Instituto Tecnológico Superior De Coatzacoalcos

Calculo Vectorial

Unidad 3 “ Funciones vectoriales de una variable real ”

Ing. Sistemas Computacionales

3ro “A”

Integrantes

Miguel Ramos Martínez

Beatriz De Jesús Cruz

Luis Felipe Pérez Hernández

Valeria Isabel Sotomayor García

Juan Manuel Torres Martínez

Jorge Antonio Ramírez García

Itzel Guadalupe Hernández Reyes

Salma Keren Mozo Santiago

Esteban Montoya Flores

Paola Ivetth Fernández Farrera

Yajahira Janett García Santos

Nidia Ivette Martínez Villegas

LIC. CFM. Violicia Soledad Sala Mazariego

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INDICE

INDICE...................................................................................................................................2

Unidad 3 “Funciones vectoriales de una variable real”.................................................3

Presentación............................................................................................................................4

Introducción a las funciones vectoriales de una variable real.................................................5

3.1 Definición de función vectorial de una variable real...................................................6

3.2 Graficación de curvas en función del parámetro t.......................................................6

Evidencia 1:...........................................................................................................................10

3.3 Derivación de funciones vectoriales y sus propiedades.............................................11

Evidencia 2:...........................................................................................................................12

3.4 Integración de funciones vectoriales..........................................................................13

Evidencia 3:...........................................................................................................................13

3.5 Longitud de arco........................................................................................................14

3.6 Vector tangente, normal y binormal..........................................................................14

Evidencia 4:...........................................................................................................................15

3.7 Curvatura....................................................................................................................16

Evidencia 5:...........................................................................................................................16

3.8 Aplicaciones...............................................................................................................17

Bibliografia...........................................................................................................................18

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Unidad 3 “Funciones vectoriales de una variable real”

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Presentación.

La siguiente antología está diseñada para que el alumno que cursa la asignatura de CÁLCULO VECTORIAL, aprenda los contenidos temáticos que abordaremos durante el semestre.

Cada actividad aborda una competencia que será una herramienta para cursos posteriores, por lo que es de vital importancia que el estudiante las realice construyendo su propio conocimiento.

Una parte fundamental del presente trabajo se refiere a la resolución de problemas como un aprendizaje significativo realizado por descubrimiento, exige la transformación y reintegración del conocimiento existente para adaptarse a las demandas de una meta específica, es decir, el solucionador relaciona intencionalmente una proposición potencialmente significativa del planteamiento de un problema a su estructura cognoscitiva, con el propósito de obtener una solución significativa.

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Introducción a las funciones vectoriales de una variable real.

Muchas cantidades se denotan por parámetros se caracterizan por componentes que son f, g y h.Algunas veces las funciones vectoriales se denotan como r ( t )=⟨ f ( t ) , g (t ) ⟩ o r (t )=⟨ f (t ) , g (t ) , h( t)⟩Técnicamente una curva en el plano o en el espacio consiste en una colección de puntos y ecuaciones paramétricas que la definen. Eso quiere decir que, dos curvas diferentes pueden tener la misma gráfica.Se llama función vectorial a cualquier función de la forma Plano r (t) = (f(t) , g(t) , h(t)) Espacio donde las funciones componentes f, g y h son funciones del parámetro t con valores reales. Este concepto se puede generalizar a espacios n dimensionales r (t) = (f(t) , g(t))Se debe distinguir entre la función vectorial r y las funciones de variable real f, g y h que son sus componentes y son funciones de la variable real t, pero r (t) es un vector mientras que f (t), g (t) y h (t) son números (para cada valor especificado de t ). Las funciones vectoriales juegan un doble papel en la representación de curvas. Tomando como parámetro t el tiempo, las podemos usar para describir el movimiento a lo largo de una curva. Más en general, podemos usar una función vectorial para trazar la gráfica de una curva. En ambos casos, el punto final del vector posición r (t) coincide con el punto (x, y) o (x, y, z) de la curva dada por las ecuaciones paramétricas. La flecha sobre la curva indica el sentido de recorrido, es decir, el sentido de valores crecientes de t . Salvo que se especifique otra cosa, se considera como dominio de una función vectorial r la intersección de los dominios de las funciones f, g y h. Por ejemplo el dominio de: es el intervalo (0, 1]

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3.1 Definición de función vectorial de una variable real.

3.2 Graficación de curvas en función del parámetro t.Una función de la forma

r ( t )=f (t ) i+g ( t ) j planoO

r ( t )=f (t ) i+g ( t ) j+h ( t ) k espacio

Es una función vectorial en donde las funciones componentes f,g y h son funciones del parámetro t. Algunas veces las funciones vectoriales se denotan

como r (t )=⟨ f (t ) , g (t ) ⟩ o r ( t )=⟨ f ( t ) , g (t ) , h( t)⟩

Técnicamente una curva en el plano o en el espacio consiste en una colección de puntos y ecuaciones paramétricas que la definen. Eso quiere decir que, dos curvas diferentes pueden tener la misma gráfica.

