aula 13, cálculo vetorial e...

Aula 13, Cálculo Vetorial e Tensorial

PROF. ROLDÃO DA ROCHA

1UFABC

06 Maio 2020

PROF. ROLDÃO DA ROCHA 1UFABC

Sistemas de coordenadas

I Coordenadas cartesianas (x , y , z).

I Vetor posição r = x ı̂+ y ̂+ zk̂

I Vetores coordenados:

~ex ≡∂r∂x

= ı̂

~ey ≡∂r∂y

= ̂

~ez ≡∂r∂z

= k̂ .

I ı̂ · ̂ = 0 = ̂ · k̂ = ı̂ · k̂ .

~ex ≡∂r∂x

= ı̂

~ey ≡∂r∂y

= ̂

~ez ≡∂r∂z

= k̂ .

I ı̂ · ̂ = 0 = ̂ · k̂ = ı̂ · k̂ .

~ex ≡∂r∂x

= ı̂

~ey ≡∂r∂y

= ̂

~ez ≡∂r∂z

= k̂ .

I ı̂ · ̂ = 0 = ̂ · k̂ = ı̂ · k̂ .

~ex ≡∂r∂x

= ı̂

~ey ≡∂r∂y

= ̂

~ez ≡∂r∂z

= k̂ .

I ı̂ · ̂ = 0 = ̂ · k̂ = ı̂ · k̂ .

Coordenadas curvilíneas

I Motivação: calcular gradiente, rotacional e divergente em coordenadascurvilíneas.

I Resolva a equação de Navier-Stokes,

−∇× (v× (∇× v)) =η

ρ0∇2(∇× v),

fluido viscoso, laminar, longitudinal, em um tubo cilíndrico de raio R. Avelocidade do escoamento é v = v(ρ) k̂ . Aqui η denota a viscosidade do fluido eρ0 sua densidade.

A velocidade do escoamento é dada por v(0) = vm k̂ e v(R) = ~0.

Coordenadas curvilíneas

I Motivação: calcular gradiente, rotacional e divergente em coordenadascurvilíneas.

I Resolva a equação de Navier-Stokes,

−∇× (v× (∇× v)) =η

ρ0∇2(∇× v),

fluido viscoso, laminar, longitudinal, em um tubo cilíndrico de raio R. Avelocidade do escoamento é v = v(ρ) k̂ . Aqui η denota a viscosidade do fluido eρ0 sua densidade.

A velocidade do escoamento é dada por v(0) = vm k̂ e v(R) = ~0.

PROF. ROLDÃO DA ROCHA 1UFABCCoordenadas cilíndricas

I θ: ângulo equatorial; r : raio, z: altura.

x = r cos θy = r sin θz = z

z ∈ (−∞,∞), r ∈ [0,∞), θ ∈ [0, 2π].

Coordenadas cilíndricas (r , θ, z)

I Vetor posição r = r cos θı̂+ r sin θ̂+ zk̂ . Vetores coordenados:

~er ≡∂r∂r

= cos θı̂+ sin θ̂ ⇒ ‖~er‖ = 1

~eθ ≡∂r∂θ

= −r sin θı̂+ r cos θ̂ ⇒ ‖~eθ‖ = r comentar: SI

~ez ≡∂r∂z

= k̂ ⇒ ‖~ez‖ = 1.

I Portanto, versores coordenados:

êr =~er‖~er‖

= cos θı̂+ sin θ̂ ≡ r̂

êθ =~eθ‖~eθ‖

= − sin θı̂+ cos θ̂ ≡ θ̂

êz = k̂

I Vetor posição r = r cos θı̂+ r sin θ̂+ zk̂ . Vetores coordenados:

~er ≡∂r∂r

= cos θı̂+ sin θ̂ ⇒ ‖~er‖ = 1

~eθ ≡∂r∂θ

= −r sin θı̂+ r cos θ̂ ⇒ ‖~eθ‖ = r comentar: SI

~ez ≡∂r∂z

= k̂ ⇒ ‖~ez‖ = 1.

