6 el lenguaje algebraico

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Nombre y apellidos: .......................................................................................................................................................................................... Fecha: ....................................................

49

6 El lenguaje algebraico

Primeros pasos, “álgebra retórica”Los problemas algebraicos están presentes en todas las anti-guas civilizaciones, casi siempre ligados a lo práctico: repartos, herencias, cálculo de superficies…Los antiguos mesopotámicos y egipcios practicaban un álge-bra “retórica”, utilizando el lenguaje natural: “Si saco la tercera parte del trigo que hay en el montón, y…”.

Primeros símbolos, “álgebra sincopada”La evolución del álgebra se refleja en la mejora del simbolismo y en la sis-tematización de las técnicas para resolver ecuaciones.En el siglo iii, Diofanto de Alejandría inventó una notación simbólica que, aunque rudimentaria, supuso un importante progreso (“álgebra sin-copada”).

Los árabes y “el arte de la cosa”En el siglo ix, Al-Jwarizmi escribió un manual que tuvo una gran influen-cia en todo el mundo civilizado, incluso siglos después.Llamaba a la incógnita la cosa, nomenclatura que pasó a Europa, donde al álgebra se la llegó a denominar “el arte de la cosa”.

… Y llegó el “álgebra simbólica”El desarrollo del álgebra en Europa no fue uniforme.Son de destacar los algebristas italia-nos del siglo xvi.El álgebra, como lenguaje de símbo-los, tal como la conocemos hoy, ter-minó de evolucionar con los estudios de los franceses Vieta (finales del si-glo xvi) y Descartes (siglo xvii).

Agrimensores egipcios. Pintura de las tumbas de Mena y Najt en Lúxor (Egipto).

Estatua de Al-Jwarizmi en Jiva (Uzbequistán).

Vieta (1540-1603).

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El lenguaje algebraico es una forma clara y sencilla de expresar con precisión situaciones matemáticas que, de otro modo, serían difíciles de manejar.

Imagina que tuviéramos que resolver este enunciado sin utilizar el álgebra:

El doble de un número más su mitad es igual a dicho número más 9 unidades.

La dificultad es evidente. Pero si lo traducimos al lenguaje algebraico, obtendre-mos una expresión sencilla con la que podremos operar y, así, llegar a la solución:

El doble de un número más su mitad es igual a dicho número más 9 unidades. 2x + x

2 = x + 9

Hay expresiones algebraicas de muy distinto tipo:

Monomios → 3x2, –2x, 34 πr3 (volumen de la esfera)

Polinomios → 2x2 – 7x + 1, 2πr h + 2πr2 (área total del cilindro)

Fracciones algebraicas → , π ππr r

rx

x2

2 3h

h2

22 ++ (razón entre el volumen y el

área del cilindro)

Una fracción algebraica es el cociente indicado de dos polinomios.

Algunas expresiones algebraicas son igualdades:

Identidades → 3(x + 4) = 3x + 12. La segunda parte de la igualdad se consigue operando en la primera.

Ecuaciones → 3(x + 4) = 27. La igualdad solo es cierta para algún valor de x: x = 5.

Expresar en lenguaje algebraico los enunciados siguientes:

a) El triple de un número menos cuatro unidades. 3x – 4b) El triple del resultado de restarle 4 unidades a un número → 3(x – 4)c) El perímetro del rectángulo del margen es de 40 cm.

x + 3x + x + 3x = 40 → 8x = 40

Ejercicio resuelto

x

3x

Ten en cuenta

En álgebra manejamos relaciones nu-méricas con cantidades desconocidas. Estas cantidades se llaman variables, incógnitas o indeterminadas y se re-presentan por letras.

Etimología

Monomio y polinomio vienen del griego:— mono significa uno.— poli significa muchos.— nomos significa partes.Identidad: viene del latín idem, que significa lo mismo.Ecuación: viene del latín aequare, que significa igualar.

1 Expresiones algebraicas

1. Expresa en lenguaje algebraico.a) El doble de un número menos su tercera parte.b) El doble del resultado de sumarle tres unidades a

un número.c) La edad de Alberto ahora y dentro de siete años.

d) El perímetro de este triángulo:

5x

4x 3x

e) Eva tiene cuatro años menos que Óscar. (Expresa la edad de cada uno).

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Monomio es el producto indicado de un número por una o varias letras.

Por ejemplo: 5x 2, xy 2, –x, x 3 son monomios.— En un monomio, las letras (parte literal) representan números de valor des-

conocido o indeterminado. Por eso conservan todas las propiedades de los números y de sus operaciones.

— Coeficiente es el número que multiplica a las letras.

Ejemplos

• 5x 2 → coeficiente = 5 • 54 xy 2 → coeficiente = 5

4

• –x → coeficiente = –1 • x 3 → coeficiente = 1

— Se llama grado de un monomio al número de factores que forman su parte literal. Los números son monomios de grado cero, pues x 0 = 1.

Ejemplos

• 5x 2 = 5(x · x) → grado 2 • 54 xy 2 = 5

4 (x · y · y) → grado 3

• –x = –1x → grado 1 • x 3 = x · x · x → grado 3• 7 = 7x 0 es un monomio de grado cero.

— Dos monomios son semejantes cuando tienen idéntica la parte literal.

Ejemplos

• 3x 2, 5x 2 son semejantes. • 2x 3, 2x no son semejantes.

• 7xy, 21 xy son semejantes. • 5xy, 3x no son semejantes.

Valor numérico de un monomio

El valor numérico de un monomio, para ciertos valores de las letras que en él intervienen, es el resultado que se obtiene al efectuar las operaciones con los nú-meros que resultan de la sustitución.

Ejemplos

•El valor numérico de 3x 2 para x = 5 es 3 · 52 = 3 · 25 = 75.•El valor numérico de 3xy para x = –1, y = 4 es 3 · (–1) · 4 = –12.

Observa

Hay muchas situaciones en las que aparecen monomios:

área → x 2 perímetro → 4xxx

área → xyx

y

volumen → x 3

superficie → 6x 2xx

x

2 Monomios

1. Indica el coeficiente y el grado de cada monomio:a) –2x 7 b) x 9 c) x d) 5

2. Di cuáles de los siguientes monomios son se-mejantes a 5x 2:

7x 2 5x 3 5x 5xy x 2 3x 2y

3. Escribe dos monomios semejantes a cada uno de los siguientes:a) –5xy b) 2x 4 c) x d) 3xy 2

4. Halla el valor numérico para x = 3, y = –2:a) 5x 3 b) 2xy c) xy 2 d) –xy

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Suma y resta de monomios

La suma de monomios semejantes es otro monomio también semejante a ellos cuyo coeficiente es la suma de sus coeficientes.Si dos monomios no son semejantes, su suma no se puede simplificar y hay que dejarla indicada.La resta es un caso particular de la suma.

Ejemplos

•(7x 5) + (11x 5) = 18x 5 • (10x 2) – (3x 2) + (x 2) = 8x 2

•(7x 5) + (11x 3) = 7x 5 + 11x 3 (no se puede simplificar)

Producto de monomios

El producto de dos monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el produc-to de los coeficientes, y su parte literal, el producto de las partes literales de los factores.

