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Introducción El lenguaje Algebraico El lenguaje que usamos en operaciones aritméticas en las que sólo intervienen números se llama lenguaje numérico. El lenguaje que utiliza letras en combinación con números y signos, y, además, las trata como números en operaciones y propiedades, se llama lenguaje algebraico. La parte de las Matemáticas que estudia la relación entre números, letras y signos se llama Álgebra. El lenguaje algebraico nace en la civilización musulmana en el período de Al–khwarizmi, al cual se le considera el padre del álgebra. El lenguaje algebraico consta principalmente de las letras de alfabeto y algunos vocablos griegos. La principal función de lenguaje algebraico es estructurar un idioma que ayude a generalizar las diferentes operaciones que se desarrollan dentro de la aritmética, por ejemplo: si queremos sumar dos números cualesquiera basta con decir a + b; donde la letra a indique que es un número cualquiera de la numeración que conocemos, b de la misma manera que a significa un número cualquiera de la numeración. Cómo aparecen las letras en matemáticas Para trabajar con cantidades desconocidas y razonar de una manera precisa con ellas. Una cantidad desconocida se suele representar con alguna letra llamada variable. Ejemplos: Sea x mi edad. Sea y la edad de mi madre. Entonces y – x son los años que tenía mi madre cuando yo nací. Unidad Didáctica

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Page 1: nguaje algebraico - Aula Abierta de Matemáticas ... · Web viewCaracterísticas del lenguaje algebraico 1.- El lenguaje algebraico es más preciso que el lenguaje numérico: podemos

Introducción

El lenguaje Algebraico

El lenguaje que usamos en operaciones aritméticas en las que sólo intervienen números se llama lenguaje numérico.

El lenguaje que utiliza letras en combinación con números y signos, y, además, las trata como números en operaciones y propiedades, se llama lenguaje algebraico.

La parte de las Matemáticas que estudia la relación entre números, letras y signos se llama Álgebra.

El lenguaje algebraico nace en la civilización musulmana en el período de Al–khwarizmi, al cual se le considera el padre del álgebra. El lenguaje algebraico consta principalmente de las letras de alfabeto y algunos vocablos griegos. La principal función de lenguaje algebraico es estructurar un idioma que ayude a generalizar las diferentes operaciones que se desarrollan dentro de la aritmética, por ejemplo: si queremos sumar dos números cualesquiera basta con decir a + b; donde la letra a indique que es un número cualquiera de la numeración que conocemos, b de la misma manera que a significa un número cualquiera de la numeración.

Cómo aparecen las letras en matemáticas

Para trabajar con cantidades desconocidas y razonar de una manera precisa con ellas. Una cantidad desconocida se suele representar con alguna  letra  llamada  variable. Ejemplos:

Sea x mi edad. Sea y la edad de mi madre. Entonces y – x son los años que tenía mi madre cuando yo nací.

Como vemos, empleamos letras para representar cualquier número desconocido, realizamos operaciones aritméticas con ellas e, incluso, las incluimos en expresiones matemáticas para poder calcular su valor numérico (ver ecuaciones).

Para poder manejar el lenguaje algebraico es necesario comprender lo siguiente: Se usan todas las letras del alfabeto. Las primeras letras del alfabeto se determinan por regla general como

constantes, es decir, cualquier número o constante como el vocablo pi. Por lo regular las letras X, Y y Z se utilizan como las incógnitas o variables de

la función o expresión algebraica.

También el lenguaje algebraico ayuda mantener relaciones generales para razonamiento de problemas a los que se puede enfrentar cualquier ser humano en la vida cotidiana.

UnidadDidáctica

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El lenguaje algebraico

Aquí se presentan los siguientes ejemplos, son algunas de las situaciones más comunes que involucran los problemas de matemáticas con lenguaje algebraico; cualquier razonamiento extra o formulación de operaciones con este lenguaje se basa estrictamente en estas definiciones:

un número cualquieraSe puede denominar con cualquier letra del alfabeto, por ejemplo:a = un número cualquierab = un número cualquierac = un número cualquiera... y así sucesivamente con todos los datos del alfabeto.

la suma de dos números cualesquieraa+b = la suma de dos números cualesquierax+y = la suma de dos números cualesquiera

la resta de dos números cualesquieraa-b = la resta de dos números cualesquieram-n = la resta de dos números cualesquiera

la suma de dos números cualesquiera menos otro número cualquieraa-b+c =la suma de dos números cualesquiera menos otro número cualquiera

el producto de dos números cualesquieraab = el producto de dos números cualesquiera

el cociente de dos números cualesquiera (la división de dos números cualesquiera)a/b= el cociente de dos números cualesquiera

la semisuma de dos números cualesquiera(a+b)/2= la semisuma de dos números cualesquiera

el semiproducto de dos números cualesquiera(ab)/2= el semiproducto de dos números cualesquiera

Características del lenguaje algebraico

1.- El lenguaje algebraico es más preciso que el lenguaje numérico: podemos expresar enunciados de una forma más breve.El conjunto de los múltiplos de 5 es 5 • = {±5, ±10, ±15, ...}.En lenguaje algebraico se expresa 5 • n, con n un número entero.

