Gram-Schmidt nos forneceos vetores 1√

2(1, 0, 1)ᵀ, 1√

6(1, 2, 1)ᵀ, 1√

3(−1,−1, 1)ᵀ. As componentes do vetor (1, 1, 2)ᵀ

nesta base sao respectivamente 3√2, 3√

6, 0 C

� Exercıcio 90: Dado o conjunto S = {(1, 1, 1)ᵀ, (0, 1, 1)ᵀ, (0, 0, 1)ᵀ} ⊂ R3 e o vetoru = (1, 0, 1)ᵀ, use o processo de Gram-Schmidt para encontrar uma base ortonormal

para S e calcule as componentes do vetor (1, 0, 1)ᵀ em tal base �

� Exercıcio 91: Em cada um dos itens abaixo, aplique o processo de Gram-Schmidtpara um dado conjunto de vetores S para encontrar uma base ortonormal para 〈S〉 eencontre os coeficientes de um dado vetor v ∈ V em relacao a respectiva base de S:

(a) V = R3 munido do produto escalar em (4.29), S = {1, x, x2} e v = 1− x.(b) V = 〈S〉, onde S = {(1, i,−1)ᵀ, (2− i, 3, 0)ᵀ} e v = (i, 1, 1).(c) V = R4 equipado com o produto escalar canonico,S = {(1, 2, 3,−2)ᵀ, (0, 3, 1, 1)ᵀ, (0, 1, 1,−4)ᵀ} e v = (−1, 2,−1, 1)ᵀ

(d) V =M(2,R), S ={(1 2

2 −1

),

(−1 01 1

),

(1 11 0

)}e v =

(1 −10 −1

)�

Suponha agora que apliquemos o processo de Gram-Schmidt ao sistema de funcoes

x0(t) = 1, x1(t) = t, . . . , xk(t) = tk, . . . (4.28)

no espaco euclidiano das funcoes contınuas definidas no intervalo [−1, 1], munido doproduto escalar

〈f1, f2〉 =

∫ 1

−1f(t)g(t) dt. (4.29)

Entao o subespaco Uk = 〈1, t, . . . , tk〉 e equivalente ao conjunto dos polinomios navariavel t de grau menor ou igual a k. O conjunto Uk e claramente LI. Para ver isso,tome a combinacao linear

c11 + c2t+ . . .+ cktk = 0 ,

derive-a sucessivamente em relacao a t e mostre que ci = 0.As funcoes y0(t), y1(t), . . . , yk(t) sao obtidas atraves de x0(t), x1(t), . . . , xk(t) pelo

processo de Gram-Schmidt.


y0(t) = 1, y1(t) = t, y2(t) = t2 − 1

3, y3(t) = t3 − 3

5t, . . . (4.30)

�


Tais polinomios foram introduzidos por Legendre em 1785, e sua formula geral foimostrada por Rodrigues em 1814, que mostrou que o polinomio yk(t) e dado por

pk(t) =dk

dtk[(t2 − 1)k], (n ∈ N ∪ {0}) (4.31)

Mostraremos que essa expressao diz que para j ∈ N arbitrario, o espaco 〈pj(t)〉 eortogonal ao espaco Uj−1, com respeito ao produto escalar (4.29). De fato, as derivadasde ordem 0, 1, . . . , n−1 do polinomio (t2−1)n = (t−1)n(t+1)n se anulam para t = ±1.Entao, para k < n, calculando-se o produto escalar 〈tk, pn(t)〉 temos (denotando-sef (n)) a n-esima derivada de f):

〈tk, pn(t)〉 =

∫ +1

−1tk[(t2 − 1)n](n) dt

= tk[(t2 − 1)n](n−1)|1−1 − k∫ 1

−1tk−1[(t2 − 1)n](n−1) dt ,

onde o primeiro termo a direita se anula. Continuando o processo ate que o expoentede t seja zero, obtemos:

〈tk, pn(t)〉 = −ktk−1[(t2 − 1)n](n−2)|1−1 + k(k + 1)

∫ 1

−1tk−2[(t2 − 1)n](n−2) dt ,

· · · = · · · · · ·= ±k! [(t2 − 1)n](n−k−1)|1−1 = 0

Segue-se que 〈pn(t)〉 ⊥ Uk−1.Calculemos agora pn(1). Como

pn(t) = [(t+ 1)n(t− 1)n](n)

= (t+ 1)n[(t− 1)n](n) + Cn1 [(t+ 1)n]′[(t− 1)n](n−1) + · · ·= (t+ 1)n n! + Cn1 n(t+ 1)n−1n(n− 1) · · · 2(t− 1) + · · ·

onde Cnk = n!k!(n−k)! . Quando t = 1 faz com que todos os termos, a partir do segundo

termo do lado direito da equacao acima, se anulam, e portanto

pn(1) = 2nn!

Os chamados polinomios de Legendre sao os polinomios pn(t):

Pn(t) =1

2nn!

dn

dtn[(t2 − 1)n] . (4.32)

O objetivo do que se segue agora e definir a projecao ortogonal de um vetor sobre umsubespaco dado.


ñ Definicao 7: O complemento ortogonal U⊥ de um subespaco vetorial U ⊆ V (comrespeito a uma forma bilinear B) e o conjunto de vetores em V que sao ortogonais aqualquer vetor em U :

U⊥ = {u ∈ V |B(u, v) = 0, ∀v ∈ U} .

3

No que se segue nos restringiremos ao caso onde B e um produto escalar.

I Proposicao 7: Se g e nao-degenerada e simetrica, e se nao existem vetoresisotropicos entao

dimU⊥ = dimV − dimU e (U⊥)⊥ = U

J

Demonstracao: Fixe uma base {e1, . . . , ek} de U . Entao

U⊥ = {v ∈ V | g(ei, v) = 0, i = 1, 2, . . . , k}

Agora,k∑i=1

λig(ei, v) = g

(k∑i=1

λiei, v

)e portanto tal combinacao linear e nula se e somente se λi = 0, pois g e nao-degenerada.Portanto, dim U⊥ = n− k, onde n = dim V . Assim, dim (U⊥)⊥ = n− (n− k) = k =dim U . Como g(u, v) = 0, se v ∈ U e u ∈ U⊥, entao v ∈ (U⊥)⊥, e portanto (U⊥)⊥ = Uo

� Exercıcio 93: Mostre que {0}⊥ = V e que V ⊥ = {0} �

� Exercıcio 94: Seja U = 〈(i, 0, 1)ᵀ〉 ⊂ C3. Encontre uma base ortonormal para U

e para U⊥, com relacao ao produto interno canonico em C3 �

I Teorema 23: Seja U ⊆ V um espaco vetorial munido de um produto escalar dedimensao finita, e um vetor v ∈ V . Entao existem unicos vetores u ∈ U e w ∈ U⊥ taisque v = u+ w. Alem disso, se {v1, . . . , vk} e uma base ortonormal de V , entao

u =

n∑i=1

〈u, vi〉 vi . (4.33)

J

Demonstracao: Considere u ∈ U como em (4.33) e seja w = v − u. A fim de semostrar que w ∈ U⊥ e suficiente mostrar que w e ortogonal a cada vj . Para qualquerj ∈ {1, . . . , k}, temos⟨(

v −k∑i=1

〈u, vi〉 vi

), vj

⟩= 〈v, vj〉 −

k∑i=1

〈v, vi〉〈vi, vj〉

= 〈v, vj〉 − 〈v, vj〉 = 0 .


Para se mostrar a unicidade de u e w, suponha que v = u+ w = u′ + w′, onde u′ ∈ Ue w′ ∈ U⊥. Entao u = u′ = w − w′ ∈ U ∩ U⊥ = {0}. Portanto u = u′ e w = w′ o

Obs. 20: O vetor u =∑ni=1〈u, vi〉 vi e denominado projecao ortogonal de v sobre

U .

