REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DE EDUCACIÓN SUPERIOR

INSTITUTO UNIVERSITARIO EXPERIMENTAL DE TECNOLOGÍA DE LA VICTORIA

LA VICTORIA. ESTADO ARAGUA

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS

ÁLGEBRA ELEMENTAL CURSO PREPARATORIO

LUIS E. CAPACE P. OCTUBRE - 2006

Productos Notables: Vamos a familiarizarnos con algunos productos de polinomios que son de uso corriente. Ejemplo 1: Calculemos 2)2( +xPor definición de cuadrado de una expresión . Luego, )2)(2()2( 2 ++=+ xxx

2+x 2+x

xx 22 + 42 +x 442 ++ xx Por lo tanto ( ) 44)2)(2(2 22 ++=++=+ xxxxxEjemplo 2: Calculemos . Como ya sabemos, 2)5( +x

5+x 5+x

xx 52 + 255 +x 25102 ++ xxLuego, ( ) 2510)5)(5(5 22 ++=++=+ xxxxxEjemplo 3: Calculemos ahora, 2)( ax +

ax + ax +

axx +2

2aax + 22 2 aaxx ++

( ) 222 2 aaxxax ++=+Luego, Puedes observar que ( se calcula, de manera sencilla, sumando el cuadrado de con el doble producto de con el cuadrado de

)2ax + )( 2xx)2( axxa por )( 2aa

D C

a

x

ax a2

2

A B x a

x ax

1

El área del cuadrado ABCD se puede calcular de dos formas: El área del cuadrado ABCD es ( )2ax + El área del cuadrado ABCD es 2222 2 aaxxaaxaxx ++=+++Ejemplo 4: Calculemos ( )22 32 +x

Así = ( )22 32 +x 91243)2(3.2)2( 242222 ++=++ xxxxEjercicio : Desarrollar:

( ) ( ) ( )

( ) ( )24

2

2322

2

222223

222

252

31.7

31

27.4

3.332.21.1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++

+++

mnz

nmxx

xaxy

axxx

9. 43 8.

6. 5.

Analicemos ahora otra situación: Ejemplo 5: Calculemos ( 2ax − )

ax − ax −

axx −2

2aax +− 22 2 aaxx +−

( ) 222 2 aaxxax +−=+Por lo tanto, Puedes observar que ( se calcula, de manera sencilla así, cuadrado menos el doble producto de , más el cuadrado de

)2ax − x )( 2x )2( axxa por )( 2aa

D C x A B )( ax −El área del cuadrado ABCD se puede calcular de dos formas:

( )2ax − )( axa − 2a

El área del cuadrado ABCD = 2x El área del cuadrado ABCD = ( ) 22 )()( aaxaaxaax +−+−+− = ( ) 22 )(2 aaxaax +−+− = ( ) 222 22 aaaxax +−+− = ( ) 22 2 aaxax −+−

2

Por consiguiente, de lo que se deduce que ( ) 222 2 aaxaxx −+−= 222 2)( aaxxax +−=− Ejemplo 6: Calculemos

sí ( )23 23 −x

( ) ( ) ( )4129

232.232336

232323

+−=

+−=−

xxxxx

A Ejercicio 2: Calcula los siguientes productos:

( ) ( ) ( )

( ) ( )22

3

5323

2

222222

222

6.9

52.8

34

52.7

41

3.6.54.4

5332.25.1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−

−−−

amn

baxx

xaxx

axxx

.

Con el siguiente ejemplo, veamos otro caso. Ejemplo 7: Calculemos ( ) el calculo será como sigue: ( axax +− )

ax − ax −

axx −2

+ 2aax − 22 ax −

( )( ) 22 axaxax −=+−Por lo tanto Puedes observar que este tipo de producto se calcula de manera sencilla, como al cuadrado menos al cuadrado

x)( 2x a ( )2a .

Ejemplo 8 : Calculemos ( )( )3232 5353 yxyx +− ( )( ) ( ) ( )

64

23223232

259535353yxyxyxyx

−=

−=+−

Así Ejercicio 3: Calcula los siguientes productos:

( )( ) ( )( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+

cabcba

cabcbayxyxxx

pxpxxxyy

425

425333322

3232

.6532

532.5

51

23

51

23.4

.321

21.233.1

3

Con los siguientes ejemplos definamos el siguiente caso: Ejemplo 9: Calculemos: ( ) ( 43 ++ xx )

3+x 4+x

xx 32 + 124 −− x

( )( ) abbaxbxax +++=++ )(2

122 −− xxPor lo tanto ( )( ) 1243 2 −−=++ xxxx Ejemplo 10: Calculemos: ( )( )42 −− xxProcedemos así, 2−x

4−x xx 22 −

84 +− x 862 +− xx Por lo tanto ( )( ) 8642 2 +−=−− xxxx Ejemplo 11: Calculemos: ( )( bxax ++ )Procedemos así, ax +

bx + axx +2

+bx ab+ abxbax +++ )(2

Por consiguiente: De forma sencilla se puede calcular así: Al cuadrado de ( le sumamos el producto de por la suma de ( ) y el producto de ab .

x )2x xba + )( bax +

Ejercicio 3: Calcula los siguientes productos:

( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )(( )( )xx

nnmnnmxxxx

xxxxy

3732.7

52.652

321

3.53282.4

54.321.25.1

232333

22

+−+

+−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−

+++−−+

3y

)

4

Ejemplo 12: Calculemos ahora ( )3ax + Desarrollándolo de la siguiente manera:

( ) ( )( )( )( )

3223

322223

22

23

3322

2

axaaxxaxaaxxaaxx

aaxxaxaxaxax

+++=

+++++=

+++=

++=+

( ) 32233 33 axaaxxax +++=+ Así tenemos que

Ejemplo 13: Desarrollar ( )32 52 +xUtilizando la fórmula anterior se tiene:

( ) ( )( )

125150608125225.34.158

5)2(5.3)2(5.3252

246

246

322223232

+++=

+++=

+++=+

xxxxxx

xxxx

( ) 32233 33 axaaxxax −+−=− De igual forma

Ejemplo 14: Calcular 32

25

3 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

x

8125

425

65

27

8125

34253

9215

27

25

3253

3253

325

3

246

246

322223232

−+−=

−+−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

xxx

xxx

xxxx

Ejercicio 4: Calcula los siguientes productos:

( )3

235233

37

43.3.2

315.1 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ − nmabbax

Ejercicio 5: Desarrolla y reduce términos semejantes, si es el caso.

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) 2322322

555

32322

2.43135323.3

104922.255532.1

xyxyxyyy

nmnmxxxx

−+−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+−

++−−+−−+−

5

Factorización de polinomios: Es conocido por todos que la igualdad es simétrica, es decir, si x=y entonces y=x. También se cumple en los polinomios. Por ejemplo, como ( ) 442 22 ++=+ xxx , entonces

( )22 244 +=++ xxxLa propiedad simétrica se utilizará para estudiar un proceso llamado Factorización de polinomios y que está ligado al desarrollo de productos notables. Factorizar un polinomio consiste en expresarlo en un producto de dos o más polinomios. Previamente vamos a estudiar lo que es un Cuadrado Perfecto. Por ejemplo, 36 es cuadrado perfecto, ya que 36=62

41 es cuadrado perfecto, ya que

2

21

41

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

es cuadrado perfecto, ya que 4x ( )224 xx = 2x es cuadrado perfecto, ya que ( )22 xx =

69y es cuadrado perfecto, ya que ( )236 39 yy = no es cuadrado perfecto, ya que no existe una expresión tal que su cuadrado 3x sea . 3x Factorizar polinomios de la forma 22 2 aaxx ++ Ejemplo 1: Factorizar 92416 2 ++ xx Observa que:

es cuadrado perfecto, ya que 216x ( )22 416 xx = 9 es cuadrado perfecto, ya que 239 =

es igual a x24 ( )3.4.2 xVeamos el siguiente diagrama:

( ) ( ) 22

2

33.4.24

92416

xx

xx↓↑↓

++

Luego, , ya que, ( 22 3492416 +=++ xxx ) ( ) 9241693).4(21634 222 ++=++=+ xxxxx

( )222 2 axaaxx +=++Así Ejemplo 2: Factorizar 42025 24 ++ yy

6

Observa que:

)

( )222 2 axaaxx −=+−

Luego, ya que ( 2224 2542025 +=++ yyy ( ) 4202525 2422 ++=+ yyy De los ejemplos anteriores podemos deducir que para factorizar polinomios de la forma

se procede de la siguiente manera: 22 2 aaxx ++

1. Se verifica si dos términos son cuadrados perfectos. 2. Se verifica si el tercer término es igual al doble producto de las bases de los

Cuadrados perfectos.

