AULA: 601 HORARIO: 9 A 10 HORAS

PROFR. TELLES CASTREJON JOSE GUADALUPE

UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA Y METODOS DE INTEGRACION

3

INDICE

Unidad 2 Integral indefinida y métodos de integración.

2.1 Definición de integral indefinida. 3

2.2 Propiedades de integrales indefinidas. 4

2.3 Calculo de integrales indefinidas. 5

2.3.1 integrales indefinidas Directas. 6

2.3.2 integrales indefinidas Con cambio de variable. 9

2.3.3 integrales indefinidas Trigonométricas. 11

2.3.4 integrales indefinidas Por partes. 13

2.3.5 integrales indefinidas Por sustitución trigonométrica. 15

2.3.6 integrales indefinidas Por fracciones parciales. 17

MATERIA: CALCULO INTEGRAL UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA Y MÉTODOS DE INTEGRACION

3

2.1 DEFINICIÓN DE INTEGRAL INDEFINIDA.

una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al área limitada

entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b.

La integral definida se representa por

∫a

b

f ( x )dx .

∫ es el signo de integración.

a límite inferior de la integración.

b límite superior de la integración.

f (x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

2.2 PROPIEDADES DE INTEGRALES INDEFINIDAS.

MATERIA: CALCULO INTEGRAL UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA Y MÉTODOS DE INTEGRACION

3

1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de

integración.

∫a

b

f ( x )dx=−∫a

b

f ( x )dx

2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.

∫a

a

f ( x )dx=0

3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la i ntegral definida se descompone

como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

∫a

b

f ( x )dx=∫a

c

f ( x )dx+∫c

b

f (x )dx

4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·

∫a

b

[ f ( x )+g (x)] dx=∫a

b

f ( x )dx+∫a

b

g (x )dx

. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante

por la integral de la función.

∫a

b

k·f (x )dx=k·∫a

b

f (x )dx

2.3 CALCULO DE INTEGRALES INDEFINIDAS.

MATERIA: CALCULO INTEGRAL UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA Y MÉTODOS DE INTEGRACION

3

Ejemplo 1

∫ (3x2+2 x−1 )dx=3∫ x2dx+2∫ xdx−∫dx

3x3

3+2 x

2

2− x+c=x3+x2−x+c

Ejemplo 2

∫ √x ( x2−2 )dx=∫ x52dx−∫ x

12 dx

¿x72

72

−2x

32

32

+2 x

72

7=4 x

32

3+c

Ejemplo3

∫¿¿

¿16∫ x2dx−4∫ xdx+∫1dx

16 x2

3−4 x

2

2+ x=16 x

3

3−2 x2+x+c

2.3.1 INTEGRALES INDEFINIDAS DIRECTAS.

La integración indefinida es el proceso de cálculo de la diferenciación inversa.

MATERIA: CALCULO INTEGRAL UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA Y MÉTODOS DE INTEGRACION

3

Estudiada bajo el cálculo en matemáticas, es vastamente utilizado para encontrar el área de las curvas que no pueden ser calculadas directamente y también en el despeje de algunas ecuaciones importantes de física, electrónica etc. que son altamente utilizadas en el día a día de la vida.

Debido a la ausencia tanto del límite superior como del límite inferior, la integración indefinida no proporciona una respuesta exacta para cualquier problema, pero produce una ecuación que representa la solución del problema.

Existen numerosos métodos disponibles para resolver las integrales indefinidas.

El más simple entre todos estos métodos es el método directo, en el cual se sustituye directamente la fórmula para obtener la respuesta deseada. Existe una cantidad de fórmulas de integración con este propósito.

Estas fórmulas son comunes tanto para la integración indefinida como para la integración definida.

Existen principalmente cuatro categorías, a saber, funciones exponenciales, funciones trigonométricas, funciones logarítmicas y funciones polinómicas. Algunas de las fórmulas más importantes en cada una de estas categorías se enumeran a continuación.

Una integral indefinida se define sólo hasta una constante aditiva. Esta constante es la constante de integración que se añade al final de la integración.