B Exemplo 25: Tome V = P3(R) = 〈1, x, x2, x3〉 equipado com o produto escalar(4.29). Calculemos a projecao ortogonal de f(x) = x3 em P2(R) = 〈1, x, x2〉. Oconjunto

{u1, u2, u3} =

{1√2,

√3

2t,

√5

8(3t2 − 1)

}formado pelos polinomios de Legendre normalizados e uma base ortonormal paraP2(R). Para esses vetores temos:

〈f(x), u1〉 =

∫ 1

−1t3

1√2dt = 0, 〈f(x), u2〉 =

∫ 1

−1t3√

3

2tdt =

√6

5

e

〈f(x), u3〉 =

∫ 1

−1t3√

5

8(3t2 − 1)dt = 0 ,

seguindo-se entao que a projecao requerida e dada por

〈f(x), u1〉u1 + 〈f(x), u2〉u2 + 〈f(x), u3〉u3 =3

5x

C

� Exercıcio 95: Para cada um dos seguintes itens, encontre a projecao ortogonaldo vetor u ∈ V dado no subespaco W ⊂ V dado, e encontre a distancia de u a W :(a) V = R2, u = (3, 5)ᵀ e W = {(x, y)ᵀ | : y = 4x}.(b) V = R3, u = (−1, 1, 2)ᵀ, e W = {(x, y, z)ᵀ |x+ 3y − 2z = 0}.(c) V = P (R) com o produto escalar 〈f1, f2〉 =

∫ 1

0f(t)g(t) dt. Dado u(x) = 1+3x−2x2,

W e o espaco gerado por {1, x} �

4.5 Normas em espacos vetoriais

Nesta secao temos o intuito de apresentarmos normas para o caso particular dematrizes. Para tanto, consideramos V um espaco vetorial sobre R. Uma norma em Ve uma aplicacao ‖ · ‖ : V → R satisfazendo tres propriedades:

a) ‖ v‖ ≥ 0, onde a igualdade e valida se e somente se v = 0b) ‖ v + w‖ ≤ ‖ v‖ + ‖w‖ , para v, w ∈ Vc) ‖ av‖ = |a| ‖v‖ para a ∈ R, v ∈ V

A mesma condicao se aplica para um espaco vetorial complexo. De uma normaobtemos uma metrica sobre V fazendo d(v, w) = ‖ v − w‖ .

4.5. NORMAS EM ESPACOS VETORIAIS — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015 63

A norma padrao sobre Rn e dada por∥∥∥∥∥n∑i=1

aiei

∥∥∥∥∥ =

√√√√ n∑i=1

a2i

e da mesma obtemos a metrica euclidiana sobre o Rn. Uma outra norma sobre Rn e anorma do supremo ∥∥∥∥∥

n∑i=1

aiei

∥∥∥∥∥∞

= maxi|ai|

e desta ultima, temos a metrica do supremo no Rn: d(∑aiei,

∑biei) = max |ai − bi|.

Em Cn a norma padrao e dada igualmente por∥∥∥∥∥n∑i=1

aiei

∥∥∥∥∥ =

√√√√ n∑i=1

|ai|2

e a norma do supremo e definida como no Rn. Um modo usual de se definir umanorma em um espaco vetorial real V e atraves de um produto interno, ou seja, umaaplicacao 〈 · , · 〉 : Rn × Rn → R bilinear, simetrica e positiva definida. O produtointerno padrao no Rn e dado por:(

n∑i=1

aiei,

n∑i=1

biei

)=

n∑i=1

aibi

Para um produto interno 〈 · , · 〉 em V , uma norma pode ser definida por ‖ v‖ =√〈v, v〉. As propriedades de norma sao uma consequencia da desigualdade de Cauchy-

Schwarz

| 〈v, w〉 |≤√〈v, v〉〈w,w〉 = ‖ v‖ ‖w‖ , (4.34)

cuja demonstracao pode ser encontrada na maioria dos livros de algebra linear. Emparticular, usando o produto interno padrao no Rn, obtemos a forma classica dessadesigualdade, como demonstrado por Cauchy:

|n∑i=1

aibi |≤

√√√√√( n∑i=1

a2i

) n∑j=1

b2j

Contudo, a desigualdade de Cauchy-Schwarz e valida em particular para qualquerforma bilinear simetrica definida sobre um espaco vetorial real, e nao apenas para oproduto interno padrao no Rn. A norma no Rn que vem do produto interno padrao ea norma padrao. Por outro lado, a norma do supremo Rn nao advem de um produto


interno, isto e, nao ha nenhum produto interno cuja norma associada e a norma dosupremo.

Talvez a principal consequencia da desigualdade de Minkowski (4.24) a desigualdadetriangular. Supondo que 〈 · , · 〉 seja um produto escalar que mune um espaco vetorial,definimos uma metrica ou distancia entre dois vetores u e v por

d(u, v) = ‖u− v‖ =√〈u− v, u− v〉 .

Como 〈 · , · 〉 e um produto escalar, segue-se que d(u, v) = 0 se e somente se u = v.Tambem d(u, v) = d(v, u). Alem disso, segue da desigualdade de Minkowski que, paraquaisquer vetores u, v, w ∈ V

d(u, v) ≤ d(u,w) + d(w, v) . (4.35)

Para ver isso, note que

d(u, v) =√〈u− v, u− v〉

=√〈(u− w)− (v − w), (u− w)− (v − w)〉

=√〈u− w, u− w〉+

√〈v − w, v − w〉

= d(u,w) + d(w, v)

� Exercıcio 96: Mostre a identidade do paralelogramo:

‖u+ v‖2 + ‖u− v‖2 = 2‖u‖2 + 2‖v‖2 (4.36)

�

Obs. 21: Note que a desigualdade de Cauchy-Schwarz pode ser alternativamenteescrita como

|〈u, v〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖

Embora a norma do supremo e o produto interno padrao no Rn nao sejam iguais,cada uma e limitada por uma constante multiplo da outra:

maxi| ai |≤

√√√√ n∑i=1

a2i ≤√nmax

i| ai |

Isto e, ‖ v‖∞ ≤ ‖ v‖ ≤√n‖ v‖∞. Portanto, as metricas associadas a estas duas

normas implicam na mesma nocao de convergencia: uma sequencia no Rn que e con-vergente com respeito a uma das metricas e tambem convergente com respeito a outrametrica.

Ja vimos no inıcio deste Capıtulo a definicao de aplicacao adjunta. Aqui o objetivo eagora relacionar tais definicoes especificamente ao espaco das matrizes que agem sobrevetores no Rn. Dada uma matriz A ∈ End(Rn) com entradas (aij), ja mostramosque Aᵀ possui componentes (aji). Sabemos tambem que a matriz Aᵀ e associada a


aplicacao adjunta A∗ ∈ End((Rn)∗) associada a aplicacao A ∈ End(Rn), ou seja, paraquaisquer v, w ∈ Rn

〈Av,w〉 = 〈v,Aᵀw〉

Vamos brevemente indicar qual e o analogo destas ideias para os espacos vetoriaiscomplexos. Ja vimos que um produto escalar num espaco vetorial complexo V e umaforma bilinear 〈 · , · 〉 : V × V → C que satisfaz as seguintes propriedades:

1) linear na primeira entrada e anti-linear na segunda entrada;2) anti-simetrica: 〈v, w〉 = 〈w, v〉3) positiva definida: 〈v, v〉 ≥ 0, com a igualdade valida se e somente se v = 0.

O produto interno padrao em Cn e dado por 〈∑ni=1 aiei,

∑nj=1 bjej〉 =

∑ni=1 aibi,

onde aqui ai, bj ∈ C. Um produto interno num espaco vetorial complexo tambemsatisfaz a desigualdade de Cauchy-Schwarz, portanto pode ser usado para definir umanorma tal como no caso de espacos vetoriais reais.

O produto interno acima em Cn esta intimamente relacionado a tomar a transposicaoseguida da conjugacao complexa de matrizes complexas. Para A = (aij) ∈Mn(C), sejaA† = (aji) a sua transposta conjugada. Entao para todo v, w ∈ Cn, 〈A†v, w〉 = 〈v,Aw〉.

� Exercıcio 97: Dado V =M(n,C), mostre que a funcao f : V × V → C definida

por f(A,B) = 1n Tr (A†B), ∀A,B ∈M(n,C) e um produto interno complexo. �

� Exercıcio 98: Mostre que se f1, f2 sao funcoes contınuas definidas no intervalo[0, 2π], entao

1

2π

∫ 2π

0

f1(x)f2(x) dx

e um produto interno �

� Exercıcio 99: Dado o produto interno

〈A,B〉 =1

2Tr (A†B), ∀A,B ∈M(2,C) ,

calcule ‖A‖, ‖B‖ e 〈A,B〉 para

A =

(1 2 + i3 i

)B =

(1 + i 0i −i

).

�

� Exercıcio 100: Em C2, mostre que 〈u, v〉 = u†Av e um produto interno, onde

A =

(1 i−i 2

). Calcule 〈u, v〉 para

u =

(1− i2 + 3i

), v =

(2 + i

3− 2i

)�


Apesar de focarmos em normas sobre espacos vetoriais de dimensao finita, a extensaopara espacos vetoriais de dimensao infinita e muito importante. De agora em diante,a norma de um produto interno em Rn e Cn sao as usuais.

