unidad 2 calculo
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2.1 Concepto de variable, función, dominio, codominio y recorrido de una función.
El dominio de una funcion son todos los valores que puede tomar el conjunto del dominio y que encuentra correspondencia en el conjunto llamado codominio.
Codominio o rango de la función en ocasiones llamado imagen, este conjunto es la gama de valores que puede tomar la función; en el caso del plano son todos los valores que puede tomar la función o valores en el eje de las Y
VARIABLE INDEPENDIENTE:Es aquella variable que no depende de ninguna otra variable, en el ejemplo anterior la x es la variable independiente ya que la y es la que depende de los valores de x.
VARIABLE CONSTANTE: Es aquella que no esta en función de ninguna variable y siempre tiene el mismo valor ejemplo:gravitacional, entre otras.
2.2 Función inyectiva, suprayectiva y biyectiva.
inyectiva y no sobreyectiva:
En una función inyectiva, cada elemento imagen tiene única preimágen. Un función que no sea inyectiva, tendrá al menos dos elementos diferentes del dominio que tienen la misma imagen.
En una función suprayectiva (sobreyectiva) cada elemento del codominio es imagen de algún elemento del dominio. Una función no será suprayectiva, cuando al menos un elemento del codominio (conjunto final)
no tenga una preimagen.
En el diagrama de Venn corresponden a las aplicaciones que pertenecen a A y no pertenecen a B, esto es las que pertenecen a la diferencia de A y B: A-B.
En estas aplicaciones la cardinalidad de X es siempre menor que la de Y, esto es el conjunto Y tendrá mayor número de elementos que X cuando tratamos de compararlos.
Aplicación no inyectiva y sobreyectiva:
Una aplicación no inyectiva tiene al menos un elemento imagen que tiene dos o más orígenes y una sobreyectiva todos los elementos del conjunto final tienen al menos un elemento origen.
En el diagrama de Venn corresponden a las aplicaciones que no pertenecen a A y si pertenecen a B, esto es las que pertenecen a la diferencia de B y A: B-A. Para esta aplicación el conjunto X ha de tener mayor número de elementos que Y, la cardinalidad de X ha de ser mayor que la de Y.
El elemento c de Y, tiene dos orígenes: el 3 y el 4, por lo que esta aplicación no es inyectiva. Todos los elementos de Y, tienen origen, esto hace que la aplicación sea sobreyectiva.
Un ejemplo resumido:
2.3 Función real de variable real y su representación gráfica.
Sea una función real de variable real. A cada le hace corresponder un valor numérico que es la imagen de x por f.
GRAFICO DE UNA FUNCIÓN
“x” representa la variable independiente y toma valores en el conjunto original D
“y” representa la variable dependiente y toma valores en el conjunto imagen
Son funciones donde el conjunto final es el conjunto de números reales (funciones reales) y el conjunto inicial también es de (variable real).
2.4 Funciones algebraicas: función polinomial, racional e irracional.
Las funciones racionales se obtienen con el cociente de dos funciones polinómiales.
La función es irracional cuando algún exponente del polinomio no es entero.
Las funciones polinómicas, anteriormente citadas, racionales e irracionales se llaman funciones algebraicas
Las funciones que no son algebraicas, como las exponenciales, logarítmicas y trigonométricas se llaman funciones trascendentes
Otro tipo de funciones interesantes son las funciones no elementales tales como: la función delta, función parte entera, la función random, la función valor absolutos entre otras...
Otra forma de clasificar las funciones es en funciones explicitas e implícitas. Se dice que una función es implícita cuando la variable dependiente no esta despejada, por ejemplo: 2y+xy= x2, y en caso contrario se le llamara explicita por ejemplo: y(x)=3x2+1.
2.5 Funciones trascendentes: funciones trigonométricas y funciones exponenciales.
En las funciones trascendentes la variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.
Función exponencial
Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax se llamaexponencial de base a y exponente x.
Funciones logarítmicas
La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.
Funciones trigonométricas
La funciones trigonométricas asocian a cada número real, x, el valor de la razón trigonométrica del ángulo cuya medida en radianes es x.