I Portanto, versores coordenados:

êr =~er‖~er‖

êz = k̂

I Versores coordenados:

êr =~er‖~er‖

êz = k̂

I Relação entre versores cartesianos e cilíndricos:

r̂ = cos θı̂+ sin θ̂

θ̂ = − sin θı̂+ cos θ̂k̂ = k̂

I Sem redundâncias,

r̂ = cos θı̂+ sin θ̂ (1)

θ̂ = − sin θı̂+ cos θ̂ (2)

I Como expressar ı̂, ̂ em função de r̂ , θ̂?I Multiplique a Eq. (1) por sin θ e a Eq. (2) por cos θ:

θ̂ = − sin θı̂+ cos θ̂ (2)

Coordenadas cilíndricas

I

sin θr̂ = ��:

cos θ sin θı̂+ sin2 θ̂

cos θθ̂ = ��:− cos θ sin θı̂+ cos2 θ̂

I Somando as 2 equações, obtemos:

̂ = sin θr̂ + cos θθ̂.

I

sin θr̂ = ��:

cos θ sin θı̂+ sin2 θ̂

cos θθ̂ = ��:− cos θ sin θı̂+ cos2 θ̂

̂ = sin θr̂ + cos θθ̂.

I Agora, retorne ao sistema inicial:

θ̂ = − sin θı̂+ cos θ̂

I Multiplique a 1a. equação por cos θ e a 2a. equação por (− sin θ):I

cos θr̂ = cos2 θı̂+��:

cos θ sin θ̂

− sin θθ̂ = sin2 θı̂��:− sin θ cos θ̂

ı̂ = cos θr̂ − sin θθ̂.

cos θ sin θ̂

I Portanto, os versores coordenados se relacionam por

e

ı̂ = cos θr̂ − sin θθ̂̂ = sin θr̂ + cos θθ̂.

I Isso é já suficiente para calcularmos o gradiente em coordenadas cilíndricas.I Dado um campo escalar f : U ⊂ R3 → R, o gradiente é dado por

∇f =∂f∂xı̂+

∂f∂ŷ+

∂f∂z

k̂ .

I Operador gradiente: ∇ = ı̂∂

∂x+ ̂

∂

∂y+ k̂

∂

∂z. Como fica em coordenadas

cilíndricas?

e

∇f =∂f∂xı̂+

∂f∂ŷ+

∂f∂z

k̂ .

∂x+ ̂

∂

∂y+ k̂

∂

cilíndricas?

e

∇f =∂f∂xı̂+

∂f∂ŷ+

∂f∂z

k̂ .

∂x+ ̂

∂

∂y+ k̂

∂

cilíndricas?

e

∇f =∂f∂xı̂+

∂f∂ŷ+

∂f∂z

k̂ .

∂x+ ̂

∂

∂y+ k̂

∂

cilíndricas?

I

{x = r cos θy = r sin θ

I ⇒{

r =√

x2 + y2

θ = arctan( y

x

)I Operador gradiente:

∇ = ı̂∂

∂x+ ̂

∂

∂y+ k̂

∂

∂z

= (cos θr̂ − sin θθ̂)(∂r∂x

∂

∂r+∂θ

∂x∂

∂θ

)+ (sin θr̂ + cos θθ̂)

(∂r∂y

∂

∂r+∂θ

∂y∂

∂θ

)+k̂

∂

∂z

I Calcular: ∂r∂x ,

∂r∂y ,

∂θ∂x ,

∂θ∂y , em coordenadas cilíndricas.

