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UNIVERSIDAD SALESIANA DE BOLIVIA
CONTADURÍA PÚBLICA
DOSSIER
CONTADURÍA PÚBLICA
ÁLGEBRA SUPERIORPARALELOS: 1A1 - 1A3 - 1C1
DOCENTE: Ing. Cleto @lberto Vargas Patsi
I – 2012
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ÍNDICE
PáginaLógica matemática.................................................................................. 1
Teoría de conjuntos................................................................................. 14
Relaciones............................................................................................... 19
Funciones................................................................................................ 37
Análisis combinatorio............................................................................. 47
Teoría de matrices................................................................................... 55
Determinantes.......................................................................................... 60
ANEXOS
AnexoExpresiones algebraicas ......................................................................... A
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TEMA 1LÓGICA FORMAL
1. INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA MATEMÁTICA.
La lógica y su historia Tradicionalmente se ha dicho que la lógica se ocupa del estudio del
razonamiento. Esto hoy en día puede considerarse desbordado por la enorme extensión y diversidad
que ha alcanzado esta disciplina, pero puede servirnos como primera aproximación a su contenido.
Un matemático competente distingue sin dificultad una demostración correcta de una incorrecta, o
mejor dicho, una demostración de otra cosa que aparenta serlo pero que no lo es. Sin embargo, no le
pregunten qué es lo que entiende por demostración, pues — a menos que además sepa lógica — no
sabrá responder, ni falta que le hace. El matemático se las arregla para reconocer la validez de un
argumento o sus defectos posibles de una forma improvisada pero, al menos en principio, de total
fiabilidad. No necesita para su tarea contar con un concepto preciso de demostración. Eso es en cambio
lo que ocupa al lógico: El matemático demuestra, el lógico estudia lo que hace el matemático cuando
demuestra.
Aquí se vuelve obligada la pregunta de hasta qué punto tiene esto interés y hasta qué punto es una
pérdida de tiempo. Hemos dicho que el matemático se las arregla solo sin necesidad de que nadie le
vigile los pasos, pero entonces, qué hace ahí el lógico? Posiblemente la mejor forma de justificar el
estudio de la lógica sea dar una visión, aunque breve, de las causas históricas que han dado a la lógica
actual tal grado de prosperidad. En el sentido más general de la palabra, el estudio de la lógica se
remonta al siglo IV a.C., cuando Aristóteles la puso a la cabeza de su sistema filosófico como materia
indispensable para cualquier otra ciencia. La lógica aristotélica era bastante rígida y estrecha de miras,
pero con todo pervivió casi inalterada, paralelamente al resto de su doctrina, hasta el siglo XVI. A
partir de aquí, mientras su física fue sustituida por la nueva física de Galileo y Newton, la lógica
simplemente fue ignorada. Se mantuvo, pero en manos de filósofos y en parte de los matemáticos con
inclinaciones filosóficas, aunque sin jugar ningún papel relevante en el desarrollo de las ciencias.
Leibniz le dio cierto impulso, pero sin abandonar una postura conservadora. A principios del siglo
XIX, los trabajos de Boole y algunos otros empezaron a relacionarla más directamente con la
matemática, pero sin obtener nada que la hiciera especialmente relevante (aunque los trabajos de Boole
cobraran importancia más tarde por motivos quizá distintos de los que él mismo tenía en mente).
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Así pues, tenemos que, hasta mediados del siglo XIX, la lógica era poco más que una curiosidad que
interesaba a quienes sentían alguna inquietud por la filosofía de la matemática o del pensamiento en
general. La lógica como hoy la entendemos surgió básicamente con los trabajos de Frege y Peano. En
principio éstos eran, al igual que los anteriores, nuevos ensayos sobre el razonamiento, si bien más
complejos y ambiciosos. Lo que les dio importancia fue que no aparecieron como productos de mentes
inquietas, sino como culminación del proceso de formalización que la matemática venía
experimentando desde los tiempos de Newton y Leibniz.
En efecto, el cálculo infinitesimal que éstos trazaron con tanta imaginación y que después desarrollaron
Cauchy, Gauss y otros, tuvo que ser precisado a medida que se manejaban conceptos más generales y
abstractos. Dedekind, Riemann, Weierstrass, fueron sistematizando la matemática hasta el punto de
dejarla construida esencialmente a partir de los números naturales y de las propiedades elementales
sobre los conjuntos. La obra de Frege y de Peano pretendía ser el último eslabón de esta cadena.
Trataron de dar reglas precisas que determinaran completamente la labor del matemático, explicitando
los puntos de partida que había que suponer así como los métodos usados para deducir nuevos
resultados a partir de ellos.
2. PROPOSICIONES.
La lógica proposicional es la más antigua y simple de las formas de lógica. Utilizando una
representación primitiva del lenguaje, permite representar y manipular aserciones sobre el
mundo que nos rodea.
La lógica proposicional permite el razonamiento, a través de un mecanismo que primero
evalúa sentencias simples y luego sentencias complejas, formadas mediante el uso de
conectivos proposicionales, por ejemplo Y (AND), O (OR). Este mecanismo determina la
veracidad de una sentencia compleja, analizando los valores de veracidad asignados a las
sentencias simples que la conforman.
Es una colección de Palabras, Números o Símbolos, de los cuales tiene sentido afirmar si es
Verdadero o Falso.
Todas las Proposiciones estarán asociados a un valor de Verdad, el cual puede ser Verdadero
(V) o Falso (F).
A las proposiciones que tienen un valor de Verdad conocido (V o F), se los llama
ENUNCIADOS.
Es una sentencia simple que tiene un valor asociado ya sea de verdadero (V), o falso (F). Por
ejemplo:
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Hoy es Martes
Ayer llovió
Hace frío
Soy de Contaduría
La lógica proposicional, Permite la asignación de un valor verdadero o falso para la sentencia
completa, no tiene facilidad para analizar las palabras individuales que componen la sentencia. Por este
motivo, la representación de las sentencias del ejemplo como proposiciones, sería:
• Hoy_es_Viernes
• Ayer_llovió
• Hace_frío
• Soy_de_Contaduría
La proposiciones pueden combinarse para expresar conceptos más complejos. Por ejemplo:
hoy_es_Viernes y hace_frío.
También son proposiciones las siguientes colecciones de Palabras, Números o Símbolos:
p: Los libros son buenos amigos
q: los gatos ladran
r: Los hombres son mas inteligentes que las mujeres
s: 5 + (2) (4) = 13
t: (+) (-) = (+)
Se conoce como EL PRINCIPIO DEL TERCER EXCLUIDO, a aquel principio que sostiene que una
Proposición solo tiene dos opciones (es F o V), no existe una tercera alternativa.
NO son Proposiciones, estas otras Palabras, Números o Símbolos.
El perro de mi amigo
¡Hola cómo estás!
El blanco de las nubes sobre el azul del cielo
8+3-6
Tarzán
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No tiene
sentido
Bolívar juega
Ejemplo: indicar cuál de estas colecciones de Palabras Números o Símbolos constituyen una
proposición:
El cielo es azul Este perro es malo Por la sonrisa de una dama Juan simpático Juan es simpático Mi coche vuela por los aires La mariposa corre bajo el agua 4 + 32 = (5) (4) – 14 + 2 (+) (+) > (-) (+)
(p) (p) (np) (np) (p) (p) (p) (p) (p)
Proposiciones compuestas.
CONECTIVO OPERACIÓN ASOCIADA SIGNIFICADO
~ Negación No; no es cierto que
^ Conjunción Y
v Disyunción inclusiva y/o; uno u otro o ambos
v Disyunción exclusiva uno u otro, pero no ambos
=> Condicional Si … entonces ..
<=> Bicondicional Si
Tabla de verdad.
Una tabla de verdad es un arreglo ordenado de las posibilidades del Valor de Verdad de las
Proposiciones Simples o Compuestas.
Las tablas de verdad permiten esquematizar en forma simple, las características del Valor de
Verdad de las Proposiciones.
Ejemplo:
P Q
V V
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V F
F V
F F
Equivalencia lógica.
Dos Proposiciones Compuestas poseen Equivalencia Lógica, si sus tablas de verdad son
IDÉNTICAS. La Equivalencia lógica entre las proposiciones: P, Q se expresa mediante:
El símbolo Ξ se lee “EQUIVALENTE”; verificándose: P Ξ Q, o también: Q Ξ P; donde P o Q
pueden ser proposiciones compuestas.
La negación.
La Negación de la proposición: P es la proposición: ~P Se obtiene anteponiéndo el Conectivo: ~ sobre:
P (~P se lee: “No P”; o también: “No es cierto que P”)
Ejemplos:
Una proposición y su respectiva negación es la siguiente:
P: Es bueno el deporte para la salud
~P: No es bueno el deporte para la salud
Anteponiendo el NO (~), a la proposición, se obtiene la Negación.
Una proposición puede negarse de diferentes maneras.
P: Son lindas las fiestas
~P: No son lindas las fiestas
~P: No es cierto que son lindas las fiestas
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P Ξ Q
P ~ P
V F
F V
~P: es Falso que son lindas las fiestas
~P: Son feas las fiestas
Para la negación, el lenguaje común brinda diversos modos de expresión, que significan lo mismo.
Ejemplo de negación de proposiciones:
a) P: La Universidad es el templo de la ciencia ~P: La Universidad NO es el templo de
la ciencia
b) Q: Alejandro es alto ~P: Alejandro NO es alto
c) R: Juanita no es feliz ~R: Juanita es feliz
d) S: El deporte es salud ~S: Es deporte no es
salud
Una Reiterada Negación o doble negación, es equivalente a la Proposición Original.
La conjunción.
La conjunción es verdadera sólo cuando ambas variables lo son y es falsa en los demás casos,
se lee (P ^ Q , se lee “P y Q”)
Se forma la CONJUNCIÓN a partir de proposiciones simples:
P: Juan juega
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~ (~P) Ξ P
P Q P ^ QV V VV F FF V FF F F
P Q P ^ Q1 1 11 0 00 1 00 0 0
Q: Pedro estudia
P ^ Q “Juan juega y Pedro estudia”
P: El profesor es bueno
Q: Los alumnos son malos
P ^ Q “El profesor es bueno y los alumnos malos”
Disyunción inclusiva.
