unidad i calculo varvariables

7/31/2019 Unidad I Calculo VarVariables

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Captulo 5:

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

5.1 Dominio y grfica de funciones

En esta seccin estudiaremos funciones reales de varias variables reales. Cantidades de la vidacotidiana o econmica o ciertas cantidades fsicas dependen de dos o ms variables. El volumen deuna caja, V, depende del largo, x, del ancho,y, y dez la altura de la caja. Los costos de una empresaque fabrica dos tipos de artculos dependen de 1q la cantidad de artculos de tipo I y 2q la cantidad deartculos de tipo II que produce. La temperatura que tiene un gas depende del volumen que ocupa y desu presin.

Veamos la definicin formal de una funcin real de dos variables.

Observacin: Cuando tenemos una funcin de dos variables se suele utilizar z para representar losvalores de la funcin: ),( yxfz . La variable z es la variable dependiente y x y y las variablesindependientes.

Normalmente no se especfica cual es el dominio de la funcin. Cuando ste es el casotenemos que considerar el dominio implcito. El dominio implcito de una funcin de dos variableses el conjunto ms amplio de ),( yx donde tiene sentido evaluar la frmula, y el resultado es unnmero real. Muchas veces este dominio se representa grficamente. En el caso de dos variables larepresentacin es una regin en el plano.

Ejemplo 1.- Sea 44),( 2 xyyxf . a) Calcular el dominio de f. b) Represntelo

grficamente. c) Calcule )0,2(f , )2,2

2(f y )1,1( f .

Solucin:a) La funcin est bien definida y es un nmero real cuando el radicando es mayor o igual a cero, estoes:

044 2 xy As que el dominio es el conjunto de todas las parejas ),( yx tales que 44 2 xy .Ms formalmente escribimos:

Dom }44/),{( 2 xyyxf

b) Este conjunto se puede representar en el plano. Es una regin del plano limitada por la curva044 2 xy . Primero se traza la curva 044 2 xy . Reescribindola como 244 xy , la

Definicin.- Sea D un conjunto de pares ordenados, ),( yx , de nmeros reales,2

RD . Unafuncin real de dos variables reales es una regla que asigna a cada par ordenado ),( yx enD unnico nmero real, denotado por ),( yxf .

El conjunto D es llamado el dominio de la funcin y el conjunto de todos los valores de lafuncin es el rango de la funcin.


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Captulo 5: Funciones de varias variables2

identificamos como una parbola abriendo hacia abajo y con vrtice en (0,4). Para determinar laregin completamente podemos proceder de dos maneras.Primer procedimiento: Es claro que nuestra regin es el conjunto de puntos (x,y) que satisface ladesigualdad 44 2 xy . Este conjunto lo podemos ver como la unin de todas las curvas

dxy 24 con 4d .

Entre ellas estn 44 2 xy ; 54 2 xy , 64 2 xy , 74 2 xy y todas las intermedias y queestn por encima de stas. Haciendo el grfico de todas estas curvas podemos visualizar el dominio dela funcin, vea la figura a la derecha.

Segundo procedimiento: Una vez que hemos establecido que el dominio es una de las dos regionesdel plano limitada por la curva 44 2 xy , podemos tomar un punto de prueba en el plano que noest en la curva.

Claramente (0,0) no est sobre la curva. Evaluamos la desigualdad 044 2 xy en estepunto, si satisface la desigualdad entonces la regin que contiene el punto de prueba es el conjuntosolucin, esto es, es el grfico del dominio de la funcin, si no satisface la desigualdad entonces elconjunto solucin a la desigualdad es la otra regin.

Como 04040 2 no se satisface entonces el dominio es la regin limitada por la curva

44 2 xy que no contiene el (0,0), como efectivamente ya deducimos con el otro procedimiento,vea la figura como efectivamente est rayada la regin que no contiene el punto (0,0).c) La evaluacin de funciones se hace de manera similar al caso de funciones de una sola variable.

Por ejemplo para obtener el valor )0,2(f sustituimos el valor dex por 2 y el dey por 0. As

32124240)0,2( 2 f

042

242)2,

2

2(

2

f

14)1(41)1,1( 2 f no es real.


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5.1 Dominio y grfica de funciones 3

Efectivamente la funcin no est definida en )1,1( . Vea el grfico dado en b) y chequee queefectivamente este punto no est en el dominio.

Remarcamos que con el primer procedimiento demostramos que la solucin de una desigualdad endos variables tiene como representacin grfica a una de las dos regiones delimitadas por la curva

dada por la igualdad. El segundo procedimiento es ms expedito en determinarla.En ocasiones nos referiremos al dominio de una funcin como su representacin grfica,recuerde que realmente el dominio es un conjunto de pares ordenados que pueden ser representadosen el plano.

Ejemplo 2.- Encuentre el dominio de la siguiente funcin y represntelo grficamente.

a) )24ln(),( xyyxf ; b)yx

xyxh

),(

Solucin: a) Para que la funcin est bien definida y sea un nmero real se tiene que cumplir que024 xy , entonces:

Dom }024/),{( xyyxf Sabemos que la representacin grfica de esta regin del plano es un semiplano por ser una

desigualdad lineal. Para determinar el semiplano rpidamente, primero graficamos la recta024 xy , punteada pues los puntos sobre la recta no satisface la desigualdad.

luego tomamos un punto de prueba fuera del la recta, si este punto satisface la desigualdad elsemiplano es donde est este punto, en caso que no se cumpla la desigualdad el conjunto solucin esel otro semiplano.

El punto escogido es de nuevo (0,0) porque est fuera de la curva 024 xy . Como elpunto (0,0) satisface la desigualdad 024 xy , entonces el dominio de la funcin es el semiplano

que contiene el origen. De nuevo insistimos, se ha dibujado la recta 024 xy en forma punteadapara indicar que ella no pertenece al dominio de la funcin.

b) Para que la funcin est bien definida y sea un nmero real se tiene que cumplir que0 yx y 0x

Dom h 0/),{( yxyx y }0x

La primera restriccin es todo el plano salvo la recta 0 yx


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La segunda restriccin es el semiplano donde la variablex es no negativa, esto es el semiplano

a la derecha del ejex . Buscamos la interseccin o parte comn de estos dos subconjuntos de2

R paradeterminar el dominio de la funcin.

Ejercicio de desarrollo.- Sea xeyxyxg )ln(),( . a) Calcular el dominio def.

b) Represntelo grficamente; c) Encuentre 1,0 f y 0,1f .

A veces es conveniente representar la funcin geomtricamente. En el caso de una solavariable tenamos una representacin geomtrica de la funcin )(xfy en el plano. Ella era unacurva. En el caso de una funcin en dos variables, la representacin de la funcin ser en el espacio,obteniendo en este caso una superficie como representacin.

Ejemplo 3.- Bosqueje la grfica de las siguientes funciones

a) yxyxf 22),( ; b) 224),( yxyxf

Solucin

a) Graficamos la ecuacin yxz 22 quecorresponde a un plano, con intersecciones con losejesx,y yz en 2,1 y 2 respectivamente.

b) Graficamos la ecuacin 224 yxz ,

ella es la mitad de la esfera 4222 zyx con coordenadaz positiva.

Definicin.- Seafuna funcin de dos variables. La grfica de la funcinfes el conjuntode todos los puntos de la forma ),,( zyx donde ),( yxfz y )(),( fDomyx .


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APLICACIONES

Suponga que estamos en la situacin de una empresa que elabora dos productos A y B.Podemos considerar la funcin de costos conjuntos ),( 21 qqC que representa los costos totales de

producir 1q unidades del producto A y 2q unidades del producto B. De manera similar podemos

definir la funcin de ingresos conjuntos ),( 21 qqI y de utilidad conjunta ),( 21 qqU .El siguiente ejemplo ilustra una situacin en que es fcil determinar estas funciones.

Ejemplo 4.- Una pastelera produce chocolate blanco y chocolate oscuro. El costo de material y manode obra por producir un kilo del chocolate blanco es 6 UM y el del oscuro es 5UM. Suponga que laempresa tiene costos fijos semanales de 1200UM.a) Encuentre el costo semanal como funcin de la cantidad de kilos de chocolates de cada tipoproducido a la semana. b) Suponga que la pastelera vende el kilo de chocolate blanco a 10UM y eloscuro a 8UM. Obtenga la funcin utilidad mensual como funcin del nmero de kilos de cada tipoproducidas y vendidas a la semana.Solucin:a) El costo de material y manos de obra por producir 1q kilos de chocolate blanco y 2q kilos de

chocolate oscuro estn dado por 6 1q y 5 2q respectivamente.El costo conjunto en este caso esta dado por

),( 21 qqC Costo fijo+Costo variable

)56(1200),( 2121 qqqqC b) Primero obtendremos la funcin de ingreso conjunto. Es claro que

),( 21 qqI Ingreso por la venta de 1q chocolate blanco+ Ingreso total por la venta de 2q chocolate oscuro

2121 810),( qqqqI .Finalmente obtenemos

),( 21 qqU ),(),( 2121 qqCqqI

),( 21 qqU 21 810 qq )561200( 21 qq

),( 21 qqU 120034 21 qq .

Ejemplo 5.- Una heladera ofrece tinitas y barquillas. Se ha estimado que si se vende la tinita ap1UM y la barquilla ap2 UM, la ecuacin de demanda de la tinita est dada por

21211 105300),( ppppD y la ecuacin de demanda de la barquilla por

21212 57200),( ppppD al da.Exprese el ingreso diario de la compaa en funcin dep1 y p2.Solucin:

El ingreso diario lo podemos calcular a partir de

Ingreso conjunto=Ingreso por la venta de tinita+ingreso por la venta de barquillas

Ingreso conjunto=(precio de la tinita)(nmero de tinitas vendidas)

+(precio de la barquilla)(nmero de barquillas vendidas)

)57200()105300(),( 21221121 ppppppppI

2221221

21121 57200105300),( ppppppppppI

22

21212121 5517200300),( ppppppppI .


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Funcin de utilidad de consumo. (Satisfaccin al consumo)La funcin de utilidad de consumo, denotada por ),( yxu cuantifica el nivel de satisfaccin o

utilidad que un consumidor tiene al adquirir x unidades de un producto y y de otro producto. Muchasveces se est interesado en todas las posibles combinaciones de compras que producen el mismo nivelde satisfaccin 0c . En nuestra terminologa si tenemos la funcin ),( yxuz cuya representacin

grfica es una superficie en 3R , nosotros slo estamos interesados en la traza con el plano 0cz .Esta curva de nivel dada por la ecuacin ),(0 yxuc se llama curva de indiferencia.

Ejemplo 6.- Suponga que la funcin de utilidad de consumo de dos bienes para un cliente est dadapor yxyxu 2),( . El cliente ha comprado 5 unidades del bien X y 4 del bien Y. Representegeomtricamente otras posibilidades que tena el cliente para tener el mismo nivel de satisfaccin o deutilidad en su compra.Solucin: Primero calculamos la utilidad o satisfaccin del cliente por esta compra. Ella est dada por

10045)4,5( 2 u .