I

I ⇒{

r =√

x2 + y2

θ = arctan( y

x

∇ = ı̂∂

∂x+ ̂

∂

∂y+ k̂

∂

∂z

∂

∂r+∂θ

∂x∂

∂θ

(∂r∂y

∂

∂r+∂θ

∂y∂

∂θ

)+k̂

∂

∂z

∂r∂y ,

∂θ∂x ,

I

I ⇒{

r =√

x2 + y2

θ = arctan( y

x

∇ = ı̂∂

∂x+ ̂

∂

∂y+ k̂

∂

∂z

∂

∂r+∂θ

∂x∂

∂θ

(∂r∂y

∂

∂r+∂θ

∂y∂

∂θ

)+k̂

∂

∂z

∂r∂y ,

∂θ∂x ,

I

{r =

√x2 + y2

θ = arctan( y

x

)I

∂r∂x

=∂√

x2 + y2

∂x=

2x

2√

x2 + y2=

xr=

r cos θr

= cos θ

∂r∂y

=∂√

x2 + y2

∂y=

2y

2√

x2 + y2=

yr=

r sin θr

= sin θ

∂θ

∂x=

∂ arctan( y

x

)∂x

=1

1 +( y

x

)2 (−yx2)

= −y

x2 + y2= −

r sin θr2

= −sin θ

r

∂θ

∂y=

∂ arctan( y

x

)∂y

=1

1 +( y

x

)2 ( 1x)

=x

x2 + y2=

r cos θr2

= −cos θ

r

I

{r =

√x2 + y2

θ = arctan( y

x

)I

∂r∂x

=∂√

x2 + y2

∂x=

2x

2√

x2 + y2=

xr=

r cos θr

= cos θ

∂r∂y

=∂√

x2 + y2

∂y=

2y

2√

x2 + y2=

yr=

r sin θr

= sin θ

∂θ

∂x=

∂ arctan( y

x

)∂x

=1

1 +( y

x

)2 (−yx2)

= −y

x2 + y2= −

r sin θr2

= −sin θ

r

∂θ

∂y=

∂ arctan( y

x

)∂y

=1

1 +( y

x

)2 ( 1x)

=x

x2 + y2=

r cos θr2

= −cos θ

r

I Operador gradiente:

∇ = ı̂∂

∂x+ ̂

∂

∂y+ k̂

∂

∂z

= (cos θr̂ − sin θθ̂)

cos θ︷︸︸︷∂r∂x

∂

∂r+

− sin θr︷︸︸︷∂θ

∂x∂

∂θ

+ (sin θr̂ + cos θθ̂)

sin θ︷︸︸︷∂r∂y

∂

∂r+

cos θr︷︸︸︷∂θ

∂y∂

∂θ

+k̂

∂

∂z

= (cos2 θ + sin2 θ)r̂∂

∂r+

1r(cos2 θ + sin2 θ)

∂

∂θ+ k̂

∂

∂z

= r̂∂

∂r+ θ̂

1r∂

∂θ+ k̂

∂

∂z.

∴ ∇f =∂f∂r

r̂ +1r∂f∂θθ̂ +

∂f∂z

k̂

I Operador gradiente em coordenadas cilíndricas:

∇f =∂f∂r

r̂ +1r∂f∂θθ̂ +

∂f∂z

k̂

I Exemplo f (r , θ, z) = r2 + r2θ2 + z2.I

⇒ ∇f = (2r + 2rθ2)r̂ +2r2θ

rθ̂ + 2zk̂

= (2r + 2rθ2)r̂ + 2rθθ̂ + 2zk̂ .

∇f =∂f∂r

r̂ +1r∂f∂θθ̂ +

∂f∂z

k̂

⇒ ∇f = (2r + 2rθ2)r̂ +2r2θ

rθ̂ + 2zk̂

= (2r + 2rθ2)r̂ + 2rθθ̂ + 2zk̂ .

∇f =∂f∂r

r̂ +1r∂f∂θθ̂ +

∂f∂z

k̂

⇒ ∇f = (2r + 2rθ2)r̂ +2r2θ

rθ̂ + 2zk̂

= (2r + 2rθ2)r̂ + 2rθθ̂ + 2zk̂ .

Coordenadas curvilíneas arbitrárias (u1, u2, u3)

I

x = x(u1, u2, u3)y = y(u1, u2, u3)z = z(u1, u2, u3)

I Exemplo (coordenadas esféricas): u1 = r , u2 = θ, u3 = φ.x = r sin θ cosφy = r sin θ sinφz = r cos θ

, r ∈ [0,∞), θ ∈ [0, π], φ ∈ [0, 2π].

