3 elementos para comprender el lenguaje algebraico

3 elementos para entender el lenguaje algebraico.

PROF. RODRIGO ULLOA SÁNCHEZ

1) El signo menos.

• Problematización.

• En no más de dos minutos, resuelva el siguiente cálculo, utilizando dos técnicas distintas, sin utilizar el algoritmo de las reservas.

878–529

• AL utilizar el algoritmo tradicional, ¿qué errores se espera que cometan niños de 3ro y 4to básico? ¿Cuál es la fuente del error?

1) El signo menos.

• 878–529 es una sustracción “con reserva”, por lo que incluso con el algoritmo tradicional pueden haber problemas:

878

– 529

351

• “como a 8 no le puedo restar 9, entonces hago 9-8 que si sepuede hacer”

1) El signo menos.

• Una forma alternativa que evita el trabajo con las reservas es a través de la descomposición canónica (DC) de los términos de la sustracción. Esta DC todavía se debe realizar con cuidado:

878-529 = 800-500 + 70-20 + 9-8

= 300 + 50 + 3

• “como a 8 no le puedo restar 9, entonces hago 10-7 paraevitar el problema”.

Probablemente, se transformó invirtió el cálculo 9-8, intentando reagrupar las cantidades y salvar el cálculo.

1) El signo menos.

• Una forma correcta de reagrupar es la siguiente:

800 + 70 + 8 800 + 60 + 18

- 500 + 20 + 9 - 500 + 20 + 9

300 + 40 + 9

• “como a 8 no le puedo restar 9, entonces transformo el 8en 18, descomponiendo el 70 como 60+10”.

Esta reagrupación funciona muy bien apoyándose en

la escritura posicional.Pero la DC también ofrece

dificultades...

1) El signo menos.

• La técnica anterior se suele emplear tal como se usaría la DC para el cálculo de adiciones:

878-529 = 800+70+8 – 500+20+9

• “Para resolver el cálculo, aplico la descomposición canónicade ambos términos”.

Si bien se escribió correctamente la descomposición de ambos términos, hay un

error en escribir la descomposición de tal forma, por cuando se registraron 5 adiciones y 1 sustracción (se puede verificar ingresando

en una calculadora).

1) El signo menos.

• La técnica anterior se suele emplear tal como se usaría la DC para el cálculo de adiciones:

878-529 = 800+70+8 – (500+20+9)

= 800+70+8 – 500 – 20 – 9

• “Para no cometer errores, anoto los paréntesis paradespués cambiar el signo de los números que están dentro”.

Esta idea es matemáticamente correcta. Sin embargo, la aplicación de reglas para el uso y eliminación de paréntesis aparecen recién en

los CMO de 7mo básico.¿Cómo se explica entonces el cambio de

signo en niños de 1ro a 4to básico?

1) El signo menos.

• El signo menos es un símbolo complejo, ofrece muchas dificultades para los alumnos de educación básica, media y superior. Otros ejemplos:

• 5to básico: Calcular 2 ½ - 1 ¾.

• En 7mo básico: ¿Es –x un número negativo?

• En 8vo básico: Calcular 2-(-3).

• En 1ro medio: De 3m-2n ejercicios resueltos, hay n-m correctos. ¿Cuántos ejercicios incorrectos hubo?.

1) El signo menos.

• Otros ejemplos:

• 5to básico: Calcular 2 ½ - 1 ¾ como (2-1)+(½–¾)

• Es el mismo problema de la problematización (8-9).

• En 7mo básico: “–x” es negativo por que tiene signo –.

• La afirmación anterior, ¿es válida cuando x=–1?

• En 8vo básico: Calcular 2-(-3).

• ¿Qué significa que menos por menos es más? ¿Cómo se interpreta esa multiplicación?

1) El signo menos.

• Uno de los principales problemas de las preguntas anteriores radica en que el signo – tiene distintas interpretaciones, pero en todos los casos se escribe de igual forma: como un guión.

• La importancia de conocer las tres interpretaciones del signo menos está en que otorga contexto curricular a las técnicas, problemas y lenguaje que se puede emplear con los niños, de acuerdo al curso en el que estén.

• Las interpretaciones son las siguientes:

1) El signo menos.

• El signo menos como operación aritmética.

• Aquí, el signo menos relaciona dos cantidades y entrega un número llamado “resta”.

