Definicin.- Una ecuacin es una igualdad de dos expresiones matemticas que contiene una o ms variables.Ejemplo: slo se verifica para Se llama solucin de una ecuacin al valor o conjunto de valores que sustituidos en lugar de las incgnitas transforman a las ecuaciones en identidades.ECUACIONES EQUIVALENTESReciben este nombre las ecuaciones que tienen las mismas soluciones. Ejemplo: slo se verifica para Slo se verifica para Las ecuaciones: y Son equivalentes, puesto que para ambas: CLASIFICACIN DE LAS ECUACIONESSEGN LA NATURALEZA DE SUS RAICESI) Ecuacin Compatible.- Es aquella ecuacin que tiene al menos una solucin y esta a su vez pueden ser:a) Ecuacin Compatible Determinada.- Es cuando la ecuacin admite un nmero finito de soluciones.Ejemplo: La ecuacin Por lo tanto el conjunto solucin es:

b) Ecuacin Compatible Indeterminada.- Es cuando la ecuacin admite un nmero infinito de soluciones.Ejemplo: La ecuacin

Por lo tanto el conjunto solucin es: (Infinitas soluciones)

II) Ecuacin Incompatible.- Es aquella ecuacin que no admite ninguna solucin.Ejemplo: La ecuacin , AbsurdoPor lo tanto, la ecuacin no admite solucin alguna, ECUACIN DE PRIMER GRADO CON UNA VARIABLE REALEs una ecuacin que se reduce a la forma:

Siendo la variable o incgnita que pertenece a los reales, la ecuacin se llama forma general de la ecuacin de primer grado con una variable real.Siendo la solucin de la ecuacin es decir, el conjunto solucin es:Anlisis de las races. Dada la ecuacin: 1. Si La ecuacin es compatible determinada y tiene solucin nica.2. Si La ecuacin es compatible indeterminada y tiene infinitas solucin, entonces 3. Si La ecuacin es incompatible y no tiene solucione, entonces ECUACIN DE SEGUNDO GRADO CON UNA VARIABLE REALLlamada tambin ecuaciones polinmicas de segundo grado. La forma general de una ecuacin cuadrtica con una variable real x, es:

La forma normal de la ecuacin cuadrtica es:

ANALISIS DE LA ECUACIN CUADRATICADada la ecuacin: 1) Si entonces la ecuacin es compatible determinada.2) Si entonces la ecuacin es compatible indeterminada.3) Si entonces la ecuacin es incompatible.SOLUCIN DE LA ECUACIN CUADRTICALa ecuacin cuadrtica se puede resolver mediante una factorizacin o utilizando la frmula de baskara.

1. MTODO DE FACTORIZACINEn la ecuacin debemos aplicar aspa simple al primer miembro, es decir:

Se cumple slo cuando de donde el conjunto solucin es:

Ejemplo: Resolver la ecuacin Solucin:

Se cumple slo cuando de donde Luego el conjunto solucin es:

2. FRMULA DE BASKARASe utiliza cuando el trinomio de la ecuacin cuadrtica no es factorizable en . As las races (soluciones) de la ecuacin esta dado por la frmula:

De donde se obtienen las races:

De donde el nmero real es el DISCRIMINANTE de la ecuacin cuadrtica

Ejemplo: Resolver la ecuacin Solucin: identificando , reemplazando en la frmula cuadrtica

De donde las rices son:

NATURALEZA DE SUS RAICESEn la ecuacin de coeficientes reales, con races se cumple:1) Si , entonces las races son races reales y diferentes.Ejemplo: Resolver la ecuacin Solucin:

Se cumple cuando De donde Luego el conjunto solucin es: 2) Si , entonces las races son races reales e iguales.Observacin: la ecuacin cuadrtica tiene dos races reales e iguales o solucin nica, si el trinomio es un trinomio cuadrado perfecto.Ejemplo: Resolver la ecuacin Solucin:

, Se cumple cuando De donde Luego el conjunto solucin es: es una nica solucin.3) Si , entonces las races son races complejas y diferentes.Ejemplo: Resolver la ecuacin Solucin: identificando , reemplazando en la frmula cuadrtica

De donde las rices complejas son: Donde: nmero imaginarioPROPIEDADESEn toda ecuacin de coeficientes reales, con races se cumple:1. Suma de races: 2. Producto de races: 3. Diferencia de races: 4. La ecuacin que dio origen a las races es:

Ejemplo: Sean races de Hallar , si

Nos pide:

RAICES ESPECIALESSean races de la ecuacin cuadrtica 1. Si una de las races es el inverso aditivo de la otra entonces las races son simtricas. Es decir: Si es una de las races, entonces la otra raz ser talque