Ejemplos

•(2x 3) · (3x 5) = 6x 8 • (2x 2y 3) · (7x 4y) = 14x 6y 4

Potencia de un monomio

La potencia de un monomio es otro monomio que se obtiene al elevar al expo-nente indicado tanto el coeficiente como la parte literal.

Ejemplos

•(3x 2)4 = 81x 8 • (7xy 2)2 = 49x 2y 4

Cociente de monomios

El cociente de dos monomios puede ser otro monomio, un número o una frac-ción algebraica.

Ejemplos

•x yx y

63

21

2

5= x3 (monomio) •

x yx y

312

4 2

4 2 = 4 (número)

•x yx y

yx

36 2

2 4

5 2

23

= (fracción algebraica)

No lo olvides

Solo podemos sumar o restar mono-mios si son semejantes.

5. Efectúa las siguientes sumas de monomios:a) 5x – 3x + 4x + 7x – 11x + xb) 3x 2y – 5x 2y + 2x 2y + x 2yc) 7x 3 – 11x 3 + 3y 3 – y 3 + 2y 3

6. Opera.a) (3x 2) · (5x 4) b) (x 2) · (x)c) (5x 3)2 d) (2x)4

7. Reduce.a) (5x – 4) – (2x + 3)b) (x 2 + 5x) – (4x – 1)c) (2x 3 – x 2 + x – 1) – (x 2 + x – 4)

8. Divide los monomios de cada caso:a) 10x 2 : 5x b) 4x 3 : 6x 5

c) 4xy 2 : 6xy 2 d) 8x 3y : 4x 5y 3

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Un polinomio es la suma de dos o más monomios. Cada uno de los mono-mios que lo forman se llama término. También los monomios pueden ser considerados polinomios con un solo término.

Ejemplos

Observa los polinomios que se obtienen al traducir a lenguaje algebraico algunos enunciados:a) El perímetro del rectángulo del margen: Perímetro → 2x + 2yb) El cuadrado de un número más su triple → x 2 + 3xc) La superficie del ortoedro del margen: Superficie → 2x 2 + 4xyd) La edad de Elvira más la de Lorena, que le saca tres años:

8

88

xx

x x x3

3 2 3ElviraLorena +

+ + +4

Es posible que en un polinomio haya algunos monomios semejantes. En tal caso, conviene operar con ellos simplificando la expresión y obteniendo el polinomio en su forma reducida.

Ejemplos

•5x 2 + 4x 4 – 2x 2 – 3x 4 + 1 → x 4 + 3x 2 + 1•3x 3 – 2x 2 – 2x 3 + x – x 3 – 5 → –2x 2 + x – 5

Se llama grado de un polinomio al mayor de los grados de los monomios que lo componen cuando el polinomio está en su forma reducida.

Es necesario reducir el polinomio antes de decir su grado, ya que es posible que los monomios de mayor grado se simplifiquen y desaparezcan.

Ejemplos

•5x 2y + 5x – 8y 2 tiene grado 3, pues es el grado de 5x 2y.•7x 3 – 5x 2 + 3x 3 – 2x – 10x 3 = –5x 2 – 2x tiene grado 2.

y

x

y

x

x

3 Polinomios

1. Expresa mediante un polinomio cada uno de estos enunciados:a) La suma de un número más su cubo.b) La suma de dos números naturales consecutivos.c) El perímetro de un triángulo isósceles (llama x al

lado desigual e y a cada uno de los otros dos la-dos).

2. Di el grado de cada uno de los polinomios siguientes:

a) x 5 – 6x 2 + 3x + 1

b) 5xy 4 + 2y 2 + 3x 3y 3 – 2xy

c) x 2 + 3x 3 – 5x 2 + x 3 – 3 – 4x 3

d) 2x 2 – 3x – x 2 + 2x – x 2 + x – 3

e) 3x + 2xy – x 2y 3 – xy + 3x 2y 3 – xy

Piensa y practica

Grado, términos y coeficientes de un polinomio.

En la web


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Suma y resta de polinomios

Para sumar dos polinomios, agrupamos sus términos y simplificamos los mono-mios semejantes. Para restar dos polinomios, se suma al minuendo el opuesto del sustraendo.

Ejemplos

•A = 3x 2 + 5x – 2, B = x 3 + 4x 2 – 5

A+ B

A + B

→

3x 2 + 5x – 2x 3 + 4x 2 – 5x 3 + 7x 2 + 5x – 7

A– B

A – B

→

3x 2 + 5x – 2–x 3 – 4x 2 + 5–x 3 – x 2 + 5x + 3

A veces escribimos directamente el resultado, quitando paréntesis (si los hay) y agrupando los monomios semejantes:

•(x 2 + 3x + 2) + (2x 2 – 5) = x 2 + 3x + 2 + 2x 2 – 5 = 3x 2 + 3x – 3

•(3x + 1) – (2x – 3) = 3x + 1 – 2x + 3 = x + 4

Producto de un monomio por un polinomio

Para multiplicar un monomio por un polinomio, se multiplica el monomio por cada término del polinomio y se suman los resultados.

Ejemplos

•M = x 3 – 2x 2 + 5x – 1, N = 3x 2

M× N

M · N

→

x 3 – 2x 2 + 5x – 1× 3x 2

3x 5 – 6x 4 + 15x 3 – 3x 2

También en este caso podemos escribir directamente el resultado, sin más que multiplicar el monomio por cada término del polinomio:

•(2x 2 – 3) · (2x) = 4x 3 – 6x

•7(2x + 5) = 14x + 35

•(5x 2)(6x 2 – 4x + 3) = 30x 4 – 20x 3 + 15x 2

Definición

Se llama opuesto de un polinomio al que resulta de cambiar de signo todos sus términos:

–(x 3 + 2x 2 – 5x – 11) == –x 3 – 2x 2 + 5x + 11

3. Sean P = x 4 – 3x 3 + 5x + 3, Q = 5x 3 + 3x 2 – 1. Halla P + Q y P – Q.

4. Efectúa estos productos:a) 2x(3x 2 – 4x) b) 5(x 3 – 3x)c) 4x 2(–2x + 3) d) –2x(x 2 – x + 1)e) –6(x 3 – 4x + 2) f ) –x(x 4 – 2x 2 + 3)

5. Halla los productos siguientes:a) x(2x + y + 1) b) 2a 2(3a 2 + 5a 3)c) ab(a + b) d) 5(3x 2 + 7x + 11)e) x 2y(x + y + 1) f ) 5xy 2(2x + 3y)g) 6x 2y 2(x 2 – x + 1) h) –2(5x 3 + 3x 2 – 8)i) 3a 2b

3(a – b + 1) j) –2x (3x 2 – 5x + 8)

Piensa y practica

En la web • Practica la suma de polinomios.• Practica la resta de polinomios.

Ayuda para calcular sumas y restas de polinomios.

En la web


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Producto de dos polinomios

Para multiplicar dos polinomios, se multiplica cada monomio de uno de los fac-tores por todos y cada uno de los monomios del otro factor y después se suman los monomios semejantes obtenidos.