2.- El lenguaje algebraico permite expresar relaciones y propiedades numéricas de carácter general.La propiedad conmutativa del producto se expresa a • b = b • a, donde a y b son dos números cualesquiera.

3.- Con el lenguaje algebraico expresamos números desconocidos y realizamos operaciones aritméticas con ellos.

El doble de un número es seis se expresa 2 • x = 6.

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El lenguaje algebraico

Expresiones algebraicas

Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras que se combinan con los signos de las operaciones aritméticas.

Las expresiones algebraicas surgen al traducir el impreciso lenguaje ordinario al preciso lenguaje matemático. A modo de ejemplos, ofrecemos un listado de frases con un contenido matemático traducidas al lenguaje algebraico:

Frase Expresión algebraica

La suma de 2 y un número 2 + d  (la "d" representa la cantidad desconocida)

3 más que un número  x + 3La diferencia entre un número y 5  a - 54 menos que n 4 - nUn número aumentado en 1 k + 1Un número disminuido en 10 z - 10El producto de dos números a • bDos veces la suma de dos números 2 ( a + b)Dos veces un número sumado a otro 2a + bCinco veces un número 5x

Ene veces (desconocida) un número conocido n multiplicado por el número conocido

El cociente de dos números a b

La suma de dos números x + y10 más que n n + 10Un número aumentado en 3 a + 3Un número disminuido en 2 a – 2El producto de p y q p • qUno restado a un número n – 1El antecesor de un número cualquiera x – 1El sucesor de un número cualquiera x + 13 veces la diferencia de dos números 3(a – b)10 más que 3 veces un número 10 + 3bLa diferencia de dos números a – bLa suma de 24 y 19 24 + 19 = 4319 más que 33 33 + 19 = 52Dos veces la diferencia de 9 y 4 2(9 – 4) = 18 – 8 = 10El producto de 6 y 16 6 • 16 = 963 veces la diferencia de 27 y 21 3(27 – 21) = 81 – 63 = 18

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El lenguaje algebraico

La diferencia de 9 al cuadrado y 4 al cuadrado 92 – 42 = 81 – 16 = 65El cociente de 3 al cubo y 9 33 / 9 = 27 / 9 = 312 al cuadrado dividido por el producto de 8 y 12

122 ÷ (8 • 12) = 144 ÷ 96 = = 1,5

 

1. Practicando: expresa en lenguaje algebraico.

Escribe de forma simbólica las siguientes expresiones:

El triple de un número:

El cuádruple de un número:

El séxtuplo de un número:

El óctuple de un número:

El décuplo de un número:

La mitad de un número:

La cuarta parte de un número:

Un quinto de un número:

Los dos tercios de un número:

Las tres quintas partes de un número:

Los ocho séptimos de un número:

Los tres novenos de un número:

Un número es igual a la novena parte de otro:

Un número es igual a la décima parte de otro:

Un número es igual al doble de otro:

Un número es igual al triple de otro:

Un número es cinco veces otro:

Un número es nueve veces otro:

El cuadrado de un número:

El cubo de un número:

La cuarta potencia de un número:

La quinta potencia de un número:

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El lenguaje algebraico

La raíz cuadrada de un número:

La raíz cúbica de un número:

El cuadrado de un número más su doble:

Completa la tabla atendiendo a los siguientes enunciados:

o Teresa tiene x años.

o Su hija tiene 25 años menos que ella.

o Su madre tiene el doble de edad que ella.

o Su padre le saca 6 años a su madre.

o Lorenzo tiene 5 años más que Teresa.

Edad

Teresa

La hija

La madre

El padre

Lorenzo

Haz corresponder cada enunciado con su expresión algebraica:

o La mitad de un número.

o El triple de la mitad de un número.

o La distancia recorrida en x horas por un tren que viaja a 60 Km/h.

o El precio de x kilos de naranjas que cuestan 1´3 € el kilo.

o La edad de Pedro, sabiendo que su abuelo, que ahora tiene x años,

tenía 60 cuando nació Pedro.

o El área de un triángulo de base 1´3 m y altura x metros.

Diferencia entre: El cuadrado de la suma de dos números / La suma del cuadrado de dos números.

El triple de la diferencia de dos números / La diferencia del triple de dos números.

Traduce los siguientes enunciados:

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El lenguaje algebraico

El doble de la tercera parte de un número.

El triple de la mitad de la quinta parte de un número.

La quinta parte de cuádruplo de un número.

2. Practicando: expresa en lenguaje algebraico.

1) El doble de un número menos su cuarta parte.

2) Años de Ana Belén dentro de 12 años.

3) Años de Isabel hace tres años.

4) La cuarta parte de un número más su siguiente.

5) Perímetro de un cuadrado.

6) Un número par.

7) Un número impar.

8) Un múltiplo de 7.

9) Dos números enteros consecutivos.