4.5.1 Definindo normas em matrizes

A fim de se definir a norma de uma matriz, A ideia mais simples e identificarM(n,R)

com Rn2

— enquanto espacos vetoriais — e usar a norma do supremo:

‖ (aij)‖ = maxi,j| aij |

Mas percebe-se que esta nao e a melhor norma para se usar com matrizes, bem como

a norma padrao ‖ (aij)‖ =√∑

a2ij . Contudo, antes de indicarmos qual e uma “boa”

norma para o espaco das matrizes, usemos a ideia da norma do supremo para provarque matrizes definem aplicacoes contınuas A ∈ End(Rn). Dado um vetor v ∈ Rn,

‖Av‖ ≤√n‖Av‖∞

=√nmax

i|n∑j=1

aijvj |

≤√nmax

i

n∑j=1

| Aij || vj |

≤ n√nmax

i,j| aij | .‖ v‖∞

≤ n√nmax

i,j| aij | .‖ v‖

Seja C = n√nmax | aij |, uma constante dependendo da dimensao n do espaco e da

matriz A, mas nao do vetor v. Por linearidade, ‖Av −Aw‖ ≤ C‖ v − w‖ para todosv, w ∈ Rn. Portanto se v → w entao Av → Aw, implicando que A ∈ End(Rn) e umaaplicacao contınua. A fim de definir uma norma emM(n,R) primeiro escolhemos umanorma em Rn e entao subsequentemente escolhemos uma norma em M(n,R) baseadanesta escolha. Para manter o enfoque de forma concreta, usaremos a norma padrao doRn. Apresentemos a seguir o calculo acima na forma de um lema.

I Lema 2: Para A ∈M(n,R), existe uma constante C ≥ 0 tal que ‖Av‖ ≤ C‖ v‖para todo v ∈ Rn J

Demonstracao: E claro que a constante C que escrevemos aciam nao e a prioriotima, existindo possivelmente uma constante menor C

′< C tal que ‖Av‖ ≤ ‖ v‖ ,

para todo v ∈ Rn. Ou seja, a partir da norma padrao ‖ .‖ em Rn obtemos uma normaem M(n,R) associando a A ∈ M(n,R) o menor C ≥ 0 tal que ‖Av‖ ≤ C‖ v‖ paratodo v ∈ Rn. o

I Teorema 24: Para toda A ∈M(n,R), existe um unico numero real b tal que:(i) ‖Av‖ ≤ b‖ v‖(ii) ‖Av‖ ≤ C‖ v‖ para todo v ∈ Rn, entao b ≤ C. J


Demonstracao: Reescalonando vetores nao nulos, a desigualdade ‖Av‖ ≤ C‖ v‖e verdadeira para todo v ∈ Rn se e somente se a desigualdade ‖Av‖ ≤ C e verdadeirapara v ∈ Rn com ‖ v‖ = 1. Entao, este teorema afirma que o conjunto {‖Av‖ : ‖ v‖ =1} atinge um ponto de maximo. E o que provaremos. Seja b a menor cota superiordeste conjunto, entao certamente ‖Av‖ ≤ b para todo v com ‖ v‖ = 1. Devemosmostrar que b = ‖Ax‖ para algum x ∈ Rn com ‖x‖ = 1. Escolhemos uma sequenciavn tal que ‖ vn‖ = 1 e ‖Avn‖ → b. Como a bola unitaria no Rn e compacta, {vn}possui um ponto limite, digamos x. Entao pela continuidade de A, Ax e um pontolimite da sequencia {Avn}. Como ‖Avn‖ → b, segue que ‖Ax‖ = b o

ñ Definicao 8: Para A ∈ M(n,R), ‖A‖ e o menor numero real satisfazendo adesigualdade ‖Av‖ ≤ ‖A‖ ‖ v‖ . Esta e a chamada norma operatorial de A. 3

O proximo teorema mostra que a norma operatorial e um norma emM(n,R) e possuivarias outras propriedades interessantes.

I Teorema 25: Para A,B ∈M(n,R) e v, w ∈ Rn:i) ‖A‖ ≥ 0, onde a igualdade e valida se e somente se A = 0.ii) ‖A+B‖ ≤ ‖A‖ + ‖B‖ .iii) ‖ aA‖ =| a | ‖A‖ , para a ∈ R.iv) ‖AB‖ ≤ ‖A‖ ‖B‖ . Em geral ‖AB‖ 6= ‖A‖ ‖B‖ .v) ‖ A‖ = ‖Aᵀ‖vi) ‖AAᵀ‖ = ‖AᵀA‖ = ‖A‖ 2. Portanto ‖A‖ =

√‖AAᵀ‖ =

√‖AᵀA‖

vii) | 〈Av,w〉 |≤ ‖A‖ ‖ v‖ ‖w‖ .viii) ‖A‖∞ ≤ n

√n‖A‖∞, eM(n,R) e completo com a respectiva norma operatorial.

J

Demonstracao: i) Se ‖A‖ = 0, entao para todo v ∈ Rn temos que ‖Av‖ ≤‖A‖ ‖ v‖ ≤ 0‖ v‖ = 0 (essas desigualdades seguem imediatamente da Definicao e oTeorema anteriores). Nesse caso Av = 0 e A = 0. A recıproca e trivial.ii) Dado v ∈ Rn:

‖ (A+B)v‖ ≤ ‖Av +Bv‖≤ ‖Av‖ + ‖Bv‖≤ ‖A‖ ‖ v‖ + ‖B‖ ‖ v‖= (‖A‖ + ‖B‖ )‖ v‖ .

Portanto ‖A+B‖ ≤ ‖A‖ + ‖B‖ .iii) Dado a ∈ R,

‖ aA(v)‖ ≤ | a | ‖Av‖ ≤ | a | ‖A‖ ‖ v‖

Isso implica que ‖ aA‖ ≤ | a | ‖A‖ . Deixamos o restante deste item para o leitordemonstrar.iv) Para v ∈ Rn, ‖A(Bv)‖ ≤ ‖A‖ ‖B‖ ‖ v‖ . Portanto, da propriedade fundamental

da norma operatorial, temos que ‖AB‖ ≤ ‖A‖ ‖B‖ . Para mostrar que em geral


‖AB‖ 6= ‖A‖ ‖B‖ , note que se ‖AB‖ = | A‖ ‖B‖ para todas A,B, entao paraA,B 6= 0 deverıamos ter ‖AB‖ 6= 0, portanto AB 6= 0. Ou seja, o produto dequaisquer duas matrizes nao-nulas seria nao-mulo. Isto e falso quando n > 1, pois hamuitas matrizes nao-nulas cujo quadrado e nulo.v) ‖Av‖ 2 = | 〈Av,Av〉 |= | 〈v,AᵀAv〉 |≤ ‖ v‖ ‖AᵀAv‖ pela desigualdade de Cauchy-Schwarz. Esta ultima expressao e menor ou igual a ‖AᵀA‖ ‖ v‖ 2, entao

‖Av‖ ≤ (‖AᵀA‖ )1/2 ‖ v‖

Segue-se que ‖A‖ ≤√‖AᵀA‖ e

‖A‖ 2 ≤ ‖AᵀA‖ ‖A‖ .

Dividindo por ‖A‖ quando A 6= 0, obtemos ‖A‖ ≤ ‖Aᵀ‖ . Isto tambem obviamentevale para A = 0. Agora, trocando A por Aᵀ, obtemos:

‖Aᵀ‖ ≤ ‖ (Aᵀ)ᵀ‖ = ‖A‖ .

Portanto ‖A‖ = ‖Aᵀ‖ .vi) Do item v):

‖A‖ 2 ≤ ‖AᵀA‖ ≤ ‖Aᵀ‖ ‖A‖ = ‖A‖ 2.

Portanto ‖A‖ 2 = ‖AᵀA‖ . Usando Aᵀ no lugar de A obtemos uma outra desigual-dade, pois ‖Aᵀ‖ = ‖A‖ .vii) Decorre da desigualdade de Cauchy-Schwarz.

viii) Seja v = ej e w = ei na parte vii):

| aij | ≤ ‖A‖

Portanto ‖A‖∞ ≤ ‖A‖ . A outra desigualdade segue do calculo que precede ao 4.5.1.A completeza de M(n,R) com respeito a norma operatorial segue da completeza danorma do supremo e do fato que estas duas normas sao equivalentes. o

Portanto temos uma norma em M(n,R) que esta ligada de forma interessante como produto interno padrao em Rn (parte vii do teorema 4.5.1). Contudo, ao contrarioda norma padrao em Rn, nao e possıvel em geral calcular a norma operatorial emM(n,R), exceto para alguns casos simples. Por exemplo, e claro que ‖ I‖ = 1, entao‖ aI‖ = | a | para todo numero real a. Mas qual e o valor de∥∥∥∥(1 2

3 4

)∥∥∥∥ ?

Da ultima parte do teorema 4.5.1, esta norma e limitada superiormente por 8√

2. Naproxima secao nos apresentamos uma formula explıcita para a norma operatorial emM(n,R) a qual nos permitira calcular facilmente a norma desta matriz.