Función seno
f(x) = sen x
Función coseno
f(x) = cosen x
Función tangente
f(x) = tg x
Función cosecante
f(x) = cosec x
Función secante
f(x) = sec x
Función cotangente
f(x) = cotg x
2.6 Función definida por más de una regla de correspondencia. Función valor absoluto.
La función de valor absoluto tiene por ecuación f(x) = |x|, y siempre representa distancias; por lo tanto, siempre será positiva o nula.En esta condición, de ser siempre positiva o nula, su gráfica no se encontrará jamás debajo del eje x. Su gráfica va a estar siempre por encima de dicho eje o, a lo sumo, tocándolo.Las funciones en valor absoluto siempre representan una distancia o intervalos (tramos o trozos) y se pueden resolver osiguientes pasos:1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces (los valores de x).2. Se forman intervalos con las raíces (los valores de x) y se evalúa el signo de cada intervalo.3. Definimos la función a intervalos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función.
4. Representamos la función resultante.
2.7 Operaciones con funciones: adición, multiplicación, composición.
Las funciones se pueden utilizar de la misma manera que los números: sumar, restar, multiplicar, dividir, elevar a una potencia, sacar raíz o se
2.9 Funciones con dominio en los números naturales y recorrido en los números reales: las sucesiones infinitas.
Una sucesión numérica es una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales y cuyo recorrido está incluido en el conjunto de los números reales.
En símbolos:
s: lN lR / n lN: s(n) = an
Es decir que:- a1 es la imagen del número natural 1 por medio de la sucesión 1 s(1) = a1
- a2 es la imagen del número natural 2 por medio de la sucesión 2 s(2) = a2
3 s(3) = a3
De acuerdo con esta definición, cada elemento de una sucesión puede representarse como un par ordenado (n, s(n)) o bien (n,consiguiente, toda sucesión puede representarse gráficamente mediante un diagrama cartesiano.
2.10 Función implícita.
Una función y (x) se llama implícita cuando está definida de la forma F (x, y) = 0 en lugar de la habitual.
Por ejemplo, puede probarse que la siguiente ecuación define una función implícita en cierta región de entre las variables
Diferenciación
Para poder derivar una función implícita se usa la Regla de la cadena, en el caso de la variable independiente no hay problema ya que se deriva
directamente, para la variable dependiente se considera como una función que a su vez esta en función de la variable independiente:
Dada una función F(X,Y), implícita, si queremos calcular la derivada de y respecto de x: .
dy/dx=f´(X)
Si consideramos Y = F(x) es una función en términos de la variable independiente x y G(y) es una función en términos de la variable dependiente y, dado que Y= f(x) , entonces para obtener la derivada:
2.8 Función inversa. Función logarítmica.Funciones trigonométricas inversas.
Dada una función , se llama una (función) inversa de , a una función tal que se cumple las siguientes condiciones:
.
Decimos también que la función f es invertible
Cuando existe una función inversa de f, se demuestra que esa función es única, por lo que se habla de la inversa y se la denota por
Se verifica también las siguientes propiedades.
Una función tiene inversa si, y sólo si, es biyectiva. La función inversa de una función es invertible, y su inversa es la función original. O sea que (f − 1) − 1 = f. La composición de dos funciones invertibles es invertible, y su inversa es la composición de las inversas de los factores pero con el orden
invertido.
.
Funciones logarítmicas
Una función se llama logarítmica cuando es de la forma y = log a x donde la base a es un número real y positivo pero distinto de 1
En la función logarítmica (cuando a > 1) cuanto mayor es la base del logaritmo, más cerca del eje X está.
Las funciones de la forma y = log a x cuando la base es mayor que la unidad (a > 1) tienen las siguientes características:
(tomando como ejemplo la función f (x) = log 5 x)
-Dominio: el dominio de la función son los reales positivos puesto que no existe el logaritmo de un número negativo. Dom (f) = R +
Funciones trigonométricas
son las funciones que se definen a fin de extender la definición de las razones trigonométricas a todos los números reales.surgen de una forma natural al estudiar el triángulo rectángulo y observar que las razones (cocientes) entre las longitudes de dos cualesquiera
de sus lados sólo dependen del valor de los ángulos del triángulo
funcion seno
Funcion coseno
Funcion tangente