En Economa es corriente determinar distintas curvas de nivel para diversas cantidades. En el casode funciones de costos, estas curvas son conocidas como las lneas de isocosto.

EJERCICIOS 5.11) Calcule el valor de la funcin indicada1.1) 3)2(),( yxyxf ; )2,2();3,1( ff ; 1.2) 2),( xxeyxf y ; )0,2();2ln,1( ff

1.3)yx

xyyxf

1),(

3

; )2,2();3,0( ff ; 1.4) tetuf ut ),( ; )10,0();2,3(ln ff

1.5) 222),,( zyxzyxg ; )3,4,0();1,0,1( gg ; 1.6)zzwzwG21

)1ln(),( ; G(1,0); G(1,1-e);

1.7)ts

uutsrh

21),,,( ; )1,1,2,1( h ; )2,1,2,1( h ; )0,,,1( hxyh ;

1.8) zyxzyxF 432),,( 2 ; )0,22,1( F ; )2,,2( hyF .

Planteamos la curva de indiferencia para

100u , ella es yx 2100 . Esto es una

curva en 2R . Para visualizar mejor lagrfica escribimos est ecuacin como una

funcin2

100

xy . Al graficar slo hemos

considerado la parte positiva de lasxs.


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2) Determine el dominio de las siguientes funciones. Represntelo grficamente.

2.1) )2ln(),( yxyxf ; 2.2)x

xeyxfy 1),( ; 2.3)

yx

xyyxf

2

1),( ;

2.4))ln(

1),(

tu

utuf

; 2.5) 22),( yxyxg ; 2.6) 4),( 22 yxyxh

2.7) 21),( yxyxg ; 2.8) 2221),,( zyxxzyxh ;

2.9) zyxzyxg 22),,( ; 2.10) )2ln(),( 2 vuuvuH ; 2.11) 224),,( yxzzyxg .

3) Bosqueje la grfica de las siguientes funciones3.1) yxyxg 24),( ; 3.2) 224),( yxyxh ;

3.3) 1),( 22 yxyxg ; 3.4) )(4),( 22 yxyxh .

4) Trace la curva de nivel Cyxf ),( , para cada Cdada

4.1) 2),( yxyxf ; C=4 C=2,C=0,C=-2; 4.2)x

yyxf ),( ; C=2; C=4;

4.3) yxxyxf 2),( 2 ; C=-3; C=2; 4.4) xyyxf 3),( 2 ; C=0; C=3;

4.5) 22 )1(),( xyyxf C=-3; C=1, C= 4; 4.6) xeyyxf ),( ; C=0; C=1.

PROBLEMAS DE ECONOMA1) Una tienda tiene dos tipos de CD virgen. Se ha estimado que si se vende el primer tipo de CD a p1 yel segundo tipo de CD a p2 la ecuacin de demanda del primer tipo de CD est dada por

21211 125100),( ppppD y la ecuacin de demanda del segundo tipo de CD est dada por

21212 106200),( ppppD unidades a la semana..a) Si I denota el ingreso total a la semana,determine I como funcin dep1 yp2. b) Calcule el ingreso total a la semana si el primer tipo de CD sevende a 3UM y el segundo a 2UM.

Respuestas:1a) 2121222121 20010018105),( ppppppppI ;1b) 723)2,3( I UM.2) Una empresa produce dos tipos de productos X y Y. El costo de material y mano de obra porproducir una unidad de X es 3UM y el de Y es 4UM. Suponga que la empresa tiene costos fijossemanales de 1000UM. a) Obtenga el costo semanal como funcin de las unidades de los dos tipos deproductos producidas. b) Si la compaa vende el producto X a 4UM y el Y a 6UM. Obtenga lafuncin utilidad mensual como funcin del nmero de unidades producidas y vendidas a la semana.Respuesta2a): 100043),( yxyxI ; dondex es el nmero de unidades producidas de tipo X.2b) 400084),( yxyxU .3) Javier piensa comprar 25 unidades de un bien y 6 de un segundo bien. Si la funcin de utilidad deconsumo de Javier est dada por yxyxu ),( , dondex representa el nmero de unidades a comprardel primer bien. Represente geomtricamente otras alternativas de consumo que le dan el mismo nivelde utilidad.4) La funcin de costos conjuntos por la fabricacin 1q artculos de tipo 1 y 2q artculos de tipo 2 est

dado por 604),( 122

2121 qqqqqC . Grafique la curva de nivel 100),( 21 qqC (Curva de

isocosto). (Ayuda: Identifique la ecuacin resultante con la de una circunferencia).

Respuestas: 1.1) 125; 0; 1.2) -1/2; 2; 1.3)-1/3; -17/4; 1.4) 7; -9; 1.5)2; 5; 1.6) 1;e

e

23

)2ln(

;

1.7) 0;1;hxy

1 ; 1.8) -26; 2)(312 hy ; 2.1) Domf= (x,y)R2/y


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2.2) Domf }0/),{( xyx ; 2.3) Domf= (x,y)R2/y2x; 2.4) Domf }1/),{( tuytutu ;

2.5) Dom g= R2; 2.6) Dom h }4/),{( 22 yxyx ; 2.7) Dom g }1/),{( 2 xyyx ;

2.8) Dom h }1/),,{( 222 zyxzyx ; 2.9) Dom g }12/),,{( xyzyx ;

2.10) Dom H }2/),{(

2

vuvu

; 2.11) Dom g }4/),,{(

22 xyzyx .


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5.2 Derivadas parcialesSuponga que tenemos una funcin f en dos variablex y y. Si dejamos una variable fija, por

ejemplo lax, asumiendo un valor a y variamos la y, podemos ver en cierta manera que tenemos unafuncin de una sola variable dada por ),()( yafyg . Podemos entonces considerar derivar g con

respecto a su variable, el resultado es la derivada parcial defcon respecto a la variabley en ),( ya . Eneste caso la notacin empleada est dada bien por ),( yafy o por la notacin de Leibniz:

).(

),(ya

yxy

f

. A continuacin establecemos la definicin formal de derivadas parciales para funciones

en dos variables:

Observacin: El smbolox

f

se lee derivada parcial de f con respecto a x. Si los valores de f son

representados por z, esto es si ),( yxfz entonces tambin usamos notaciones comox

z

para las

derivadas parciales.Otras notaciones usadas para las derivadas parciales estn dadas por xf y yf , para referirse a

las parciales con respecto ax yy respectivamente.

CLCULO DE DERIVADA PARCIALESPara calcular derivadas parciales nos valemos de las reglas existentes para una sola variable. Si

por ejemplo queremos calcularx

f

consideramos ay como una constante y derivamos con respecto

la x. Si queremos calculary

f

se deriva con respecto ay manteniendo ax como una constante.

Ejemplo 1.- Calculex

f

y

y

f

para 32 543),( yxyxyxf

Solucin: Primero calculamosx

f

. Derivamos como una suma, recuerde quey se comporta como

una constante

)5()4()3( 32 yx

xyx

xxx

f

En el segundo factor sacamos 4y de factor constante.

El trmino )5( 3y se comporta como una constante, suderivada es 0

Definicin.- Seafuna funcin en las variablesx yy. Lla derivada parcial defcon respecto ax est definida por

h

yxfyhxf

x

yxf

h

),(),(lim

),(0

siempre y cuando este lmite exista.La derivada parcial defcon respecto ay est definida por.

h

yxfhyxf

y

yxf

h

),(),(lim

),(0

siempre y cuando este lmite exista.


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5.2 Derivadas parciales 11

0)(4)(3 2

x

xyx

xx

f

yxyxx

f46146

Ahora calculamosy

f

. Derivamos como una suma, recuerde que x se comporta como una constante

)5()4()3( 32 yy

xyy

xyy

f

)(5)(40 3yy

yy

xy

f

22 1543514 yxyxy

f

Otro tipo de notacin para la derivada es fDx que indica la parcial defcon respecto ax.

Ejemplo 2.- Calcule ),( yxfx y ),( yxfy para)(

)3(),(

22

22

yx

yxyxyxf

Solucin:Derivamos como un cociente

),( yxfx)(

)(2)3(2

1))(32(

22

2/122222/122

yx

yxxyxyxyxyx

)(

)3())(32(

)( 22

22222/122

yx

yxyxxyxyx

yx

),( yxfx)(

3)3322()(

22

22332232/122

yx

xyyxxyyxxyxyx

Sumamos trminos semejantes. Pasamos al denominador el factor con exponente cambiado de signoy sumamos los exponentes porque tienen igual base. Finalmente obtenemos

),( yxfx 2/322

323

)(

3

yx

yxyx

Como la funcin es simtrica enx yy, para obtener la parcial dey intercambiamosx pory en

esta ltima. Esto es

),( yxfy 2/322

323

)(

3

yx

yyxx

.

Las derivadas parciales de funciones de dos variables tambin son funciones de estasvariables. Ellas pueden ser evaluadas. A continuacin introducimos las distintas notaciones para lasderivadas parciales evaluadas en el punto ),( ba .

En el segundo factor sacamos 4x de factor constante. El

trmino )3( 2x se comporta como una constante, suderivada es 0

Se simplifica el 2 en el segundotrmino y luego se saca Factorcomn 2/122 )( yx en el

numerador.

Se realiza la multiplicacin en el

primer trmino y se distribuye lax en el segundo trmino.


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Ejemplo 3.- Calcule)2,1(),(

yxx

zy

)0,2(),(

yxy

zpara 32 yxz

Solucin:

Primero calculamosx

z

. Para derivar reescribimos 2132 yxz y derivamos con la regla

de la potencia generalizada. 322132

2

1yx

xyx

x

z

32yx

x

.

Finalmente evaluamos

)2,1(),(

yxx

z=

3

1

)2(1

132

Paray

z

aplicamos las mismas consideraciones

32213221 yxyyx

yz

32

2

2

3

yx

y

Al evaluar queda

0042

03 2

)0,2(),(

yxy

z.

Ejercicio de desarrollo.- Sea )1ln(22 yxxyxz . Calcule:

a)x

z

b) )3,1(yf

Derivada con respecto ax Derivada con respecto ayNotacin desubndice

),( bafx ),( bafy

Notacin de

Leibniz ),(),(

),(bayx

yxfx

),(),(),(

bayx

yxfy

),(),( bayxx

z

),(),( bayxy

z


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En ocasiones podemos tener funciones de tres o ms variables, por ejemplo ),,( zyxfw es

una funcin de tres variables, en este caso podemos considerar tres derivadas parciales:x

w

,

y

w

y

z

w

.

El conjunto de todas las derivadas de una funcin las llamaremos las derivadas de primerorden de la funcin.

Ejemplo 4.- Sea)(

22

yxz

yxw

. Encuentre todas las derivadas de primer orden de w , esto es en este

caso calcular:x

w

,

y

w

y

z

w

.

