estad´istica ii -...

UNIVERSIDAD SALESIANA DE BOLIVIA

CONTADURIA PUBLICA

ESTADISTICA II

(Probabilidad e Inferencia)Dossier

LIC. EMMA MARTHA MANCILLA FLORES

La Paz-Bolivia

Febrero, 2012

Estadís

tica I

I - Lic

. Man

cillaIndice general

1. Introduccion 9

1.1. Conjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.1. Diagrama de Venn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.2. Subconjunto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.1.3. Conjunto Potencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.4. Conjunto universo y vacıo. . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.1.5. Operaciones entre conjuntos. . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2. Calculo Combinatorio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.2.1. Reglas de la suma y del producto. . . . . . . . . . . . . 17

1.2.2. Arreglos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2. Probabilidad 25

2.1. Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

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4 INDICE GENERAL

2.2. Aleatoriedad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3. Algebra de eventos y probabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4. Concepto de probabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.5. Probabilidad condicional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.6. Regla de multiplicacion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.7. Eventos independientes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3. Variables Aleatorias Discretas 37

3.1. Variables Aleatorias Discretas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2. Medidas descriptivas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3. Algunos modelos de distribucion de variables aleatorias dis-

cretas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.4. Distribucion uniforme discreta. . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.5. Ensayo Bernoulli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.6. Distribucion Binomial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.7. Distribucion Geometrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.8. Distribucion Hipergeometrica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.9. Distribucion Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4. Variables Aleatorias Continuas 61

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LIC. EMMA MARTHA MANCILLA FLORES 5

4.1. Medidas descriptivas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.2. Distribucion uniforme continua. . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.3. Distribucion normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.4. Distribucion Chi-cuadrado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.4.1. Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5. Introduccion al muestreo y distribuciones muestrales 79

5.1. Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.2. Metodo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.3. Concepto e importancia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.4. Terminologıa basica para el muestreo. . . . . . . . . . . . . . . 83

5.4.1. Error estandar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.4.2. Error muestral o error de muestreo. . . . . . . . . . . . 85

5.5. Distribucion muestral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.5.1. Distribucion muestral de la media. . . . . . . . . . . . 87

5.5.2. Distribucion muestral de la proporcion. . . . . . . . . . 90

5.5.3. Distribucion muestral de diferencia de medias. . . . . . 93

5.5.4. Distribucion muestral de la varianza. . . . . . . . . . . 96

5.6. Metodos de seleccion de muestras. . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.6.1. Primer criterio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

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6 INDICE GENERAL

5.6.2. Segundo criterio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6. Estimacion 111

6.1. Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6.2. Estimacion de parametros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6.2.1. Estimacion por Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . 114

6.2.2. Estimacion de la media. . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

6.2.3. Estimacion de la diferencia entre dos medias. . . . . . . 122

6.2.4. Estimacion de una Proporcion. . . . . . . . . . . . . . 123

6.2.5. Estimacion de la diferencia entre dos proporciones. . . 126

6.3. Tamanos de Muestra para Estimaciones. . . . . . . . . . . . . 127

6.3.1. Calculo del Tamano de la Muestra para Estimar una

Media. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

6.3.2. Calculo del Tamano de la Muestra para Estimar una

Proporcion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

7. Pruebas de hipotesis 133

7.1. Introduccion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

7.2. Enfoque actual de las pruebas de hipotesis. . . . . . . . . . . . 134

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7.3. Planteamiento de una prueba de hipotesis independientemente

de la distribucion que se este tratando . . . . . . . . . . . . . 140

7.4. Tipos de prueba de hipotesis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

A. Glosario 153

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8 INDICE GENERAL

Presentacion

El Contador Publico para poder ejercer una excelente gestion en la Audi-

torıa y en Control Fiscal requiere de unas bases muy solidas en los fundamen-

tos de la estadıstica y probabilidades. Ademas el Contador Publico debe tener

un perfil gerencial y el analisis inferencial es un Instrumento esencial en la

toma de decisiones en los campos financieros, economicos y contables. Es por

ello que con el presente documento se pretende principalmente : Introducir al

estudiante en los conceptos basicos de la Estadıstica tanto descriptiva como

inferencial y al mismo tiempo proveer al estudiante de herramientas tecnicas

para enfrentar los problemas de inventarios y de auditoria que se le presen-

taran en el ejercicio de su profesion.

Es por ello que se trato de plasmar algunos elementos de utilidad, desde

los elementos necesarios basicos hasta aquellos que requieren de conocimien-

tos avanzados, ası como tambien ejemplos y ejercicios resueltos, para poder

ayudar en la comprension de los mismos.

Emma Mancilla

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cillaCapıtulo 1

Introduccion

1.1. Conjuntos.

Al mencionar la palabra conjunto, esta va asociada a la idea de una colec-

cion de objetos que se caracterizan en algo comun.

En Matematica tiene el mismo significado, solo que a estos objetos se les

llama elementos o miembros del conjunto.

La nocion simple de una coleccion o conjunto de objetos es fundamental

en la estructura basica de las Matematicas y por ende en la Estadıstica, y fue

George Cantor, aproximadamente en 1870 quien primero llamo la atencion

de los matematicos a este respecto.

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10 CAPITULO 1. INTRODUCCION

No puede darse una definicion satisfactoria de un conjunto en terminos

de conceptos simples, por lo tanto la palabra CONJUNTO debe aceptarse

logicamente como un termino no definido.

Concepto. 1. Un conjunto es una coleccion bien definida de objetos de

cualquier clase.

Un conjunto se puede denotar por una letra mayuscula A, B,etc. y un

elemento por una letra minuscula a, b, etc.

Un conjunto puede definirse haciendo una lista de sus elementos o, si es-

to no es posible, describiendo alguna propiedad conservada por todos los

miembros, ası se puede determinar por extension o por comprension

respectivamente.

Ejemplo. 1. Podemos mencionar los siguientes conjuntos denotados por

extension:

A = {a, e, i, o, u}

B = {0, 2, 4, 6, 8}

C = {c, a, n, c, i, o, n}

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Figura 1.1: Diagrama de Venn.

1.1.2. Subconjunto.

Si cada elemento de A tambien pertenece a un conjunto B llamamos a A

un subconjunto de B.

A ⊂ B ⇐⇒ ∀x : x ∈ A =⇒ x ∈ B

Propiedades.

Ø ⊂ A, ∀A.

A ⊂ A, ∀A.

