Unidad tres: anlisis de las derivadas y sus aplicaciones

Calculo diferencial

Cristian Javier Balln Marn1123533076

Tutor: Jean Pierre Amaris

Universidad nacional abierta y a distancia(UNAD)

CEAD: Acacias Meta

25 de noviembre del 2014

A. Halle, paso a paso, las coordenadas, (X, Y), del punto crtico de las siguientes ecuaciones. diga si ese punto es mximo o mnimo? Por qu? 1.

Hallamos la derivada de la funcin f(x)

Igualamos la derivada a cero para hallar el punto crtico

Despejando x obtenemos el punto crtico

Reemplazamos el valor de x en la funcin f(x) para hallar el valor de y

Coordenada del punto critico El cual el valor es mnimo porque es una ecuacin cuadrtica que abre hacia arriba. 2.

Hallamos la derivada de la funcin f(x)

Igualamos la derivada a cero para hallar el punto crtico

Despejando x obtenemos el punto crtico

Reemplazamos el valor de x en la funcin f(x) para hallar el valor de y

Coordenada del punto critico El cual el valor es mnimo porque es una ecuacin cuadrtica que abre hacia arriba.

B. Usando la regla de LHopital, paso a paso, halle el limite 3, 4 y 5:

3.

5. Hallar el trmino general de las siguientes progresiones, manifieste si son aritmticas o geomtricas:

Halle el paso a paso la tercera derivada de:6.

7. f(x)=

Halle, el paso a paso, la deriva implcita, con respecto a x, de:8.

9. Se bombea aire hacia el interior de un globo esfrico de modo que su volumen aumenta a razn de . Con qu rapidez crece el globo cuando su radio es de 25cm?Recordar que el volumen es igual a

Formula geomtrica=

10. una fabrica tanques de almacenamiento de agua desea construir uno de formacilndrica con tapa, que tenga una capacidad de 1 metrocbico (1000 litros). Cules deben ser las dimensiones del tanque para quela cantidad de material empleado en su construccin sea mnima?Minimizar el rea de la superficie del cilindro. La que est dada por:

Al desplegar el cuerpo del cilindro obtendremos unasuperficie rectangular en la cual uno de sus la doses el permetro de la circunferenciay el otro es la altura.

Por otro lado, el rea de la tapa est dada por:

Reemplazando (2) y (3) en (1), tenemos:

Como la capacidad debe ser de 1 m 3, entonces

Reemplazando (6) en (4)

Derivando e igualmente a cero

Tenemos que r = 0.542 metros es un punto crtico Verifiquemos que este sea un mnimo, utilizando puntos antes y despus del punto crtico para determinar el signo de la derivada.

Antes del punto crtico la funcin es decreciente (arroja valores negativos)

Despus del punto crtico la funcin es creciente (arroja valores positivos). Efectivamente, r = 5.42 metros es un punto crtico correspondiente a un mnimo en la funcin de rea. El valor de h que le corresponde segn (6) es:

el tanque debe hacerse con tapas de 0.542 m de radio y una altura del cuerpo de 3.405m