logaritmos - algebra superior shaum

PROBLEMAS RESUELTOS 253

SOLUCIN Los cuatros trminos son a, ar, ar

2

, ar

3

. Por lo tanto a 1 ar 5 8 y ar2

1 ar3

5 72.

Puesto que a 1 ar 5 8, a 5 2 y la secuencia es 2, 6, 18, 54.

22.34 Demuestre que x, x 1 3, x 1 6 no pueden formar una progresin geomtrica.

SOLUCIN Si x, x1 3, x 1 6 es una progresin geomtrica, entonces

Como esta igualdad nunca puede ser cierta, x, x 1 3, x 1 6 no pueden estar en progresin geomtrica.

22.35 Un muchacho gana un centavo el primer da, dos centavos el segundo, cuatro centavos el tercero, ocho el

cuarto, etc. Qu cantidad de dinero recibir al fi nal de 12 das?

SOLUCIN Se tiene que a 5 1, r 5 2, n 5 12.

22.36 Se estima que la poblacin de una cierta ciudad se incrementar en 10% anual durante cuatro aos. En qu

tanto por ciento aumentar la poblacin despus de los cuatro aos?

SOLUCIN Sea p la poblacin inicial. Despus de un ao la poblacin es 1.10p; despus de dos aos, (1.10)

2

p;

despus de tres aos, (1.10)

3

p; y despus de cuatro aos, (1.10)

4

p 5 1.46p. Por lo tanto, la poblacin aumentar

en 46%.

22.37 De un depsito que contiene 240 galones de alcohol, se extraen 60 galones y se sustituyen por agua. A conti-

nuacin se extraen 60 galones de la mezcla y se les reemplaza por agua, etc. Encuentre el nmero de galones

de alcohol que habr en el depsito despus de haber efectuado 5 extracciones de 60 galones.

SOLUCIN Despus de la primera extraccin quedan en el depsito 240 2 60 5 180 galones de alcohol.

Despus de la segunda quedan,

galones de alcohol, etc.

El nmero de galones de alcohol que quedan en el depsito despus de cada extraccin forma una progresin

geomtrica,

De aqu que

ar

2

1 ar3

a 1 ar5

ar

2

(1 1 r)

a(1 1 r)5 r

2

572

8

5 9, por lo que r 5 3.

r 5x 1 3

x

5x 1 6

x 1 3, x

2

1 6x 1 9 5 x2

1 6x o 9 5 0.

180

240 60

240

5 1803

4

gal

180, 180

3

4

, 180

3

4

2

, donde a 5 180, r 53

4

.

S 5a(r

n

1)

r 1

5 212

1 5 4 096 1 5 4 095 5 $40.95.

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254 CAPTULO 22 PROGRESIONES Y SERIES

Despus de la quinta extraccin (n 5 5) quedan:

galones de alcohol.

22.38 Se invierten $400 a una tasa de 6% anual. Calcule el capital que se habr formado al cabo de cinco aos si

el inters es a) anual, b) semestral y c) trimestral.

SOLUCIN Sea P 5 capital inicial, i 5 rdito en tanto por ciento, por periodo de tiempo, S 5 capital acumulado

al cabo de n periodos.

Al fi nal del primer periodo: inters 5 Pi, nuevo capital 5 P 1 Pi 5 P(1 1 i).

Al fi nal del segundo periodo: inters 5 P(1 1 i)i, nuevo capital 5 P(1 1 i) 1 P(1 1 i)i 5 P(1 1 i)2

.

El capital acumulado al cabo de n periodos ser, S 5 P(1 1 i)n

.

a) Como se cobran los intereses una vez por ao, n 5 5 e i 5 0.06.

b) Como se cobran los intereses dos veces por ao, n 5 2(5) 5 10 e i 5 2

1

(0.06) 5 0.03.

c) Como se cobran los intereses cuatro veces por ao, n 5 4(5) 5 20 e i 54

1

(0.06) 5 0.015.

22.39 Encuentre el capital (P) que se debe invertir a 4% de inters compuesto semestral para que al cabo de 3.5 aos

se transforme en un capital (S) de $500.

SOLUCIN Como se cobran intereses dos veces por ao, n 5 2(32

1

) 5 7(periodos) y el rdito, en tanto por ciento

y por periodo es i 52

1

(0.04) 5 0.02.

Por lo tanto S 5 P(1 1 i)n

de donde P 5 S(1 1 i)2n

5 500(1 1 0.02)27

5 500(0.870 56) 5 $435.28.

22.40 Deduzca la frmula de la media geomtrica, G, entre dos nmeros p y q.

SOLUCIN Como p, G, q estn en progresin geomtrica, se tiene Gyp 5 q/G, G2 5 pq y G 5 6 pq.

Se suele tomar G 5 pq si p y q son positivos.

y G 5 2 pq si p y q son negativos.

22.41 Encuentre la media geomtrica de los pares de nmeros siguientes:

a)

b)

c)

22.42 Demuestre que la media aritmtica A de los nmeros positivos p y q es mayor que o igual a su media geom-

trica G.

l 5 arn 1

5 1803

4

4

5 57 gal

S 5 P(1 1 i)n

5 400(1 1 0.06)5

5 400(1.3382) 5 $535.28

S 5 P(1 1 i)n

5 400(1 1 0.03)10

5 400(1.3439) 5 $537.56.

S 5 P(1 1 i)n

5 400(1 1 0.015)20

5 400(1.3469) 5 $538.76.

4 y 9. G 5 4(9) 5 6

22 y 28. G ( 2)( 8) 4

7 1 3 y 7 3. G 5 ( 7 1 3)( 7

3) 5 7 3 5 2

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SOLUCIN La media aritmtica de p y q es A 52

1

(p 1 q). La media geomtrica de p y q es G pq.

Ahora bien,

2

1

(p 2 p)2 es siempre positivo o cero; luego A $ G. (A 5 G si y slo si p 5 q).

22.43 Site dos medias geomtricas entre 686 y 2.

SOLUCIN Se requiere una progresin geomtrica de la forma 686, , , 2 donde a 5 686, l 5 2, n 5 4.

Entonces l 5 arn21

, 2 5 686r3

, r

3

5 1y343 y r 5 1y7.

Por lo tanto, la progresin geomtrica es 686, 98, 14, 2 y las medias son 98, 14.

Nota: En realidad, r

3

5 1/343 se satisface para tres valores diferentes de r, uno de ellos real y los otros dos

complejos. Aqu prescindimos de las progresiones geomtricas con trminos complejos.

22.44 Situar cinco medias geomtricas entre 9 y 576.

SOLUCIN Se tiene que formar la progresin geomtrica 9, , , , , , 576 siendo a 5 9, l 5 576, n 5 7.

Como l 5 arn21

, 576 5 9r6

, r

6

5 64, r3

5 68 y r 5 62.

Luego las progresiones son 9, 18, 36, 72, 144, 288, 576 y 9,218,36,272,144,2288,576; y las medias corres-

pondientes son 18, 36, 72, 144, 288 y 218, 36,272, 144,2288.

22.45 Encuentre la suma de las series geomtricas siguientes:

a)

b)

c)

22.46 Exprese los nmeros peridicos siguientes por medio de una fraccin racional.

a) 0.444 b) 0.4272727 c) 6.305305 d) 0.78367836

SOLUCIN

a) 0.444 5 0.4 1 0.04 1 0.004 1 , donde a 5 0.4, r 5 0.1.

b) 0.4272727 5 0.4 1 0.0272727

0.0272727 5 0.027 1 0.00027 1 0.0000027 1, donde a 5 0.027, r 5 0.01.

c) 6.305305 5 6 1 0.305305

0.305305 5 0.305 1 0.000305 1 . . . , donde a 5 0.305, r 5 0.001.

Luego A G 5 12

( p 1 q) pq 51

2

( p 2 pq 1 q) 51

2

( p q)

2

.

2 1 1 11

2

11

4

S` 5a

1 r

52

1 1y25 4

1

3

2

9

14

27

8

81

S` 5a

1 r

51y3

1 ( 2y3)5

1

5

1 11

1.04

11

(1.04)

2

S` 5a

1 r

51

1 1y1.045

1.04

1.04 1

5104

4

5 26

S` 5 6 1a

1 r

5 6 10.305

1 0.001

5 6 1305

999

5 6305

999

S` 5 0.4 1a

1 r

5 0.4 10.027

1 0.01

5 0.4 127

990

54

10

13

110

547

110

S` 5a

1 r

50.4

1 0.1

50.4

0.9

54

9

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d) 0.78367836 5 0.7836 1 0.00007836 1 , donde a 5 0.7836, r 5 0.0001.

22.47 Las distancias recorridas por cierto reloj de pndulo al oscilar sucesivamente forman una progresin geom-

trica, 16, 12, 9, pulgadas respectivamente. Calcule la distancia total recorrida por la esferilla del pndulo

hasta alcanzar el reposo.

SOLUCIN

22.48 Encuentre el menor nmero de trminos que se deben tomar de la serie

1

3

11

6

11

12

para que su suma

difi era de la suma correspondiente a los infi nitos trminos en menos de 1/1 000.

SOLUCIN Sea S

`5 suma de la progresin, S

n

5 suma de n trminos. Luego,

Se desea que

Luego

Cuando n 5 9, 2n

, 666 3

2

; cuando n 5 10, 2n

. 666 3

2

. Por lo tanto, se deben tomar por los menos 10 trminos.