A ⊂ B y B ⊂ C, entonces A ⊂ C.

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1.1.4. Conjunto universo y vacıo.

Conjunto Universo o universal, es el conjunto formado por todos los

elementos, denotado por U.

El conjunto vacıo es aquel que carece de elementos, denotado por Ø.

1.1.5. Operaciones entre conjuntos.

Entre estas podemos mencionar a los mas ususales:

1. Union.(Figura 1.2).

A⋃

B = {x ∈ U/x ∈ A o x ∈ B}

2. Interseccion. (Figura 1.3).

A⋂

B = {x ∈ U/x ∈ A y x ∈ B}

3. Diferencia.(Figura 1.4).

A B = {x ∈ U/x ∈ A y x /∈ B}

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1.2. Calculo Combinatorio.

1.2.1. Reglas de la suma y del producto.

Regla de la suma. Si una tarea puede realizarse de m formas, mientras

que una segunda tarea puede realizarse de n formas, y no es posible

realizar ambas tareas de manera simultanea, entonces, para llevar a

cabo cualquiera de ellas puede utilizarse cualquiera de las m+n formas.

Regla del producto. Si un procedimiento se puede descomponer en las eta-

pas primera y segunda, y si existen m resultados posibles de la primera

etapa y si, para cada uno de estos resultados, existen n resultados posi-

bles para la segunda etapa, entonces el procedimiento total se puede

realizar, en el orden dado, de mn formas.

1.2.2. Arreglos.

Un arreglo lineal es una sucesion ordenada de objetos1, se escriben gen-

eralmente entre parentesis y separando los elementos por comas.

Ejemplo. 4. (1, 2, 3, a), es un arreglo lineal cuyo primer elemento es el 1,

el segundo el 2, el tercer elemento es el 3 y el cuarto elemento es a .

1Los objetos, se refieren a personas, numeros,letras,etc.

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El orden en que aparecen los elementos en una arreglo es de suma impor-

tancia, ası (2, 4, 6) es diferente de (6, 4, 2) y de (4, 2, 6) sin importar que

los elementos sean los mismos.

Los elementos en ciertos arreglos pueden tambien repetirse como en (10, 10, 3).

Ası, teniendo el total de objetos diferentes con los cuales se desea constru-

ir arreglos lineales, la pregunta natural que debemos responder es ¿cuantos

de estos arreglos es posible realizar?, para luego enlistarlos. Para ello se em-

plearan algunos elementos que facilitaran la tarea de conocer el total de

arreglos posibles, bajo las restricciones que se presenten, tales como : El fac-

torial de un numero, permutaciones y combinaciones, cuyas definiciones se

presentan a continuacion:

Definicion. 1.1. Para un entero n ≥ 0, n! factorial se define como:

n! = n(n− 1)(n− 2) . . . 1, paran ≥ 1; o (1.1)

n! = n(n− 1)! paran ≥ 1 (1.2)

Nota. 3. Recuerde que: 1! = 0! = 1.

Definicion. 1.2. Dada una coleccion de n objetos distintos, cualquier dis-

posicion lineal de estos objetos se denomina permutacion de la coleccion.

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cillaCapıtulo 2

Probabilidad

2.1. Introduccion.

El interes por los conceptos de la teorıa de probabilidad y por el calculo

de

probabilidades se remonta al siglo XV II, cuando, en 1654, los matematicos

franceses Blas Pascal (1623−1662) y Pierre Fermat (1601−1665) formularon

la teorıa de la probabilidad a traves de intercambio de numerosas cartas. Esta

importante corres−

pondencia fue promovida por las preguntas que hacıa a Pascal el filosofo

frances y conocido jugador Antoine Gombaud Chevalier de Mere.

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Definicion. 2.2. El espacio muestral, es el conjunto de todos los posibles

resultados asociados a un experimento aleatorio dado. Generalmente se lo

denota por Ω y a cada posible resultado ω del experimento se denomina punto

muestral.

Definicion. 2.3. Un evento o suceso A, es un cualquier posible subconjunto

del espacio muestral.

Nota. 4. Los eventos triviales asociados a todo espacio muestral son:

El evento imposible, es un resultado o situacion que no debe presentarse.

Se simboliza por φ(conjunto vacıo).

El evento seguro, es el propio espacio muestral.

Nota. 5. Como los eventos y espacio muestral son conjuntos, toda la teorıa

de conjuntos revisada en el capıtulo anterior, es posible aplicar, segun se vea

conveniente.

Ejemplo. 9. El experimento consiste en lanzar dos monedas sobre una mesa

y anotar los resultados de las caras superiores.

Podemos primeramente simbolizar los posibles resultados:

C : El resultado al lanzar la moneda es cara.

S : El resultado al lanzar la moneda es sello.

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30 CAPITULO 2. PROBABILIDAD

Definicion. 2.4. Dado un evento aleatorio E tal que:

El numero total de resultados o casos posibles con los que resulta E sea

finito e igual a n.

Sea A una propiedad que se refiera a los resultados de E y respecto

del cual estos resultados puedan clasificarse en dos clases; la primera

formada por las m para las cuales se cumple la propiedad A; la otra

formada por las n−m restantes en las cuales no se cumple A, a las m

primeras se denomina casos favorables.

Existen elementos de juicio suficientes para afirmar que los n casos son

igualmente posibles, entendiendo que dos casos son igualmente posibles

cuando no hay razon para suponer que uno de ellos pueda producirse

con preferencia al otro.

Los n casos posibles son excluyentes entre ellos, es decir, no pueden

producirse dos de ellos simultaneamente.

Los n casos cubren la totalidad de los posibles resultados de E.

Cuando se cumplen las condiciones mencionadas es posible definir respecto

a la propiedad A, un numero P (A) llamado probabilidad de A, el cual

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un evento A, previamente debe definirse dicho evento.

Ejemplo. 11. Con los datos del ejemplo (10), recordemos que:

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ; �Ω = 6

Y se definieron los siguientes eventos:

A = {2, 4, 6}; �A = 3

B = {1, 3, 5}; �B = 3

C = {3, 6}; �C = 2

Aplicando la definicion frecuentista, por ser conjuntos finitos, se les puede

asignar probabilidades:

P (obtener un numero par) = P (A) =3

6

P (obtener un numero impar) = P (B) =3

6

P (obtener un multiplo de 3) = P (C) =2

6♦

Definicion. 2.6. (Definicion axiomatica de probabilidad.) Sea un experimen-

to aleatorio ε y Ω el espacio muestral correspondiente. A cada evento A se

le asocia un numero real llamado probabilidad de que ocurra el evento A,

designado por P (A), que satisface las siguientes propiedades(axiomas):

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1. 0 ≤ P (A) ≤ 1

2. P (Ω) = 1

3. P (A⋃

B) = P (A) + P (B), si los eventos A y B son mutuamente

excluyentes1.