3. Si se cumple lo anterior, es igual al cuadrado de la suma de las bases de los términos que son cuadrados perfectos.

Ejemplo 3: Factorizar 439 2 ++ xx Se observa que, Luego el polinomio no se puede factorizar como 439 2 ++ xx ( )223 +x Ejercicio 1: Factoriza, cuando sea posible, los siguientes polinomios

9124.91.81624641.6124.5100609.4

254016.3368449.212.1

35248

36263

84242

++++++

++++++

++++++

xxxxxx

yyxxmm

yyyyxx

7.

93

Factorizar polinomios de la forma 22 2 aaxx +− Ejemplo 4: Factorizar 14 + 20100 8 − yy

uObsérvese e q Luego, ( ) ( ) 120100110110120100 48242448 +−=−−=+− yyyyyy que ya

( )

( )2.5.22024

525

22

2

224

yy

yy

=

=

=

( )

( ) 122.32324

392

22

==

=

xx

xx

a diferente es

( )

1).10(2201110100

44

2

248

yy

yy

=

=

=

Así 7

Ejercicio 2: Factoriza, cuando sea posible, los siguientes polinomios

.

25589341.7

9124.6492816.5492

94.4

43681.381549.212.1

1224105

222424

105252

+−+−

+−+−+−

+−+−+−

yyxx

nmnmmmxx

yyxxxx

Factorizar polinomios de la forma 22 ax − Ejemplo 5: Factorizar 4981 4 −x En este caso, ( )81 = Luego, ( )( ) ( )( ) 49817979,79794981 422224 −=−+−+=− xxxxxx que ya

( )2224

749

9

=

xx

Ejemplo 6: Factorizar 2516

49 64 −yx

Se observa que,

2

3264

54

2516

43

49

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

=

yxyx

Luego, ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=−

54

32

54

32

2516

49 323264 yxyxyx , ya que

2516

49

54

32

54

32 643232 −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + yxyxyx

Ejercicio3: Factoriza, cuando sea posible, los siguientes polinomios

41.9259.81.7

49.69

164

.525.4

25436.325

912.28116.1

4

2672

12105

9

648

−−−

−−−

−−−

zbaxx

nnmyx

xxy

Factorizar polinomios de la forma dcxx ++2

Ejemplo 7: Factorizar 652 ++ xx

( )

3253.26

22

+===

xxObserva que

8

Luego, , ya que ( )( 32652 ++=++ xxxx ) ( )( ) ( ) 3.23232 2 +++=++ xxxx = 652 ++ xx Ejemplo 8: Factorizar 1032 −+ xxObserva que, ( )

253)2(510

22

−=−=−

=

xx Así ( )( 251032 −+=−+ xxxx ) Ejemplo 9: Factorizar 2811 24 +− xx ( )=x

)4(711)4)(7(28

224

−+−=−−−=

Observa que, Luego, =2811 24 +− xx ( )( )47 22 −− xx Ejemplo 10: Factorizar 1522 −− xx

x

xx ( )=

3523).5(15

22

+−=−−=−

Observa que, Luego, = ( ) 1522 −− xx ( 35 +− xx ) De los ejemplos anteriores podemos deducir que para factorizar polinomios de la forma

se procede de la siguiente manera: dcxx ++2

1. Se estudian las diferentes descomposiciones del término independiente en producto

de dos factores . ( )dqp =.2. Se escoge aquella descomposición en la cual la suma de los factores es el coeficiente

del término de x . ( )cqp =+3. Se expresa el polinomio en la forma factorizada ))(( qxpx ++ .

Ejercicio 4: Factoriza, cuando sea posible, los siguientes polinomios

94.8209.71.645.5352.4

6.32.22.1

22362

2242

222

+++−

++++−−

−−++−+

xyyxabbaxx xxxx

xxxxxx

9

Factor Común: Cuando un polinomio tiene un factor que es común a todos sus términos, se puede factorizar dividiendo cada término entre ese factor:

( )23233223243 8544322016 zzxyzyxzyxzyxzyx +−=+− De existir más de un factor común, se toma el mayor, es decir el M.C.D Ejercicio 5: Factorizar

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5498

23222

23

103525.952125298.7

.6.52.4

603612.3.2213.1

yxyyxbaxba.anmanm

yxyxnmnmxyyx

adabacaaaa

+−−+−−++

−−−++++

+−+−−

Ejercicio 6: Ejercicios Compuestos : Factorizar :

( ) ( ) ( ) ( )( )

8277.7694.6

12.512134

94.4

.396.22510.1

22222

222222222

322323423

−++−+−

−−−−+−+−−

+−−+−++

tpp--pttxyyax

yxxyxxnnnmm

bbaabaxxxxxx

Ahora comprueba q ue: ( )( )

( )( )2233

2233

yxyxyxyxyxyxyxyx

++−=−

+−+=+ Ejercicio 7: Utilizando las fórmulas anteriores factoriza:

( )( ) yxyxyxyxyx

yyxxy33334433

3333

.582.4

.327.28.1

+−−+−+−

++−+

Operaciones con fracciones algebraicas: Con igual denominador:

Ejemplo 1: ( ) ( ) ( )22

2

2

2

328

323

321

−−

−+

−−

xxx

xx

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) 3232

32)32)(32(

3294

32831

328

323

321

2

2

2

2

22

22

2

2

2

−+

=−

−+=

−−

=

−−+−

=−

−−

+−−

xx

xxx

xx

xxx

xxx

xx

10

Con diferente denominador:

Ejemplo 2: Efectúa: xxx 6

532

43

2 −+ como el m.c.m ( ) 22 126,3,4 xxxx =

Tenemos:

22

22

128

12108912

5)2(2)4(3)3(65

32

43

xx

xxxx

xxxxx

−=

−+=

−+=−+

Ejercicio 8: Halla la suma algebraica de las siguientes fracciones y simplifica si es el caso:

4551

1648

653.9

2.8

3964

33.7

41

53.65

26

.5

65.423.3

13

12

1.2431.1

222

22

22

2

2

333333

−+

−−

+−

−+

++−

+−

+−

+−+

−

−−

+−

++

−+

−−

−−

++

++

+++

xxxxx

yxyx

yxyxyx

yy

yyy

xxxxxx

rtx

rtx

rtx

xx

xx

xxx

xxx

Propiedades de la potenciación en R:

znmRba ∈∈ ,, y Para , se cumplen las siguientes propiedades: 1. Producto de potencias de igual base. mn aa = mna +

2. Cociente de potencias de igual base mn aaa =÷ mn 3. Potencia de una potencia

−

( ) mnmn aa .= 4. Potencia de un producto ( ) na nn bba =.

11

5. Potencia de un cociente

n

n

bb=⎟

⎠⎜⎝

naa ⎞⎛

Cuando el exponente es un entero negativo, se procede como sigue:

nn

aa 1

=−

Ejemplo 1: 811

313 4

4 ==−

Ejemplo 2 : 2764

34

43 33

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−

Ejercicio 9: Simplifica utilizando las propiedades:

( ) 253

3

5252

334

24235

21

43

234

21

43

.2]).()[(.1

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− −

−

ba

aba

Exponente fraccionario:

Si es un número real positivo y es un entero positivo, a n na1

denotará la raíz enésima de a ; esto es: También, se cumple nn aa =

1

( )43

123 12

53

52

51

325 32

71

7

331

)

.)

22)

55)

aaad

yxyxyxc

b

a

==

==

=

=

n mnm

aa = Ejemplos:

12

Radicación en R: Definición: abba nn =⇔=

27125

35

35

27125)

164416)3

3

2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⇔=

=⇔=

b

aEjemplos: Propiedades:

nnn baba .. =Raíz de un Producto:

Ejemplos: 5 35 45 34 ..)