Esta proposición compuesta se obtiene combinando: P, Q mediante el conectivo v. (P v Q, se
lee “P o Q”)
La disyunción es verdadera en todos los casos menos cuando vale F y vale F.
P Q P v Q
V V VV F VF V VF F F
Ejemplos:
P v Q “Llueve o nieva”
P: Llueve
Q: Nieva
P v Q “Las aves vuelan o los peces caminan”
P: Las aves vuelan
Q: Los peces caminan
Disyunción exclusiva.
La disyunción exclusiva es verdadera cuando una variable es verdadera y la otra falsa, y es
falsa en los demás casos.
Se lee excluye a. Se entenderá: P v Q, como P o Q, pero no ambos a la vez.
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Ejemplos:
P v Q “O te quedas o te vas”
P: Te quedas
Q: Te vas
P v Q Cinco es un número par o impar
P: Cinco es un número par
Q: Cinco no es un número par
Ejemplos:
P v Q Dos es un número fraccionario o entero
P: Dos es un número fraccionario
Q: Dos no es un número entero
P es V, Q es F; por tanto es verdadera la DISYUNCIÓN EXCLUSIVA.
V v F Ξ V
CONDICIONAL.
El condicional es verdadero en todos los casos menos cuando vale V y vale F.
Al CONDICIONAL se lo llama también IMPLICACIÓN; P=>Q que puede leerse como: P
implica Q o, P es suficiente para Q o, se lee P condiciona a Q.
P Q P => Q
V V V
V F F
F V V
F F V
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P Q P v QV V FV F VF V VF F F
Ejemplos:
P=>Q “Si estudias entonces aprendes”
P: Estudias
Q: Aprendes
P=>Q Si las aves vuelan entonces (2ª + 3ª = 5a)
P: Las aves vuelan
Q: (2ª + 3ª = 5a)
P es V, Q es V; por tanto es V el Condicional
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EL RAZONAMIENTO O INFERENCIA.
Hasta aquí hemos considerado las proposiciones y sus conexiones. Ahora vamos a observar la relación
interna de las proposiciones y el modo de progresar en el conocimiento, obteniendo conclusiones a
partir de proposiciones ya conocidas. Es el razonamiento o inferencia.
Razonar es un proceso progresivo de la mente, que va de unas proposiciones ya conocidas llamadas
premisas a otra nueva llamada conclusión. La conclusión está en parte contenida en las premisas, de
modo que para que el razonamiento esté bien construido tiene que haber una relación de necesidad
entre las premisas y la conclusión. La conclusión se deriva necesariamente de las premisas. Por
ejemplo, cuando descargo un camión de muebles, extraigo éstos del interior, y es en ese momento
cuando puedo apreciarlos en su conjunto. Sacar conclusiones es derivarlas de las proposiciones
anteriores o premisas:
"Si estudio, aprendo. Es así que estudio, luego aprendo".
La conclusión de un razonamiento es la proposición que se afirma sobre la base de las otras
proposiciones que nos dan los elementos de juicio o razones para aceptar la conclusión.
En el lenguaje formal la conclusión va precedida del símbolo que se lee "luego".
El razonamiento anterior se simboliza:
Un razonamiento bien construido puede ser falso en su contenido material, por ejemplo si digo:
"Todos los burros vuelan".
"Platero es un burro".
Luego "Platero vuela".
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1. ( primera premisa )2. ( segunda premisa )
(conclusión)
El razonamiento es materialmente falso pero es válido lógicamente porque está bien construido. A la
lógica sólo le importa la validez formal.
Otro ejemplo descabellado puede ser:
"La tierra está formada de plastilina".
"Mi brazo forma parte de la tierra".
Luego "Mi brazo está formado de plastilina".
El razonamiento es lógica o formalmente verdadero porque la lógica busca que la conclusión se derive
necesariamente de las premisas, y no una verdad de hecho.
Puede darse el caso, sin embargo, de razonamientos que sean verdaderos materialmente y válidos
formalmente, por ejemplo:
"Quien no se presente a examen, suspenderá".
"Pepa no se ha presentado".
Luego "Pepa suspende".
En resumen, en lógica no interesa tanto la verdad o falsedad de las proposiciones, sino las relaciones
lógicas que existen entre ellas.
Un razonamiento es válido cuando la conclusión se deriva necesariamente de las premisas y es inválido
cuando la conclusión no se deriva de las premisas.
Ejemplos de razonamiento:
1. 2. 3. 4.
También pueden escribirse: , ; , etc.
¿Cómo se puede saber si un razonamiento es o no válido sin necesidad de traducirlo al lenguaje
natural?
Podemos hacerlo mediante las tablas veritativas.
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TEMA 2
TEORÍA DE CONJUNTOS.
2.1. Concepto.
Es la reunión, agrupación de una o varios elementos de la misma característica.
Notación. Todo conjunto se denota por letras mayúsculas y sus elementos con letras minúsculas.
Ejemplo:
A={a,e,i,o,u}, se lee: Conjunto A y los elementos son a,e,i,o,u.
2.2. determinación de conjuntos.
a. Determinación por comprensión.Un conjunto esta determinado por comprensión cuando sus elementos están separados por una condición o propiedad; también denominada función proposicional.
Ejemplo: A={x / x es una vocal}, se lee: conjunto A de x, tal que x es una vocal.
b. Determinación por extensión.Un conjunto esta determinado por extensión, cuando sus elementos son listados uno a uno.
Ejemplo: Del ejemplo anterior A={a,e,i,o,u}
2.3. Clases de conjuntos.Los conjuntos se clasifican en: finitos e infinitos.
a. Finitos.Es aquel conjunto que tiene finitos elementos, donde sus elementos se pueden contar y tienen fin. Ejemplo: B={x / 3 x 10, x N} B= {3,4,5,6,7,8,9,10}
b. Infinitos.Es aquel conjunto cuyos elementos no se pueden contar y no tienen fin.
Ejemplo:
N={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14...................}
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2.4. Conjuntos Especiales.
a. Conjunto Unitario.Es aquel conjunto que tiene un solo elemento.
Ejemplo: T={x / 2x = 8}T={3}
b. Conjunto Vacío.Es aquel conjunto que carece de elementos. , { }.
Ejemplo: M={x / x2+4=0, x Z}
2.5. Relación de Pertenencia. Se utiliza para relacionar un elemento con un conjunto.
Ejemplo: Sea B={2,4,6,8} Entonces 2B; 4B; 8B
10B, se lee: 10 no pertenece a B.
2.6. Igualdad de Conjuntos.Un conjunto A es igual a B si y solo si todos los elementos de A están incluidos en B y todos los elementos de B están incluidos en A.
A=B(ABBA)
Propiedades.
a. Reflexiva. A = Ab. Transitiva. A = B B = C A = C.c. Simétrica. A = B B = A.
2.7. Inclusion de Conjuntos o sub conjuntos. .Un conjunto A está incluido en B si y solo si todos los elementos de A están en B. En símbolos.
A B x: x A x B.
Propiedades.
a. Reflexiva. A Ab. Transitiva. A B B C A C.c. A
Ej.: Si A={1,2,3} y B={1,2,3,4,5,6,7}Entonces A B.
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En diagramas. B
2.8. Familia de Conjuntos.Es aquel conjunto cuyos elementos son otros conjuntos.
Ejemplo: A={{1},{2},{3,4}}
2.9 Conjunto Potencia. P(A).El conjunto potencia de un conjunto A está dado por todos los subconjuntos posibles de formar con los elementos del conjunto dado.
El número de subconjuntos que pertenecen al conjunto potencia de A, se determina a través de la relación 2n, donde n representa el número de elementos del conjunto A. En general.
P(A)={x / x A} o x P(A) x A
Ejemplo: Sea B={2,3}, hallar P(B)
El conjunto potencia de B será:
2n = 22 = 4 subconjuntos.
P(B)={{2};{3};{2,3}; }Donde {2} P(B) {2} B
P(B) B
2.10. Operaciones con Conjuntos: Ver cuadro adjunto.
2.11. Cardinal de un Conjunto.Se define como el número de elementos que tiene un conjunto.
Ejemplo:
Si A={l,m,n,o,p}Entonces n(A)=5
2.11.1. Número de Elementos de A o B cuando A B = .Si A={1,2,3}, B={4,5}
→AB=Luego n(AB)=n(A)+n(B)
n(AB)=3+2
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1. 2. 3.
4.5. A.
6.7.
n(AB)=5
2.11.2. Número de Elementos de A o B .
A= (A-B)(AB)n(A)=n(A-B)+n(AB)
por otro lado
(AB)=(A-B)Bn(AB)=n(A-B)+nBn(AB)=n(A)-n(AB)+nBn(AB)= n(A)+nB-n(AB)
Ejemplo: A={1,2,3,5,6} B={2,3,4,7,8,9} n(AB)= n(A)+nB-n(AB)
n(AB)= 5+6-2=9
2.11.3. Número de Elementos de A o B o C cuando A B C .
n(ABC)=n(A)+n(B)+n(C)-n(AC)- n(BC)+n (ABC)- n(AB)
Demostración.
n(ABC)=n(AB)+n(C)-n[(AB)C] n(ABC)=n(A)+n(B)-n(AB)+n(C)-n[(AC)(BC)] n(ABC)=n(A)+n(B)-n(AB)+n(C)-[n(AC)+n(BC)-n(ABC)]n(ABC)=n(A)+n(B)+n(C)-n(AC)- n(BC)+n (ABC)- n(AB)
Aplicaciones.
En una encuesta a 120 lectores sobre sus candidatos favoritos se determina que 66 electores tienen preferencia por el candidato A, 50 por el candidato B, 50 por el C, 27 por los candidatos A y C, 30 por A y B, , 21 por B y C; y 20 no tienen preferencia por ninguno de los tres candidatos. Se pide:
a. ¿Cuántos electores tienen preferencia por los tres electores?b. ¿Cuántos prefieren a los candidatos A o B pero no a C?c. ¿Cuántos prefieren a dos de los candidatos?