22.49 Determine cules de las sucesiones siguientes son progresiones armnicas

a)

b)

c)

22.50 Calcule el trmino nmero 15 de la progresin armnica

1

4

,

1

7

,

1

10

,

SOLUCIN La progresin aritmtica correspondiente es 4, 7, 10, ; su decimoquinto trmino es l 5 a 1 (n 2 1)

d 5 4 1 (15 2 1)3 5 46.

De aqu que el trmino nmero 15 de la progresin armnica sea

1

46

.

22.51 Deduzca la frmula de la media armnica, H, entre dos nmeros p y q.

SOLUCIN Como p, H, q forman una progresin armnica,

1

p

,

1

H

,

1

q

es una progresin aritmtica.

S` 5a

1 r

50.7836

1 0.0001

57 836

9 999

52 612

3 333

S` 5a

1 r

516

1 3y45

16

1y45 64 pulgadas

S` Sn 5a

1 r

a(1 r

n

)

1 r

5ar

n

1 r

.

ar

n

1 r

,1

1 000

, donde a 5 1y3, r 5 1y2.

(1y3)(1y2)n

1 1y2,

1

1 000

,

1

3(2

n

)

,1

2 000

, 3(2

n

) . 2 000, 2n

. 6662

3

.

1

3

,

1

5

,

1

7

, es una progresin armnica puesto que 3, 5, 7, es una progresin aritmtica.

2, 4, 6, no es una progresin armnica puesto que

1

2

,

1

4

,

1

6

, no es una progresin aritmtica.

1

12

,

2

15

,

1

3

, es una secuencia armnica ya que 12,

15

2

, 3, es una progresin aritmtica.

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Luego

Otro mtodo:

Media armnica entre p y q 5 recproco de la media aritmtica entre1

p

y

1

q

.

Media aritmtica entre

1

p

y

1

q

51

2

1

p

11

q

5p 1 q

2pq

.

De aqu que la media armnica entre p y q sea 52pq

p 1 q.

22.52 Encuentre la media armnica entre 3y8 y 4

SOLUCIN Media armnica entre

8

3

y

1

4

51

2

8

3

11

4

535

24

.

Luego la media armnica entre

3

8

y 4 5 24/ 35.

O tambin, mediante la frmula, media armnica 52pq

p 1 q5

2(3y8)(4)3y8 1 4

524

35

.

22.53 Situar cuatro medias armnicas entre 1/4 y 1/64.

SOLUCIN Para insertar cuatro medias en la progresin armnica entre 4 y 64: l 5 a 1 (n 2 1)d, 64 5 4 1

(6 2 1)d, d 5 12.

Por lo tanto, las cuatro medias en la progresin aritmtica entre 4 y 64 son 16, 28, 40, 52.

De aqu que las cuatro medias en la progresin armnica entre

1

4

y

1

64

are

1

16

,

1

28

,

1

40

,

1

52

.

22.54 Encuentre tres medias armnicas entre 10 y 20.

SOLUCIN Para encontrar tres medias armnicas entre

1

10

y

1

20

.

Por lo tanto, las tres medias aritmticas entre

1

10

y

1

20

son

7

80

,

6

80

,

5

80

.

De aqu que las tres medias armnicas entre 10 y 20 son

80

7

,

40

3

, 16.

22.55 Determine si la sucesin 21, 24, 2 es una progresin aritmtica, geomtrica o armnica.

SOLUCIN Como 2 4 2 (21) 2 2 (24), no es una progresin aritmtica.

Como

4

1

2

4

, no es una progresin geomtrica.

Como

1

1

,

1

4

,

1

2

es una progresin aritmtica, es decir,

1

4

( 1) 51

2

1

4

, la sucesin dada es una pro-

gresin armnica.

1

H

1

p

51

q

1

H

,

2

H

51

p

11

q

5p 1 q

pq

y H 52pq

p 1 q.

l 5 a 1 (n 1)d,1

20

51

10

1 (5 1)d, d1

80

.

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Problemas propuestos

22.56 Encuentre el valor n-simo y la suma de los n primeros trminos de las progresiones aritmticas siguientes para el

valor de n que se indica:

a)

b)

22.57 Encuentre la suma de los n primeros trminos de las progresiones aritmticas siguientes:

a)

22.58 El primer trmino de una progresin aritmtica es 4 y el ltimo 34. Sabiendo que la suma de sus trminos es 247.

Encuentre el nmero de trminos y la razn.

22.59 El ltimo trmino de una progresin aritmtica, que consta de 49 trminos es 28. Sabiendo que la razn es 1/2,

encuentre el primer trmino y la suma de todos ellos.

22.60 Encuentre la suma de todos los enteros pares comprendidos entre 17 y 99.

22.61 Encuentre la suma de todos los enteros comprendidos entre 84 y 719 que sean mltiplos de 5.

22.62 Encuentre el nmero de trminos que se deben tomar de la progresin aritmtica 3, 7, 11,, para que su suma sea

1 275.

22.63 Encuentre tres nmeros en progresin aritmtica cuya suma sea 48 y la correspondiente a sus cuadrados 800.

22.64 Una pelota rueda por un plano inclinado, partiendo del reposo, de forma que en el primer segundo recorre 3 pul-

gadas, en el segundo 5 pulgadas, en el tercero 7 pulgadas, etc. Encuentre el tiempo que tardar en recorrer 120

pulgadas.

22.65 Un muchacho cobra $1 el primer da, $2 el segundo, $3 el tercero, etc. Encuentre el dinero que percibir al cabo de

365 das.

22.66 Encuentre el trmino n-simo de una progresin aritmtica sabiendo que la suma de los 40 primeros es 430 y que

la suma de los 60 primeros es 945.

22.67 Encuentre una progresin aritmtica sabiendo que la suma de sus n primeros trminos es igual a 2n

2

1 3n.

22.68 Encuentre la media aritmtica entre a) 15 y 41, b) 216 y 23, c) 2 2 3 y 4 1 33, d) x 2 3y y 5x 1 2y.

22.69 a) Calcule 4 medias aritmticas entre 9 y 24.

b) Calcule 2 medias entre 21 y 11.

c) Calcule 3 medias entre x 1 2y y x 1 10y.

d) Entre los trminos 5 y 26 de una progresin aritmtica, encuentre un nmero de medias tal que la suma de la

progresin aritmtica resultante sea de 124.

22.70 Encuentre el trmino n-simo y las suma de los n primeros trminos de las sucesiones siguientes y para el

valor de n que se indica.

a)

b)

c)

22.71 Calcule la suma de los n primeros trminos de las progresiones geomtricas siguientes:

a)

22.72 El primer trmino de una progresin geomtrica es 3 y el ltimo 48. Sabiendo que cada trmino es el doble

del anterior, encuentre el nmero de trminos y la suma de todos ellos.

a) 1, 7, 13, . . . n 5 100 c) 226, 224, 222, . . . n 5 40 e) 3, 41

2

, 6, . . . n 5 37

b) 2, 5

1

2

, 9, . . . n 5 23 d ) 2, 6, 10, . . . n 5 16 f ) x y, x, x 1 y, . . . n 5 30

a) 1, 2, 3, . . . b) 2, 8, 14, . . . c) 1

1

2

, 5, 8

1

2

, . . .

2, 3, 9y2, . . . n 5 5 d ) 1, 3, 9, . . . n 5 86, 212, 24, . . . n 5 9 e) 8, 4, 2, . . . n 5 12

1, 1y2, 1y4, . . . n 5 10 f ) 3 , 3, 3 3, . . . n 5 8

1, 1y3, 1y9, . . . b) 4y3, 2, 3, . . . c) 1, 22, 4, . . .

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22.73 Demuestre que la suma S de los trminos de una progresin geomtrica cuyo primer trmino es a, el ltimo es l y

la razn r, viene dado por

22.74 En una progresin geomtrica, el segundo trmino excede al primero en 4 unidades y la suma del segundo y el

tercero es 24. Demuestre que es posible encontrar dos progresiones geomtricas que satisfagan estas condiciones

y encuentre la suma de los cinco primeros trminos de cada una de ellas.

22.75 Determine una progresin geomtrica de cuatro trminos sabiendo que la razn es positiva, que la suma de los dos

primeros trminos es 10 y que la suma de los dos ltimos es 22 1/2.

22.76 Los dos primeros trminos de una progresin geomtrica son by(1 1 c) y by(1 1 c)2. Demuestre que la suma de los n primeros trminos de esta progresin viene dada por la expresin

22.77 Encuentre la suma de los n primeros trminos de la progresin geomtrica: a 2 2b, ab2

2 2b3

, ab

4

2 2b5

,

22.78 El tercer trmino de una progresin geomtrica es 6 y el quinto es 81 veces mayor que el primero. Escriba los cinco

primeros trminos de la progresin suponiendo que los trminos son positivos.

22.79 Encuentre tres nmeros en una progresin geomtrica sabiendo que su suma es 42 y su producto 512.

22.80 El tercer trmino de una progresin geomtrica es 144 y el sexto 486. Encuentre la suma de los cinco primeros

trminos de la progresin.

22.81 Un depsito contiene una solucin de sal en agua siendo la masa de sal disuelta igual a 972 libras. Se extrae un

tercio de la solucin y se reemplaza por agua pura. Una vez agitada la mezcla hasta conseguir su uniformidad,

se extrae un tercio de la solucin y se reemplaza de nuevo por agua. Encuentre la cantidad de sal que queda en la

solucin despus de la cuarta extraccin.