10) Dos números que se diferencian en dos unidades.

11) El doble de un número menos su quinta parte.

12) El quíntuplo de un número más su quinta parte.

13) La edad de una señora es el doble de la de su hijo menos 5 años.

14) Dos números se diferencian en 13 unidades.

15) Dos números suman 13.

16) Un hijo tiene 22 años menos que su padre.

17) Dos números cuya suma es 25.

18) La cuarta parte de la mitad de un número.

19) Dimensiones de un rectángulo en el que su largo tiene 6 metros más que el ancho.

20) Un tren tarda tres horas menos que otro en ir de Madrid a Barcelona.

21) Repartir una caja de manzanas entre seis personas.

22) Un número es 10 unidades mayor que otro.

23) Un número menos su mitad más su doble.

24) Un número 5 unidades menor que otro.

25) El cuadrado de un número.

26) Un número y su opuesto.

27) Un número y su inverso.

28) Veinticinco menos el cuadrado de un número.

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El lenguaje algebraico

29) El cuadrado de un número menos su cuarta parte.

30) Dividir 25 en dos partes.

31) La suma de un número al cuadrado con su consecutivo.

32) La suma de un número con su consecutivo al cuadrado.

33) El cociente entre un número y su cuadrado.

34) La diferencia de dos números impares consecutivos.

35) El producto de un número con su consecutivo.

36) La diferencia de dos números consecutivos elevados al cuadrado.

37) Triple de un número elevado al cuadrado.

38) Restar 7 al duplo de un número al cuadrado.

39) Roberto es cinco años más joven que Arturo.

40) Antonio tiene 20 euros más que Juan.

41) Carmen supera a Concha en tres años.

42) El precio de “m” libros a 49 euros cada uno.

43) El número que es la cuarta parte del número “y”.

44) Dos múltiplos de tres consecutivos.

45) El 25% de un número.

46) Lo que cuestan “c” metros de cuerda si cada metro cuesta 8 euros.

47) El beneficio que se obtiene en la venta de un artículo que cuesta “a” euros y se

vende por “b” euros.

48) Lo que cuesta un lápiz si 15 cuestan “p” euros.

49) El número que representa 12 unidades más que el número “x”.

50) La edad de Juan es ocho veces la de Rafael.

51) El número que representa 20 unidades menos que el número “h”.

52) El número que es tres veces mayor que el número “n”.

Considerando un rebaño de “x” ovejas:

53) Número de patas del rebaño.

54) Número de patas si se mueren 6 ovejas.

55) Número de ovejas después de nacer 18 corderillos.

56) Número de ovejas después de dos años si el rebaño crece un cuarto al año.

Considerando que Ana tiene “x” euros:

57) Enrique tiene 100 euros más que Ana.

58) Susana tiene el doble de Enrique.

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El lenguaje algebraico

59) Charo tiene 400 euros menos que Susana.

SOLUCIONES

1) 2x− x/42) x + 123) x – 34)x/4x1

5) 4x6) 2x7) 2x + 18) 7x9) x , x + 110) x , x + 211) 2x−x/512) 5xx/513) 2x – 514) x , x + 1315) x , 13 – x16) x – 2217) x , 25 - x18) x/419) x , x+620) x – 321) x/622) x + 1023) x−x/22⋅x24) x – 525) x2

26) x , -x27) x , 1/x

31) x2x1

32) xx12

33) x/x2

34) 2x3−2x1

35) x( x + 1)36) x12−x2

37) 3⋅x2

38) 2x2−739) x – 540) x + 2041) x + 342) 49m43) y/444) 3x , 3x + 345) 25/100⋅x46) 8c47) b – a48) 15/p49) x + 1250) 8x51) h – 2052) 3n53) 4x54) 4(x-6)55) x + 1856) xx/41/4⋅xx/4

57) x + 100

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El lenguaje algebraico

28) 25−x229) x2−x/430) x , 25 – x

58) 2(x + 100)59) 2(x + 100) - 400

Control: el lenguaje algebraico.

1. la mitad de un númeroA) 2 · xB) x/2C) x²

2. el doble de un número más tresA) 2x + 3B) 2 · (x + 3)C) x/2 + 3

3. el triple de un número menos cuatroA) x - 3 · 4B) 3 · 4 - xC) 3x – 4

4. la mitad del cubo de un númeroA) 3 · x /2B) 3/2 · xC) x3/2

5. siete menos un númeroA) 7 - 3B) 7 - xC) x – 7

6. el doble de la suma de dos númerosA) 2 · (m + n)B) 2 · m + nC) m + n · 2

7. la edad de una persona hace cinco añosA) 5 - xB) 32 - 5C) x – 5

8. el cuadrado más el triple de un númeroA) 32 + 3 · xB) x2 + 3 · xC) x + 32

9. la quinta parte del triple de un número

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Empareja números y letras

El lenguaje algebraico

A) 3 · 5 /xB) 3 · x / 5C) x/3 · 5

10. el triple de la suma de tres númerosA) 3 · (a + b + c)B) 3 + a + b + cC) a + b + c · 3

1.