4.6. DUALIDADE E ADJUNTA — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015 69

� Exercıcio 101: Defina a norma operatorial emM(n,C) e estabeleca um analogodo teorema 4.5.1. E verdadeiro que dada uma matriz emM(n,C), a sua norma e a datransposta sao iguais ? Para uma matriz A ∈ M(n,R), mostre que sua norma opera-torial como um elemento de M(n,R) e igual a norma operatorial como um elemento

de M(n,C). �

4.5.2 Correlacao

Uma correlacao e uma aplicacao linear τ : V → V ∗. Uma correlacao define natural-mente um funcional bilinear g : V × V → K atraves de

g(v, u) = τ(v)(u)

Se ker τ = {0} a correlacao e dita ser nao-degenerada. Dizemos tambem que V e ofuncional bilinear associado a τ sao nao-degenerados. Como dim V = dim V ∗, se kerτ = {0} entao τ e um isomorfismo, ou seja, uma correlacao nao-degenerada estabeleceum isomorfismo entre um espaco vetorial e o seu dual.

Em um espaco simpletico temos que σ(v, u) = −σ(u, v) e portanto a correlacao τnesse caso satisfaz a relacao τ(v)(u) = −τ(u)(v).

Ao longo deste texto iremos considerar apenas espacos quadraticos e faremos usoconsideravel das correlacoes simetricas τ : V → V ∗ e τ−1 : V ∗ → V . Nesse caso iremosusar uma outra notacao para essas correlacoes:

[ : V → V ∗, ] : V ∗ → V

de modo que [ = ]−1 e ] = [−1. Estes isomorfismos serao chamados isomorfismosmusicais [7]. Escreveremos geralmente

v[ = [(v), α] = ](α)

Por definicao temos portanto

v[(u) = g(v, u), g(α], v) = α(v)

Para v =∑i viei e u =

∑i u

iei podemos escrever g(v, u) =∑ij gijv

iuj , onde gij =

g(ei, ej) = gji. Como v[(u) = v[iui, onde v[i sao as componentes do covetor v[ na base

{ei}, ou seja, v[ = v[iei, segue que v[i =

∑j gijv

j . Equivalentemente temos ei[ = gijej .

Nesse sentido,∑k gikg

kj = δji .

4.6 Dualidade e Adjunta

No Cap.(1) associamos a um K-espaco vetorial V o seu espaco dual V ∗ = Hom(V,K),onde mostramos que dim V = dim V ∗ (se a dimensao de V for finita) e construımoso isomorfismo canonico τ : V → V ∗∗. Incluiremos agora nesse conceito aplicacoeslineares, subespacos e espacos quocientes.


Dados a ∈ K, α ∈ V ∗ e v ∈ V , ao inves de denotarmos α(v), usaremos o sımbolo〈α, v〉, a partir do mapa 〈 , 〉: V ∗ × V → K, o qual podemos provar que e linear emcada um dos seus argumentos:

〈aα1 + α2, v〉 = a〈α1, v〉+ 〈α2, v〉〈α, v1 + av2〉 = 〈α, v1〉+ a〈α, v2〉 (4.37)

Vimos que, com essa notacao,

〈ei, ej〉 = δij =

{1, i = j,0, i 6= j.

onde os covetores {ei} formam uma base para V ∗, enquanto que {ei} e base de V .O mapa τ : V → V ∗∗ pode ser definido pela condicao 〈τv, α〉 = 〈α, v〉, e ja que V eV ∗∗ sao canonicamente isomorfos, entao a formula 〈τ(v), α〉 = 〈α, v〉 e reescrita como〈v, α〉 = 〈α, v〉, ja que nesse sentido V pode ser considerado com o espaco dual a V ∗.As bases {ei} e {ej} formam um par dual e essa relacao e simetrica.

Obs. 22: Denotaremos α ∈ V ∗ por v[ = τ(v) ∈ V ∗, o que implicitamente implicaque estamos fazendo uso de uma metrica em V , ou seja, essa identificacao necessita queV precisa ser munido de um produto interno, e portanto o mapa 〈 , 〉 : V ∗ × V → Kcorresponde ao produto interno 〈 , 〉 : V × V → K induzido por uma metrica em V

� Exercıcio 102: Prove que se dim V < ∞, entao toda base de V ∗ e a dual dealguma base de V �

4.6.1 Aplicacoes Duais

Seja φ : W → V uma aplicacao linear entre K-espacos vetoriais W e V . Mostraremosque existe um unico mapa linear φ∗ : V ∗ →W ∗ — denominado adjunta — que satisfaz

〈φ∗(v[), u〉 = 〈v[, φ(u)〉 ∀v[ ∈ V ∗, u ∈W

De agora em diante esta implıcito que o espaco vetorial e munido de uma metrica, edenotaremos a relacao acima por 〈φ∗(v), u〉 = 〈v, φ(u)〉. Tal aplicacao e unica. Comefeito, suponha que ha dois mapas φ∗1 e φ∗2. Entao 〈φ∗1(v), u〉 = 〈φ∗2(v), u〉,∀u, v ∈ V.Segue-se que 〈(φ∗1−φ∗2)(v), u〉 = 0. Fixando-se v e variando-se u, temos que o funcionallinear (φ∗1 − φ∗2)(v) ∈W ∗ se anula em todos os vetores de V , e portanto, φ∗1 − φ∗2 = 0,o que implica que φ∗1 = φ∗2.

Existencia de φ∗. Fixamos v e consideramos 〈v, φ(u)〉 uma funcao em W . A linearidadede φ e a bilinearidade de 〈 , 〉 implica que 〈v, φ(u)〉 e linear, e portanto pertence a W ∗.Denotamos 〈v, φ(u)〉 = φ∗(v). Da linearidade de 〈v, φ(u)〉 segue-se que

φ∗(v1 + v2) = φ∗(v1) + φ∗(v2), φ∗(av) = aφ∗(v)

sendo φ∗ portanto linear.

4.6. DUALIDADE E ADJUNTA — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015 71

Considere agora bases ortonormais {e1, . . . , en} ⊂ W e {f1, . . . , fm} ⊂ V e suasrespectivas bases duais de W ∗ e V ∗. Considere A a matriz correspondente de φ nessasbases. Entao a matriz de φ∗ e dada por Aᵀ. Com efeito,

Aej =

m∑l=1

Aljfl, A∗fi =

n∑k=1

Bkiek

Como ambas as bases sao ortonormais, temos para i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , n:

Bji =

n∑k=1

Bkiδkj =

n∑k=1

Bkiek(ej) =

⟨n∑k=1

Bkiek, ej

⟩

= 〈A∗fi, ej〉 = 〈fi, Aej〉 =

⟨fi,

m∑l=1

Aljfl

⟩

=

m∑l=1

Alj〈fi, fl〉 =

m∑l=1

Aljfj(fi) =

m∑l=1

Aljδji

= Aij (4.38)

I Teorema 26: Sejam φ, φ1, φ2 ∈ Hom(W,V ) e h ∈ Hom(V,Z), onde V,W,Z saoK-espacos vetoriais, e a ∈ K. Entaoa) (φ1 + φ2)∗ = φ∗1 + φ∗2b) (aφ)∗ = aφ∗

c) (hφ)∗ = φ∗h∗

d) I∗ = Ie) O∗ = Of) φ∗∗ = φ J

� Exercıcio 103: Prove o Teorema anterior �

� Exercıcio 104: Prove que se dim V < ∞, entao toda base de V ∗ e a dual dealguma base de V �

I Teorema 27: Seja (V, g) um K-espaco vetorial munido de uma metrica, dim V =n. Para todo subespaco vetorial U ⊆ V e possıvel cindir V = U ⊕ U⊥ J

Demonstracao: Tome {e1, . . . , en} uma base ortonormal de V , onde {e1, . . . , ek}(k ≤ n) — quando U e subespaco proprio de V temos que k < n — e base ortonormalde U . Estendendo-se a base {e1, . . . , ek} de U a base de V {e1, . . . , en} (pelo processode Gram-Schmidt), temos que a base {ek+1, . . . , en} de U⊥ e ortonormal e cada vetordessa base e ortogonal a U , o que implica que V = U ⊕ U⊥, pois U ∩ U⊥ = {0} o

ñ Definicao 9: Dizemos que um subespaco U ⊂ V e nao-degenerado com respeitoa uma funcao bilinear B se B|U for nao-degenerada 3

Obs. 23: Provamos que o Teorema vale quando V e munido de uma metricag, ou seja, uma forma bilinear simetrica nao-degenerada. A propriedade de ser nao-degenerada e crucial, uma vez que U ∩U⊥ = ker g|U . Se U ∩U⊥ = {0}, entao ker g|U


= {0}, e portanto a cisao V = U ⊕ U⊥ so e possıvel se o espaco quadratico (V,B) fornao-degenerado

� Exercıcio 105: Este exercıcio mostrara uma forte relacao entre SU(2) e SO(3).Mostraremos que existe um homomorfismo de grupos φ que mapeia SU(2) em SO(3).Considere o espaco vetorial V de todas as matrizes complexas 2 × 2 auto-adjuntasde traco zero. Esse espaco corresponde ao espaco vetorial real 3-dimensional com aseguinte base

v1 =

(0 11 0

), v2 =

(0 i−i 0

), v3 =

(1 00 −1

).