Ejemplos

•P = 2x 3 – 4x 2 – 1, Q = 3x – 2

2x 3 – 4x 2 – 1 ←⎯⎯ P 3x – 2 ←⎯⎯ Q –4x 3 + 8x 2 + 2 ←⎯⎯ producto de –2 por P 6x 4 – 12x 3 – 3x ←⎯⎯ producto de 3x por P 6x 4 – 16x 3 + 8x 2 – 3x + 2 ←⎯⎯ P · Q

A veces, cuando hay pocos términos, realizamos el producto directamente:

•(2x 2 – 1) (3x + 4) = 6x 3 + 8x 2 – 3x – 4

Sacar factor común

En la expresión 3xy 2 + 2xy + 5x, la x está multiplicando en todos los sumandos. Es factor común a todos ellos. Podemos sacarla fuera, del siguiente modo:

3x y 2 + 2x y + 5x = x(3y 2 + 2y + 5)

A esta transformación se le llama sacar factor común. Se utiliza para simplificar expresiones y para resolver algunas ecuaciones que conocerás más adelante.

Comprueba que si multiplicas el factor común extraído por el polinomio que va entre paréntesis, vuelves a obtener (lógicamente) la expresión inicial.

Ejemplos

•2x 3 + 4x 2 – 3x = 2xxx + 4xx – 3x = x(2x 2 + 4x – 3)

•5x 4 – 3x 3 + 2x 2 = 5xxxx – 3xxx + 2xx = x 2(5x 2 – 3x + 2)

•2x 2 + 4x + 8 = 2xx + 2 · 2x + 2 · 2 · 2 = 2(x 2 + 2x + 4)

•3x 2 + x = 3xx + 1 · x = x(3x + 1)

Ten en cuenta

Esta forma de disponer los cálcu los permite multiplicar polinomios de manera ordenada y segura. Cuando falta algún término, hay que dejar un hueco en el lugar correspondiente.

No lo olvides

Cuando en un sumando el factor co-mún está solo, al sacar el factor co-mún queda, en su lugar, la unidad.

xy + x 2 + x = x(y + x + 1)

Otra forma de multiplicar

2x 3 – 4x 2 – 1

6 –12 0 –3

– 4 8 0 2

3–2

6 –16 8 –3 2

2 – 4 0 –1

3x – 2

6x 4 – 16x 3 + 8x 2 – 3x + 2

6. Dados los polinomios P = 3x 2 – 5, Q = x 2 – 3x + 2, R = –2x + 5, calcula:a) P · Q b) P · R c) Q · R

7. Opera y simplifica.a) 2x(3x 2 – 2) + 5(3x – 4)b) (x 2 – 3)(x + 1) – x(2x 2 + 5x)c) (3x – 2)(2x + 1) – 2(x 2 + 4x)

8. Extrae factor común en cada caso:a) 2xy + 3xy 2 b) 2x 2 + 2x + 2yc) 2x 2 + 2x + 4 d) 3x 2 + 4xe) 5x 2 + 10x f ) 4x 2 + 8xg) 3x 2 + 3x + 3 h) 6x 2 + 9x – 3i) 5xy + 4x 2 j) x 3 + x 2 + xk) 2y 3 – 8x 2y l) 4x 2 + 16x 2y – 8

Piensa y practica

En la web Practica el producto de polinomios.

Ayuda para calcular el producto de dos polinomios.

En la web

• Ayuda para sacar factor común.• Refuerza cómo sacar factor común.

En la web


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La igualdad a + a + a = 3a es una identidad porque es cierta cualquiera que sea el valor de a.

Conoces muchas identidades. Aquí tienes algunas:

an · bn = (a · b)n

a · (b + c) = a · b + a · c

a – (b + c) = a – b – c

Todas ellas son consecuencia de propiedades aritméticas o simples traducciones de las mismas.

Una identidad es una igualdad algebraica que es cierta para valores cualesquie-ra de las letras que intervienen.

Identidades notables

Se suelen llamar así a las tres igualdades siguientes:

(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab ←⎯⎯ cuadrado de una suma(a – b)2 = a2 + b2 – 2ab ←⎯⎯ cuadrado de una diferencia(a + b) (a – b) = a2 – b2 ←⎯⎯ suma por diferencia

Estas igualdades ya las conocías, pero las seguirás utilizando con frecuencia, por lo que es necesario que las manejes con soltura.

1. Desarrollar: a) (2x – 7)2 b) (4x – 3)(4x + 3)

a) Es el cuadrado de una diferencia: (2x – 7)2 = (2x)2 + 72 – 2 · 2x · 7 = 4x 2 + 49 – 28xb) Es una suma por una diferencia: (4x – 3)(4x + 3) = (4x)2 – 32 = 16x 2 – 9

2. Simplificar: (3x + 2)2 – (3x – 2)2

(3x + 2)2 – (3x – 2)2 = 9x 2 + 4 + 12x – (9x 2 + 4 – 12x) = = 9x 2 + 4 + 12x – 9x 2 – 4 + 12x = 24x

Ejercicio resuelto

4 Identidades

1. Desarrolla las siguientes expresiones:a) (x + 1)2 b) (x + 3)2 c) (x – 3)2 d) (x + 1)(x – 1) e) (x + 3) (x – 3)f ) (2x – 1)2 g) (5x + 2)2 h) (5x + 2y)2 i) (2x – 5)(2x + 5) j) (x 2 + 2)(x 2 – 2)

Piensa y practica

justificación gráfica del cuadrado de una suma

justificación algebraicaa + b

× a + bab + b 2

a 2 + aba 2 + 2ab + b 2

a

a2

b

ab

ab b2

a

b

a + b

a +

b

En la web Practica las identidades notables.

Justificación geométrica de las identidades notables.

En la web

En la web Ayuda para manejar identidades notables.


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Ejercicios y problemas

PracticaTraducción a lenguaje algebraico

1. Asocia a cada uno de los siguientes enunciados una de las expresiones algebraicas:a) A un número se le quita 7.b) El doble de un número más

su cuadrado.c) Un múltiplo de 3 menos 1.d) El 20 % de un número.e) Cuatro veces un número

menos sus dos tercios.f ) El precio de un pantalón

aumentado en un 10 %.g) Un número impar.

0,2x

2x + 1

2x + x2

1,1x

4x – x32

3x – 1

x – 7

2. Llama x al ancho de un rectángulo y expresa su altura en cada caso:a) La altura es la mitad del ancho.b) La altura es 20 cm menor que el ancho.c) La altura es los tres cuartos del ancho.d) La altura es un 20 % menor que su ancho.

3. Expresa con un monomio:

xx

a) El perímetro de esta figura.b) El área de la misma.c) El volumen del cubo que se puede formar con esos

seis cuadrados.

4. Traduce a lenguaje algebraico, empleando una sola incógnita.a) Los tres quintos de un número menos 1.b) La suma de tres números consecutivos.c) Un múltiplo de 3 más su doble.d) La suma de un número y su cuadrado.e) El producto de un número por su siguiente.

5. Ejercicio resueltoTraduce a lenguaje algebraico, empleando dos incógnitas: “La suma de las edades que tenían un padre y su hijo hace 6 años”.

