TRABAJO COLABORATIVO UNIDAD 3. APLICACIONES DE LAS INTEGRALES CALCULO INTEGRAL

PRESENTADO POR JORGE ANDRES GRANADOS CAMPOS

COD: 1.118.121.014WALTER SANTIAGO UNDA

COD: 1.118.557.339DEISY ROJAS BARBOSA

C.C. 1.116.787.870GRUPO_361

TUTOR JACKSON ARIEL URUTIA

PROGRAMA INGENIERIA INDUSTRIAL

ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS TECNOLOGIA E INGENIERIAUNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA (UNAD)

NOVIEMBRE DE 2015CEAD YOPAL

INTRODUCCION

En el presente trabajo se mostrara un completo análisis de cada ejercicio propuesto en la guía unidad 3, que está compuesta así: Aplicación de las integrales, donde cada participante abordo temas como integrales definidas, indefinidas, regla d sumas, limite, intervalos, ejes, identidades trigonométricas, volúmenes, usos del programa geogebra, longitudes y aplicación d la ley de Hooke.

DESARROLLO DE LOS EJERCICIOS

1. Encuentre el área de la región comprendida entre la curva f ( x )=x3− x2−6 x y el eje X. sugerencia: elabore la gráfica para una mejor comprensión del ejercicio.

Rta.

Hallamos la solución de la ecuaciónx3−x2−6 x=0

x (x2−x−6)

Factorizar a (x2−x−6) para una ecuación cuadrática de la forma a x2+bx+c, encontrar u, v tal que u∗v=a∗c y u+v=b ¿ (−3 x−6 )+(x2+2x )

Factorizar −3de−3 x2−6 :−3(x+2) Factorizar x de x2+2 x : x (x+2)

¿−3 ( x+2 )+x (x+2) Factorizar (x+2)

¿ ( x−3 ) ( x−2 ) ¿ x ( x−3 ) ( x−2 )x (x+2 ) ( x−3 )=0

Resolver utilizando el principio de la multiplicación por cero así: x=0 x+2=0 x=−2 x−3=0 x=3

Las soluciones de la ecuación son: 0, -2 y 3.

La integral definida para el área seria f ( x )=x3− x2−6 x

A=∫−2

0

(x3−x2−6 x)dx+∫0

3

(x3−x2−6 x)dx

Hallamos la integral indefinida

∫ x3−x2−6 x dx

Se aplica la regla de la suma así: ∫ f ( x )±g (x )dx=∫ f (x )dx ±∫ g ( x )dx

∫ x3dx−∫ x2dx−∫ 6 xdx Se resuelve cada integral:

∫ x3dx

¿ x3+1

3+1= x4

4∫ x2dx

¿ x2+1

2+1= x3

3∫6 xdx

6 x2

2=3 x2

Se tiene como resultado los siguiente

¿ x4

4− x3

3−3 x2

Se calculan los límites remplazando los valores de la ecuación calculadoslim

x→−2+¿ x4

4 − x3

3 −3 x2¿

¿

limx→−2+¿ (−2)4

4 −(−2)3

3 −3 (−2)2=−16

3 ¿

¿

limx→ 0−¿ x4

4 − x3

3 −3 x2¿

¿

limx→ 0−¿ (0)4

4 −(0)3

3 −3(0)2=0 ¿

¿

0−(−163 )=16

3lim

x→0+¿ x4

4 − x3

3 −3 x2¿

¿

limx→ 0+¿ (0)4

4 −(0)3

3 −3 (0 )2=0¿

¿

limx→ 3−¿ x4

4 − x3

3 −3x2¿

¿

limx→ 3−¿ (3)4

4 −(3 )3

3 −3 (3)2=−63

4 ¿

¿

−634

−0=−634

El área comprendida entre la curva es de: 163

−(−634 )=A=253

12u2

A=25312

u2

2. Calcular el área de la región limitada por las curvas y2=2 x e y=x−4 Elaborar gráfica y despeje X en función de Y en las curvas dadas.