Defina o produto interno em V pela expressao 〈A,B〉 = 12Tr(AB).

1. Mostre que e de fato um produto interno.

2. Mostre que {v1, v2, v3} e uma base ortonormal de V .

3. Estabeleca um isomorfismo entre V e R3.

�

� Exercıcio 106: Com relacao ao exercıcio anterior, se U e um elemento de SU(2) ev ∈ V , mostre que UvU−1 ∈ V . Portanto para cada U ∈ SU(2), podemos definir φU ∈End(V ) por φU (v) = UvU−1. (Esse mapa chama-se representacao adjunta). Dadosv, w ∈ V , prove que φU e uma aplicacao ortogonal de V ∼= R3, e portanto φU e umelemento de O(3).

Com isso o mapa U 7→ φU e um mapa de SU(2) em O(3). Mostre que tal mapa eum homomorfismo de grupos (Basta provar que φU1U2 = φU1φU2) contınuo. Se todoelemento de O(3) possui determinante ±1, ja que SU(2) e conexo e o mapa U 7→ φU econtınuo, φU deve ser um mapa em SO(3). Segue-se que U 7→ φU e um homomorfismode grupos (de Lie) de SU(2) em SO(3). Dizemos ainda que SO(3) ' SU(2)/Z2. Mostre

que o mapa U 7→ φU nao e injetivo �

� Exercıcio 107: Prove que φ ∈ Hom(V,W ), onde V,W sao K-espacos vetoriais dedimensao finita munidos de uma metrica, entao ker φ∗ = Im(φ)⊥, ker φ = Im(φ∗)⊥,

Im (φ) = ker (φ∗)⊥ e Im (φ∗) = ker (φ)⊥. (Dica: use que φ∗∗ = φ e W⊥⊥ = W ) �

Dizemos que φ ∈ End(V ) e auto-adjunto se

〈φ(v), u〉 = 〈v, φ(u)〉 ∀u, v ∈ V

� Exercıcio 108: Mostre que se φ, ψ ∈ Aut(V ) sao auto-adjuntos, entao φψ eauto-adjunto se, e somente se, φψ = ψφ. Mostre tambem que se assumirmos somenteque φ, ψ ∈ End(V ) tal afirmacao e incorreta. �

I Teorema 28: Se um subespaco U ⊂ V e invariante por φ ∈ End(V ), entao U⊥ einvariante por φ∗ ∈ End(V ∗) J

4.7. APLICACOES ORTOGONAIS, SIMETRICAS E ANTISSIMETRICAS — ROLDAO DA ROCHA,CMCC/UFABC, 2015 73

Demonstracao: Dados u ∈ U e v ∈ U⊥, entao φ(u) ∈ U , por hipotese. Entao,〈u, φ∗(v)〉 = 〈φ(u), v〉 = 0, portanto φ∗(v) ∈ U⊥ e portanto U⊥ e invariante por φ∗ o

No caso de formas bilineares antissimetricas σ : V ×V → K, denominamos uma base{e1, . . . , en} ⊂ V simpletica (com respeito a σ) se

σ(e2k−1, e2k) = σ(e2k, e2k−1) = 1, k = 1, . . . ,m

σ(ei, ej) = 0, para todos os outros casos. (4.39)

Em outras palavras, nesta base a matriz de σ e dada por

(0 1−1 0

)(

0 1−1 0

)0

. . . (0 1−1 0

)0 0

. . .

0

onde o numeros de blocos

(0 1−1 0

)na diagonal e m.

I Teorema 29: Para toda forma quadratica antissimetrica em V (dimV = n) existeuma base simpletica J

Demonstracao: Inducao em n. Para n = 1 nao ha nada a se mostrar. Seja n > 1.Se σ ≡ 0 tambem nao ha nada a se mostrar. Se σ 6= 0, existem vetores e1, e2 tais queσ(e1, e2) 6= 0, que podem ser normalizados de modo que σ(e1, e2) = 1 = −σ(e2, e1).

A matriz de σ|〈e1,e2〉 tem a forma

(0 1−1 0

)na base {e1, e2}, e em particular e nao-

singular. Pelo Teorema, e possıvel escrever V = 〈e1, e2〉⊕〈e1, e2〉⊥. Por inducao, existeuma base simpletica {e3, e4, . . . , en} em 〈e1, e2〉⊥. Portanto eis a base simpletica de V :{e1, e2, e3, e4, . . . , en} o

Obs. 24: Usamos aqui o resultado proveniente do teorema de decomposicoesortogonais para formas antissimetricas, que ainda nao foi demonstrado.

4.7 Aplicacoes Ortogonais, Simetricas e Antissimetricas

Vimos que para cada aplicacao linear φ ∈ End(V ), existe uma funcao bilinearBφ(u, v) = 〈u, φ(v)〉. A matriz de Bφ(u, v) na base {e1, . . . , en} coincide com a matriz


da aplicacao φ nessa base, pois Bφ(ei, ej) = Bijφ = 〈ei, φ(ej)〉, que e a i-esima coorde-nada do vetor φ(ej). Segue-se entao o isomorfismo (canonico) φ 7→ Bφ entre o espacoEnd(V ) e o espaco das funcoes bilineares em V , decorrendo o

I Teorema 30: Seja V um K-espaco vetorial de dimenao finita munido de umaforma bilinear. Para cada forma bilinear B : V × V → K existe uma unica aplicacaolinear φ ∈ End(V ) tal que

Bφ(u, v) = 〈u, φ(v)〉, ∀u, v,∈ V . (4.40)

A aplicacao φ 7→ Bφ e uma transformacao entre o espaco End(V ) e o espaco dasfuncoes bilineares em V J

� Exercıcio 109: Dados α, β funcionais lineares, mostre que para todos u, v ∈ V ,a funcao

(α⊗± β)(u, v) :=1

2(α(u)β(v)± β(u)α(v)) (4.41)

e bilinear. �

Funcionais bilineares simetricos [antissimetricos] correspondem a aplicacoes linearessimetricas [antissimetricas], e duas matrizes associadas satisfazem A∗ = A [A∗ = −A].Aplicacoes lineares simetricas sao tambem denominadas auto-adjuntas.

� Exercıcio 110: Mostre que as formas bilineares dadas pelas Eqs.(4.41) sao res-

pectivamente simetricas e antissimetricas �

� Exercıcio 111: Mostre que uma aplicacao que corresponde a projecao ortogonalem um subespaco e simetrica �

Operadores lineares φ ∈ End(V ) tais que φ∗ = φ−1 sao denominados ortogonais. Suasmatrizes associadas satisfazem a condicao AAᵀ = I, e tais aplicacoes formam umgrupo, denominado grupo ortogonal e denotado por O(n,K) ⊂ M(n,K).

� Exercıcio 112: Mostre que O(n,K) satisfaz as propriedades de grupo �

O grupo geral linear GL(n,K) consiste nas matrizes n × n quadradas nao-singularessobre o corpo K, enquanto que o grupo SL(n,K) < GL(n,K) e consiste das matrizesque possuem deteminante igual a 1.

O grupo ortogonal especial consiste nas matrizes ortogonais cujo determinante eigual a 1, e portanto SO(n,K) = O(n,K)∩ SL(n,K).

O grupo unitario U(n) por sua vez consiste nas matrizes M(n,C) que satisfazem acondicao AA† = A†A = I, onde A† indica a matriz complexa conjugada transposta,denominada hermitiana conjugada da matriz A. Se A = [aij ] entao A† = [aij ]

� Exercıcio 113: Mostre que U(n) e um grupo �


Uma aplicacao φ ∈ End(V ) e ortogonal se

〈φ(u), φ(v)〉 = 〈u, v〉 (4.42)

Como 〈φ(u), φ(v)〉 = 〈u, φ∗φ(v)〉, entao φ e ortogonal se φ∗ = φ−1.