32v
uw
y
t
zx
20
BA
x+y+z+u+v+w+t=100 1)x+y+v+u= 66 2)y+z+v+w=50 3)t+u+v+w=50 4)u+v=27 5)y+v=30 6)v+w=21 7)Reemplazando 5 en 2x+y+(u+v)=66x+y+27=66x+y=39 8)Reemplazando 5 en 3(y+v)+z+w=5030+z+w=50z+w=20 9)Reemplazando 7 en 4t+u+(v+w)=50t+u+21=50t+u=29 10)Reemplazando 8,9,10 en 1(x+y)+(z+w)+(u+t)+v=10039+20+29+v=100v=12 11)Reemplazando 11 en 5u+12=27u=15 12)Reemplazando 11 en 612+y=30y=18 13)Reemplazando 11 en 712+w=21w=9 14)Reemplazando 13 en 818+x=39x=21 15)Reemplazando 14 en 99+z=20
z=11 16)Reemplazando 12 en 1015+t=29t=14 17)
33
t
Respuestas:
a. 12 prefieren a los tres electores.b. 50 prefieren a A o B pero no a C.c. 42 electores prefieren a dos candidatos.
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TEMA 3RELACIONES
1. INTRODUCCIÓN
a) PAR ORDENADO.-
Llamaremos “par ordenado” de números reales a la expresión (a,b) donde a es llamada la primera componente y b es llamada la segunda componente.Ejemplo.- Son pares ordenados, (3,5), (-2,7), (etc).
b) IGUALDAD DE PARES ORDENADOS.-
Los pares ordenados (a,b) y (c,d) diremos que son iguales si sus correspondientes componentes son iguales, esto es:
(a , b )=(c , d )⇔a=c∧b=d
Ejemplo.- Los pares ordenados (5,6) y (5,4) no son iguales sus segundas componentes son diferentes.
Luego diremos que dos pares ordenados son diferentes si una de sus componentes correspondientes son diferentes esto es:
(a , b )≠(c ,d )⇔a≠c y/o b≠d
Ejemplo.- Determinar el valor de x e y de tal manera que (5x+2y, -4) = (-1, 2x – y)
Solución
Para calcular el valor de x e y aplicamos el concepto de igualdad de pares ordenados:
5x + 2y = – 1 x = – 1(5x + 2y, 4) = (-1, 2x – y) ⇔ ⇒
2x – y = – 4 y = 2
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c) PRODUCTO CARTESIANO DE CONJUNTOS.-
Consideremos dos conjuntos A y B arbitrarios; llamaremos producto cartesiano de A y B, al conjunto formado por todos los pares ordenados (a,b) de tal manera que la primera componente a pertenece al conjunto A y la segunda componente b pertenece al conjunto B.La notación del producto cartesiano de A y B: AxB. Simbólicamente el producto cartesiano se representa:
AxB= {(a , b )/a∈ A∧b∈B }
Nota: (a,b) ∈ A x B ⇔ a∈A ¿ b ∈ B
Ejemplo.- Sean A={1,3,5 } y B= {2,4 } Entonces:
AxB= {(1,2) ,(1. 4 ) ,(3,2) ,(3,4 ) ,(5,2) ,(5,4 )}
También puede determinarse A x B mediante el método del “diagrama del árbol” el cual nos permite observar el conjunto de pares ordenados, este método consiste en disponer los elementos de A y B del modo siguiente:
A B A x B
2 (1,2)1
4 (1,4)
2 (3,2)3
4 (3,4)
2 (5,2)5
4 (5,4)
OBSERVACIÓN.- Cuando los conjuntos A y B son finitos entonces:
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n( AxB)=n( A ). n(B)donde: n(A): es el número de elementos del conjunto A.
n(B): es el número de elementos del conjunto B.
n(A x B): es el número de elementos del conjunto A x B.
Ejemplo.- Si A={2,4 } yB= {1,3,5 } entonces: AxB= {(2,1) ,(2,3) ,(2,5 ) ,(4,1) ,( 4,3) ,(4,5 )}
d) PROPIEDADES DEL PRODUCTO CARTESIANO
AxB≠BxA , no siempre se cumple Ax φ=φ x A=φ
Ax(B∪C )=AxB∪AxC Ax(B∩C )=AxB∩AxC
Ax(B−C )=AxB−AxC ( AxB) xC=Ax (BxC )
Si A⊂B ⇒ AxC⊂BxC , ∀C
Si A⊂B y B⊂D ⇒ AxB⊂CxD
e) REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DEL PRODUCTO CARTESIANO.-
En el producto cartesiano A x B, a cada uno de los conjuntos A y B lo representaremos sobre dos rectas perpendiculares, en donde los elementos del conjunto A se representa sobre el eje horizontal y los elementos del conjunto B se representan sobre el eje vertical, de tal manera que las líneas verticales que pasan por los elementos de A y las líneas horizontales que pasan por los elementos de B al interceptarse se obtienen los pares ordenados de A x B.
Ejemplos.-
Si A={1,3,5 } y B= {2,4 } entonces:
AxB= {(1,2) ,(1,4 ),(3,2 ) ,(3,4) ,(5,2 ),(5,4 )}
A los elementos del conjunto A lo representamos en el eje horizontal y a los
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elementos del conjunto B lo representaremos en el eje vertical.
OBSERVACIÓN
Como los conjuntos A y B son arbitrarios, entonces consideramos los siguientes casos:
1. Si A = B, el producto cartesiano denotaremos por A x B = A x A = A2
2. Si A = B = R entonces A x B = R x R = R2 este producto nos representa al plano cartesiano.
f) DIAGONAL DE UN CONJUNTO.-
Dado un conjunto A≠φ , a la diagonal del producto cartesiano A x A denotaremos por IA y es definido por:
I A= {( x , y )∈ AxA / y=x }
Ejemplo.- Si A={1,3,5 } entonces:
AxA= {(1,1) ,(1,3 ),(1,5 ) ,(3,1) ,(3,3) ,(3,5 ), (5,1 ) ,(5,3) ,(5,5) }
Entonces: I A= {(1,1) ,(3,3) ,(5,5 )}
g) EJERCICIOS DESARROLLADOS.-
1. Determinar los valores x e y, en cada caso:
a) (4, 2x – 10) = (x – 1, y + 2)
Solución
Mediante la igualdad de pares ordenados se tiene:
4 = x – 1 x = 5(4, 2x – 10) = (x – 1, y + 2) ⇒ ⇒
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2x – 10 = y + 2 y = –2
b) (y – 2, 2x + 1) = (x – 1, y + 2)
Solución
Mediante la igualdad de pares ordenados se tiene:
y – 2 = x – 1 x = 2(y – 2, 2x + 1) = (x – 1, y + 2) ⇒ ⇒
2x + 1 = y + 2 y = 3
2. Dados los conjuntos A={x∈ z /−1≤x≤3 } ; B= {x∈ z /1≤x≤4 }
C={x∈ z /1≤x≤4 }
Hallar los siguientes conjuntos y graficar:
a) A x B b) B x C c) (A – C) x B
Solución
Tabulando los conjuntos dados se tiene:
A={−1,0,1,2,3 } , B= {1,2,3,4 } , C={1,2,3,4 }
a) A x B = {(−1,1 ),(−1,2 ),(−1,3 ),(−1,4 ) ,(0,1) ,(0,2 ),( 0,3) ,(0,4 ) ,(1,1) ,(1,2) ,(1,3) ,(1,4 ) , }
{(2,1) ,(2,2) ,(2,3) ,(2,4 ) ,(3,1) ,(3,2) ,(3,3 ) ,(3,4 )}
b) B x C = {(1,1 ) ,(1,2) ,(1,3) ,(1,4 ) ,(2,1) ,(2,2) ,(2,3 ),(2,4 ) ,(3,1 ),(3,2 ),(3,3 ) ,(3,4 ), }
{(4,1) ,( 4,2) ,(4,3 ), (4,4 )}
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c) A – C = {−1,0 }
(A – C) x B = {(−1,1 ),(−1,2 ),(−1,3 ),(−1,4 ) ,(0,1) ,(0,2 ),( 0,3) ,(0,4 )}
3. A={x∈R /x−3<7 } , B= {y∈R /−2< y<3 } , Graficar Ax B, B x A
Solución
Como x – 3 < 7 ⇒ x < 10
A x B = {(x , y )/ x<10∧−2< y<3 }
B x A = {(x , y )/−2<x<3∧ y<10 }
61
4. Para A y B subconjunto arbitrarios de R, geométricamente visualizar, como superficie, el producto cartesiano A x B en el espacio bidimensional R2, entonces:
5. Que parte del plano cartesiano se obtiene si se representa gráficamente los siguientes productos cartesianos.
a) ¿0 ,+∞>x<0 ,+∞>¿ ¿ b) ¿−∞ ,0>x<−∞ ,0>¿ ¿
c) ¿−∞ , 0>x<0 ,+∞>¿ ¿ d) ¿0 ,+∞ >x<−∞ , 0>¿ ¿
Solución
62
a) ¿0 ,+∞>x<0 ,+∞>¿ ¿ ⇒ {(x , y )/ x>0∧ y>0 }
b) ¿−∞ , 0>x<−∞ ,0>¿ ¿ ⇒ {(x , y )/ x<0∧ y<0 }
c) ¿−∞ , 0>x<0 ,+∞>¿ ¿ ⇒ {(x , y )/ x<0∧ y>0 }
d) ¿0 ,+∞ >x<−∞ , 0>¿ ¿ ⇒ {(x , y )/ x>0∧ y<0 }
2. RELACIONES BINARIAS
a) DEFINICIÓN.- Consideremos dos conjuntos A y B no vacíos, llamaremos relación binaria de A en B ó relación entre elementos de A y B a todo subconjunto R del producto cartesiano A x B, esto es:
R es una relación de A en B ⇔R⊆ AxB
Ejemplo.- Sean A={2,4 } y B= {1,3,5 } entoncesAxB= {(2,1) ,(2,3) ,(2,5 ) ,(4,1) ,( 4,3) ,(4,5 )}
63
Los siguientes conjuntos de pares ordenados son relaciones de A a B:
R1={(2,1 ) ,(2,5)} , R2={(2,3) ,(4,1 ), (4,5) }, R3= {(2,1) ,(4,3 ) ,(2,3)}R4=AxB
Pero los siguientes conjuntos de pares ordenados no son relaciones de A en B.