323.43.4)

babab

a

=

==

Ejercicio 10: Completa las siguientes igualdades, aplicando la propiedad anterior:

=== 4 244 277 4333 ..).)4.6) xyxyyxcabbaba

n

nn

ba

ba=

Raíz de un cociente: Ejemplos: Ejercicio 11: Completa las siguientes igualdades, aplicando la propiedad anterior:

==

===

53

43

2

75

43

64

54

32)1)

))781)

xae

xad

ayxc

yxba

Raíz de una raíz:

5 2

5 35

2

3

3

3

33

)

37

277

277)

ba

bab

a

=

==

nmn m aa =

Ejemplos:

155 3

6 53 5

)

)

ababb

xxa

=

=

13

Ejercicio 12: Completa las siguientes igualdades, aplicando la propiedad anterior:

5 6104 3 23 ))12) badxba ==

( ) n pmm

n p aa =Potencia de una raíz: ( )

( ) 5 10155

5 23

7 67 3.22

7 3

)

222)

babab

a

=

==Ejemplos: Ejercicio 13: Completa las siguientes igualdades, aplicando la propiedad anterior

( ) ( ) ( ) ===4

5 323

4 55

5 2 32)2)) yxcabaa

Simplificación de radicales: Simplificar un radical consiste en obtener un radical equivalente, tal que la cantidad sub-radical no tenga denominador, ni exponentes mayores o iguales que el índice de la raíz. Ejemplos:

7 277

2

72

2

57

5

3 2522

3 156263 1578

3

333

33 3

3 33

1

)

)

53

5353

53135)

baaa

ba

aa

ab

abc

bacba

bcbaacbab

a

==

=

=

=

=

==

=

Ejercicio 14: Simplificar los siguientes radicales:

( )yxyxyxl

bayx

xyabk

baj

nmmni

yxabhag

cbafbmeyzpd

cbacba

+−

+)))

813

))1283

2)

)1283))

)96)108)

432

7526

8

5

32

493

25

5

5 40794 56185

7 2114124

14

Otro caso de simplificación es: Para simplificar 12 1563 cba se divide el índice de la raíz y los exponentes de la cantidad sub-radical por su máximo común divisor, como sigue:

4 2

4 52

312 315363312 1563 3)15,6,3,12(..

cabc

cab

dcmcbacba

=

=

==

Ejercicio 15: Simplifica los siguientes radicales:

8

1024

164

128

2

3

5 20156 1563

22))

32)2)

baabtddcba

abcdc

babcba

Observa los pasos a seguir en la simplificación de los siguientes radicales:

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) 1616166656)

27724914298282)

663612)

22

222

22

−+=−+=+++=−++

+=+=++=++

−=−=+−

xxxxxxxxxxc

xxxxxxb

xxxxa

Ejercicio 16: Resuelve en forma semejante a los ejemplos anteriores:

xxxdxxxc

xxbxxxa

228)44)

48243)36244)23345

2234

+−+−

+−+−

Introducción de factores en un radical: Dada la expresión 43 cab y se quiere introducir en el radical los factores y . a 3bPara tal fin se procede como sigue:

( ) 4 1244 43443 cbacbacab ==

Ejercicio 17: Introduce en el radical los factores para cada una de las siguientes expresiones:

( )

3423

523 22

32)))

33)3))

mmmfxxxexyzzyxd

xxcababbba

++

15

Radicales Semejantes: Dos o más radicales son Semejantes cuando tienen el mismo índice y la misma cantidad o expresión sub-radical. Ejemplos:

5 35 3 35334) aaa y son semejantes.

4 23 2 223) xyxyb y no son semejantes, tienen diferentes índices.

4 324 23 2325) babac y − no son semejantes, tienen diferentes expresiones sub-radicales. Veamos ahora que 3 453 2 813 baba y son semejantes, ya que al simplificar el radical 3 581 ba 4 se obtiene 3 baab 233 . Ejercicio 18: Determina cuáles de los siguientes grupos están formado por radicales semejantes.

3233

36 283 4

,32,

53)

5,,)

18,54,24)

72,50,18)

yxxyyxd

abababac

b

a

Reducción de Radicales Semejantes: Observa los siguientes ejemplos:

( ) 5 25 25 25 25 2 111818818) aaaaaa =+−=+−

( ) ( )

baaabaabaa

aa

abaa

abaaabaabaab

782091826

,

20712

20921862091826)

36 233

36 2

6 23

6 236 233

−=+−−+

=

+−−=

+−+−=+−−+

Así,

ciónsimplifica por pero

Ejercicio 19:

aaaad

c

b

aaaa

321)

232242332)

2427232804506)

75212711123)

4 2

33

−+−−

+−+−

++−

−+−

3 3

16

Multiplicación de Radicales de igual índice:

nnn abba = Ejemplo:

ando)(simplific

ndo)multiplica (

3 2

3 233

3 533 4

2

2

842

aa

aa

aaa

=

=

=

Ejercicio 20: Efectúa:

3 2433 23223

3 223 55 435 23

23224

43)43

435)

6122))

cbabcadbcacabc

bababbcbabaa

Amplificación de Radicales: Amplificar un radical consiste en obtener un radical equivalente de índice mayor. Para ello se multiplica el índice de la raíz y los exponentes de la expresión sub-radical dada, por un mismo número natural, mayor que 1. np mpn m aa = Ejemplos:

6 693.2 3.23.323

20 2510155.4 5.55.25.34 523

)

)

bababa

bcbacbacba

a

==

==

:radical siguiente el 3 por Amplificar

:radical siguiente el 5 por Amplificar

Multiplicación de Radicales de diferentes índices: Para multiplicar 46 23 2 ababba es necesario reducir los radicales dados a un índice común. Es conveniente reducir los radicales al menor de todos los posibles índices comunes. Al hacer esto estamos obteniendo el Mínimo Común Índice (M.C.I.) de los radicales dados. Para calcular el M.C.I. debemos obtener el mínimo común múltiplo de los índices de las raíces dadas. En nuestro caso son :3,4 y 6 tenemos entonces: m.c.m.(3,4 y 6)=12 por lo tanto el M.C.I.=12. Debemos ahora amplificar los radicales de manera que todos tengan el mismo índice 12. Esto es:

17

( ) ( ) ( )

12 11

12 1113

334248

3..4 32.6 224.3 4246 23 2

aba

ba

bababa

ababbaababba

=

=

=

=

121212

Ejercicio 21: Efectúa:

1510 345 3

8 324 32

123182)

333)

abbabbaab

bcabcbaa

División de Radicales de igual índice:

n

n

n

ba

ba=

Ejemplos: Aplicando la propiedad anterior dividir:

a) 442

23

4 2

4 23

xyyxyx

yx

yx==

b)

666

36

636

6312

22

2

aab

ba

bba

baba

===

=

Ejercicio 22: Efectúa:

( ) ( )( )

3

3 222

25

23

3

3

22525)

2045)

1

11)

9243)

abbabadc

x

xxba

3

+

++

División de Radicales de diferentes índices:

Para dividir abba5 43

es necesario reducir los radicales a un Mínimo Común Índice y luego se

procede igual a la división de radicales de igual índice. Esto es:

18

( )( )

10 31055

86

10 55

10 86

5.2 5

2.5 2435 43

abbaba

baba

ab

baabba

==

==

Ejercicio 23: Efectúa:

4

4 233 2

33 3

12 212 32

34 3

8

3 2

4 3

6 56 3

4

3

32)

9832)

))22)

yxyx

xyyxe

babaabad

mmnmnmc

xxxab

ababa

Racionalización de Denominadores:

Observa las siguientes expresiones: 52

3,,3

24 32 +

ba

a los denominadores de estas

fracciones son irracionales, ¿por qué? Al lograr obtener una expresiones equivalentes a las dadas, que no contengan radicales en el denominador, se dice que hemos racionalizado el denominador de esas expresiones, es decir las fracciones tienen un denominador racional.

Racionalizar: 3

2

Para tal fin se amplifica la fracción multiplicando por 3 , así:

( )

332

3

3233

323

22

=

==

Racionalizar: 4 32ba

a

Verifica que el factor por el cual debes amplificar la fracción, para racionalizar el denominador es 4 2ba , veamos:

abbaa

babaa

bababaa

baa

4 2

4 44

4 2

4 24 32

4 2

4 32

==

=

19

yxyx

yx

yx

yxyx

yx

yx

3

3 2

3 39

3 2

3 23 27

3 2

3 27

2

222

=

==Veamos otro ejemplo: Ejercicio 24: Racionaliza los denominadores de las siguientes expresiones:

7 102

2

3 135

5 83

9)54

2)

)3

3)3)

cbabae

baxd

baxcb

xa

Expresiones Conjugadas: Dado el binomio ba + se dice que ba − es una conjugada y viceversa. Ejemplos:

de conjugada la es

de conjugada la es

( de conjugada la es )

)472()472)(

)31()31)(

)2525)(

+−−−

−+

−−

c

b

a

Multiplicación de una Expresión por su Conjugada: Es bueno recordar uno de los casos de los productos notables: ( )( ) 22 axaxax −=−+ Multiplicar :

( )( ) ( ) ( )

437

37373722

=−=

−=−+

El resultado que se obtiene es un número racional.