Propiedad. 2.1. Como consecuencia de la definicion anterior, considerando

los eventos A,B y C, se establecen las siguientes propiedades, para facilitar

el calculo de probabilidades:

1. P (φ) = 0; probabilidad del evento imposible.

2. P (Ac) = 1 − P (A); probabilidad del complemento.

3. P (A⋃

B) = P (A) + P (B) − P (A⋂

B), siendo los eventos A y B

cualesquiera.

4. Si A ⊂ B, entonces P (A) ≤ P (B).

1Se dice que los eventos A y B son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir ambos

al mismo tiempo,

A⋂

B = φ

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La probabilidad condicional de cualquier de los tres eventos A1, A2 y A3

cuando ya haya ocurrido B, es igual al cociente que tiene por numerador

al producto de la probabilidad de Ai por la probabilidad condicional (2.2) de

B dado Ai; el denominador es la suma de productos que se obtienen multi-

plicando la probabilidad de Ai por la probabilidad de Ai por la probabilidad

condicional de B dado A.

Nota. 7. La exposicion del tema, por razones de sencillez, se ha realizado

solo con tres eventos A1, A2 y A3 , sin embargo, el principio es general y

valido para cualquier numero n de eventos Ai.

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cillaCapıtulo 3

Variables Aleatorias Discretas

Definicion. 3.1. Sea Ω un espacio muestral sobre el cual se encuentra defini-

da una funcion de probabilidad. Sea X una funcion de valor real definida sobre

Ω, de manera que transforme los resultados de Ω en puntos sobre la recta de

los reales.

Se dice que X es una variable aleatoria discreta si el numero de

valores que puede tomar es contable (ya sea finito o infinito), y si estos pueden

arreglarse en una secuencia que corresponde con los enteros positivos.

Definicion. 3.2. Se dice que X es una variable aleatoria continua si

sus valores consisten en uno o mas intervalos de la recta de los reales.

Ejemplo. 12. Podemos mencionar algunas variables aleatorias:

37

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3.1. Variables Aleatorias Discretas.

Definicion. 3.3. Sea X una variable aleatoria discreta. Se llamara a

fX(x) = P (X = x)

funcion de probabilidad o funcion de cuantıa o masa de la vari-

able aleatoria X, si satisface:

fX(x) ≥ 0 para todos los valores x de X.

∑x fX(x) = 1

fX(x) = P (X = x) =∑

x P (w|X(w) = x)

Definicion. 3.4. La funcion acumulada de la variable aleatoria X

es la probabilidad de que X sea menor o igual a un valor especıfico de x y se

define como:

FX(x) = P (X ≤ x) =∑xi≤x

fX(x)

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3.4. Distribucion uniforme discreta.

Una variable aleatoria es una variable aleatoria discreta uniforme si

cada uno de los n valores que estan en el rango de esta, Rx = x1, x2, · · · , xn,

tienen la misma probabilidad. Entonces:

fX(x) =1

n(3.5)

Teorema. 3.1. Supongase que X es una variable aleatoria discreta uniforme

sobre los enteros consecutivos a, a + 1, a + 2, · · · , b con a ≤ b. Entonces:

Esperanza.

μX = E[X] =b + a

2

Varianza.

σ2X =(b− a + 1)2 − 1

12

3.5. Ensayo Bernoulli.

Un ensayo de Bernoulli es un experimento aleatorio que tiene solo dos

posibles resultados, denotados por exito y fracaso. La probabilidad de un

exito se denota por p.

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50 CAPITULO 3. VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

Nota. 8. El espacio muestral de un ensayo de Bernoulli puede represen-

tarse, de manera conveniente, como

Ω = {exito, fracaso}

3.6. Distribucion Binomial.

Un experimento aleatorio que consiste de n ensayos repetidos tales que:

Los ensayos son independientes.

Cada ensayo solo tiene dos resultados posibles, denominados, exito y

fracaso .

La probabilidad de exito en cada ensayo, denotada por p, permanece

constante.

Recibe el nombre de experimento binomial.

La variable aleatoria X definida como el numero de ensayos donde el resul-

tado es un exito, tiene una distribucion binomial, con parametros p y n.

La funcion de cuantıa es:

fX(x; p, n) =

⎛⎜⎜⎝n

x

⎞⎟⎟⎠ px(1− p)n−x; x = 0, 1, 2, · · · , n (3.6)

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Se ha definido una variable aleatoria geometrica como el numero de

ensayos realizados hasta obtener el primer exito. Sin embargo, dado que

los ensayos son independientes, el conteo del numero de estos hasta que

se tiene el primer exito puede comenzar en cualquier ensayo sin cambiar

la distribucion de probabilidad de la variable aleatoria. Propiedad de

carencia de memoria

Teorema. 3.3. Si X ∼ G(p) ,entonces:

Esperanza.

μX = E[X] =1

p

Varianza.

σ2X =1− p

p2

Ejemplo. 15. Suponga que cada una de las llamadas que hace una persona

a una estacion de radio muy popular tiene una probabilidad de 0,02 de que

la lınea no este ocupada. Suponga que las llamadas son independientes.

a) ¿Cual es la probabilidad de que la primera llamada que entre sea la

decima que realiza la persona?.

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Sea la variable aleatoria X el numero de exitos en la muestra. Entonces X

tiene una distribucion hipergeometrica y:

fX(x; N, K, n) =

⎛⎜⎜⎝k

x

⎞⎟⎟⎠

⎛⎜⎜⎝N − k

n− x

⎞⎟⎟⎠

⎛⎜⎜⎝N

n

⎞⎟⎟⎠

; x = 0, 1, · · · , min(k, n) (3.8)

Nota. 11. Si la variable aleatoria X sigue una distribucion hipergeometri-

ca (3.8), se denota como X ∼ H(N, n, k)

Teorema. 3.4. Si la variable aleatoria X ∼ H(N, n, k) ,entonces:

Esperanza.

μX = E[X] = np

Varianza.