El anterior de un número A.

5x

2. El doble de un número, más 3 B. x/2 – 4 3. El siguiente de un número C. 3x - 54. El triple de un número D. 2x + 35. El triple de un número menos 5 E. 2x6. La mitad de un número menos 4 F. 2x + 17. Un múltiplo cualquiera de 2 G. x + 18. Un múltiplo cualquiera de 5 H. 2x9. Un número impar I. 3x10. Un número par J. x - 1

1. Dos nºs impares consecutivos. A. x - x2

2. El cuadrado de la + de dos nºs B. 2x3. El triple de un número impar. C. 2y, 2y + 2, 2y + 44. La suma de los cubos de dos nº D. 2a + 15. Resta de un nº y su cuadrado. E. (a + b)2

6. Tres nºs pares consecutivos. F. 2a + 1, 2a + 37. Tres nº naturales consecutivos G. n, n + 1, n + 28. Un número impar. H. 3(2n + 1)9. Un número par. I. 2x +210. Un número par siguiente a 2x J. x3 +y3

1. Dos nºs cuya suma sea 12. K. x + y = 122. El perímetro de un cuadrado. L. x2

3. El perímetro de un rectángulo. M. 4x4. El área de un cuadrado. N. x · y5. El área de un rectángulo. O. x/56. La mitad de n menos 4 unidades P. x - x/27. La mitad de un número. Q. x/28. Reparte dinero entre 5 amigos R. n/2 - 49. Un múltiplo de cinco. S. 5a10. Un nº menos su mitad. T. 2x + 2y

1. (b·h)/2 A. El área de un rectángulo cualquiera.2. 2a+2b B. La edad de Juan dentro de dos años.

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El lenguaje algebraico

3. 3x C. la edad de María hace dos años4. 3x+2 D. El área de un cuadrado de lado l.5. 4l E. El perímetro de un triángulo equilátero.6. b·h F. Al triple de un número le sumamos dos unidades.7. l² G. El área de un triángulo cualquiera.8. x(x+1) H. El producto de un número y su consecutivo.9. x+2 I. El perímetro de un rectángulo.10. x-2 J. El perímetro de un cuadrado de lado l.

Valor numérico de una expresión algebraica

El valor numérico de una expresión algebraica es el número que resulta de sustituir las letras por números y realizar a continuación las operaciones que se indican. Se trata de una simple sustitución de letras por números para después hacer los cálculos indicados por la expresión y obtener así un resultado:

Ejemplo:

Dada la expresión:  

Respuesta: 1066

Solución:Sustituimos las letras por los números teniendo en cuenta los signos aritméticos:

9.25  Calcula el valor numérico de:3a – 2b + 4a + 3b     si a = 2  y  b = 3

Respuesta: 17

9.26 Calcula el valor numérico de:

Respuesta: 7

9.27  Calcula el valor numérico de:

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El lenguaje algebraico

Respuesta:    

9.28  Halla el valor numérico:    para a = 3, b = 4  y c = 5   Respuesta: 

9.29   Calcula el valor numérico de:

Para p = 5, a = 2, b = 3 y c = 4

Respuesta: 

Solución:

9.30     Calcula el valor numérico de: Para   a = 5 y b = 3

Respuesta:

Solución:Recuerda que si entre paréntesis no hay signos aritméticos, se entiende que se encuentra el signo X.

9.31   Calcula el valor numérico de:

Respuesta:  15    

9.32    Calcula el valor numérico de: Para a = 1  y  b = 2   Cuidado con los signos negativos.Respuesta: -3

9.33 Calcula el valor numérico de: Para

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El lenguaje algebraico

Respuesta:

9.34 Halla el valor numérico de:

Respuesta:

 

Clasificación de las expresiones algebraicas

Monomios

Un monomio se define como aquella expresión algebraica que está constituida por coeficientes, exponentes y bases.

 Coeficiente numérico: es la cantidad numérica o letra que se encuentra a la izquierda de la base, la cual indica la cantidad de veces que la base se debe sumar o restar dependiendo del signo que tenga.

Ejemplos:7x4 = x4 + x4 + x4 + x4 + x4 + x4 + x4

– 3x2 = –  x2 – x2 – x2

Exponente numérico: es la cantidad que se encuentra arriba a la derecha de la base, la cual indica la cantidad de veces que la base se toma como producto.Ejemplos:5x3 =  5 (x) (x) (x)8(– x + 5)2 = 8(– x + 5) (– x + 5)

Polinomios

Un polinomio es así:

un ejemplo de polinomio este tiene 3 términos

Están hechos de:constantes (como 3, -20, o ½)

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El lenguaje algebraico

variables (como x e y)exponentes (como el 2 en y2) pero sólo pueden ser 0, 1, 2, 3, ... etc

Que se pueden combinar usando:+ - × sumas, restas y multiplicaciones...   ... ¡pero no divisiones! 