R5={(1,2) ,(4,1 ),( 4,5)} , R6= {(2,1) ,(4,1 ), (3,4 ) } puesto que (1,2) ∉ A x B, (3,4) ∉A x B
por lo tanto R5⊆ AxB , R6⊆ A x B
Observación.-
1. Si A = B, entonces R es una relación en A ó, R es una relación entre elementos de A.
2. La definición 1.1 establece una comparación entre elementos de pares ordenados, motivo por el cual se le llama “relación binaria”.
3. Si R es una relación entre elementos de A y B, al conjunto A le llamaremos conjunto de partida y al conjunto B le llamaremos conjunto de llegada.
4. Generalizando: una relación R, entre los elementos del conjunto de los números reales, está determinado por una función proposicional P(x,y); esto es:
E={( x , y )∈ RxR /P ( x , y )}
5. Cuando el par ordenado (a,b) satisface a la función proposicional P(x,y) de la relación R, diremos que (a,b) ∈ R en caso contrario (a,b)∉ R.
6. Si A tiene p elementos y B tiene q elementos entonces ∃ 2n relaciones entre A y B donde n = pq.
Ejemplos.-Si A={1,3 } y B= {2,4 } y B= {2,4 } entoncesAxB= {(1,2) ,(1,4 ),(3,2 ) ,(3,4) }
64
El número de relación que se obtendrá de A x B es 22x2 = 24 = 16 es decir: que se puede formar 16 relaciones:{(1,2 )} , {(1,2 ) ,(3,2)} , {(1,4 ) }, {(3,2)} , {(3,4) }, {(1,2 ) ,(1,4 )}, {(1,4 ) ,(3,2 )}, {(1,2 ) ,(3,4 )}{(1,4 ) ,(3,4 )} , {(3,2) ,(3,4 )}, {(1,2 ) ,(1,4 ),(3,2 )}, {(1,2 ) ,(1,4 ),(3,4 )} , {(1,4 ) ,(3,2 ),(3,4 )} ,{(1,2 ) ,(3,2) ,(3,4 )}, {(1,2 ) ,(1,4 ),(3,2 ),(3,4 )} , φ
b) DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN BINARIA
Consideremos una relación R de A en B: es decir que R⊂AxB
El dominio de la relación R denotado por DR es el conjunto definido por:
DR={a∈ A /∃b∈B∧( a , b)∈R }El rango de la relación R denotado por RR es el conjunto definido por:
RR={b∈B /∃a∈ A∧(a ,b)∈R }
Ejemplo.- Si R={(1,4 ) ,(1,5) ,(2,3 ),(2,4 ) ,(2,5 )} entonces DR={1,2 } , RR= {3,4,5 }
OBSERVACIÓN.-
Para determinar el dominio de una relación, primero se despeja “y” enseguida se analiza los valores que pueden tomar “x” para que la variable “y” sea real.
Para determinar el rango de una relación se despeja “x”, enseguida se analiza los valores que puedan tomar “y” para que la variable “x” sea real.
Ejemplo.- Determinar el rango y dominio de la siguiente relación:
R={( x , y )∈ RxR / x2+ y2+10 y−75=0 }
Solución
65
En primer lugar despejamos la variable “y” para obtener el dominio, es decir: x2+y2+10y-75 = 0, completando cuadrado
( y+5 )2=100−x2 de donde y=−5±√100−x2
Ahora analizaremos los valores que pueda tomar x para que “y” sea número real es
decir: 100− x2≥0 de donde: x2≤100⇒−10≤x≤10 ∴D f=[−10 ,10 ]
Ahora despejamos la variable “x” para obtener el rango, como x2+ y2+10 y=0 ⇒
x=±√75−10 y− y2 entonces analizando los valores que puede tomar “y” para que x
sea número real se tiene: 75 – 10y – y2 ¿ 0
donde ( y+5 )2≤100 ⇒ −10≤ y+5≤10 ⇒ −15≤ y≤5 ∴R f=[−15 , 5 ]c) PROPIEDADES DE LA RELACIÓN BINARIA.-
Las relaciones binarias gozan de las siguientes propiedades:
1. Propiedades Reflexiva.- Una relación R en A, diremos que es reflexiva si
(a,a) ∈ R para todo a ∈ R esto es:
R es reflexiva en A ⇔∀a∈ A , (a , a )∈ R
2. Propiedad Simétrica.- Una relación R en A diremos que es simétrica si
(a,b) ∈ R implica que (b,a) ∈ R esto es:
R es simétrica ⇔∀(a , b )∈ R⇒(b , a)∈R
3. Propiedad Transitiva.- Una relación R en A, diremos que es transitiva
si:
(a ,b )∈ R∧¿ ¿(a,b)∈R implica que (a , c )∈R ,esto
es:
66
R es transitiva ⇔∀a , b , c∈ A , [(a , b )∈R∧(b , c )∈R⇒(a , c )∈R ]
4. Propiedad Antisimétrica.- Una relación R en A, diremos que
es
antisimétrica si:
R es antisimétrica ⇔∀a ,b∈ A , [(a , b )∈R∧(b ,a )∈R⇒a=b ]
5. Propiedad de Equivalencia.- Una relación R en A, diremos que es
de
de equivalencia si es: reflexiva, simétrica y
transitiva.
Ejemplo.- Si A={1,2,3,4,5,6 } las relaciones en A.
a) R1={(1,1 ) ,(2,2) ,(3,3) ,(4,4 ) ,(5,5 ), (6,6)} es reflexiva en A.
b) R2={(1,1 ) ,(3,3) ,(4,4 ) ,(5,5 ),(6,6 )} no es reflexiva en A por que falta (2,2).
Ejemplo.- Si A={2,3,5,7 } , las relaciones en A.
a) R1={(5,3 ) ,(2,7 ),(3,5 ) ,(7,2) ,(2,2)}es simétrica porque ( x , y )∈R1⇒( y , x )∈ R1
b) R2={(5,3 ) ,(2,7 ),(3,5 ) ,(2,2)} no es simétrica porque falta (7,2).
Ejemplo.- Si A={1,3,7,9 } las relaciones en A.
a) R1={(7,1 ) ,(2,2) ,(1,2)}no es transitiva porque (7,1)∈R2∧(1,2 )∈ R2⇒(7,2)∈ R2
Ejemplo.- Si A={1,2,3,4,5 } la relación R en A dado por :R={(1,1) ,(2,2 ),(3,3 ) ,(4,4 ) ,(5,5) } es una relación de equivalencia porque es reflexiva, simétrica y transitiva en A.
67
Ejemplo.- Sea Z = conjunto de los números enteros y la relación R definida sobre Z
en R={( x , y )∈ZxZ / x− y=3 m,m∈Z } es una relación de equivalencia. En efecto:
1. R es reflexiva porque: a- a = 0 = 0.3 ∀ a∈Z es decir: (a , a )∈ R ,∀a∈Z
2. R es simétrica porque: Si a – b = m.3 ⇒
∀ a ,b∈Z⇒(a , b)∈R⇒(b , a )∈R ,
3. R es simétrica porque: Si a – b = m.3 y b – c = m´.3 entonces
a – c = (a – b) + (b – c) = m.3 + m´.3
a – c = (m + m´)3 ⇒ a – c = m.3, ∀ a ,b , c∈Z
es decir: (a . b )∈R ¿ (b , c )∈R⇒(a , c )∈R , ∀ a ,b , c∈ZPor lo tanto R es una relación de equivalencia.
d) DETERMINACIÓN DE UNA RELACIÓN BINARIA.
Teniendo en cuenta que una relación es un conjunto de pares ordenados, entonces a una relación determinaremos por extensión o por comprensión.
1ra. Por Extensión.-
Una relación queda determinada por extensión cuando se menciona cada uno de los pares ordenados de la relación.
Ejemplos.-
a) R1={(1,2 ) ,(2,3) ,(3,4 ) ,(4,5 )} , R2={(a , b) ,(c , d ) ,(e , f )}
b) Si A={2,3,6,9 } y B= {1,4,5,6 , 12 }
Expresa por extensión cada una de las relaciones:
68
1 R={( x , y )∈ AxB / y=2 x }
SoluciónR={(2,4 ) ,(3,6 ),(6 ,12 )}
2
SoluciónR={6,6 }
2da. Por Comprensión.-
Una relación queda determinada por comprensión cuando se da una propiedad que caracteriza a todos los pares ordenados que conforman la relación.
Ejemplo.-
a) Si A = Z conjunto de los números enteros la relación R={( x , y )∈ZxZ / y=x } es una relación expresada por comprensión.
b) Si U={x∈N /x≤7 } . Determinar por comprensión la relación.
SoluciónSe observa que la diferencia entre la primera componente y la segunda componente es dos unidades por lo tanto expresaremos por comprensión:
R={( x , y )∈UxU /x− y=2}
e) RELACIÓN INVERSA.-
Si R⊂AxB es una relación de A en B; entonces la relación inversa de R lo
denotaremos por R−1
y está definido por:
R−1={( y , x )∈BxA /( x , y )∈R }
69
Ejemplo.- Si R={(3,2) ,(3,1 ),( 4,2) ,(4,5 ) ,(6,8) } ⇒ R−1={(2,3) ,(1,3) ,(2,4 ) ,(5,4 ) ,(8,6) }
Ejemplo.- Hallar la inversa de las siguientes relaciones.
a) R={( x , y )∈RxR /x+3 y=12 }Solución
Para determinar la inversa de una relación se despeja x, es decir: x = 12 – 3y
Luego se permuta x por y es decir: y = 12 – 3x
∴R−1= {( x , y )∈RxR / y=12−3 x }
b) R={( x , y )∈RxR /3 x+4 y=5∧1≤x≤7 }
Solución
Primeramente despejamos x de 3x + 4y = 5 es decir: x= 5−4 y
3, 1≤x≤7
Ahora veremos como va variando y: como 1≤x≤7 ⇒ 1≤5−4 y
3≤7
3≤5−4 y≤21⇒−4≤ y≤12
Luego x= 5−4 y
3, −4≤ y≤1
2 , por lo tanto al permutar x por y se tiene:
y=5−4 x3
, −4≤x≤1
2
∴R−1={( x , y )∈ RxR / y=5−4 x3
,−4≤x≤12 }
4.3. GRAFICA DE UNA RELACION DE R EN R.-
a) Definición.- Llamaremos gráfica de una relación de R en R al conjunto de puntos P(x,y) cuyas coordenadas satisfagan a dicha relación, teniendo en cuenta que una relación puede estar expresada en una de las formas:
70
E( x , y )=0 V E( x , y )<0 V E( x , y )>0 V E( x , y )≤0 V E( x , y )≥0
b) Discusión de la Gráfica de una Relación.