• Este resultado anticipa el resultado de realizar las siguientes acciones sobre el sustraendo: separar, quitar, retroceder, comparar por diferencia.

• Por ejemplo, para usar el signo menos como una operación, se considera una cantidad (ej: 23), se aplica una acción (ej: quitar), se señala en qué medida se aplica la acción (ej: se quitan 13) y luego se pregunta por el resultado de esa acción en un contexto dado.

1) El signo menos.

• El signo menos como signo de un número.

• Aquí, el signo menos es parte del numeral asociado a una cantidad negativa.

• Ejemplo: “Hoy se registró una temperatura mínima de -2ºC”.

• No implica una acción, ni requiere de un cálculo. Es parte de la cantidad, y se interpreta como tal.

• En el ejemplo, la temperatura mínima es menor a la temperatura de congelamiento del agua”.

• Otro ejemplo, en la expresión 2-(-3) hay dos signos.

• El primer signo representa una sustracción.

• El segundo signo representa que el sustraendo es negativo.

1) El signo menos.

• El signo menos como operador “inverso aditivo”.

• Aquí, el signo menos se aplica sobre un solo número, a diferencia de la sustracción. Representa el número que sumado al original resulta cero.

• Para diferenciarlo de los signos anteriores, se recomienda usar paréntesis.

• Ejemplo: En -(5-2) hay dos signos:

• El segundo representa una sustracción.

• El primero representa el inverso aditivo de la resta.

1) El signo menos.

• El signo menos en el currículum escolar:

• Las dificultades que los niños de 7mo y 8vo experimentan, se debe a que se introducen nuevos usos para el signo menos, sin explicitar el cambio de significados, pues el foco está en mecánica del cálculo.

PK-K 1º a 4º 5º a 6º 7º a 8º

Sustracción Oral, como acción

Signo

Inv. aditivo

1) El signo menos.

• Retomemos uno de los ejemplos anteriores:

878-529 = 800+70+8 – (500+20+9)

= 800+70+8 – 500 – 20 – 9

• “Para no cometer errores, anoto los paréntesis paradespués cambiar el signo de los números que están dentro”.

• De acuerdo a lo anterior, la justificación matemática de laexpresión anterior queda fuera del alcance de los niños deprekinder hasta 6to básico.

• Veamos la evolución curricular del uso del signo.

1) El signo menos.

• En 1ro, el signo menos se usa para representar en formaescrita la operación.

• Asociación de situaciones que implican separar, quitar y retrocedercon la operación sustracción.

• Elaboración de estrategias basadas en composición ydescomposición aditiva para el cálculo de sustracciones.

• En este nivel se introduce por primera vez el signo menos, por loque es muy importante que previo a ello se haya construido elconcepto de sustracción. Una sustracción no es el símbolo (porello se trabaja desde PK), por lo que su introducción es gradualen este nivel.

1) El signo menos.

• De 2do a 6to, el signo menos se usa en el contexto de cálculosy problemas asociados a la sustracción.

• En estos cursos se busca evitar la manipulación con estesigno, a partir de diversas estrategias:

• Diagrama de árbol:

878 – 529

878 – 500 = 378

378 – 20 = 358

500 20 9 358 – 9 = 349

1) El signo menos.

• De 2do a 6to, el signo menos se usa en el contexto decálculos y problemas asociados a la sustracción.

• En estos cursos se busca evitar la manipulación con estesigno, a partir de diversas estrategias:

• Operatoria con números mixtos:

2½ – 1¾ =

2¾ – 2 = ¾

+¼ +¼

1) El signo menos.

• En 7mo se introduce el concepto de número negativo, que esuna cantidad que se escribe con un signo menos frente a talnúmero.

• Un número negativo representa una cantidad que falta o quese adeuda, o bien, una magnitud orientable.

• Cuando el saldo es “-$15.000”, el signo menos quiere decir que lacantidad se adeuda.

• Cuando la altitud es de “-12m”, el signo menos quiere decir quela posición está bajo el nivel del mar.

1) El signo menos.

• A partir de 7mo se introduce además el concepto de inversoaditivo.

• Desde la perspectiva del álgebra, el inverso aditivo es el númeroque completa la siguiente expresión:

x+ =0

Lo que va dentro del recuadro se define como –x.

