, _, ~

" .

CAPTULO 3 DESIGUALDADES E INECUACIONES

Temas:

Postulado de orden de los nmeros reales. Teoremas de las desigualdades y sus propiedades Intervalos

Inecuaciones lineales

Inecuaciones Cuadrticas Inecuaciones Racionales de grado superior

Inecuaciones con 2 variables:

Grafica de una inecuacin lineal Inecuaciones lineales simultneas Grafica de una inecuacin cuadrtica Aplicaciones y problemas de planteo

Objetivos: 1) Determinar el conjunto solucin de las inecuaciones en general; es decir

lineales, racionales, cuadrticas, etc. y todas aquellas de grado superior que sean factorizables.

2) Representar los intervalos como subconjunto de los nmeros reales.

3) Resolver problemas que den lugar en inecuaciones con una variable con o sin valor absoluto.

4) Interpretar grficamente la solucin de las inecuaciones.

5) Aplicar adecuadamente a problemas de planteo que den lugar a inecuaciones o sistemas de una o dos variables.

2

Postulados De Orden

1) aO; a:#= O

8) Si a>O ---7 1/a >O

9) Si a

L . .

Solucin de una desigualdad

La solucin en desigualdades no son nicamente puntos o varios puntos como ocurre en las ecuaciones sino pedacitos de recta que se llama intervalos.

Los intervalos son conjuntos de nmeros reales que tienen 2 extremos a y b y que en ciertas ocasiones tambin dichos extremos forman parte de los intervalos.

Clases de intervalos

l. Abiertos Finitos 2. Cerrados 3. Semiabierto

{1. Abiertos y cerrados por la izquierda.

Infinitos 2. Abiertos y cerrados por la derecha. 3. Conjunto de numeros Reales.

INTERVALOS FINITOS:

1. Intervalos Abiertos.- Son aquellos conjuntos formados por nmeros reales excepto los extremos a y b.

a.

b.

Representacin: Existe dos formas la cuales son: Geomtricamente:

Analticamente: (a, b)= {x/a

b.

Analticamente: [a, b]= {x/a:5x:5b}

t Desigualdad no estricta

3. Intervalos semiabiertos:

> X

a. Semiabierto por la izquierda.- Son aquellos conjuntos formados por todos los nmeros reales entre a y b excepto a.

Geomtricamente:

a. o > a b X

b. >

X

Analticamente:

(a,b] = {x/a a b X b.

> X

Analticamente:

[a,b) = {x/a :5 x

. ' ..

INTERVALOS INFINITOS:

1. Abiertos por la izquierda

(a,+ oo)= {x/x >a}

o ) > a X

2. Cerrados por la Izquierda

[a,+ oo)= {x/x ;::::a}

a b >> X 3. Abiertos por la derecha

(-oo, b)= {x/x

5. Conjunto de los nmeros reales (-oo,+ oo)= R

o X

Ejemplos: 1) Represente grficamente los siguientes intervalos cerrados [-3, 7]

-3 7 > X

6

2) (3, 5]

o o 3 5

3) Determine los elementos del siguiente conjunto: 1. A={x/-3 X

> X

> X

3. Encontrar los elementos del conjunto A={x/3 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 X

.~ !

. .

4. Encontrar los elementos del conjunto B={x/-3 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 X

6) Dados los siguientes conjuntos A{x/-S:s;x < 4} y B= {x/-2

-5 -2 o 4 7 X

[-5, 7] 2. AnB

r W}7 j > -5 -2 o 4 7 X

(-2,4] 3. A'U 8

12/vb/; 771 -s -2 O 4 1- X

-5 -2 o 4 7 X

(-co, SJ U (-2, +e.o)

4. A- B

o !ZCI ! 1 > -5 -2 o 4 7 X

[-5, -2)

5. A'- B'

A' //I ~ /; 1

-5 -2 o 4 7 X

1 1

71/J V/2 ) f? 1 -5 -2 o 4 7 X

[4,7]

6. 8-A

r r ia > -5 -2 o 4 7 X

7. [4, 7]

7) Si x E [2,4] ~ 2x+3 a que intervalo pertenece: ~

Si X E [2,4] :. 2

110

Propiedades:

1. Si a >O ~ lxl < a ~ -a < x < a

~~----o~------..... 1--------co-~~--a O a

Intervalo (-a, a) 2. Si a >O ~ lxl 5 a ~ -a 5 x 5 a

o ' -a a Intervalo [-a, a]

3. Si a >O ~ lxl > a ~ x > a v x < -a

-------c:..:;9r-~~~~1~~~---i9,_. ____ _ -a O a

Intervalo (-co, -a) v (a, +co)

4. Si a >O ~ lxl 2:: a ~ x 2:: a v x 5 - a

o -a a Intervalo (-co, -a] v (a, +co)

s. P = lxl , Si X E: R

6. lx.yl = .jx2.y2 = o.yz = lxl . lyl; donde x, y e: R El mdulo de un producto de 2 nmeros reales siempre es igual al

producto de sus mdulos.