I Proposicao 8: Uma aplicacao linear auto-adjunta ou anti-auto-adjunta ou ortogo-nal possui a propriedade de que se um subespaco U ⊂ V e invariante por φ ∈ End(V ),entao U⊥ e invariante por φ J

Demonstracao: O Teorema 21 e usado para mostrar imediatamente a propriedadequando φ e auto-adjunta ou anti-auto-adjunta. O caso mais difıcil e quando φ eortogonal. Se isso ocorrer, em particular φ|U e ortogonal, e portanto nao singular, epara todo u ∈ U , existe v ∈ U tal que u = φ(v). Considere agora um vetor w ∈ U⊥.Portanto para todo u ∈ U , temos

〈u, φ(w)〉 = 〈φ(v), φ(w)〉 = 〈v, w〉 = 0

e daı φ(w) ∈ U⊥ o

Nos dois teoremas que se seguem, usaremos na demonstracao o fato de que dada φ ∈End(V ), os conjuntos U± = {v ∈ V |φ(v) = ±v} sao subespacos invariantes por φ, eportanto o subespaco U = U+ ⊕U− e tambem subespaco invariante por φ, e portantoU⊥ e invariante por φ∗, e possui um subespaco de dimensao 1 ou 2.

I Teorema 31: Para todo operador φ ∈ End(V ) tal que φ∗ = −φ, existe uma baseortonormal na qual a matriz associada a φ tem a forma

H(a1) O2 · · · O2 O2

O2 H(a2) · · · O2

.... . .

...... H(ak)

...

O2 O2

.... . . O2

O2 O2

onde H(a) =

(0 −aa 0

)J

Demonstracao: A forma matricial de um operador antissimetrico restrito a umespaco euclidiano bidimensional em uma base ortonormal e H(a) o

I Teorema 32: Para todo operador φ ∈ End(V ) tal que φ∗ = φ−1, existe uma base


ortonormal na qual a matriz associada a φ tem a forma

Π(θ1). . . 0

Π(θk)1

0 1. . .

−1−1

onde Π(θ) =


)J

Demonstracao: E suficiente considerarmos aplicacoes em subespacos de dimensao1 e 2. Em espacos de dimensao 1, aplicacoes ortogonais e a multiplicacao por ±1.

Em subespacos de dimensao 2, toda aplicacao ortogonal φ ou e uma rotacao por

um angulo θ ou uma reflexao atraves de uma linha. Com efeito, dada

(a bc d

)∈

O(2), onde a, b, c, d ∈ K e um vetor v ∈ K2 com componentes (x, y), a condicao deortogonalidade implica que (ax+by)2 +(cx+dy)2 = x2 +y2, i.e., a2 +c2 = b2 +d2 = 1,ab + cd = 0. A equacao a2 + c2 = 1 implica que existe um angulo θ tal que a = cos θ

e c = sin θ, e portanto b = ± sin θ e d = ∓ cos θ. Segue-se que φ =


)ou φ =

(cos θ sin θsin θ − cos θ

), onde a primeira matriz se refere a rotacao atraves de um

angulo θ e a segunda matriz se refere a uma reflexao atraves de uma linha que formaum angulo θ/2 em relacao ao eixo-x. Nesse caso existe uma base ortonormal tal que a

matriz de φ tem a forma

(−1 00 1

)o

� Exercıcio 114: Mostre que uma aplicacao φ ∈ End(V ) que e simultaneamente

auto-adjunta e ortogonal e tambem uma involucao �

� Exercıcio 115: Mostre que uma aplicacao φ ∈ Hom(V,W ) ortogonal preserva

norma e distancia �

Sobre o corpo dos complexos sempre temos que det φ∗ = det φ. Se a aplicacao φpossui uma matriz A associada em alguma base ortonormal, entao na mesma basea aplicacao φ∗ tem a matriz Aᵀ = A†. Uma aplicacao e dita ser hermitiana, anti-hermitiana ou unitaria se respectivamente φ∗ = φ, φ∗ = −φ ou φ∗ = φ−1.

� Exercıcio 116: Mostre que os autovalores de aplicacoes hermitianas, anti-hermitianase unitarias sao respectivamente reais, imaginarios puros e escalares de modulo 1 �


� Exercıcio 117: Determine quais das seguintes matrizes sao simetricas, antis-simetricas, hermitianas ou anti-hermitianas:

a)

0 1 21 0 32 3 4

, b)

0 i 2i 0 3−2 −3 4i

, c)

0 i 2−i 0 3−2 −3 0

, d)

0 1 2−1 0 3−2 −3 0

�

� Exercıcio 118: Considere 0 6= a ∈ R e seja A =

(0 a−a 0

). Encontre um conjunto

ortonormal de autovetores de A �

� Exercıcio 119: Se φ ∈ End(V ) e unitaria e hermitiana mostre que φ e uma

involucao �

� Exercıcio 120: Quando o produto de duas aplicacoes hermitianas e tambemhermitiano? �

Mais geralmente, dada agora uma forma sesquilinear nao-degenerada B : V ×V → K,entao a menos de uma constante, B ou e alternada (ou seja, para todo v ∈ V temosque B(v, v) = 0); ou e hermitiana (B(v, w) = B(w, v)σ) onde σ ∈ Aut(K) e umautomorfismo de ordem 2 do corpo K, ou seja, uma aplicacao idempotente em K; ouB e simetrica B(v, w) = B(w, v). A definicao B(v, v) = 0 e preferıvel a B(v, w) =−B(w, v), pois ja vimos que a segunda possui problemas quando char(K) = 2. Emqualquer caso onde char(K) 6= 2 as duas propriedades sao equivalentes.

Em analogia a teoria de grupos, o grupo de matrizes GL(V ) age em V como multi-plicacao a esquerda. Dada B : V × V → K, definimos

Isom(B) = {φ ∈ GL(V ) | B(φ(u), φ(v)) = B(u, v), ∀u, v ∈ V }

o grupo de isometria de B em GL(V ).

� Exercıcio 121: Mostre que Isom(B) e um subgrupo de GL(V ) �

� Exercıcio 122: Mostre que podemos alternativamente definir

Isom(B) = {φ ∈ GL(V ) | B(φ−1(u), φ−1(v)) = B(u, v), ∀u, v ∈ V } �

Tambem ha somente tres tipos de grupos de isometria, cada um deles correspondendoas respectivas formas sesquilineares. Sao eles:

a) Grupo simpletico Sp(V,B) se B e alternada.b) Grupo unitario U(V,B) se B e hermitiana.c) Grupo ortogonal O(V,B) se B e simetrico.

Denominamos o espaco vetorial V munido de B tambem por simpletico, unitario eortogonal, baseado na classificacao da forma bilinear.

� Exercıcio 123: Dados a, b ∈ R, se J(a + ib) = a − ib, entao J ∈ Aut(K) e J e

involucao �


Um grupo classico e derivado desses tres grupos acima e do grupo linear geral GL(V ),e e possıvel expressar as representacoes desses grupos classicos em forma de matrizes.

Ja vimos que dados φ ∈ End(V ) e B : V × V → K, entao existe a correspondenciaBφ(u, v) = 〈u, φ(v)〉. No caso mais simples onde B = I, temos que B(u, v) = uᵀve o produto interno usual, somente sem (talvez) a usual propriedade de ser positivadefinida que somente faz sentido para corpos ordenados, como Q e R.

O grupo de isometria de I e exatamente o grupo das matrizes invertıveis A ondeAᵀIA = I ⇒ AᵀA = I e e comum denotarmos por O(n) o grupo ortogonal sobre R

O(n) = {A ∈ GL(n) |AᵀA = I}

Para grupos simpleticos temos que levar em conta a forma bilinear correspondente a

matriz J =

(0 I−I 0

), e a condicao de isometria para uma forma alternadaB(φ(u), φ(v)) =

uᵀAᵀ J Av = uᵀJv = B(u, v), e portanto AᵀJA = J . E comum definirmos

Sp(2m) = {A ∈ GL(2m) |AᵀJA = J}



)∈ SO(2) e

cos θ − sin θ 0sin θ cos θ 0

0 0 1

∈SO(3) �

� Exercıcio 125: Mostre que se α, β ∈ C e satisfazem |α|2 + |β|2 = 1, entao amatriz

A =

(α −ββ α

)(4.43)

esta em SU(2). Mostre que toda matriz A ∈ SU(2) pode ser expressa na forma (4.43)

para um unico par (α, β) ∈ C2 satisfazendo |α|2 + |β|2 = 1. Dessa maneira SU(2) euma esfera S3 em C2 = R4 e em particular mostra que SU(2) e conexo e simplesmente

conexo. �

Capıtulo 5Autovalores e Autovetores

Um dos mais praticos objetivos do formalismo que envolve operadores lineares ereduzir a matriz de uma aplicacao linear a sua forma mais simples, a partir da escolhade uma base particular. Para tanto e preciso saber um pouco mais sobre subespacosinvariantes.

ñ Definicao 10: Um vetor v ∈ V \{0} e dito ser um autovetor de um operador φ ∈End(V ) se φ(v) = λv para algum λ ∈ K, que por sua vez e um autovalor associado aovetor v 3

Obviamente, um vetor v ∈ V \{0} e autovetor se, e somente se o subespaco 〈v〉 deuma dimensao e invariante. Em uma base de autovetores — se essa base existir — amatriz associada a aplicacao linear e diagonal.