σ2X = np(1− p)

[N − n

N − 1

]

donde p = kN

y[

N−nN−1

]se conoce como factor de correccion de poblacion

finita.

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3.9. Distribucion Poisson.

Dado un intervalo de numeros reales (0, t), supongase que el conteo de

ocurrencias es aleatorio en dicho intervalo.Si este se puede dividir en subin-

tervalos suficientemente pequenos, tales que:

1. La probabilidad de mas de una ocurrencia en el subintervalo es cero.

2. La probabilidad de una ocurrencia en un subintervalo es la misma para

todos los subintervalos y es proporcional a la longitud de estos, y

3. el conteo de ocurrencias en cada subintervalo es independiente del de

los demas subintervalos.

Entonces, el experimento aleatorio recibe el nombre de Proceso de Poisson.

Si el numero promedio de ocurrencias en el intervalo es λt > 0, la variable

aleatoria X que es igual al numero de ocurrencias en el intervalo tiene una

distribucion Poisson con parametro λt > 0, y la funcion de probabilidad

de X es:

fX(x; λt) =e−λt(λt)x

x!; x = 0, 1, · · · (3.9)

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cillaCapıtulo 4

Variables Aleatorias Continuas

En el presente capıtulo se muestra algunas distribuciones, las cuales corre-

sponden a variables aleatorias continuas, definidas en el anterior capıtulo, pre-

viamente dotando de la definicion de una variable aleatoria continua,funcion

de densidad y algunas medidas descriptivas, necesarias para realizar inferen-

cia posteriormente.

Definicion. 4.1. Sea X una variable aleatoria continua cuyo rango1 es RX⊂

R. Se denominara a fX ( funcion definida en R) , funcion de probabili-

dad o funcion de densidad de la variable aleatoria continua X, si

satisface:

1El rango de una variable aleatoria continua es un intervalo o coleccion de intervalos

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Nota. 13. Al considerar los numeros reales a, b tal que a < b, entonces la

probabilidad de que la variable aleatoria X, tome algun valor entre ambos, es

dado por:

P [a < X < b] =

∫ b

a

fX(x)dx

Por tratarse de una variable aleatoria contınua, se cumple que:

1.

P [a < X < b] = P [a ≤ X ≤ b]

= P [a ≤ X < b]

= P [a < X ≤ b]

=

∫ b

a

fX(x)dx

2.

P [X = a] =

∫ a

a

fX(x)dx = 0

4.1. Medidas descriptivas.

Definicion. 4.2. (Esperanza Matematica.) Sea X una variable aleatoria

contınua con funcion de densidad conocida fX(x); la esperanza matematica

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4.2. Distribucion uniforme continua.

Figura 4.3: Distribucion uniforme continua.

La distribucion continua mas sencilla es analoga a su contraparte discreta.

Sea una variable aleatoria X con funcion de densidad:

fX(x) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

1b−a

; si a ≤ x ≤ b,

0; en otro caso.

(4.4)

se dice que la v.a.c. X sigue una distribucion uniforme continua.

Nota. 14. Si la variable aleatoria X sigue una distribucion uniforme conti-

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70 CAPITULO 4. VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

nua (4.4), la notacion sera

X ∼ U [a, b].

Teorema. 4.1. Si X ∼ U [a, b] ,entonces:

Esperanza.

μX = E[X] =a + b

2

Varianza.

σ2X =(b− a)2

12

4.3. Distribucion normal.

La distribucion mas importante dentro del campo de la estadıstica y prob-

abilidades es la distribucion normal (figura (4.4)), que tal como su nombre

lo indica es la que se representa mas corriente y normalmente en la natu-

raleza.

Cuando son varias,pequenas e independientes las causas que influyen en la

variacion de una magnitud, esta variacion se distribuye segun la ley normal o

de Gauss. Ası las mediciones realizadas dentro de distintos campos, tales co-

mo las distribuciones de tallas, de diametros de piezas mecanicas, de longitud

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continua a traves de todos los numeros reales −∞ < x <∞.

Es necesario establecer que es la distribucion normal; es una forma

especial de asignar probabilidades a intervalos de numeros reales asoci-

ados con variables aleatorias continuas. Estas probabilidades asignadas

por medio de areas comprendidas dentro de una curva especial llamada

Curva normal o de Gauss .

Una variable aleatoria X con funcion de densidad:

fX(x; μ, σ) =1√2πσ

exp−(x− μ)2

2σ2−∞ < v <∞ (4.5)

tiene una distribucion normal con parametros μ, donde −∞ < μ < ∞, y

σ > 0. Asimismo:

Esperanza. E[X] = μ

Varianza. σ2

Si la variable aleatoria X sigue una distribucion normal (4.5), la notacion

sera

X ∼ N(μ, σ).

Nota. 15. Uno de los resultados utiles que esta relacionado don la distribu-

cion normal, es que para cualquier variable aleatoria normal :

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P (μ− σ < X < μ + σ) = 0,6827

P (μ− 2σ < X < μ + 2σ) = 0,9545

P (μ− 3σ < X < μ + 3σ) = 0,9973

Definicion. 4.4. Una variable aleatoria normal con μ = 0 y σ2 = 1 recibe

el nombre de variable aleatoria normal estandar y se denota como Z.

Definicion. 4.5. Si X es una variable aleatoria normal con E[X] = μ y

V [X] = σ2, entonces la variable aleatoria :

Z =X − μ

σ(4.6)

es una variable aleatoria normal con E[Z] = 0 y V [Z] = 1. Es decir, Z

es una variable aleatoria normal estandar. Entonces Z ∼ N(0, 1).

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4.4. Distribucion Chi-cuadrado.

4.4.1. Introduccion.

Una pregunta importante en el analisis estadıstico es si un conjunto de

datos observados se ajustan a una distribucion dada o tienen un patron

de conducta, por ejemplo alguna de las distribuciones estudiadas. Se puede

observar claramente que ello no sera posible de manera exacta, por lo cual

se desearıa contar con un criterio que nos ayude en tal decision, al cual

en adelante se llamara ”bondad de ajuste” y posteriormente se tocara el

tema de independencia de variables. Para todo lo anterior se requiere de un

instrumento, como es la llamada Distribucion chi-cuadrado.