 Estas reglas hacen que los polinomios sean simples, ¡así es fácil trabajar con ellos!

¿Son polinomios o no?

Estos son polinomios: 3x x - 2 3xyz + 3xy2z - 0.1xz - 200y + 0.5

Y estos no son polinomios 2/(x+2) no lo es, porque dividir no está permitido 3xy-2 no lo es, porque un exponente es "-2" (los exponentes sólo pueden ser

0,1,2,...)

Pero esto sí está permitido: x/2 está permitido, porque también es (½)x (la constante es ½, o 0.5) también 3x/8 por la misma razón (la constante es 3/8, o 0.375)

Monomios, binomios, trinomios

Hay nombres especiales para los polinomios con 1, 2 o 3 términos:

¿Cómo te aprendes los nombres? ¡Piensa en bicicletas!

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El lenguaje algebraico

(También existen cuatrinomio (4 términos) y quintinomio (5 términos), pero se usan poco)

“Poli” + “nomios” = Muchos términosLos polinomios pueden tener montones de términos, pero no infinitos términos.

¿Qué tienen de especial los polinomios?Por su definición tan estricta, es fácil trabajar con polinomios.

Por ejemplo sabemos que: Si sumas o restas polinomios te sale un polinomio Si multiplicas polinomios te sale un polinomio

Así que puedes hacer muchas sumas y multiplicaciones con ellos, y siempre sale un polinomio al final.

GradoEl grado de un polinomio con una sola variable es el mayor exponente de esa variable. Ejemplo:

El grado es 3 (el mayor exponente de x)

Para casos más complicados, lee Grado (de una expresión).

Sumar y restar polinomios

Para sumar polinomios simplemente suma juntos los términos similares... ¿qué son términos similares?

Términos similares

"Términos similares" son términos cuyas variables (y sus exponentes como el 2 en x2) son los mismos.

En otras palabras, términos que "se parecen".

Ejemplos:Términos Por qué son "similares"

7x x -2x porque las variables son todas x

(1/3)xy2 -2xy2 6xy2 porque las variables son todas xy2

Sumar polinomios

Dos pasos: Pon juntos los términos similares

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El lenguaje algebraico

Suma los términos similaresEjemplo: suma     2x2 + 6x + 5     y     3x2 - 2x - 1

Junta los términos similares: 2x2 + 3x2     +     6x - 2x    +     5 - 1

Suma los términos similares: (2+3)x2  + (6-2)x + (3-1) = 5x2 + 4x + 4

Sumar en columnasPuedes sumar varios polinomios juntos así.

Ejemplo: suma     (2x2 + 6y + 3xy),   (3x2 - 5xy - x)   y   (6xy + 5)

Ponlos alineados en columnas y suma:2x2 + 6y + 3xy3x2       - 5xy - x            6xy     +   5 5x2 + 6y + 4xy - x + 5

Usar columnas te ayuda a poner juntos los términos similares en las sumas complicadas.

Restar polinomios

Para restar polinomios, primero invierte el signo de cada término que vas a restar (en otras palabras cambia "+" por "-", y "-" por "+"), después suma normalmente.

La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto del sustraendo.

P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x − 3) − (2x3 − 3x2 + 4x)P(x) −  Q(x) = 2x3 + 5x − 3 − 2x3 + 3x2 − 4xP(x) −  Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x− 4x − 3P(x) −  Q(x) = 3x2 + x − 3

Multiplicación de polinomios

Multiplicación de un número por un polinomioEs otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y

como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número.

3 · (2x3 − 3 x2 + 4x − 2) = 6x3 − 9x2 + 12x − 6

Multiplicación de un monomio por un polinomioSe multiplica el monomio por todos y cada uno de

los monomios que forman el polinomio.3 x2 · (2x3 − 3x2 + 4x − 2) = 6x5 − 9x4 + 12x3 − 6x2

Multiplicación de polinomiosP(x) = 2x2 − 3    Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x

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El lenguaje algebraico

Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio.

P(x) ·  Q(x) = (2x2 − 3) · (2x3 − 3x2 + 4x) == 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x =Se suman los monomios del mismo grado.= 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12xSe obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los

grados de los polinomios que se multiplican.

También podemos multiplicar polinomios de siguiente modo:

División de polinomios

Resolver la división de polinomios:P(x) = x5 + 2x3 − x − 8         Q(x) = x2 − 2x + 1P(x) : Q(x)A la izquierda situamos el dividendo . Si el polinomio no es

completo dejamos huecos en los lugares que correspondan.

A la derecha situamos el divisor dentro de una caja.Dividimos el primer monomio del dividendo entre el primer

monomio del divisor.x5 : x2 = x3

Multiplicamos cada término del polinomio divisor por el resultado anterior y lo restamos del polinomio dividendo:

Volvemos a dividir el primer monomio del dividendo entre el primer monomio del divisor. Y el resultado lo multiplicamos por el divisor y lo restamos al dividendo.