22.82 La suma de los tres primeros trminos de una progresin geomtrica es 26 y la suma de los seis primeros trminos

728. Encuentre el trmino n-simo de dicha progresin.

22.83 La suma de los tres primeros trminos de una progresin geomtrica es 14. Sabiendo que si se incrementan los

dos primeros en una unidad y se disminuye en la misma cantidad el tercero, los nmeros que resultan forman una

progresin aritmtica. Establezca la progresin geomtrica.

22.84 Determine la media geomtrica entre:

a) 2 y 18, b) 4 y 6, c) 24 y 216, d) a 1 b y 4a 1 4b.

22.85 a) Encuentre dos medias geomtricas entre 3 y 192.

b) Encuentre cuatro medias geomtricas entre 2 y 8. c) La media geomtrica de dos nmeros es 8. Si uno de los nmeros es 6, encuentre el otro.

22.86 El primer trmino de una progresin aritmtica es 2, y el primero, tercero y undcimo son tambin los primeros

tres trminos de una progresin geomtrica. Encuentre la suma de los primeros once trminos de la progresin

aritmtica.

22.87 Encuentre el nmero de trminos que se deben sumar de la progresin aritmtica 9, 11, 13,para que la suma sea

igual a la de los nueve primeros trminos de la progresin geomtrica 3, 26, 12, 224,

22.88 Calcule cuatro nmeros sabiendo que los tres primeros estn en progresin geomtrica y los tres ltimos en pro-

gresin aritmtica de razn 6, siendo el primer nmero igual al cuatro.

S 5rl a

r 1

.

S 5 b1 (1 1 c)

n

c

PROBLEMAS PROPUESTOS 259

Spiegel 22.indd 259 19/12/06 23:31:50


22.89 Encuentre dos nmeros cuya diferencia es 32 y cuya media aritmtica excede a la geomtrica en 4.

22.90 Encuentre la suma de las series geomtricas indefi nidas siguientes:

a)

b)

22.91 La suma de los dos primeros trminos de una progresin geomtrica decreciente es 5y4 y la suma a infi nito es 9/4. Escriba los tres primeros trminos de la progresin.

22.92 La suma de trminos infi nitos de una progresin geomtrica decreciente es 3 y las de sus cuadrados es tambin 3.

Escriba los tres primeros trminos de la progresin.

22.93 Las distancias sucesivas (en pulgadas) que experimenta un el pndulo de un reloj son 36, 24, 16, Encuentre la

distancia que recorrer la esferilla hasta alcanzar el reposo.

22.94 Exprese los nmeros peridicos siguientes mediante una fraccin racional.

a)

b)

22.95 a) Encuentre el octavo trmino de la progresin armnica 2/3, 1/2, 2/5,.

b) Encuentre el dcimo trmino de la progresin armnica 5,30/7,15/4,..

c) Encuentre el trmino n-simo de la progresin armnica 10/3, 2, 10/7,.

22.96 Calcule la media armnica entre los pares de nmeros siguientes:

a) 3 y 6 b) 1y2 y 1y3 c) 3 y 2 d) a 1 b y a 2 b

22.97 a) Calcule dos medias en una progresin armnica entre 5 y 10.

b) Calcule cuatro medias en una progresin armnica entre 3y2 y 3y7.

22.98 Un mvil se desplaza a velocidad constante a entre los puntos A y B y, acto seguido, va desde B hasta A a la veloci-

dad constante b. Demuestre que la velocidad media del recorrido total viene dada por 2aby(a 1 b), media armnica entre a y b. Calcule la velocidad promedio en el supuesto de que a 5 30 y b 5 60 pies/segundo.

SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS PROPUESTOS

22.56 a)

b)

22.57 a)

22.58 n 5 13, d 5 5y2

22.59 a 5 4, S 5 784

22.60 2 378

22.61 50 800

22.62 25

22.63 12, 16, 20

22.64 10 segundos

3 1 1 1 1y3 1 . . . c) 1 1 1y 22 1 1y24 1 . . . e) 4 2 8y3 1 16y94 1 2 1 1 1 . . . d ) 6 2 2 1 2y3 f ) 1 1 0.1 1 0.01 1 . . .

0.121212

. . .

c) 0.270270

. . .

e) 0.1363636

. . .

0.090909

. . .

d ) 1.424242

. . .

f ) 0.428571428571428

. . .

l 5 595, S 5 29 800 c) l 5 52, S 5 520 e) l 5 57, S 5 1 110

l 5 19, S 5 9311

2

d ) l 5 62, S 5 512 f ) l 5 x 1 28y, S 5 30x 1 405y

n(n 1 1)

2

b) n(3n 2 l) c)n(7n 1)

4

Spiegel 22.indd 260 19/12/06 23:31:51

22.65 $ 667.95

22.66

22.67 5, 9, 13, 17, n-simo trmino 5 4n 1 1

22.68 a) 28, b) 7y2, c) 3 1 3, d) 3x 2 yy2

22.69 a) 12, 15, 18, 21 c) x 1 4y, x 1 6y, x 1 8y

b) 3, 7 d) La progresin geomtrica es 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26

22.70 a) l 5 81y8, S 5 211y8 c) l 5 1y512, S 5 1 023y512 e) l 5 1y256, S 5 4 095y256

b) l 5 1 536, S 5 1 026 d) l 5 2 187, S 5 3 280 ) l 5 81, S 5 120 1 40 3

22.71 a)

22.72 n 5 5, S 5 93

22.74 2, 6, 18, y S 5 242; 4, 8, 16, y S 5 124

22.75 4, 6, 9, 27y2

22.77

22.78 2y3, 2, 6, 18, 54

22.79 2, 8, 32

22.80 844

22.81 192 libras

22.82 2 3n21

22.83 2, 4, 8

22.84 a) 6 b) 2 6 c) 28 d) 2a 1 2b

22.85 a) 12, 48 b) 2, 2 2, 4, 4 2 c) 32y3

22.86 187 o 22

22.87 19

22.88 8, 24, 2, 8

22.89 18, 50

22.90 a) 9y2 b) 8 c) 4y3 d) 9y2 e) 12y5 ) 10y9

22.91 3y4, 1y2, 1y3

22.92 3y2, 3y4, 3y8

n 1 1

2

3

2

1

1

3

n

b)

8

3

3

2

n

1 c)

1 ( 2)

n

3

(a 2b) 1 (b2n

1)

b

2

1


Spiegel 22.indd 261 19/12/06 23:31:52


22.93 108 pulgadas

22.94 a) 4y33 b) 1y11 c) 10y37 d) 47y33 e) 3y22 ) 3y7

22.95 a)

22.96 a)

22.97 a) 6, 15y2 b) 1, 3y4, 3y5, 1y2

22.98 40 pies/ segundo

1/ 5 b) 2 c)10

2n 1 1

4 b) 2/ 5 c) 6 2 4 3 d )a

2

b

2

a

Spiegel 22.indd 262 19/12/06 23:31:54

23.1 DEFINICIN DEL LOGARITMO

Si b

x

5 N, siendo N un nmero positivo y b un nmero positivo diferente de 1, entonces el exponente x es el logaritmo

de N en la base b y se escribe x 5 logb

N.

EJEMPLO 23.1 Escriba 3

2

5 9 utilizando notacin con logaritmos.

Puesto que 3

2

5 9, entonces 2 es el logaritmo de 9 en base 3, es decir, 2 5 log3

9.

EJEMPLO 23.2 Evale log

2

8.

log

2

8 es el nmero x al que se debe elevar la base 2 a fi n de obtener 8, es decir, 2

x

5 8, x 5 3. De aqu que log2

8 5 3.

Tanto b

x

5 N como x 5 logb

N son relaciones equivalentes; b

x

5 N se llama la forma exponencial y x 5 logb

N la forma

logartmica de la relacin. Como consecuencia, a cada ley de los exponentes corresponde una ley de los logaritmos.

23.2 LEYES DE LOS LOGARITMOS

I. El logaritmo del producto de dos nmeros positivos M y N es igual a la suma de los logaritmos de los nmeros, es

decir,

II. El logaritmo del cociente de dos nmeros positivos M y N es igual a la diferencia de los logaritmos de los nmeros, es

decir,

III. El logaritmo de la p-sima potencia de un nmero positivo M es igual a p multiplicado por el logaritmo del nmero,

es decir,

EJEMPLOS 23.3 Aplique las leyes de los logaritmos a cada expresin.

a)

a)

b)

c)

d)

23

Logaritmos

log

b

MN 5 logb

M 1 logb

N.

log

b

M

N

5 logb

M log

b

N.

log

b

M

p 5 p logb

M.

log

2

3(5) b) log

10

17

24

c) log

7

5

3

d) log

10

23

log

2

3(5) 5 log2

3 1 log2

5

log

10

17

24

5 log10

17 log

10

24

log

7

5

3 5 3 log7

5

log

10

23 5 log10

2

1y3 51

3

log

10

2

263

Spiegel 23 263 19/12/06 23:33:25

264 CAPTULO 23 LOGARITMOS

23.3 LOGARITMOS DECIMALES

El sistema de logaritmos cuya base es 10 recibe el nombre de sistema logartmico comn. Cuando no se escriba la

base, se sobreentiende que sta es igual a 10. Por ejemplo, log 25 5 log10

25.

Es evidente que 10

1,5377

ser un nmero mayor que 10 (que es 10

1

), pero menor que 100 (que es 10

2

). En realidad,

10

1,5377

5 34.49; de aqu que log 34.49 5 1.5377.