I

x = x(u1, u2, u3)y = y(u1, u2, u3)z = z(u1, u2, u3)

I Exemplo (coordenadas esféricas): u1 = r , u2 = θ, u3 = φ.x = r sin θ cosφy = r sin θ sinφz = r cos θ

, r ∈ [0,∞), θ ∈ [0, π], φ ∈ [0, 2π].

~e1 =∂r∂u1

, ~e2 =∂r∂u2

, ~e3 =∂r∂u3

.

I Exemplo: coordenadas cilíndricas r = r cos θı̂+ r sin θ̂+ zk̂ . Vetorescoordenados:

~er =∂r∂r

= cos θı̂+ sin θ̂ ⇒ ‖~er‖ = 1

~eθ =∂r∂θ

= −r sin θı̂+ r cos θ̂ ⇒ ‖~eθ‖ = r

~ez =∂r∂z

= k̂ ⇒ ‖~ez‖ = 1.

I ~er · ~eθ = 0 = ~eθ · ~ez = ~er · ~ez

~e1 =∂r∂u1

, ~e2 =∂r∂u2

, ~e3 =∂r∂u3

.

~er =∂r∂r

= cos θı̂+ sin θ̂ ⇒ ‖~er‖ = 1

~eθ =∂r∂θ

~ez =∂r∂z

= k̂ ⇒ ‖~ez‖ = 1.

I ~er · ~eθ = 0 = ~eθ · ~ez = ~er · ~ez

~e1 =∂r∂u1

, ~e2 =∂r∂u2

, ~e3 =∂r∂u3

.

~er =∂r∂r

= cos θı̂+ sin θ̂ ⇒ ‖~er‖ = 1

~eθ =∂r∂θ

~ez =∂r∂z

= k̂ ⇒ ‖~ez‖ = 1.

I ~er · ~eθ = 0 = ~eθ · ~ez = ~er · ~ez

Superfícies de parâmetros constantes

PROF. ROLDÃO DA ROCHA 1UFABCI Exemplo (coordenadas esféricas): u1 = r , u2 = θ, u3 = φ.

Vetor posição : r = r sin θ cosφı̂+ r sin θ sinφ̂+ r cos θk̂

~er =∂r∂r

= sin θ cosφı̂+ sin θ sinφ̂+ cos θk̂(= r̂ =

rr

)~eθ =

∂r∂θ

= r cos θ cosφı̂+ r cos θ sinφ̂− r sin θk̂

~eφ =∂r∂φ

= −r sin θ sinφı̂+ r sin θ cosφ̂.

~er · ~eθ = 0 = ~eθ · ~eφ = ~er · ~eφ.

I

~er =∂r∂r

rr

)~eθ =

∂r∂θ

~eφ =∂r∂φ

~er · ~eθ = 0 = ~eθ · ~eφ = ~er · ~eφ.

I

~er =∂r∂r

rr

)~eθ =

∂r∂θ

~eφ =∂r∂φ

~er · ~eθ = 0 = ~eθ · ~eφ = ~er · ~eφ.

I

~e1 =∂r∂u1

, ~e2 =∂r∂u2

, ~e3 =∂r∂u3

.

I Definição (fatores de escala).

h1 = ‖~e1‖ =∥∥∥ ∂r∂u1

∥∥∥h2 = ‖~e2‖ =

∥∥∥ ∂r∂u2

∥∥∥h3 = ‖~e3‖ =

∥∥∥ ∂r∂u3

∥∥∥

~e1 =∂r∂u1

, ~e2 =∂r∂u2

, ~e3 =∂r∂u3

.