Rta.

y2=2 x y=x−4 Se despeja x en función de y queda:

x= y2

2x= y+4

Se tabula y se procede hacer la gráfica.

x= y+4

Y -3 -2 -1 0 1 2 3X 1 2 3 4 5 6 7

x= y2

2

Y -3 -2 -1 0 1 2 3X 9 /2 2 0.5 0 0.5 2 9 /2

La función superior

f(x) es; x= y+4

La función inferior

g(x) es; x= y2

2

Los límites de integración son

Igualamos las dos funciones

y2

2= y+4→ y2

2− y−4=0 semultiplica por 2 todala ecu .

y2−2 y−8=0

se factoriza

( y−4 ) ( y+2 )=0

Entonces

y=4

y=−2

En el intervalo [-2, 4]

Se aplica la fórmula; A=∫a

b

[ f ( x )−g(x )] dx

A=∫−2

4 [ y+4−( y2

2 )]dy=¿∫−2

4

[ y+4− y2

2 ] dy=∫ ydy+4∫ dy−12∫ y2dy¿

A=[ y2

2+4 y−

12∗y3

3 ]=[ y2

2+4 y− y3

6 ] 4−2

¿ [⌊ (4 )2

2+4 (4 )− (4 )3

6⌋−⌊ (−2 )2

2+4 (−2 )− (−2 )3

6⌋ ]=[ ⌊ 40

3⌋−⌊−14

3⌋ ]

¿ [⌊ 403⌋+⌊ 14

3⌋ ]=18

El área entre las curvas es de 18 unidades cuadradas.

3. Dada la curva y=√4−x2 la cual gira alrededor del eje x, ¿Cuál será el área de la superficie de revolución, generada en el intervalo [−1,1 ]?(La superficie es una porción de una esfera de radio 2).

Rta.

Interpretamos los ejes de la siguiente manera: dydx

= −x√4−x2

S=∫−1

1

2π ( y)√1+( dydx )2

dx

¿2π∫−1

1

√4− x2 √1+ x2

4−x2 dx

¿2π∫−1

1

√4− x2 2√4−x2

dx

¿4 π∫−1

1

1dx

El área de la superficie de revolución para el intervalo [−1,1], teniendo en cuenta la porción de la esfera dada es ¿4 π (2 )=8π

4. Determinar la longitud de la curva y=ln|cos x|enel intervalo [ 0 , π /3 ]

y= ln|cos x|[ 0 , π /3 ]

Organizamos y hacemos la gráfica.

X 0 π /3y 0 -0.7

Para hallar la longitud de arco se la siguiente fórmula

L=∫a

b

√1+[ f ´ (x)]2dx

Se obtienen f´(x)

f ( x )=ln|cos x|

f ´ ( x )=−sin xcos x

=− tan x

Se aplica la formula.

L=∫0

π3

√1+[−tan x ]2dx

L=∫0

π3

√1+ tan x2dx

Por identidad trigonométrica: 1+ tan x2=sec x2

L=∫0

π3

√sec x2dx

L=∫0

π3

sec x dx= ln ⌊ sec x+ tan x ⌋π30

L=[ln ⌊ sec π3 + tan π3⌋−[ ln ⌊sec 0+ tan0 ⌋ ]]

L=[ ln ⌊2+√3 ⌋−[ ln ⌊1+0 ⌋ ] ]

L=[ ln ⌊2+√3 ⌋−[ ln ⌊1 ⌋ ] ]

L=[ ln ⌊2+√3 ⌋−[ 0 ] ]

L=ln ⌊2+√3 ⌋≈1.317

La longitud de la curva es de 1.317 unidades.

5. Encontrar el volumen del sólido formado al girar la región acotada por f ( x )=2−x2, y g ( x )=1 alrededor de la recta y=1. Sugerencia: utilice el método de los discos para hallar el volumen del sólido y elabore la gráfica para una mejor comprensión del ejercicio.

Rta.

Realizamos el siguiente planteamiento con los datos obtenidos 2−x2=12−x2−1=01−x2=0−( x+1 ) ( x−1 )=0x+1=0x=−1x−1=0x=1

Procedemos a hallar el volumen.