Hoy Hace 6 años

Padre x x – 6Hijo y y – 6

Suma de edades hace 6 años: (x – 6) + ( y – 6)

6. Traduce a lenguaje algebraico, utilizando dos in-cógnitas:a) El cuadrado de la suma de dos números.b) El doble del producto de dos números.c) La semisuma de dos números.

Monomios

7. Calcula.a) –x 3 – 2x 3 + 3x 3

b) 2x 4 · x

c) x xx31

52– –

d) ·x x3 655 2

e) x x x35

2–2 2 2+

f ) ·x y xz31

32d dn n

Polinomios

8. Considera estos polinomios:A = x 4 – 3x 2 + 5x – 1B = 2x 2 – 6x + 3C = 2x 4 + x 3 – x – 4Calcula: A + B A + C A + B + C A – B C – B


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Ejercicios y problemas9. Simplifica estas expresiones:

a) 2x 3 – 5x + 3 – 1 – 2x 3 + x 2

b) (2x 2 + 5x – 7) – (x 2 – 6x + 1)

c) 3x – (2x + 8) – (x 2 – 3x)

d) 7 – 2(x 2 + 3) + x (x – 3)

10. Opera y simplifica.

a) (2x)3 – (3x)2x – 5x 2(–3x + 1)

b) ( ) ( )x x x43 4 4 53

521– – –2d n

c) (2x 2 – x + 3) · (x – 3)

d) (x 2 – 5x – 1) · (x – 2)

e) (3x 3 – 5x 2 + 6) · (2x + 1)

f ) (2x 2 + x – 3) · (x 2 – 2)

11. Extrae factor común.

a) 5x + 5y + 5z

b) 5x + 3xy

c) 3x 2 + 4x

d) 5x 3 + 3x 2

e) 2x 4 – 6x 2

f ) 2x 3 + 3x 2 + 5x

g) x 6 + x 4 + x

h) x x21

214 +

i) 2x 2y – 2xy

Identidades notables

12. Desarrolla los siguientes cuadrados:

a) (x + 7)2

b) (x – 11)2

c) (2x + 1)2

d) (3x – 4)2

13. Transforma en diferencia de cuadrados:

a) (x + 7)(x – 7)

b) (1 + x)(1 – x)

c) (3 – 4x)(3 + 4x)

d) (2x – 1)(2x + 1)

14. Reduce las siguientes expresiones:

a) ( ) ( ) ( )x x x23 3 2 2 3 2 3– – –+ + +

b) x x x4

3 33

3 212

3– – –+ +

15. Reduce las siguientes expresiones:

a) (x + 1)(x – 1) – 3(x + 2) – x (x + 2)

b) (2x + 3)2 – (2x – 3)2 – x (x + 3)

c) x x x4

55

54

1– – –+ +

d) ( ) ( ) ( )x x x32 3 2

1 1 43 3–+ + + +

16. Expresa como cuadrado de una suma o de una diferencia.

a) x 2 + 4x + 4

b) x 2 – 10x + 25

c) x 2 + 9 + 6x

d) x 2 + 49 – 14x

e) 4x 2 + 4x + 1

f ) 4x 2 + 9 – 12x

g) 9x 2 – 12x + 4

h) x 4 + 4x 2 + 4

17. Expresa como producto de una suma por una di-ferencia.

a) 9x 2 – 25

b) 1 – x 2

c) 4x 2 – 9

d) 16x 2 – 1

e) x 4 – 16

f ) 49 – 4x 2


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7 Ecuaciones de primer y segundo grado

Papiro de Ahmes (o Rhind). Fue escrito en el siglo xvi a. C. y contiene 84 problemas matemáticos.

Sello ruso en honor de Al-Jwarizmi.

Tanteos inicialesLa búsqueda de métodos para resolver ecuaciones fue un empeño de los matemáticos de la Antigüedad. Los primeros intentos, como es natural, fueron titubeantes, poco sólidos: resoluciones por tanteo o mediante pro-cedimientos solo válidos para casos particulares, pero no generalizables.Por ejemplo, en un papiro egipcio de 1550 a. C. aparece resuelto el si-guiente problema:“El montón más un séptimo del montón es igual a 24. ¿Cuántos hay en el montón?”.

Se inicia el camino teóricoEl primero que lo afrontó de forma rigurosa fue el griego Diofanto, en el siglo iii. En su libro Aritmética trató las resoluciones de ecuaciones de primer grado y algunas de segundo grado. Además, los problemas que pro-puso prepararon el terreno para consolidar la teoría de ecuaciones, que se desarrolló siglos más tarde.

En su obra aparecen proble-mas de este tipo:“Si al número de elefantes que beben en el río le sumo el número de colmillos y el número de patas, obtengo su cuadrado. ¿Cuántos ele-fantes son?”.

Avances significativosEn el siglo ix, en Bagdag aparece un personaje clave, el árabe Al-Jwarizmi, que dio otro importantísimo paso. Su libro Al-jabr wa-l-muqabala es un referente fundamental en la historia del álgebra. Fue estudiado y traducido a todos los idiomas en siglos posteriores. El título viene a ser “transposición y cancelación” y alude a los trasiegos que se realizan con los coeficientes para despejar la incógnita. El libro acabó siendo denominado, simplemen-te, Al-yabr, y este nombre finalmente designó la ciencia que contenía (al-jabr ∼ álgebra).


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Idea de ecuación

Una ecuación es una propuesta de igualdad en la que interviene, al menos, una letra llamada incógnita.

La solución de la ecuación es el valor o valores de la incógnita (o de las incóg-nitas) que hacen que la igualdad sea cierta.Resolver una ecuación es hallar su solución, o soluciones, o llegar a la conclu-sión de que no tiene.

Ejemplo

Las alturas de tres árboles son números enteros consecutivos y su suma es 33. Halla la altura del árbol más bajo.Llamamos x a la altura del árbol más bajo. Las alturas de los otros dos árboles serán x + 1 y x + 2.Los datos del problema se pueden relacionar mediante lenguaje algebraico, con la siguiente igualdad:

x + (x + 1) + (x + 2) = 33Esta igualdad es una ecuación y su significado es: “Queremos que x + (x + 1) + + (x + 2) sea igual a 33. ¿Para qué valor de x es cierta esa propuesta?”.Es decir: ¿Para qué valor de x se cumple la igualdad?

Decir que la solución es x = 10 equivale a decir que “cuando x vale 10, enton-ces es cierto que x + (x + 1) + (x + 2) es igual a 33”.

Tipos de ecuaciones y resolución por tanteo

A lo largo de tu formación matemática, te encontrarás con ecuaciones de muy diversos tipos. Por ejemplo:

3(x – 5) + 2x = 6 x 2 – 5 = 4x 2x = 16 x = 5 x1 = 3

En algunos casos las podremos resolver tanteando, buscando “a ojo” la solución. Por ejemplo:

2x = 16 → Para que 2 elevado a un número dé 16, ese número tiene que ser 4. La solución de la ecuación es x = 4.

Pero, a veces, puede que la ecuación tenga más de una solución o que no seamos capaces de resolverla “a ojo”. Por eso necesitamos aprender métodos que nos permitan resolver ecuaciones más complejas. Es lo que haremos en esta unidad.

