Valores extremos de funciones de varias variables

Extremos de una función de varias variables. Condiciones suficientes para la

existencia de extremos locales.

En esta sección estudiaremos algunos problemas de optimización para campos

escalares, es decir, analizaremos la existencia, clasificación y obtención de

extremos (máximos y mínimos) relativos y absolutos de una función escalar 2 f xy

U f xy :( , ) ( , ) , ∈⊆ → ∈ \ \ de dos variables (respectivamente, tres variables 3 f

xyz U f xyz :( , , ) ( , , ) ∈⊆ → ∈ \ \ ). La función f de la que se desean conocer sus

extremos se llama función objetivo. Los resultados que estudiaremos en esta

sección guardan una gran analogía con el estudio de los máximos y mínimos de

una función de una única variable.

Definición. Una función   tiene un máximo (mínimo) en un

punto  si el valor de la función en este punto es mayor (menor) que su

valor en cualquier otro punto X(x,y) de algún entono de P. Condiciones necesarias

de extremo. Si una función diferenciable  alcanza un extremo en el

punto  entonces sus derivadas parciales de primer orden en este punto

son iguales a cero, o sea:

;

Los puntos en los que las derivadas parciales son iguales a cero se llaman puntos

críticos o estacionarios. No todo punto crítico es un punto extremo. Condiciones

suficientes para la existencia de extremos.

(a) Caso de dos variables. Sea  un punto crítico de una función   

con las derivadas parciales de segundo orden continuas en P, y sea el

determinante de su matriz hessiana, entonces:

Es decir, si el hessiano es positivo hay extremo (el tipo nos lo da  , si es

negativa máximo y si es positiva mínimo). Si el hessiano es negativo no hay

extremo. Y si el hessiano es cero hay duda (que habrá que resolver por otro

método)

(b) Caso de tres o más variables. Calculamos los siguientes determinantes:

;  ; ;...;

i. Si todos los determinantes tienen signo positivo, entonces la función tiene

un mínimo en 

ii. Si los determinantes tienen signo alterno (comenzando con un valor

negativo  ), entonces la función tiene un máximo en 

iii. En cualquier otro caso hay duda.

Ejemplo1:

Halla los extremos de la función 

Solución:

(a) Calculamos las derivadas parciales de primer orden.

;

Los puntos críticos se obtienen igualando a cero las derivadas parciales.

y resolviendo el sistema obtenemos x=0, y=3. Luego P(0,3) es el único punto

crítico de la función.

Hallamos la matriz hessiana de f en P (0,3).

Con lo cual tenemos H (0,3)=+3 luego hay extremo y como  se trata

de un mínimo. El valor de la función en el mínimo es f(0,3)=-8.

Ejemplo 2:

Halla los extremos de la función 

Solución:

(a) Calculamos las derivadas parciales de primer orden.

;

Los puntos críticos se obtienen igualando a cero las derivadas parciales.

y resolviendo el sistema obtenemos x=0, y=0. Luego P(0,0) es el único punto

crítico de la función.

Hallamos la matriz hessiana de f en P (0,0).

Con lo cual tenemos H (0,0)=0 luego hay duda.

Para determinar la naturaleza del punto crítico hay que acudir a otros criterios, en

este caso basta observar la función para que se trata de un mínimo ya que

El valor de la función en el mínimo es f

(0,3)=-8.

Ejemplo 3:

Halla los extremos de la función 

Solución:

(a) Calculamos las derivadas parciales de primer orden.

; ;

Los puntos críticos se obtienen igualando a cero las derivadas parciales.

y resolviendo el sistema obtenemos x=0, y=0, z=0. Luego P(0,0,0) es el único

punto crítico de la función.

Hallamos la matriz hessiana de f en P(0,0,0).

Con lo cual tenemos los siguientes determinantes:

; ;

Con lo cual ni son todos positivos ni de signos alternos, luego hay duda.

Para determinar la naturaleza del punto crítico hay que acudir a otros criterios, en

este caso basta observar la función para que se trata de un punto silla

para los puntos del tipo

(0,0,z) y  para los puntos del tipo (x,y,0).

Observación: Un punto silla no significa que la gráfica tenga necesariamente la

forma de una “silla de montar”, sino simplemente que cerca del punto crítico la

función toma valores superiores y otros inferiores al valor que toma en dicho

punto.

Integrales dobles en coordenadas polares

Definición: Cambio a coordenadas polares en una integral doble

Si deseamos integrar   función definida dentro de una región , generalmente lo

haríamos evaluando la integral doble   sobre la región de integración

que definiríamos utilizando los métodos que hemos visto antes en coordenadas

rectangulares. Un problema que puede presentarse seria si se deseara trabajar

con ciertas figuras circulares (p.ej. círculos, paraboloides, elipsoides, etc.), la

definición de su región de integración se vuelve algo complicada.

Una forma en la que nos facilitamos el trabajo es el trabajar para coordenadas

polares, dado que estas se adecuan de mejor manera a las formas circulares.