I Definição (fatores de escala).

h1 = ‖~e1‖ =∥∥∥ ∂r∂u1

∥∥∥h2 = ‖~e2‖ =

∥∥∥ ∂r∂u2

∥∥∥h3 = ‖~e3‖ =

∥∥∥ ∂r∂u3

∥∥∥

Coordenadas cartesianas (u1 = x , u2 = y , u3 = z)

I r = x ı̂+ y ̂+ zk̂ . Vetores coordenados:

~e1 =∂r∂u1

=∂r∂x

= ı̂

~e2 =∂r∂u2

=∂r∂y

= ̂

~e3 =∂r∂u3

=∂r∂z

= k̂

I Fatores de escala.

h1 = ‖ı̂‖ = 1h2 = ‖̂‖ = 1

h3 = ‖k̂‖ = 1

Coordenadas cartesianas (u1 = x , u2 = y , u3 = z)

I r = x ı̂+ y ̂+ zk̂ . Vetores coordenados:

~e1 =∂r∂u1

=∂r∂x

= ı̂

~e2 =∂r∂u2

=∂r∂y

= ̂

~e3 =∂r∂u3

=∂r∂z

= k̂

h1 = ‖ı̂‖ = 1h2 = ‖̂‖ = 1

h3 = ‖k̂‖ = 1

~e1 = ~er =∂r∂r

= cos θı̂+ sin θ̂ ⇒ ‖~er‖ = 1

~e2 = ~eθ =∂r∂θ

~e3 =∂r∂z

= k̂ ⇒ ‖~ez‖ = 1.

I Fatores de escala:

hr = h1 = ‖~e1‖ = 1hθ = h2 = ‖~e2‖ = rhz = h3 = ‖~e3‖ = 1.

~e1 = ~er =∂r∂r

= cos θı̂+ sin θ̂ ⇒ ‖~er‖ = 1

~e2 = ~eθ =∂r∂θ

~e3 =∂r∂z

= k̂ ⇒ ‖~ez‖ = 1.

hr = h1 = ‖~e1‖ = 1hθ = h2 = ‖~e2‖ = rhz = h3 = ‖~e3‖ = 1.

I Exemplo (coordenadas esféricas). Vetores coordenados:

~e1 = ~er =∂r∂r

= sin θ cosφı̂+ sin θ sinφ̂+ cos θk̂ = r̂

~e2 = ~eθ =∂r∂θ

~e3 = ~eφ =∂r∂φ

hr = h1 = ‖~e1‖ = 1

hθ = h2 = ‖~e2‖ =√

r2 cos2 θ cos2 φ+ r2 cos2 θ sin2 φ+ r2 sin2 θ = r

hφ = h3 = ‖~e3‖ = r sin θ.

I Exemplo (coordenadas esféricas). Vetores coordenados:

~e1 = ~er =∂r∂r

= sin θ cosφı̂+ sin θ sinφ̂+ cos θk̂ = r̂

~e2 = ~eθ =∂r∂θ

~e3 = ~eφ =∂r∂φ

hr = h1 = ‖~e1‖ = 1

hθ = h2 = ‖~e2‖ =√

r2 cos2 θ cos2 φ+ r2 cos2 θ sin2 φ+ r2 sin2 θ = r

hφ = h3 = ‖~e3‖ = r sin θ.

PROF. ROLDÃO DA ROCHA 1UFABCCoordenadas curvilíneas arbitrárias (u1, u2, u3)

I Seja r = r(u1, u2, u3) o vetor posição. O diferencial do vetor posição dr édefinido por

dr =∂r∂u1

du1 +∂r∂u2

du2 +∂r∂u3

du3

= h1du1~e1h1

+ h2du2~e2h2

+ h3du3~e3h3

= h1du1ê1 + h2du2ê2 + h3du3ê3.

I Exemplo: coordenadas cartesianas (u1 = x , u2 = y , u3 = z). Vetor posiçãor = x ı̂+ y ̂+ zk̂

I

dr =∂r∂x

dx +∂r∂y

dy +∂r∂z

dz

= dx ı̂+ dy ̂+ dzk̂ .

I Elemento de linha (ao quadrado):

ds2 = dr · dr = (dx ı̂+ dy ̂+ dzk̂) · (dx ı̂+ dy ̂+ dzk̂)= dx2 + dy2 + dz2. teorema de Pitágoras

dr =∂r∂u1

du1 +∂r∂u2

du2 +∂r∂u3

du3

= h1du1~e1h1

+ h2du2~e2h2

+ h3du3~e3h3

= h1du1ê1 + h2du2ê2 + h3du3ê3.