Solucin: Primero calculamosx

w

. Derivamos como un cociente manteniendoy yz como

constantes:

222

)(

)()(2

yxz

zyxyxxz

x

w

Se distribuye y se agrupan trminos semejantes

2222

)(

22

yxz

zyzxxzyzx

22

22

)(

2

yxz

xzyzyzx

Se sacar factor comnz y se simplifica

2

22

)(

2

yxz

xyyx

x

w

Como la funcin es simtrica enx yy entonces tenemos que

2

22

)(

2

yxz

xyxy

y

w

Antes de calcularz

w

reescribimos la funcin como

zyx

yxw

1

)(

22

. As que cuando

derivamos con respecto az, el primer factor ,)(

22

yx

yx

, se considera una constate y sale fuera de la

derivacin

zyx

yx

z

w 1

)(

22

2

22 1

)( zyx

yx

)(2

22

yxz

yx

.

Ejercicio de desarrollo.- Para xyzxy

zyxf 1

),,( , calcule todas las derivadas parciales de

primer orden.


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INTERPRETACIN GEOMTRICA DE LAS DERIVADASPARCIALES

Suponga tenemos la funcin ),( yxfz , esta funcin tiene como representacin grfica una

superficie en

3

R . Cuando fijamos 0yy

entonces ),( 0yxfz

es funcin de x y est representadageomtricamente por la curva que se obtiene de intersectar el plano 0yy con las superficie

),( yxfz . En esta curva ),( 0yxfz se puede calcular la recta tangente en cualquier

punto ),,( 000 zyx que satisfaga ),( 000 yxfz . La pendiente est dada por la derivada de la funcin

),( 0yxfz con respecto a su variable x evaluada en 0xx . sta es la derivada de la funcin fen ladireccin x que no es otra cosa que la derivada parcial de fcon respecto a x, vase la figura de laizquierda. La figura de la derecha ayuda a interpretar la derivada parcial defcon respecto a y demanera anloga a como se expuso con la derivada con respecto ax.

EJERCICIOS 5.21) Para cada una de las siguientes funciones, calcule todas las derivadas parciales de primer orden.1.1) 22 yxxz , ),( bafy ; 1.2) 4ln3

2 yxz ;

1.3) 222),( xyyxxyxf ; 1.4) 22xyy

xz ;

1.5) xyxyez ; 1.6) 24),( yxyxg , ),( bafy ;

1.7)1

x

yz ; 1.8) )1(),( 3 xyyxh ; 1.9)

yxe

xyxf

/),( ;

1.10) )ln( yexz x ; 1.11) )2(3 yez yx ; 1.12) 22 yxxyz ;

1.13) 4ln32 yxz ; 1.14) 222),,( xyyxxzzyxf ;

1.15) wuuv

uwvuf

22

21

),,(

; 1.16) xyzxyezyxf ),,( ; 1.17)xyz

xyzxyxf

1),,( .


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2) Evale las derivadas parciales indicadas.

2.1) 322),( yxyxyxf , )7,2( yf ; 2.2) 7)1ln()2(22 yxyz ;

)0,2(),(

yxy

z

2.3)y

xyez x 3 ,

)1,0(),(

yxy

z; 2.4) 22xy

y

xz ,

)2,1(),(

yxx

z;

2.5) xyxyeyxf ),( , )1,2(xf )1,2(yf ; 2.6)23),( yxxyxg ,

)1,1(),(

yxy

g;

2.7)z

ezyxf

xy 32

),,(

, )1,1,2( xf )3,1,2(zf ;

2.8) )ln(),,,( utsstutsrh ,)1,1,1(),,(

utst

h,

),1,1(),,( eutst

h

;

)1,1,1(),,(

utss

h,

),1,1(),,( eutss

h

Respuestas:

1.1) yyzx

xz 2;12

; 1.2)

yyzx

xz 3;2

1.3) xyx

yfyxy

xf 2;22 22

;

1.4) xyy

x

y

zy

yx

z4;2

12

2

; 1.5) xyxyxyxy yexxey

zexyye

x

z 22 ;

;

1.6)2424

3

;2

yx

y

y

g

yx

x

x

g

; 1.7)1

1;

)1( 2

xy

z

x

y

x

z ;

1.8)3 2

3

3

1;

y

x

y

hy

x

h

; 1.9)2

/2/ );1(

y

ex

y

f

y

xe

x

f yxyx

;

1.10)yex

e

y

z

yex

ye

x

zx

x

x

x

;

1 ; 1.11) yxyx eyy

zey

x

z 33 )37(;)2(

;

1.12) ;)2( 22

22

yx

yxyxz

;)2(

22

22

yx

yxxxz

1.13) y

yzx

xz /3;2

;

1.14) xyxy

fyxyz

x

f2;22 22

; x

z

f2

; 1.15)

322

23 )1(2;

41

uv

u

v

f

vu

wvu

u

f

;

22uw

f

; 1.16) xyzxyz exyzx

y

fexyzy

x

f)1(;)1(

; xyzeyx

z

f 22

; 1.17)

yzxx

f2

1

;

;1

2zxyy

f

2

1

xyzz

f

.

2.1) 175 ; 2.2) -4 ; 2.3) 1; 2.4)2

15 ; 2.5) 23e ,

26e ; 2.6)2

1 ; 2.7) 83e ,

9

8e

;2.8) 1 ;e

e 1;

1 ;e

e 1 .


16/63


5.3 Aplicaciones a la economa

COSTO MARGINALSuponga que una industria fbrica dos tipos de artculos. Sea ),( 21 qqC la funcin de costos

conjuntos. Se define1q

C como el costo marginal con respecto a 1q y se interpreta como la razn de

cambio de Ccon respecto a 1q cuando 2q permanece fija. Normalmente se usa para aproximar el

cambio en los costos cuando la produccin aumenta una unidad en 1q y 2q no aumenta (permanece

constante). Una definicin e interpretacin similar tiene2q

C

. Recuerde, de la definicin de derivada

parcial que

h

qqCqhqC

q

C ),(),( 2121

1

, para h pequeo

y si h=1, tenemos que

),(),1(1

),(),1(2121

2121

1

qqCqqCqqCqqC

q

C

=

Pero el cambio en el costo es debido a que se produce una unidad adicional de tipo I. Es por

eso que tambin podemos decir que el costo marginal1q

C

es el costo de la unidad adicional si se

decide aumentar la produccin del primer tipo en una unidad.

Ejemplo 1.- Una compaa elabora dos tipos de celulares, el bsico y el sofisticado. La funcin decostos conjuntos est dada por

200045.01.0),( 22 xyyxyxC

dondex es el nmero de celulares bsicos yy el nmero de celulares sofisticados a producir.a) Encuentre los costos marginales cuando se producen 500 celulares del tipo bsico y 100 del otrotipo. b) Interprete sus resultadosSolucin: a) Primero calculamos las funciones de costo marginal

yxyxCx 42.0),(

xyyxCy 4),(

Evaluamos los costos marginales en (500,100)

500400100)100,500( xC

21002000100)100,500( yC

b) Interpretacin: Con un nivel de produccin de 500 celulares de tipo bsico y 100 del sofisticado,el costo total aumentar 500 UM si la produccin del tipo bsico aumenta en una unidad y la del tiposofisticado permanece constante. Por otro lado el costo total aumentar 2100 UM si la produccindel celular tipo sofisticado aumenta en una unidad y la del tipo bsico permanece constante.

Ejercicio de desarrollo.- Si la funcin de costos conjunto de una fbrica que elabora dos productos Xy Y est dada por 400540),( 2 xxyyyxC , donde x el nmero de artculos de tipo X y y elnmero de artculos tipo Y. a) Encuentre el costo marginal con respecto a y si se producen 4 artculosde tipo X y 7 de tipo Y. b) Interprete sus resultados..

Cambio en los costos cuando laproduccin aumenta una unidaden 1q y 2q permanece constante.


17/63

5.3 Aplicaciones a la economa 17

PRODUCTIVIDAD MARGINAL

El nivel de produccin de un producto depende de muchos factores, mano de obra,maquinaria, capital, capacidad de almacenamiento, etc. Llamaremos funcin de produccin, P, a lacantidad de artculos que se producen. En esta seccin supondremos que depende slo del capital

invertido, K, y de la cantidad de mano de obra empleada L. As que en general escribiremos),( LKPP .

LlamaremosK

P

la funcin de productividad marginal con respecto a Ky se interpreta como

el cambio aproximado en la produccin cuando la unidad de capital se incrementa en una unidad y elnivel de mano de obra se mantiene fija.

Similarmente,L

P

es la funcin de productividad marginal con respecto a L y se interpreta

como el cambio aproximado en la produccin cuando se incrementa en una unidad la mano de obracontratada y el nivel de inversin de capital se mantiene fija.

Ejemplo 2.- La funcin de produccin de un producto elaborado por cierta empresa est dada

por 6.04.010),( LKLKP unidades, donde L es el tamao de la fuerza laboral medido en horas-trabajador por semana y K es el monto de capital invertido por semana en UM. a) Determine lasproductividades marginales cuando K=100 y L=500.b) Interprete sus resultados.Solucin: a) Calculemos primero las derivadas parciales

6.04.010 LKKK

P

6.06.04.010 LK

K

P6.0

4

K

L

6.04.010 LKLL

P

4.04.06.010 LK

L

P

4.0

6

L

K

Al evaluar las derivadas parciales obtenemos:

K

P5.1054

100

5004 6.0

6.0

y

L

P

4.0

4.0

)2.0(6500

1006 3.15

b)Interpretacin: Si se ha estado contratando 500 horas-hombres, la produccin se incrementa enaproximadamente 3.15 unidades semanales por cada hora-hombre adicional contratada cuando Ksemantiene fija en 100 UM. La produccin se incrementa en aproximadamente 10.5 unidades semanalespor cada UM adicional de incremento en el monto semanal del capital invertido cuandoL se mantienefijo en 500 horas hombre y el capital era de 100UM.

Ejercicio de desarrollo.- La funcin de produccin de un artculo est dado porLK

KLLKP

),(

determine la productividad marginal con respecto a K.


18/63


FUNCIONES DE DEMANDA MARGINAL.PRODUCTOS COMPETITIVOS Y COMPLEMENTARIOS

Suponga dos productos en el mercado que estn relacionados en el sentido que el cambio en elprecio de uno afecta la demanda del otro. Por supuesto, el aumento de precio de uno de los productosafecta la demanda de l mismo. As que podemos en ocasiones pensar que la funcin de demanda del

producto 1 depende tanto del precio de l mismo como del producto 2. Igual consideracin podemoshacer con respecto al segundo producto. As tenemos

),( 2111 ppfq

),( 2122 ppfq

Si estas funciones son derivables con respecto a 1p y 2p , estas derivadas se llaman lasfunciones de demanda marginal.

j

i

p

q

es la demanda marginal de iq con respecto a jp .

Normalmente sabemos que si el precio del producto 1, 1p , aumenta, entonces la demanda de

este producto, 1q , disminuye, si existe la demanda marginal pertinente, tenemos que 01

1

p

q

.

Puede haber muchos tipos de situaciones de como se puedan relacionar estos dos productos.Una de ellas es el caso de dos productos complementarios, se refiere a la situacin en que elaumento de los precios de un producto lleva a que la demanda del otro disminuya.