B Exemplo 26: Para o operador de derivada no espaco de polinomios na variavelx, o unico autovetor (modulo multiplicacao por escalar) e o polinomio P (x) = 1, comautovalor correspondente λ = 0. Neste caso nao existe base de autovetores C

� Exercıcio 126: Mostre que os autovetores do operador Π(α) — de rotacao emtorno de um eixo por um angulo α — com α 6= kπ no espaco 3-dimensional saoos vetores sobre os respectivos eixos de rotacao (e seus autovalores correspondentesλ = 1). Verifique que quando α = kπ os vetores ortogonais ao eixo de rotacao tambem

sao autovetores, com autovalores λ = (−1)k �

79

80 5. AUTOVALORES E AUTOVETORES — ROLDAO DA ROCHA, CMCC/UFABC, 2015

Um autovetor com autovalor λ ∈ K existe se, e somente se o operador φ − λI forsingular. Com efeito, φ(v) = λv implica em (φ− λI)v = 0, isso ocorrendo quando v ∈ker(φ − λI)\{0}, ou seja, quando nao existir inverso de (φ − λI). Portanto, quandodet (φ− λI) = 0.

ñ Definicao 11: Seja V um K-espaco vetorial de dimensao finita e considere umaaplicacao φ ∈ End(V ) que tem a matriz A associada, em alguma base de V . Denota-mos por P (t) (ou Pφ(t)) o polinomio det(A − tI) com coeficientes no corpo K, que edenominado polinomio caracterıstico do operador φ e da matriz A 3

� Exercıcio 127: Calcule os possıveis autovalores de uma projecao φ ∈ End(V ),

φ2 = φ �

� Exercıcio 128: Mostre que dadas duas matrizes A,B ∈M(n,K), os autovalores

de AB e BA sao os mesmos, se A ou B for invertıvel. �

� Exercıcio 129: Calcule os autovalores da aplicacao de permutacao φ ∈ End(C3)

tal que φ(x1, x2, x3) = (x2, x3, x1), onde xi ∈ C �

� Exercıcio 130: Seja u, v ∈ V dois autovetores da aplicacao φ ∈ End(V ) corres-pondentes a autovalores distintos. Mostre que au+ bv, onde a, b ∈ K, nao pode ser umautovetor de φ �

I Teorema 33: a) O polinomio caracterıstico de φ independe da escolha da base naqual a matriz associada A e representada.

b) Qualquer autovalor de φ e raiz de P (t) e qualquer raiz de P (t) em K e um autovalorde φ, correspondendo a algum subespaco proprio de V J

Demonstracao: a) A matriz de φ em uma outra base e escrita como B−1AB, ondeB e a matriz mudanca de base. Portanto

det(B−1AB − tI) = det(B−1(A− tI)B) = (detB)−1 det(A− tI) detB

= det(A− tI)

Notamos que P (t) = tn − a1 tn−1 + · · · + (−1)nan, onde a1 = Tr(A), an = det A,

enquanto os outros coeficientes tem expressoes menos interessantes.

b) Seja λ ∈ K uma raiz de P (t). A aplicacao φ − λI e representado por uma matrizsingular e portanto seu nucleo e nao-trivial. Seja v 6= 0 um elemento de ker (φ −λI). Entao φ(v) = λv e portanto λ e autovalor de φ e v o respectivo autovetor.Reciprocamente, se φ(v) = λv, entao v ∈ ker (φ − λI) e portanto det (φ − λI) =P (λ) = 0 o

Um operador linear sobre um R-espaco vetorial pode nao ter autovetores. Contudoo uso dos numeros complexos nos permite obter informacoes valiosas sobre aplicacoeslineares sobre o corpo dos reais, com o recurso da complexificacao.

81

� Exercıcio 131: Calcule os autovalores de cada uma das seguintes matrizes:0 0 1 00 0 0 11 0 0 00 1 0 0

,

0 1 0 01 0 0 00 0 0 10 0 1 0

,

0 −i 0 0i 0 0 00 0 0 −i0 0 i 0

,

1 0 0 00 −1 0 00 0 1 00 0 0 −1

�

I Lema 3: Um vetor u + iv, u, v ∈ V , e um autovetor de um operador φC comautovalor a + ib (a, b ∈ R, b 6= 0) se, e somente se, U = 〈u, v〉 ⊂ V e um subespacoinvariante bidimensional de φ e

φ(u) = au− bvφ(v) = bu+ av (5.1)

J

Demonstracao: Na base {u, v}, o operador φ|U tem a matriz

(a b−b a

), e as

Eqs.(5.1) implicam que o vetor u+ iv e autovetor de φC com autovalor a+ ib o

Como corolario do lema anterior, temos o

I Teorema 34: Toda aplicacao linear φ ∈ End(V ) sobre o corpo dos reais possui umsubespaco invariante de dimensao 1 ou 2 J

Demonstracao: O polinomio caracterıstico sempre possui raızes em C o

Para um dado autovalor λ ∈ C de uma aplicacao φ ∈ End(V ) associado a uma matrizA em uma certa base, os autovetores correspondentes podem ser encontrados a partirdo sistema homogeneo de equacoes (A−λI)X = 0, onde X denota a matriz coluna decomponentes do vetor a ser encontrado. Juntamente com o vetor nulo, os autovetoresasociados ao autovalor λ constituem o subespaco

Vλ(φ) = ker(φ− λI)

denominado autoespaco da aplicacao φ correspondente ao autovalor λ. Quando adimensao de V e finita, a dimensao de Vλ e igual a (n− dim Im (φ− λI)), e n = dimV .

Provaremos agora um caso mais geral do teorema que afirma que a autovaloresdiferentes do mesmo operador correspondem autovetores LI:

I Teorema 35: Autoespacos correspondentes a autovalores distintos λ1, . . . , λk deuma aplicacao φ sao L.I. J


Demonstracao: Inducao em k. Para k = 1 nao ha nada a se provar. Suponha quek > 1 e dado um ındice i ∈ {1, . . . , k} fixo, seja a combinacao linear nula

a1e1 + · · ·+ ak−1ek−1 + akek = 0, ei ∈ Vλi(φ), ai ∈ K.

Aplicando-se φ na equacao acima, obtemos

a1λ1e1 + · · ·+ ak−1λk−1ek−1 + akλkek = 0

Multiplicando-se a primeira equacao acima por λk e subtraindo-se dela a segundaequacao, obtemos

a1(λ1 − λk)e1 + · · ·+ ak−1(λk−1 − λk)ek−1 = 0

Pela hipotese de inducao, a1 = · · · = ak−1 = 0. Portanto ak = 0 o

Como corolario, podemos afirmar que

I Teorema 36: Se o polinomio caracteristico Pφ(t) possuir n raızes distintas, entaoexiste uma base de autovetores de φ J

� Exercıcio 132: Mostre que se dim(V ) = n, e se φ ∈ End(V ) possui n autovaloresdistintos, entao existe uma base de V em relacao a qual a matriz associada a φ ediagonal �

B Exemplo 27: Seja V = U ⊕W . O operador de projecao P ∈ End(V ) definidocomo

P (u+ w) = u, u ∈ U, w ∈W

e a projecao de U ao longo de W . Obviamente, os autoespacos sao dados por V0(P ) =W e V1(P ) = U . Na base de V obtida das bases de U e W , a matriz de P e diagonal,dada por diag(0, . . . , 0, 1, . . . , 1) C

� Exercıcio 133: Seja V = U ⊕W . O operador de reflexao R ∈ End(V ) definidocomo

R(u+ w) = u− w, u ∈ U, w ∈W

e a reflexao de U ao longo deW . Obviamente, os autoespacos sao dados por V1(R) = We V−1(R) = U . Na base de V obtida das bases de U e W , a matriz de R e dadapor diag(1, . . . , 1,−1, . . . ,−1). Mostre que um operador φ ∈ End(V ) e reflexao se, e

somente se φ2 = I �

� Exercıcio 134: Mostre que Pφ∗(t) = Pφ(t), onde φ∗ denota a adjunta de φ ∈End(V ) �

A fim de obtermos condicoes necessarias e suficientes a existencia de uma base queconsista de autovetores de uma aplicacao φ ∈ End(V ), precisamos provar o seguintelema:

83

I Lema 4: O polinomio caracterıstico da restricao φ|U de uma aplicacao linear φ ∈End(V ) a um subespaco invariante U ⊆ V divide o polinomio caracterıstico de φ J

Demonstracao: Sejam A e A|U as representacoes de φ ∈ End(V ) em M(n,K).Numa base de V , onde os primeiros k vetores formam uma base de U , a matriz A deφ e da forma dada na Eq.(3.1). Portanto

PA(t) = PA|U (t).det(C − tI)

o

� Corolario 5: Como Corolario, podemos afirmar que a dimensao de um autoespacoVλ(φ) da aplicacao φ (dimensao esta tambem chamada de multiplicidade geometrica deλ) nunca excede a multiplicidade de λ no polinomio caracterıstico, tambem chamadade multiplicidade algebrica de λ

Demonstracao: Seja dim Vλ(φ) = k. O polinomio caracterıstico de φ|Vλ(φ) e dado

por (t − λ)k. Aplicando o lema anterior ao subespaco U = Vλ(φ), temos portantoPφ(t) = (t − λ)k det(C − tI). Supondo por absurdo que a multiplicidade geometricafosse maior que a multiplicidade algebrica de λ, terıamos que dim Vλ(φ) > k, e portantoo polinomio caracterıstico de φ|U seria dado por (t − λ)j , para algum j > k. Assimcompletamos a prova o

B Exemplo 28: Diferenciacao e um operador linear no espaco dos polinomios Kn[x].Na base {1, x, x2, . . . , xn}, o operador de derivacao possui a seguinte matriz (n+ 1)×(n+ 1):

0 1 0 · · · 0 00 0 2 · · · 0 00 0 0 · · · 0 0...