Ejemplo:

l(x - 5) (x+4 )1 = lx-51 lx+41

, .

7 1~1 = .21 Y IYI El mdulo del cociente de dos nmeros reales, es igual al cociente de sus mdulos.

8. lx + yl ::; lxl + IYI -7 Desigualdad del tringulo.

lx+yl

9. lxl= lx + y-yl = l(x-y) +y 1 :. lxl :5 lx - yl + lyl -7 lxl- lyl :5 lx-yl 10. lxl= lx +y- yl = l(x+ y)+ (-y) 1 :. lxl ::; lx + yl + 1-yl -7 como 1-yl siempre es positivo, entonces reemplazamos por fy.f ...

Luego: lxl :5 lx + yl + lyl -7 lxl - lyl :5 lx + yl 11. De 8. Y 10.

lxl - lyl ::; lx+ yl y lx+ yl ::; lxl + lyl

Entonces obtenemos: lxl - lyl ::; lx+ yl ::; lxl + lyl, la cual lxl - lyl ::; lxl + lyl

Si en una desigualdad como a

12

Si a < b a, b E R

l l F(x) G(x)

F(x) < G(x) INECUACIONES:

Inecuaciones Lineales: Si F(x) - G(x) =ax + b

1) F (x) - G(x) < O ) ax+ b< o 2) F(x) - G(x) < o --) ax + b< O 3) F(x) - G(x) > O ) ax+ b> O 4) F(x) - G(x) ;;::: O --) ax+ b2: O

Inecuaciones Cuadrticas: Si F(x) - G(x) = ax2 + b x +e

Inecuaciones Cuadrticas

Inecuaciones de Grado superior:

{ax2 + ax 2 + ax 2 + ax2 +

bx + e < O bx + e ~ O bx + e > O bx + e 2: O

a, b E R

XE R

a, b, e E R

Si F(x) - G(x) = aox" + a1x"-1 + a2x-2 ... .. ...... ... ... + 8n-1X + 8n

8 E R ; i= o, 1,. .... n ; n>2

Si el polinomio se puede factorar, se tendr:

1. 2. 3. 4 .

(x - a)(x - b)(x- e) ... .. (x - k) < O (x - a) (x - b) (x - e) ..... (x - k) ~ O 1 (x - a) ( x - b) ( x - e) ..... ( x - k) > O (x -a)(x-b)(x-c) ..... (x - k) 2: 0

necuaciones de grado superior

Inecuaciones Racionales:

F(x) < F(x) 1

G(x) R(x)

F(x) < F(x) 2

G(x) - R(x)

F(x) > F(x) 3

G(x) R(x)

F(x) > F(x) 4

G(x) - R(x)

G(x) *O

R(x) *O

Inecuaciones Irracionales:

1. n_j F(x) < O

2. n_J F(x) > O

3. n_j F(x) ~O

4. n_J F (X) '?::. o

Ejercicios: Determinar todos los valores de x que satisfagan las siguientes inecuaciones; luego grafique y obtenga el o los intervalos solucin: 1. -5 < 2x - 3 < 5 , L j ....... ,, -.

Solucin: ! - - . - .

1era Forma: Se resuelve dejando la variable x en la mitad de la desigualdad continua. -5 < 2x - 3 < 5

Grfico:

-5 +3 < 2x - ~ + ~ < 5 + 3 -2 < 2x < 8

Multiplico por el recproco (~) 2

-1

14

Comprobacin: La comprobacin se la debe efectuar en la inecuacin original o dada, como se indica a continuacin.