Etimología

Incógnita significa desconocida. Vie-ne del latín:— in, partícula negativa.— cognoscere, que significa conocer.Aunque es usual utilizar la x como incógnita, puede usarse para ello cualquier otra letra.

Incógnitas

Hay ecuaciones con más de una in-cógnita.En la próxima unidad nos ocupare-mos de las ecuaciones con dos incóg-nitas.

Nomenclatura

Las expresiones que hay a ambos la-dos del signo “=” se llaman miem-bros. En la ecuación de la derecha, x + (x + 1) + (x + 2) es el primer miembro, y 33, el segundo miem-bro.

1 Ecuaciones

1. ¿Es x = 5 solución de alguna de estas ecuaciones?a) 7x + 1 = 34 b) x 2 – 10 = 15c) 1x = 5 d) 2x = 32Justifica tu respuesta.

2. Obtén “a ojo” una solución de cada una de estas ecuaciones:a) 2x – 1 = 5 b) x

33

= 9

c) x 2 – 1 = 35 d) x 1+ = 6

Piensa y practica


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61

Ecuaciones equivalentes

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones o ambas carecen de solución.

Ejemplo

Las dos ecuaciones que siguen tienen por solución x = 10:

a) 5x – 4 = 66 – 2x → 5 · 10 – 4 = 66 – 2 · 10b) 3x – 7 = 23 → 3 · 10 – 7 = 23

a) y b) son equivalentes.

Transformaciones que mantienen la equivalencia de ecuaciones

Para resolver una ecuación, hemos de despejar la x mediante una serie de pasos. Cada paso consiste en transformar la ecuación en otra equivalente en la que la x esté más próxima a ser despejada. Recordemos algunas reglas para obtener ecua-ciones equivalentes:•Sumar o restar la misma cantidad a los dos miembros de la ecuación.

Ejemplo

La ecuación 3x – 5 = 1 tiene por solución x = 2 (3 · 2 – 5 = 1).Sumamos 5 a los dos miembros:

3x – 5 + 5 = 1 + 5 → 3x = 6 → Solución: x = 2 (3 · 2 = 6)3x – 5 = 1 ↔ 3x = 6 (son equivalentes)

•Multiplicar o dividir los dos miembros de la ecuación por el mismo núme-ro distinto de cero.

Ejemplo

La ecuación x3

= x – 4 tiene por solución x = 6 36 6 4–=d n.

Multiplicamos por 3 los dos miembros:

3 · x3

= 3 · (x – 4) → x = 3x – 12 → Solución: x = 6 (6 = 3 · 6 – 12)

x3

= x – 4 ↔ x = 3x – 12 (son equivalentes)

Reglas prácticas para obtener ecuaciones equivalentes más sencillas:•Lo que está sumando en un miembro, pasa restando al otro miembro. Y

viceversa.•Lo que está multiplicando a todo lo demás de un miembro, pasa dividiendo

al otro. Y viceversa.

Ejemplos

Aplicamos las reglas a las ecuaciones anteriores:3x – 5 = 1 → 3x = 1 + 5 → 3x = 6x3

= x – 4 → x = 3(x – 4) → x = 3x – 12

No lo olvides

pasa sumando

• 15x – 5 = 2x + 4 → pasa restando

→ 15x – 2x = 4 + 5

pasa dividiendo

• 3 (x + 4) = 8 → x + 4 = 38


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62

A las ecuaciones polinómicas de primer grado se las llama, simplemente, ecua-ciones de primer grado. En ellas, la x solo aparece elevada a 1 (x1 = x).

Una ecuación de primer grado es una expresión que se puede reducir a la forma ax + b = 0, siendo a ≠ 0. Tiene una única solución: x =

ab–

Por ejemplo, son de primer grado: 3x + 5 = 8 x – 2,5 = 4 43 x + 7 = 4 – 2x

No son de primer grado: (3x + 5)2 = 8 x3 + 2 = x x3 + 1 = 5x

Casos especiales

Existen expresiones que parecen ecuaciones de primer grado y que, sin embargo, no tienen solución o tienen infinitas soluciones. Por ejemplo:•3x – 5 = 3(x + 1) → 3x – 5 = 3x + 3 → 3x – 3x = 3 + 5 → 0x = 8

No puede ser 0x = 8. Por tanto, la ecuación no tiene solución.

•3x – 5 = 3(x – 2) + 1 → 3x – 5 = 3x – 5 → 3x – 3x = –5 + 5 → 0x = 0La igualdad 0x = 0 es cierta para cualquier valor de x. Por tanto, la ecuación tiene infinitas soluciones.

Realmente, estas igualdades no son ecuaciones, pues carecen del término en x. Sin embargo, puesto que antes de simplificar no sabemos en qué van a quedar, las trataremos como ecuaciones.Recuerda, a continuación, cómo se resuelven las ecuaciones más sencillas.

Observa

La ecuación

x3 + 2 = x

no es de primer grado.Si se multiplican sus miembros por x, se obtiene 3 + 2x = x 2, que es de grado dos.Comprueba que ambas tienen dos soluciones:

x = 3 x = –1Es decir, son equivalentes.

No lo olvides

Al intentar resolver una ecuación, a veces llegamos a:• 0x = b, con b ≠ 0

La ecuación no tiene solución.• 0x = 0

La ecuación tiene infinitas solu-ciones. Es una identidad.

2 Ecuaciones de primer grado

1. Resuelve mentalmente. Indica, si es el caso, cuándo la ecuación no tiene solución o tiene infinitas soluciones.

a) 5x = 15 b) 3x = – 6 c) –2x = 10

d) – 4x = –20 e) 3x = 1 f ) –2x = 10

g) 6x = 0 h) 0x = 6 i) 0x = 0

2. Resuelve estas ecuaciones. ¿Son equivalentes?

a) 4x – x = 1 + x b) 10 – 7x – 6x = 5 – 3x

c) 4x + 6 – x = 5x + 5 d) 9 = 9x – x – 3 – 2x

3. Resuelve y comprueba que tus soluciones coinciden con las que se ofrecen debajo.a) 11x – 3 + x = 10x – 13b) x – 3 – 4x = 3x – 4 + xc) 9 – 3x – 2 – 3x = 1 – 3x + 3 – xd) 8x = 6x – 4x – 3 + x + 7 + 5x – 2e) 7x + 12 – 4x – 3 = 10 + 2x – 1 + xSoluciones: a) –5; b) 1/7; c) 3/2; d) Sin solución;

e) Infinitas soluciones.

Piensa y practica

Ejercicio resuelto

Resolver esta ecuación:

8 – 3x + 11x – 6 = 4x – 7 – x – 1

8 – 3x + 11x – 6 = 4x – 7 – x – 1 ← Reducir los polinomios 2 + 8x = 3x – 8 ← Transponer términos y reducir 8x – 3x = –8 – 2 ↔ 5x = –10 ← Despejar x

x = 510– ↔ x = –2

En la web Iniciación. Resuelve ecuaciones con denominadores muy sencillas.


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7UNIDAD

63

Pasos para resolver ecuaciones de primer grado

Seguramente, aprendiste a resolver ecuaciones de primer grado sencillas durante los cursos pasados. Ahora vamos a entrenarnos para resolver ecuaciones de pri-mer grado algo más complejas.En general, los pasos que conviene dar para ir despejando la x son:

1. Quitar denominadores, si los hay. Para ello, se multiplican los dos miembros de la ecuación por un múltiplo común de los denominadores; preferible-mente, por su mínimo común múltiplo.