2x4 : x2 = 2 x2

Procedemos igual que antes.5x3 : x2 = 5 x

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Volvemos a hacer las mismas operaciones.8x2 : x2 = 8

10x − 6 es el resto, porque su grado es menor que el del divisor y por tanto no se puede continuar dividiendo.

x3+2x2 +5x+8 es el cociente.

División por Ruffini

Si el divisor es un binomio de la forma x — a , entonces utilizamos un método más breve para hacer la división, llamado regla de Ruffini.

Resolver por la regla de Ruffini la división:

(x4 −3x2 +2) : (x −3)

1Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos que faltan con ceros.

2Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea.3Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término

independendiente del divisor.4Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente.

5Multiplicamos ese coeficiente por el divisor y lo colocamos debajo del siguiente término.

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El lenguaje algebraico

6Sumamos los dos coeficientes.

7Repetimos el proceso anterior.

Volvemos a repetir el proceso.

Volvemos a repetir.

8El último número obtenido, 56 , es el resto.9El cociente es un polinomio de grado inferior en una

unidad al dividendo y cuyos coeficientes son los que hemos obtenido.

x3 + 3 x2 + 6x +18

Ejercicios y problemas resueltos de polinomios

1(x4 −2x2 +2 ) · (x2 −2x +3) == x6 −2x5 + 3x4 − 2x4 + 4x3 − 6x2 + 2x2− 4x +6== x6 −2x5 − 2x4 + 3x4 + 4x3 + 2x2 − 6x2 − 4x +6 == x 6 −2x5 + x4 + 4x3 − 4x2 − 4x + 6

2 (3x2 − 5x) · (2x3 + 4x2 − x +2) == 6x5 + 12x4 − 3x3 + 6x2 − 10x4 − 20x3 + 5x2 − 10x == 6x5 + 12x4 − 10x4 − 3x3 − 20x3 + 6x2 + 5x2 − 10x == 6x5 + 2x4 − 23x3 + 11x2 − 10x

3 (2x2 − 5x + 6) · (3x4 − 5 x3 − 6 x2 + 4x − 3) == 6x6 − 10x5 − 12 x4 + 8x3 − 6 x2 −− 15x5 + 25x4 + 30x3 − 20x2+ 15x ++18x4 − 30x3 − 36x2 + 24x − 18 == 6x6 − 10x5 − 15x5 − 12 x4 + 25x4 + 18x4 ++8x3 − 30x3 + 30x3− 6 x2− 20x2 − 36x2 + 15x + 24x − 18 == 6x6 − 25x5 + 31x4 + 8x3 − 62x2 + 39x − 18

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El lenguaje algebraico

1Dados los polinomios:

P(x) = 4x2 − 1Q(x) = x3 − 3x2 + 6x − 2R(x) = 6x2 + x + 1S(x) = 1/2x2 + 4T(x) = 3/2x2 +5U(x) = x2 + 2

Calcular:1P(x) + Q (x) == (4x2 − 1) + ( x3 − 3x2 + 6x − 2) == x3 − 3x2 + 4x2+ 6x − 2 − 1 == x3 + x2+ 6x − 32P(x) − U (x) == (4x2 − 1) − (x2 + 2) == 4x2 − 1 − x2 − 2 == 3x2 − 33P(x) + R (x) == (4x2 − 1) + (6x2 + x + 1) == 4x2 + 6x2 + x − 1 + 1 == 10x2 + x42P(x) − R (x) == 2(4x2 − 1) − (6x2 + x + 1) == 8x2 − 2 − 6x2 − x − 1 == 2x2 − x − 3

5S(x) + T(x) + U(x) == (1/2x2 + 4 ) + (3/2x2 +5 ) + (x2 + 2) == 1/2 x2 + 3/2 x2 + x2 + 4 + 5+ 2 == 3x2 + 116S(x) − T (x) + U(x) == (1/2x2 + 4) − (3/2x2 +5) + (x2 + 2) == 1/2x2 + 4 − 3/2x2 − 5 + x2 + 2 = 1

2Dados los polinomios:

P(x) = x4 − 2x2 − 6x − 1Q(x) = x3 − 6x2 + 4R(x) = 2x4 −2 x − 2

Calcular:P(x) + Q(x) − R(x) == (x4 −2x2 − 6x − 1) + (x3 − 6x2 + 4) − ( 2x4 − 2x − 2) == x4 −2x2 − 6x − 1 + x3 − 6x2 + 4 − 2x4 + 2 x + 2 == x4 − 2x4 + x3 −2x2 − 6x2 − 6x + 2 x − 1 + 4 + 2 == −x4 + x3 − 8x2 − 4x + 5P(x) + 2 Q(x) − R(x) ==(x4 −2x2 − 6x − 1) + 2(x3 − 6x2 + 4) − ( 2x4 −2 x − 2)== x4 − 2x2 − 6x − 1 +2x3 − 12x2 + 8 − 2x4 + 2 x + 2 =