Para trazar la gráfica de una relación dada por la ecuación E(x,y)=0, daremos el siguiente criterio.
1ra. Determinación de las intersecciones con los ejes coordenados.
- Intersección con el eje X: E( x , y )∩¿ ¿ eje x= {( x , y )∈R2/ y=0 }=P
Es decir: para hallar el punto P de intersección con el eje x se hace y=0 en la ecuación E(x,y)=0, ósea que se resuelve la ecuación E(0,y)=0.
- Intersección con el eje Y: E( x , y )∩¿ ¿ eje y= {( x , y )∈ R2/ x=0 }=Q
2da. Determinación de la simetría con respecto a los ejes coordenados.
- Simetría con respecto al eje X.
Existe simetría con respecto al eje X si se cumple E(x,y)=E(x,-y). Fig. (a)
- Simetría con respecto al eje Y.
Existe simetría con respecto al eje Y si se cumple E(x,y)=E(-x,y). Fig. (b)
- Simetría con respecto al origen.
Existe simetría con respecto al origen si se cumple E(x,y)=E(-x,-y). Fig. (c)
71
3ra. Determinación de la extensión de la curva.
Consiste en determinar el dominio y el rango de la relación.
4ta. Determinación de las Ecuaciones de las Asóntotas.
Traeremos solamente de las asíntotas verticales y horizontales.
- Asíntotas Verticales.- La recta x = a, es una asíntota vertical de la relación E(x,y)=0, si para cada (x,y) ∈ E(x,y), se tiene que para “y” bastante grande la
distancia de “x” a “a” es decir |x−a| es muy pequeño.
Para calcular las asíntotas verticales se despeja la variable y de la ecuación.
72
fig(B)
fig(C)
fig(A)
P( x , y )
Q( x ,− y )
P( x , y )Q(−x , y )
P( x , y )
Q(−x ,− y )
E(x,y) = 0 es decir: y=
f (x )
g( x ) de donde f y g son expresiones solamente de x, entonces las asíntotas verticales se obtiene de la ecuación g(x) = 0, es decir haciendo el denominador igual a cero.
- Asíntotas Horizontales.- La recta y = b es una asíntota horizontal de la relación E(x,y) =0 si para cada (x,y) ∈ E(x,y) sé tiene que para “x” bastante
grande la distancia de “y” a “b” es decir |y−b| es muy pequeña.
Para calcular las asíntotas horizontales se despeja la variable x de la ecuación
E(x,y)=0, es decir: x=
f ( y )
f ( y ) donde f y g son expresiones solamente de y, entonces las asíntotas horizontales se obtiene de la ecuación g(y)=0 es decir haciendo el denominador igual a cero.
5ta. Tabulación.
Consiste en calcular un número determinado de pares ordenados a partir de la ecuación E(x,y) = 0.
6ta. Trazado de la curva.- Mapeo de los pares ordenados.
OBSERVACIÓN
1. Diremos que el par (a,b) pertenece a la relación E(x,y)=0 si y solo si E(a,b)=0.
Ejemplo.- Discutir y graficar la relación: R={( x , y )∈RxR /xy−2 y−x=0 }
Solución
73
A la relación dada escribiremos en la forma: R( x , y )=xy−2 y−x=01° Intersección con los ejes coordenados:
- Con el eje X; hacemos, y = 0; R(x,0) = 0 – 0 – x = 0 ⇒ x = 0- Con el eje Y; hacemos x = 0; R(0,y) = 0 – 2y – 0 = 0 ⇒ y = 02° Simetrías:- Con respecto al eje X: R(x,y) = R (x, –y)
Pero x(-y) – 2(–y) – x ¿ xy – 2y, por lo tanto no existe simetría con el eje X.
- Con respecto al eje Y: R(x,y) = R(–x,y)Pero xy – 2y – x ¿ (–x)( –y) – 2(–y) – (–x)
- Con respecto al origen: R(x,y) = R(–x,–y)Pero xy – 2y – x ¿ (–x)(–y) – 2(–y) – (–x), por lo tanto no existe simetría con el origen.
3° Extensión:
- Calculamos el dominio, para esto despejamos y es decir: y= x
x−2
Luego DR=R− {2 }
- Calculamos el rango, para esto despejamos x es decir: x= 2 y
y−1
Luego RR=R−{1 }
4° Asíntotas:
- Asíntota Vertical: se despeja y: y= x
x−2 la ecuación de la asíntota vertical es x = 2.
- Asíntota Horizontal: se despeja x:
x= 2 yy−1 , la ecuación de la asíntota horizontal es y = 1.
5° Tabulación:
74
X 0 1 3 4 -1 -2Y 0 -1 3 3 0.3 0.5
FUNCIONES1. DEFINICIÓN .
Desde un punto de vista formal, se dice que f es una función o aplicación de A en B y se denota
y satisface:
1.
2. Si
Esto significa que a cada elemento a de A, le corresponde por f un elemento b, y sólo uno, de B, al
que se denomina imagen de a por f y que se denota en vez de .
Para la función f: A —> B , A es el dominio de f y B es el codominio de f.
El subconjunto de B formado por los elementos imágenes de todos los miembros de A, se llama
“imagen de f’, y se denota por I (f).
Ejemplo:
Sean A ={l,2,3,4} y B ={a,b,c,d} y sea f— {(1, a), (2, b), (3, b), (4, c)}
Entonces f es una función, ya que ningún elemento de A aparece como primer elemento de dos
pares ordenados diferentes. Así, se tiene f(l)a f(2)=b f(3)b f(4)c
El diagrama correspondiente es:
En algunos textos de matemática se reserva la palabra función para el caso en que el conjunto B es un conjunto numérico y se utiliza aplicación para el caso más general de conjuntos cualesquiera. Esta distinción no está generalizada y se trata, en todo caso, de una distinción informal y de uso discrecional.
75
El dominio de f es D (f) = A, el codominio de f es Cod (f ) = B y la imagen de f es I (f ) {a, b, c}.
Obsérvese que el elemento b E B aparece como segundo elemento de dos diferentes pares
ordenados de f Esto no causa conflicto con la definición de una función. Por tanto, dos elementos
diferentes de A pueden tener la misma imagen en B.
Ejemplo:
Sean A = {a,b,c,d} y B= {l,2,3} y sean las relaciones:
R {(a, 2), (b, 3), (c, 1)) y S = {(a, 1), (a, 3), (b, 2), (c, 2), (d, 3)}
Entonces el diagrama correspondiente para cada relación es
2. DOMINIO, CONJUNTO DE LLEGADA E IMAGEN .
El dominio de una función es el conjunto de existencia de la misma, o sea los valores para los cuales la función está definida. Entonces, el dominio de una función f es el conjunto de todos los objetos que puede transformar. Se denota Dom f o D f.
Obsérvese que la condición de existencia de la definición de función garantiza que, si
es una función, entonces Df = A
El codominio de una función es el conjunto .
Obsérvese que algunos elementos del codominio pueden no ser imagen de ningún elemento del dominio. Puede haber algún tal que
El conjunto imagen , también llamado recorrido o rango, está formado por los valores que alcanza la función. Entonces, la imagen de una función f es el conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente. Se denota I m f o I f.
76
Por ejemplo, la función f(x) = x + 1 tiene como dominio e imagen todos los números reales, pero una función g(x) = x², si bien tendrá como dominio a todos los reales, sólo tendrá como imagen los valores comprendidos entre 0 y +∞ que sean el cuadrado de un número real (de hecho, todos lo son).
Siempre es posible restringir tanto el conjunto dominio e imagen de una función con un propósito determinado. Por ejemplo, si se quiere restringir f(x) = x² para que sea biyectiva, es posible tomar una sola de las ramas de modo que el dominio restringido y el conjunto imagen tomen valores del intervalo[0,+∞).
3. CONJUNTO IMAGEN.
El conjunto imagen de una función matemática, también llamado codominio, rango o recorrido; es el conjunto de valores que puede llegar a tomar la función.
Una función es un aplicación de un espacio K a otro espacio K'. Esto quiere decir que la función devuelve un vector de K' para cada vector de K introducido.
Por tanto, imagen de una función, es el conjunto de vectores de K' que me puede devolver una función al introducir en ella un vector de K. El conjunto imagen será un subes pació de K'.
El "reciproco" del conjunto imagen seria el conjunto dominio o recorrido de una función, que es el conjunto de vectores de K tal que los puedo introducir en la función y esta me devuelve un vector de K'. El conjunto dominio será un subes pació de K.
DOMINIO
Sea f una función
El conjunto X es el dominio de definición de f. Llamamos dominio de definición de una función al conjunto de existencia de dicha función, es decir, los valores para los cuales la función está definida. El conjunto Y es el recorrido o imagen de f que es el conjunto de valores que se obtienen a partir del dominio de definición.
Dadas dos funciones f y g, de valores reales, con dominios A y B respectivamente entonces:
1. (f + g)(x) = f(x) + g(x) Dominio = A ∩ B 2. (f - g)(x) = f(x) - g(x) Dominio = A ∩ B 3. (f · g)(x) = f(x) · g(x) Dominio = A ∩ B 4. (f / g)(x) = f(x) / g(x) Dominio = {x A ∩ B g(x) ≠ 0} ∈ ∧
Algunos dominios de funciones reales de variable real:
El dominio de esta función es
77
El dominio de esta función es
El dominio de esta función es
El dominio de esta función es
4. CLASES DE FUNCIONES.
4.1 FUNCIÓN BIYECTIVA.
Una función es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva. Es decir, todos los elementos del conjunto de partida tienen una imagen distinta (por ser inyectiva) en el conjunto de llegada. Además, el recorrido es igual al conjunto de llegada (por ser sobreyectiva).
Por ejemplo, la función dada por f(x) = 6x + 9 es claramente biyectiva.