El dgito antes del punto decimal es la caracterstica del logaritmo y la parte decimal mantisa. En el ejemplo

anterior, la caracterstica del logaritmo es 1 y la mantisa es .5377.

La mantisa del logaritmo de un nmero se encuentra en tablas en donde aparece sin la coma decimal. Ha de

entenderse, sin embargo, que dicha mantisa es la parte decimal, siempre positiva, de un nmero cuya parte entera

(caracterstica) no fi gura en las tablas.

La caracterstica se determina por inspeccin a partir del mismo nmero de acuerdo con las reglas siguientes.

1. Si el nmero es mayor que 1, la caracterstica es positiva y uno menos que el nmero de dgitos antes del punto

decimal. Por ejemplo,

2. Si el nmero es menor que 1, la caracterstica es negativa y es uno ms que el nmero que ceros de haya

inmediatamente despus del punto decimal. El signo negativo de la caracterstica se puede escribir de dos maneras:

a) encima de la caracterstica, por ejemplo, 1, 2, etc.; b) en la forma 9 10, 8 10, etc. Ms concretamente, la

caracterstica del logaritmo del nmero 0.3485 es 1, o bien 9 10; la correspondiente a 0.0513 es 2, o bien 8

10; y la de 0.0024 es 3, o bien 7 10.

23.4 UTILIZACIN DE LA TABLA DE LOGARITMOS DECIMALES

Para encontrar el logaritmo decimal de un nmero positivo se emplea la tabla de logaritmos decimales que se

encuentra en el apndice A.

Suponga que se necesita conocer el logaritmo del nmero 728. Se busca en la tabla de logaritmos el nmero 72

en la columna N y siguiendo la horizontal, debajo de la columna 8, aparece el nmero 8 621, que es la mantisa del

logaritmo en cuestin. Como la caracterstica es 2, se podr escribir log 728 5 2.8621. (Quiere decir que 720 5 102.8621

).

La mantisa de log 72.8, log 7.28, log 0.728, los 0.0728, etc., es 0.8621, sin embargo, sus caractersticas son

diferentes. Por lo tanto,

Si el nmero tiene cuatro cifras, la mantisa se obtiene interpolando por el mtodo de las partes proporcionales.

EJEMPLO 23.4 Encuentre el valor de log 4.638.

La caracterstica es 0. La mantisa se encuentra como sigue:

Nmero N 0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10 000

Forma

exponencial N

10

2410

2310

2210

2110

0

10

1

10

2

10

3

10

4

log N 24 23 22 21 0 1 2 3 4

Nmeror 5297 348 900 34.8 60 5.764 3

Caractersticac 3 2 2 1 1 0 0

log 728 5 2.8621 log 0.728 5 1.8621 o 9.8621 2 10

log 72.8 5 1.8621 log 0.0728 5 2.8621 o 8.8621 2 10

log 7.28 5 0.8621 log 0.007 28 5 3.8621 o 7.8621 2 10

Mantisa de log 4 640 5 .6665

Mantisa de log 4 630 5 .6656

Diferencia tabular 5 .0009

Spiegel 23 264 19/12/06 23:33:28

.8 3 diferencia tabular 5 .000 72 o .0007 con cuatro cifras decimales.

Mantisa de log 4 638 5 0.6656 1 .0007 5 .6663 a cuatro dgitos

De aqu que log 4.638 5 0.6663.

La mantisa de log 4638, log 463.8, log 46.38, etc., es 6663, pero las caractersticas son diferentes. Por lo tanto,

El antilogaritmo es el nmero correspondiente a un logaritmo dado. El antilogaritmo de 3 signifi ca el nmero

cuyo logaritmo es 3; en este caso, es fcil deducir que se trata del nmero 1 000.

EJEMPLOS 23.5 Encuentre el valor de N.

a)

a) En la tabla, la mantisa .9058 corresponde al nmero 805. Como la caracterstica de log N es 1, el nmero tendr dos

cifras enteras; por lo tanto, N 5 80.5 (o antilog 1.9058 5 80.5).

b) En la tabla, la mantisa .8657 corresponde al nmero 734. Como la caracterstica es 7 10, el nmero tendr dos ceros

inmediatamente despus de la coma; por lo tanto, N 5 0.00734 (es decir, antilog 7.8657 10 5 0.00734).

c) Como la mantisa .3842 no aparece en las tablas, se debe utilizar la interpolacin.

Luego, 2 420 1 4

18

(2 430 2 2 420) 5 2 422 con cuatro dgitos y N 5 0.2422.

23.5 LOGARITMOS NATURALES

El sistema de logaritmos cuya base es la constante e se llama sistema de logaritmos naturales. Cuando se desea

indicar que la base de un logaritmo es e, se escribe ln. Por lo tanto, ln 25 5 loge

25.

La forma exponencial de ln a 5 b es eb

5 a. El nmero e es un irracional y puede expandirse como e 5

2.718 281 828 450 45

23.6 UTILIZACIN DE LA TABLA DE LOGARITMOS NATURALES

Para encontrar el logaritmo natural de un nmero positivo se utiliza la tabla de logaritmos del apndice B.

Para encontrar el logaritmo natural de un nmero que se encuentra comprendido en el rango del 1 al 10, por

ejemplo, el 5.26, se busca en la columna N el valor en cuestin, despus hacia la derecha hasta la columna cuyo

encabezado es .06 para obtener el valor 1.6601. Por lo tanto, ln 5.26 5 1.6601. Esto signifi ca que 5.26 5 e1.6601

.

Si se quisiera encontrar el logaritmo natural de un nmero mayor que 10 y menor que 1, se escribe el nmero

en notacin cientfi ca, se aplican las leyes de los logaritmos y se utiliza la tabla de logaritmos naturales y el hecho

de que ln 10 5 2.3026.

EJEMPLOS 23.6 Encuentre el logaritmo natural de cada nmero.

a)

a)

log 4 638 5 3.6663 log 0.4638 5 1.6663 o 9.6663 10

log 463.8 5 2.6663 log 0.046 38 5 2.6663 o 8.6663 10

log 46.38 5 1.6663 log 0.004 638 5 3.6663 o 7.6663 10

log 4.638 5 0.6663 log 0.000 463 8 5 4.6663 o 6.6663 10

log N 5 1.9058 b) log N 5 7.8657 10 c) log N 5 9.3842 10.

Mantisa de log 2 430 5 .3856 Mantisa dada 5 .3842

Mantisa de log 2 420 5 .3838 Mantisa ms prxima menor 5 .3838

Diferencia tabular 5 .0018 Diferencia 5 .0004

346 b) 0.0217

ln 346 5 ln(3.46 102)

5 ln 3.46 1 ln 102

5 ln 3.46 1 2 ln 10

5 1.2413 1 2(2.3026)

5 1.2413 1 4.6052

ln 346 5 5.8465

23.6 UTILIZACIN DE LA TABLA DE LOGARITMOS NATURALES 265

Spiegel 23 265 19/12/06 23:33:31


b)

El valor de ln 4.638 no puede encontrarse directamente a partir de la tabla de logaritmos naturales, ya que tiene

cuatro cifras signifi cativas, sin embargo, puede utilizarse la interpolacin con el objetivo de encontrarlo.

0.8 3 diferencia tabular 5 5 0.8 3 0.0021 5 0.001 68 o 0.0017 con cuatro cifras decimales.

Por lo tanto, 4.638 5 ln 4.630 1 0.0017 5 1.5326 1 0.0017 5 1.5343.

El antilogaritmo de un logaritmo natural es el nmero que tiene como logaritmo el nmero dado. El procedimiento

para encontrar el antilogaritmo de un nmero natural menor que 0 o mayor que 2.3026, requiere de la suma o resta

de mltiplos de ln 10 5 2.3026 con el fi n de trasladar el logaritmo natural en el rango de 0 a 2.3026 el cual puede

encontrarse en la tabla del apndice B.

EJEMPLOS 23.7 Encuentre el valor de N.

a) ln N 5 2.1564 b) ln N 5 24.9705 c) ln N 5 1.8869

a) ln N 5 2.1564 se encuentra entre 0 y 2.3026, por lo que se busca en la tabla de logaritmos naturales el valor 2.1564.

Est en la tabla, por lo que se obtiene N a partir de la suma de los nmeros que encabezan la fi la y la columna corres-

pondientes al 1.1564. Por lo tanto, N 5 antilogaritmo de 2.1564 5 8.64.

b) Puesto que ln N 5 -4.9705 es menor a 0, se debe escribir como un nmero entre 0 y 2.3026 menos un mltiplo de

2.3026 5 ln 10. Puesto que si se suma 3 veces 2.3026 a 24.9705 se obtiene un nmero positivo entre 0 y 2.3026, se

puede reescribir 24.9705 como 1.9373 3(2.3026).

c) Puesto que ln N 5 1.8869 se encuentra entre 0 y 2.3026, se busca el valor 1.8869 en la tabla de logaritmos naturales,

sin embargo, no aparece en dicha tabla. Se tendr que proceder a interpolar a fi n de encontrar N.