V=π∫−1

1

[R ( x ) ]2dx

¿ π∫−1

1

[1−x2 ]2dx

Se calcula la integral indefinida de:

∫ [1−x2 ]2dx(1−x2 )2=(x4−2x2+1)

∫(x4−2 x2+1)dx

Se aplica la regla de la suma: ∫ f ( x )±g (x )dx=∫ f (x )dx ±∫g ( x )dx

∫ x4dx−∫ 2x2dx+∫1dx

∫ x4dx= x5

5

∫2 x2dx=2 x3

3∫1dx=x

¿ π [ x5

5−

2x3

3+x ] 1

−1+c

calculamos límites

∫−1

1

[1−x2 ]2dx

limx→−1+¿(¿ x

5

5 −2 x3

3 +x)¿ ¿

¿

¿ (−1 )5

5−2 (−1 )3

3+ (−1 )

¿−15+ 2

3−1=−8

15lim

x→ 1−¿(¿ x5

5 −2x3

3 + x)¿¿

¿

¿(1 )5

5−

2 (1 )3

3+ (1 )

¿ 15−2

3+1= 8

158

15−(−8

15 )=1615

π 1615

=1615

π u . cubicas .

6. Halle el volumen del solido generado al rotar sobre el eje x=−1 la región encerrada por la parábola x= y2, y la recta x=2 y. Sugerencia: utilice el método de las arandelas para hallar el volumen solido y elabore la grafica para una mejor comprensión del ejercicio.

Rta.

Eje = -1 x= y2

x= 2y

Realizamos el siguiente planteamiento con los datos obtenidos:y2=2 yy2−2 y=0y ( y−2 )=0y=0y−2=0

y=0 y=2

Si y = 0 entonces x=2*0 =0 (0,0)

Si y=2 entonces x= 2*2 = 4

v=π∫0

2

[2 y−(−1 ) ]2−[ y2−(−1 ) ]2dy

¿ π∫0

2

¿¿

¿ π∫0

2

4 y2+4 y+1−( y2+2 y+1 )dy

¿ π∫0

2

3 y2−2 ydy

¿ π ( y3− y2 )|02=4 π

7. Hallar el centroide ( x¿

, y¿

) de la región limitada por la curva y=x2 y la recta

y=x+2 .

Rta.

y=x2

y=x+2

x+2=x2

x2−x−2=0

( x+1 ) ( x−2 )=0

x=−1 x=2

x=∫−1

2

x [x+2−x2 ] dx

∫−1

2

[ x+2−x2 ] dx

¿∫−1

2

[ x2+2x−x3]dx

∫−1

2

[ x+2−x2 ]dx

2-1

X +2

¿[ 13x3+ 2∗1

2x2− 1

4x4]

−1

2

[12x2+2 x−1

3x3]

−1

2

¿¿¿

¿( 83+4−4−(−1

3+1−1

4 ))2+4−

83−(1

2−2+13 )

Simplifico

¿

9492

=9∗29∗4

= 24=1

2

y=12∫−1

2

¿¿¿

¿

12∫−1

2

[ x2+4 x+4−x4 ] dx

92

¿

12 [1

3x3+ 4∗1

2x2+4 x−1

5x5]

−1

2

92

¿

12 [1

3(2 )3+2∗22+4∗2−1

5(2 )5−( 1

3(−1 )+2−4+ 1

5 )]92

¿

12 [1

3∗8+8+8−32

5+ 1

3−2+4−1

5 ]92

¿

12 [72

5 ]92

=7245

¿( 12, 7245 )

0N .m

8. Una varilla de longitud 60cm tiene una densidad lineal que varía proporcionalmente al cuadrado de su distancia a uno de los extremos, es decir p ( x )=R x2para R una constante. Si la densidad en el extremo más pesado es de 7200g/cm, halla su masa total y centro de masa (Ce). p ( x )=¿Unidades de masa por unidad de longitud.

Rta.