Racionalizar el denominador de : 52

3+

En este caso se multiplica el numerador y el denominador de la fracción por la conjugada del denominador. Es decir: ( )

( )( )( )

( ) ( )( ) ( )

3523

52523

52

523

5252523

523

22

−−

=−−

=

−

−=

−+−

=+

20

Otro ejemplo :

Racionalizar el denominador de baba

−+

( )( )( )( )( )( ) ( )

( ) ( )

bababa

babbaa

ba

ba

babababa

baba

−++

=

−++

=−

+=

+−++

=−+

2

222

22

2

Ejercicio 25: Racionalizar los denominadores de las siguientes expresiones:

1221)

5731)

4545)

2)

332)

3275)

+−

+−−+

−

+

−−−

fed

xyx

cba

21

Relación de Orden en el Conjunto R: En general si a y b son dos números reales, y se cumple que - > 0 decimos que es mayor que y escribimos: a >

a b ab b

Ejemplos:

016)25(9,259)0318,0,23)

06

1121

37,

21

37)

0437,37)

>=−−−−>−>=>

>=−>

>=−>

que ya(1,414)-(1,732) onesaproximaci tomando que ya

que ya

que ya

dc

b

a

Ejercicio 26: Compara los siguiente pares de números utilizando la relación “>” (mayor que)

ππ

π

27 y y

y y y

2)75)

32)32)1)

ed

cba

−−

−

Relación mayor o igual que: bababa =>⇔≥ ó Ejemplos:

23,23)

,)

≥≥

=≥

que ya

que ya

b

eeeea Propiedades de la relación “mayor o igual que” en R:

aaaa =≥ porque Reflexiva: Antisimétrica: abba ≥≥ entonces Si ,

cacbba ≥≥≥ entonces y Si ,Transitiva: Dicotomía:

abbaba ≥≥ ó entonces reales, números y Sean Si , entonces 0<−ba ba < 22

Compatibilidad de la adición y la multiplicación en R con la relación “mayor o igual que”. 1) Si y b son dos números reales tales que y es otro número real cualquiera, se cumple que:

a ba ≥ ccbca +≥+

Ejemplo: 710737103 +−≥+−−≥− :tenemos sumamos le si 2) Si son números reales tales que , entonces cyba , 0≥≥ cba y bcac ≥ Ejemplo:

cierta. es -7021- ddesigualda la que vemos :tenemos por mosmultiplica si

≥−≥−−≥− 7.107.37103

3) Si son números reales tales que cyba , 0<≥ cba y , entonces bcac ≤ Ejemplo:

206 Asícierta. es no 6 ddesigualda la que vemos

:tenemos 2- por mosmultiplica si

≤≥

−−≥−−−≥−20

)2.(10)2.(3103 Valor absoluto de un número real:

Consideremos la función tal que: *RRf →:⎩⎨⎧

<−≥

=00

)(xsixxsix

xf

Notación : xxf =)( Ejemplos:

09,39,3)9,3(9,3)

0000)

055)5(5)

034

34

34)

<−=−−=−

≥=

<−=−−=−

≥=

que ya

que ya

que ya

que ya

d

c

b

a ¿Existirá algún número real tal que x 3−=x ? Justifica tu respuesta. Propiedades de la función valor absoluto: 1) El único número real cuyo valor absoluto es cero, es el número cero.

00 =⇔= xx 2) En general, para todo número real , se cumple que su valor absoluto es igual al valor absoluto de su opuesto.

x

23

Rxxx ∈−= todo para ( )

( ) Así

y

Así

y

ππ

πππππ

−=

=−=−=

−=

=−−=−=

)

33

33333)

b

aEjemplos: 3) Si axaxax −=== ó entonces ,

axaxax −==⇔= ó 4) En general para dos números reales se cumple que ba y baba +≤+ Ejemplos:

igualdad la cumple se , es que decir es ,

ddesigualda la cumple se, es que decir es ,

igualdad la cumple se , decir es ,

21

34

611

21

34

611

21

34

21

34)

3853853838)

3253232)

+≤−+−≤−−+−≤⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+−

+≤+−≤−+−≤+−

+≤+≤+

c

b

a

Ecuaciones de la forma abax =+ Resolver 32 =+x Por la segunda propiedad de la función valor absoluto: 3232 −=+=+ xx ó

ó Así y, entonces , Si

y, entonces , Si

5152332

12332

−==−=−−=−=+

=−==+

xxxxx

xxx

Ejercicio 27: Determina en cada caso los valores de que satisfacen las siguientes igualdades:

x

1897)42621)

21

353)

034)

235)352)

=−=+=−

=−=+=+

xfxexd

xcxbxa

24

Intervalos reales: Los intervalos se determinan sobre la recta real y, por tanto, se corresponden con conjuntos de números. Pueden ser abiertos, cerrados o semiabiertos.

Un intervalo cerrado es un segmento, AB, en el que se incluyen los extremos. Si las abscisas de los puntos A y B son respectivamente a y b, el intervalo cerrado se designa [a, b] y representa al conjunto de todos los números reales comprendidos entre a y b, incluyendo los extremos:

[a, b] = {x / a ≤ x ≤ b} Geométricamente

[ ] R a b

Un intervalo abierto de extremos a y b se designa (a, b) y representa al conjunto de los números reales comprendidos entre a y b, es decir, mayores que a pero menores que b:

(a, b) = {x / a < x < b} Geométricamente

( ) R a b

Un intervalo semiabierto de extremos a y b puede ser (a, b] o [a, b):

(a, b] = {x / a < x ≤ b} (se excluye a y se incluye b) [a, b) = {x / a ≤ x < b} (se incluye a y se excluye b)

En una concepción más amplia, también se denominan intervalos los conjuntos infinitos con un único extremo (semirrectas):

( ] ,- b∞ = {x / x ≤ b}. Es el conjunto formado por el número b y todos los números reales menores que b.

) ,(- b∞ = {x / x < b}. Es el conjunto formado por todos los números reales menores que b.

= {x / x > a}. Es el conjunto de todos los números reales mayores que ) (a,∞

= {x / x> a}. Es el conjunto formado por el número a y todos los )∞ [a,

números reales mayores que él.

Ejercicio 28: I-.Expresa en forma de intervalo los siguientes conjuntos:

{ } { }

{ }=>∈==⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ≤≤∈=

=−≤∈==≤<∈=

xRxWdxRxNb

xRxVcxRxMa

3/)231/)

3/)31/)

25

II-.Representa gráficamente los siguientes intervalos:

( )

[ )CBfBAe

DdBb

CcAa

∪∩ ))

,2)5,31)

2,2)2

11,3)

∞=⎥⎦⎤

⎜⎝⎛=

−=⎟⎠⎞

⎢⎣⎡=

Inecuaciones reales: Si una desigualdad contiene incógnitas, se denomina inecuación. Las soluciones de una inecuación como -2x + 6 > 0 son aquellos valores de la x para los que la expresión -2x + 6 es mayor que cero. Las reglas de resolución de ecuaciones del álgebra se pueden utilizar para resolver inecuaciones, con la condición de que el sentido de la desigualdad ha de invertirse si se multiplica o divide por números negativos. Por tanto, para resolver la inecuación -2x + 6 > 0, primero se resta 6 de ambos lados de la desigualdad, con lo que se obtiene -2x > -6. A continuación se dividen ambos lados de -2x > -6 por -2, sin olvidarse de invertir el sentido de la desigualdad pues -2 es negativo. Esto da x < 3, lo que significa que cualquier valor de x.

Ejemplos:

Consideremos la inecuación: 2532

+−<+ xx

Para resolverla procedemos así (justifica cada uno de los pasos que se van a seguir.)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −∞−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −<∈=

−<⇔

−<⇔

−<⇔

−<+

⇔

−<+⇔+−<+

59,

59/

5995

33

5

33

32

523225

32

xRxs

x

x

x

xx

xxxx

:es inecuación la de solución conjunto el tanto lo Por

Geométricamente:

) R

59

−

26

Consideremos ahora la inecuación: 16732 +≤++ xxxx

Para resolverla procedemos así (justifica cada uno de los pasos que se van a seguir.)

{ } [ )∞−=−≥∈=

−≥⇔≤−⇔

≤−⇔+≤⇔+≤++

,1616/

1616

1676167616732

xRxs

xx

xxxxxxxx

:es inecuación esta de solución conjunto el Luego

qué?) (¿por

Geométricamente:

[

-16

Ejercicio 29: Resuelve las siguientes inecuaciones e indica, y representa geométricamente, el conjunto solución de cada una de ellas.