Formalizamos lo dicho:

Un ejemplo de dos productos complementarios es la gasolina y el aceite de carro. Es claro que siel precio de la gasolina sube los carros se usarn menos y por tanto la demanda de aceite disminuir.

Otro tipo de relacin entre dos productos es cuando el aumento de los precios de un productolleva a que la demanda del otro aumente. En este caso nos referimos a productos competitivos osustitutivos. Un ejemplo de esta situacin es el pollo y la carne. La carne sustituye al pollo comofuente de protena cuando el precio de ste sube. Similarmente si el precio de la carne sube, laspersonas tienden a comprar ms pollos.

La definicin de productos competitivos o sustitutivos la podemos caracterizar a travs de lasdemandas marginales.

Ejemplo 3.- Las ecuaciones de demanda de dos productos que se interrelacionan estn dadas por

211 005.001.01000 ppq ; 2

3

4

21500

212

ppq .

Determinar, usando derivadas parciales, si los productos son competitivos, complementarios oninguno de los dos.

Definicin.- Diremos que dos productos son complementarios si

02

1

p

qy 0

1

2

p

q.

Definicin.- Diremos que dos productos son competitivos o sustitutivos si

02

1 pq y 0

1

2 pq .


19/63


Solucin: Calculamos las derivadas parciales2

1

p

q

y

1

2

p

q

005.0

2

1

p

qy

2

11

2

)4(

2

pp

q

Es claro que 0)4( 21 p y de aqu 01

2

p

q, para cualquier valor de 1p . Como 0

2

1

p

q

Entonces los productos son complementarios.

Ejemplo 4.- Las ecuaciones de demanda de dos productos que se interrelacionan estn dadas por22

211 005.002.0100 ppq ; 2

1202

12

p

pq .

Determinar, usando derivadas parciales, si los productos son competitivos, complementarios oninguno de los dos.

Solucin: Las demandas marginales 2

1

p

q

y 1

2

p

q

estn dadas por

22

1 01.0 pp

q

y

2

1

21

2

pp

q

Tomando en cuenta que 02 p , entonces 022 p y de aqu

001.0 22

1

p

p

qy 0

2

1

21

2

pp

q

En conclusin estos dos productos son competitivos.

Ejemplo 3.- Las ecuaciones de demanda de dos productos que se interrelacionan estn dadas por

2211 005.003.0200 ppq ; 12

2402

12

ppq .

Determinar, usando derivadas parciales, si los productos son competitivos, complementarios oninguno de los dos.Solucin:

Calculamos las demandas marginales

22

1 01.0 pp

q

y

12

240

21

2

pp

q

Tomando en cuenta que 02 p , entonces 0122 p y de aqu

001.0 22

1

p

p

qy 0

12

240

21

2

pp

q

En conclusin estos dos productos no son ni competitivos ni complementarios.

Ejercicio de desarrollo.- Las ecuaciones de demanda de dos productos que se interrelacionan estndadas por 211 7400 ppq ;

22

212 83600 ppq . Determinar, usando derivadas parciales, si

los productos son competitivos, complementarios o ninguno de los dos.


20/63


EJERCICIOS 5.31) La funcin de produccin de cierta empresa est dada por 3/23/130),( LKKLP , donde L es eltamao de la fuerza laboral medido en horas-trabajador por semana y K es el monto de capitalinvertido por semana en UM.

a) Determine las productividades marginales cuando K=1100 y L=4500.b) Interprete sus resultados.c) Asuma que una hora de trabajador le cuesta al empresario 1UM. Qu debera hacer el productorpara aumentar la produccin?Respuesta 1a) LP 12.505; kP 25.579 b) Interpretacin: La produccin se incrementa enaproximadamente 12,5 artculos semanales por cada hora-hombre adicional contratada cuando K semantiene fija en 1100 UM. La produccin se incrementa en aproximadamente 25,58 artculossemanales por cada UM adicional de incremento en el monto semanal del capital invertido cuando Lse mantiene fijo en 4500 horas hombre. c) Si el pago de una hora de trabajador es 1 UM, al fabricantele conviene aumentar el capital para aumentar su productividad .

2) Una funcin de produccin de la forma baLcKKLP ),( , en donde c, a y b son constantes

positivas, es llamada una funcin de produccin Cobb-Douglass si a+b=1. Demuestre quea) KaPKP // ; b) P

K

PK

L

PL

; c) Demuestre que

K

P

L

P

cuando .// abKL

3) Para cada una de las funciones de costos conjuntos para dos productos dadas abajo, encontrar loscostos marginales en los niveles dados. Interpretar los resultados.

3.1) 200321.0),( 2 yxxyxC ; x=20;y=15.

3.2) 300)(3)(2.0)(01.0),( 23 yxyxyxyxC ; x=30;y=35.

3.3) 13000),( xyyxC ; x=45;y=15.

Respuestas: 3.1) 6)15,20(

x

C ; 3)15,20(

y

C . 3.2) 75,103)35,30( xC ; 75,103)35,30( yC

3.3) 38,865)15,45( xC ; 2,596.2)15,45( yC .

4) Para cada una de las funciones de costos conjuntos de dos productos dadas abajo, encontrar loscostos marginales.

4.1) 2),( 2 xyyxC ; 4.2) )1ln(250015000),( xyyxC .

Respuesta: 4.1)22

x

yx

x

c;

y

c 22 x ; 4.2)1

xy

y

x

C;

y

C

1xy

x.

5) Para cada uno de los pares de ecuaciones de demanda de dos artculos A y B dados abajo,determine si son competitivos o complementarios o ninguno de los dos.

5.1) 22 1.0125 BAA ppq ;22 21.0130 BAB ppq ;

5.2)B

AA

pp

q201

2

1000

;

2

2

701500

BAB p

pq ;

5.3) 2/150 ABA ppq ;3/130 BAB ppq ; 5.4)

2/32/1250 BAA ppq ;2/12/1300 BAB ppq ;

5.5)1

22

A

BA

p

pq ;

2

22

B

AB

p

pq .

Respuestas: 5.1) complementarios; 5.2) Ninguna de las dos 5.3) competitivo; 5.4) Complementarios;5.5) Competitivo.


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6) Un modelo para la produccin P de miles de kilos de azcar refinada est dado por

KLKLP 12),( dondeL es el tamao de la fuerza laboral medido en miles de horas-trabajador por semana y K es elmonto de capital invertido en UM por semana.

a) Determine las productividades marginales cuando K=6000 y L=2500.b) Interprete sus resultados.Respuesta a) LP 2.3238 ; kP 0.96825 b) Interpretacin: La produccin se incrementa enaproximadamente 2323,8 kilos semanales por cada mil horas-hombre adicional de mano de obraempleada cuando K se mantiene fija en 6000. La produccin se incrementa en aproximadamente 968artculos semanales por cada UM adicional de incremento en el monto semanal del capital invertidocuando L se mantiene fijo.en 2500 miles de horas-hombre.

7) La funcin de produccin de una empresa est dada por

322

100

2

100

42

100

1

100

36),( LLKKKLP miles de unidades, donde L es medido en miles de

horas-trabajador por semana y K es el monto de capital invertido por semana en miles de UMa) Determine las productividades marginales cuandoL=10 y K=40.

b) Interprete sus resultados.Respuesta a) LP 2,4; kP 28.8 b) Interpretacin: La produccin se incrementa enaproximadamente 2.400 unidades semanales por cada mil hora-hombre adicional de mano de obraempleada cuando Kse mantiene fija en 40.000UM. La produccin se incrementa en aproximadamente28.800 unidades semanales por cada mil UM adicional de incremento en el monto semanal del capitalinvertido cuandoL se mantiene fijo en 10.000 horas hombres.

8) El nmero de cientos de libros que una editorial puede empastar semanalmente depende deL y Kde acuerdo al modelo

22 25),( LKLKKLP ,dondeL es medido en miles de horas-trabajador por semana y K es el monto de capital invertido porsemana.

a) Determine la cantidad de libros que puede empastar semanalmente si se dispone de 10 obreros enuna semana y la inversin de capital es de 6UMb) Use la derivada parcial pertinente para estimar el incremento en la produccin cuando se contrateun obrero ms, dejando fijo la inversin de capital en 6UM.c) Use la derivada parcial pertinente para estimar el incremento en la produccin cuando se invierteuna unidad adicional de capital, el nmero de trabajadores permanece fijo en 10. Estime la nuevaproduccin. Haga el clculo exacto.Respuestas: a) 680 cientos de libros; b) 70; c) 110, Estimacin de la productividad para K=7 yL=10es 79000 libros. Calculo exacto es 79500.9) La frmula del monto compuesto anual est dada por trPA )1( y se puede interpretar comofuncin de P, el capital de inversin, rla tasa anual de inters anual y tlos aos de inversin.

a) CalculeP

A

,

r

A

y

t

A

; b) Interprete

P

A

.

10) Repita el ejercicio 9 con el monto compuesto continuamente dado por la frmula rtPeA .


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5.4 Derivacin de orden superiorSi f es una funcin en las variables x y y entonces, en general, las derivadas parciales son

funciones tambin dex yy , y por tanto se puede calcular su derivada tanto parax como paray. Estasderivadas se llaman segundas derivadas parciales de f y son cuatro en total. Abajo presentamos lasnotaciones y su significado.

Segunda derivada Notacin de subndice Notacin de Leibniz

),( yxf

xxf

xx),( yxfxx 2

2

x

f

),( yxf

yxf

xy),( yxfyx

yx

f

2

),( yxf

yyf

yy ),( yxfyy 2

2

y

f

),( yxf

xyf

yx ),( yxfxy

xy

f

2

Ejemplo 1.- Encuentre las derivadas de segundo orden de xeyxyxf 342),( .Solucin: Calculamos primero las derivadas de primer orden

xx exyyxf

34 32),(

324),( yxyxfy

Procedemos ahora a calcular las derivadas de segundo orden:

xx

xxx eyexyyxf

3434 9232),(

334 832),( xyexyyxf yxxy

2232 124),( yxyxyxfyyy

332 84),( xyyxyxfxyx

Comentario: En el ejemplo anterior result ),( yxfxy ),( yxfyx . En la mayora de los casos que

presentaremos en este texto resultar esta igualdad. Pero no siempre es as. Existe un Teorema, fueradel alcance de estas notas, que garantiza que si las segundas derivadas parciales son continuasentonces la igualdad se cumple.

Las notaciones para evaluar derivadas parciales de segundo orden son similares al caso dederivadas de primer orden.

Ejemplo 2.- Encuentre)2,1(

2

xy

fdonde )1ln(),(

2

xxy

y

xyxf .

Solucin: Calculamos la derivada de primer orden con respecto ax. La funcin es reescrita como)1ln(),( 12 xyxyxyxf . En el primer trmino sale 1y de factor constante, en el segundo

trmino tambin saley de factor constante y derivamos con respecto ax como si fuera un producto

yx

xxyxy

xyxxyxy

x

f

1)1ln(2

1

1)1ln(2 11

1)1ln(2 2

2

x

xxxy

xy

f


23/63

5.4 Derivacin de orden superior 23

2ln12

1)2ln(

)2(

2

1)1ln(2

2

)2,1(

2

)2,1(

2

x

xxxy

xy

f

De manera similar se pueden definir las derivadas de orden mayor a 2. Por ejemplo yxx

f es

denotada por xxyf o tambin por

2

3

xy

f y es la derivada de xxf con respecto ay.

