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16/11/2015

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Tema 1: Números reales

• 1. Números reales (racionales e irracionales)

• 2. Aproximación de números reales

• 3. La recta real

• 4. Valor absoluto. Intervalo y semirrectas

• 5. Potencias de exponente entero. Notación científica

• 6. Radicales

• 7. Potencias de exponente fraccionario

• 8. Operaciones con radicales

• 9. Racionalización

• 10. Logaritmo de un número real

• 11. Propiedades de los logaritmos

• 12. Interés compuesto

Naturales

(N)

Enteros (Z)

Racionales (Q)

Irra

cio

na

les (

I)

REALES

1. Números reales (racionales e irracionales)

Un número racional es el que puede escribirse como cociente de dos números enteros a ; b, con b≠0

b

a

Ejemplos NÚMEROS RACIONALES

Expresión decimal

2

10Entera

100

174Decimal exacta o finita

9

25Decimal periódica pura

90

124Decimal periódica mixta

Expresión fraccionaria

74,1

5

7,2

73,1

(N)

(Z)

(Q) (I)

REALES

Clasifica los siguientes números dentro del conjunto en el que pertenezcan.

73,1

√2

3

43

6

2

4

...00010100100010,1

...010101,1

010010001,1

Decimal periódico puro

Decimal finito

Decimal No finita No periódica

Decimal periódico mixto

Ejemplos

1,22333444455555...

2,01001000100001...

3,14159...

Enteros

Decimal exacta o finita

Decimal periódica

¿Existen más expresiones decimales?

¿Piensa ejemplos?

¿Esas expresiones decimales son racionales?

¿ Se pude expresar como fracción dedos números enteros?

Números irracionales

Números racionales

Puras

Mixtas

Decimales NO finitas NO periódicas

NO

2. Aproximaciones de números reales

POR DEFECTO: el número aproximado es menor (eliminar los decimales posteriores según el orden de aproximación.

POR EXCESO: el número aproximado es mayor ( aumentar una unidad la última cifra decimal según el orden de aproximación.

APROXIMAR

ERROR ABSOLUTO de una aproximación

Diferencia en valor absoluto entre el valor de la aproximación y el valor exacto

Para redondear un número a un orden dado:POR REDONDEO:

Se observa la primera cifra eliminada

SI <5

SI ≥5

Mejor aproximación por defecto

Mejor aproximación por exceso

ERROR RELATIVO de una aproximación

Cociente entre el error absoluto y el valor exacto (%)

Aproximar un número es sustituirlo por otro cercano a él

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ORDEN de una aproximación

Máximo error absoluto que se comete al efectuarla y también cuál es su última cifra decimal

ejemplo

2 1,411421356...

Orden Defecto-Exceso

Unidad

Décima

Centésima

Milésima

1 2 2

1,4 2 1,5

1,41 2 1,42

1,414 2 2,415

ejemplo ...416198487,755

https://tube.geogebra.org/material/simple/id/269301

Orden Unidad Décima Centésima Milésima Diezmilésima

Defecto

Exceso

Redondeo

Orden Unidad Décima Centésima Milésima Diezmilésima

Defecto 7 7,4 7,41 7,416 7,4161

Exceso 8 7,4 7,42 7,416 7,4162

Redondeo 7 7,4 7,42 7,416 7,4162

3. La recta real

Representación de números racionales

ejemplo Representar

3

4

20

1

2

?

20

1

2

?

5

3

Representar

4

6

https://tube.geogebra.org/material/simple/id/269301

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3







• 6. Radicales







Valor absoluto de un número real a, |a|, es la distancia que hay desde “a” hasta cero en la recta real.

VALOR ABSOLUTO

Es siempre un número no negativo.

Definición equivalente:

a

a

a

a 0

a 0

si

si

4. Valor absoluto. Intervalos y semirrectas

• De esto se deduce que la distancia entre dos números reales a y b es igual al valor absoluto de su diferencia.

d(a,b) d(b,a) b aejemplo

d(5,2) d(2,5) 2 (5) 52 7

• Los intervalos y semirrectas se usan para describir conjuntos de números en la recta rea

(,a]

(,2]

(,a)

(,5)

[a,)

[5,)

(a,)

(4,)

TIPOS DE SEMIRRECTAS

• Tipos de intervalos







• 6. Radicales







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• Si a es cualquier número distinto de cero

5. Potencias de exponente entero. Notación científica

a0 1

an 1

an

Propiedades de las potencias:

an am anm

(an bn ) a b n

(an :bn ) a :b n

an : am anmmnmn aa )(

• Hay números que por ser muy grandes o muy pequeñosse expresarían con muchos ceros. La notación científicapermite expresarlos de forma más compacta.

x a 10p

1 a 10

p es “orden de magnitud” de x

6. Radicales

• Un radical es la raíz indicada de un número

an

a 0si

anRepresenta el único número positivo cuya potencia n-ésima es a

• Propiedad fundamental de los radicales

a 0si

mn mn aa

(m 0)

• Dos radicales son equivalentes si representan el mismo número real

ejemplo 1

164 16224

164 2568

2 2

mn mn aa

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5

Ejemplo 2

¿ 83 (8)232 ?

2 2

¿ 83 816 ?

¿No se cumple el teorema?

Se cumple, porque el ejemplo no cumplía una de sus premisas

a 0si

(m 0)

mn mn aa

mn mn aa

Ejemplo ¿Qué es mayor, ó ?

53 7

Para compararlos los pondremos bajo el mismo índice.

Expresándolos como potencias.