Esta constante representa los términos constantes que se convierten en cero cuando esta función es diferenciada.

Puesto que la integración es la técnica inversa de la diferenciación, esta constante se adjunta.

Esta es una constante arbitraria y su valor se puede obtener con algunos pre-requisitos dados para satisfacer la función dada.

Funciones Poli nómicas

1.- ∫ xndx= xn+1n+1

+c

MATERIA: CALCULO INTEGRAL UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA Y MÉTODOS DE INTEGRACION

3

2.- ∫ cdx=cx+c

3.-∫ 1

x2dx=1

x+c

4.-√ xdx=−2 x √x3

+c

5.-∫ 1

1+x2dx=arctanx+c

6.-∫ 1

1−x2dx=arcsinx+c

7.- ∫ ax+bndx=ax+bn+1

a(n+1)+c

8.-∫ 1ax+b

dx=1aln|ax+b|+c

9.-∫ axa+bndx=a (n+1 ) x−b

a2(n+1)(n+2)+c

Funciones directas exponenciales como por ejemplo:

1.-∫ x ecx dx= ecx

c2(cx−1 )+c

2.-∫ x ecx dx=ecx( x2

c¿−x2

c+ 2 x

c+c )¿

MATERIA: CALCULO INTEGRAL UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA Y MÉTODOS DE INTEGRACION

3

Funciones trigonométricas por ejemplo:

1.- ∫sin ( x )dx=−cos ( x )+c

2.-∫cos ( x )dx=sin ( x )+c

3.-sec2 ( x )dx=tan (x )+c

4.-∫ sec ( x ) tan (x )dx=sex ( x )+c

5.-∫ cosec2 ( x )dx=−cot ( x )+c

6.-cosec ( x ) cot ( x )dx=−cosec ( x )+c

7.-∫ tan ( x )dx=ln ∨sec (x)∨+c

8.-∫cot (x )dx=ln ∨sin (x )∨+c

9.-∫ sec ( x )dx= ln ∨sec ( x )+ tan (x)∨+c

10.-∫ cosec (x )dx=ln ∨cosec (x )−cot (x )∨+c

Funciones logarítmica como por ejemplo:

1.-∫ lncxdx=xlncx−x+c

2.-∫ ln (ax+b )dx=xln (ax+b )−xbaln (ax+b )+c

3.-∫¿¿

4.-∫¿¿

MATERIA: CALCULO INTEGRAL UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA Y MÉTODOS DE INTEGRACION

3

2.3.2 INTEGRALES INDEFINIDAS CON CAMBIO DE VARIABLE.

El método de cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta

∫ f ´ (u )∗dx=F (u )+c

Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va integrar con una nueva variable t de modo que se tenga una integral mas sencilla

∫ f ´ ( x )∗u´ dx

1° paso se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:

t=u

dt=u ´ dx

Se despeja u y dx sustituyendo en la integral

∫ f ´ ( t )∗u ´ dtu

´=∫ f ´ (t )dt

2° paso si la integral resulta mas sencilla integramos

∫ f ´ ( t )dt= f (t )+c

3° se vuelve a la variable inicial

∫ f ( t )+c=f (u )+c

MATERIA: CALCULO INTEGRAL UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA Y MÉTODOS DE INTEGRACION

3

Ejemplo

∫ x23√1+2x

dx

1+2 x=t3 x= t2−12

2dx=3 t 2dt dx 3 t3dt2

∫¿¿¿

¿ 38 ( t 88−2t

5

5+ t 2

2 )+ct=3√1+2x

364

¿

Ejemplo

∫ cos4+( senxdx )

u=cos x

du=−senxd x

−∫u4 du=−u5

5+co ´ 1

2¿¿

MATERIA: CALCULO INTEGRAL UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA Y MÉTODOS DE INTEGRACION

3

2.3.3 INTEGRALES INDEFINIDAS TRIGONOMÉTRICAS.

Tipo ∫ si nm xcosn sienbdom y n y tipo∫r (sinx , cosx )dx (cociente )