......

. . ....

...0 0 0 · · · 0 n0 0 0 · · · 0 0

e portanto o polinomio caracterıstico associado e tn+1, que possui raiz λ = 0 e multi-plicidade n + 1, mas a dimensao do autoespaco correspondente e 1. Isso mostra quea dimensao do autoespaco pode ser estritamente menor que a multiplicidade da raizcorrespondente no polinomio caracterıstico C

O conjunto de todas as raızes do polinomio caracterıstico e chamado espectro daaplicacao φ, e se todas as multiplicidades algebricas forem iguais a um, o espectro edito ser simples.

Uma aplicacao φ ∈ End(V ) em geral nao possui autovalores, e portanto nao e di-agonalizavel, se seu polinomio caracterıstico P (t) nao possuir raiz no corpo K. Porexemplo, considere a matriz A =

(a bc d

)com coeficientes reais. Entao det (A − tI)

= t2 − (a + d)t + (ad − bc), e se (a + d)2 − 4(ad − bc) < 0, entao a matriz nao ediagonalizavel. Portanto consideramos de agora em diante — ate o fim desta Secao— corpos algebricamente fechados, em particular K ' C, o que significa que qualquer


polinomio P (t) de grau maior ou igual a um — com coeficientes em K — possui umaraiz em K.

I Teorema 37: Para que uma base de autovetores de uma aplicacao φ ∈ End(V )exista, e necessario e suficiente que as seguintes condicoes sejam validas:a) o polinomio caracterıstico Pφ(t) cinde em fatores lineares.b) a dimensao de qualquer autoespaco e igual a multiplicidade algebrica da raiz corres-pondente do polinomio Pφ(t) J

Demonstracao: Sejam λ1, . . . , λs todas as raızes de Pφ(t) com multiplicidadesalgebricas k1, . . . , ks, respectivamente. Denotando por Vi o autoespaco correspondentea λi, pelo corolario anterior, sabemos que a dimensao de um autoespaco Vi de φ nuncaexcede a multiplicidade algebrica de λi no polinomio caracterıstico, e portanto comodim Vi ≤ ki segue-se que ∑

i

dimVi ≤∑i

ki ≤ n. (5.2)

Contudo, a unica maneira de obter uma base de autovetores e tomar a uniao das basesdos autoespacos. Para que tal procedimento nos forneca uma base de V , e necessarioe suficiente que

∑dim Vi = n. Mas a desigualdade (5.2) e equivalente a condicao∑

i ki = n e que dim Vi = ki para todo i. Esta condicao corresponde a condicao b)do enunciado do Teorema, enquanto que aquela significa que Pφ(t) cinde em fatoreslineares o

� Exercıcio 135: a) Se φ ∈ End(V ) tem λ como autovalor correspondente a umautovetor v ∈ V , mostre que aφ possui autovalor aλ, a ∈ K, e que φn tem autovalorλn associado a v. Se φ1 e φ2 possuem v como autovetor, mostre que v tambem eautovetor de a1φ1 + a2φ2, e use isso para mostrar que v tambem e autovetor de P (φ)— um polinomio em φ — com autovalor P (λ).b) Mostre que se φ ∈ End(V ) tem a propriedade de que φ2 possui λ2 como autovalor

nao-negativo, entao pelo menos λ ou −λ e autovalor de φ �

� Exercıcio 136: Calcule os autovalores das matrizes 2 1 12 3 4−1 −1 2

,

2 −1 10 3 −12 1 3

,

2 1 12 3 23 3 4

,

os autovetores correspondentes, e a dimensao dos autoespacos correspondentes. Emqual desses espacos os autovetores constituem uma base de V = R3? �

� Exercıcio 137: Calcule os autovalores das matrizes de Pauli σ1 =(0 11 0

), σ2 =(

0 −ii 0

), σ3 =

(1 00 −1

)em M(2,C). �

� Exercıcio 138: a) Mostre que uma matriz A e nao-singular, ou seja, que det(A)6= 0 se e somente se λ = 0 nao e autovalor de A

85

b) Mostre que se uma matriz A e nao-singular e possui autovalores λi, os autovaloresde A−1 sao λ−1i .c) Dada A ∈M(n,K) com entradas reais tal que A2 = −I. Prove que A e nao-singular,

que n e par, que A nao possui autovalores reais e que det A = 1 �

I Teorema 38: Dados λi autovalores dois a dois distintos da aplicacao auto-adjuntaφ ∈ End(V ), seus autovetores correspondentes sao dois a dois ortogonais J

Demonstracao: Dados i 6= j,

(λi − λj)〈vi, vj〉 = 〈λivi, vj〉 − 〈vi, λjvj〉 = 〈φvi, vj〉 − 〈vi, φvj〉= 〈φvi, vj〉 − 〈φvi, vj〉= 0

Portanto 〈vi, vj〉 = 0 o

I Teorema 39: Para qualquer aplicacao auto-adjunta φ ∈ End(V ) existe uma baseortonormal de autovetores J

Demonstracao: E suficiente mostrar que em um espaco vetorial bidimensional Wexiste uma base formada pelos autovetores da aplicacao auto-adjunta φ ∈ End(V ), que

possui uma matriz simetrica

(a bb c

)em uma base ortonormal {u, v}. Seu polinomio

caracterıstico e pφ(t) = t2−(a+c)t+ac−b2, e correspondentemente ∆ = (a−c)2+4b2 ≥0. Se ∆ = 0, entao φ = aI, e se ∆ 6= 0, pφ(t) possui raızes distintas λ1 e λ2, e portantoexistem vetores v1, v2 tais que φ(v1) = λ1v1 e φ(v2) = λ2v2. Pelo Teorema anterior{v1, v2} e base ortogonal de W , que pode imediatamente ser normalizada.

Agora, toda aplicacao auto-adjunta φ ∈ End(V ) (V tem dimensao finita) possuium autovetor, pois pelo Teorema 32 existe um subespaco U ⊂ V de dimensao 1 ou 2tal que φ(U) ⊂ U . Se dim U = 1, entao todo vetor u ∈ U\{0} e autovetor de φ, ese dim U = 2, aplicamos o que foi demonstrado no paragrafo anterior e obtemos umautovetor v1 ∈ V . Finalmente, a fim de se mostrar que existe uma base ortonormal deautovetores de φ ∈ End(V ), faremos por inducao. Se dim V = 1, e imediato. Supondoque a afirmacao seja verdadeira para n − 1, existe entao um vetor vn, e portanto umsubespaco U ⊂ V , onde dim U = 1, invariante por φ. Isso implica, como ja foi provado,que o complemento ortogonal U⊥ tambem e invariante por φ. Como dim U⊥ = n− 1,a hipotese de inducao afirma que existe uma base ortonormal {v1, . . . , vn−1} em U⊥

formada por autovetores de φU⊥ : U⊥ → U⊥. Portanto {v1, . . . , vn} e base ortonormalde V o

� Corolario 6: Afirmamos que para toda funcao quadratica B no espaco Euclidiano,existe uma base ortonormal onde a matriz e diagonal, i.e., dado v =

∑i viei ∈ V , onde

vi ∈ K sao as componentes de V , temos que

B(v, v) = Q(v) = λ1v21 + · · ·+ λnv

2n

Os λi sao os correspondentes autovalores de B, definidas a menos de permutacao.


� Exercıcio 139: Mostre que toda matriz A ∈ End(V ) pode ser escrita como asoma direta de subespacos formados matrizes simetricas e anti-simetricas. Encontreas projecoes da matriz

1 1 · · · 10 1 · · · 1...

.... . .

...0 0 · · · 1

nesses subespacos, paralelamente ao subespaco complementar. �

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