Para funciones de tres o ms variable tambin podemos definir las derivadas de ordensuperior.

Ejemplo 3.- Sea uuvwwvuwvug ln),,( 242 , calcule ),,( wvuguwv .Solucin: Calculamos la derivadas sucesivas.

124 ln2),,( uvwuuvwwuvwvugu vwuvwwuv ln2 24

vuvwuvwvuguw ln4),,(4

1ln16),,( 3 uwuvwvuguwv

EJERCICIOS 5.41) Calcule todas las derivadas de segundo orden incluyendo las parciales cruzadas.1.1) 23 yxyxz ; 1.2) tssttstf 223 4),( ; 1.3) )ln(),( 22 yxyxg ;

1.4)x

yz

1

2; 1.5)

2

y

xz ; 1.6)

zyxzyxf

1ln),,( 2 ;

1.7) xxyeyxf 2),( ; 1.8) uvevug 3),(

2) Calcule y evale la derivada parcial indicada.

2.1)

2

),( xyxf

, )1,2(yxf ; 2.2)

2

)2(

xyz ; )1,2(yyz

2.3)y

xyez y 3 ,

)1,1(),(

2

yxxy

z; 2.4) 2

3

21

)1ln(xy

y

yxz

,

)2,1(),(2

2

yxx

z;

2.5) yxeyxf ),( , )1,2(xyf , )1,2(yxf ;

2.6) yzxxyzzyxg 22),,( , )1,8,6();2,1,1();0,2,1( yyxyzz ggg ;

2.7) zezyxf xy /),,( 32 , )1,1,2( xxxf , )3,1,2(zxxf ; 2.8)4)32(),,( utsutsh , )1,1,1( tth , )0,1,1( uth .

Respuesta:: 1.1) 3;2;02

2

2

2

2

yx

z

y

z

x

z ; 1.2) stst

z

s

zst

t

z82;8;26

2

2

2

2

2

1.3)222

22

2

2

)(

)(2

yx

xy

x

g

;

222

2

)(

4

yx

xy

yx

g

; 1.4)

2

2

2

2

32

2

)1(

2;0;

)1(

4

xyx

z

y

z

x

y

x

z ;

1.5)x

y

yxz

xx

2)2(4

1

;

x

y

y

xzyy

2

)2(4

33

;

x

y

yzxy

2

)2(4

12

; 1.6) 2;

12

2

22

2

y

z

xx

f32

2 2

zz

z

1.7) xxx exyyf

2)44( ; 0yyf ;x

xy exf2)21( ;1.8)

xyxx eyg

329 ; xyyy exg329 ;

)31(3 32

xyeyx

g xy

; 2.1) 0; 2.2) 0; 2.3) -1 ; 2.4) 0 ; 2.5) 1 e , ;1 e 2.6) 4, 0, 0 ; 2.7)

88 9,27 ee 48 ; 2.8) 192; 72.


24/63


5.5 Regla de la cadenaPara derivar funciones compuestas de una sola variable podamos usar la regla de la cadena. Si)(xfy y x a su vez es una funcin de t, entonces podamos pensar ay como funcin de ty para

calcular su derivada lo podamos hacer directamente por la regla de la cadena:dt

dx

dx

dy

dt

dy .

En el caso de varias variables tenemos muchas situaciones. Veamos la primera.

Observacin.- Note como se ha usado los signos

de derivadas parciales cuando corresponde a una

funcin de varias variable y la notacin

d

dcuando se refiere a la derivada de una funcin en una

sola variable.

Ejemplo 1.- Sean 12 xyz donde tttx 3)( y 42)( 2 ttty . Encontrardt

dz.

Solucin: Por la regla de la cadena tenemos

dt

dy

y

z

dt

dx

x

z

dt

dz

22121312

22

txytx

y

dt

dz

Esta derivada la podemos expresar slo en trminos de tal hacer las sustituciones ttx 3 y

422 tty

221)42(21312

)42( 3223

22

tttttt

tt

tt

dt

dz.

Una segunda versin surge cuando tenemos ),( yxfz pero ahora las variables x y ydependen de otras dos variables u y v. Entonces podemos pensar que indirectamentez es funcin de uy v. As que tiene sentido calcular las derivadas dez con respecto a u y a v. Formalmente tenemos:

En toda regla de la cadena tenemos tres tipos de variables: Las variables independientes, eneste caso son u y v, las variables intermedias, en este caso x yy, y por ltimo la variable dependiente,una sola y en este casoz.

Versin 1 de la regla de la cadena.- Sea ),( yxfz funcin con derivadas parciales continuasy )(txx y )(tyy funciones derivables. Entonces ))(),(( tytxfz es derivable en ty

dt

dy

y

z

dt

dx

x

z

dt

dz

Versin 2 de la regla de la cadena.- Sea ),( yxfz , ),( vuxx y ),( vuyy funciones con

derivadas parciales continuas en sus variables. Considere )),(),,((),( vuyvuxfvuz

entonces

u

y

y

z

u

x

x

z

u

z

y

v

y

y

z

v

x

x

z

v

z


25/63


26/63


Ejercicio de desarrollo.- Sean xez yx 2 , uvuvux 2),( y vuvvuy ),( . Encontraru

z

yv

z

.

El lector puede fcilmente generalizar la regla de la cadena a distintas situaciones. Por ejemplo

si tenemos ),,( zyxfw , funcin de tres variables x , y y z los cuales son a su vez funciones der,s,ty u entonces podemos considerar w como funcin de r,s,ty u. As tiene sentido plantearse laderivada parcial de w con respecto a cualquiera de estas cuatro variables. Para obtener, por ejemplo, laparcial de z con respecto a u debemos tener en consideracin las tres variables intermedias que son

yx, y z entonces esta derivada parcial est dada por

u

z

z

w

u

y

y

w

u

x

x

w

u

w

Ejercicio de desarrollo.-a) Sea ),,( zyxfw una funcin de tres variables y estas a su vez funciones de u y v. Esto es

),( vuxx y ),( vuyy . Establezca la regla de la cadena para este caso.

b) Sean xew yzx , uvuvux 2),( , vuvvuy ),( y vuvuz 22),( . Encontraru

w

y

v

w

.

APLICACINEjemplo 3.- Suponga que la funcin de costos conjuntos de una empresa que elabora dos tipos deparaguas est dada por 70042),( 21

22

2121 qqqqqqC . Se tiene planeado reducir la produccin

de los dos tipos de paraguas en los prximos meses de acuerdo a las frmulas tq 31501

y

tq 21002 , donde test medido en meses. Exprese la razn de cambio de los costos con respectoal tiempo.

Solucin: La razn de cambio de los costos con respecto al tiempo esdt

dC. Para determinar

rpidamente esta derivada usamos la regla de la cadena

dt

dq

q

C

dt

dq

q

C

dt

dC 2

2

1

1

Tambin podemos obtener est

derivada parcial planteando eldiagrama del rbol y sumando todoslos caminos que van de w a u, comomuestra el dibujo.


27/63

5.5 Regla de la cadena 27

244342 1221 qqqqdt

dC

21 2014 qqdt

dC Esta derivada puede ser expresada en trminos de t.

)2100(20)3150(14 ttdt

dC Simplificamos

410080 tdt

dC.

EJERCICIOS 5.51) Usando la regla de la cadena, encuentre las derivadas indicadas de las funciones dadas.1.1) 3)2(),( yxyxf ; trx 5 ; try 43 ; tf /

1.2)32

yxyxz ; srx 52

;3

sy ; rz / sz / 1.3) 2),( yxyxf ; ttx 2 ; 200 ty ; dtdf/

1.4) xyzew ; trx 5 ; 32ty ; 231 rz tw / ; rw /

1.5)22xey ; 23trx ; ry / ; ty /

1.6) yzxyzxyw 2 ; 1 tx ; 32ty ; 12 tz dt

dw

1.7) yxez ; trx ; tuy 2 ; 22ruz uw / ; rw / ; tw / .

2) Sean xyxz 22 y srx 52 32ty . Use la regla de la cadena para encontrar rz / cuando r=3, s=5 y t=2.

3) Sean )32(2 xxy y trstx 22 . Encuentre ty / cuando r=0, s=1 y t=-2.4) Sea ),( vufz y u y v funciones de t. a) Establezca la regla de la cadena para este caso. b) Defina

),( vtfw donde v tambin es funcin de t, aplicar a) para calculardt

dw. Simplifique.

5) Suponga ),,,,( xwvutfz y adems wvut ,,, yx son funciones de ry s. Establezca las reglasde las cadenas aplicables a este caso.

6) Sea ),,( uwwvvufz . Demostrar que 0

w

z

v

z

u

z.

Respuestas: 1.1) tf / = 2)2(125 y ; 1.2) 22 3)3()2(5;2)2( syyyxs

zryx

r

z

1.3) dtdf/ =2

2

2

142

yx

tt

; 1.4) 265 txzeyzet

w xyzxyz ; rxyeyze

r

w xyzxyz 6 ;

1.5)224/ xxery ;

2224/ xtxety ; 1.6) tyxytzxzxxyzydt

dw2)(6)()2( 222 ;

1.7) yxeu

w

; yxe

r

w

; yxe

y

w

; 2) 0; 3) -288.


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APLICACIONES1) La funcin de costos conjuntos de dos productos viene dada por

300)(3)(1.0)(02.0),( 23 BABABABA qqqqqqqqc

y las funciones de demandas son 22 1.0125 BAA ppq ;22 21.0130 BAB ppq .

Use la regla de la cadena para calcular Apc

/ . Evaluar dicha derivada cuando 2

Ap y 3

Bp .Respuesta: )42(3)(2.0)(06.0 2 BABABA ppqqqq ; 54041,36.

2) La funcin de produccin de una fabrica est dada por 3/23/1120),( LKLKP , donde L es eltamao de la fuerza laboral medido en horas-trabajador por semana y K es el monto de capitalinvertido por semana en UM. Cuando la empresa tieneL=27 y K=8, mantiene un ritmo de crecimientoen el tamao de la fuerza laboral de 1,5 horas trabajador/semana y de 0.5UM/semana en su tasa deinversin. Calcule el ritmo de crecimiento en la produccin para estos niveles de produccin.