Una de demostrar biyectividad es posible establecer la biyectivida de una función probando:
f: A → B es inyectiva g: B → A es inyectiva
La función g no es necesariamente la inversa de f
4.2 FUNCIÓN INYECTIVA.
78
Una función (o más general un mapeo) es inyectiva (o uno es a uno) cuando las imágenes en el conjunto codominio del mapeo se corresponden con elementos diferentes del conjunto de partida. Es decir, no existe una misma imagen que tenga asociados elementos distintos del conjunto de dominio.
4.3 DEFINICIÓN FORMAL.
Sea una función. Diremos que f es inyectiva,
o lo que es lo mismo,
Equivalentemente, es inyectivo si la fibra de cada elemento del codominio tiene cardinalidad menor o igual a uno.
4.4 FUNCIÓN SOBREYECTIVA.
Una función es sobreyectiva (o suprayectiva, o epiyectiva, o suryectiva, o exhaustiva) cuando el recorrido cubre todo el conjunto de llegada. Es decir, todo elemento del conjunto de llegada (rango) es imagen de al menos un elemento del conjunto de partida (dominio).
Si f es una función de X a Y y el contra dominio de f es Y, se dice que f es sobre Y, o una función suprayectiva respecto de Y.
DEFINICIÓN FORMAL
Sea la función Diremos que f es sobreyectiva,
Es decir, la imagen de f es igual al Rango o codominio de la función
79
El dominio y la imagen pueden tener una única variable, o bien varias. De acuerdo a dichas cantidades se le pueden dar diferentes nombres a la función
es una función escalar es un campo escalar es una función vectorial es un campo vectorial
Se debe notar que la presencia de varias variables no afecta los criterios ya definidos sobre lo que es una función y lo que es sólo una relación matemática . Dado un (a ,b) puede ocurrir que a = b, pero el elemento que pertenece al dominio y que debe tener una y sólo una imagen es (a ,b), no a o b en forma individual.
5. CONCEPTOS PARA UN VALOR REAL.
Para funciones tenemos:
Conjunto de ceros: Es el conjunto de puntos pertenecientes al dominio de la función para los cuales dicha función vale cero.
Conjunto de negatividad: Es el conjunto de puntos pertenecientes al dominio de la función para los cuales dicha función toma valores negativos.
Conjunto de positividad: Es el conjunto de puntos pertenecientes al dominio de la función para los cuales dicha función toma valores positivos.
Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas
Función inyectiva : Si cada elemento del conjunto es imagen de un único elemento del
dominio. es inyectiva ;
o lo que es lo mismo:
Función sobreyectiva: es sobreyectiva si el conjunto imagen coincide con el
conjunto B (conjunto de llegada o codominio). es sobreyectiva
Función biyectiva: es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.
80
Sobreyectiva, no inyectiva Inyectiva, no sobreyectiva
Biyectiva No sobreyectiva, no inyectiva
6. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES.
Dadas dos funciones y tales que la imagen de está contenida en el dominio de , se define la función composición como el conjunto de pares
, para todos los elementos de .
Dado conocemos , puesto que conocemos la función , y dado cualquier elemento de conocemos también , puesto que conocemos la función . Por tanto,
está definido para todo x. Luego cumple la condición de existencia que se exige a las funciones. También cumple la condición de unicidad, dado que para cada el valor de
es único, y para cada también lo es el de , por ser y funciones. La composición de funciones es asociativa:
81
Sin embargo, en general, la composición de funciones no es conmutativa. Dadas y , puede no tener ni siquiera sentido, porque “devuelve” elementos de , en
tanto que está definida en el dominio . Pero incluso en los casos en que dominios y codominios son compatibles (o son el mismo conjunto), nada garantiza que la composición de funciones sea
conmutativa. Por ejemplo, con funciones numéricas y ,
, en tanto que
6.1 FUNCIÓN IDENTIDAD.
Dado un conjunto , la función que asigna a cada de el mismo de se denomina función identidad o función unitaria.
Dada cualquier función , es claro que es igual a y que es también igual a , puesto que para todo y también
6.2 FUNCIÓN INVERSA.
Dada una función , se denomina función inversa o función recíproca de ,
a la función que cumple la siguiente condición:
Si existe una función que cumpla esas dos condiciones, ser inversa por la izquierda y ser inversa por
la derecha, se demuestra que esa función es única. Eso justifica la notación , que sería ambigua si pudiera haber dos inversas de la misma función.
Sólo algunas funciones tienen inversa. De hecho, la condición necesaria y suficiente para la
existencia de es que sea biyectiva. Por tanto, las afirmaciones
Existe función inversa de y es biyectiva
son lógicamente equivalentes.
82
El grupo de las funciones biyectivas
Considerando todas las funciones biyectivas , las conclusiones del apartado anterior pueden resumirse en:
1. Dadas tres funciones la operación de composición es asociativa:
2. tal que tenemos 3. Estas tres condiciones determinan un grupo. El conjunto de las funciones biyectivas
es un grupo con respecto a la operación de composición de funciones y recibe el nombre de grupo simétrico de .
7. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.
Los anteriores apartados se han referido a funciones entre conjuntos cualesquiera. Las funciones entre conjuntos de números, y particularmente las funciones , o funciones reales de variable real son particularmente relevantes por la diversidad de sus aplicaciones prácticas y por sus particulares propiedades matemáticas. En algunos textos se reserva para las funciones entre conjuntos de números el término función mientras que a las funciones entre conjuntos cualesquiera se las denomina aplicaciones. A continuación se detallan algunas propiedades y definiciones de interés referidas a las funciones definidas o entre conjuntos de números (
).
Funciones reales y funciones discretas
Si el dominio de una función es un intervalo de la recta real la función se denominará real. En cambio, si la función está definida para los números enteros se denominará función discreta. Un ejemplo de una función discreta son sucesiones.
7.1 FUNCIONES ACOTADAS.
Una función se denomina acotada si su conjunto imagen está acotado, por ejemplo: f(x) = sen(x) y g(x) = cos(x) tienen por conjunto imagen el intervalo [-1,1]. Si su conjunto imagen está acotado sólo superior o inferiormente, se dice que la función está acotada superior o inferiormente, respectivamente. Por ejemplo, f(x)=|x| tiene por conjunto imagen
, por lo que está acotada inferiormente.
Funciones pares e impares
Se dice que una función es par cuando presenta simetría sobre el eje de ordenadas, esto es, si
Una función es impar si presenta simetría con respecto al origen de coordenadas, esto es si
83
Una función que no presenta simetría par no tiene necesariamente simetría impar. Algunas funciones no presentan ninguno de los dos tipos de simetría o bien la presentan frente a focos o ejes distintos del origen de coordenadas o el eje de ordenadas (o eje Y)
Funciones monótonas
1. La función f es estrictamente creciente en
2. f es estrictamente decreciente en
Si una función es estrictamente creciente o decreciente entonces es biyectiva.
1. f es creciente en
2. f es decreciente en
Si una función verifica cualquiera de las cuatro propiedades anteriores se dice que es monotona.
7.2 FUNCIONES PERIODICAS.
Una función es periódica si se cumple: donde es el periodo.
En particular, una función es periódica alternada cuando se cumple: . Estas últimas también son conocidas como funciones simétricas de media onda y constan de dos semiondas iguales de sentidos opuestos
7.3 FUNCIONES CÓNCAVAS Y CONVEXAS.7.3.1 Función convexa.
Una función es convexa en un intervalo si la rectas tangentes a la función en ese intervalo están por debajo de la función.
Una función es cóncava en un intervalo si la rectas tangentes a la función de ese intervalo están por encima
La denominación de convexidad y concavidad depende del punto de vista que se adopte para considerar que es una concavidad, esto es si se mira a la función "desde arriba" o "desde abajo". Por ello, algunos textos denominan convexas a las funciones que se curvan "hacia abajo", al contrario de la definición que se acaba de dar en los anteriores párrafos. Por ello, es frecuente que en ocasiones se adopten las denominaciones cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo para evitar las ambigüedades.
Las técnicas del análisis diferencial permiten determinar si una función es creciente, decreciente.
84
TEMA 4
COMBINATORIA
1. PRINCIPIOS BÁSICOS DEL CONTEO.
85
1.1 PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN.
Sea A={a1 , a2 , .. .. .am } un conjunto de m elementos y B= {b1 , b2 ,. .. . , bn }otro conjunto de n elementos, si la idea es elegir aleatoriamente un elemento de cada conjunto para un fin determinado, entonces el número de opciones o alternativas de efectuar esta elección está dado por m n.
Luego, este principio se puede generalizar para más de 2 conjuntos, es decir, si A1 , A2 ,. .. . ., Ak son
k conjuntos finitos y cuyo número de elementos son n1 ,n2 ,. . .. .nk respectivamente, entonces el número de opciones o alternativas de formar un grupo tomando un elemento de cada conjunto es
igual a: n1 ,n2 ,. . .. .nk
Ejemplo: Supongamos que Mauricio desea comprar un par de medias y le ofrecen cuatro
marcas y seis colores diferentes. Cuántas opciones de compra tiene?
Solución: Tenemos dos conjuntos de especificaciones:
Marcas diferentes M= {m1 ,m2 ,m3 , m4 } , m = 4
y colores diferentes C={c1 ,c2 , c3 , c4 , c5 , c6} , n = 6
de las cuales, Mauricio debe especificar o elegir uno de cada conjunto, es decir, una marca y un color.
Por tanto, tendrá mn = 4⋅6 = 24 opciones de compra.
Ejemplo: Un conductor de un automóvil tiene 3 rutas posibles para ir de la ciudad A a la ciudad B y para ir de la ciudad B a la ciudad C tiene 4 rutas posibles y finalmente para ir de la ciudad C a la ciudad D tiene 6 rutas posibles. Si para ir desde A a D debe pasar necesariamente por las ciudades B y C, cuántas rutas posibles tiene el conductor?
Solución:
m = 3 rutas n = 4 rutas r = 6 rutas
El conductor para ir de A a D necesariamente debe tomar una ruta del tramo AB, una del tramo BC y una del tramo CD. Por tanto, el número total de rutas para ir de A a D es mnr = 3⋅4⋅6=72 .