Ejemplo:

r=sent i+cos t jr=sen ² t i+cos² t j

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x

y(x,y) = (sin(t^2),cos(t^2)); 0.0 <= t <= 360

Se considera que el dominio de una función vectorial r es la intersección de los dominios de las funciones componentes f,g y h .

Ejemplo:

Eldominiode r (t )=ln (t )i+√1−t j+ t k es ¿

Trazado de una curva plana:

Dibujar la curva plana representada por la función vectorial r ( t )=2cos( t)i−3 sen (t) j 0≤ t ≤2π

x

y(x,y) = (sin(t),cos(t)); 0.0 <= t <= 360

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Dibujar la curva en el espacio representada por la función vectorial r (t )=4 cos( t)i+4 sen (t ) j+t k 0≤ t ≤4 π

Representar la parábola y=x2+1 mediante una función vectorial

Dibujar la gráfica C representada por la intersección del semielipsoidex2

12+ y

2

24+ z

2

4=1 z≥0

Y el cilindro parabólico y=x2

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Definición del límite de una función vectorial1. Si r es una función vectorial tal que r (t )=f (t )i+g (t ) jentonces:

limt →a

r (t)=[ limt→0f (t ) ]i+[limt→0

g ( t ) ] j planosiempre que existan los límites de f y g

cuando t→a.

2. Si r es una función vectorial tal que r ( t )=f (t ) i+g ( t ) j+h ( t ) kentonces limt →a

r (t)=[ limt→0f (t ) ]i+[limt→0

g ( t ) ] j+[ limt →0g ( t ) ] j espacio siempre que existan los

límites de f,g y h cuando t→a.Si r (t ) tiende al vector L cuando t→a, la longitud del vector r ( t )−Ltiende a cero. Es decir,

‖r ( t )−L‖→0cuandot→a

Definición de continuidad de una función vectorialUna función vectorial r es continua en una punto dado por t=a si el límite de r ( t ) cuando t→a existe y

limt →a

r ( t )=r (a)

Una función vectorial r es continua en un intervalo I si es continua en todos los puntos del intervalo.Analizar la continuidad de la función vectorial r (t )=t i+a j+(a2+t 2) kcuandot=0

A medida que t tiende a a, r(t) tiende al límite L. Para que L exista, no es necesario que r(a) esté definida o que r(t) sea igual a I

limt →0

r ( t )=[ limt →0t ] i+[ limt →0

a] j+[ limt→0(a2+t2 )]k

limt →0

r ( t )=a j+a ² k

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Evidencia 1:

1. Hallar el dominio de la función vectorial

a) r (t )=5 t i−4 t j−1tk

b) r ( t )=F ( t )+G ( t )dondeF ( t )=cos t i−sent j+√t k ; G (t )=cos t i+sent j

2. Evaluar si es posible, la función vectorial en cada valor dado de t

a) r ( t )=12t2 i−( t−1 ) j

r (1 ) ,r (0 ) , r (s+1 ) , r (2+∆ t )−r (2)

b) r (t )=ln t i+ 1tj+3 t k

r (2 ) , r (−3 ) , r (t−4 ) , r (1+∆ t )−r (1)

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3.3 Derivación de funciones vectoriales y sus propiedades.

La derivada de una función vectorial r se define como

r ’ (t )= lim∆t →0

r (t+∆ t )−r (t )∆ t

Para toda t para el cual existe el límite. Sí r ’ (c ) existe para todo c en un intervalo abierto I, entonces r es derivable en el intervalo I. La derivabilidad de funciones vectoriales puede extenderse a intervalos cerrados considerando límites unilaterales.

Derivación de funciones vectoriales:1. Si r ( t )=f (t ) i+g ( t ) jdondef y g son funciones derivables en t, entonces,

r ’ (t )=f ’ (t ) i+g’ ( t ) j plano2. Si r ( t )=f (t ) i+g ( t ) j+h ( t ) kdondef , g y h son funciones derivables en t,

entonces, r ’ ( t )=f ’ (t ) i+g’ (t ) j+h’ ( t ) k espacio

Propiedades de la derivada:Sean r y u funciones vectoriales derivables de t, f una función real derivable de t y c un escalar

1. Dt [c r (t) ]=cr ’ (t)

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2. Dt [r ( t)±u(t )]=r ’( t)±u’ (t)3. Dt [ f (t)r (t) ]=f ( t )r ’ ( t )+ f ’ (t)r (t )4. Dt [r ( t)∙ u(t )]=r (t ) ∙u ’ ( t )+r ’ (t) ∙u (t)5. Dt [r ( t)x u(t) ]=r (t ) xu ’ ( t )+r ’ ( t ) x u(t)6. Dt [r ( f (t ))]=r ’ ( f ( t )) f ’ ( t )7. Si r ( t ) ∙ r ( t )=c , entonces r ( t ) ∙ r ’ ( t )=0

Evidencia 2:

1. Dibujar la curva plana representada por la función vectorial y dibujar los vectoresr (t 0) y r ’ (t0). Colocar los vectores de manera que el punto inicial de r (t 0) este en el origen y el punto inicial de r ’ (t0) este en el punto final de r (t 0). ¿Qué relación existe entre r ’ (t0) y la curva?

a) r (t )=t ² i+t j ; t 0=2

b) r ( t )=t ² i+ 1tj ; t0=2

c) r (t )=cos t i+sent j ; t 0=π2

d) r ( t )=2 cos t i+2 sent j+t k ; t 0=3π2

2. Hallar r ’ ’ (t ) y r ’ ( t ) ∙ r ’ ’ (t )

a) r ( t )=t ³i+ 12t ² j

b) r (t )=12t ² i−t j+ 1

6t ³ k

c) r (t )=⟨ cos t+tsen t , sent−t cos t , t ⟩

3. En el ejercicio siguiente, utiliza las propiedades de la derivada para encontrar la respuesta

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3.4 Integración de funciones vectoriales.

Definicióndelaintegraldeunafunciónvectorial:1- Si r ( t )=f (t ) i+g ( t ) jdondefy gson continuas en [a ,b ], entonces la integral indefinida

( o antiderivada) de r es

∫r (t )dt=[∫ f ( t )dt ]i+[∫ g (t )dt ] j planoY su integral definida en el intervalo a≤ t ≤bes

∫a

b

r (t )dt=[∫a

b

f (t )dt ] i+[∫a

b

g ( t )dt ] j2- Si r ( t )=f (t ) i+g ( t ) j+h ( t ) kdondef, gyhson continuas en [a ,b ], entonces la integral

indefinida ( o antiderivada) de r es

∫r ( t )dt=[∫ f ( t )dt ]i+[∫ g ( t )dt ] j+[∫ h ( t )dt ]espacioY su integral definida en el intervalo a≤ t ≤bes

∫a

b

r ( t )dt=[∫a

b

f (t )dt ] i+[∫a

b

g (t )dt ] j+[∫a

b

h (t )dt ]

Evidencia 3:1. Hallar la integral indefinida

a) ∫ (2 t i+ j+k )dt

b) ∫( 1ti+ j+t

32 k )dt

c) ∫ ((2 t−1) i+3 t ³ j+3 √t k )dt

2. Evaluar la integral definida

a) ∫0

1

( 8t i+t j−k )dt

b) ∫0

π2

(acos t i+a sent j+k )dt

c) ∫0

2

( t i+et j−t et k )dt

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3.5 Longitud de arco.Longituddearcodeunacurvaenelespacio:Si C es una curva suave dada por r ( t )=x ( t ) i+ y ( t ) j+ z (t ) ken un intervalo[a ,b ], entonces la longitud de arco de C en el intervalo es:

s=∫a

b

√[ x ’(t )]2+ [ y ’ (t)]2+[ z ’ (t)]2dt=∫a

b

‖r ’ (t)‖dt

3.6 Vector tangente, normal y binormal.

DefinicióndelvectorunitariotangenteSea C una curva suave e un intervalo abierto I, representada por r. El vector unitario tangente T(t) en t se define como:

T (t )= r ’ (t)‖r ’ (t)‖

, r ’(t )≠0

DefinicióndelvectorunitarionormalprincipalSea C una curva suave en un intervalo abierto I, representada por r. Si T ’ ( t )≠0 entonces el vector unitario normal principal en t se define como:

N ( t )= T ’ (t)‖T ’ (t)‖

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Evidencia 4:

1. Hallar el vector unitario tangente T (t ) .a) r ( t )=t i+t ² j+ t k , t=2b) r ( t )=2cost i+2 sent j+t k ,t=3

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3.7 Curvatura.

Fórmulas para la curvatura:Si C es una curva suave dada por r ( t ), entonces la curvatura K de C en t está dada por:

K=‖T ’ (t)‖‖r ’ (t )‖

K=‖r ’ ( t ) x r ’’ (t )‖

‖r ’ ( t )‖3

Evidencia 5:1. Determinar la curvatura de un circulo de radio a.

a) r (t )=acos t i+a sin t j

2. Hallar la curvatura de la curva definida utilizando la formula K=‖r ’ (t ) xr ' ' (t )‖

‖r ’ (t )‖3

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3.8 Aplicaciones.

Muchos de los fenómenos que existen en la naturaleza pueden ser expresados a través defórmulas o modelos matemáticos de tal forma que si estos fenómenos reúnen lascondiciones para expresarse como un vector, entonces su modelo sería una expresiónvectorial, de la forma:

En base en lo anterior, el vector velocidad, el vector aceleración y la rapidez delinstante t vienen dados por:

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Bibliografia

http://www.matematica1.com/2012/05/vector-tangente-unitario-ejercicios.html

http://www.slideshare.net/anaceb/funciones-vectoriales-de-variable-real-presentation

https://sites.google.com/site/calculovectorialnum3/unidad-3-funciones-vectoriales-de-una-variable-real