Respuestas: dt

dP125unidades/semana

3) La ecuacin de demanda de un producto depende del precio, 1p , de este producto y del precio, 2p ,de otro producto a travs de la relacin

3 21

21 30

p

pq miles de artculos

Se piensa aumentar los precios de estos dos productos en los prximos meses. El precio de cada

artculo dentro de tmeses estar dado por: 21 02.04.0120 ttp y2

2 03.01.090 ttp Determine el ritmo de crecimiento de la demanda dentro de un ao.Respuesta: -0.0035 miles de unidades/ao;4) La funcin de costos conjuntos de dos productos viene dada por:

222121

3121 3.0102522120),( qqqqqqqqC

y la funciones de demanda de estos productos son 211 12 ppq y 212 215 ppq

Usando la regla de la cadena, calcule 1p

C

y 2p

C

para 71 p y 52 p . Respuestas: -581.8;446,6.5) Un ceramista est haciendo un florero en forma de cilindro circular recto. Cuando tiene una formacon radio 6cm y altura 12cm cambia de dimensiones: la altura a una razn de 0.8cm/min y el radiodisminuye a razn de 0.4cm/min. a) A qu razn cambiar aproximadamente el volumen delcilindro? b) A qu razn cambiar la superficie con tapa? Respuesta: a) 0; b) min/8,1 2cm .


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5.6 Aproximaciones lineales 29

5.6 Aproximaciones lineales

Sea ),( yxfz .En el anlisis marginal se estimaba el cambio en una cantidad cuando unade sus variables cambiaba una unidad por medio de la derivada parcial. Si el cambio es en sus dosvariables podemos estimar el cambio de la funcin a travs de la frmula:

yyxfxyxfyxfyxf yx ),(),(),(),( 000000

Esta frmula es una generalizacin de la diferencial en una variable:

xxfxfxf )()()( 00 Esto es

dyxfxf )()( 0

En el caso de dos variables definiremos la diferencial dez, denotada por dz como

Similar al caso de una sola variable tenemos que

dzyxfyxf ),(),( 00

Esto es

El cambio de la funcin es aproximado por la diferencial de la funcin.

Ejemplo 1.- El nmero de cientos de libros que una editorial puede empastar semanalmente dependedeL y K de acuerdo al modelo

222),(

22 LKL

KKLP

dondeL es medido en horas-trabajador por semana y K es el monto de capital invertido por semana.a) Determine la cantidad de libros que puede empastar semanalmente si se dispone de 40 horas en unasemana y la inversin de capital es de 6UM.b) Use la diferencial para estimar el incremento en la produccin cuando se contrate un obrero ms yla inversin se reduce de 6 a 5.5 UM.Solucin:

a) 7522

40

2

40662)6,40(

22

P

b) Para estimar el cambio usamosKKLPLKLPKLPKLP KL ),(),(),(),( 000000

donde )6,40(),( 00 KL , )5.5,41(),( KL ; 1L y 5.0K As tenemos

KL

KLLK

P

24

20

000

yyxfxyxfdz yx ),(),( 0000

dzz


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)5.0(2

4064140

2

6

P

35237 P unidades.

Podemos estimar valores de la funcin en un punto dado cerca de otro para el cual podemosdeterminar rpidamente el valor de la funcin y su derivada. Si sumamos a ambos lados de unaaproximacin una cantidad constante, el orden de la aproximacin se mantiene. As en


sumamos en ambos miembros de la aproximacin ),( 00 yxf obteniendo


Interpretacin: Observe que se est diciendo que si ),( yx est cerca de ),( 00 yx entonces el valor

de ),( yxf es ),( 00 yxf ms un error que estimamos por yyxfxyxf yx ),(),( 0000

error

dzyxfyxf ),(),( 00

Ejemplo 2.- Estime por medio de diferenciales el valor de99.1

03.1.

Solucin: Debemos proponer una funcin tal que al evaluarla en un punto conveniente yx, de comoresultado este valor numrico y que al evaluarla en puntos cercanos ),( 00 yx a este punto conveniente,sepamos calcular rpidamente el valor de la funcin y de las derivadas.Se propone entonces

y

xyxf ),( y como valores 2,1),(

00

yx y 99.1,03.1, yx

Para estimar en valor de la funcin en 99.1,03.1, yx usamos:yyxfxyxfyxfyxf yx ),(),(),(),( 000000

)01.0()03.0(2

1),(),(

20

0

00

00

y

x

xyyxfyxf

)01.0(2

1)03.0(

14

1

2

1),(

2

yxf

51.001.05.0

4

01.0

4

03.0

2

1

99.1

03.1 .

Observacin: Cuando se usa una calculadora para estimar99.1

03.1se obtiene 0,50999

Ejercicio de desarrollo.-a) Estime por medio de diferenciales el valor de )03.1ln(51.2 . b) Compareel resultado con el obtenido en la calculadora.


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5.6 Aproximaciones lineales 31

Ejemplo 3.- La funcin de produccin de una empresa est dada por 3132240),( KLKLP , dondeL es medido en miles de horas-trabajador por semana y K es el monto de capital invertido por semana.a) Determine la productividad cuandoL=27 y K=216.b) Estime la produccin cuandoL aumenta a 29 y Kse reduce a 200.

Solucin:a) 69240)216()27(240)216,27( 3132 P = 12960b) Estimamos la produccin por medio de la frmula

KKLPLKLPKLPKLP KL ),(),(),(),( 000000 , donde )216,27(),( 00 KL

)2()27(3

)216(2240)16(

)216(3

)27(24012960)200,29(

3/1

3/1

3/2

3/2

P

)2(9

12240)16(

363

9240960.12)200,29(

P

280.13640320960.12)200,29( P unidades.

Comentario: Usando la calculadora tenemos el valor exacto 9,248.13)200,29( P unidades.

EJERCICIOS 5.61) Use la funcin xyyxf 2),( para estimar el valor de 03.995.2 2 .

2) En cada uno de los siguientes ejercicios, use diferenciales para estimar su valor numrico. No usecalculadora

2.1) 02.003.1 e ; 2.2) 97.399.0)99.0ln( ; 2.3) 22 97.207.4 .Respuestas:2.1) 995.0 ; 2.2) 968.1 ; 2.3) 038.5 .

PROBLEMAS1) La demanda de un tipo de automvil depende del precio de venta del automvil y del precio de lagasolina de acuerdo al siguiente modelo

23 005.01.012000040600),( gaga ppppD Si actualmente el precio de este carro es de 3600UM y el precio de la gasolina es de 0.03 UM el litro.Estime el cambio en la demanda cuando el precio de la gasolina aumenta en 0.005 UM y el preciodel carro aumenta en 5. Respuesta: -40/3 unidades.2) La superficie de un envase cilndrico est dado por hrrS 22 2 .Estime el cambio en lasuperficie cuandoa) El radio aumenta de 4 a 4.2cm. y la altura aumenta de 9 a 9.4 cm.

b) El radio disminuye de 4 a 3,7 cm. y la altura aumenta de 9 a 9.1cm.Respuesta: 114 ; 6.94 cm2.

3) La funcin de costos conjuntos de dos artculos viene dada por 20022),( 2122

2121 qqqqqqC

a) Calcule el costo de producir 120 unidades del artculo tipo 1 y 200 unidades del tipo 2.b) Estime, a travs de derivadas parciales, el costo de producir 122 artculos de tipo 1 y 205 de tipo 2.Respuesta: 21.000; 21.960 UM.


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5.7 Derivacin implcita

Suponga que z es funcin de las variables x y y, dada implcitamente a travs de unaecuacin, por ejemplo 0,, zyxF , y se quiere determinar la derivada de z con respectos a alguna delas dos variables. Muchas veces resulta imposible despejarz en funcin de las otras dos variables. Elmtodo de derivacin implcita no requiere el despeje de z para calcular las derivadas parciales dezcon respecto ax y.

Para encontrar la derivada, por ejemplo yz / , podemos derivar con respecto a y amboslados de la ecuacin que define az como funcin dex yy. Luego se despeja yz / . Recuerde que

0/ yx , pues se considera quex no depende dey.

Ejemplo 1.- Encuentre yz / por el mtodo de diferenciacin parcial implcita donde

013 22 xxyyzez Solucin:

013 22

x

y

xyyze

y

z x se comporta como una constante

0123 2

xy

y

zyz

y

ze

z Distribuimos el 3

01233 2

xy

y

zyz

y

zez Agrupamos los trminos con yz / en el lado izquierdo

1233 2

xyz

y

zy

y

ze

z Sacamos factor comn yz /

1233 2

xyz

y

zyez Finalmente despejamos

ye

xyz

y

z

z 3

123 2

.

Podemos abreviar el proceso de derivacin desarrollando una frmula para las derivadasparciales que hace usode la regla de la cadena. Consideremos la ecuacin 0,, zyxF que define az como funcin de las otras variables. Si quiere conseguir yz / , se deriva ambos miembros de la

ecuacin 0,, zyxF con respecto a y, al derivar el lado izquierdo se usa la regla de la cadena:

0

y

z

z

F

y

y

y

F

y

x

x

F

Se despeja yz / y se toma en cuenta que 0/ yx y 1/ yy quedando

Se puede demostrar similarmente que

En el ejemplo anterior se tena que xxyyzezyxF z 13,, 22 . Observe que

123 2 xyzFy y yeFz

z 3 , efectivamentez

y

F

F

y

z

.

z

y

F

F

y

z

z

x

F

F

x

z


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5.7 Derivacin implcita 33

Ejemplo 2.- La ecuacin yxezy zx 22 define a z como funcin de x y y. Encuentre

)0,2,1(),,(

zyxx

zpor diferenciacin parcial implcita.

Solucin (Mtodo 1):

yxx

ezyx

zx

22 Recuerde quey se comporta como una constante

xex

zxy

x

z zx 4)(

xezx

zxy

x

z zx 4)(

Realizamos la multiplicacin

zxzx zexex

zx

x

zy

4 Agrupamos los trminos con xz /

zx

zx

xey

zex

x

z

4 Al sacar factor comn la derivada se despeja rpidamente

34

1204

)0,2,1(),,(

zyxxz . Finalmente se evalo.

Solucin (Mtodo 2): Primero se define F, para ello escribimos la ecuacin en la forma

02 2 yxezy zx . Ahora yxezyzyxF zx 22),,( . Para encontrarx

z

usamos

z

x

F

F

x

z

zx

zx

z

x

xey

xze

F

F

x

z

4. Luego al evaluar obtenemos

3

4

12

4

)0,2,1(),,(

zyxx

z.

Ejercicio de desarrollo.- Encuentre yz / por cualquiera de los mtodos de diferenciacin parcial

implcita donde

223

yxxyzxyz .

EJERCICIOS 5.71) Las ecuaciones dadas definen a z como funcin de x y y. Encuentre las derivadas parcialesindicadas por diferenciacin parcial implcita.

1.1) xzyxyz /,33 22 ; 1.2) yzxyez zxy /,3223 ;

1.3) xzzxzyxz /,322 ; 1.4) xzyxxyz /,13 222 ;

1.5) yzxzxyzz /,2323 ; 1.6) xzxyxz /,0)ln( ;

1.7) xzxyzz /,0ln ; 1.8) yzyee zyzx /,0 .

2) Evale las derivadas parciales indicadas para los valores dados de las variables.2.1) 13 22 yxyz ; 3,2,1,,;/ zyxxz ; 2.2) 13 2 yxyzexz ; yz / ; 5,2,0,, xyx

2.3) 0,2,2,/,02 22 zyxxzyyzx .