2. Quitar paréntesis, si los hay.3. Pasar los términos en x a un miembro y los números al otro miembro.4. Simplificar cada miembro.5. Despejar la x. Se obtiene, así, la solución.6. Comprobación: sustituir la solución en cada miembro de la ecuación inicial

para comprobar que coinciden los resultados.

Esta secuencia no hay que tomarla como algo rígido, pues habrá ocasiones en que convenga saltarse algún paso o cambiar el orden. El entrenamiento y el sentido común te orientarán sobre cuándo conviene hacer una cosa u otra.

Resuelve por tanteo

a) x3

+ 1 = x2

b) 8 – x2

= x5

+ 1

c) x2

+ x3

+ x4

= 13

Ayuda: todas las soluciones son nú-meros enteros.

4. Resuelve y comprueba que tus soluciones coinciden con las que se ofrecen debajo.a) 2x + 3(3x – 2) + x = 10(x – 3) + 14b) x – 3 – 4x = 3(x – 1) + x – 1c) 6 = 8x – (x – 5) – 10xd) 9 – 4x – 2(1 – x) = 1 – 3(x – 1) – xe) – 4 = 5(1 – x) – x – 3(1 + 7x)f ) 8x = 6x – 4x – 3 + x + 7 + 5x – 2g) 7x – 2(x – 1) – 4 = 10 – 4(3 – x) + xSoluciones: a) –5; b) 1/7; c) –1/3; d) –3/2; e) 2/9;

f ) Sin solución; g) Infinitas soluciones.

5. ¿Qué números pondrías en cada casilla para que la ecuación x + 5 = 2x + …a) … tenga infinitas soluciones?b) … no tenga solución?

6. Busca el valor que debe tomar la a en la igualdad3x – a(x + 1) = 5

para que la ecuación no tenga solución.

7. Considera la igualdad 5a – 2(a + b) = 7 – 3(a – b).a) Calcula el valor de b cuando a = 3.b) Calcula el valor de a cuando b = 5.

Piensa y practica

Ejercicio resuelto

Resolver la ecuación siguiente:

5x – 3(2x + 1) = 6(x – 4) – 7

5x – 3(2x + 1) = 6(x – 4) – 7 ← Quitar paréntesis 5x – 6x – 3 = 6x – 24 – 7 ← Reducir – x – 3 = 6x – 31 ← Transponer términos – 3 + 31 = 6x + x ← Reducir 28 = 7x ← Despejar x

7

28 = x → x = 4

· ( · ) ·( ) ·

5 4 3 2 4 1 20 3 9 20 27 76 4 4 7 6 0 7 7

– – – –– – – –

+ = = == =

4 ← Comprobación


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64

8. Quita denominadores y resuelve.

a) x21

3+ = x – x x

2 103+

b) 2 – x4

+ x = x85 + 1

c) x x x2 4 5

2–+ = 1

d) x – x x51

32

1513–= + 1

e) 1 – x x95

6+ = x –

32

Soluciones: a) 15/14; b) –8; c) 20/7; d) 1; e) 6/5

9. Calcula el valor de x en cada caso:

a) x x5

143– + = x – x

102 1–

b) x6

231–+ = x – x

41 3–

c) ( )x x8

3 1 22

–+ = 1 – x4

3 –

d) ( )x x x10

28

3 15

2 1– – – = + – 1

e) ( ) ( )x x x9

4 22

3 18

21 11247– – – – –=

Soluciones: a) 2; b) 3/19; c) Sin solución; d) 7/9; e) –52/49

Piensa y practica

Ejercicios resueltos

1. Resolver esta ecuación:

x2 5

1+ = 1 – x x5 10

3+

x2 5

1+ = 1 – x x5 10

3+ ← Quitar denominadores multiplicando...

· ·x x x2 5

1 15 10

310 10 –+ +=d dn n ← … por 10, que es el mín.c.m. de 2, 5 y 10

5x + 2 = 10 – 2x + 3x ← Transponer términos, reducir y despejar

4x = 8 → x = 48 → x = 2

+ = = =22

51

1010 2

1012

56

52

103 2

52

53

55 2 3

56· –

+

+1 1– –+ = + = =

_

`

a

bb

bb ← Comprobación

2. Calcular el valor de x:

( )x x20

3 15

2 3– – + =

= x15

4 2+ – 5

x x x20

3 –1 –5

2( 3)15

4 2+ = + – 5 ← Quitar denominadores multi-plicando…

· ( ) ·x x x6020

3 15

2 315

4 2 560– – –+ +=e do n ← … por 60, que es el mín.c.m. de 20, 5 y 15

3(3x – 1) – 24(x + 3) = 4(4x + 2) – 300 ← Quitar paréntesis y reducir

9x – 3 – 24x – 72 = 16x + 8 – 300 ← Transponer términos, reducir y despejar

–31x = –217 → x = 31

217–

– → x = 7

3– – –= =( )20

3 7 15

2 7 32020

520

154 7 2

1530

· –

·

+

+ 5 5 3– – –= =

_

`

a

bb

bb ← Comprobación


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7UNIDAD

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Una ecuación de segundo grado es de la forma:

ax 2 + bx + c = 0, con a ≠ 0

Por ejemplo, son ecuaciones de segundo grado las siguientes:•3x 2 – 3x – 6 = 0 → a = 3, b = –3, c = – 6•2x 2 – 8 = 0 → a = 2, b = 0, c = –8•x 2 – 6x = 0 → a = 1, b = – 6, c = 0En la primera ecuación, a ≠ 0, b ≠ 0 y c ≠ 0. Este tipo de ecuaciones se deno-minan completas.

En la segunda, b = 0; y en la tercera, c = 0. Este otro tipo de ecuaciones se llaman incompletas.

Veamos cómo resolver cada una de ellas.

Ecuaciones incompletas con b = 0

Por ejemplo: 2x 2 – 8 = 0Para resolverla, despejamos x 2:

2x 2 – 8 = 0 → 2x 2 = 8 → x 2 = 4Ahora, obtenemos los valores de x teniendo en cuenta que hay dos números cuyo cuadrado es 4. Son 2 y –2. Es decir:

x 2 = 4 → x = ± 4 xx

22–

==3 Hay dos soluciones.

Ecuaciones incompletas con c = 0

Por ejemplo: x 2 – 6x = 0Para resolverla, sacamos x factor común:

x 2 – 6x = 0 → x · (x – 6) = 0Ahora, tenemos en cuenta que, para que un producto de dos factores sea igual a cero, es necesario que sea cero alguno de ellos. Es decir:

x · (x – 6) = 0 8xx x

06 0 6–

== =

3 Hay dos soluciones.

Resolver: a) 5x 2 – 15x = 0 b) 2x 2 + 8 = 0

a) Incompleta con c = 0 → Sacamos x factor común:

5x 2 – 15x = 0 → x(5x – 15) = 0 8xx x

05 15 0 3–

== =

b) Incompleta con b = 0 → Despejamos x 2:2x 2 + 8 = 0 → 2x 2 = –8 → x 2 = – 4 → x = ± 4– No tiene solución

Ejercicio resuelto

Así se hace

ax 2 + c = 0↓

Despejamos x 2 y obtenemos fácil-mente los valores de x.