Sistemas de Inecuaciones:

( )

231

21)

23

128

21

21)

031

232)

23

313123)

322

1)5324)

2814

3212)493)

−≥++−>−−

≥+++

≤+−+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−≤++−≥+

−≥

+<+−

xxxxhxxd

xgxxxc

xxfxxb

xxexxa

⎩⎨⎧

−≤−≥+

(2) (1)

71327183

xx

Resolvamos:

27

Primero resolvemos (1):

hora resolvamos (2):

a solución del sistema es la intersección

A L [ ]6,321 =SS ∩

eométricamente:

R

⎩

⎪⎪⎧

≤+−≥−

7

5921

(2) (1)

xxx

xx

⎩

⎪⎪⎧

<

≥≥

)4(6

43

(2) (1)

x

xx

qué?

G 3 6

Resolvamos ahora: ⎪⎨2x⎪ <−

<+)4(210)3(53

Al resolver se obtiene: ⎪⎨ > )3(1 x

¿Por

⎪

Es decir: [ ) [ ) ( ) ( ) y ; ; ,4,3 321 SSS 6,1 4 ,-S ∞=∞=∞=∞= . La intersección de todos ellos es la olución del sistema:

R 0 1 2 3 4 5 6

Así la solución del sistema es:

s 3≥x 4≥x

1>x

6<x

{ } [ ]6,464/ =≤≤∈= xRxS

[ )∞=≥⇔≥⇔≥+

,339327183

1Sxxx

:es (1) de solución la Luego

( ]66

137713

2 ,- :es (2) de solución la Así

∞=≤⇔

+−≤⇔−≤−

Sxxx

28

29

ine aciones:

Ejercicio 30: Resuelve los siguientes sistemas de cu

( )

( )

⎪⎪⎩

⎪⎧

<+

+<+⎧

⎩⎨

−

xx

x

xx

223

32521

1

3242

unción cuadrática: A toda función real de la forma se denomina nción cuadrática.

a representación gráfica de una función cuadrática es una Parábola. Diferentes posiciones de la parábola en el plano. 1) Si su gráfica es:

La curva pasa por el origen, de coorde- nadas y la función siempre es positiva para todo . Se dice que el punto (0,0) (el vértice de la parábola) es el mínimo

iva.

) Si su gráfica es:

l vértice de la parábola) es el máximo hacia abajo, es

ecir negativa.

>cy su gráfica es:

⎧ ≥+−⎧ ≥− xb

x 413)

023

⎩⎨ ≤+x

a11

) ≥−

x

⎪⎪⎩ +>− xx 12412

⎪⎪⎨ >+⎪

⎨<+

xdxx

c 022)3

3)

F 0;)( 2 ≠++= ccbxaxxf fu

0;)( 2 ≠++= acbxaxxf L

0;)( 2 >= aaxxf

x

de la curva, luego la concavidad es hacia arriba, es decir posit

0;)( 2 <= aaxxf 2 La curva pasa por el origen, de coorde- nadas y la función siempre es negativa para todo x . Se dice que el punto (0,0) (ede la curva, luego la concavidad es d 3) Si ;)( 2 >+= acaxxf 00

Observ

cavidad es hacia arriba y el punto es el o de la curva.

) Si su gráfica es:

nteriores.

acbxaxxf ,

lo: Sea su representación gráfica es:

rva que l scisas en

independiente de la función.

) Si

a que el valor c , el término independiente, es la ordenada de punto donde la curva corta a eje y0 .

( )c,0 La con mínim

00;)( 2 ><+= bybcaxxf 4

Analiza la gráfica de acuerdo a los analices a

0.00;)( 2 ≠≠<++= cb 5) Si

65)( 2 +−= xxxf Ejemp

Se obse a curva corta al eje de las ablos puntos (2,0) y (3,0). La concavidad de la curva es hacia arriba. La curva corta al eje de las ordenadas en (0,6), la ordenada de ese punto es el término

0.00;)( 2 ≠≠>++= cbacbxaxxf , 6

Ejemplo: Sea 2

su representación gráfica e321)( 2 ++−= xxxg s:

30

Se observa que la curva corta al eje de las abscisas en los puntos (3,0) y (-1,0). Además, el punto (1,2) es el punto máximo de la curva y la concavidad es hacia abajo. Por otra parte la curva corta al eje de

las ordenadas en el punto ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

23,0 .

jercicio 31:

E 1) Grafica las siguientes funciones cuadráticas.

31)1)

232)1)14)6)

22

22

2 +−= 2

−=−+−=

−+=+=

−=

xyfxxyc

xxyexybxxydxya

la abscisa de vértice está

dada por

2) Se puede demostrar que dada la parábola cbxaxy ++= 2

ab

2− y la ordenada sustituyendo ese valor en

De acuerdo a lo anterior, determina lotenga su vértice en e

LA ECUACIÓN DE SEGUNDO GRADO

cbxaxy ++= 2 .

s valores de nm y a fin de que la parábola l punto (2,0).

:

12 2 ++= nxmxy

adrática, en su forma más simple es: La ecuación de segundo grado, también llamada cu, donde a, b, c son números reales. Al número a se le llama coeficiente

principal (y tiene que ser distinto de cero pues en caso contrario, no sería de segundo grado) El número c es el término independiente.

Resolución:

Si t cir, , entonces senemos la ecuación en su forma más simple, es de us

soluciones son: a

acbbacbb 4 22 −−−+− xya

x2

42 21

−==

31

La naturaleza de estas dos soluciones viene determinada por el radicando de la raíz, es decir llamado discriminante y que, normalmente se representa por la letra griega delta

mayúscula . Así:

Si >0, la ecuación tiene dos soluciones reales distintas.

Si =0, la ecuación tiene una única solución real.

Si <0, la ecnúmero real)

uación no tiene solución real alguna (la raíz de un número negativo no es un . En este caso hay quien dice que la ecuación no tiene solución.

indica el número de soluciones reales que s ecuaciones:

Ejercicio 32:

1. Sin necesidad de resolver cada ecuación, tienen las siguiente

2. Resuelve en tu cuaderno las ecuaciones del ejercicio anterior.

e ciones tienen una traducción al campo gráfico muy interesante y esclarecedora. Recuerda que la parábola es una línea curva

Interpretación Geométrica:

La cuación de segundo grado y sus diversas solu

representativa de la función polinómica .

Cuando la y=0, la parábola corta al eje de abscisas; a su vez, la expresión anterior queda reducida a . Luego las soluciones de la ecuación de segundo grado son los

de nes reales como veces corte la parábola asociada a ella al

eje de abscisas.

La escena empieza con la resolución gráfica de la ecuación

puntos de corte de la parábola asociada con el eje de abscisas. Por tanto, una ecuación segundo grado tiene tantas solucio

, su discriminante y 3.

Vemos en su gráfica que corta al eje de las abscisa en 2 y 3, que son los valores que satisfacen la ecuación.

Resuelve la ecuación analíticamente.

vale 1 y, por tanto, tiene dos soluciones reales distintas, que son 2

32

Ejercicio 33:Resuelve las siguientes ecuaciones:

xxdppcmmbxxa

023)212)0311)0132)

22

22

=−+=+

=−−=++

mml

yyj

32258)11

235)

−=−−=

−−=−

yyk

xxi

yfyye

212)

31)

)2759)35) 2

+−+

=−−

++==+−

Suma y producto de las raíces de Sea si son las raíces de la ecuación, entonces la suma de es

xxhxxg

yy

155)015)

(2)2(22 −=+=++

−

una Ecuación de Segundo Grado:

cbxaxy ++= 2 21 xyx 21 xyx

ab

− y el producto de es 21 xyx ca

. Así

abxxS −=+= 21 y

acxxP == 21

Problemas que conducen a la resolución de una Ecuación de Segundo Grado:

s números tales que su suma sea 7 y la suma de sus cuadrados se 25.

Procedimiento:

Determina do

yex son los números deseados. Del enunciado del problema se pueden deducir las :

siguientes ecuaciones

(B) 25=+

A) (7=+ yx22 yx

Despejemos x

en la ecuación (A) yxyy −=⇔=+ 77

Sustituimos la expresión de y obtenida, en (B)

4925)

22

27(2

024142 2

02514 =−+−+

=−

=+−

+

xxxxx

x

l resolverla obtenemos:

x

Nos que la ecuación 024142 2 =+− xx , que es equivalente a 01272 =+− xx

34 21 == xxA y

33

Ejerc

1) a base de un triángulo mide 9dm más que su altura. Si el área del triángulo es de 56dm2 , determine la altura.

