INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE COATZACOALCOS

Alumno:

Osvaldo López Ocampo

Profesor (a):

Ing. Landy Blanquet Escobar

Asignatura:

Cálculo diferencial

Semestre y gpo:

1° “C”

Carrera:

Ing. Informática

Campus:

Expo feria

Coatzacoalcos, Ver; a 20 de Diciembre del 2010

Indicé

Introducción___________________________________________________________________ 3

1.-Aplicaciónes de la derivada_____________________________________________________ 4

1.1.-Recta tangente y recta normal a una curva en un punto_____________________________ 8

1.1.1.-Curvas ortogonales________________________________________________________ 11

1.2.-Teorema de Rolle___________________________________________________________ 13

1.2.1.-Teorema de LaGrange_____________________________________________________ 14

1.3.- Función creciente y decreciente_______________________________________________ 15

1.3.1.-Maximos y mínimos de una función___________________________________________ 18

1.3.2.-Criterio de la primera derivada para máximos y mínimos___________________________ 19

1.3.3.-Concavidades y puntos de inflexión___________________________________________ 20

1.3.4.-Criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos__________________________ 24

1.4.-Analisis de la variación de funciones____________________________________________ 25

1.5.-Calculo de aproximaciones usando la diferencial__________________________________ 26

1.6.-Problemas de optimización y de tasas relacionadas________________________________ 28

Conclusión____________________________________________________________________ 31

Bibliografía ___________________________________________________________________ 32

Introducción

En cálculo, la derivada representa cómo una función cambia a medida que su entrada cambia. En términos poco rigurosos, una derivada puede ser vista como cuánto está cambiando el valor de una función en un punto dado (o sea su velocidad de variación).

La derivada de una función es un valor de entrada dado que describe la mejor aproximación lineal de una función cerca del valor de entrada. Para funciones de valores reales de una sola variable, la derivada en un punto representa el valor de la pendiente de la recta tangente en la gráfica de la función en dicho punto. En dimensiones más elevadas, la derivada de una función en un punto es la transformación lineal que más se aproxima a la función en valores cercanos de ese punto. Algo estrechamente relacionado es el diferencial de una función.

El proceso de encontrar una derivada es llamado diferenciación. El teorema fundamental del cálculo dice que la diferenciación es el proceso inverso de la integración en funciones continuas.

Historia de la derivada

Los problemas típicos que dieron origen al cálculo infinitesimal, comenzaron a plantearse en la época clásica de la antigua Grecia (siglo III a.c), pero no se encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta veinte siglos después (en el siglo XVII por obra de Isaac Newton y Gottfried Leibniz).

En lo que atañe a las derivadas existen dos conceptos de tipo geométrico que le dieron origen:

El problema de la tangente a una curva (Apolonio de Perge) El problema de los extremos: máximos y mínimos (Pierre de Fermat)

En su conjunto dieron origen a lo que modernamente se conoce como cálculo diferencial.

Newton y Leibniz

A finales del siglo XVII sintetizaron en dos conceptos, métodos usados por sus predecesores los que hoy llamamos "derivadas" e "integrales". Desarrollaron reglas para manipular las derivadas (reglas de derivación) y mostraron que ambos conceptos eran inversos (teorema fundamental del cálculo).

Newton desarrolló en Cambridge su propio método para el cálculo de tangentes. En 1665 encontró un algoritmo para derivar funciones algebraicas que coincidía con el descubierto por Fermat. A finales de 1665 se dedicó a reestructurar las bases de su cálculo, intentando desligarse de los infinitesimales, e introdujo el concepto de fluxión, que para él era la velocidad con la que una variable "fluye"(varía) con el tiempo.

Leibniz, por su parte, descubrió y comenzó a desarrollar el cálculo diferencial en 1675. Fue el primero en publicar los mismos resultados que Newton descubriera 10 años antes. En su investigación conservó un carácter geométrico y trató a la derivada como un cociente incremental y no como una velocidad. Fue quizás el mayor inventor de símbolos matemáticos. A él se deben los

nombres de: cálculo diferencial y cálculo integral, así como los símbolos y el símbolo de la

integral .

1.-Aplicaciónes de la derivada

El estudio de las operaciones con derivadas, junto con las integrales, constituye el cálculo infinitesimal. Los introductores fueron Newton y Leibnitz, de forma independiente. Los conceptos son difíciles y hasta bien entrado el siglo XIX no se simplificaron. A ello contribuyó la aparición de una buena notación, que es la que usaremos. Las aplicaciones prácticas de esta teoría no dejan de aparecer.

1. Tasa de variación media

Incremento de una funciónSea y = f(x) y a un punto del dominio de f. Suponemos que a aumenta en h, pasando  al valor a +h, entonces f pasa a valer f(a +h), al valor h se le lama incremento de la variable, y a la diferencia entre f(a +h) y f(a) el incremento de la función.

Tasa de variación media

Llamamos tasa de variación media (o tasa media de cambio)  T.V.M., de la función y =f(x) en el intervalo

 [a, b] al cociente entre los incrementos de la función y de la variable, es decir:

T.V.M. [a, b] =

 

Ejemplo 1. Halla la tasa de variación media de la función f(x) =3-x2 en el intervalo [0,2]

Solución

T.V.M. [0, 2] =

2. Tasa de variación instantánea. La derivada

Consideremos un valor h (que puede ser positivo o negativo).