Así se hace

ax 2 + bx = 0↓

Sacamos x factor común e igualamos a cero cada factor.

Ten en cuenta

No hay ningún número que al elevar-lo al cuadrado dé – 4.

3 Ecuaciones de segundo grado

Clasificación de ecuaciones de segundo grado.

En la web

Practica las ecuaciones incomple-tas con b = 0.

En la web

Practica las ecuaciones incomple-tas con c = 0.

En la web


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Ecuaciones completas

Para resolver la ecuación ax 2 + bx + c = 0 en la que a ≠ 0, b ≠ 0 y c ≠ 0 (ecua-ción completa), aplicamos la siguiente fórmula:

soluciones de una ecuación de segundo grado x a

b b ac2

4– –2!=

Como ejemplo, vamos a resolver la ecuación x 2 – 5x + 6 = 0.En ella, a = 1, b = –5 y c = 6.Aplicamos la fórmula:

·x ab b ac

24

2 15 25 24

25 1– – –2! ! != = = =

25 1!=

x

x26 3

24 2

= =

= =

Hay dos soluciones: x1 = 3, x2 = 2Comprobación: 32 – 5 · 3 + 6 = 9 – 15 + 6 = 0 22 – 5 · 2 + 6 = 4 – 10 + 6 = 0

Resolver las ecuaciones siguientes:

a) x 2 – 4x + 4 = 0 b) 2x 2 + 4x + 10 = 0

a) x 2 – 4x + 4 = 0 → a = 1, b = – 4, c = 4. Es completa, luego:

x ab b ac

24

24 16 16

24 0

24 2– – –2! ! != = = = =

Hay una solución: x = 2

b) 2x 2 + 4x + 10 = 0 → a = 2, b = 4, c = 10. Es completa, luego:

x ab b ac

24

44 16 80

44 64– – – – – –2! ! != = =

No tiene solución, pues no existe 64– (ningún número elevado al cuadrado da –64).

Ejercicio resuelto

Reflexiona

Las ecuaciones incompletas tam-bién se pueden resolver aplicando la fórmula, pero es mucho más sencillo resolverlas como vimos en la página anterior.

Ten en cuenta

Al aplicar la fórmula:

x = a

b b ac2

4– ± –2

•Si lo que va debajo de la raíz sale cero, la ecuación tiene una única solución.

•Si lo que va debajo de la raíz sale negativo, la ecuación no tiene solu-ción.

1. Resuelve estas ecuaciones sin aplicar la fórmula:a) 5x 2 – 5 = 0 b) 5x 2 + 5 = 0c) 2x 2 + 3 = 35 d) x 2 – 9x = 0e) 2x 2 – 6x = 0 f ) 5x 2 + 5x = 0g) 8x 2 – 16x = 0 h) 4x 2 = 36i) x 2 + 1 = 0 j) x 2 + x = 0

2. Resuelve estas ecuaciones aplicando la fórmula:a) x 2 – 6x + 5 = 0 b) x 2 + 6x – 7 = 0c) 2x 2 + 2x – 24 = 0 d) x 2 + 4x + 3 = 0e) x 2 – 10x + 25 = 0 f ) x 2 – x + 1 = 0g) x 2 + 2x + 1 = 0 h) –x 2 + 5x – 6 = 0i) –2x 2 – 12x + 14 = 0 j) –x 2 – 2x – 1 = 0

Piensa y practica

Ayuda para resolver ecuaciones de segundo grado.

En la web


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7UNIDAD

67

Otras ecuaciones de segundo grado

En general, una ecuación de segundo grado se presentará en forma no reducida y será necesario simplificarla, transformándola en otra equivalente, con la forma que has visto en la página anterior, para poder aplicar la fórmula.

Ten en cuenta

En la ecuación de la derecha, recha-zamos como solución x = 0, que es solución para la ecuación final, 2x 2 + x = 0, pero no para la ecuación propuesta, ya que

·20 3

01

00 3

2 04 0– – – 2+ = +

carece de sentido por tener algunos denominadores nulos.

Compruébalo

10 – (x – 2)2 = 2x(x – 1) + 3x•Para x = 2:

10 – (2 – 2)2 = 2 · 2 · (2 – 1) + 3 · 2•Para x = –1:

10 – (–1 – 2)2 = 2 · (–1) · (–1 – 1) + + 3 · (–1)

3. Resuelve las ecuaciones siguientes:

a) (x – 3)x + 1 = x 2 – 5x(x + 1)

b) 3(x – 1) – 4x = 2(x + 1)(x – 1) + 2

c) 3x 2 – (x + 3)2 = x 2 – 17

d) 2x 2 – (x – 5)2 = 11 – (x – 6)2

e) 5x(x 2 – x) + 1 = x 2(5x – 3) + x

f ) 10x + (2x – 3)(2x + 3) = 5 – 2(x – 1)2

g) 8x – [x 2 + (x – 2)2] = –(x + 2)2

4. Reduce, resuelve y comprueba las soluciones:

a) x + x3

2 3+ = 1 – x3

2 2

b) x x x2 6 4 12

1– –2

=

c) x x x x3

552

23

32 2

+ = +

d) xx2

3 123– =

e) x3

– 1 + x1 = 1 –

x32

Piensa y practica

1. Resolver la ecuación 10 – (x – 2) 2 = 2x(x – 1) + 3x.

10 – (x – 2)2 = 2x(x – 1) + 3x ← Desarrollar (x – 2)2

10 – (x 2 – 4x + 4) = 2x(x – 1) + 3x ← Eliminar paréntesis

10 – x 2 + 4x – 4 = 2x 2 – 2x + 3x ← Transponer y reducir

0 = 3x 2 – 3x – 6 → x 2 – x – 2 = 0 ← Resolver con la fórmula

(a = 1, b = –1, c = –2)

x = ± ±2

1 1 82

1 3+ = xx

21–

==

2. Resolver la ecuación xx x

xxx

23 1 3

24– – – 2+ = +

xx x

xxx

23 1 3

24– – – 2+ = + ← Multiplicar por 2x para…

2x xx2

3 1–+d n = 2x x

xxx3

24– – 2

+e o ← … eliminar los denominadores

x(x + 3) – 2 = 2(x – 3) + (4 – x 2) ← Eliminar paréntesis

x 2 + 3x – 2 = 2x – 6 + 4 – x 2 ← Transponer y reducir

2x 2 + x = 0 ← Resolver la ecuación de segundo grado incompleta

x(2x + 1) = 0 21

no válida8x 0=

8x x2 1 0 –+ = =

Ejercicios resueltos

En la web Practica la resolución de ecuaciones de segundo grado.