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= x4 − 2x4 + 2x3 −2x2 − 12x2 − 6x + 2x − 1 + 8 + 2 == −x4 + 2x3− 14x2 − 4x + 9Q(x)+ R(x) − P(x)== (x3 − 6x2 + 4) + ( 2x4 −2 x − 2) − (x4 −2x2 − 6x − 1) == x3 − 6x2 + 4 + 2x4 −2 x − 2 − x4 +2x2 + 6x + 1== 2x4 − x4 + x3 − 6x2 +2x2 −2 x + 6x + 4− 2 + 1== x4 + x3 − 4x2 + 4x + 3

3Dividir los polinomios:

1(x4 − 2x3 −11x2+ 30x −20) : (x2 + 3x −2)

2(x 6+ 5x4 + 3x2 − 2x) : (x2 − x + 3)

3 P(x) = 2x5 + 2x3 −x − 8         Q(x) = 3x2 −2 x + 1

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El lenguaje algebraico

4 Dividir por Ruffini:

1 (x3 + 2x +70):(x+4)

 

2(x5 − 32):(x − 2)

C(x) = x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16 R= 0

3 (x4 −3x2 +2 ):(x −3)

C(x) = x3 + 3 x2 + 6x +18 R= 56

Ecuaciones

Un Acertijo¿Cuál es el número que falta?

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  - 2 = 4Bueno pues, la respuesta es 6, ¿no? Porque 6-2=4.

Bien, en Álgebra no usamos espacios vacíos o cajas sino que usamos una letra (normalmente una x o una y, pero cualquier letra está bien). Entonces escribiríamos:

x - 2 = 4

Es así de sencillo. La letra (en este caso una x) sólo quiere decir “aún no lo sabemos” y se la llama frecuentemente incógnita o variable.Y una vez que la resuelves, escribes:

x = 6

¿Por qué usar una letra?

  Porque:

es más fácil escribir “x” que dibujar cajitas vacías (y más fácil decir “x” que “caja vacía”)

si hubiera muchas cajitas vacías (muchas “incógnitas”) podríamos utilizar una letra diferente para cada una.

Cómo ResolverEl álgebra es como un acertijo donde empiezas con algo como “x-2=4” y quieres llegar a algo como “x=6”.

Pero en lugar de decir “obviamente x=6”, usa el siguiente método paso a paso: Piensa qué es lo que debes quitar para llegar a “x=…” Quítalo haciendo lo opuesto (sumar es opuesto a restar) Esto último hazlo en ambos lados

Aquí tienes un ejemplo:

Queremos quitar el “-2”

Para quitarlo, hazlo opuesto, en este caso suma 2

Hazlo en ambos lados: Lo cual es ... ¡Resuelto!

¿Por qué agregamos 2 a ambos lados?

Para “mantener el equilibrio”…

  Agrega 2 a la izquierda

Agrega 2 a la derecha también

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Equilibrada ¡Desequilibrada! Equilibrada de nuevo

Acuérdate de esto:Para mantener el equilibrio, ¡lo que se hace a un lado del “=” 

también debe hacerse al otro lado!

Otro AcertijoResuelve éste:

x + 5 = 12

Comienza con: x + 5 = 12 

Lo que estás buscando es una respuesta como “x=…” ¡y el +5 está molestando!Si restas 5, puedes cancelar el +5 (porque 5-5=0)

 

   

Entonces, intentemos restar 5 en ambos lados: x+5 -5 = 12 -5   

Un poquito de aritmética (5-5=0 y 12-5=7) da como resultado: x+0 = 7   

Lo cual es simplemente: x = 7  ¡Resuelto!(chequeo rápido: 7+5=12)  

Inténtalo Tú MismoAhora practica con estos Ejercicios Simples de Álgebra y luego controla tus respuestas en la página que le sigue.¡Intenta utilizar los pasos que te hemos mostrado aquí, en lugar de adivinar!ntroducción al Álgebra - MultiplicaciónPor favor lee la Introducción al Álgebra primeroOtro Puzzle¿Cuál es el número que falta?

  × 4 = 8La respuesta es 2, ¿verdad? Porque 2 × 4 = 8.Bueno, en álgebra no se usan cuadros en blanco, se usan letras. Así que podemos escribir:

x × 4 = 8

¡Pero la letra "x" se parece al "×"! ... eso puede confundirnos... así que en álgebra no se usa el signo de multiplicar (×) entre números y letras, sólo hay que poner el número al lado de la letra para indicar una multiplicación:

4x = 8

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En español lo dirías "cuatro equis es igual a ocho", lo que quiere decir que 4 x's hacen 8. Y la respuesta la escribirías:

x = 2

Cómo resolverEn la otra página te enseñamos este cómodo método paso a paso:

Averigua qué tienes que quitar para conseguir "x = ..." Quítalo haciendo lo contrario Haz eso en los dos lados

Eso también funciona aquí, pero lo que te hace falta saber es que dividir es lo contrario de multiplicar. Mira este ejemplo:

Queremos quitar el "4"

Para quitarlo, haz lo opuestoen este caso divide entre 4:

Hazlo en los dos lados: Eso es ...¡Resuelto

!