La tasa de variación media en el intervalo [a, a +h] sería . 

Nos interesa medir la tasa instantánea, es decir el cambio cuando la h tiende a cero, es decir:

A este valor se le llama la derivada de la función f en el punto a y se designa

por , por lo tanto, la derivada de una función en un punto es el límite de la tasa de variación media cuando el incremento de la variable tiende a 0.

=

Si f tiene derivada en el punto a se dice que f es derivable en a.

Observación 1. Si hacemos x =a +h, la derivada, en el punto a, también puede expresarse así:

Observación 2. También se puede hablar de derivadas laterales, f ’+ y f -’ (obligatorio que f sea continua) según se considere el límite para  h>0 o h<0. Si existen los dos límites laterales y coinciden la función es derivable.

Ejemplo 2. Las derivadas laterales de la función  en x =0 son 1 y –1.

      

Luego la función valor absoluto no es derivable en el 0.

Proposición. Toda función derivable en un punto es continua en dicho punto. El recíproco es falso.

Ejemplo 2.  Es continua en 0, pero no es derivable en 0.

Aplicación física de la derivada

Consideremos la función espacio E= E (t).

La tasa de variación media de la función espacio en  el intervalo  [t0, t]  es: vM(t)= , que es lo que en Física llaman la  velocidad media en ese intervalo de tiempo, si calculamos el límite cuando t tiende a t0, obtenemos la tasa instantánea, entonces:

La derivada del espacio respecto del tiempo es la velocidad instantánea.

Ejercicio 3. La ecuación de un movimiento es , , calcula la velocidad en el instante t =5.

Soluciónv(t)=E’(t)= 2t -6     en el instante t =5 se tendrá : v(5)= 2.5 -6 =4

Función derivada.  La función que a cada que a cada x le hace corresponder f´(x) se llama la función derivada de f y se denota por f´.

Tabla de derivadas de algunas funciones elementales1) f(x)  =k Þ f´(x) =0

2) f(x) =  xn Þ f´(x) = nxn-1

3) f(x) =  Þ f´(x) =

4) f(x) = ln x Þ f´(x) =

5) f(x) = ex Þ = ex

6) f(x) = sen x Þ f´(x) = cos x

7) f(x) = cos x Þ f´(x) = -sen x

Reglas de derivación

Si f y g son funciones derivables en a entonces f +g y f.g son derivables en a y se verifica:

-(f +g)´= f´(a) + g´(a)

-(f.g)´(a) = f´(a).g(a) + g´(a).f(a)

Además si g(a) 0, entonces f/g es derivable en a y se verifica

-

Ejercicio 6. Calcula la derivada de:

a) f(x) = ex(x2- 3x + 2); b)

c) h(x) = tan  x;  d)

 

Ejercicio 7. Estudia en qué puntos no son derivables las siguientes funciones, razonando la respuesta:

a) f(x)=            Observación: la gráfica de esta función es:       

b) y =

c) g(x)=

 

Las gráficas de estas funciones están al final, para la comprobación.

Observación. Si f ´ se puede derivar en su dominio se puede llegar a la función (f ´)´= f ´´ , que se llama derivada segunda, y  f ´´´, f ´ v  que se dice son las derivadas sucesivas de f.

 

Regla de la cadena

Si g es derivable en a y f es derivable en g(a) entonces f°g es derivable en a y se verifica:

(f°g)´(a) = f´ (g(a)).g´(a). Que se llama la regla de la cadena (derivada de la función compuesta o derivada de la función de función)

Derivación logarítmica

Como aplicación de la regla de la cadena se tiene, si Þ y’ , y de aquí se llega al método de la derivación logarítmica.

 

Método:

Sea

1º Tomamos logaritmos neperianos en ambos miembros de la igualdad

Ln y =ln =g(x) ln f(x) (por las propiedades de los logaritmos)

2º Se deriva     

 

3º Se despeja y’

[ ] [ ]

 

Que puede escribirse:

 

Observación. La fórmula por ser muy “compleja” no suele aplicarse  es preferible aplicar el método en cada ejercicio.

 

Ejemplo 4. Consideremos la función y = x x, si tomamos logaritmos en ambos lados se sigue:

, y  derivando los dos miembros de la igualdad

       Þ y’=xx(ln x +1)

Derivada de la función inversa

Es otra aplicación de la regla de la cadena.

Como f°f -1= I, se tiene (f°f –1)’(x)= f ’(f –1(x))(f –1)’(x)=1, luego despejando

(f –1)’(x)= 1/f ’(f –1)’(x),

Ejemplo 5. Consideremos la función y =arc tg x  Þ x = tg y,  y derivando x’ = 1 +tg2y, de donde:

1.1.-Recta tangente y recta normal a una curva en un punto.

Recta tangente

Una recta tangente a una curva en un punto, es una recta que al pasar por dicho punto y que en dicho punto tiene la misma pendiente de la curva. La recta tangente es un caso particular de

espacio tangente a una variedad diferenciable de dimensión 1, .

Sea una curva, y un punto regular de esta, es decir un punto no anguloso donde la curva es diferenciable, y por tanto en la curva no cambia repentinamente de dirección. La tangente a en

es la recta que pasa por y que tiene la misma dirección que alrededor de .