1.2 PRINCIPIO DE ADICIÓN.
Si dos decisiones (u operaciones) son mutuamente excluyente (que no pueden ocurrir ambos simultáneamente), donde la primera decisión se puede tomar de m maneras y la segunda de n maneras entonces una o la otra se puede tomar de m +n maneras.
86
Ejemplo: Una persona puede viajar de A a B en tren o en ómnibus. Si hay cuatro rutas para el tren y 5 rutas para el ómnibus, de cuántas formas puede hacer el viaje?
Solución:m = 4 rutas para el tren
N = 5 rutas para ómnibusEs claro, si la persona decide viajar en tren ya no viaja en ómnibus o viceversa. Luego la elección de un medio de transporte es mutuamente excluyente. Por tanto, por el principio de adición dicha persona puede viajar de m + n = 4 +5 = 9 formas.
2. FACTORIAL DE UN NÚMERO.
Sea n un numero positivo, el factorial de n, que se denota por n! es igual al producto de todos los enteros consecutivos de 1 hasta n inclusive. Es decir,
n !=n⋅(n−1 )⋅(n−2) . .. .3⋅2⋅1 , para n≥1
Por ejemplo: 2 !=2⋅1=23 !=3⋅2⋅1=65 !=5⋅4⋅3⋅2⋅1=120
2.1 PROPIEDADES DE LOS FACTORIALES.
a) Por definición: 0 !=1b) Factorial de un número se puede expresar como:
n!=n⋅(n−1 )!
O bien (n+1 )=(n+1)⋅n !
Observaciones: (n+m )!≠n!+m !(n⋅m)!≠n !⋅m!
Ejemplo: Calcular7 !
4 !3 !⋅ 5 !
2 !3!=7⋅6⋅5⋅4 !
4 !3 !⋅5⋅4⋅3 !
2! 3!= 7⋅6⋅5
3 !⋅5⋅4
2 !
=7⋅6⋅5
3⋅2⋅1⋅5⋅4
2⋅1=7⋅5
1⋅5⋅2
1=350
87
¿ B
Ejemplo: Calcular:
10 !9 !+8 !
=10⋅9⋅8!9⋅8 !+8 !
=10⋅9⋅8!( 9+1)8 !
=10⋅99+1
=10⋅910
=9
3. PERMUTACIONES.
3.1 PERMUTACIONES SIMPLES.
Son los diferentes arreglos que pueden formarse con todos los elementos u objetos distintos de un conjunto, cuya diferencia entre estos arreglos está dada solamente en el orden en que están colocados.
El número de permutaciones que pueden formarse con n objetos distintos está dado por:
Pn=n!
Ejemplo: a) Cuántos números de 4 dígitos distintos se pueden escribir con los números:2, 3, 4 y 5?
b) Cuántos de ellos son pares?
Solución: a) Los números de 4 dígitos que pueden escribirse con los números 2, 3, 4 y 5, son arreglos diferentes de estos números. Es decir, los números: 2345, 3245, 4235, etc. Son permutaciones de los 4 números dados.
Por lo tanto, se tiene P4=4 !=4⋅3⋅2⋅1=24 números.
b) En este caso los números serán pares si el dígito de las unidades es ocupado por los números 2 o 4; cuando el dígito de las unidades es ocupado por 2 y los tres dígitos restantes por 3, 4 y 5.
2
entonces se tiene P3=3 !=6 números paresCuando el dígito de las unidades es ocupado por 4 y los tres dígitos restantes por 2, 3 y 5.
4
88
entonces se tiene P3=3 !=6 otros números pares
por tanto, en total se tiene 2 P3=2⋅3 !=12 números pares.
3.2 PERMUTACIONES CIRCULARES.
Son los diferentes arreglos que pueden formarse con n objetos distintos de modo que no hay ni primero ni último objeto, pues se hallan alrededor de un círculo, o forman una figura plana cerrada.
El número de permutaciones circulares distintas que pueden formarse con n objetos distintos es dado por
P(n−1)=(n−1) !
Ejemplo: De cuántas formas diferentes pueden sentarse 6 personas alrededor de una mesa circular, si a) no hay condiciones?b) dos de ellas deben estar juntas?
Solución: a) Una posible formación de las 6 persona es:
Como no hay condiciones, entonces el número total de formas distintas que pueden sentarse las 6 personas alrededor de la mesa es
P6−1=(6−1 )!=5 !=120
b) Consideremos a las dos personas juntas como una sola.
Luego hay 5 objetos para ordenar en círculo, que se puede hacer de P5−1=4 ! maneras. Pero las dos personas consideradas internamente pueden permutarse entre
si de P2=2! maneras.
Por tanto, el número total de formas que pueden sentarse las 6 personas alrededor de una mesa circular con dos de ellas juntas es:
P5−1 P2=4 !2!=24⋅2=48
3.3 PERMUTACIONES CON REPETICIÓN.
89
Son ordenaciones diferentes que pueden formarse con n elementos de un conjunto, de los cuales
uno de ellos se repite n1 veces, otro n2 veces, etc. Es decir,
{a , a . .. a , b , b , .. .b , .. . , α , α , .. . α }, siendo n1+n2+. . .. nk=n
El número de permutaciones de n elementos con repetición viene dado por
Pnn1 , n2 , . . .nk= n!
n1 !n2 ! .. .nk !
Ejemplo: De cuántas maneras diferentes se pueden ordenar 3 bolas blancas, 2 azules y 4 negras en una fila, si las bolas del mismo color no se distinguen entre si?
Solución: Se tiene n1 = 3 bolas blancasn2 = 2 bolas azulesn3 = 4 bolas negras
en total n=n1+n2+n3=9 bolasluego, el número de maneras distintas que pueden ordenarse es
P93,2,4= 9 !
3 !2! 4 !=1260
Ejemplo: a) De cuántas formas diferentes pueden ordenarse las letras de la palabra TRABAJAR?b) En cuántas de estas, las letras A, están juntas?
Solución: a) Se trata de permutaciones de 8 letras de las cuales 3 son A, 2 son R, el resto son a 1. Por tanto se tiene
P83,2,1,1,1= 8!
3 !2 !1!1 !1 !=3360
formas
b) Para que las cuatro A queden juntas, se debe considerar a estas como un solo elemento. Así, se permutan solo 6 letras de las cuales 2 son R. Por tanto, el número de permutaciones en las que las cuatro A están juntas es
P61,2,1,1,1= 6 !
1 !2!1 !1 !1!=360
4. VARIACIONES.
Se llaman variaciones a cada uno de los arreglos u ordenaciones que se hagan tomando un número determinado de objetos o elementos de un conjunto.
4.1 VARIACIONES SIMPLES.
90
nk vecesn2 vecesn1 veces
Son las diferentes ordenaciones que pueden formarse con r objetos tomados de n objetos distintos de un conjunto.El número de todos los arreglos o variaciones que pueden formarse con n elementos distintos disponibles tomados de r en r está dado por
V n , r=n !
(n−r ) !Ejemplo: Las variaciones de las tres letras a, b y c, tomadas de dos en dos, son: ab, ba, ac, ca,
bc y cb. Luego se tiene 6 variaciones o arreglos diferentes.Por fórmula:
V 3 .2=3 !
(3−2)!=3 !
1!=6
Ejemplo: De cuántas maneras diferentes se pueden sentar 7 personas en una banca, con capacidad para 4 personas?
Solución: Como en la banca sólo pueden sentarse 4 de las 7 personas, entonces se trata de arreglos o variaciones de las 7 personas tomadas de 4 en 4. Luego, el número total de maneras diferentes que pueden sentarse es:
V 7,4=7 !
(7−4 )!=7 !
3 !=840
Ejemplo: a) Hallar cuántos números de 4 dígitos distintos se pueden formar con los número 3,4,5,6,7,8.?b) Cuántos de estos números son impares?
Solución: a) Los números de 4 dígitos se escriben tomando 4 números de los 6 dados, es decir, 3456, 5346, 7835, 8436, etc.Entonces se trata de variaciones de 6 elementos tomados de 4 en 4.Luego los números de 4 dígitos que pueden formarse serán:
V 6,4=6!
(6−4 ) != 6 !
2 !=360
b) Los números son impares si el dígito de las unidades es ocupado por los dígitos 3, 5 o 7 , en este caso.Es decir, si el dígito de las unidades es ocupado por 3, quedan 4,5,6,7,8 para ocupar los tres dígitos restantes.
3
Entonces se tiene V5,3 números impares.Análogamente, cuando el dígito de las unidades es ocupado por 5 y luego
por 7, se obtiene V5,3 números impares en cada caso.
Por tanto, en total se tiene
3 V 5,3=3⋅ 5 !(5−3) !
=3⋅5 !2 !=3⋅60=180
números impares
91
4.2 VARIACIONES CON REPETICIÓN.
Son aquellos arreglos o variaciones de r objetos de n objetos diferentes disponibles, cuando cada objeto puede repetirse una, dos o más veces hasta r en cualquier ordenamiento.
El número de todos los arreglos con repetición de r objetos que pueden formarse a partir de n objetos dados es:
VRn , r=nr
Ejemplo: Hallar cuántos números de 3 dígitos se pueden formar con los números 3,4,5,6,7.a) Si los dígitos no pueden repetirse.b) Si los dígitos pueden repetirse.
SOLUCIÓN: a) Los números de 3 dígitos distintos (sin repetición) que pueden formarse con los números 3,4,5,6 y 7 son: 345, 346, 753, etc.Por tanto, son variaciones de los 5 números dados tomando de 3 en 3.
V 5,3=5!
(5−3 )!=5!
2!=60
Es decir, se pueden formar 60 números.
b) Si los dígitos pueden repetirse, como 545, 344, 555, 776, 333, etc.Es decir, el dígito de las centenas puede ser ocupado por cualquiera de los
números dados, el dígito de las decenas lo mismo y el de las unidades de igual forma. Luego, los números formados es
VRn , r=nr, siendo n=5 y n=3
VR5,3=53=125 números
5. COMBINACIONES.
Se denominan combinaciones a los grupos diferentes que pueden formarse tomando algunos objetos de un número de objetos disponibles, de modo que dos cualesquiera de estos grupos difieran solamente en algún objeto.