-5 < 2x - 3 < 5 En esta desigualdad reemplazamos los siguientes valores:

x=-2; Al ser reemplazada debe darnos como valor de verdad Falso

-7 -5 < 2(-2) - 3 < 5; y de igual modo para el resto de valores de la comprobacin:

x=-1 - -> Falso -7 -5 < 2(-1) - 3 < 5 -->~ -5""' - 5

)

Verdadero-7 -5 < 2(3) - 3 < 5 > - 5 - 5 < 5 < 5

----+) FalS0 -7 -5 < 2(5) - 3 < 5 --)~ -5< 7 -2

X> -1

Grfico 1:

---0---~1---1 o

S1 = (-1, co) Solucin Total = ST = S1 n S2

) ST= (-1,4)

-1 o ~ ( o

2) 2x- 3 < 5 2x < 5+ 3

x

Ejemplos: Encuentre todos los nmeros reales que satisfagan la siguiente ecuacin y las siguientes desigualdades

1) 12x + 51 = -4 lxl = {x ""'x ~ O X ~X<

El mdulo nunca es negativo, luego la ecuacin no tienen solucin.

2) 7x + 3 ~ 2x - 6 7x + 3 - 2x + 6 ~ O Sx + 9 >O

X:;t: 0 Sx~ -9

-9 x> -

- 5

-1 ,8 o

3) X 2 + 2 > 3X

X 2 + 2 -3X > 0 X 2 -3X + 2 > 0 ( X - 2 )(X - 1) > 0

X >2 x>1 . )

o 1 2

1) F actoramos 2)Resolvemos

Anlisis a.b > 4 {l)a( +) /\ b( +)

2) a( - ) /\ b( - )

2) (x - 2)

4) x3-7x-6 :5 0 Paso 1: Factoramos

Paso 2: Posibles divisores de:

a= 1

a"= 1, 2, 3, 6

x3-7x - 6 :;; O

Aplicando Ruffini

o -7 -6 -6

-1 -6 o

:. x2-x-6=0 ~ (x-3)(x+2) Entonces i'-7x - 6 tiene como sus tres races a: (x-3)(x+2)(x+1)

= (x-3)(x+2)(x+1) :;; O

Analizando

(x+2)(x+1) (x-3) ~ O +A+A-

V +A-A +

Casos: V - A+A+

V -J\-/\ -

x+2~ O A (x+1) ~O/\ x-3:5 O

Q -2 Ax ;;::: - 1 J\ x:53

< VZl/Z ?{/< ? )

2 do caso + /\ - /\ +

2: x+2> O A (x+1) 3

< v///r > T > -2 -1 o 3

Solucin 2: 0

3er Caso: - /\+A+

3: x+2~ O A (x+1);::: O /\ x-32:: O x::;; -2 /\ X 2:: -1 /\ X2::3

( r ~r~,~~1========z.>~~~~) -2 -1 o 3

Solucin 3: 0

4to caso - /\ - /\ -

4: x+2< O A (x+1) ::::;; O A x-3::;; O x::;; -2 A x::;; -1 A x::;;3

< < <

Solucin 4: (-oo, -2]

Sol Total:

S1US2US3US4

=[-1 ,3] U0U0U(-oo, -2]

/ll0//4 r -2 -1 o

T 3

17-

=[-1,3) U(-oo , -2] =(-oo , -2] U[-1 ,3]

<

Segundo Proceso: ARCOS

(x-3)(x+2)(x+1) :::; O +

+ +

+ +

-00 -2

+

ST: =(-oo , -2] U[-1,3]

r -2 -1 o

+

-1

5) Resolver la siguiente desigualdad x - 2 --> 2 x -3-

3

Primer Proceso: x * 3 no hay divisin para cero

T 3

+oo

+

Primer paso: Analizamos el denominador; adems se debe pasar todos los trminos que estn ala derecha y la desigualdad hacia la izquierda y dejar la derecha igualada a cero y finalmente operamos:

:. por los casos nos queda

x - 2 --- 2 > 0 x - 3 -

x - 2 - 2x + 6 ----- 2:: 0

x -3

- x +4 --- 2:: o x -3

- (x - 4) --- 2:: 0

x - 3

x- 4 < O x - 3 -

Anlisis:

x-4 :5 o

x-3

1) Casos 1: A~ V 2:/\: Caso 1:

x2:::4AX

:. ( x - 3)(x - 4) :::; o El cociente lo trasformamos en producto Analizamos:

(X - 3)(x - 4) < 0 1)

2)

1:x -3>0 /\ x-4::::;0

x>3 /\ x:s;4

<

6 Solucin 1: (3,4] 2: X - 3 < /\ X - 4 2:

x2 x*3 3 - , X-

1: x-3

1: x4

<

6 r 3 4 2: X 2 (x _ 3)

x-3

= x-2 ~ 2x-6

=x~4

<

6 3 4 ST: (3,4)