Respuestas: 1.1)z

y

x

z

2

3

; 1.2)

xyz

xyz

xyez

xzex

y

z

23

222

; 1.3)

xyz

zx

x

z

2

2; 1.4)

z

xy

x

z

2

23

;

1.5)xyzz

zx

y

z

323

32

; 1.6)

x

xyz

x

z )1(

;1.7)

z

zy

x

z

1; 1.8)

zyzx

zy

yexe

ze

y

z

1; 2.1) 1;

2.2) 4; 2.3) 1.


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5.8 Mximos y mnimos en varias variablesEl desarrollo de la teora de mximos y mnimos en funciones de varias variables es una

extensin del caso de funciones de una sola variable.

En todo este desarrollo supondremos quefes una funcin con derivadas parciales continuas.

En la siguiente figura se tiene la grfica de una funcin que tiene un mximo absoluto en),( 00 yx . Observe como las pendientes de las rectas tangentes en la direccin de ambos ejes son

ceros, estas son las derivadas parciales con respecto ax y ay.

Los mximos relativoscorresponden a los picos o cimas de lasmontaas y los mnimos relativos a loshoyos o pozos. En los picos, alguna de lasdos derivadas parciales no existe y en loshoyos o cimas de la montaa las dosderivadas parciales son cero.

Definicin de extremo relativo.- Una funcin f en dos variables tiene un mximo relativo

(local) en ),( 00 yx si ),(),( 00 yxfyxf para todo ),( yx en una regin rectangular quecontenga a ),( 00 yx . Similarmente la funcin tiene un mnimo relativo en ),( 00 yx si

),(),( 00 yxfyxf para todo ),( yx en una regin rectangular que contenga a ),( 00 yx .


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5.8 Mximos y mnimos en varias variables 35

De manera anloga a la teora en una sola variable, si un punto ),( 00 yx es tal que

0),(0),(

00

00

yxf

yxf

y

x no implica que all se alcance un extremo relativo.

Pero estos puntos sern los nicos candidatos donde ocurran los mximos y mnimos relativosde la funcin.

Si los extremos relativos de una funcin ocurren en un punto ),( 00 yx tal que las derivadasparciales existen en puntos cercanos a este punto entonces ste es un punto crtico donde

0),(0),(

00

00

yxf

yxf

y

x

Llamaremos un punto de silla a un punto ),( 00 yx donde las derivadas parciales se hacen ceroy sin embargo no se alcanza ni un mximo ni un mnimo relativo.

En los siguientes ejemplos nos dedicaremos slo a conseguir los puntos crticos, sin

clasificarlos en mximos o mnimos.

Ejemplo 1.- Encontrar los puntos crticos de la funcin 102),( 22 yxyyxyxf Solucin:1.- Conseguimos primero las derivadas parciales de primer orden:

yxyxfx 2),(

22),( xyyxfy

De manera similar al caso de funcionesde una sola variable, existen funciones, como lasilla de montar, donde las derivadas parcialesson ceros en el punto crtico y sin embargo en

ese punto no se alcanza ni un mximo ni unmnimo relativo. Observe que en la direccin yla funcin tiene un mximo y en la direccinxtiene un mnimo.

Teorema.- Siftiene un mximo o un mnimo relativo en ),( 00 yx y las derivadas parciales existen

en ese punto y en puntos cercanos a ste entonces

0),(0),(

00

00

yxf

yxf

y

x .

Definicin de puntos crticos.- Un punto ),( 00 yx tal que

0),(0),(

00

00

yxf

yxf

y

x se lo denomina un

punto crtico def.


36/63


2.- Planteamos el sistema de ecuaciones

0),(

0),(

yxf

yxf

y

x

En este caso queda

022

02

xy

yx

)2(

)1(

Este es un sistema de ecuaciones lineales. Podemos en este caso resolverlo con cualquiera de losmtodos existente. Usamos el mtodo de reduccin. Multiplicamos por -2 la primera ecuacin

022

024

xy

yx

y sumamos ambas ecuaciones para obtener:023 x

3

2x

Para encontrary cuando3

2x sustituimos en (1) o (2), la que consideremos ms fcil de resolver,

escogemos (1)0

3

22

y

03

4 y

3

4y

En conclusin el nico punto crtico de la funcin es el punto )3

4,

3

2( .

Ejemplo 2.- Encontrar los puntos crticos de la funcin xyyxyxf 3),( 43 .Solucin:

1.- Conseguimos las derivadas parciales de primer orden:yxyxfx 33),(

2

xyyxfy 34),(3


0),(

0),(

yxf

yxf

y

x

En este caso queda:

034

0333

2

xy

yx

)2(

)1(

Este es un sistema de ecuaciones no lineal. Este sistema cae en la situacin en que podemos despejaruna de las variables en una ecuacin y sustituirla en la otra ecuacin. En este caso podemos despejar

tantox comoy. Despejamosy en la primera ecuacin

034 3

2

xy

xy

y la sustituiremos en la ecuacin (2)

03)(4 32 xx

034 6 xx


37/63


Esta ltima ecuacin la resolveremos por la tcnica de factorizacin. Primero factorizamos el ladoizquierdo sacandox de factor comn

034 5 xx Planteamos tantas ecuaciones como factores, igualando cada factor a cero:

0x 034 5 x (en la ltima ecuacin despejamos 5x )

0x 435 x (elevamos ambos miembros a

51

o de manera similar tomamos raz quinta)

0x 54

3x .

Para encontrar y cuando 0x sustituimos en (1) o (2), la que consideremos ms fcil deresolver, escogemos (1)

2)0(y As (0,0) es un punto crtico de la funcin.

Para encontrary cuando 54

3x sustituimos en (1) y despejamosy.

2

5

4

3

y

En conclusin

2

55

4

3,

4

3es el otro punto crtico de la funcin.

Ejemplo 3.- Encontrar los puntos crticos de la funcin 243 212),( yxyxyxf .Solucin:

1.- Conseguimos primero las derivadas parciales de primer orden:123),( 2 xyxfx

yyyxfy 44),(3


0),(

0),(

yxf

yxf

y

x

En este caso queda:

044

01233

2

yy

x

)2(

)1(

Este tambin es un sistema de ecuaciones no lineal, peroen este caso cada ecuacin dependede una sola variable, no hay interrelacin entre las variables del sistema. Las soluciones de la

ecuacin (1) son 2x . La ecuacin (2) la resolvemos por factorizacin,0)1(4 2 yy De aqu

0y 012 y

As las soluciones de 044 3 yy son 1,0 y Los puntos crticos en este caso estn dados por todas las combinaciones de las soluciones dex

yy, ellas son: )1,2(),1,2(),0,2( , )1,2(),0,2( y )1,2( .


38/63


Efectivamente cada uno de estos puntos satisface las dos ecuaciones del sistema deecuaciones.

Para funciones de tres o ms variables (asuma que las derivadas parciales existen y son

continuas), los conceptos anteriores pueden extenderse rpidamente. Por ejemplo si tenemos),,( zyxfw es claro cuales deben ser las definiciones de mximos y mnimos relativos y los puntoscrticos definidos como las soluciones del sistema

0),(0),(0),(

yxf

yxf

yxf

z

y

x

son los nicos candidatos a mximos y mnimos relativos.

Ejemplo 4.- Encontrar los puntos crticos de la funcin 22 23),,( zzxzxyxzyxf .Solucin:1.- Conseguimos primero las derivadas parciales de primer orden:

zyxyxfx 32),( xyxfy ),(

zxyxfz 223),(


0),(0),(0),(

yxf

yxf

yxf

z

y

x

En este caso queda:

02230

032

zxx

zyx

Este sistema de ecuaciones lineales tiene como solucin 3,0 yx y 1z .

Ejemplo 5.- Encontrar los puntos crticos de la funcin zxyzyxzyxf 22),,( .Solucin:1.- Conseguimos primero las derivadas parciales de primer orden:

yzxyxfx 2),(

xzyyxfy 2),(

1),( xyyxfz


0),(0),(0),(

yxf

yxf

yxf

z

y

x

En este caso queda

010202

xy

xzyyzx

De nuevo estamos ante un sistema de ecuaciones no lineal, donde las variables si estninterrelacionadas. En este sistema podemos despejar una de las variables en una ecuacin ysustituirla en las otras ecuaciones, formando con estas ltimas un sistema de dos ecuaciones con dosincgnitas que se intenta de resolver con las ideas vistas. En este caso podemos despejar cualquierade las variables. Despejamosy en la tercera ecuacin:


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xy

1 sustituimos esta variable en las dos primeras ecuaciones y formamos un sistema de dos

ecuaciones con dos incgnitas.

01

2

01

2

xzx

zx

x

Tenemos un sistema de ecuaciones con las variables interrelacionadas, despejamos z en lasegunda ecuacin

2

2

xz

Ahora sustituimos en la primera z por el lado derecho de esta ltima ecuacin

021

22

xxx . Sumamos fracciones

022

3

4

x

xEs una ecuacin de la forma 0

Q

P, planteamos 0P

022 4 x Despejamos la potencia y tomamos raz cuarta

1x

Para 1x , tenemos por la ecuacin2

2

xz que 2z y por la ecuacin

xy

1 tenemos que

1y . As )2,1,1( es un punto crtico.

Para 1x , tenemos por la ecuacin2

2

xz que 2z y por la ecuacin

xy

1 tenemos que

1y . As )2,1,1( es otro punto crtico.

Ejercicio de desarrollo.- Encontrar los puntos crticos de las siguientes funciones:a) yzxzyxzyxf 33),,(

b) yzxzyxzyxf 33),,(

c) yzxyxzyxf 33),,( .

Respuestas:a) Tiene infinitos puntos crticos dados por }/)3,,{( 2 Rxxxx .c) No tiene puntos crticos.

Los puntos crticos pueden ser encontrados usando softwares especializados, como MAPLE,

MATHEMATICA, entre otros. A continuacin damos una sucesin de comandos en MAXIMA quepermite encontrar los puntos crticos de la funcin del ejemplo 5 de esta seccin.(%i2) f(x,y,z):=x^2+y^2-x*y*z+z$(%i2) fx(x,y,z):=diff(f(x,y,z),x)$(%i3) fy(x,y,z):=diff(f(x,y,z),y)$(%i4) fz(x,y,z):=diff(f(x,y,z),z)$(%i5) solve([fx(x,y,z)=0,fy(x,y,z)=0,fz(x,y,z)=0],[x,y,z]);(%o5) [[x = 1, y = 1, z = 2], [x = - 1, y = - 1, z = 2],

[x = - %i, y = %i, z = - 2], [x = %i, y = - %i, z = - 2]]


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CRITERIO DE LAS SEGUNDAS DERIVADAS PARA CLASIFICARLOS PUNTOS CRTICOS

Este criterio es la versin del criterio de la segunda derivada para clasificar puntos crticos deuna funcin en una sola variable.