2) De dos números, uno es 4 más que el otro. Si la suma de sus inversos es

icio 34: Resuelve los siguientes problemas:

L

83 , ¿Cuáles

ue el cuadrado del mayor exceda en 57

l triple del menor.

4) La diferencia de dos números es 7 y su suma multiplicada por el número menor es 184. Calcula dichos números.

los números

2.

Calcula las dimensiones del salón.

ímetro más largo que el otro cateto y Calcula las dimensiones del rectángulo.

Div

son los números?.

3) Determine dos números consecutivos tales qa

5) El producto de dos números consecutivos es 240. Calcula .

6) El perímetro de un salón rectangular es igual a 44 metros y su área es de 120m

7) Un cateto de un triángulo rectángulo es un centes 8 centímetros más corto que la hipotenusa.

8) Calcula dos números que su suma sea –1 y su producto sea –6

isión de un polinomio por un binomio de la forma ( ax ± )

ma del resto: Si (P

eore x es un polinomio, al dividirlo por un binomio de forma (T ) ax ± ), el s

jemplo: Al dividir entre (

re to está dado por )( aP ∓ .

E 3523)( 23 −+−= xxxxP 2−x ) el resto es:

23 =−+−

o

)2( =P

2332.52.22.3

C mprobemos lo anterior: 3523 23 −+− xxx 2−x 23 63 xx +− 1343 2 ++ xx 540 2 −++ xx 3

xx 84 2 +− 3130 −+ x

2613 +− x

23

Ejemplo: Al dividir 1524)( 34 −+−= xxxxQ entre ( el resto es: +x )33621)3(5

)3(2)3(4)3( 34 =−−+−−−=−Q

34

Regla de Ruffini, algoritmo que permite efectuar la división de un polinomio P(x) por ax ± de forma rápida y sencilla.

Puesto que el resto de la división por ax ± es igual al valor del polinomio cuando x = a (teorema del resto), la regla de Ruffini sirve también para hallar el valor numérico, P(a), de un polinomio P(x x el valor a.

P(x) = 3x4 3 2 se procede así:

∓ ) cuando se da a

Por r ejemplo, para dividi – 7x + 60 +x - 11 por x

Así , 26 y 8, que son los coeficientes del polinomio cocie

Q(x) = 3x3 - 13x2 + 26x + 8

El número -27 es el resto: R = -27 . Por tanto:

= (x + 2)(3x3 - 13x2 + 26x + 8) – 27

3 · (-2)4 - 7 · (-2)3 + 60 · (-2) -11 = -27

Hallar el cociente y el resto en la siguiente división

se obtienen los números 3, -13nte:

3x4 - 7x3 + 60x - 11

El valor numérico de P(x) para x = -2 es -27. Es decir:

( ) ( )12436 3 −÷+− xxx Para aplicar la regla de Ruffini, dividimos dividendo y divisor por 2.

Así se obtiene: ⎟⎠

⎜⎝

−÷⎟⎠

⎜⎝

+−2

22

3 3 xxx

Aplicando

⎞⎛⎞⎛ 13

Ruffini:

22303 −

4333)( 2 −+= xxxC

2

21

83

43

23

− 4

132.8

13)( ==xR

(El resto se multiplica por 2, ya que antes

8

133 dividimos por 2) 42

33 −

35

Hallar el valor de para −mx sea divisible or

m que el polinomio 2312)( 234 ++−= xxxxP 1743 )2( −x p

Para que )(xP sea divisible por )2( −x debe cumplirse que 0)2( =P , es decir,

192017432.22.32.12 234 =−++− mx

24 017468 =−++− m 062 =+ m

26 −=m

31

−=m

Raíce o: Se denominan raíces de un polinomio s de un polinomi a los valores de ra s cuales

lo e.

alculo de las raíces de un polinomio:

aíces enteras: Si es una raíz de un polinomio, entonces divide al término dependiente del polinomio.

es fra cionarias: Si

)(xP x pa lo .

0)( =xP

Número de raíces de un polinomio: Un polinomio tiene tantas raíces como su gradoindiqu C

0x 0x Rin

Raíc cqp es una raíz de un polinomio, entonces p divide al término

independiente y divide al coeficiente del término de mayor grado. De aquí se deduce e mayor grado es 1, entonces no posee raíces

ndepen nte.

se agotan las posibles raíces enteras y faltan raíces por conseguir, se obtienen las posibles raíces fraccionarias y se procede exactamente igual.

Ejemplo: Calcular las raíces de Para calcular las raíces aplicamos Ruffini con cada uno de los divisores del término independiente del polinomio, a saber

q que, si el coeficiente del término dfraccionarias. Procedimiento para hallar las raíces:

1. Primero se consiguen las posibles raíces enteras, obteniendo los divisores del Término i die

2. Se utiliza la regla práctica de Ruffini al tanteo para ver cuales dan resto 0, es decir anulan al polinomio.

3. Si

8102)( +−= xxxP 24

8,4,2,1 ±±±± los que den resto 0 son raíces para el p V

olinomio.

eamos cuáles son raíces

36

1 2 2 -8 -8

8 8 0 -2 -4

2 0

Raíces: -1,

lcular las raíces de

osibles raíces enteras: . Posibles raíces fraccionarias:

2 0 -10 0 8

2 2 -8 -8 0 -1 -2 0

2 0 - 2 4 8

2 4 0

1,-2,2

jemplo: Ca 276)( 23 +−−= xxxxQ E

2,1 ±± 32,

61,

31,

21

±±±± P

Veamos cuáles son raíces

6 -7 -1 2

1 6 -1 -2 6 -1 -2 0

2

− -3 2 1

6 -4 0 23

4

6

Raíces:1,

0

21

− ,32

actorización de polinomios:

, entonces se expresa en factores

F Si nxxxxx ...,,, 4321 son las raíces de un polinomio omo sigue:

)(xP )(xPc

( )( )( )( ) ( )nn xaxP xxxxxxxxx −−−−−=)( ...4321

de mayor grado.

os den factorizar de la siguiente manera:

Donde na es el coeficiente del término Los dos últim ejemplos se pue

37

( )( )( )( )22112 −+−+ xxxx 8102)( 24 +−= xxxP =

276)( xxxxQ =23 +−−= ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

32

211 xxx 6

Ejercicio 35:

0924228)03232)

03613)067)

:ecuaciones siguientes las Resuelve 4.

901445512)4161510916)

3772)67)

:polinomios siguientes los Factorize .3

).2(por divisible sea ,432312 polinomio el que para, de valor el Halle)

)2,0()1232)( 23 −+ xxf21 5624)(

)32()63)(5

)1()8642)(:resto ely cociente el determiney Ruffini de Regla la Aplique .

352

)12()2648)()1()83)(

:caso cadaen residuo el halle resto, de teorema

234

45

24

3

234

2345

234

3

234

234

24

234

456

34

235

=++++

=+−−

=+−

=−−

+−+−

−−−++

−−++

−−

−−++−

−÷+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +÷+−−+

−÷−−+

−÷+−+−

+−

+÷++−

−÷−+−

xxxxdxxxcxxxb

xxa

xxx xdxxxxxc

xxxxbxxa

xmxxxxm

xx

xxxxxe

xxxx

xxxxx

xxx

xxxxbxxxxxa

el Aplicando 1.

)13()93126)( 35 −÷++− xxxxc)2()2346)( 23 −÷−−+− xxxxd

2a

)2()234632)( 23456 −÷−−+−+− xxxxxxxbc

)1(1))( 5 +÷+ xxd

)1

g

38

Factorización de expresiones racionales:

Factorizar: 6

992

23

−+−−+

xxxxx

Para ello aplicamos Ruffini para factoriza el numerador 1 1 -9 -9 -1 -1 0 9 1 0 -9 0 Así, -3 -3 9 1 -3 0 3 3 1 0 El denominador se puede factorizar como

)1)(3)(3(9923 ++−=−−+ xxxxxx

)2)(3( −+ xx ¿por qué?