La tangente es la posición límite de la recta secante ( ) (el segmento se llama cuerda de la curva), cuando es un punto de que se aproxima indefinidamente al punto ( se desplaza sucesivamente por

Si representa una función f (no es el caso en el gráfico precedente), entonces la recta tendrá como coeficiente director (o pendiente):

Donde son las coordenadas del punto y las del punto . Por lo tanto, la pendiente de la tangente TA será:

Es, por definición, f '(a), la derivada de f en a.

La ecuación de la tangente es :

La recta ortogonal a la tangente que pasa por el punto se denomina recta normal y su

pendiente, en un sistema de coordenadas ortonormales, es dada por . Siendo su ecuación:

Suponiendo claro está que . Si entonces la recta normal es simplemente . Esta recta no interviene en el estudio general de las funciones pero sí en problemas geométricos relacionados con las cónicas, como por ejemplo para determinar el punto focal de una parábola.

Recta normal

Definición

Se dice que la recta normal a una curva en el punto , es la línea que pasa por P y es perpendicular a la recta tangente en ese punto. Además, recuerde que dos líneas no verticales son perpendiculares entre sí, sí y solo si sus pendientes tienen valores recíprocos negativos.

Si es la pendiente de la recta tangente y la de la recta normal, entonces:

Ejemplo:

Determinar la ecuación de la recta normal a la curva con ecuación , en el punto

Solución:

Como , averiguamos primero la pendiente de la recta tangente. Así:

Como , entonces

La ecuación de la recta normal es: . Sustituyendo en la ecuación anterior se

obtiene . Por tanto, la ecuación de la recta normal es .

La representación gráfica de la curva y la recta normal es la siguiente:

 

La ecuación de la recta tangente es

1.1.1.-Curvas ortogonales

Trayectorias ortogonales

Las soluciones de una ecuación diferencial forman un haz de curvas. A menudo nos interesa hallar la familia de curvas que las cortan perpendicularmente, que llamaremos trayectorias ortogonales.

Para ello partimos de la ecuación diferencial:

Nos da una relación entre las coordenadas de un punto y la tangente en dicho punto de la

curva solución. Supongamos que es posible despejar . En tal caso:

Y por tanto la ecuación diferencial del haz de trayectorias ortogonales es:

En el caso de partir de la solución general, se debe derivar respecto de y

eliminar entre ambas ecuaciones.

Ejemplo:

Derivamos:

Operamos:

Luego la trayectoria ortogonal es:

Si dibujamos en azul las curvas originales y en rojo las ortogonales, veremos que son respectivamente curvas parabólicas de orden 3 y elipses.

Hay que recordar que si no es posible despejar siempre podemos cambiar por

e intentar despejar

1.2.-Teorema de Rolle

Michael Rolle (1652-1719)

Si una función es continua en un intervalo cerrado [a,b], derivable en el intervalo abierto (a,b) y f(a)=f(b), entonces existe al menos un punto c entre a y b para el cual f'(c)=0.

f es continua en [a,b] f es derivable en (a,b) f(a)=f(b)

Existe c perteneciente a (a,b) / f'(c)=0

Interpretado geométricamente, significa que si una curva alcanza el mismo valor en dos puntos, entonces debe poseer una tangente horizontal en algún punto intermedio.

Demostración:

f es continua en [a,b] => por teo. de Weierstrass f tiene máximo absoluto M y mínimo absoluto m en [a,b].

Para todo x perteneciente a [a,b] m <= f(x) <= M.

Existe x1 perteneciente a [a,b] / f(x1)=M.

Existe x2 perteneciente a [a,b] / f(x2)=m.

Si m = M => para todo x perteneciente a [a,b] f(x) = M => f'(x) = 0

Si no, m < M => por lo menos uno de los puntos, x1 o x2, corresponde al interior del intervalo, a (a,b), por ejemplo x2.

=> (a,b) se comporta como un entorno de x2.

Se cumple que para todo x perteneciente a (a,b) f(x2) <= f(x)

=> Por def. de mínimo relativo f presenta un mínimo relativo en x2. (1)

f es derivable por hipótesis. (2)

De 1) y 2), por Condición necesaria para la existencia de extremos relativos f'(x2)=0.

1.2.1.-Teorema de LaGrange

Joseph Louis Lagrange (1736 - 1813)

Si f(x) es continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en todo punto del intervalo abierto (a,b), entonces existe al menos un punto c donde f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a).

f(x) es continua en [a,b]

f(x) es derivable en (a,b)

Existe c perteneciente a (a,b) / f'(c)=(f(b) - f(a))/(b - a)

Geométricamente, (f(b) - f(a))/(b - a) es la tangente del ángulo que forma la secante que pasa por los puntos A(a,f(a)) y B(b,f(b)) de la curva, con el eje ox. f'(c) es la tangente del ángulo que forma la recta tangente a la curva en el punto c, con el eje ox.

Entonces, el teorema expresa que existe al menos un punto en el intervalo (a,b) donde la tangente a la curva es paralela a la recta que pasa por A y B.

Demostración:

Definamos una función auxiliar g(x) = f(x) + hx, h perteneciente a R.

g es continua en [a,b] por ser suma de funciones continuas.

g es derivable en (a,b) por ser suma de funciones derivables.