23.7 BSQUEDA DE LOGARITMOS MEDIANTE LA CALCULADORA

Si el nmero del que se desea encontrar el logaritmo tiene cuatro o ms dgitos signifi cativos, se puede redondear el

nmero a cuatro cifras signifi cativas y utilizar las tablas de logaritmos y la interpolacin o bien se puede utilizar una

calculadora grfi ca o cientfi ca con el fi n de encontrar el logaritmo del nmero dado. El uso de la calculadora arrojar

un resultado ms preciso.

ln 0.0217 5 ln(2.17 10 2)

5 ln 2.17 1 ln 10 2

5 ln 2.17 2 ln 10

5 0.7747 2(2.3026)

5 0.7747 4.6052

ln 0.0217 3.8305

ln 4.640 5 1.5347

ln 4.630 5 1.5326

Diferencia tabular 5 0.0021

ln N 5 24.9705

5 1.9373 2 3(2.3026)

5 ln 6.94 2 3 ln 10 Nota: ln 6.94 5 1.9373 y ln 10 5 2.3026

5 ln 6.94 1 ln 102 3

5 ln (6.94 1023

)

ln N 5 ln 0.006 94

N 5 0.006 94

ln 6.600 5 1.8871 ln N 5 1.8869

ln 6.590 5 1.8856 ln 6.590 5 1.8856

Diferencia tabular 5 0.0015 diferencia 5 0.0013

N 5 6.590 113

15

(6.600 6.590) 5 6.590 1 0.009 5 6.599

Spiegel 23 266 19/12/06 23:33:33


Una calculadora cientfi ca puede utilizarse para encontrar logaritmos y antilogaritmos con base 10 o base e.

Las calculadoras cientfi cas tienen teclas para las funciones log e ln y las funciones inversas de stas producen los

antilogaritmos.

Gran parte del clculo que alguna vez se haca utilizando logaritmos, puede hacerse de forma directa utilizando

una calculadora cientfi ca. Las ventajas de resolver un problema en la calculadora son que los nmeros rara vez

tienen que ser redondeados y que ste puede resolverse de una manera rpida y precisa.

Problemas resueltos

23.1 Exprese cada una de las formas exponenciales siguientes en forma logartmica:

a)

SOLUCIN

a)

23.2 Exprese cada una de las formas logartmicas siguientes en forma exponencial:

a)

SOLUCIN

a)

23.3 Determine el valor de las expresiones siguientes:

a)

b)

c)

d)

e)

23.4 Resuelva cada una de las ecuaciones siguientes:

a)

b)

c)

d)

e)

23.5 Demuestre las leyes de los logaritmos.

SOLUCIN

p

q 5 r, b) 23 5 8, c) 42 5 16, d ) 3 2 51

9

, e) 8

2y3 51

4

.

q 5 logp

r, b) 3 5 log2

8, c) 2 5 log4

16, d ) 2 5 log3

1

9

. e)

2

3

5 log8

1

4

log

5

25 5 2, b) log2

64 5 6, c) log1y4

1

16

5 2, d ) loga

a

3 5 3, e) logr

1 5 0.

5

2 5 25, b) 26 5 64, c)1

4

2

51

16

, d ) a

3 5 a3, e) r0 5 1

log

4

64. Sea log

4

64 5 x; por lo tanto 4x 5 64 5 43 y x 5 3.

log

3

81. Sea log

3

81 5 x; por lo tanto 3x 5 81 5 34 y x 5 4.

log

1y2 8. Sea log1y2 8 5 x; por lo tanto1

2

x

5 8, (2 1)x 5 23, 2 x 5 23 y x 3.

log 1

3

0 5 x, 10x 5 13

0 5 101y3, x 5 1y3log

5

125 5 5 x, 5x 5 125 5 5 53 51y2 5 57y2, x 5 7y2

log

3

x 5 2, 32

5 x, x 5 9

log

4

y

3

2

, 4

3y25 y, y 5

1

8

log

x

25 5 2, x2

5 25, x 5 6 5. Puesto que las bases son positivas, la solucin es x 5 5.

log

y

9

4

2

3

, y

2y35

9

4

, y

2y35

4

9

, y 54

9

3y2

58

27

es la solucin requerida.

log(3x

2

1 2x 4) 5 0, 100

5 3x2

1 2x 4, 3x2

1 2x 5 5 0, x 5 1, 5y3.

Sea M 5 bx

y N 5 by

; por lo tanto x 5 logb

M y y 5 logb

N.

I. Puesto que MN 5 bx

b

y

5 bx1y

, por lo tanto log

b

MN 5 x 1 y 5 logb

M 1 logb

N.

II. Puesto que

M

N

5b

x

b

y

5 bx y

, por lo tanto log

b

M

N

5 x y 5 logb

M log

b

N.

III. Puesto que M

p

5 (bx

)

p

5 bpx

, por lo tanto log

b

M

p

5 px 5 p logb

M.

Spiegel 23 267 19/12/06 23:33:36


23.6 Exprese cada una de las expresiones siguientes como una suma algebraica de logaritmos, utilizando las leyes

I, II y III.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

23.7 Dado que log 2 5 0.3010, log 3 5 0.4771, log 5 5 0.6990, log 7 5 0.8451 (todos con base 10) calculados

con cuatro cifras decimales, evale las expresiones siguientes:

a)

b)

c)

d)

e)

Nota: En forma exponencial, esto signifi ca 10

22.09165 0.0081.

23.8 Exprese las operaciones siguientes como un solo logaritmo (la base es 10 a menos que se especifi que otra cosa).

a)

b)

c)

d)

log

b

UVW 5 logb

(UV)W 5 logb

UV 1 logb

W 5 logb

U 1 logb

V 1 logb

W

log

b

UV

W

5 logb

UV log

b

W 5 logb

U 1 logb

V log

b

W

log

XYZ

PQ

5 log XYZ log PQ 5 log X 1 log Y 1 log Z ( log P 1 log Q)

5 log X 1 log Y 1 log Z log P log Q

log

U

2

V

3

5 log U2

log V

3

5 2 log U 3 log V

log

U

2

V

3

W

4

log U

2

V

3

log W

4

5 log U2

1 log V3

log W

4

5 2 log U 1 3 log V 4 log W

log

U

1y2

V

2y3 5 log U1y2

log V

2y35

1

2

log U

2

3

log V

log

e

x

3

y

3

4

5 loge

x

3y2

y

3y4 5 loge x3y2

log

e

y

3y45

3

2

log

e

x

3

4

log

e

y

log a2b 3y4c1y34

51

4

2 log a

3

4

log b 11

3

log c

51

2

log a

3

16

log b 11

12

log c

log 105 5 log (3 5 7) 5 log 3 1 log 5 1 log 7 5 0.4771 1 0.6990 1 0.8451 5 2.0212

log 108 5 log (22

3

3

) 5 2 log 2 1 3 log 3 5 2(0.3010) 1 3(0.4771) 5 2.0333

log 72

3

5 log 3 2 233

5 log (32y3

2) 52

3

log 3 1 log 2 5 0.6191

log 2.4 5 log24

10

5 log3 2

3

10

5 log 3 1 3 log 2 log 10

5 0.4771 1 3(0.3010) 1 5 0.3801

log 0.0081 5 log81

10

4

5 log 81 log 104

5 log 34

log 10

4

5 4 log 3 4 log 10 5 4(0.4771) 4 2.0916 o 7.9084 2 10

log 2 log 3 1 log 5 5 log2

3

1 log 5 5 log2

3

(5) 5 log10

3

3 log 2 4 log 3 5 log 23 log 34 5 log2

3

3

4

5 log8

81

1

2

log 25

1

3

log 64 12

3

log 27 5 log 251y2 log 641y3 1 log 272y3

5 log 5 log 4 1 log 9 5 log5

4

1 log 9 5 log5

4

(9) 5 log45

4

log 5 1 5 log 5 log 10 5 log5

10

5 log1

2

Spiegel 23 268 19/12/06 23:33:38


e)

f)

23.9 En cada una de las ecuaciones siguientes, exprese la incgnita indicada en trminos de las otras cantidades.

a)

b)

c)

d)

e)

23.10 Determine la caracterstica del logaritmo comn de cada uno de los nmeros siguientes:

a)

b)

SOLUCIN

a)

b)

23.11 Verifi que cada uno de los logaritmos comunes siguientes:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

23.12 Verifi que cada una de las expresiones siguientes:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

2 log 3 1 4 log 2 3 5 log 32 1 log 24 3 log 10 5 log 9 1 log 16 log 103

5 log (9 16) log 103 5 log9 16

10

3

5 log 0:144

3 log

a

b

1

2

log

a

c 5 loga

b

3 1 loga

c

1y2 5 loga

(b

3

c

1y2)

log

2

x 5 y 1 c : x. x 5 2y1c

log

a

5 2 log b : a. log a 5 log b2

, a 5 b2

log

e

I 5 loge

I

0

t : I. log

e

I 5 loge

I

0

t log

e

e 5 loge

I

0

1 loge

e

t

5 loge

I

0

e

t

, I 5 I0

e

t

2 log x 1 3 log y 5 4 log z 2 : y.

Despejando log y, 3 log y 5 4 log z 2 2 log x y

log y 54

3

log z

2

3

2

3

log x 5 log z4y3

1 log 102y3

1 log x2y3

5 log z4y3

10

2y3x

2y3.