La densidad lineal será: p ( x )=R x2

x=60p (60 )=7200R∗(60 )2=7200

R=72003600

=2

Por lo tanto quedaría planteado de la siguiente forma: p ( x )=2x2

Para hallar la masa (m) utilizamos la siguiente formula:

m=∫0

L

S1 ( x )dx

m=∫0

60

2 x2dx

Se calcula la integral indefinida:

∫2 x2dx=2 x3

3+c

∫0

60 2 x3

3dx

Se procede a calcular los límiteslim

x→ 0+¿ 2x3

3 ¿

¿

limx→ 0+¿ 2 (0 )3

3 =0¿

¿

limx→ 60−¿ 2 x3

3 ¿

¿

limx→ 60−¿ 2 (60 )3

3 =144000 ¿

¿

144000−0=144000 gr El momento de la masa total será:

M=∫0

L

xS1 ( x )dx

M=∫0

60

x∗2 x2dx

M=2∫0

60

x∗x2dx

M=2∫0

60

x3dx

M=∫0

60

2 x3dx

Se calcula la integral indefinida:

∫2 x3dx=2 x4

4 Se calcula los límites:

limx→ 0+¿ 2x4

4 ¿

¿

limx→ 0+¿ 2 (0 )4

4 =0¿

¿

limx→ 60−¿ 2 x4

4 ¿

¿

limx→ 60−¿ 2 (60 )4

4 =6480000 gr ¿

¿

6480000−0=6480000 gr El centro de la masa es de

x=∫

0

L

xS1 ( x )dx

∫0

L

S1 ( x )dx

x=6480000144000

=45cm

La varilla se debe suspender a 45 cm del extremo más liviano, para que quede en equilibrio.

9. a ( t )=π2 cos (πt ) mseg2

Rta.

Cuando t=0 ; s=0 , v=8 mseg

∫ a ( t )dt=v ( t )+c

∫ π2 cos (πt )dt=¿ π sen (πt )+c¿

Entoncesv ( t )=π sen (πt )+c v (0 )=π sen ( π .0 )+c=8v (0 )=0+c=8

Entonces c=8 v ( t )=π sen (πt )+8

∫ v (t )dt=s ( t )+c

∫ π sen (πt )+8dt=−cos ( πt )+8 t+c Entonces s (t )=¿

−cos (πt )+8 t+cs (0 )=−cos (π .0 )+8.0+c=0Entonces c=0s(t )=−cos (πt )+8 ts (1 )=−cos (π .1 )+8.1=1+8=9Ladistancia cuando t=1 seg ;es de9m

10. Una fuerza de 40 N se requiere para detener un resorte que está estirado desde su longitud natural de 10 cm a una longitud de 15 cm. ¿Cuánto trabajo se hace al estirar el resorte de 15 a 18 cm?

Rta.

Por la ley de Hooke.

F= 40N

F ( x )=kx40 N=k (0,05m )

k= 40N0,05m

=800N /m

F ( x )=800 x

W=∫15

18

800 xdx

¿ [ 800∗12

x2]15

18

=¿

400 x2|1518=¿

¿400 [182−152 ] ¿400 [ 99 ]=39600N .m

11.Las funciones de la oferta y la demanda de cierto producto están dadas por S ( x )=52+2x y D ( x )=100−x2. Determine el excedente del consumidor y del productor, suponiendo que se ha establecido el equilibrio del mercado.

Rta. S ( x )=52+2x D ( x )=100−x ² S ( x )=D ( x ) 52+2 x=100−x ² x2+2x=100−52 x2+2x=48

Complementamos cuadradosx2+2x+1=48+1 x2+2x+1=49 ( x+1 )2=7² x+1=+¿−7 x=−1+¿−7

Obtenemosx1=−1−7=−8 x2=−1+7=6

Escogemos cual nos sirve x=6 S (6 )=52+2 (6 )=64 D (6 )=100−6²=64

10 15 18

Cálculo superávit del productor Sp=∫ [ x de0aqo ] (D ( x ) po )dx Sp=∫ [ x de0a6 ] ( (100−x ² )−64 )dx Sp=∫ [ x de0a6 ] (100−x2−64 )dx Sp=∫ [ x de0a6 ] (36−x ² )dx Sp=(36 x−( 1