Se hace el cambio de variable t=sinx , t=cosx , t=tgx ot=tg( x2 ) seguncovengaEjemplo

calcular∫ sinx

cos3 xdx

Dado que la derivada de cosx es –sinx, efectuamos el siguiente cambio de variable: t=cosx ,dt=−sinsdx ,obteniendouna integral inmediata

c alcular∫ sinxcos3 x

dx=∫ dtr 3

=∫ r−2

2+c (1 )= 1

2co s2+c

Para efectuar la integral mediante otro cambio de variable nos fijamos que podemos recubrir la frecuencia de funciones de la siguiente forma

Para efectuar la integral mediante otro cambio de variable, nos fijamos que podemos recribir la fracción de funciones trigonométricas de la siguiente forma

∫ sinx

cos3 xdx=∫ tgx

cos2 xdx=¿¿

Que deja entrever el interés de realizar este otro cambio de variable t=tgx y

dt= 1

cos2dx

Con estas se convierte en inmediata

∫ tdt=t 2

2+c= r g2 x

2+c

Los resultados obtenidos en 1 y en 2 no son formalmente iguales aunque equivalen realmente como veremos a continuación dividiendo la ecuación fundamental de la trigonometría por co s2x obtenemos

t g2 x+1= 1

cos2 x

MATERIA: CALCULO INTEGRAL UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA Y MÉTODOS DE INTEGRACION

3

Substituyendo

t g2 x+1= 1

cos2 x

En el resultado obtenido en (2) el resultado en (1) menos 1(/2 basta pues para comprender lo que sucede , redefine la constante arbritraria de la integracion en 1 como la en 2 ½ es decir c2 =c2-1/2

Ejemplo

∫ dxsenxcosx

=∫ se n2 x+co s2 xsenxcosx

dx= senxcosx

dx+∫ cosxsenx

dx

¿−ln (cox )+ ln ( senx )+c=ln( senxcosx )+c=ln ¿ tgx ¿+c

Ejemplo

∫ sen24 xdx

∫ sen24 xdx=∫ 1−cos8 x2dx=1

2x− 116

sen8 x+c

Ejemplo

∫cot g2 xdx

∫ cotg2 xdx=∫ [ (1+cotg2 )−1 ]dx=−cotgx−x+c

MATERIA: CALCULO INTEGRAL UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA Y MÉTODOS DE INTEGRACION

3

2.3.4 INTEGRALES INDEFINIDAS POR PARTES.

Este método se basa en la formula

∫ f ( x )g ´ ( x )dx=f ( x )g ( x )−∫ f ´ (x ) g (X )dx

Cuya deducción es trivial a partir de la regla de derivación de un producto

Calcular∫ e2 xsinxdx

Aplicamos integración por partes, con

f ( x )=sinx

g ´ ( x )=e2x

Así

f ´ ( x )=cosx . g ( x )=12e2 xe I=∫ e2 x sinxdx=1

2e2x sinx−1

2∫e2x cosxdx

Aplicamos de nuevo la integracion por partes tomando

g ´ x=e2x f ( x )=cosx

tenemos

g ( x )=12ex f ´ ( x )=sinx -

12∫ e2x cosxdx

I=∫ e2 xsinxdx=¿ 12∫e2x sinx−¿ 1

2∫ e2x cosxdx¿¿

¿ 12e2xsin−1

2¿

12e2xsin−1

4e2x cosx+ 1

4I

I=12e2x sin−1

4e2x cosx−1

4I→

52I=12e2x sinx−1

4e2 xcos x

MATERIA: CALCULO INTEGRAL UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA Y MÉTODOS DE INTEGRACION

3

I=15ex (2 sinx−cosx)

Ejemplo

u=x

du=dx

dv=¿

v=2√x+1

x

√x+1dx=∫ x¿¿

2 x√ x+1−2∫ √x+1dx=2 x√ x+2−2∫ ¿¿¿

Ejemplo

∫ x2 cosxdx

u=x2

du=2 xd x

dv=cosxd x

v=sen x

u=x

du=dx

dv=senxdxv=cosx

¿ x2 senx−2∫ xsenxdx=¿x2 senx−2 [−xcox+∫ cosxdx ]¿

¿ x2 senx+2 xcpsx−2 senx+c

2.3.5 INTEGRALES INDEFINIDAS POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA.

Este método, el cual es un caso especial de cambio de variable, nos permitirá integrar ciertotipo de funciones algebraicas cuyas integrales indefinidas son funciones trigonométricas,