De aqu que y 5 102y3

x

2y3z

4y3.

log (x 1 3) 5 log x 1 log 3 : x. log (x 1 3) 5 log 3x, x 1 3 5 3x, x 5 3y2

57 c) 5.63 e) 982.5 g) 186 000 i) 0.7314 k) 0.0071

57.4 d ) 35.63 f ) 7 824 h) 0.71 j) 0.0325 l ) 0.0003

1 c) 0 e) 2 g) 5 i) 9 2 10 k) 7 2 10

1 d) 1 f ) 3 h) 9 2 10 j) 8 2 10 l ) 6 2 10

a) log 87.2 5 1.9405 h) log 6.753 5 0.8295 (8 293 1 2)

b) log 37 300 5 4.5717 i) log 183.2 5 2.2630 (2 625 1 5)

c) log 753 5 2.8768 j) log 43.15 5 1.6350 (6 345 1 5)

d) log 9.21 5 0.9643 k) log 876 400 5 5.9427 (9 425 1 2)

e) log 0.382 5 9.5821 2 10 l) log 0.2548 5 9.4062 2 10 (4 048 1 14)

f ) log 0.00 159 5 7.2014 2 10 m) log 0.043 72 5 8.6407 2 10 (6 405 1 2)

g) log 0.0256 5 8.4082 2 10 n) log 0.009 848 5 7.9933 2 10 (9 930 1 3)

Antilog 3.8531 5 7 130 h) Antilog 2.6715 5 469.3 (3y9 10 5 3 aprox.)Antilog 1.4997 5 31.6 i) Antilog 4.1853 5 15 320 (6y28 10 5 2aprox.)Antilog 9.8267 2 10 5 0.671 j) Antilog 0.9245 5 8.404 (2y5 10 5 4)Antilog 7.7443 2 10 5 0.005 55 k) Antilog 1:6089 5 0.4064 (4y11 10 5 4aprox.)Antilog 0.1875 5 1.54 l) Antilog 8.8907 2 10 5 0.077 75 (3y6 10 5 5)Antilog 2:3927 5 0.0247 m) Antilog 1.2000 5 15.85 (13y27 10 5 5aprox.)Antilog 4.9360 5 86 300 n) Antilog 7.2409 2 10 5 0.001742 (4y25 10 5 2 aprox.)

Spiegel 23 269 19/12/06 23:33:39


23.13 Escriba cada uno de los nmeros siguientes como una potencia de 10: a) 893, b) 0.358.

SOLUCIN

a) Se requiere un valor de x tal que 10

x

5 893. Entonces x 5 log 893 5 2.9509 y 893 5 102.9509

.

b) Se requiere un valor de x tal que 10

x

5 0.358.

Entonces x 5 log 0.358 5 9.5539 10 5 20.4461 y 0.358 5 1020.4461

.

Calcule cada una de las operaciones siguientes mediante el uso de logaritmos.

23.14 P 5 3.81 3 43.4

SOLUCIN

De aqu que P 5 antilog 2.2184 5 165.3.

Observe el signifi cado de los exponentes en el clculo. Por lo tanto,

23.15 P 5 73.42 3 0.004 62 3 0.5143

SOLUCIN

De aqu que P 5 0.1744.

23.16

SOLUCIN

23.17 P 5 (7.284)5

SOLUCIN

log P 5 5 log 7.284 5 5(0.8623) 5 4:3115 y P 5 20 490:

log P 5 log 3.81 1 log 43.4

log 3.81 5 0.5809

(1) log 43.4 5 1.6375

log P 5 2.2184

3.81 43.4 5 100.5809 101.6375

5 100.580911.6375 5 102.2184 5 165.3

log P 5 log 73. 42 1 log 0.004 62 1 log 0.5143

log 73. 42 5 1.8658

(1) log 0.004 62 5 7.6646 10

(1) log 0.5143 5 9.7112 10

log P 5 19.2416 20 5 9.2416 10.

log P 5 log 784.6 1 log 0.0431 log 28.23

log 784.6 5 2.8947

(1) log 0.0431 5 8.6345 10

11.5292 10

( ) log 28.23 5 1.4507

log P 5 10.0785 10 5 0.0785

P 5 1.198

P 5784.6 0.0431

28.23

Spiegel 23 270 19/12/06 23:33:40


32.18 P 5 3 0:8532

SOLUCIN

32.19

SOLUCIN

32.20 El periodo T de una pndulo simple de longitud l est dado por la frmula T 5 2p lyg, donde g es la ace-leracin debida a la gravedad. Encuentre T (en segundos) si l 5 281.3 cm y g 5 981.0 cm/seg

2

.

SOLUCIN

32.21 Despeje x: 5

2x125 3

5x21.

SOLUCIN

log P 51

5

log 0.8532 51

5

(9.9310 10) 51

5

(49.9310 50) 5 9.9862 10 y P 5 0.9687.

P 5(78.41)

3

142.3

0.1562

4

log P 5 3 log 78.41 11

2

log 142.3

1

4

log 0.1562.

Numerador N Denominador D

3 log 78.41 5 3(1.8944) 5 5.6832 14

log 0.1562 5 14

(9.1937 10)

(1) 12

log 142.3 5 12

(2.1532) 5 1.0766 5 14

(39.1937 40)

log N 5 6.7598 5 16.7598 10 log D 5 9.7984 10

( ) log D 5 9.7984 10

log P 5 6.9614

P 5 9 150 000 o 9.15 106

T 5 2 l

g

5 6.283281.3

981

!!.0

log T 5 log 6.28311

2

( log 281.3 log 981.0)

log 6.283 5 0.7982

(1)1

2

log 281.3 51

2

(2.4492) 5 1.2246

2.0228

( )

1

2

log 981.0 51

2

(2.9917) 5 1.4959

log T 5 0.5269

T 5 3.365 segundos

Expresando con logaritmos, (2x 1 2) log 5 5 (5x 1) log 3.

Por lo tanto 2x log 5 5x log 3 log 3 2 log 5,

x(2 log 5 5 log 3) log 3 2 log 5,

y x 5log 3 1 2 log 5

5 log 3 2 log 5

50.4771 1 2(0.6990)

5(0.4771) 2(0.6990)

51.8751

0.9875

.

log 1.875 5 10.2730 10

( ) log 0.9875 5 9.9946 10

log x 5 0.2784

x 5 1.898

Spiegel 23 271 19/12/06 23:33:42


23.22 Encuentre el valor de cada uno de los logaritmos naturales siguientes:

a)

b)

SOLUCIN

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

23.23 Encuentre el valor de N.

a)

ln 5.78 c) ln 3.456 e) ln 190 g) ln 2839

ln 8.62 d ) ln 4.643 f ) ln 0.0084 h) ln 0.014 85

ln 5.78 5 1.7544 de la tabla de logaritmos naturales

ln 8.62 5 2.1541 de la tabla de logaritmos naturales

ln 3.456 5 ln 3.45 1 0.6( ln 3.46 ln 3.45)

5 1.2384 1 0.6(1.2413 1.2384)

5 1.2384 1 0.6(0.0029)

5 1.2384 1 0.0017

ln 3.456 5 1.2401

ln 4.643 5 ln 4.64 1 0.3( ln 4.65 ln 4.64)

5 1.5347 1 0.3(1.5369 1.5347)

5 1.5347 1 0.3(0.0022)

5 1.5347 1 0.0007

ln 4.643 5 1.5354

ln 190 5 ln (1.90 102)

5 ln 1.90 1 ln 102

5 ln 1.90 1 2 ln 10

5 0.6419 1 2(2.3026)

5 0.6419 1 4.6052

ln 190 5 5.2471

ln 0.0084 5 ln (8.40 10 3)

5 ln 8.40 1 ln 10 3

5 ln 8.40 3 ln 10

5 2.1282 3(2.3026)

5 2.1282 6.9078

ln 0.0084 4.7796

ln 2839 5 ln (2.839 103)

5 ln 2.839 1 ln 103

5 ln 2.83 1 0.9(ln 2.84 ln 2.83)! 3 ln 10

5 1.0403 1 0.9(1.0438 1.0403)! 3(2.3026)

5 1.0403 1 0.9(0.0035)! 6.9078

5 1.0403 1 0.0032! 6.9078

5 1.0435 1 6.9078

ln 2839 5 7.9513

ln 0.014 85 5 ln (1.485 10 2)

5 ln 1.485 1 ln 10 2

5 ln 1.48 1 0.5( ln 1.49 ln 1.48)! 2 ln 10

5 0.3920 1 0.5(0.3988 0.3920)! 2 (2.3026)

5 0.3920 1 0.5(0.0068)! 4.6052

5 0.3920 1 0.0034! 4.6052

5 0.3954 4.6052

ln 0.014 85 4.2098

ln N 5 2.4146 b) ln N 5 0.9847 c) ln N 1.7654

Spiegel 23 272 19/12/06 23:33:43

SOLUCIN

a)

b)

c)

Problemas propuestos

23.24 Evale: a

23.25 Despeje la incgnita en cada ecuacin.

a)

b)

23.26 Exprese como una suma algebraica de logaritmos.

a)

23.27 Despeje la incgnita que se indica expresndola en trminos de las otras cantidades.

a)

b)

a) ln N 5 2.4146

5 0.1120 1 2.3026

5 ln 1.11 10.1120 0.1044

0.1133 0.1044

(1.12 1.11) 1 ln 10

5 ln 1.11 10.0076

0.0089

(0.01) 1 ln 10

5 ln (1.11 1 0.009) 1 ln 10

5 ln 1.119 1 ln 10

5 ln (1.119 10)

ln N 5 ln 11.19

N 5 11.19

b) ln N 5 0.9847

5 ln 2.67 10.9847 0.9821

0.9858 0.9821

(2.68 2.67)

5 ln 2.67 10.0026

0.0037

(0.01)

5 ln (2.67 1 0.007)

ln N 5 ln 2.677

N 5 2.677

c) ln N 1.7654

5 0.5372 2.3026

5 ln 1.71 10.5372 0.5365

0.5423 0.5365

(1.72 1.71) ln 10

5 ln 1.71 10.0007

0.0058

(0.01) 1 ln 10 1

5 ln (1.71 1 0.001) 1 ln 10 1

5 ln 1.711 1 ln 10 1

5 ln (1.711 10 1)

ln N 5 ln 0.1711

N 5 0.1711

a) log

2

32, b) log 10 4 , c) log3

1y9, d ) log1y416, e) log

e

e

x

, f ) log

8

4.

log

2

x 5 3 c) logx

8 3 e) log

4

x

3 5 3y2log y 2 d ) log

3

(2x 1 1) 5 1 f ) log(x 1)

(4x 4) 5 2

log

U

3

V

2

W

5

b) log

2x

3

y

z

7

c) ln ! x1y2y 1y23 d ) log xy3y2

z

3

a

2

b

4

2 log x 5 log 16; x c) log3

F 5 log3

4 2 log

3

x; F

3 log y 1 2 log 2 5 log 32; y d ) ln (30 U) 5 ln 30 2t; U


Spiegel 23 273 19/12/06 23:33:44


23.28 Demuestre que si a y b son positivas y 1, (loga

b)(log

b

a) 5 1.