Recordemos las ecuaciones que relacionan coordenadas polares con

rectangulares

Entonces, haciendo esta transformación, tendríamos que ahora la región   está

definida como

el diferencial de área   se definiría como

y la integral quedaría como

Teorema

Si   es continua en un rectángulo   dado por  ,

donde   entonces,

Procedimiento: Cuando se va a calcular una integral doble en coordenadas

polares, podemos considerar tres tipos diferentes de regiones: (a) Regiones de

Rectángulos Polares, en las que los 4 límites son constantes, (b) Regiones Tipo I,

en las que debe integrarse primero la variable r, y (c) Regiones Tipo 2, en las que

debe integrarse primero la variable θ. Ambas regiones se ilustran gráficamente, y

simbólicamente, en la Tabla de la página 86. Esta tabla debe estudiarse

detenidamente antes de proceder a resolver los ejercicios siguientes

Diferencial de área en coordenadas polares:

Recordando la relación entre el radio y la longitud de arco en un sector circular

está dada por: s = rθ, tenemos entonces que el diferencial de área en

coordenadas polares está dado por dA = (dr)(rdθ ) como se muestra en la figura.

Se acostumbra escribir como dA = r dr dθ

Algunas integrales dobles son mucho más fácil de calcular en forma polar que en

forma rectangular. Esto es especialmente cierto para regiones circulares, en forma

de cardiode o de pétalo de curvas de rosa, y para integrados donde aparezca x2 +y2.

La relación entre Las coordenadas polares (r, 0) y las rectangulares (x,y) de un

punto, a saber

X = r cos 0  e  y = r sen 0

R2 = x2 + y2  y  tg 0 = y/x

 De la misma manera en que la integral de una función positiva f (x) de una variable

definida en un intervalo puede interpretarse cómo el área entre la gráfica de la

función y el eje x en ese intervalo, la doble integral de una función positiva f (x, y)

de dos variables, definida en una región del plano xy, se puede interpretar como el

volumen entre la superficie definida por la función y el plano xy en ese intervalo. Al

realizar una “integral triple” de una función f (x, y, z) definida en una región del

espacio xyz, el resultado es un hipervolumen, sin embargo es bueno notar que si f

(x, y, z) = 1 el resultado se puede interpretar como el volumen de la región de

integración. Para integrales de órdenes superiores, el resultado geométrico

corresponde a hipervolúmenes de dimensiones cada vez superiores.

La manera más usual de representar una integral múltiple es anidando signos de

integración en el orden inverso al orden de ejecución (el de más a la izquierda es

el último en ser calculado), seguido de la función y los diferenciales en orden de

ejecución. El Dominio de Integración se representa simbólicamente para cada

diferencial sobre cada signo de integral, o a menudo es abreviado por una letra en

el signo de integral de más a la derecha:

Es importante destacar que es imposible calcular la antiderivada de una función de

más de una variable por lo que las integrales múltiples indefinidas no existen.

Ejemplo 1

Recordatorio   Evaluar:

donde R es la región del semi-plano superior limitado por los círculos

 Y .

Ejemplo # 2

Determinar el volumen del sólido acotado por el plano   y el

paraboloide 

Resolviendo:

Después de Integrar:

Ejemplo # 3

Calcular el volumen de un sólido que está debajo del paraboloide ,

encima del plano   y dentro del cilindro . 

 

 Complementando al cuadrado:

Ahora procedemos a integrar:

Ejemplo # 4

Encuentre la masa y el centro de masa de un triángulo con vértices en

. Densidad 

Ejemplo # 5

La densidad en cualquier punto en una lámina semicircular es proporcional a la

distancia al centro. Encuentre el centro de masa.

Ejemplo # 6

inside the sphere   outside the cylinder 

 

Ahora despejo para " z " ya que es la función que me da la altura de la siguiente

forma:

Factorizo un signo menos: 

Y como sabemos que:   entonces

Ahora aplicamos la integral doble:

 Ahora multiplicar x 2 ya q esto solo es la mitad de la

esfera.

Ejemplo # 7

Círculos:

Entonces aplicamos los completación al cuadrado a la siguiente ecuación para llegar a la forma del círculo:

Entonces obtenemos los límites de integración:

Aplicamos la integral doble:

Ejemplo # 8

Utilice coordenadas polares para encontrar la integral de la región dentro del

paraboloide   y dentro del cilindro 

Para este problema nuestra región la limita el cilindro

La altura la limita la función del paraboloide

Entonces tenemos la integral

Resolvemos la integral y la respuesta es: 

Ejemplo # 9

Utilizar una integral doble para encontrar el área encerrada por un pétalo de la

rosa de 4 hojas   

 

 

                

              

BibliografíaHostetler, R. E. (2008). Calculo Para Ingeniería. En R. P., CalculoTomo II (pág. 465). Grupo Editorial

Iberamericano.

Vandasker, K. (2007). Integral Doble en Coordenadas Polares. En S. E. W., Cálculo con Geometría Analítica (pág. 564). Grupo Editorial Iberamericano.