6) Ecuaciones 13x+21=6 1: 3x+2=6 V 1: x=4/3 V

2: 3x+2=-6 2: x=-8/3

1 : Definicin de Modulo = IXI= { x ~ x ? 00 -x ~x<

:. l3X+2I= { X~ (3x + 2) ? 0 ~X~ -2/ 3 -X ~ (3x + 2) < 0 ~ X < -2/ 3

Solucin Total= S 1 U S2 Solucin Total: {- i, ~}

7) 13X-41=6 Paso 1 : Aplicando la definicin del modulo

13X_41={ 3x- 4 H 3x - 4 ? O ~ x ? 4/ 3 - (3x - 4) H 3x - 4 < O ~ x < 4 /3

Paso 2: Anlisis de los intervalos

4/3

)

)

21

22

1: X< 4/3 J\ - (3x-4)=6

/\ -3x +4 = 6

-3x=2

X= -2/3

(

-4/5

Solucin 1: {-213} 2: X? 4/3 J\ 3x-4=6

x= 10/3

Solucin 2: {10/3} Paso 3: Solucin total

ST= S1US2

ST= {-2/3, 10/3}

Paso 4: comprobacin

Con -2/3

l3x-41= 6

13(-2/3)-41=1-61= 6

Con 10 /3

13-(1 0/3)1= 161=6

8) 12x-51+12= O

o

1 r o 4/3

4/3 10/3

El modulo nunca es negativo

9) lx-3 l= lx+21

Paso 1 : Aplicando la definicin del modulo

)

IX-3l = { X - 3 H X - 3 ? ~ X ? 3 - (x - 3) H X - 3 < ~ X < 3

IX+2 I= { X+ 2 H X+ 2 ? ~X ? -2 - (X + 2) H X + 2 < ~ X < -2

Paso 2: Anlisis de los intervalos

-00 -2 3

1: x

Paso 4: comprobacin

lx-31=1x+21

11/2 - 3 =11/2+21

1-5/21=15/21

5/2= 5/2 correcto.

10) 13x-21

.

DESIGUALDADES CON DOS VARIABLES (en el plano) Desigualdades lineales:

y < ax + bJ D ld d + b es1gua a es estrictas y> ax

y :::; ax + b} D . Id d . > + b es1gua a es no estrictas y_ ax

Desigualdades cuadrticas:

y :::; ax2 + bx + e } D . Id d . 2 es1gua a es estrictas y> ax + bx +e

y :::; ax + b} D Id d > + b es1gua a es no estnctas y_ ax

1) Desigualdades lineales:

. .; f o 8 1

=

y= ax+ b

y < ax+ b S.I ~

10

/

/, y= ax+b /

/

/

S - Y> ax+b /' .S , /

/

/ /

o /

..

-------------'--....._ ' ;

S.J

-- -----~--- --"-~-----~ ... --.. ---- ---~-

2. Desigualdades Cuadrticas

S.I

y

..

y< ax+ b

,I y= 4x2+bx+c

l" ,I

-S _L J_ ' 1

1 ato

1 . J

- t- .

y~ Ax2+Bx+C

(-b/2a: -b2 +4acl 4a)

Simultaneas

'i 1

'1 ~ ,j ' \ t / S.S

.' ! !

1 '. , - ~- \

,;I .1 '\ ' - ~--1 -~

J

Para obtener los puntos A y B resolvemos la ecuacin: ax+b= Ax?+ Bx + C Ejemplos:

1) Trace la grfica de x Si x-y+3>0 X+3> y y0

; (x-hl1+(y-k)2=r1

. . '

!

. ' .

(O, O)= (O)-(o)+3>0 (-2, O)= (-2)-(0)+3>0

(O, 4)= (0)-(4}+3>0

~ 3>0 Verdadero

~ 1 >O Verdadero

~ -1>0 Falso

2) Dibuje la region definido por 2x+y

30

X y X y o o o 5 1 1 4 4 B=(0,5)

C=(4,4)

Grafica:

Obtencion de A

8X+ l 8 --= x

3 y = -3

5x+15=0

X=-3

A(-3,3)

4) Determine la regin definido por: a. y"22'2-8x+5 Parbola b. 6x+ 7y-25

.. .

'

...