Queremos que g(a) sea igual a g(b) para aplicar el teorema de Rolle => f(a) + ha = f(b) + hb => f(a) - f(b) = hb - ha = h(b - a)

f(a) - f(b) => h = ----------- b – a => por teo. de Rolle, existe c perteneciente a (a,b) / g'(c) = 0g'(x) = f'(x) + h f(b) - f(a)g'(c) = f'(c) + h = 0 => f'(c) = ----------- b - a

Considérese por ejemplo, el caso donde x es el tiempo y f(x) la distancia de un automóvil desde su punto de partida a lo largo de cierto camino. Entonces (f(b) - f(a))/(b - a) es la velocidad promedio

x1 x2

f(x1)f(x2)

del automóvil en el período b - a. (Recordar que velocidad = distancia/tiempo) Por lo tanto f'(a)=limx-

>a (f(x) - f(a))/(x - a) es la velocidad del auto en el tiempo a. Si por ejemplo el auto ha recorrido 200km. en 2 hs., la velocidad promedio fue de 100km. por hora. Por el teorema de Lagrange podemos decir que, al menos en un momento durante esas dos horas, el auto tuvo una velocidad de exactamente 100km/h.

1.3.- Función creciente y decreciente

FUNCION

Una función es una correspondencia entre conjuntos que se produce cuando cada uno de los elementos del primer conjunto se halla relacionado con un solo elemento del segundo conjunto. Estamos en presencia de una función cuando de cada elemento del primer conjunto solamente sale una única flecha.

No estamos en presencia de una función cuando:

De algún elemento del conjunto de partida no sale ninguna flecha.

De algún elemento del conjunto de partida salen dos o más flechas.

Podemos imaginarnos la función como una máquina a la que se le suministra unos datos y que obtiene un valor.

A veces esta 'máquina' no funciona con determinados valores. Al conjunto de valores de la variable para los que la función existe (para los que la 'máquina' funciona) se llama dominio de definición de la función.

Una función obtiene un valor, pero esto no quiere decir que se obtengan todos los valores que se nos antojen. El conjunto de valores que se obtienen a partir del conjunto de valores del dominio de definición se llama recorrido de la función.

Sea f una función. Entonces:

(1) Se dice que f es una función creciente si:

x1 < x2 implica que f(x1) < f(x2)

De donde x1 y x2 son números cualesquiera del dominio de f.

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5-0.5-1-1.5-2-2.5-3-3.5

0.5

1

1.5

2

2.5

-0.5

-1

-1.5

-2

-2.5

x

yy = sin x

x1 x2

f(x1)f(x2)

(2) Se dice que f es una función decreciente si:

x1 < x2 implica que f(x1) > f(x2)

de donde x1 y x2 son números cualesquiera del dominio de f.

1 2 3 4 5 6 7-1-2-3-4-5-6-7

1

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

x

yy = sin x

ILUSTRACION

 

 

 

Observa que parte de la gráfica se eleva, parte de la gráfica baja y parte de la gráfica es horizontal. En estos casos se dice que la gráfica crece, decrece o es constante.

 Una función f se dice que es creciente si al considerar dos puntos de su gráfica, (x1, f(x1) ) y ( x2, f(x2) ) con

 

Una función f se dice que es decreciente si al considerar dos puntos de su gráfica, (x1, f(x1)) y (x2, f(x2)) con

 

x1 < x2 Se tiene que

f(x1) > f(x2).

Cambia la relación de < a >

 

 

 

 

 

x

 

Una función f se dice que es constante si al considerar dos puntos de su gráfica, (x1, f(x1) ) y ( x2, f(x2) ) con

 

x1 < x2 Se tiene que

f(x1) = f(x2).

Las y no cambian, son fijas

 

 

 

 

 

 Considera la siguiente gráfica:

 

 

 

 

 

 1.3.1.-Maximos y mínimos de una función

MAXIMOS Y MINIMOS

Con cierta frecuencia nos encontramos con la necesidad de buscar la mejor forma de hacer algo. En muchas ocasiones a través de los poderosos mecanismos de cálculo diferencial es posible encontrar respuesta a estos problemas, que de otro modo parecería imposible su solución.

 

Entre los valores q puede tener una función (Y) puede haber uno que sea el más grande y otro que sea el más pequeño. A estos valores se les llama respectivamente punto máximo y punto mínimo absolutos.

Si una función continua es ascendente en un intervalo y a partir de un punto cualquiera empieza a decrecer, a ese punto se le conoce como punto crítico máximo relativo, aunque comúnmente se le llama solo máximo.

Por el contrario, si una función continua es decreciente en cierto intervalo hasta un punto en el cual empieza a ascender, a este punto lo llamamos punto crítico mínimo relativo, o simplemente mínimo.

Una función puede tener uno, ninguno o varios puntos críticos.

Curva sin máximos ni mínimos función sin máximos ni mínimos

Función con un máximo curva con un máximo y un mínimo

Curva con un mínimo curva con varios mínimos y máximos

La pendiente de la recta tangente a una curva (derivada) en los puntos críticos máximos y mínimos relativos es cero, ya que se trata de una recta horizontal.

En los puntos críticos máximos, las funciones tienen un valor mayor que en su entorno, mientras que en los mínimos, el valor de la función es menor que en su entorno.