Esta versin para dos variables se basa en una cantidad D que depende de ),( 00 yx . Si esta

cantidad es positiva o negativa se concluir si la funcin f alcanza o no un extremo relativo en estepunto. Luego, si tiene extremo, se proceder a examinar si es mximo o mnimo relativo a travs de

.xxf

Observaciones y comentarios:1.- Si un punto crtico no es un extremo local entonces se llama un punto de silla def.2.- Resulta til memorizarse la frmula de D como un determinante

yyxy

xyxx

ff

ffD 2xyyyxx fff

3.- El lector podr observar la similitud de clasificacin de puntos crticos en los puntos 1.1 y 1.2 conrelacin al criterio de la segunda derivada en una sola variable. Le puede resultar conveniente quecada vez que aplique este criterio asocie extremos relativos y concavidad en la direccin de lasx pararecordar este criterio.

Ejemplo 6.- Encontrar los mximos y mnimos relativos de la siguiente funcin:

xyyxyxf 3),( 32 Solucin:1.- Conseguimos primero los puntos crticos:

yxyxfx 32),(

xyyxfy 33),(2

Planteamos el sistema de ecuaciones

0),(0),(

yxfyxf

y

x

En este caso queda

033

0322

xy

yx

)2(

)1(

Solucionamos este sistema despejando una de las variables en una de las ecuaciones y sustituyndolaen la otra ecuacin. En este caso despejamosx en la segunda ecuacin y la sustituimos en la primera.

Criterio de las segundas derivadas.- Sea funa funcin de dos variables y ),( 00 yx un puntocrtico defdonde las primeras derivadas se anulan, tal que en una vecindad de este punto lassegundas derivadas parciales son continuas. Sea

200000000 ),(),(),(),( yxfyxfyxfyxDD xyyyxx 1.- Si 0D entonces se alcanza un extremo relativo en ),( 00 yx y

1.1 Si 0),( 00 yxfxx entonces ),( 00 yxf es un mnimo relativo.

1.2 Si 0),(00

yxfxx

entonces ),(00

yxf es un mximo relativo.

2.- Si 0D entonces ),( 00 yxf no es un extremo relativo.3.- Si 0D el criterio no es concluyente.


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2

2 032

yx

yy

La primera ecuacin la resolvemos usando factorizacin0)32( yy

0y 032 y 0y

2

3y

Si 0y vemos que 0x y as (0,0) es un punto crtico. Si

2

3y vemos que

2

2

3

x y as

2

3,

4

9es el otro punto crtico.

2.- Para clasificar los puntos crticos usamos el criterio de las segundas derivadas. Pasamos entoncesa conseguir las segundas derivadas.

2),( yxfxx ; yyxfyy 6),( y 3),( yxfxy

Calculamos 2),(),(),(),( yxfyxfyxfyxD xyyyxx

912362),( 2 yyyxD Evaluamos ),( yxD en cada punto crtico y aplicamos el criterio:

99012)0,0( D . Como 0)0,0( D , entonces concluimos que en (0,0) no sealcanza extremos relativos. El punto (0,0) es un punto de silla.

992

312)

2

3,

4

9( D . Como 0)0,0( D , entonces en

2

3,

4

9se alcanza un extremo

relativo. Pasamos a determinar si es mximo o es mnimo relativo a travs del signo de

xxf evaluada en este punto crtico.

02)2

3,

4

9( xxf . Usando 1.1 del criterio de la segunda derivada concluimos que en

23,49 se alcanza un mnimo relativo.

Ejemplo 7.- Encontrar los mximos y mnimos relativos de la funcin 44244),( yxyyxf .Solucin:1.- Conseguimos primero los puntos crticos:

34),( xyxfx 348),( yyyxfy

Planteamos el sistema de ecuaciones

0),(

0),(

yxf

yxf

y

x

En este caso queda:

048

043

3

yy

x

)2(

)1(

La solucin de este sistema es x=0 y y=0. Por tanto el punto (0,0) es el nico punto crtico de lafuncin.2.- Para clasificar el nico punto crtico intentamos usar el criterio de las segundas derivadas.Pasamos entonces a conseguir las segundas derivadas.

212),( xyxfxx ;2128),( yyxfyy y 0),( yxfxy


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Calculamos 2),(),(),(),( yxfyxfyxfyxD xyyyxx

222 012812),( yxyxD Ahora evaluamosD en el punto crtico00)8)(0()0,0( D

El criterio no es concluyente.

Comentario.- En el ejercicio anterior podemos emplear un tipo de argumento, usando caractersticaspropias de la funcin para determinar que tipo de punto crtico es. En este caso podemos ver la funcincomo

0

44244),(

yxyyxf

Para clasificar el punto crtico (0,0) de fusamos el siguiente argumento: Los ltimos trminos de lafuncin son menores o iguales a cero, por tanto 4),( yxf y es 4 cuando 0x y 0y . As 4 esel mximo valor def y se alcanza en (0,0).

Observe que no slo concluimos que es un mximo relativo si no tambin absoluto..

Ejercicio de desarrollo.- a) Encontrar los mximos y mnimos relativos de la siguiente funcin:xxyyxezyxf

122 22),,( . b) Verifique que xxyyxzyxg 122),,( 22 alcanza sus extremos enlos mismos puntos ),( yx que f.

PROBLEMASEjemplo 8.- Encontrar las dimensiones de una caja rectangular sin tapa de volumen igual a 250cc. quetiene el rea ms pequea.Solucin: Realizamos un dibujo donde sealamos el significado de la variables.

Esta condicin o restriccin est expresado en trmino de las variables como:250xyz (ecuacin de restriccin)

Con esta condicin podemos expresar A como funcin de dos variables, por ejemplo de x y ydespejando z en 250xyz y sustituyndola en xyyzxzA 22 . Esto es

Queremos encontrar el rea mnima.El rea puede ser expresada como

xyyzxzA 22y ella tiene que cumplir la condicin

Volumen=250cc.


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xyz

250

Sustituimos z en la funcin a minimizar

xy

xy

y

xy

xyxA 250

2250

2),(

xyxy

yxA 500500

),( .

As que el problema se ha transformado en conseguir el mnimo absoluto de

xyxy

yxA 500500

),( .

Pasamos a encontrar los puntos crticos de ),( yxA

00

y

x

A

Aesto es

0500

0500

2

2

x

y

yx

Despejamosy en la primera ecuacin y la sustituimos en la segunda

0500

500

500

2

2

2

x

x

xy

0500

500

4

2

xx

xy

Resolvemos la segunda ecuacin factorizando

0)1500

(3

x

x

La solucin 0x no tiene sentido en el sistema original, pues la divisin entre cero no est

definida. La otra solucin es 3 500x , y para este valor dex tenemos que 3 500y . As que el

nico punto crtico de A es )500,500( 33 .Falta clasificar este punto crtico.Pasamos entonces a conseguir las segundas derivadas.

3

1000),(

xyxAxx ; 3

1000),(

yyxAyy y 1),( yxAxy

Calculamos

2),(),(),(),( yxAyxAyxAyxD xyyyxx

11000

),(33

2

yx

yxD

Al evaluar ),( yxD en )500,500( 33 vemos claramente que 0)500,500( 33 D por tanto

en el punto crtico se alcanza un extremo y como 0)500,500( 33 xxA resulta ser un mnimo relativo.Como existe un nico extremo relativo, ste es absoluto.


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Finalmente concluimos que la caja con mnima rea tiene dimensiones 3 500 tanto en su largo

como en su ancho y la altura est dada por2

500

500

250 3

3z .

Ejemplo 9.- Una empresa produce dos tipos de artculos A y B. El costo de fabricar un artculo de tipoA es de 4 UM y el costo de B es de 6UM Las ecuaciones de demanda estn dadas por:

BAA ppq 210 ; BAB ppq 9 expresada en cientos de unidades.Cules sern los precios de venta que maximizan la utilidad?Solucin:Debemos obtener la funcin de utilidad conjunta. Ella puede ser obtenida por la relacin

BA UUU

Para calcular AU planteamos

AAA CIU

AAAA qqpU 4

)210(4)210( BABAAA pppppU

BAABAA pppppU 4184022

Similarmente obtenemos

)9(6)9( BABABB pppppU

BAABBB pppppU 156542

De aqu

)15654()418402( 22 BAABBBABAA ppppppppppU

94111222 22 BABABA ppppppU

Ahora vamos a conseguir los puntos crticos

0,(

0),(

B

BA

A

BA

pppU

p

ppU

01122

01224

AB

BA

pp

pp

Si sumamos ambas ecuaciones se tiene2/23Ap

17Bp Tenemos entonces un nico punto crtico, pasamos a clasificarlo:

4),(

2

2

A

BA

p

ppU; 2

),(2

BA

BA

pp

ppUy 2

),(2

2

B

BA

p

ppU

Calculamos 22

2

2

2

2 ),(),(),(),(

BA

BA

B

BA

A

BA

pp

ppU

p

ppU

p

ppUyxD

4)2()2(4),( 2 BA ppD


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Al evaluar D en )17,2/23( evidentemente nos da positivo. Entonces se alcanza un extremo

relativo en este punto y como 0),(

2

2

A

BA

p

ppUconcluimos que se alcanza un mnimo relativo en

este punto.

Ejemplo 10.- Una distribuidora de alimentos quiere establecer un almacn que distribuya susproductos en tres ciudades. Las ciudades han sido ubicadas en un sistema de coordenadas. Lascoordenadas de la ciudad A son (0,0). La ciudad B tiene coordenadas (0,2) y la ciudad C est ubicadaen el punto (1,3). Dnde debe establecerse la industria con el objeto de minimizar la suma de lasdistancias del almacn a las ciudades A, B y C?Solucin: Sea ),( yx las coordenadas del almacn.El cuadrado de la distancia del punto ),( yx a la ciudad A est dada por:

Las coordenadas del nico punto crtico son )35,

31( . Falta verificar que este punto es un

mximo relativo de S.

6),( yxSxx , 0),( yxSxy y 6),( yxSyy

2),(),(),(),( yxSyxSyxSyxD xyyyxx

Como 036)3

5,

3

1( D y 0)

3

5,

3

1( xxS entonces el punto con coordenadas )3

5,

3

1( es el

que minimiza la suma de los cuadrados de las distancias.

Comentario.- El criterio para ubicar el almacn parece en principio no ser el ms razonable, sin

embargo a nivel de clculo permite trabajar mejor, porque no contempla las races de las distancias,por otro lado, este criterio penaliza las distancias grandes.

MNIMOS CUADRADOSEn ocasiones tenemos unos datos ),( 11 yx , ),( 22 yx , ),( nn yx que al graficarlos parecen

estar sobre una recta. Tambin podemos tener motivos para pensar que nuestros datos provienen deuna relacin lineal baxy entre las variables pero que en el momento de tomar los datos se ven

222 ),,( yxAyxd Similarmente obtenemos

222 )2(),,( yxByxd y

222 )3()1(),,( yxCyxd

La cantidad a minimizar es la suma de estasdistancias

222222 )3()1()2(),( yxyxyxyxSCalculamos las derivadas parciales directamente:

)1(222),( xxxyxSx

)3(2)2(22),( yyyyxSy

Queda entonces el sistema

0106026

yx


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unidad i calculo varvariables

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