Vrtice

-b b2 + 4ac V= (2a , - 4a )

8 64 + 4.2.5 V = (2.2' - 4.2 ) V = (2, -13)

Cortes con el eje x: 2x2-8x+5=0

- b --/b2 - 4ac x=-----2a

Grfica:

Obtencin de A y B

2x2-8x+5 -6x+2s 7

14x2-56x+35+6x-25=0

8 --/64 - 4.2.5 x=-----

4

- 5

42V6 x=---2

x1 == 2 + V6

x1==2 -v-6

1 1 l

J

-10~

- 15

l I I 'oi ~.- 1 3

31

15

31

32

14x2-5ox+ 1 O=O

X1 = 3.358

X2= 0.2126

A= (3,35; 0, 7) Ejercicios:

y=0.7

y2= 3.41

X= 5o "502-4(14)(10) X= 5o 2.,/485 2(14) 28

y B= (0.21 ; 3,41)

1) Se dispone de un cierto nmero de monedas si se hace montones de 7 N u se completa 8; y si se hace montones de 6 se completa 9 y queda un

sobrante Cul es el nmero de monedas?

Solucin:

X # de monedas

x/7 54

54143 2) X-17

2x-34

34

Despejando

3x-2 < 1

3 X < 1 + 2

3 X < 3

3 x 4

x+1 > 4 . 2

X+ 1 > 8

X > 8 - 1

X > 7

2

34

Aplicando propiedades

3x-2 8

x+1+(-1) > 8+(-1) X> 7

. '

. .

Solucin: S = ( 7 , + oo)

Representacin grfica:

5 6 7 8 9 10 11

8) -2 X + 1 ~ X - 3

Despejando Aplicando propiedades - 2 X + 1 S X - 3 -2 X + 1 S X - 3

- 2 X - X S - 3 - 1 -2 X + 1 + (-X ) ~ X - 3 + (-X )

-3x s -4 [-2x+(-x)]+ 1 ~ [x+{-x)]-3

4

Solucin: S = [ 3 , + oo )

Representacin grfica:

-1

9)

o 1 .! 2 3

X - 4 : (- 3) -3 X + [ 1 + (-1 ) ] S - 3 + (-1 } 4 -3 X S - 4 -

X 3

3

35

1 1 - -

- 3 . (-3) X z - 3 . (-4) 4

X z 3

3

2x-5 -- -3-3x 3x < -3 -2 3x > -5

5 X>--3

4

Segundo caso -3-3x -7 -3 + 7 3x

4 x;5;-

3

3x ;5; 4

36

S 1 . ' ( 5 4] ouc1on: 3,3

7 l-4x 3 ->-->-

12) 2 5 2

4 3

Multiplicando por el m.c.m. = 10

35>2(1-4x)>15 35 > 2-8x >15 Primer caso 35 > 2-8x 8x > 2-35 8x > -33 x>-li 8

Solucin: ( ~3 , -~)

13>14x+sl =is

Segundo caso 2-8x > 15 2 - 15 > 8x 8x

La solucin es: x =-5

14) 1 x - 4J =l 5- 2x l

Dividiendo entre l 5 - 2x J

1 x -4 1 l 5-2x = 1 Primer caso x -4 --=1 5-2x x -4 = 5-2x x+2x = 5+4 3x =9 X - .2. - 3

x=3

Solucin: x = 1 y x = 3

y x =1 2

Segundo caso x-4 --=-1 5-2x x-4=-(5-2x) x -4=-5+2x x - 2x = -5 +4 - x =-1 x = l

15) La compaa Davis fabrica un producto que tiene un precio unitario de venta de $20 y un costo unitario de $15. si los costos fijos son de $600.000, determine el nmero mnimo de unidades que deben ser vendidas para que la compaa tenga utilidades. X>120.000 UNIDADES

RESPUESTA: $ VENTA: 20 Unid. $COSTO: 600.000 X UNID. Que deben ser vendidas para generar utilidades:

20X-(15X + 600.000) >O 20-15X-600.000 >O 5X > 600000/5 X >120.000 DEBE DE SER VENDIDAS PARA GENERAR UTILIDADES

38

16)Para producir una unidad de producto nuevo, una compaa determina que el costo del material es de $250 y el de mano de obra de $4. El gasto general, sin importar el volumen de ventas, es de $5000. s el precio para un mayorista es de $7 40 por unidad, determine el nmero mnimo de unidades que debe ser vendido para que la compaa obtenga utilidades.

Solucin:

$COSTO: 250X+4X $ PRECIO: 7 40 X XUNID

740X- (254X+ 5000) >O 7 40X -254X - 5000 > O 486X > 5000 X> 5000/486 X > 10.28 UNIDADES MINIMAS PARA GENERAR UTILIDADES

39

33

001002003004005006007008009010011012013014015016017018019020021022023024025026027028029030031032033034035036037038039040