En un punto crítico máximo relativo, al pasar la función de creciente a decreciente, su derivada pasa de positiva a negativa.

En un punto crítico mínimo relativo, la función deja de decrecer y empieza a ser creciente, por tanto, su derivada pasa de negativa a positiva.

APLICACIÓN DE MAXIMOS Y MINIMOS RELATIVOS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS

Existen muchos campos del conocimiento (aritmética, geometría, economía, física, biología, industria, etc.) donde se presentan problemas que se resuelven aplicando los conceptos de máximos y mínimos del cálculo diferencial.

Para resolver los problemas a partir de los datos existentes, es importante en primer lugar, encontrar la expresión matemática de la función que represente el problema y cuyos valores máximos o mínimos se desean obtener.

Si la expresión matemática contiene varias variables, deberá plantearse en función de una sola; las condiciones del problema deben aportar suficientes relaciones entre las variables, para poderse expresar a todas ellas en función de una sola variable independiente.

Una vez que se tenga la función en la forma Y=f(X), se aplican las normas ya estudiadas.

En muchos problemas prácticos resulta muy sencillo identificar cuales valores críticos dan máximos o mínimos; y en consecuencia, ya no será necesario aplicar el procedimiento completo.

Es conveniente construir la grafica que represente la función en cuestión, a fin de verificar los resultados obtenidos.

1.3.2.-Criterio de la primera derivada para máximos y mínimos

La base del presente criterio radica en observar que los máximos o mínimos locales son consecuencia de observar los siguientes hechos:

1.- Cuando la derivada es positiva la función crece.

2.- Cuando la derivada es negativa la función decrece.

3.- Cuando la derivada es cero la función tiene un máximo o un mínimo.

Sea f(x) una función y c un número en su dominio. Supongamos que existe a y b con a<c<b tales que

1.- f es continua en el intervalo abierto (a,b) (de acuerdo con el teorema de Rolle)

2.- f es derivable en el intervalo abierto (a,b), excepto quizá en c;

3.- f´(x) es positiva para todo x<c en el intervalo y negativa para todo x>c en el intervalo.

Entonces f tiene un máximo local en c.

Nótese que un criterio similar puede tenerse para obtener un mínimo local, solo es necesario intercambiar “positivo” por “negativo”.

De manera intuitiva podemos observar que para determinar si existe un máximo o un mínimo basta graficar alrededor de los puntos donde se ha presentado un cambio de signo Es también importante tener en consideración que el termino alrededor del cambio de signo de la derivada de la función es muy relativo y es este punto donde tenemos que tener la máxima consideración.

Un punto más a considerar es el tener en cuenta que solo es necesario considerar no solo el cambio de signos para la derivada Por ejemplo, para el caso de la función:

La función entre el intervalo (-1,1) tiene un cambio de signo, sin embargo, la función no es diferenciable en el punto x = 0, pese a eso si existe un mínimo local.

1.3.3.-Concavidades y puntos de inflexión

Concavidad

f presenta concavidad positiva en x=a si existe un E*a / para todo x perteneciente al E*

a f(x) > f'(a)(x-a) + f(a).

   La función presenta concavidad positiva en el punto a si, en un entorno reducido de a, la gráfica de f está "por encima" de la recta tangente a f(x) en el punto a.

f presenta concavidad negativa en x=a si existe un E*a / para todo x perteneciente al E*

a f(x) < f'(a)(x-a) + f(a).

   La función presenta concavidad negativa en el punto a si, en un entorno reducido de a, la gráfica de f está "por debajo" de la recta tangente a f(x) en el punto a.

Punto de inflexión

f presenta un punto de inflexión en x=a si existe δ > 0 / para todo x perteneciente a (a - δ,a) f(x) > f'(a)(x-a) + f(a) y para todo x perteneciente a (a,a + δ) f(x) < f'(a)(x-a) + f(a) (o viceversa: f menor a la izquierda y mayor a la derecha).

   En el semientorno izquierdo de a, f está por encima de la tangente a f(x) en a, y en el semientorno derecho de a, f está por debajo de la tangente.

 

   En el semientorno izquierdo de a, f está por debajo de la tangente a f(x) en a, y en el semientorno derecho de a, f está por encima de la tangente.

Teorema

Condición suficiente para la existencia de concavidad positiva

Si la derivada segunda de una función f(x) es positiva en el punto a, entonces tiene concavidad positiva en dicho punto. H) f''(a)>0 T) f tiene concavidad positiva en x=a

Demostración:

Existe f''(a) => existe f'(a) => (teorema) f es continua en x=a.

Sea g(x) = f(x) - f'(a)(x - a) - f(a)

g'(x) = f'(x) - f'(a)

g''(x) = f''(x)

g''(a) = f''(a) > 0 => por Cond. suf. para el crecimiento puntual g'(x) es creciente en x=a=> por def. De crecimiento puntual existe δ>0 / para todo x1 perteneciente a (a - δ,a) g'(x) < g'(a) = 0 y para todo x2 perteneciente a (a, a + δ) g'(x) > g'(a) = 0 signo de g'(x):

- 0 +-------|------- a

=> por Cond. suf. para la existencia de mínimo relativo g presenta un mínimo relativo en x=a.=> por def. de mínimo relativo existe un E*

a / para todo x perteneciente al E*a g(x) > g(a) = 0.

f(x) - f'(a)(x - a) - f(a) > 0

f(x) > f'(a)(x - a) + f(a) => por definición f tiene concavidad positiva en x=a.