23.29 Demuestre que 10

log N

5 N, donde N . 0.

23.30 Determine la caracterstica del logaritmo comn de cada uno de los nmeros siguientes:

a)

b)

c)

23.31 Encuentre el logaritmo comn de cada uno de los nmeros siguientes:

a)

b)

c)

23.32 Encuentre el antilogaritmo de cada una de los nmeros siguientes:

a)

b)

23.33 Calcule el logaritmo comn de cada nmero mediante interpolacin.

a)

b)

23.34 Calcule el antilogaritmo de cada nmero mediante interpolacin.

a)

b)

23.35 Escriba cada nmero como una potencia de 10: a) 45.4 b) 0.005 278.

23.36 Evale:

a)

b)

c)

d)

23.37 Resuelva la ecuacin de hidrulica siguiente:

23.38 Despeje x:

a)

b)

23.39 Resuelva las ecuaciones exponenciales siguientes: a) 4

2x215 5

x12, b) 3

x215 4 5

123x.

23.40 Encuentre los logaritmos naturales siguientes:

a) ln 2.367 b) ln 8.532 c) ln 4 875 d) ln 0.000 189 4

248 d ) 0.162 g) 1.06 j ) 40.60 m) 7 000 000

2.48 e) 0.0006 h) 6000 k) 237.63 n) 0.000 007

0.024 f ) 18.36 i) 4 l ) 146.203

237 d ) 0.263 g) 10 400 j ) 6 000 000 m) 1

28.7 e) 0.086 h) 0.00 607 k) 23.70 n) 1 000

1.26 f ) 0.007 i) 0.000 000 728 l ) 6.03

2.8802 c) 0.6946 e) 8.3160 2 10 g) 4.6618 i) 1.9484

1.6590 d ) 2.9042 f ) 7.8549 2 10 h) 0.4216 j) 9.83442 10

1 463 c) 86.27 e) 0.6041 g) 1.006 i) 460.3

810.6 d ) 8.106 f ) 0.046 22 h) 300.6 j ) 0.003 001

2.9060 c) 1.6600 e) 3.7045 g) 2.2500 i) 1.4700

1.4860 d ) 1.9840 f ) 8.9266 10 h) 0.8003 j ) 1.2925

!

!

(42.8)(3.26)(8.10) e)

5 608

(0.4536)(11 000)

h)

906

(3.142)(14.6)

(0.148)(47.6)

284

f )

(3.92)

3

(72.16)

654 4i)

(1 600)(3 10.6)

2

(7 290)

(1.86)(86.7)

(2.87)(1.88)

g) 3.14 11. 65y32 j)(5.52)(2 610)

(7.36)(3.142)

3

2 453

(67.2)(8.55)

!

20.0

14.7

50.0613

x

1.32

.

3

x 5 243 c) 2x12 5 64 e) x 3y4 5 8 g) 7x 1y2 5 4 i) 5x 2 5 1

5

x 5 1y125 d ) x 2 5 16 f ) x 2yy 3 5 1y9 h) 3x 5 1 j) 22x13 5 1

Spiegel 23 274 19/12/06 23:33:45

23.41 Encuentre N, el antilogaritmo del nmero dado

a) ln N 5 0.7642 b) ln N 5 1.8540 c) ln N 5 8.4731 d) ln N 5 26.2691

RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS PROPUESTOS

23.24 a)

23.25 a)

23.26 a)

b)

23.27 a)

23.30 a)

b)

23.31 a)

b)

c)

23.32 a)

b)

23.33 a)

b)

23.34 a)

b)

23.35 a)

23.36 a)

b)

23.37 0.0486

23.38 a)

b)

23.39 a)

23.40 a)

23.41 a)

5 b) 1y4 c) 22 d ) 22 e) x f ) 2y3

8 b) 0.01 c) 1y2 d ) 1 e) 2 f ) 5

3 logU 1 2 logV 5 logW c)1

6

ln x

1

6

ln y

1

2

log 2 13

2

log x 11

2

log y

7

2

log z d ) log x

3

2

log y 1 3 log z 2 log a 1 4 log b

4 b) 2 c) F 5 4yx2 d) U 5 30(1 2 e22t)

2 c) 2 e) 4 g) 0 i) 0 k) 2 m) 6

0 d) 1 f ) 1 h) 3 j) 1 l ) 2 n) 6

2.3747 d ) 1.4200 g) 4.0170 j) 6.7782 m) 0.0000

1.4579 e) 2.9345 h) 3.7832 k) 1.3747 n) 3.0000

0.1004 f ) 7.8451 10 i) 7.8621 l) 0.7803

759 c) 4.95 e) 0.0207 g) 45 900 i) 0.888

45.6 d ) 0.0802 f ) 0.007 16 h) 2.64 j) 0.683

3.1653 c) 1.9359 e) 1.7811 g) 0.0026 i) 2.6631

2.9088 d ) 0.9088 f ) 8.6648 10 h) 2.4780 j) 7.4773 10

805.4 c) 45.71 e) 5064 g) 177.8 i) 0.2951

0.3062 d ) 0.9638 f ) 0.084 45 h) 6.314 j) 19.61

10

1.6571

b) 10

2.2776

1 130 c) 29.9 e) 1.124 g) 1.90 i) 145.5

0.0248 d ) 4.27 f ) 860 h) 4.44 j) 8.54

5 c) 4 e) 1/ 16 g) 49y16 i) 223 d ) 6 1y4 f ) 6 27 h) 0 j ) 23y2

3.958 (b) 0.6907

0.8616 b) 2.1438 c) 8.4919 d ) 28.5717

2.147 b) 6.385 c) 4784 d ) 0.001 894


Spiegel 23 275 19/12/06 23:33:47

24

Aplicaciones

de los logaritmos

y exponentes

24.1 INTRODUCCIN

Los logaritmos se utilizan principalmente en la resolucin de ecuaciones exponenciales y en las que las variables

se encuentran relacionadas logartmicamente. Para resolver ecuaciones en las que la variable se encuentra en el

exponente, en general se comienza cambiando la expresin de la forma exponencial a la logartmica.

24.2 INTERS SIMPLE

El inters es el dinero que se paga por el uso de una cantidad de dinero llamada capital. El inters usualmente se paga

al fi nal de intervalos de tiempo especifi cados, por ejemplo, mensual, trimestral semestral o anualmente. La suma del

capital y el inters recibe el nombre de capital fi nal.

El inters simple, I, del capital, P, por un periodo de tiempo en aos, a una tasa de inters por ao r, est dado

por la frmula I 5 Prt, y el capital fi nal A, est dado por A 5 P 1 Prt o A 5 P(1 1 rt).

EJEMPLO 24.1 Si una persona pide prestados $800 a 8% anual por un periodo de dos aos y medio, qu cantidad de

inters deber pagar por dicho prstamo?

I 5 Prt

I 5 $800(0.08)(2.5)

I 5 $160

EJEMPLO 24.2 Si una persona invierte $3 000 a 6% anual por un periodo de cinco aos, qu cantidad de dinero rendir

dicha inversin al fi nal de cinco aos?

A 5 P 1 Prt

A 5 $3 000 1 $3 000(0.06)(5)

A 5 $3 000 1 $900

A 5 $3 900

276

SPIEGEL24.indd 276 19/12/06 23:39:59

24.3 INTERS COMPUESTO

El inters compuesto signifi ca que se paga de manera peridica durante el plazo del prstamo, lo cual resulta en un

nuevo capital al fi nal de cada lapso.

Si el capital P se invierte por un periodo de t aos a un inters anual r, recalculado n veces por ao, entonces el

capital fi nal A, o balance fi nal, viene dado por:

A 5 P 1 1r

n

nt

EJEMPLO 24.3 Encuentre la cantidad fi nal de una inversin si se invierten $20 000 a 6% de inters compuesto mensual

por un periodo de tres aos.