I

dr =∂r∂x

dx +∂r∂y

dy +∂r∂z

dz

= dx ı̂+ dy ̂+ dzk̂ .

dr =∂r∂u1

du1 +∂r∂u2

du2 +∂r∂u3

du3

= h1du1~e1h1

+ h2du2~e2h2

+ h3du3~e3h3

= h1du1ê1 + h2du2ê2 + h3du3ê3.

I

dr =∂r∂x

dx +∂r∂y

dy +∂r∂z

dz

= dx ı̂+ dy ̂+ dzk̂ .

dr =∂r∂u1

du1 +∂r∂u2

du2 +∂r∂u3

du3

= h1du1~e1h1

+ h2du2~e2h2

+ h3du3~e3h3

= h1du1ê1 + h2du2ê2 + h3du3ê3.

I

dr =∂r∂x

dx +∂r∂y

dy +∂r∂z

dz

= dx ı̂+ dy ̂+ dzk̂ .

I Exemplo: coordenadas cilíndricas u1 = r , u2 = θ, u3 = z.I Diferencial do vetor posição

dr =∂r∂u1

du1 +∂r∂u2

du2 +∂r∂u3

du3 = h1du1ê1 + h2du2ê2 + h3du3ê3.

I Já calculamos os fatores de escala: hr = h1 = ‖e1‖ = 1, hθ = h2 = ‖~e2‖ = r ehz = h3 = ‖e3‖ = 1.

I Portanto,

dr = dr

r̂︷︸︸︷êr +rdθ

θ̂︷︸︸︷êθ +dz

k̂︷︸︸︷êz

= dr r̂ + rdθθ̂ + dzk̂ .

dr =∂r∂u1

du1 +∂r∂u2

du2 +∂r∂u3

du3 = h1du1ê1 + h2du2ê2 + h3du3ê3.

I Portanto,

dr = dr

θ̂︷︸︸︷êθ +dz

k̂︷︸︸︷êz

dr =∂r∂u1

du1 +∂r∂u2

du2 +∂r∂u3

du3 = h1du1ê1 + h2du2ê2 + h3du3ê3.

I Portanto,

dr = dr

θ̂︷︸︸︷êθ +dz

k̂︷︸︸︷êz

I Exemplo: coordenadas cilíndricas u1 = r , u2 = θ, u3 = z.I

dr = dr

θ̂︷︸︸︷êθ +dz

k̂︷︸︸︷êz

ds2 = dr · dr = (dr r̂ + rdθθ̂ + dzk̂) · (dr r̂ + rdθθ̂ + dzk̂)= dr2 + r2dθ2 + dz2.

dr = dr

θ̂︷︸︸︷êθ +dz

k̂︷︸︸︷êz

dr = dr

θ̂︷︸︸︷êθ +dz

k̂︷︸︸︷êz

I Exemplo: coordenadas esféricas u1 = r , u2 = θ, u3 = φ.I diferencial do vetor posição

dr =∂r∂u1

du1 +∂r∂u2

du2 +∂r∂u3

du3

= h1du1ê1 + h2du2ê2 + h3du3ê3.

I Já calculamos os fatores de escala: hr = h1 = ‖e1‖ = 1, hθ = h2 = ‖~e2‖ = r ehφ = h3 = ‖e3‖ = r sin θ.

I Portanto,

dr = dr

θ̂︷︸︸︷êθ +r sin θdφ

φ̂︷︸︸︷êφ

= dr r̂ + rdθθ̂ + r sin θdφφ̂.

ds2 = (dr r̂ + rdθθ̂ + r sin θdφ φ̂) · (dr r̂ + rdθθ̂ + r sin θdφ φ̂)= dr2 + r2dθ2 + r2 sin2 θdφ2. análogo do teorema de Pitágoras

dr =∂r∂u1

du1 +∂r∂u2

du2 +∂r∂u3

du3

= h1du1ê1 + h2du2ê2 + h3du3ê3.