TeoremaCondición suficiente para la existencia de concavidad negativa

Si la derivada segunda de una función f(x) es negativa en el punto a, entonces tiene concavidad negativa en dicho punto.

H) f''(a) < 0

T) f tiene concavidad negativa en x=a

La demostración es análoga a la anterior.

Teorema

Condición suficiente para la existencia de puntos de inflexión

H) La derivada segunda de f(x) es negativa en un semientorno del punto a y positiva en

el otro semientorno T) f presenta un punto de inflexión en x=a

Demostración:

Sea g(x) = f(x) - f'(a)(x - a) - f(a)

g es derivable y continua en x=a.

g'(x) = f'(x) - f'(a)

g'(a) = 0

g''(x) = f''(x) => signo de g''(x):

- +

-------|-------

a

=> por cond. suf. para la existencia de mínimo relativo g' presenta un mínimo relativo en a

=> por def. de mínimo relativo, existe un E*a / para todo x perteneciente al E*a g'(x) > g'(a) = 0

signo de g'(x):

+ 0 +

-------|-------

a

=> g es creciente en a

La tangente a g en x=a es horizontal, pero igual g es creciente. La gráfica de g cerca de a es algo

como por def. de crecimiento puntual, existe δ > 0 / para todo x perteneciente a

(a - δ,a) g(x) < g(a) = 0 => f(x) - f'(a)(x-a) - f(a) < 0 => f(x) < f'(a)(x-a) + f(a) y para todo x

perteneciente a (a,a + δ) g(x) > g(a) = 0 => f(x) - f'(a)(x-a) - f(a) > 0 => f(x) > f'(a)(x-a) + f(a) por

definición, f presenta un punto de inflexión en x=a.

Ejemplo

f(x) = x3

f'(x) = 3x2

f''(x) = 6x

- 0 +

sg f'' ----|---->

0

f presenta un punto de inflexión en x=0

   

1.3.4.-Criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos

Este método es más utilizado que el anterior, aunque no siempre es más sencillo. Se basa en que en un máximo relativo, la concavidad de una curva es hacia abajo y en consecuencia, su derivada será negativa; mientras que en un punto mínimo relativo, la concavidad es hacia arriba y la segunda derivada es positiva.

Este procedimiento consiste en:

• calcular la primera y segunda derivadas

• igualar la primera derivada a cero y resolver la ecuación.

• sustituir las raíces (el valor o valores de X) de la primera derivada en la segunda derivada.

Si el resultado es positivo, hay mínimo. Si la segunda derivada resulta negativa, hay un máximo.

Si el resultado fuera cero, no se puede afirmar si hay o no un máximo o mínimo.

• sustituir los valores de las raíces de la primera derivada en la función original, para conocer las coordenadas de los puntos máximo y mínimo.

Sea f una función tal que f'(c)= 0 y tal que la segunda derivada de f existe en un intervalo abierto que contiene a c.

Si f''(c)> 0, entonces f(c)es un mínimo relativo.

Si f''(c)< 0, entonces f(c)es un máximo relativo.

Si f''(c)= 0, entonces el criterio no existe.

¿Qué es un punto de inflexión? Es aquel que separa arcos de una curva que tiene su concavidad en sentidos opuestos. En cada punto de inflexión la recta tangente cruza a la curva, observándose que el signo de la segunda derivada cambia en dichos puntos. Para hallar estos puntos se necesita calcular los valores de “x” para los que la segunda derivada es igual a cero. Y 0 x

1.4.-Analisis de la variación de funciones

Para el análisis de variación de funciones se ha diseñado y elaborado un "cuaderno interactivo" que, por medio de botones, permite al usuario introducir diferentes funciones y para cada una de ellas, analizar aspectos tales como su crecimiento, su concavidad , la determinación de los valores máximos y valores mínimos, así como su relación con la derivada correspondiente.

En la tabla que sigue se observa, a la izquierda, parte del cuaderno y a la derecha el resultado de hacer "clic" en el botón de comparación entre f y. Esta imagen muestra la gráfica de una función f junto con su primera derivada, destacando la relación que existe entre la función y la derivada con respecto a los valores máximos y valores mínimos y en cuanto al crecimiento y decrecimiento de la función. En forma similar, se puede activar el botón correspondiente a f y, por medio del cual se puede apreciar la relación entre la concavidad del gráfico de f y el signo de.

El intervalo donde se dibuja el gráfico de las funciones es escogido de manera automática de tal modo que incluya los puntos críticos.

Para ilustrar la relación que existe entre el crecimiento o el decrecimiento de una función con el signo de su derivada, también se elaboró un cuaderno interactivo que permite, por medio de un botón, animar el desplazamiento de la recta tangente a lo largo de la gráfica de la función, destacando la relación que existe entre el signo de la pendiente de la recta tangente (signo de), y el crecimiento o decrecimiento de la función.

 

1.5.-Calculo de aproximaciones usando la diferencial

Aproximación del incremento de y.

La medida de la arista de un cubo es 15cm, con un error posible de 0.01cm. Empleando diferenciales, halle el error aproximado al evaluar el volumen; y el área de una de las caras.