¿Por qué hemos dividido entre 4 en los dos lados?

Porque hace falta equilibrio...

  Divide a la izquierda entre 4

Divide también a la derecha entre 4

En equilibrio ¡Desequilibrado! En equilibrio otra vez

Sólo recuerda...Para mantener el equilibro, ¡lo que hagas a un lado del "="tienes que hacerlo también al otro lado!

Otro puzzleResuelve este:

x / 3 = 5

Empieza por: x/3 = 5 

Lo que tienes que conseguir es una respuesta como "x = ...", ¡y el divide entre 3 te estorba!Si multiplicas por 3 puedes cancelar el dividir entre 3 (porque 3/3=1)

 

   

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El lenguaje algebraico

Así que vamos a probar a multiplicar por 3 en los dos lados: x/3 ×3 = 5 ×3   

Un poco de aritmética (3/3 = 1 y 5×3 = 15) nos da: 1x = 15   

Y esto es: x = 15  ¡Resuelto!(Comprobación rápida: 15/3 = 5)  

Prueba tú ahoraAhora prueba con esta hoja de ejercicios de multiplicación algebraica y comprueba tus respuestas en la página de después. ¡Intenta usar los pasos que te hemos enseñado, en lugar de adivinar!

Un ejemplo más complicado¿Cómo resolverías este?

x / 3 + 2 = 5Parece difícil, pero no lo es si lo resuelves paso a paso. 

Primero quitaremos el "+2":Empieza por: x/3 + 2 = 5Para quitar el más 2 usa menos 2 (porque 2-2=0) x/3 + 2 -2 = 5 -2Un poco de aritmética (2-2 = 0 y 5-2 = 3) nos da: x/3 + 0 = 3Y esto es: x/3 = 3

Ahora quitamos el "/3":Empieza por: x/3 = 3Si multiplicas por 3 puedes cancelar el dividir entre 3x/3 ×3 = 3 ×3Un poco de aritmética (3/3 = 1 y 5×3 = 15) nos da: 1x = 9Y esto es: x = 9  ¡Resuelto!(Comprobación rápida: 9/3 + 2 = 3+2 = 5)  

Cuando tengas más experiencia:Cuando tengas más experiencia, podrás resolverlo así:

Empieza por: x/3 + 2 = 5Resta 2 de los dos lados: x/3 + 2 -2 = 5 -2Simplifica: x/3 = 3Multiplica por 3 en los dos lados: x/3 ×3 = 3 ×3Simplifica: x = 9

O incluso así:Empieza por: x/3 + 2 = 5Resta 2: x/3 = 3Multiplica por 3: x = 9

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Prueba túAhora practica con esta hoja de ejercicios de álgebra (para resolver en dos pasos) y comprueba tus respuestas en la página de después. ¡Intenta usar los pasos que te hemos enseñado, en lugar de adivinar!

Ecuaciones y fórmulas

Qué es una ecuaciónUna ecuación dice que dos cosas son iguales. Tendrá un signo de igualdad "=", por ejemplo: x +2 = 6Lo que la ecuación dice: lo que está a la izquierda (x + 2) es igual que lo que está en la derecha (6)Así que una ecuación es como una afirmación "esto es igual a aquello"

Qué es una fórmulaUna fórmula es un tipo especial de ecuación que muestra la relación entre diferentes variables (una variable es un símbolo que representa un número que no conocemos todavía).

Ejemplo: La fórmula para calcular el volumen de una caja es V = lpaV significa volumen, l longitud, p profundidad y a altura. Si l=5, p=10 y a=4, entonces V = 5×10×4 = 200

Una fórmula tiene más de una variable.

Todas estas son ecuaciones, pero sólo algunas son fórmulas:

x = 2y - 7 Fórmula (que relaciona x e y)a2 + b2 = c2 Fórmula (que relaciona a, b y c)x/2 + 7 = 0 No es una fórmula (sólo una ecuación)

Sin el igualA veces una fórmula se escribe sin el "=":

Ejemplo: la fórmula para el volumen de una caja es: lpaPero de alguna manera el "=" está allí, porque podrías haber escrito V = lpa si hubieras querido.

Sujeto de una fórmulaEl "sujeto" de una fórmula es la variable sola (normalmente a la izquierda del "=") que es igual a todo lo demás.

Ejemplo: en la fórmulas = vt + ½ at2 "s" es el sujeto de la fórmula

Cambiar el sujetoUna de las cosas más poderosas que puede hacer el Álgebra es "transformar" una fórmula para que otra variable sea el sujeto.

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El lenguaje algebraico

Transformar la fórmula del volumen de una caja (V = lpa) para que la longitud sea el sujeto:

Empieza por: V = lpadivide los dos lados entre p: V / p = ladivide los dos lados entre a: V / pa = lintercambia los lados: l = V / pa

Así que si tienes una caja con profundidad 2m, altura 2m y volumen 12m3, puedes calcular su longitud:l = V / pa l = 12m3 / (2m×2m) = 12/4 = 3m

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