5.1 COMBINACIONES SIMPLES.
Son las diversas formas de selección que se pueden hacer de r objetos de los n objetos distintos dados, sin tener en cuenta el orden de los mismos, y de manera que no puede haber dos grupos con los mismos elementos. Es decir, las combinaciones de r objetos, a partir de n objetos distintos, es obtener todos los subconjuntos de r objetos de los n dados.
El número de combinaciones o selecciones de r elementos que pueden formarse a partir de n elementos distintos es dado por
Cn, r=¿( n¿ )¿¿
¿¿
92
donde
(n ¿ ) ¿¿
¿¿ es el número de combinaciones de los n elementos tomados de r en r.
Ejemplo: Las combinaciones de las cuatro letras a, b, c y d, tomadas de dos en dos son: (a,b), (a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d).luego se tiene 6 combinaciones diferentes.Por fórmula:
C4,2=¿(4 ¿ )¿¿
¿¿
Obsérvese que (a,b) y (b,a) son una misma combinación (se prescinde del orden), mientras que ab y ba constituyen dos variaciones distintas (interesa el orden).
Ejemplo: Cuántos grupos de 4 alumnos se pueden formar con 11 alumnos aventajados para representar a su colegio en un concurso de matemática.
Solución: Como se trata de formar posibles grupos de 4 miembros (no importa el orden), entonces se trata de selecciones o combinaciones de 11 alumnos tomados de 4 en 4.Por tanto, el número de posibles grupos que pueden formarse es:
C11, 4=¿(11 ¿ ) ¿¿
¿¿
Ejemplo: Cuántos grupos de 2 hombres y 3 mujeres se pueden formar con 5 hombres y 7 mujeres?
Solución: Para formar grupos de 2 hombres y 3 mujeres, primero se puede seleccionar 2
hombres cualesquiera de los 5 posibles, de C5,2=¿
(5 ¿ ) ¿¿
¿¿ formas. En seguida se
selecciona 3 mujeres de las 7 posibles, de C7,3=¿
(7 ¿ )¿¿
¿¿ formas.
Finalmente el número total de grupos de 2 hombres y 3 mujeres que pueden formarse es
C5,2C7,3=¿(5 ¿ ) ¿¿
¿¿
5.2 COMBINACIONES CON REPETICIÓN.
El número de combinaciones de r objetos tomados de los n objetos dados, de manera que estos objetos pueden repetirse, está dado por:
CRn , r=¿(n+r−1¿ )¿
¿¿¿
Ejemplo: Las combinaciones con repetición de los cuatro elementos a, b, c y d, tomados de dos en dos son:(a,a),(a,b),(a,c),(a,d),(b,b),(b,c),(b,d),(c,c),(c,d),(d,d)luego se tiene 10 combinaciones diferentes.
93
Según la fórmula se tiene CR4,2=¿ (4+2−1¿ )¿
¿¿¿
Ejemplo: Cuántos términos tiene un polinomio completo y homogéneo de grado 4 con 2 variables?
Solución: Sean x e y las variables. Como el polinomio es homogéneo, todos los términos son de grado 4. Es decir, en cada término la suma de los exponentes de las variables debe ser igual a 4. Por tanto, el número total es el de combinaciones con repetición de los 2 elementos (variables) tomados de 4 en 4, es decir, para n=2 y r=4, se tiene
CR2,4=¿ (2+4−1¿ )¿¿
¿¿ términos,
de modo que r puede ser superior a n cuando se permiten repeticiones. El polinomio puede expresarse así:
P( x , y )=ax 4+bx 3 y+cx 2 y2+dxy 3+dxy3+ey 4 ; a,b,c,d,e ¿0
Ejemplo: Seis estudiantes de primer curso se detienen en una tienda de helados, donde cada uno puede escoger un helado entre los 5 sabores disponibles. Cuántos pedidos diferentes se pueden hacer?
Solución: Aquí interesa cuántos se compran de cada tipo y no el orden en que se lo compran, de modo que el problema es de selecciones o combinaciones con repetición. Es decir, combinaciones con repetición de los 5 sabores tomados de 6 en 6. Por tanto, el número de pedidos distintos es:
CR5,6=¿ (5+6−1 ¿ ) ¿¿
¿¿formas
94
FILA COLUMNA
TEMA 5ARREGLOS BIDIMENSIONALES.
Es tipo de arreglo se puede considerar como un vector de vectores. Por lo tanto, un arreglo bidimensional o matriz es un conjunto de elementos, todos del mismo tipo, organizados de forma tal que para poder identificar a un elemento del grupo se necesita referenciar dos subíndices. Si se visualiza un arreglo unidimensional, se puede considerar como una fila de datos, un arreglo bidimensional es un grupo de filas, como se puede ver en la siguiente figura:
Col1 Col2 Col3 Col4 Col5
1. FORMA DE ACCESO A UN ELEMENTO ESPECÍFICO DEL ARREGLO.
Invocar el nombre del arreglo y especificar entre corchetes el número de casilla que ocupa el elemento en el arreglo.
Por ejemplo, si queremos accesar al elemento 19 de la matriz de la tercera columna primera fila, se invocaría de la siguiente manera: nombre_variable[1][3] el caso anterior M[1][3]=19. suponiendo que el nombre de la matriz es M.Cabe notar que solo la matriz global tienen el nombre M y los elementos de este se referencian mediante los subíndices correspondientes. Así se usa un identificador global de la estructura pero se puede acceder a cada elemento independientemente.
2. OPERACIONES CON MATRICES.
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Fila 1Fila 2Fila 3Fila 4Fila 5 Fila 6
11 12 13
21 22 23
31 32 33
3 5 19
23 34 40
45 56 70
Las operaciones que se pueden realizar con matrices durante el proceso de resolución de un problema o alguna actividad son:
AsignaciónLectura/escrituraSumaMultiplicaciónGeneración
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Para i de 0 hasta N-1 hacerPara j de 0 hasta K-1 hacer Leer M[i][j]
Fin_paraFin_para
Para i de 0 hasta N-1 hacerPara j de 0 hasta K-1 hacer Escribir M[i][j]
Fin_paraFin_para
2.2 ASIGNACIÓN.
La instrucción para realizar la operación de asignación en matrices es la siguiente:
asigna el valor “expresión” al elemento i,j de la matriz M
Para la introducción de valores a una matriz, la mejor opción es utilizando estructuras repetitivas como para (for ), mientras ( while) y repetir hasta (repeat until).
2.3 LECTURA/ ESCRITURA DE DATOS.
Las instrucciones simples de lectura y escritura se representan como:
a) Lectura
Pseudocódigo
N es la dimensión de filas de la matrizK es la dimensión de columnas de la matriz
b) Escritura
Pseudocódigo
N es la dimensión de filas de la matrizK es la dimensión de columnas de la matriz
Las demás operaciones se explican más adelante.
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M[i][j]expresión
TEMA 6
DETERMINANTES.MacLaurin, en su "Treatise of Algebra", publicado en 1748, daba una regla para resolver sistemas de ecuaciones lineales por determinantes. La solución que daba para y, en el sistema :
Dada la matriz de coeficientes del sistema:
Llamamos determinante de C a:
El numerador de la solución para y, es el determinante de la matriz que resulta de sustituir en la matriz de coeficientes, la columna correspondiente a la incógnita y por la columna de términos independientes.
La solución para x y para y, por determinentes sería:
En el caso de una sola ecuación con una sola incógnita, tenemos:
En el caso de tres ecuaciones con tres incógnitas, tenemos:
98
Y las soluciones por determinantes serán:
¿Cómo se calcula cada uno de estos determinantes? En el caso de determinantes de una fila por una columna, el determinante es igual al número con su signo. En el caso de determinantes de dos filas por dos columnas, ya lo hemos visto: es el producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de los elementos de la diagonal secundaria.
En el caso de tres filas por tres columnas:
Propiedades de los determinantes.
1º El determinante de una matriz es igual al determinante de su matriz transpuesta :
99
2º Si los elementos de una fila (columna) de una matriz se multiplican por un número, el determinante de la matriz queda multiplicado por dicho número.
3º si los elementos de una fila (columna) de una matriz se pueden descomponer en dos sumandos, su determinante es igual a la suma de dos determinantes que tienen iguales todas las filas (columnas) excepto dicha fila (columna) cuyos sumandos pasan, respectivamente, a cada uno de los determinantes:
4º El determinante de un producto de dos matrices cuadradas coincide con el producto de los determinantes de ambas matrices:
5º Si en una matriz cuadrada se permutan dos filas(columnas), su determinante cambia de signo. 6º Si los elementos de una fila (columna) de una matriz cuadrada son combinación lineal de las filas (columnas) restantes, es decir son el resultado de sumar los elementos de otras filas (columnas) multiplicadas por números reales, su determinante es cero. 7º Si a los elementos de una fila (columna) de una matriz cuadrada se le suma una combinación lineal de otras filas (columnas), su determinante no varía. Menor complementario de un elemento El menor complementario de un elemento de una matriz cuadrada es el determinante de la matriz que obtenemos al suprimir su fila y su columna. Lo representamos por Mij. Ejemplo: Hallar el menor complementario del elemento a23 en la matriz :
100
Adjunto de un elemento:
Es el menor complementario con signo positivo o negativo según sea par o impar la suma de su número de fila y su número de columna. Lo representamos por Aij
Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea: El determinante de una matriz es igual a la suma de los productos de los elementos de una línea (fila o columna) por sus adjuntos.
Esta propiedad nos permite resolver determinantes de cualquier orden, puesto que al desarrollar por una línea, los determinantes que tenemos que calcular son de orden menor en una unidad y así, siempre podremos llegar a un determinante de orden 3, que ya sabemos calcular. Para desarrollar por una línea es importante elegir la que más ceros tenga y utilizando la propiedad nº 7, hacer ceros todos los elementos de esa línea menos uno. Ejemplo:
Lo más cómodo es desarrollar por la 3ª columna, haciendo en ella todos los elementos cero, menos el segundo. Es importante recordar aquí, que si multiplicamos la línea a la que sumamos la combinación lineal de las demás por un número real, el determinante queda multiplicado por ese número.
Para hacer ceros, procedemos así:
El determinante de tres por tres que queda, sabemos como desarrollarlo. Se puede comprobar como haciendo ceros los elementos de una línea, sólo tenemos que calcular un determinante de tres por tres, los demás desaparecen al estar multiplicados por cero.
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