A 5 P 1 1r

n

nt

A 5 20 000 1 10.06

12

12(3)

A 5 20 000(1 1 0.005)36

A 5 20 000(1.005)36

log A 5 log 20 000(1.005)36

log A 5 log 20 000 1 36 log 1.005

log A 5 4.3010 1 36(0.002 15)

log A 5 4.3010 1 0.0774

log A 5 4.3784

A 5 antilog 4.3784

A 5 2.39 104

log 2.39 5 0.3784 y log 104

5 4

A 5 $23 900

Cuando el inters se comprime con ms y ms frecuencia, se llega a una situacin de inters compuesto continuo. Si

un capital P, se invierte por un periodo de t aos a una tasa de inters anual r, compuesto continuamente, entonces el capital

fi nal A, o balance fi nal, est dado por,

A 5 Pert

EJEMPLO 24.4 Encuentre el capital fi nal de una inversin si se invierten $20 000 a 6% compuesto continuamente por

un periodo de tres aos.

A 5 Pert

A 5 20 000e0.06(3)

A 5 20 000e0.18

lnA 5 ln 20 000e0.18

lnA 5 ln 20 000 1 ln e0.18

lnA 5 ln(2.00 104

) 1 0.18 ln e

lnA 5 ln 2.00 1 4 ln 10 1 0.18(1) ln e 5 1

lnA 5 0.6931 1 4(2.3026) 1 0.18 ln 2.00 5 0.6931 y ln 10 5 2.3026

lnA 5 10.0835

lnA 5 0.8731 1 4(2.3026)

24.3 INTERS COMPUESTO 277

SPIEGEL24.indd 277 19/12/06 23:40:01

278 CAPTULO 24 APLICACIONES DE LOS LOGARITMOS Y EXPONENTES

lnA 5 ln 2.39 10.8731 0.8713

0.8755 0.8713

(2.40 2.39) 1 4 ln 10

lnA 5 ln 2.39 10.0018

0.0042

(0.01) 1 ln 104

lnA 5 ln(2.39 1 0.004) 1 ln 104

lnA 5 ln 2.394 1 ln 104

lnA 5 ln(2.394 104

)

lnA 5 ln 23 940

A 5 $23 940

Resolviendo los ejemplos 24.3 y 24.4 se observa que las respuestas tienen cuatro cifras signifi cativas. Sin embargo,

el uso de las tablas de logaritmos y la interpolacin generan un margen de error. Asimismo, se pueden tener problemas

si el inters es compuesto diariamente, ya que cuando se divide r entre n, el resultado puede ser cero si se redondea a tres

cifras. Para resolver este problema y obtener una mejor precisin, se pueden utilizar tablas de logaritmos de cinco cifras,

calculadoras o computadoras. En general, los bancos y otros negocios utilizan las computadoras y calculadoras con el fi n

de obtener el grado de precisin que deseen.

EJEMPLO 24.5 Utilice la calculadora cientfi ca o grfi ca para encontrar el capital fi nal de una inversin si se invierten

$20 000 a 6% de inters compuesto mensual por un periodo de tres aos.

A 5 P 1 1r

n

nt

A 5 $20 000 1 10.06

12

12(3)

A 5 $20 000(1.005)36

utilice la tecla de exponenciacin para calcular (1.005)

36

A 5 $23 933.61

Aproximando a centavos, el capital fi nal se ha incrementado $33.61 respecto al capital fi nal que se calcul en el ejemplo

24.3. Es posible calcular la respuesta redondeada a centavos, a la vez que se pudo calcular el resultado redondeado a diez

dlares en el ejemplo 24.3

EJEMPLO 24.6 Utilice la calculadora cientfi ca o grfi ca para encontrar el capital fi nal de una inversin si se invierten

$20 000 a 6% de inters compuesto continuo por un periodo de 3 aos.

A 5 Pert

A 5 $20 000e0.06(3)

A 5 $20 000e0.18

utilice la funcin inversa de ln x para calcular e

0.18

A 5 $23 944.35

Aproximando a centavos, el capital fi nal se ha incrementado $4.35 respecto al capital fi nal que se calcul en el ejemplo

24.4. Este alto grado de precisin se logr gracias a que la calculadora realiza los clculos con ms cifras decimales en cada

operacin y despus redondea la respuesta. En estos ejemplos, se redondea a dos cifras decimales, ya que las centsimas

son las unidades ms pequeas de dinero que poseen una utilidad prctica. La mayora de las calculadoras calculan con 8,

10 y 12 cifras signifi cativas al realizar las operaciones.

24.4 APLICACIONES DE LOS LOGARITMOS

El volumen, L, de un sonido (en decibeles) que percibe el odo humano depende del cociente de la intensidad, I, de

dicho sonido entre el umbral, I

0

, de escucha del odo humano promedio.

L 5 10 logI

I

0

SPIEGEL24.indd 278 19/12/06 23:40:02

EJEMPLO 24.7 Encuentre el volumen de un sonido que posee una intensidad 10 000 veces el umbral de escucha del

odo humano promedio.

L 5 10 logI

I

0

L 5 10 log10 000I

0

I

0

L 5 10 log 10 000

L 5 10 (4)

L 5 40 decibeles

Los qumicos utilizan el potencial hidrgeno, pH, de una solucin para medir si grado de alcalinidad o de basicidad. El

pH del agua destilada tiene un valor aproximado de 7 y se le llama cido, sin embargo si su pH baja de 7 se le llama base.

Si [H

1] es la concentracin de iones hidrgeno en mols por litro, el pH est dado por la frmula:

pH 5 2log [H1]

EJEMPLO 24.8 Encuentre el pH de la solucin cuya concentracin de iones de hidrgeno es 5.32 3 1025

moles por

litro.

pH log[H

1

pH log (5.32 10

5

)

pH log 5.32 1 log 105

pH log 5.32 ( 5) log 10 log 10 5 1

pH log 5.32 1 5(1)

pH 0.7259 1 5

pH 5 4.2741

pH 5 4.3

Los sismlogos utilizan la escala de Richter para medir y reportar la magnitud de los terremotos. La magnitud o nmero

de Richter de un terremoto depende del cociente de la intensidad, I, de un terremoto entre la intensidad de referencia, Io,

que es el movimiento ms pequeo de la tierra que puede registrarse en un sismgrafo. Los nmeros de Richter a menudo

se redondean a la cifra de las dcimas o las centsimas y est dado por la frmula:

R 5 logI

I

0

EJEMPLO 24.9 Si se determina que la intensidad de un terremoto es 50 000 veces la intensidad de referencia, cul es

su lectura en la escala de Richter?

R 5 logI

I

0

R 5 log50 000I

0

I

0

R 5 log 50 000

R 5 4.6990

R 5 4.70

24.4 APLICACIONES DE LOS LOGARITMOS 279

SPIEGEL24.indd 279 19/12/06 23:40:03

280 CAPTULO 24 APLICACIONES DE LOS LOGARITMOS Y EXPONENTES

24.5 APLICACIONES DE LOS EXPONENTES

El nmero e est implcito en muchas funciones que se presentan en la naturaleza. La curva de crecimiento de

muchos materiales puede describirse por medio de la ecuacin de crecimiento exponencial:

A 5 A0

e

rt

donde A

0

es la cantidad inicial del material, r es la tasa de crecimiento anual, t es el tiempo en aos y A es la cantidad

de material al fi nal del tiempo.

EJEMPLO 24.10 La poblacin de un pas fue de 2 400 000 habitantes en 1990 y tiene un crecimiento anual de 3%. Si el

crecimiento es exponencial, cul ser su poblacin en el ao 2000?

A 5 A0

e

rt

A 5 2 400 000e(0.03)(10)

A 5 2 400 000e0.3

N 5 e0.3

A 5 2 400 000(1.350) lnN 5 0.3 ln e

A 5 3 240 000 lnN 5 0.3

N 5 1.350

La ecuacin de decaimiento o en declive es parecida a la del crecimiento excepto que el exponente es negativo.

A 5 A0

e

2rt

donde A

0

es la cantidad inicial, r es la tasa anual de decaimiento, t es el tiempo en aos y A es la cantidad al fi nal.

EJEMPLO 24.11 Se sabe que cierto trozo de madera contiene 100 gramos de carbono 14 cuando se corta de un rbol. Si

la tasa de decaimiento del carbono 14 es 0.0124 % anual, cunto carbono 14 quedar en la madera despus de 200 aos?

A 5 A0

e

rt

A 5 100e0.000 124 (200)

N 5 e0.0248

A 5 100e0.0248

lnN 0.0248

A 5 100(0.9755) lnN 5 ln 2.2778 2.3026

A 5 97.55 gramos ln N 5 ln 9.755 ln 10

lnN 5 ln (9.755 101

)

lnN 5 ln 0.9755

N 5 0.9755

Problemas resueltos

24.1 Una persona pide un prstamo de $400 para pagar en 2 aos a un inters simple de 3%. Encuentre el capital fi nal

que se requiere para pagar el prstamo al cabo de los 2 aos.

SOLUCIN

Inters I 5 Prt 5 400(0.03)(2) 5 $24. Cantidad A 5 capital P 1 inters I 5 $424.

24.2 Encuentre el inters I y al capital fi nal A de los casos siguientes:

a) $600 durante 8 meses (2y3 del ao) a 4%.b) $1 562.60 durante 3 aos, 4 meses (10y3 del ao) a 3.5%.

SOLUCIN

a) I 5 Prt 5 600(0.04)(2/3) 5 $16. A 5 P 1 I 5 $616.

b) I 5 Prt 5 1 562.60(0.035)(10/3) 5 $182.30. A 5 P 1 I 5 $1 744.90.

SPIEGEL24.indd 280 19/12/06 23:40:04

logaritmos - algebra superior shaum

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