Definicion. 4.6. Sean Z1, Z2, . . . , Zk, k variables aleatorias independientes

y distribuidas de manera normal estandar. Entonces la nueva variable aleato-

ria:

χ2 = Z21 + Z2

2 + . . . + Z2k

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tiene por funcion de densidad:

fX(x; k) =

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

1Γ(k/2) 2k/2 xk/2−1 e(−x/2); si x > 0,

0; en otro caso

(4.7)

Nota. 17. Si la variable aleatoria X sigue una distribucion chi-cuadrado

con k grados de libertad2. (4.7), se denota como X ∼ χ2k

c©emmf

2El numero k grados de libertad, puede ser cualquier numero entero positivo, fre-

cuentemente es representado por df , y a cada especificacion de este valor se tiene una

nueva distribucion chi-cuadrado.

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cillaCapıtulo 5

Introduccion al muestreo y

distribuciones muestrales

5.1. Introduccion.

La inferencia estadıstica es una parte de la Estadıstica que comprende

los metodos y procedimientos para deducir propiedades (hacer inferencia) de

una poblacion, a partir de una pequena parte de la misma (muestra). La

bondad de estas deducciones se mide en terminos probabilısticos, es decir,

toda inferencia se acompana de su probabilidad de acierto. La estadıstica

inferencial comprende:

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80 CAPITULO 5. INTRODUCCION AL MUESTREO Y DISTRIBUCIONES MUESTRALES

La Teorıa de muestras.

La estimacion de parametros.

El Contraste de hipotesis.

El Diseno experimental.

La Inferencia bayesiana.

5.2. Metodo.

Recordemos que un estudio estadıstico comprende los siguientes pasos:

1. Planteamiento del problema.

Generalmente suele iniciarse con la fijacion de objetivos o algunas pre-

guntas como: ¿Cual sera la media de esta poblacion respecto a tal

caracterıstica?, ¿Se parecen estas dos poblaciones?, ¿Existira alguna

relacion entre... ?

En el planteamiento se definen con precision la poblacion, la carac-

terıstica a estudiar( las variables) y otros. Se analizan tambien en este

punto los medios de los que se dispone y el procedimiento a seguir.

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la media de la poblacion (un parametro). Los sımbolos usados para represen-

tar los estadısticos y los parametros, son resumidos en el cuadro (20).

Medida Estadıstico Parametro

(muestra) (poblacion)

Media x μ

Desviacion estandar s σ

Numero de elementos n N

Proporcion p P

Cuadro 5.1: Sımbolos para estadısticos y parametros.

5.4.1. Error estandar.

La desviacion estandar de una distribucion, en la distribucion muestral

de un estadıstico, es frecuentemente llamada el error estandar del estadıstico.

Ejemplo. 21. La desviacion estandar de las medias de todas la muestras

posibles del mismo tamano, extraıdas de una poblacion, es llamada el error

estandar de la media.

Ejemplo. 22. De la misma manera, la desviacion estandar de las propor-

ciones de todas las muestras posibles del mismo tamano, extraıdas de una

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poblacion, es llamada el error estandar de la proporcion.

5.4.2. Error muestral o error de muestreo.

La diferencia entre el resultado obtenido de una muestra (un estadıstico) y

el resultado el cual deberıamos haber obtenido de la poblacion (el parametro

correspondiente) se llama el error muestral o error de muestreo. Un error de

muestreo usualmente ocurre cuando no se lleva a cabo la encuesta completa

de la poblacion, sino que se toma una muestra para estimar las caracterısticas

de la poblacion. El error muestral es medido por el error estadıstico, en

terminos de probabilidad, bajo la curva normal. El resultado de la media

indica la precision de la estimacion de la poblacion basada en el estudio de

la muestra. Mientras mas pequeno el error muestral, mayor es la precision

de la estimacion. Debera hacerse notar que los errores cometidos en una

encuesta por muestreo, tales como respuestas inconsistentes, incompletas o

no determinadas, no son considerados como errores muestrales. Los errores no

muestrales pueden tambien ocurrir en una encuesta completa de la poblacion.

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5.5. Distribucion muestral.

Cuando el tamano de la muestra (n) es mas pequeno que el tamano de la

poblacion (N), varias muestras pueden ser extraıdas de la misma poblacion.

Un cierto estadıstico puede ser calculado para cada una de las muestras

posibles extraıdas de la poblacion.

Definicion. 5.3. La distribucion del estadıstico obtenida a partir de las

muestras es llamada la distribucion muestral del estadıstico.

Ejemplo. 23. Si la muestra es de tamano 2 y la poblacion de tamano 3

(elementos A, B, C), es posible extraer 3 muestras ( AB, BC y AC) de la

poblacion. Podemos calcular la media para cada muestra. Por lo tanto, ten-

emos 3 medias muestrales para las 3 muestras. Las 3 medias muestrales tienen

una distribucion. La distribucion de las medias es llamada la distribucion de

las medias muestrales, o la distribucion muestral de la media.

Ejemplo. 24. De la misma manera, la distribucion de las proporciones (o

porcentajes) obtenida de todas las muestras posibles del mismo tamano, ex-

traıdas de una poblacion, es llamada la distribucion muestral de la proporcion.

No es difıcil probar que la distribucion muestral de medias tiene una

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Luego, (0,0062) ∗ (100) = 0,62 %; por tanto, el porcentaje de que la du-

racion promedio de la muestra de 16 lamparas sea menor a 775 hrs. es de

0, 62 %. ♦

5.5.2. Distribucion muestral de la proporcion.

Existen ocasiones en las cuales no interesa la media de la muestra, sino

que se desea investigar la proporcion de artıculos defectuosos o la proporcion

de personas que prefieren un producto en particular en una muestra.

La distribucion muestral de proporciones es la adecuada para dar

respuesta a estas situaciones. Esta distribucion se genera de igual manera

que la distribucion muestral de la media, con el cuidado de que al extraer las

muestras de la poblacion se calcula el nuevo estadıstico, llamado propor-

cion :

P =X

n,

donde X es el numero de exitos u observaciones de interes y n el tamano de

la muestra.

Si X es una variable aleatoria que tiene distribucion binomial, definimos

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5.5.3. Distribucion muestral de diferencia de medias.

Si el interes radica en la comparacion para cotejar, por ejemplo dos meto-

dos de produccion, la base para esta comparacion es μ1 − μ2, la diferencia

de las medias de las poblaciones, cuya distribucion, se basa en la aplicacion

del siguiente teorema.