2. Si una de las races es el inverso multiplicativo de la otra entonces las races son recprocas.Es decir: Si es una de las races, entonces la otra raz ser talque Ejemplo: calcular la suma de los cuadrados de las races de la ecuacin Sabiendo que las races son reciprocas.Solucin:

Identificando y como las races son reciprocas, entonces se cumple: , luego la ecuacin cuadrtica queda:

Observacin:Si las ecuaciones Tienen las mismas races (son equivalentes), entonces:

Ejemplo: Dada las ecuaciones equivalentes y Hallar Solucin: Por se equivalentes se cumple: ( I ) ( II ) ( III )

De ( I ) y ( II ) De ( II ) y ( III )

Luego

EJERCICIOS

CEPRU UNSAAC ALGEBRA ALGEBRA CICLO 2012-I

59CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIO

56CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIO

57CENTRO DE ESTUDIOS PREUNIVERSITARIO1) Calcular para que la ecuacin , es compatible indeterminado.Rpta.: 2.

2) Hallar el valor de en:

Rpta.: .

3) Calcular el valor de que hace que la ecuacin: , sea compatible indeterminada.Rpta.: .

4) Calcular el valor de x en: Rpta.: .

5) Si la ecuacin; , tiene infinitas soluciones. Determinar el valor de .Rpta.: .

6) El valor de x, que satisface la ecuacin:

Rpta.: 4.

7) Hallar el valor de , sabiendo que la ecuacin , sea compatible indeterminado, es:Rpta.: 9.

8) El valor de x, en la ecuacin dada, es:.Rpta.: .

9) Para que valor de x, verifica la siguiente igualdad:

Rpta.: .

10) El valor de n para que la ecuacin:, tenga infinitas soluciones, es:Rpta.: .

11) Si la ecuacin:

Es compatible indeterminado. Hallar el valor de

Rpta.:

12) Dada la ecuacin en x:

. Halle los valores de para que la ecuacin sea incompatible.Rpta.: 7.

13)

Que valores debe tomar y para que la ecuacin:

; sea compatible determinado.

Rpta.:

14) Si la ecuacin en x:

; es Mnico. Hallar el valor de.

Rpta.:

15) Determinar x en:

Rpta.:

16) Hallar el valor de x en la ecuacin:

Rpta.: 3.

17) Hallar la suma y el producto de las races de:

Rpta.: y .

18) Hallar en la ecuacin; , los valores de , para que las races de esta ecuacin sean tambin y .Rpta.: 9.

19) En la ecuacin: . Qu valor positivo debe darse a , para que las races difieran en uno?.Rpta.: 19.

20) Hallar una ecuacin de segundo grado de races y , si se sabe que: , tiene una raz igual a .Rpta.: .

21) Hallar el valor de , en: ; si tiene races recprocas.Rpta.: 2.

22) Calcular si las races de la ecuacin son recprocas .Rpta.: 13.

23) El producto de los valores de , para que la ecuacin , tenga solucin nica, es: Rpta.: .

24) Hallar , tales que las ecuaciones y , tenga las mismas races.Rpta.: 18.

25) Si , son las races de la ecuacin:; calcular: .Rpta.: .

26) Si y , son las races de la ecuacin , determinar para que y , sean las races de la ecuacin: .Rpta.: .

27) Determine el valor de para que la ecuacin:

; tenga races mltiples es; Rpta.: 11.

28) Dadas las ecuaciones en x:

Tengan el mismo conjunto solucin. Halle Rpta.: 0.

29)

Hallar el valor de si una de las races de la ecuacin ; es 4.Rpta.: 1.30) Siendo races de la ecuacin:

Hallar el valor de Rpta.: .

31) Calcular la suma de los cuadrados de las races de la ecuacin:

; sabiendo que las races son reciprocas.

Rpta.:

32) Sea la ecuacin:

; De races Determinar el valor de:

Rpta.:

33) Si la suma de los cuadrados de las races de:

Es de 34 .Hallar el valor de Rpta.: 5.

34) Si r y s son las races de la ecuacin:

; Determinar el valor de

Rpta.:

35) Si a y b son races de la ecuacin:

; Determine el valor de para que se verifique:

Rpta.: .

36) Si la ecuacin:

; es incompatible. Hallar .Rpta.: .

37)

Si la ecuacin es compatible indeterminada, el valor de , esRpta:3

38) Al resolver , el conjunto solucin, es:

Rpta:C.S=

39) Dada la ecuacin lineal , de las siguientes proposiciones indicar con (V) si es verdadera o con (F) si es falsa.

I) Si y , entonces la ecuacin es compatible determinada.