MATERIA: CALCULO INTEGRAL UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA Y MÉTODOS DE INTEGRACION

3

como por ejemplo nuestra conocida fórmula:

∫ 1

√1−x2dx=arcsen+c

la cual "resolveremos" con el fin de motivar el uso del método.Observe que si tomamos el cambio de variable

x=senθdonde−π2pues<x<1

y en consecuenciadx=cosθdθ

√1−x2=√1−sen2θ=√1−cos2θ=|cosθ|=cosθ

Sustituyendo x en términos de , delta obtenemos una integral en la variable delta , la cualresolvemos fácilmente y del cambio de variable la expresamos en términos de x

∫ 1

√1−x2dx=∫ 1

cosθcosθdθ=∫dθ=θ+c=arcsenx+c

Como podemos apreciar, al abordar este tipo de integrales siempre tendremos que resolveruna integral trigonométrica, como las que se resolvieron en la sección anterior

Si en el integrando aparece un radical de la forma √a2−x 2 tomamos el cambio deVariable

x=asenθ , cona>0

Como se apreció anteriormente, la variación de x en el intervalo (-a, a) se corresponde conla variación de delta (-π/2 , π/2)

En este primer caso la expresión del radical en términos de deltaserá:

√a2−x2=√a2−a2 sen2θ=√a2¿¿

Ejemplo

∫ dx

x √9−x2

MATERIA: CALCULO INTEGRAL UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA Y MÉTODOS DE INTEGRACION

3

Solución. Tomemos el cambio de variable trigonométrico:

x=3 senθ por lo cual dx=3cosθdθ y √9−x2=3 cosθ

sustituyendo en la integral original, en términos de la nueva variable θ, e integrando,obtenemos:

∫ dx

x √9−x2=∫ ecosθ

(3 senθ)(3cos❑)dθ=∫ 1

senθdθ13cscθdθ=1

2ln|cscθ−cotθ|+c

A partir del cual podemos encontrar cualquier función de θ

En este caso particular cscθ=3/x y cotθ √9−x2

3

Así pues la integral resulta en términos de la variable θ la expresamos en términos de la variable original x

∫ dx

x √9−x2=13ln|cscθ−cotθ|+c=1

3ln|3x−√9−x2

x |+c∫ dx

x √9−x2=¿ 13ln|3x−√9−x2

x |+c¿

2.3.6 INTEGRALES INDEFINIDAS POR FRACCIONES PARCIALES.

Este metodo nos permitira integrar ciertas clases de fracciones racionales(cocientes de polinomios)

MATERIA: CALCULO INTEGRAL UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA Y MÉTODOS DE INTEGRACION

3

A manera de ilustracion consideremos la sigueinet integral

∫ x2+x+3x−2

dx

Ovserva que dicifilmente podemos abordarla con alguno de los metodos que disponemos, prosede os a efectuar la division de los polinomios

Posteriormente aplicamos el algoritmo de la división y obtenemos:

x2+ x+3=( x−2 ) ( x+3 )+9

Para obtener en el lado izquierdo de la igualdad la función que queremos integrar,dividimos en ambos lados entre ( x - 2 ):

x2+x+3x−2

=( x+3 )+ 9x−2

descomponiendo de esta manera nuestra fracción "complicada" en una suma de fracciones"sencillas" a las que llamaremos fracciones parciales, las cuales son fáciles de integrar.