Teorema. 5.2. Si se extraen al azar muestras independientes de tamano n1 y

n2 de dos poblaciones, discretas o continuas, con medias μ1 y μ2 y varianzas

σ21,σ2

2, respectivamente, entonces la distribucion muestral de las diferencias

de la medias, X1 − X2, esta distribuida aproximadamente de forma normal

con media y varianza dadas por:

μX1−X2

= μ1 − μ2

σ2X1−X2

=σ2

1

n1+

σ22

n2.

De aquı:

Z =(X1 − X2)− (μ1 − μ2)√

σ21

n1+

σ22

n2

∼ N(0, 1)

Nota. 18. Si n1 y n2 son mayores o iguales a 30, la aproximacion normal

para la distribucion de X1−X2 es buena sin importar la forma (distribucion)

de las dos poblaciones.

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de las partes que recibe, se seleccionan unas cuantas para las pruebas de

control de calidad. Durante tres dıas se abren cajas y se sacan algunas piezas

para las pruebas.

Al igual que el ejemplo anterior los problemas que podrıan presentarse al

elegir la muestra, podrıan ser los siguientes:

En este caso el perıodo de pruebas puede ser muy corto.

Quiza solo algunos proveedores entregaron el pedido durante esos tres

dıas.

Tambien puede ser un error elegir solo algunas piezas que estan a mano

al abrir la caja.

Los proveedores pueden, deliberadamente, poner piezas que saben que

estan en buenas condiciones, falseando la calidad real de toda la carga.

La caracterıstica principal de una muestra es que debe contener elementos

que representan a la poblacion tan fielmente como se pueda.Por lo general,

esta tarea es mas difıcil de lo que parece. Generalmente debe dedicarse mu-

cho tiempo y atencion al proceso de seleccion, ya que una vez medidos los

elementos se supondra que la muestra es representa a la poblacion.

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2. doble ;

3. multiple.

Muestreo simple.

Este tipo de muestreo toma solamente una muestra de una poblacion dada

para el proposito de inferencia estadıstica. Puesto que solamente una muestra

es tomada, el tamano de muestra debe ser los suficientemente grande para

extraer una conclusion. Una muestra grande muchas veces cuesta demasiado

dinero y tiempo.

Muestreo doble.

Bajo este tipo de muestreo, cuando el resultado del estudio de la primera

muestra no es decisivo, una segunda muestra es extraıda de la misma poblacion.

Las dos muestras son combinadas para analizar los resultados. Este meto-

do permite a una persona trabajar con una muestra relativamente pequena

para ahorrar costos y tiempo. Si la primera muestra arroja una resultado

definitivo, la segunda muestra puede no necesitarse.

Ejemplo. 30. Al probar la calidad de un lote de productos manufacturados,

si la primera muestra arroja una calidad muy alta, el lote es aceptado; si

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cionados en una manera ordenada. La manera de la seleccion depende

del numero de elementos incluidos en la poblacion y el tamano de la

muestra. El numero de elementos en la poblacion es, primero, dividi-

do por el numero deseado en la muestra. El cociente indicara si cada

decimo, cada onceavo, o cada centesimo elemento en la poblacion va a

ser seleccionado. El primer elemento de la muestra es seleccionado al

azar. Por lo tanto, una muestra sistematica puede dar la misma pre-

cision de estimacion acerca de la poblacion, que una muestra aleatoria

simple cuando los elementos en la poblacion estan ordenados al azar.

Para utilizar esta tecnica se recomienda:

Los elementos de la poblacion debe acomodarse en una lınea o

secuencia aleatoria.

Si N es el tamano de la poblacion y n es el tamano de la muestra,

entonces Nn

es la separacion entre los elementos sucesivos de la

muestra. En este caso, en muchas situaciones reales, Nn

no produce

un numero entero, se redondea.

El punto de inicio para la seleccion de una muestra se determina de

manera aleatoria entre los primeros Nn

elementos de la poblacion.

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cillaCapıtulo 6

Estimacion

6.1. Introduccion.

El campo de la inferencia estadıstica esta formado por los metodos utiliza-

dos para tomar decisiones u obtener conclusiones sobre una poblacion. Dichos

metodos utilizan la informacion contenida en una muestra de la poblacion

para obtener conclusiones. En este capıtulo se iniciara el estudio de algunos

de estos metodos estadısticos utilizados para inferencia y toma de decisiones.

Se puede afirmar que la inferencia estadıstica puede dividirse en dos

grandes areas:

Estimacion de parametros.

111

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112 CAPITULO 6. ESTIMACION

Prueba de hipotesis.

6.2. Estimacion de parametros.

Como se menciono, uno de los objetivos principales de la estadıstica in-

ferencial es la estimacion de parametros , esto es que mediante el estudio

de una muestra de una poblacion se quiere generalizar las conclusiones al

total de la misma.

Los procedimientos de estimacion pueden ser divididos en dos tipos:

Estimacion puntual.

Estimacion por intervalos.

Definicion. 6.1. Un estimador puntual del parametro de una poblacion

es una regla que indica como calcular un numero con base en los datos

muestrales. Al numero resultante se le denomina estimacion puntual del

parametro.

Cuando se analizan conceptos generales y metodos de inferencia es conve-

niente tener un sımbolo generico para el parametro de interes. Se utilizara la

letra griega θ para este proposito.

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semejantes.

6.2.2. Estimacion de la media.

En el capıtulo anterior se describio la distribucion muestral de medias ,

donde la v.a.:

Z =X − μ

σ/√

n∼ N(0, )

Como es el caso en el que no conocemos el parametro y se desea estimar

el mismo utilizando la media de la muestra x de una muestra aleatoria de

tamano n de una poblacion con varianza conocida σ2, un intervalo de confi-

anza de (1− α)100 % para μ esta dado por:

x− z1−α/2

σ√n

< μ < x + z1−α/2

σ√n

(6.2)

Trabajando con la formula 6.2, se pueden presentar los siguientes casos:

a) El tamano de la muestra como el valor de Z son conocidas.

Entonces Z puede ser obtenida de la tabla de distribucion

normal a partir del nivel de confianza establecido.

b) El valor de σ no se conoce. En estos casos lo correcto es

utilizar otra distribucion llamada t de student si la poblacion

de donde provienen los datos es normal. Si x y s son la media

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126 CAPITULO 6. ESTIMACION

se determina que z0,90 = 1,645. Asi como n es grande, entonces segun la

expresion (6.7):

p = P ± Z

√P q

n= 0,03± 1,645 ∗

√0,03 ∗ 0,97

500

De donde:

0,0237 < p < 0,0376

Luego con un nivel de confianza del 90 %, estimamos que la proporcion de

familias que no realizan actividades artesanales en esa poblacion esta entre

0,0237 y 0,0376. ♦

6.2.5. Estimacion de la diferencia entre dos propor-

ciones.