II) Si y , entonces la ecuacin admite solucin nica.

III) Si y , entonces la ecuacin admite infinitas soluciones.La secuencia correcta, es:Rpta:VFF

40)

Hallar el valor de , sabiendo que la ecuacin , es compatible indeterminado.Rpta:11

41)

Para que valor de la ecuacin , es compatible.Rpta:3

42)

Si la ecuacin es compatible determinada, entonces el valor de , es:Rpta:3

43)

Qu valor no puede tomar en la ecuacin , si esta es incompatible?

Rpta: 44)

Resolver la ecuacin ,

Rpta:

45)

El valor de para que la ecuacin sea compatible indeterminadoRpta:0

46) Resolver e indique la solucin negativa.

Rpta:

47)

Qu valor debe tomar para que la ecuacin , sea incompatible?

Rpta:

48) La suma de las soluciones de la ecuacin , es:Rpta:6

49) El valor de b para que la ecuacin:

, sea compatible determinado, es:

Rpta.{2}

50) Resolver la ecuacin:

Rpta.

51)

Si la ecuacin , es compatible indeterminado. Determinar el valor de .Rpta. 4

52) Si la ecuacin: :Tiene infinitas soluciones, entonces el valor de a+b, es:Rpta. 6

53)

Si y son las raices de la ecuacin cuadrtica , con . Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

I) Si , entonces las races son simtricas.

II) Si , entonces las races son reciprocas.

III) La suma de races es

IV) La suma de las inversas de las races, es , Rpta:VVFV

54) La suma de los cuadrados de las races de la ecuacin , sabiendo que las races son recprocas, es:Rpta:82/9

55) Si los cuadrados de las dos races reales de la ecuacin suman 9, el valor de c, es:

Rpta:

56) Si la ecuacin cuadrtica:

, es incompatible el valor de , es:

Rpta:

57)

Si y son nmeros reales de tal manera que las ecuaciones cuadrticas:

Tienen las mismas races, el valor de , es:Rpta:1

58)

Para que valor de , la ecuacin , tiene races simtricas

Rpta:

59) La suma de las raices de la ecuacin , es:Rpta:8

60)

Si y son nmeros reales para los cuales las ecuaciones cuadrticas

Tienen las mismas races. Encuentre el valor de

Rpta:

61)

Dada la ecuacin bicuadrtica , , la suma de sus races, es:Rpta:0

62) El conjunto solucin de ecuacin , es:

Rpta:

63)

En la siguiente ecuacin , , hallar la relacin que debe existir entre los coeficientes para que una raz sea igual a veces la otra.

Rpta:

64)

Si las ecuaciones y tienen raz comn. El producto de las races no comunes, es:Rpta:12

65) Para que valor de k, la ecuacin:

tiene races reciprocas.Rpta. -10

66)

Si y son las races de la ecuacin:

. Determine el valor de m de modo que:

tiene races reciprocas.Rpta. m=2 m=-2 67) En la ecuacin:

; .Hallar el valor de b, si una raz de la ecuacin es -2Rpta.b=36

68) Dada la ecuacin:

; Indicar un (V) si es verdad o un (F) si es falsa de las siguientes proposiciones:ILa ecuacin es compatible.IILa ecuacin es compatible indeterminado.IIILa ecuacin es incompatible.VLa nica solucin es x=2.Rpta. FFVF69)

Si y son las races de la ecuacin cuadrtica con Determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

ISi . , entonces las races son simtricas.

IISi + , entonces las races son reciprocas.

IIILa suma de las inversas de las races es Rpta. FFV70) Si la ecuacin: Calcular el valor de m para que la suma de los cuadrados de sus races sea 85.Rpta. 42.

71) Determinar m en la ecuacin:

Si una raiz es el doble de la otra.Rpta. 2 y -1

72) Dada la ecuacin: ,

de races y , se sabe que . Calcular Rpta. -6

73) Si son las races de la ecuacin:

.

Hallar

Rpta.

74) Si la ecuacin:

Presentan las mismas soluciones, entonces el valor de m y n respectivamente, es:Rpta m=-9 , n=13/2

75)

Si y son las races de la ecuacin:

. Hallar:

Rpta. 12

76) Determinar la ecuacin de segundo grado de coeficiente principal 1 y de races m y n si se sabe que:

Tiene solucin nica real y

Tiene una raz igual a 3.

Rpta.

77) Dada la ecuacin:

, La suma de valores de m que hacen de que dicha ecuacin tenga races iguales, es:Rpta -2

78) El conjunto solucin de la ecuacin: , es:Rpta {1}

79) Calcular la suma de las races de la ecuacin: ?Rpta 4

80) Hallar el valor de: Rpta 3