• El número que se escribe dentro del recuadro siempre tiene elsigno opuesto al del número x. Por lo tanto, –x puede serpositivo o negativo según el signo que tenga el número x (porejemplo, en caso que x = –4).

1) El signo menos.

• La importancia de la construcción de los conceptos anteriores,que se inicia en la educación parvularia, es que permite quelos alumnos tengan herramientas para razonarmatemáticamente expresiones como las siguientes:

• 2 – (–(-3)) = 2 – (3) (porque -3+ 3 =0)

= -1 (porque si desde 2 retrocedo 3

llego hasta el -1).

-1 0 1 2

1) El signo menos.

• En síntesis:

• El trabajo con el signo menos es articulado y paulatino a lo largodel currículo escolar. Por lo tanto, se puede planificar.

• Desde 1ro a 6to básico es importante disponer de técnicas decálculo para que los niños puedan calcular sustracciones conreserva.

• Los niños podrán apropiarse de estas técnicas en la medida quetengan una situación o problema como contexto. Lo cual noslleva a un nuevo tema de discusión…

2) Variaciones proporcionales.


• El siguiente cuadro asociado al precio de entrada al teatro, muestra una situación de variación proporcional. Encuentre el valor que falta, explicitando el desarrollo de los procedimientos empleados.

Nº de entradas Valor para socios

2 $9000

5 x



• El siguiente cuadro pertenece a la misma situación de variación proporcional anterior. Encuentre el valor que falta.


2 $9000

3 $11000

5 x





2 $9000

3 $11000

5 x

7 $19000





2 $9000

3 $11000

5 x

7 $19000

12 $29000

17 $39000


• Las situaciones de proporcionalidad, o de variación proporcional, siempre se establecen a partir de varios datos.

• En la tabla, ¿cuál es el valor de x?

• Las situaciones de variación proporcional (modelos afines) son generalizaciones de las situaciones de relación proporcional (modelos lineales).

• Es muy frecuente que la regla de 3 simple se enseña sin mostrar sus fundamentos, ni las condiciones bajo las cuales opera.


2 $9000

3 $11000

5 x

7 $19000

12 $29000

17 $39000

N V

- -

1 $2000

2 ?

2 ?

5 $10000

5 $10000


• En contexto de proporcionalidad directa, la regla de 3 simple no es el único procedimiento. Las situaciones de proporcionalidad directa tienen otras propiedades.

• 5 entradas (3+2) cuestan $20000 (8000+12000).

• 12 entradas (4·3) cuestan $48000 (4·12000)

Nº de entradas Valor para clientes

no socios

2 $8000

3 $12000

5 ?

7 $28000

12 $48000

17 $88000


• Las situaciones de proporcionalidad directa tienen otras propiedades.

• 5 entradas (3+2) cuestan $20000 (8000+12000).

• 12 entradas (4·3) cuestan $48000 (4·12000)

• En matemática, las propiedades anteriores se denominan “lineales”, es decir, los términos de una expresión distribuyen (lo que comúnmente se denomina como “se reparten”).

• Esta idea de «repartir términos» sin describir su fundamento ni las condiciones de operación de esta noción, genera una serie de dificultades en niñas y niños de nuestro sistema escolar.

3) La linealidad

• Ejemplos de linealidad en la que la noción de «repartir términos» funciona:

• El factor 3 se “reparte” frente a una adición.

3·(4+5)=3·4+3·5

• Numerador y denominador se “reparten” en la multiplicación de fracciones.

¾ x ½ = (3x1)/(4x2) = 3/8

• El signo menos se reparte en una eliminación de paréntesis.

-(3x+2y) = -3x -2y

• IMPORTANTE: estos tres ejemplos son cualitativamente diferentes, por lo que referirse a ellos a través de la misma metáfora es un profundo error.

3) La linealidad

• La linealidad no siempre se cumple…

• CONTRAEJEMPLOS:

• En el caso de raíces: √(9+4) es distinto de √9 + √4.

• Con números enteros, el signo menos no se reparte en una multiplicación: -(3·4) es distinto de (-3)·(-4)

• Es muy importante permitir que los alumnos formulen conjeturas. Tan importante como lo anterior, es la verificación o refutación de conjeturas.

• Es relevante además comprender los fundamentos de la linealidad, expresada matemáticamente (por ejemplo, el fundamento de la propiedad distributiva).

3 elementos para comprender el lenguaje algebraico

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