Se basa en el siguiente teorema:

Teorema. 6.6. Intervalo de confianza para p1−p2, a partir de mues-

tras grandes.

Si p1 y p2 son las proporciones de exitos en muestras aleatorias de tamanos

n1 y n2, respectivamente, y ademas q1 = 1 − p1 y q2 = 1 − p2, entonces un

intervalo de confianza de (1 − α)100 % para la diferencia de dos

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cillaCapıtulo 7

Pruebas de hipotesis

7.1. Introduccion.

Si sospechamos por ejemplo que una moneda ha sido trucada para que

se produzcan mas caras que sellos al lanzarla al aire, podrıamos realizar 30

lanzamientos, tomando nota del numero de caras obtenidas. Si obtenemos un

valor demasiado alto, por ejemplo 25 o mas, considerarıamos que el resultado

es poco compatible con la hipotesis de que la moneda no esta trucada, y

concluirıamos que las observaciones contradicen dicha hipotesis.

La aplicacion de calculos probabilısticos permite determinar a partir de

que valor debemos rechazar la hipotesis garantizando que la probabilidad de

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134 CAPITULO 7. PRUEBAS DE HIPOTESIS

cometer un error es un valor conocido a priori.

Las hipotesis pueden clasificarse en dos grupos, segun:

1. Especifiquen un valor concreto o un intervalo para los parametros del

modelo.

2. Determinen el tipo de distribucion de probabilidad que ha generado los

datos.

Aunque la metodologıa para realizar el contraste de hipotesis es analoga

en ambos casos, distinguir ambos tipos de hipotesis es importante puesto que

muchos problemas de contraste de hipotesis respecto a un parametro son, en

realidad, problemas de estimacion, que tienen una respuesta complementaria

dando un intervalo de confianza (o conjunto de intervalos de confianza) para

dicho parametro. Sin embargo, las hipotesis respecto a la forma de la distribu-

cion se suelen utilizar para validar un modelo estadıstico para un fenomeno

aleatorio que se esta estudiando.

7.2. Enfoque actual de las pruebas de hipotesis.

En los temas anteriores se comento como puede estimarse un parametro

a partir de los datos contenidos en una muestra. Puede encontrarse ya sea

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138 CAPITULO 7. PRUEBAS DE HIPOTESIS

de valores crıticos. La costumbre es establecer conclusiones con respecto a

la hipotesis nula H0. Por tanto, se rechaza H0 en favor de H1 si el estadıstico

de prueba cae en la region crıtica, de lo contrario, no se rechaza H0. Este

procedimiento de decision puede conducir a una de dos conclusiones erroneas:

♦ El error tipo I se define como el rechazo de la hipotesis nula

H0 cuando esta es verdadera. Tambien es conocido como α

o nivel de significancia . Si tuvieramos un nivel de con-

fianza del 95 %, entonces el nivel de significancia serıa del

5 %. Analogamente si se tiene un nivel de confianza del 90%

entonces el nivel de significancia serıa del 10 %.En este caso

se acepta Ho cuando esta es falsa. Este tipo de conclusion

recibe el nombre de error tipo II .

♦ El error tipo II o error β se define como la aceptacion de

la hipotesis nula cuando esta es falsa.

Por lo tanto, al probar cualquier hipotesis estadıstica, se presentan cuatro

situaciones diferentes que determinan si la decision final es correcta o erronea.

Decision H0, es verdadera H0, es falsa

Aceptar H0 No hay error Error tipo II o β

Rechazar H0 Error tipo I o α No hay error

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Observacion. 7.

1. Los errores tipo I y tipo II estan relacionados. Una dismin-

ucion en la probabilidad de uno por lo general tiene como

resultado un aumento en la probabilidad del otro.

2. El tamano de la region crıtica, y por tanto la probabilidad de

cometer un error tipo I, siempre se puede reducir al ajustar

el o los valores crıticos.

3. Un aumento en el tamano muestral n reducira α y β de

forma simultanea.

4. Si la hipotesis nula es falsa, β es un maximo cuando el

valor real del parametro se aproxima al hipotetico. Entre

mas grande sea la distancia entre el valor real y el valor

hipotetico, entonces β sera menor.

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. Man

cillaBibliografıa

[1] Azorın, F. y Sanchez-Crespo, J. L., Metodos y aplicaciones del

muestreo, Alianza Editorial.1994.

[2] Avila Acosta Roberto, Estadıstica Elemental , Estudios y Ediciones

R.A. 2000.

[3] Arnaiz Vellando Gonzalo, Introduccion a la estadıstica teorica ,

Editorial Lex Nova 1980.

[4] Berenson, Levine, Estadıstica para Administracion y Economıa ,

Nueva Editorial Interamericana.Espana 2000.

[5] Canavos, George Probabilidad y Estadıstica,Mc Graw - Hill, Mexico

1986.

151

Estadís

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cilla

152 BIBLIOGRAFIA

[6] Chao, Lincoln L., Estadıstica para las Ciencias Administrativas,

McGraw - Hill 3ra Edicion,Mexico 1983.

[7] Devore Jay L., Probabilidad y Estadıstica, Internacional Thomson

4ta Edicion,Mexico 2005.

[8] Mood, A., Graybill, F. , Introduccion a la Teorıa Estadıstica ,

McGraw-Hill, Nueva York.

[9] Spiegel, Murray R., Probabilidad y Estadıstica , Mexico 2005.

[10] Scheaffer, R., Mendehall,W. y OTT, L. , Estadıstica para Adminis-

tracion , Grupo Editorial Iberoamericana. 2003.

[11] Walpole & Myers, Probabilidad y estadıstica , Prentice Hall 2001.

[12] Webster, Allen, Estadıstica Aplicada a los negocios y la

economıa, Iriwin - McGraw - Hill,E.E.U.U. 2004.

[13] Graficos estadısticos con R; Juan Carlos Correa y Nelfi Gonzales;

Postgrado en Estadıstica: Universidad Nacional-Sede Medellın.