I Portanto,

dr = dr

φ̂︷︸︸︷êφ

dr =∂r∂u1

du1 +∂r∂u2

du2 +∂r∂u3

du3

= h1du1ê1 + h2du2ê2 + h3du3ê3.

I Portanto,

dr = dr

φ̂︷︸︸︷êφ

dr =∂r∂u1

du1 +∂r∂u2

du2 +∂r∂u3

du3

= h1du1ê1 + h2du2ê2 + h3du3ê3.

I Portanto,

dr = dr

φ̂︷︸︸︷êφ

Coordenadas arbitrárias (u1, u2, u3)

I Elemento de volume, definição:

dV =

Jacobiano︷︸︸︷h1h2h3 du1du2du3

I Exemplo: coordenadas cartesianas (u1 = x , u2 = y , u3 = z). Já calculamos queos fatores de escala são

h1 = 1 = h2 = h3

I Portanto dV = dxdydz .

dV =

h1 = 1 = h2 = h3

dV =

h1 = 1 = h2 = h3

dV = h1h2h3du1du2du3

I Exemplo: coordenadas cilíndricas (u1 = r , u2 = θ, u3 = z). Já calculamos queos fatores de escala são

h1 = 1, h2 = r , h3 = 1

I Portanto dV = rdrdθdz .

h1 = 1, h2 = r , h3 = 1

I Exemplo: coordenadas esféricas (u1 = r , u2 = θ, u3 = φ). Já calculamos que osfatores de escala são

h1 = 1, h2 = r , h3 = r sin θ

I Portanto dV = r2 sin θdrdθdφ .

h1 = 1, h2 = r , h3 = r sin θ

Casos particulares

I Plano xy : coordenadas cartesianas (u1 = x , u2)I r = x ı̂+ y ̂. Vetores coordenados:

~e1 =∂r∂u1

=∂r∂x

= ı̂

~e2 =∂r∂u2

=∂r∂y

= ̂

h1 = ‖ı̂‖ = 1h2 = ‖̂‖ = 1

I Elemento de área: dA = dxdy .

Casos particulares

~e1 =∂r∂u1

=∂r∂x

= ı̂

~e2 =∂r∂u2

=∂r∂y

= ̂

h1 = ‖ı̂‖ = 1h2 = ‖̂‖ = 1

Casos particulares

~e1 =∂r∂u1

=∂r∂x

= ı̂

~e2 =∂r∂u2

=∂r∂y

= ̂

h1 = ‖ı̂‖ = 1h2 = ‖̂‖ = 1

Casos particulares

~e1 =∂r∂u1

=∂r∂x

= ı̂

~e2 =∂r∂u2

=∂r∂y

= ̂

h1 = ‖ı̂‖ = 1h2 = ‖̂‖ = 1

Coordenadas curvilíneas (u1, u2)

I Coordenadas polares r = r cos θı̂+ r sin θ̂ . Vetores coordenados:

~e1 = ~er =∂r∂r

= cos θı̂+ sin θ̂ ⇒ ‖~er‖ = 1

~e2 = ~eθ =∂r∂θ

hr = h1 = ‖~e1‖ = 1hθ = h2 = ‖~e2‖ = r

I Elemento de área: dA = rdrdθ.

~e1 = ~er =∂r∂r

= cos θı̂+ sin θ̂ ⇒ ‖~er‖ = 1

~e2 = ~eθ =∂r∂θ

hr = h1 = ‖~e1‖ = 1hθ = h2 = ‖~e2‖ = r

~e1 = ~er =∂r∂r

= cos θı̂+ sin θ̂ ⇒ ‖~er‖ = 1

~e2 = ~eθ =∂r∂θ

hr = h1 = ‖~e1‖ = 1hθ = h2 = ‖~e2‖ = r

I Mais geralmente, elemento de área: dA = h1h2du1du2.

aula 13, cálculo vetorial e...

Documents