3 )x ³) [x de0 a6 ] Sp=(36∗(6 )−( 1

3 )∗6³)−(36∗0−( 13 )∗0³)

Sp=(216−( 13 )216)− (0−0 )

Sp=216−72 Sp=144

Cálculo de superávit del consumidor Sp=∫ [ x de0aqo ] ( po−S ( x ) )dx Sp=∫ [ x de0a6 ] (64−(52+2 x ) )dx Sp=∫ [ x de0a6 ] (64−52+2x )dx Sp=∫ [ x de0a6 ] (12−2+2 x )dx Sp=(12 x+ x ² ) [ xde 0a6 ] Sp=(12 (6 )+6² )−(12 (0 )−0² ) Sp=(72−36 )− (0−0 ) Sp=36

El costo marginal de un artículo cuando se produce x unidades es −3 x2+60x+4000 pesos por unidad, Si el costo total de producción de la s10 primeras unidades es $9000 ¿Cuál es el costo total de las 50primeras unidades? Rta. −3 x2+60x+4000

12.El costo marginal de un artículo cuando se producen x unidades es −3 x2+60x+4000 pesos por unidad. Si el costo total de producción de las 10 primeras unidades es $90000, ¿Cuál es el costo total de producción de las 50 primeras unidades?

Rta.

costomarginal dcdx≥0

−3 x2+60x+4000≥0

Aplicamos la fórmula de costo total de producción: C ( x )=∫ c' ( x )dx

C ( x )=∫(¿−3x2+60 x+4000)dx¿ Aplicamos la regla de la suma

∫−3 x2dx=−3x3

3=−x3

∫60 xdx=60 x2

2=30 x2

∫ 4000dx=4000 x ¿−x3+30 x2+4000 x+c C (10 )=90000 90000=−x3+30x2+4000 x+C

Remplazamos a x por 50 así 90000=−(50 )3+30 (50 )2+4000(50)+C c+150000=90000 c=90000−150000=−60000 c ( x )=−x3+30x2+4000 x−60000

CONCLUSIONES

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

Bonnet, J. (2003). Cálculo Infinitesimal: Esquemas teóricos para estudiantes de ingeniería y ciencias experimentales. Recuperado dehttp://datateca.unad.edu.co/contenidos/100411/Calculo_integral-100411_version_AVA/Calculo_Infinitesimal.pdfEducatina. (01 de febrero de 2012). Aplicación de integral: cálculo de áreas - análisis matemático. [video]. Disponible enhttp://www.youtube.com/watch?v=J0QhITKrK8EAyala, J. (2013). Videos en Texto Unidad 3. Recuperado de http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100411/Calculo_integral-100411_version_AVA/Videos_en_texto_Unidad_3.pdfTareas Plus. (28 de agosto de 2012). Volumen de sólidos y la integral definida (conceptos). [video]. Disponible en http://www.youtube.com/watch?v=3CQaKX5Jq6UTareas Plus. (29 de agosto de 2012). Volumen de un sólido de revolución ejemplo 1. [video]. Disponible en http://www.youtube.com/watch?v=uYnlGG3IaMIAyala, J. (2013). Videos en Texto Unidad 3. Recuperado de http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100411/Calculo_integral-100411_version_AVA/Videos_en_texto_Unidad_3.pdf

Ayala, J. (26 de febrero de 2013). Aplicación de la integral a la física – trabajo mecánico. [video]. Disponible en http://www.youtube.com/watch?v=ug-dvDfU8R0Delgado, R. (04 de noviembre de 2012). Integral aplicada a la economía. [video]. Disponible en http://www.youtube.com/watch?v=g5IsC56fC5ARuiz, E. (09 de abril de 2012). Ingreso marginal y utilidad marginal. [video]. Disponible en http://www.youtube.com/watch?v=9zzM8S3l74IAyala, J. (2013). Videos en Texto Unidad 3. Recuperado de http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100411/Calculo_integral-100411_version_AVA/Videos_en_texto_Unidad_3.pdfTomado de YouTube https://www.youtube.com/user/julioprofeTomado de YouTube http://julioprofe.net/Tomado de Geogebra https://www.geogebra.org/