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Plantear una ecuación a partir de un problema es traducir a lenguaje algebraico las condiciones que relacionan lo que se sabe con lo que se desea conocer. Con-viene proceder de forma organizada, por lo que es útil seguir estos pasos:

1. Identificar los datos conocidos, lo que deseamos conocer y dar nombre a la incógnita.

2. Relacionar mediante una igualdad (ecuación) lo conocido con lo descono-cido.

3. Resolver la ecuación.4. Interpretar la solución en el contexto del enunciado.

Problema 1

Elvira tiene 8 años menos que Carlos y este tiene 2 años más que Lourdes. Sumando las edades de los tres, obtenemos 17 años. ¿Cuál es la edad de cada uno?1. Llamamos x a la edad de Lourdes. De acuerdo con esto, tenemos que:

— Edad de Lourdes → x— Edad de Carlos → x + 2— Edad de Elvira → x + 2 – 8 → x – 6

2. Obtenemos la ecuación que relaciona lo conocido con lo desconocido:x – 6 + x + 2 + x = 17

↑ ↑ ↑ Elvira Carlos Lourdes

3. Resolvemos la ecuación:x – 6 + x + 2 + x = 17 → 3x = 21 → x = 7

4. Interpretamos la solución ajustándola al enunciado:— Lourdes tiene 7 años.— Carlos tiene 7 + 2 = 9 años.— Elvira tiene 7 – 6 = 1 año.

Observación

En la próxima unidad, al estudiar sistemas de ecuaciones, podrás utili-zar más de una incógnita. Verás que, así, se simplifica la tarea de traducir enunciados a ecuaciones.

Compruébalo

•Lourdes → 7 años•Carlos → 9 años•Elvira → 1 año

7 + 9 + 1 = 17

4 Resolución de problemas mediante ecuaciones

1. Calcula tres números sabiendo que:— El primero es 20 unidades menor que el segundo.— El tercero es igual a la suma de los dos primeros.— Entre los tres suman 120.

2. Por un videojuego, un cómic y un helado, An-drés ha pagado 14,30 €. El videojuego es cinco veces más caro que el cómic, y este cuesta el doble que el helado. ¿Cuál es el precio de cada artículo?

3. Dos albañiles que trabajan asociados reciben 1 400 como pago de cierto trabajo. ¿Cuánto debe cobrar ca-da uno si el primero trabajó las dos quintas partes de lo que trabajó el otro?

4. En un triángulo isósceles, el lado desigual mide 4 cm más que cada uno de sus lados iguales. Halla la lon-gitud de los lados sabiendo que su perímetro es de 40 cm.

Piensa y practica

x

x + 4


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7UNIDAD

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Practica

Ecuaciones: soluciones, tanteo…

1. Comprueba cuál de los números 1, 2 o 4 es la solución de las siguientes ecuaciones:

a) 3x – 5 = 1

b) x2

– 3x = –10

c) x 3 – 1 = 0

d) 2x = 4

e) x = 2

f ) x1

21=

2. Resuelve mentalmente y explica el proceso seguido.

a) x4

5– = 1

b) 5x + 1 = 11

c) 3(x – 2) = 12

d) x3

+ 1 = 6

e) x3

1+ = 6

f ) x 3 = 8

g) 3x = 81

h) x2 = 4

3. Resuelve por tanteo.

a) x2

4+ = 65

b) x2

– 1 = 3

c) 2(x + 1) = 16

d) x 2 = 25

e) x 3 = 64

f ) 2x = 32

g) x 1+ = 5

h) x2 = 1

Ecuaciones de primer grado

4. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 12x – 8 = 34 + 5x

b) 4(2 – x) – (4 – x) = 7(2x + 3)

c) 2[x + 3(x + 1)] = 5x

d) 5(x – 2) – 2(x – 5) = 2x – (12 + 3x)

5. Elimina los denominadores y resuelve.

a) x x3 5

2151– –=

b) x x x2 3 6

134

+ + =

c) x x2

14

3 1–+ + = –1

d) x5

3 1+ – x + 1 = 0

e) ( )x x3

2 12

3 161–+ + =

f ) ( )x7

3 1– – 2(x + 3) + 8 = 0

6. Simplifica y resuelve estas ecuaciones:

a) 21

31+ x = x –

61

b) x x4

3 33

4– = +

c) ( )x2

3 3+ – 2(2x – 2) = 8x – 1 – 2(x + 3)

d) ( )x x x4

3 33

3 261

123– –+ = + +

e) x x x2

76

712

7– – –+ = + 7

f ) x x x4

55

54

1– –+ = + – 1

7. Comprueba que las siguientes ecuaciones son de primer grado y halla su solución:

a) (x + 1)(x – 1) – 3(x + 2) = x(x + 2) + 4

b) (2x + 3)2 – (2x – 3)2 = x(x + 3) – (x 2 + 1)

c) x x31

31– +d dn n – x x

61+d n =

31 (x – 2)


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Ecuaciones de segundo grado

8. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado sin utilizar la fórmula de resolución:

a) 7x 2 – 21x = 0

b) 2x 2 + x = 0

c) 2x 2 – 14x = 0

d) 4x 2 – 32x = 0

e) x 2 – 36 = 0

f ) 3x 2 – 147 = 0

e) 16x 2 = 100

9. Resuelve estas ecuaciones:

a) 2x 2 – 6x + 4 = 0

b) 3x 2 – 3x – 6 = 0

c) 4x 2 + 16x + 16 = 0

d) x 2 + x + 3 = 0

e) x 2 – 18x + 81 = 0

f ) x 2 – 5x – 24 = 0

g) x 2 – 9x + 14 = 0

h) x 2 – 6x + 10 = 0

i) –2x 2 + 3x + 2 = 0

10. Reduce, resuelve y comprueba las soluciones.

a) 5x 2 – 3x(x – 4) = (x – 2)2 + 13

b) 3x(x – 2) – 6 = (x + 1)(x – 4)

c) x – x22

= x5

2–

d) x x65

3–

2 = 11 – x

22

+ 2

e) 5x – x x

x3 1–=

f ) ( )x x x 015

1 3 15

1– –2=+ + +

g) ( )x x3 13 9

43

– – 2+ =

Piensa y resuelve11. Calcula un número cuya mitad es 20 unidades

menor que su triple.

12. Si a un número le restas 12, se reduce a su tercera parte.

¿Cuál es ese número?

13. La suma de tres números naturales consecutivos es igual al cuádruple del menor.

¿De qué números se trata?

14. Con 3,50 € más el dinero que tengo, podría comprar la camiseta de mi equipo. Si tuviera el do-ble, me sobrarían 7,25 €.

¿Cuánto dibero tengo?

15. En un rectángulo de 74 cm de perímetro sabemos que la altura mide 7 cm menos que la base.

Halla sus dimensiones.

16. El mayor de los ángulos de un triángulo mide 50º más que el mediano; y este mide 20º más que el pequeño.

¿Cuánto mide cada ángulo?

Los tres ángulos de un triángulo siempre suman 180º.

17. La suma de las edades de los cuatro miembros de una familia es 104 años. El padre tiene 6 años más que la madre, que tuvo a los dos hijos gemelos a los 27 años.

¿Qué edad tiene cada uno?

18. Con 12 € que tengo, podría ir dos días a la pis-cina, un día al cine y aún me sobrarían 4,50 €. La entrada de la piscina cuesta 1,50 € menos que la del cine.

¿Cuánto cuesta la entrada del cine?

6 el lenguaje algebraico

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