Luego 6

992

23

−+−−+

xxxxx =

)2)(3()1)(3)(3(

−+++−

xxxxx =

)2()1)(3(

−+−

xxx

Factorizar: 62316361743

23

23

+++−−+

xxxxxx

Factoricemos el numerador:

3 4 -17 -6 Así ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−=−−+

31)3)(2(361743 23 xxxxxx

2 6 20 6 3 10 3 0 -3 -9 -3 3 1 0

31

− -1

3 0 Factoricemos el denominador: 3 16 23 6 -2 -6 -20 -6

3 10 3 0 Así

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++=+++

31)3)(2(3623163 23 xxxxxx

-3 -9 -3

31

− 3 1 0

-1 3 0 En consecuencia: 39

22

31)3)(

2(3 +x

31)3)(2(3

+−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−

=xx

xx

xxx

ifica cada una de las siguientes fracciones:

61743 23 −−+ xxx623163 23 +++ xxx

Ejercicio 36: Simpl

521244313164)

6242332)35)

22323 ++++−+ axxaxdaaac 23375

133375)

351216)

23

23

22223

22

23

23

23

2

2

+++++

+++++++

+++

++++++

−++−

xxxxxxe

axxaxaaxxxaax

aaa

xxxxxxb

xxxxa

d de por :

9

+

Divisibilida x ±

nn ax ± ( )a

par es si

d es no En b) ivisible

impar e ;

;

n

Nnaxa

Nnaxaaax

nn

nnn

...

...

12

122

∈+−+

∈+++−

−−

−−−

e denominadores:

Racionaliz

xxaxa nnn

) 1 +=− −

axxaxb nnnn

) 21 −=+ −−

ax +

Racionalización d

55 345ar −

ara racionalizar la expresión hay que hallar un factor M tal que: ( ) 3434 55 −=−M P

( )Luego :55 34 −34−

=M

5 3= tenemos que, y así: 55 34 ByA == Si llamamos 5 4= ByA

43223455AM

−−

= BABBABAABAB

++++=

De acuerdo a xax nnn

=− −1 Nnaxaax nnn ∈++++ −−− ;122 ...

ax −Pero como 55 34 =By , entonces M queda así: =A

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )55555

45355252553545

81108144192256

33434344

++++=

++++=

M

M

( ) ( )5555555555

55811081441922565

34811081441922565

345

++++=−

++++=

− Finalmente:

40

Racionalizar 33 2

3x xx +

Para racionalizar la expresión hay que hallar un factor M tal que: ( ) xxxxM +=+ 233 2

( )33 2

2

xxxxMLuego:

+

+=

Si llamamos 33 2 xByxA == tenemos que, y así: 332 BxyAx ==

2233 B

−+Obtenemos que BABA

BAAM +=

+=

Luego ( ) ( ) 3 232333 22

3 2 xxxxxxxxM +−=+−= , finalmente

( )xx

xxxxxxx

x++−

=+

2

3 23

33 2

33

las siguientes expresiones: Ejercicio 37: Racionaliza el denominador de

444

33

32

3

)) ydxc −

)25

3)

yxx

xy

bababa

+−

++

41

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DIRECCIÓN GENERAL SECTORIAL DE EDUCACIÓN SUPERIOR INSTITUTO UNIVERSITARIO EXPERIMENTAL DE TECNOLOGÍA

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TALLER No. 1

A continuación se presenta un grupo de ejercicios y problemas sobre fracciones, potenciación y radicación. Algunos ejercicios y problemas te serán asignados para el presente taller y los restantes servirán para tu ejercitación.

1. ¿Cuántos 235

de 69?

2. Dadas las fracciones: 4941;

5139;

5141;

4939;

54

¿Cuál es mayor?

3. De las siguientes expresiones, cuál es la de

mayor valor: ( )22

2518;9,0;72,0;9,0 3 y

4. Calcula:

43

32

34:

65

) 21

5432

)

31

54

32

21

) 61

945

)

31

37

21

113:

41

53)

32

35

94

83:

21)

−+

−

+−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

fe

dc

b

a

85

23

23:

23)

31

51

365:

32.

41

)

2125

32

2

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

−

h

g

23

2

51.

43.

32

21:

21.

21

)⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

−

−

i

5. Felipe debe hacer una tarea de matemática que tiene 20 problemas. Un día resuelve 1/5 de la tarea, al día siguiente los 3/8 del resto ¿Cuántos problemas les faltan por resolver?

6. La distancia entre Carora y Barquisimeto es de

100 Km. ¿Cuántas horas debe andar un atleta que recorre 3/16 de dicha distancia en tres horas, para ir de una ciudad a otra?

7. Una llave vierte 3/4 de litros de agua por

segundos y otra 5/8 de litros por segundos. Si se abren las dos llaves simultáneamente, en cuánto tiempo llenaran un depósito de 50 litros.

8. Un terreno tiene una extensión de 80 hectáreas;

2/5 de terreno se siembra de maíz y 3/8 de tomates ¿Cuántas hectáreas se han sembrado de maíz? ¿Cuántas de tomates? ¿Cuántas quedan por cultivar?

9. Un hombre al morir dispone que se entregue a

su padre la quinta parte de su fortuna; a su hermano mayor 1/3 del resto; a su segundo hermano la mitad de lo que queda y a un tercer hermano $ 60.000. Si el dinero que se ha dispuesto equivale a los 9/10 de su fortuna, ¿cuál era ésta?

10. Después de vender los 3/4 de un rollo de

alambre y 30 metros más, queda 1/6 del alambre que había al principio. ¿Cuál era la longitud original del rollo de alambre?

11. El área de un rectángulo es 16 cm2. Si la altura

es 1/4 de la base. ¿Cuánto miden la altura y la base?

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12. Halle el valor de:

3

1-2

6

87

777)

333) −

−++ ba

13. Resuelva las siguientes ecuaciones:

14. Efectúa:

15. Simplifique:

16. Racionaliza:

2)

2233)

3535)

542

9) 12

1)

) )

3 135

7 102

2

3 2

2

4 32

−+

−+

−

xh

fba

xe)

cbabadc

xyyxb

yxxya

2334 − xg

( ) 212132

71

21)(

11

hxhxhk

hxhxj

i

+−−

++−+

+−

2)

22)

11372117)

17. Calcula el valor de cada expresión:

181

61

91

31

125

45

67

31

)

41.

37

65

21

27.

91

65

32)

6103

351

161

361

81)

2222

−−+

−−+

−+−

−+

−+−+

c

b

a

7532

21

)

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−

+=+

xxb)

xxa− x

( ) ( )( )

12 212 162

34 3

8

43 2

4 3

6 56 3

3

3 23 22

25

73

4 244 2

9.83.2)

.)

.)

2252.5)

1

1.1)

..)

342.

343)

2732)

babaabah

mmnmnmg

xxxaf

abbabae

x

xxd

xyxyyxc

b

a

+

++

−+

−

41620

128

2

3

4 56

7 211428

)

1283)

)

dcba

abcdc

nmb

cbaa

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Taller de Matemática No. 2 Curso Preparatorio 2006

1. Halle ) y p(x)q(xxpxqxqxpxqxp )()( ; )()();()( −−+ en cada caso:

22107

94522546

9100010008

2455642

4242

345523

4232

21)(y 323)()

53221)(y

732

41

32

101)()

42)(y 216)()21

314

232)(y

21

512

43

81)()

41

41

32)(y

53

21)()

632)( 2810)()34)( 542)()

qqxqqqqxpg

xxxxxxqxxxxxxpf

xxxqxxxpe

xxxxxqxxxxxxpd

xxxqxxxxpc

xxxxqyxxxxxpbxxxqyxxxpa

+−=−+−=

+−+−+=−+−+−=

+−−=+−=

+−+−=+−+−+=

−+=−+=

++−=++−=

−+=+−=

2. Si fexdxcxbxaxxqxxxxp +++++=−+−= 2345245 )(y 3213)( , determine

a,b,c,d,e y f para que se cumpla lo siguiente:

452

24235

32

51)()() 4)()()

33223)()() 8424)()()

xxxqxpdxxqxpc

xxxxqxpbxxxxqxpa

−−=−=−

+−+=++++−=+

3. Efectúe las siguientes divisiones de polinomios:

( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−÷⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−÷⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−

−÷⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+−÷−+−

−÷−+−+÷−−

656824573

3563457210

458745

212

4132

43)

522

3249)

1432

41) )()3115)(

)()326)( )1()74)(

qqqqqqfxxxxxxe

xxxxdmmmmmmmc

zzzzzzbxxxxa

4. Calcule el valor numérico de cada polinomio para el valor indicado:

52 ,220

45

31)()

1 ,52)() 21 ,

41

21)()

3 ,32)() 2 ,32)()

32

8910098723

65

=+−+=

−=+−+−==+−+=

−=−+==+−=

xxxxxle

aaaaaaasdtttttrc

yyyyqbxxxxpa

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LA VICTORIA. ESTADO ARAGUA PRODUCTOS NOTABLES Y FACTORIZACIÓN: 5. Desarrolla cada uno de los siguientes productos:

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( 233232222

2322322

233222322

3333111121210

2) 3) 42) 241)

52

52)

66) 32

23) 3) 23)

86)c 22)b )

zyxlyzkxjyxyxiyxyxyyh

xyxxyxgxyzzxyfnmnzmebad

yxyxbabayxa xxxx

++−++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+

+−+−+ −+−+

) ( ) 42222 10)2)(2(13) xxxxm −+−+−

6. Factoriza cada uno de los siguientes polinomios:

( )( ) ( ) ( )

( )

,) ,81364)

2469) 81

43) 78)

3649

2581)

49) 3)3(6)3(9) 4) 336

25251)

1614) 30020 1312131)

91

32) 2) 48563)

*521*24

4038062242264

42222

4

862

612432222232

ZmxxxpZaxxo

bpqbqpnaamxxlxzxk

yjxxxxxiyxxhxxg

mmf me)mxxaxad

aacyxyxxybmabbxabaabbaa

mmmaa ∈+−∈+−

−++−+++−

−++−−−+−−+

+−−−+++−++

+++−++−+

+++

7. Simplifica las siguientes fracciones:

( )( ) ( )

( )( )( ) ( )121

12) ) 9

96)

9613) 222)

64161610)

2510152)

)2(44) )

4)

22

44

4

24

23

2

2

222

2

2

2

2

2

3523

−+−−+

−−

−+−

++−+

+++++++

+−+−

++−+

+++

+−

+

xxxxxj

babai

yyyh

xxxxxg

mnxmmnnxnxmxf

mmmme

zzzzd

xxxxxc

nmmnmb

yxyyxa

8. En cada caso efectúa y si es posible simplifica:

( )

254

52)

37

21496)

1622

14)

53

2) 145

949

27

1) 4

54

3)

2

22

2

2

2

2

232222

−÷

−++

⋅−+++

−+−

⋅−−

−−−

−+

−−

+−+

++

xxy

xyxf

xx

xxxxe

xxx

xxd

babac

xxxx

xb

zzza

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Taller de Matemática No. 3 Curso Preparatorio 2006

Sábado 18 de noviembre de 2006

1. Bosqueje la gráfica de las siguientes funciones:

1) 52) 321) 32)

82) 2) 0165) 132)35

32)

22) ) 63)

) 1

1) 1) 32)

3222

222

2

32

−=+−−=+−=+−=

−+=+==−+−++=

+−=+

=−=+−=

=−

=−=+=

xypxxyoxynxym

xxylxykyxjxxyi

xyhx

ygxyfxye

xydx

ycxybxya

2. Determina la ecuación de la recta que pasa por cada uno de los pares de puntos que se presentan a continuación:

( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

52 , 1y

31 ,

25)

32 , 5,1y

31 , 5,0)

)3,2(y 43,

21) )5,2(y )4,3()

32,5y 2,

43) 4,3y 3,

21)

BAeBAe

BAdBAc

BAbBAa

3. En base a la gráfica, indique el dominio y el rango de las siguientes funciones:

a) b) c) d)

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4. Resuelve las siguientes ecuaciones:

392

11

11)

4153

2) 01y) 1

31)

10116) 02-11) 7415

123) 13)35(105)

122

6713) 3

213)2)(1(2) 0332)

04113) 0293

21)

6131) 06114)

211) 13) 352) 21

31

52)

41

82

45

213)

311

11

135) 411,02,0)

43

213)

2

22

2

2

222

2

xx

xx

xxwxx

xxvyt xxs

x-xrx

x--x

xqxx

xxp

xx

xxo

xx

xxnxxxxmxxl

xxkxxjxx

ixxh

xxhxxgxfxe

xxxdxcxxbxxa

++

=−+

++−+

=+−

=+++=−−

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+−

=−+−

=+

−

−=−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=+−=++

=−+=++=+=++

=+−−=−+=−=−

=−

−−

+−

−+

=+=−−=−

5. Resuelve los siguientes problemas:

1. Halle dos números cuya suma sea 10 y su producto sea 24.

2. El perímetro de un rectángulo es 31,4 cm. Si uno de sus lados mide 2

15cm.

¿Cuánto mide el otro lado?

3. Un cateto de un triángulo rectángulo es 31 de la hipotenusa. Si el área del

triángulo es 100 2 cm2. halle la longitud de los catetos. 4. Halla el valor de para que cero sea una de las raíces de la ecuación:

m

0482 =−+− mxx5. Una cinta de 5 cm. De ancho se corta de un cuadrado como el que se muestra en

la figura. El área del rectángulo es 750 cm2. Halla el lado original del cuadrado.

Prof. Luis E. Capace

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Taller de Matemática No. 4 Curso Preparatorio 2006

1. Halle el cociente y el resto de las siguientes divisiones. Para ello utiliza la regla

Ruffini.

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )125) 2523) 223)

333) 411102) 21

31

213)

11) 32

24332)

321)

3222)

314) 312)

3235

233424

654

3243

+÷−−÷−++÷−

−÷++−−−÷+−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −÷⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

+÷−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +÷⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +÷−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +÷−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −÷++−−÷−+

xxxlxxxkxxxj

xxxxixxxxhxxxg

xxfxxexxd

xxxcxxxxbxxxa

2. Calcula el valor de m y n para que se satisfaga las condiciones indicadas en cada

caso, puedes utilizar el teorema del resto: ( )( )

( ) ( )( )

( ) 1- sea resto el 1 entre 423)(dividir al que Para2- sea resto el 1 entre 73)(dividir al que Para)

12y 2por divisible sea 3)()12por divisible sea 64)()

3por divisible sea 62)()

235

2

234

2

3

+−+++=

−++=

+−+−++=

−−+=

−++=

xxmxxxxpe)xmxxxpd

xxnxmxxxxpcxmxxxpb

xmxxxpa

3. Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones.

044116)0202015205) 04161510196)

05362) 06933)06555) 024103)

23

2342345

2345234

23423

=+−−

=−−++=−−−++

=−−++−=−−−+

=−−++=−−+

xxxgxxxxfxxxxxexxxxxdxxxxc

xxxxbxxxa

4. Calcula las raíces o ceros de los siguientes polinomios:

322323

2424

4027)() 2152215)()4379)() 154)()

axaaxxxpdxxxxpcxxxpbxxxpa

−++=−−−=

+−=+−=

5. Factoriza cada una de los siguientes polinomios:

cbcaabaapgxxxxxpfxxxpe

xxxxxpdxxxxxpcxxxxxpbxxxxpa

2223

23424

234234

23423

)()272136)() 168)()

3785)() 992)()2438132)() 6116)()

−+−=

+−−+=−+−=

++++=++−+=

−−−+=−+−=

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6. Simplifica cada una de las siguientes fracciones:

xaaaxxaxxaxaxe

babbaabbaabad

xxxxxc

xxxxxxb

xxxxxxa

232

23223

3223

3223

3

23

23

23

23

23

2222) 33

)

23

35) 62316361743)

646116)

+++−−+

−+−+−−

+−+−+

+++−−+

−+++++

7. Determina el verdadero valor de las siguientes fracciones:

2 10765) 22) 2

12812167)

2 623) 1

11) 3

699)

2

2

33

3223

23

23

2

2

2

4

2

23

−=++++

−=+

+++−=

−−++++

=−++−

=−−

−=−+

−−+

xparaxxxxfbxpara

bxbxbbxxexpara

xxxxxxd

xparaxxxxcxpara

xxbxpara

xxxxxa

8. Determina A, B, C y D (según cada caso) para que se cumplan las siguientes

igualdades:

( ) ( ) 2DC

2BA

24454)

2

C1

BA2

32)

22222

23

23

−++

+−+

+=

−+

−−++

+−

+=−+

+

xxx

xxx

xxxxxb

xxxxxxxa

9. Descomponga cada una de las siguientes fracciones en fracciones más simples:

( )( ) ( )( )2321

6117) 211511)

3223) 2

2

2

2

2 +−−+−

+−++

−++

xxxxxc

xxxxb

xxxa

10. Racionaliza el denominador de las siguientes fracciones:

1313) 2)

253)

) 3) 34

5)

3

3

333

4433 255

+−

++

+−

−−

fyx

ed

yxyxc

xxxba

Para el último grupo de ejercicios Recordemos:

impar es además ;...

;...

1221

1221

nnaxaaxxaxax

naxaaxxaxax

nnnnnn

nnnnnn

Ν∈+−+−=++

Ν∈++++=−−

−−−−

−−−−

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