5

3 7

Índice

2

3

m.c.m de ambos exponentes

6

66 3 1255

66 2 497

1256 496

Índice

5

3 7

7. Potencias de exponente fraccionario

• Un radical puede expresarse como una potencia de exponente fraccionario

amn

am

n

8. Operaciones con radicales

Para que tengan sentido las relaciones anteriores, deben tener sentido en R las expresiones y

an

bn

Operación Expresión Ejemplo

Producto y cociente de radicales del mismo índice

Producto y cociente de radicales de distinto índice

Se reducen a índice común y se aplica lo anterior

Potencia de un radical

Raíz de un radical

an bn a bn

an : bn a :bn

an m

amn

amn anm

23 53 2 53 10

73 2

723

1735 1715

• Radicales semejantes: “Dos radicales son semejantes si una vez simplificados se escriben con la misma parte radical. Es decir: iguales índice y radicando.”

Comprueba si los siguientes radicales son semejantes, tratando de escribirlos con la misma parte radical:

75

147

12

52 3

22 3

72 3

35

7 3

2 3

75

147

12+ + =

52 3 + +

22 3

72 3 =

35 + +

2 3

7 3 =

3725 = 314

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6

Ejemplo 2

14

723

14

723

73

73

14 73

733

14 73

7

2 73

9. Racionalización

• Racionalizar una expresión fraccionaria con radicales en el denominador es encontrar otra en la que no aparezcan radicales en el denominador.

Ejemplo 1

6

2

6 2

2 2

6 2

2 2

6 2

2

3 2

Ejemplo 3

2

5 2

2 5 2

5 2 5 2

5 2 2

2

5 2

2 2

10 2

5 2

10 2

3

(ab) (a b) a2 b2

“suma por diferencia, diferencia de cuadrados”

• Ej 46. Página 16 Racionaliza y simplifica las expresiones siguientes:

3 6

6 6

3 6

66

2

10 52

3

53 523

10 52

3

5 2 52

3

3 2

3 2

3 2 32

32

32

3

6

323 3 2

3

6A)

10

53B)

3 12

3C)

2

18

6

183 33

• Página 16 Ej.48 - Racionaliza y simplifica.

9. Racionalización

6 3

6 3A)

6 3 2 6 3

6 3

6 3 6 3 6 3 6 3

6 3

2

6 2

3 2

9 2 18

3

9 2 3 2

3 3

)223(3

3 2 2

(ab) (a b) a2 b2

abbaba 2)( 222

Extraer factor del radical

Sacar factor común







• 6. Radicales







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Trabajo de clase ( puedes utilizar la libreta, calculadora)Tiempo 10 minutos

10. Logaritmo de un número real

• Sea b es un número positivo y distinto de 1

• El logaritmo en base b de un número N>0 es el exponente al que hay que elevar la base b para obtener N

xNb log Nbx

log28 3

23 8

Ejemplo

Dicho de otra forma: En lo reales no existen los logaritmos de números negativos ni el logaritmo de 0

xNb log

Nbx • Si la base es 10, el logaritmo se llama decimal y se escribe omitiendo la base;

• Si la base es el número e, el logaritmo se llama neperiano y se escribe;

log10N logN

NN lnlog

Propiedades de los logaritmo de un número real

?2log2

?3log3

?6log6

piensa

12log2

13log3

16log6

logb b 1

22?

33?

66?


?1log2

?1log3

?1log6

piensa

02log2

03log3

06log6

01log b

12?

13?

16?

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• Logaritmo de un producto

logb (M N) logb M logb N

Demostración:

Usando la definición de logaritmo

xMb log

yNb log

xbM ybN

1

2 NMCalcular yx bb yxb

3

logb (M N)

x y

NM bb loglog

Calcular

x y


Logaritmo de un cociente

Logaritmo de una potencia

logbM

N

logb M logb N

MrM b

r

b log)(log

Cambio de base

logb (A) loga A

loga b


1log bb

01log b


logbM

N

logb M logb N

logb (Mr) r logb M

logb (A) loga A

loga b

Cambio de base

01log

110log

2100log

31000log

.

.

.

110log10

1log 1

.

.

.

210log100

1log 2

310log1000

1log 3

Propiedades de los logaritmos decimales

Pág 51. Ejercicio 51. Calcula los logaritmos en base 2 de:

log2(4)A)

B)

log2(2)

C)

log21

8

R Si 0N

21 2

1

log21

23

log2 2

3

3

(2)3 1

8

D)

log2 1024

log2 210 10

(2)10 1024

12. Interés compuesto• El capital final en el que se convierte un capital inicial C

colocado a un interés compuesto del R% anual durante t años viene dado por la expresión:

CF C (1 r)t

r R

100

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• Los logaritmos permiten resolver ecuaciones en las que las incógnitas aparecen como parte del exponente.

2x 6

x log26Ejemplo

• Si existe el logaritmo de un número es único. Por tanto se puede asegurar que se cumple, la siguiente equivalencia

logb (M) logb (N)M N

CF1 CI CI R

1001 año

2 años

Capital final al cabo de n años a un interés del R%, siendo r=R/100,Con un capital inicial

CI

CF2 CI CF1 R

100CI CI

R

100CF1

R

100

CI CI R

100 CI CI

R

100

R

100

CI CI R

100CI

R

100CI

R2

1002

CI 2 CI R

100CI

R2

1002

CI 1 2 R

100R2

1002

CI 1 2 R

100R2

1002

2 años(continuac

ión)

1R

100

2

CI 1R

100

2

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