(1) Dibujamos la imagen del problema y planteamos las relaciones y datos existentes en el problema:

V = x ^ 3

A = x ^ 2

dx = 0.01 cm

x = 15 cm

dV = 3 x ^ 2 dx

(2) Obtenemos el diferencial del volumen en términos de la diferencial de un lado.

dV = 3 ( 15 cm ) ^ 2 ( 0.01 cm )

(3) Sustituimos los datos en la relación (2)

dV = 6.75 cm ^ 3

(4) Efectuando las operaciones indicadas encontramos el error aproximado al evaluar el volumen.

dA = 2 x dx

(5) Obtenemos el diferencial del área en términos de la diferencial de un lado.

dA = 2 ( 15 cm ) ( 0.01 cm )

(6) Sustituimos los datos en la relación (5)

dA = 0.3 cm ^ 2

(7) Efectuando las operaciones indicadas encontramos el error aproximado al evaluar el área de una de las caras.

La matemática contiene varios pares de operaciones inversas, como: adición y sustracción, multiplicación y división, elevación a un exponente y extracción de una raíz y otras.  Anteriormente estudiamos la derivación,  y su inversa es la anti derivación.  

El cálculo se divide en dos categorías.  El cálculo diferencial que incluye la derivada, el hallar máximos y mínimos relativos.  Vimos la interpretación geométrica de la derivada: la pendiente de una curva en un punto P, es la pendiente de la recta tangente en ese punto.  Así también la interpretación física de la derivada: velocidad.   El cálculo integral  se utiliza para hallar área, volumen, predecir el tamaño poblacional en el futuro y costo de vida en el futuro.  El cálculo integral  geométricamente  está relacionado con calcular área.

Las anti derivadas no son únicas, ya que la derivada de una constante es cero. Si F(x) es una anti derivada de f(x), también F(x) + c para todo número c.

Por ejemplo, si f(x) = 2x, entonces algunas anti derivadas son:

F(x) = x2 + 2

F(x) = x2 + 1

F(x) = x2

F(x) = x2 - 1

F(x) = x2 - 2

Si las representamos gráficamente en un mismo plano, se tiene:

 

 

 

 

 

 

 A este conjunto de gráficas se le conoce como una familia de anti derivadas, con una derivada en común, que es f(x) = 2x.

 Si F(x) es una anti derivada de f(x), entonces F(x) + c se llama la integral indefinida de f(x). El adjetivo indefinido se usa porque la constante c es arbitraria o indefinida.

Definición: Si F es una anti derivada de f, entonces se expresa de la forma:

El cual se lee "el integral indefinido de f(x) respecto a x es F(x) + c". El símbolo.

-10

-5

0

5

10

15

20

-5 0 5

Se conoce como el símbolo de integración, f(x) es el integrando y c es la constante de integración.

De manera que:

Se lee "el integral indefinido de 2x respecto a x".

1.6.-Problemas de optimización y de tasas relacionadas

Solucionamos problemas de optimización con la forma siguiente: Determine los valores de las incógnitas x, y,. . . para minimizar (o maximizar) el valor de la función objetivo f, sujeta a algunas restricciones. Las restricciones son ecuaciones y desigualdades que relacionen o limitan las variables x, y,. . . .

Para solucionar problemas como estos, usamos las ecuaciones de restricción para expresar todas las variables en función de una sola. A continuación, sustituimos esas ecuaciones en la función objetivo para reexpresarla como una función de una sola variable. Por último, determinamos los valores extremos de la función objetivo como más arriba. (Usamos las desigualdades de restricción para determinar el dominio de la función objetivo.) Específicamente:

1. Identifique la o los incógnitas.

Por lo general éstas son las cantidades que se preguntan en el problema.

2. Identifique la función objetivo.

Ésta es la cantidad que se pide maximizar o minimizar.

3. Identifique la o los restricciones.

Éstas pueden ser ecuaciones que relacionen variables, o desigualdades que expresan limitaciones para los valores de las variables.

4. Enuncie el problema de optimización.

Ésta tendré la forma "Maximice [o minimice] la función objetivo sujeta a la o los restricciones."

5. Elimine variables adicionales.

Si la función objetivo depende de varias variables, resuelva las ecuaciones de restricción para expresar todas las variables en función de una sola. Sustituya esas ecuaciones en la función objetivo para reexpresarla como una función de una sola variable. Sustituya también esas ecuaciones en las desigualdades de restricción para ayudar a determinar el dominio de la función objetivo.

6. Calcule el máximo (o mínimo) absoluto de la función objetivo.

Aplique las técnicas descritas más arriba.

Ejemplo

Aquí es un problema de maximización:

Maximice A = xy Función objetivosujeta a x + 2y = 100,x ≥ 0,   y y ≥ 0

Restricciones

Seguimos el procedimiento descrito a la izquierda: Como ya tenemos el problema enunciado como un problema de optimización, podremos comenzar a Paso 5.

5. Elimine variables adicionales. Podemos hacerlo tomando la ecuación de restricción x + 2y = 100 y despejamos a x (obteniendo x = 100 - 2y) y sustituyendo en la función objetivo y también en la desigualdad que involucra x:

A = xy = (100- 2y)y = 100y - 2y2 (100- 2y) ≥ 0,   o   y ≤ 50. Entonces, solo falta maximizar A = 100y - 2y2 sujeta a 0 ≤ y ≤ 50.