∫ x2+x+3x−2

dx=∫ ( x+3 )dx+∫ 9x−2

dx= x2

2+x+9 lnx−2+c

En general si queremos integrar un cociente de polinomiosp (x)q(x )

en el que el grado p(x ) es mayor

o igual al grado q(x), procedemos como una caso de algoritmo de división

MATERIA: CALCULO INTEGRAL UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA Y MÉTODOS DE INTEGRACION

x-2 X2+3

X+3

- X 2 +2x

-3X+3

3X+3

9

Q(x)

q(x)

p(x) r(x)

3

Donde r(x( o grado r(x) <grad Q(x)

P(x)=Q(x)q(x)+r(x)

Dividiendo entre Q(x) obtenemos

p (x)Q(x)

=q (x )+ r (x)Q(x)

en donde la integral buscada

∫ p(x )Q(x )

¿

dx=∫q (x )+∫ r ( x)Q(x)

dx congrr ( x )grQ (x)¿se reduce a calcular la integral de un

polinomio q(x) y la integral de una función racional enla cual el numerados tiene grado menos que el denominador.A continuación describiremos varios casos de descomposición de fracciones racionales (enlas cuales el polinomio del numerador tiene grado menor que el denominador) como unasuma de fracciones parciales las cuales son fáciles de integrar.

Q(x) tiene todas sus raíces reales y distintas

Cuando la factorización del polinomio Q(x) es en factores lineales y distintos, es decir:Q(x) = (x - a1) (x - a2) (x - a3)... (x - an),hacemos la siguiente descomposición:

p (x)Q(x)

=A2

x−a2+

A3x−a3

+A4

x−a4+…+

An

x−an

donde A1, A2, A3,... An son constantes reales.Nótese que una vez efectuada la descomposición, la integración es inmediata pues:

∫ Ak

x−ak

dx=ln|x−ak|+c

Y por lo tanto

p (x)Q(x)

=A2

x−a2+

A3x−a3

+A4

x−a4+…+

An

x−an

p (x)Q(x)

dx=ln|x−a1|+ln|x−a2|+ln|x−a3|+…+ ln|x−an|+c

MATERIA: CALCULO INTEGRAL UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA Y MÉTODOS DE INTEGRACION

3

Ejemplo 

∫ dx

x2−16

Solucion en este ejemploQ(x)=x2-16=(x-4)(x+4)

Las descomposiciones en fracciones parciales

1

x2−16= Ax−A

+ Bx−4

MATERIA: CALCULO INTEGRAL UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA Y MÉTODOS DE INTEGRACION

3

En la bastara determinar las dos constantes Ay B para poder encontrar integrales prosedemos a la determinacion de las constantes, efectuando la suma de lado derecho

1

x2−16=A (x−a )+B(x+4 )

( x+4 ) ( x−a )=

Ax−4 A+Bx+4 B(x+4 )(x−4 )

=x ( A+B )+(4 a−4 A)

(x+4)(x−4)

Observamos que la primera y la última fracción son iguales y tienen el mismodenominador, por lo que sus numeradores forzosamente son iguales, es decir:1 = x(A+B) + (4B-4A)

o bien

0x +1 = x(A+B) + (4B-4A) de donde obtenemos el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas:

A+B = 04B -4A = 1

que resolviéndolo nos queda

4A+4B = 04B -4A = 18B = 1

Por lo que B = 1/8, y sustituyendo en la primera ecuación, A = -B = -1/8.Una vez determinadas nuestras constantes A y B, las sustituimos en la descomposición

1

x2−16=

Ax+4

+B

x−4+

18

x+4−

18

x−4

Quedando finalmente la integracion

∫ dx

x2=∫

18

x+4dx−∫

18

x−4dx=ln|x+4|−1

8ln|x−4|+c

O bien utilizando las propiedades de los logaritmos

∫ dx

x2−16=18ln| x+4x−4|+c

MATERIA: CALCULO INTEGRAL UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA Y MÉTODOS DE INTEGRACION

3

Observación: Esta integral es un caso particular de la fórmula presentada sin demostraciónen el método de cambio de variable

∫ du

a2−u2= 12aln|a−u

a+u |+uLa cual puede ahora probarse con el método de fracciones como ejercicio

MATERIA: CALCULO INTEGRAL UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA Y MÉTODOS DE INTEGRACION