[14] http://lib.stat.cmu.edu/R/CRAN/

c©emmf

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cillaApendice A

Glosario

Area bajo la curva (entre dos puntos). Si la curva viene dada por una

funcion de densidad teorica, representa la probabilidad de que la vari-

able aleatoria tome un valor dentro del intervalo determinado por esos

dos puntos.

Censo. Es una investigacion que cubre a todos los miembros o elementos

de una poblacion dada; un censo completo es a menudo innecesario,

antieconomico y una molestia para el publico y tambien que es menos

efectivo que una encuesta, para recoger ciertos tipos de informacion.

Periodicamente se levantan diferentes tipos de censos en todo el mundo,

entre los mas conocidos estan; el censo de poblacion y vivienda, cen-

153

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154 APENDICE A. GLOSARIO

sos agropecuarios, censos a las empresas mercantiles y manufactureras,

etc. Proporcionan datos muy importantes sobre poblacion. Vivienda,

empleos poblacion economicamente activa, uso de la tierra, tamano de

las fincas, ganaderıa, etc.

Contraste bilateral. Contraste de hipotesis en la que la hiopetesis alter-

nativa da opcion a igualdad o superioridad.

Contraste de Hipotesis. Es el proceso estadıstico que se sigue para la

toma de decisiones a partir de la informacion de la muestra. Comparan-

do el valor del estadıstico experimental con el valor teorico rechazamos

o no la hipotesis nula.

Contraste unilateral. Contraste de hipotesis en la que la hipotesis alter-

nativa de opcion a solo igualdad o a solo superioridad.

Cuasi-varianza. Caracterıstica de una muestra o poblacion que cuantifica

su dispersion o variabilidad. La cuasivarianza se obtiene multiplican-

do la varianza porn

n− 1. La cuasivarianza muestral es un estimador

centrado (no sesgado) de la varianza poblacional.

Desviacion estandar. Caracterıstica de una muestra o poblacion que cuan-

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Muestra. Porcion de la poblacion que se selecciona para fines de analisis,

siempre debe de ser representativa de la poblacion total.

Muestreo. Es el proceso de seleccionar una parte del todo.

Muestreo aleatorio simple. Es un metodo de seleccion de muestras en el

cual los elementos o unidades se eligen individual y directamente por

medio de un proceso aleatorio, en el que cada elemento no seleccionado

tiene la misma oportunidad de ser elegido al igual que todos los otros el-

ementos en cada extraccion de la muestra. De modo que cada elemento

en la poblacion debe tener igual probabilidad de ser seleccionado.

Muestreo sistematico. Se obtiene cuando los elementos se selecciona en

forma ordenada y depende del numero de elementos o unidades inclui-

dos en la poblacion y el tamano de la muestra. Requiere del uso de un

listado de todos los elementos de la poblacion. Puede ser modificado

ligeramente, evitando el problema de que el intervalo de muestre coin-

cida con un arreglo periodico en la poblacion considerada y facilitando

ası mismo la evaluacion del error de muestreo.

Muestreo estratificado. En este tipo de muestreo, la poblacion se divide

en cierto numero de subgrupos o estratos, cada uno de los cuales se

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muestrea independientemente. El proceso a traves del cual se divide la

poblacion en subgrupos o estratos, recibe el nombre de estratificacion.

El objeto de la estratificacion es llevar a cabo selecciones separadas en

cada uno de los subgrupos o estratos.

Muestreo por conglomerados. Es un procedimiento de seleccion en el

cual los elementos para la muestra se escogen de una poblacion agru-

pada en lugar de hacerlo de una poblacion aislada. Consiste en di-

vidir la poblacion en grupos que son convenientes para el muestreo. A

seguidas se selecciona una porcion de los grupos al azar o por el meto-

do sistematico. Finalmente, se toman todos los elementos al azar o por

el metodo sistematico de los grupos seleccionados para ası obtener la

muestra.

Muestreo no probabilıstico. Incluye todos los metodos en que los ele-

mentos de la muestra no se seleccionan mediante procedimientos al

azar o aleatorios, o con probabilidades de seleccion conocidas. Algunos

procedimientos de seleccion del muestreo no probabilıstico son:

Muestreo de juicio: Es un proceso a traves del cual los elementos

se escogen basandose en opiniones informadas que garantizan la

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representatividad de la poblacion que se estudia.

Muestreo por cuotas: Es un proceso de seleccion en el cual los

elementos son elegidos en el campo mismo, por los entrevistadores,

utilizando categorıas prefijadas de elementos de la muestra, para

obtener un numero predeterminado de casos en cada categorıa.

Muestreo decisional: En este los elementos de la muestra son se-

leccionados de una poblacion por los entrevistadores que usan su

propio criterio para decidir cuales son los informantes representa-

tivos.

Muestreo de agrupacion causal: Son muestras formadas por ejem-

plos que se han reunido ocasionalmente o de acceso facil, tales

como los estudiantes inscritos en una clase que van pasando por

una esquina. Dichas muestras no permiten generalizaciones que

vayan mas alla de las agrupaciones mismas y por lo general no

tienen interes cientıfico.

Nivel de confianza. Se define como uno menos el nivel de significancia. Se

suele expresar en tanto por ciento.

Nivel de significancia. La probabilidad de rechazar una hipotesis nula ver-

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dadera; es decir, la probabilidad de cometer un error de tipo I.

Parametro. Medida de resumen que se calcula con el proposito de describir

alguna caracterıstica de la poblacion.

Poblacion. Es cualquier grupo completo, ya sea de personas, animales o

cosas. Es la totalidad de elementos o cosas bajo consideracion. La

poblacion se refiere a un grupo finito de elementos.

Probabilidad. Asignacion de un numero entre cero y uno a cada resultado

experimental.

Teorema central del lımite. Resultado basico en la estadıstica que afirma

que la distribucion de las medias muestrales sera normal para un n

suficientemente grande con independencia de la distribucion de datos

de partida.

Universo. Conjunto de cosas que no tienen limite numerico.

Variable aleatoria. Variable cuyo resultado varıa segun la muestra segun

una distribucion de probabilidad.

Varianza. Caracterıstica de una muestra o poblacion que cuantifica su dis-

persion o variabilidad. La varianza tiene unidades al cuadrado de la

Estadís

tica I

I - Lic

. Man

cilla


variable. Su raız cuadrada positiva es la desviacion tıpica. La varianza

muestral es un estimador sesgado de la varianza poblacional.

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estad´istica ii -...

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