6. Calcule el máximo (o mínimo) absoluto de la función objetivo. Siguiendo el procedimiento más arriba, obtenemos dos puntos extremos y un punto estacionario con valores como sigue:

y 0 25 50

A(y) 0 1,250 0

Tipo Punto extremo Punto estacionario Punto extremo

Vemos en la tabla que el valor más grande de A es 1,250, que se ocurre cuando y = 25. El valor correspondiente de x es x = 100 - 2y, entonces x = 50 cuando y = 25.

Tasas relacionadas

Si Q es una cantidad que cambia en el tiempo, entonces la razón a la que cambia Q es dado por la derivada temporal, dQ/dt. Un típico problema de tasas relacionadas pide la razón de cambio de una cantidad Q, dado las razones de cambio de varias otras cantidades.

Procedimiento para solucionar un problema te tasas relacionadas

A. La problema

1. Haga una lista de las cantidades relacionadas que cambian. 2. Reformule el problema en términos de tasas de cambio. Reescriba el problema usando

notación matemática para las cantidades que cambian y sus derivadas.

B. La relación

1. Trace un diagrama, si sea apropiado, que demuestra las cantidades que cambian. 2. De un ecuación o ecuaciones que relacionan las cantidades que cambian. 3. Tome la derivada respecto al tiempo de las ecuaciones que relacionan las cantidades para

obtener la o las ecuación(es) derivadas, que relacionan las rezones de cambio de las cantidades.

C. La solución

Sustituya los valores y sus derivadas de los datos, y despeje a derivada que se busca.

Ejemplo

El tráfico al sitio web de MundoReal es dado por

h = - 0.001p2 + 400     peticiones al día,donde p es el número de problemas difícil al sitio. Hay ahora 100 problemas difíciles al sitio, y este número está creciendo con una tasa de 10 problemas al día. ¿Con qué razón disminuye al tráfico al sitio MundoReal? A. La problema

1. Las cantidades relacionadas que cambian son h y p. 2. La problema se puede reformular matemáticamente como sigue:

B. La relación

1. Aquí no es apropiado un diagrama. 2. Ecuaciones que relaciona las cantidades que cambian:

      h = - 0.001p2 + 400 3. Tome la derivada respecto al tiempo de la ecuación que relaciona las cantidades (con la

regla de la cadena):

  dh

dt=

- 0.002p

dp

dt

C. La solución

Sustituya los valores y sus derivadas de los datos, y despeje a derivada que se busca.

  dh

dt=

- 0.002(100)(10) = - 2

Entonces, el tráfico al sitio MundoReal está disminuyendo a una tasa de 2 peticiones al día cada día.

Conclusión

En matemáticas, la derivada de una función es uno de los dos conceptos centrales del cálculo. El otro concepto es la antiderivada o integral; ambos conceptos están relacionados por el teorema fundamental del cálculo.

La derivada de una función en un punto mide el coeficiente por cual el valor de la función cambia cuando la entrada de la función cambia. Es decir, que una derivada provee una formulación matemática de la noción del coeficiente de cambio.

La derivada es un concepto de muchos usos que se puede ver en muchos aspectos. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de f, se considera la derivada como la pendiente de la tangente del gráfico en el punto x. Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite de una secante. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como concavidad o convexidad.

Algunas funciones no tienen derivada, en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical o una discontinuidad.

Las funciones que son diferenciables (derivables si hablamos en una sola variable), la función es aproximable linealmente.

En matemáticas, la derivada de una función es uno de los dos conceptos centrales del cálculo. El otro concepto es la antiderivada o integral; ambos conceptos están relacionados por el teorema fundamental del cálculo.

La derivada de una función en un punto mide el coeficiente por cual el valor de la función cambia cuando la entrada de la función cambia. Es decir, que una derivada provee una formulación matemática de la noción del coeficiente de cambio.

La derivada es un concepto de muchos usos que se puede ver en muchos aspectos. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de f, se considera la derivada como la pendiente de la tangente del gráfico en el punto x. Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite de una secante. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como concavidad o convexidad.

Algunas funciones no tienen derivada, en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical o una discontinuidad.

Las funciones que son diferenciables (derivables si hablamos en una sola variable), la función es aproximable linealmente.

Bibliografía

http://es.wikipedia.org/wiki/Recta_tangente

http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada

http://actividadesinfor.webcindario.com/derivadasaplicaciones.htm

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/derivadafuncion/html/node2.html

http://matematica.50webs.com/teorema-de-lagrange.html

http://html.rincondelvago.com/ecuaciones-diferenciales-de-orden-uno_1.html

http://html.rincondelvago.com/maximos-y-minimos.html

http://dieumsnh.qfb.umich.mx/DIFERENCIAL/criterio_de_la_primera_derivada.htm

http://html.rincondelvago.com/funciones-matematicas.html

http://matematica.50webs.com/concavidad.html

http://www.mitecnologico.com/Main/MaximosYMinimosCriterioDeLaSegundaDerivada

http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/ContribucionesV3n3002/0calculoJulioWalter/pag2.html

www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/.../r20230.DOC

http://www.zweigmedia.com/MundoReal/Calcsumm5.html