unidad 4 de calculo

7/25/2019 Unidad 4 de Calculo

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UNIDAD 4CALCULO DIFERENCIAL

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S en lugar de considerar h el incremento de la variable independiente x lo

sustituimos por x tenemos que la definicin queda

En el caso de que hagamos h=x-a tenemos a+h=x, la definicin

nos queda de la siguiente forma!


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Funcin dei!"d"."ada la funcin f#x$ contin%a en el intervaloabierto &o denominamos funcin derivada a!

S en lugar de considerar h el incremento de la variable

independiente x lo sustituimos por x tenemos que la definicin

queda!


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4.2 LA INTERPRETACIN GEO!TRICA DE LADERI"ADA.

La derivadade una funcin en un punto representa el valor de la pendiente de la recta tangente enLa pendiente est" dada porla tangente del "ngulo #ue forma la recta tangente a la curva (funcin) con el e$e de las abscisas, e

La derivada de una funcin mide el coeficiente de variacin de dica funcin! %s decir, provee u

matem"tica de la nocin delcoeficiente de cambio!


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Respecto del eje

de un plno c!tes"no de dos d"#ens"ones$ %o! eje#plo s" to##os l&eloc"dd de l'o( sucoe)c"ente es l cele!c"*n(

La cual mide cu"nto cambia la velocidad en un tiempo

dado!

%l coeficiente de cambio indica lo r"pido #ue crece (o decrece) una funcin en un punto

(ra&n de cambio promedio)


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4.# Concepto de diferencia$. Interpretacin %eo&'trica de$a( diferencia$e(.

La forma en #ue emos abordado el concepto de derivada, aun#ue existen varios conceptos, fu

larelacin de la pendiente de la l'nea recta *f (x) #ue era tangente a la funcin! +ara un punto

podemos llegar a la definicin de la derivada f (x) vimos #ue f (x-) es la pendiente de la re

la curva en x*x-!

%l diferencial se puede tomar en el sentido geom.trico como la elevacin de la tangente desde

#ue

se toma el diferencial!


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/ecu.rdese #ue la derivada de la funcin en el punto es la pendiente de la recta tangente

punto,

como sabemos #ue la tangente de un "ngulo es igual al cociente entre el cateto opuesto (i

cateto contiguo (incremento de x) de un ipot.tico tri"ngulo rect"ngulo, slo a #ue des

#ue

e#uivale a nuestro diferencial!

+"st 'eo#,t!"c#ente( l ele&c"*n se p!oduce &e!t"cl#ente p!t"! del punto eEl "nc!e#ento

-ue se to#e !ep!esent! el lej#"ento o!"ontl -ue ' desde el punto en

As l ele&c"*n de l tn'ente -ue se o3ten' co#o !esultdo depende! del puntoo!"ontl -ue se to#en( -ue en l .o!#uls #te#t"cs estn de)n"dos !espect"&


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4.4 PROPIEDADE) DE LA DERI"ADA

+ropiedades de las Derivadas

Las derivadas forman una parte importante del c"lculo!

0ablando en t.rminos sencillos, la derivada es una medida de la tasa de variacin de la salida

una funcin as'

como var'a la entrada de la funcin!%n base a la definicin anterior est" claro #ue la salida de la funcin es una funcin de la entr

de la funcin!

Las derivadas tienen algunas propiedades especiales #ue son importantes estudiar antes de sa

lleno en el tema!

+uesto #ue estas propiedades resuelven los problemas de una manera me$or m"s convenien

con un me$or

enfo#ue acia el tema!1lgunas de las propiedades m"s importantes son las siguientes:

-! 2i la funcin f(x): 3 4 5 es diferenciable en un punto +, entonces se

puede concluir #ue la funcin f(x) es

continua en el punto p!


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6! La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de las do

individualmente! La misma regla aplica tambi.n para la resta de dos derivadas! %sta reg

por el nombre de la regla de la linealidad!

'( )a derivada de la multiplicacin de una cantidad escalar con una funcin es igual a cuan

escalar

se multiplica a la derivada de la misma funcin(


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*( )a derivada de un n%mero constante es siempre igual a cero(

( )a diferenciacin de una variable con respecto a si misma producir uno(

( )a derivada de la multiplicacin de dos funciones es lo mismo que sumar la multiplicac

funcin con la derivada de la segunda funcin la multiplicacin de la segunda funcin cprimera funcin( Esta regla se conoce ms com%nmente con el nombre de la regla del p


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.( )a derivada de una variable elevada a una potencia es igual a las veces de la

derivada de la misma

variable elevada a una potencia reducida por uno( Esta regla es me/or conocida

regla de la

potencia( Es esencial que n sea un n%mero real para que la propiedad anterior s

0( )a derivada de la divisin de una funcin con alguna otra funcin es lo mismo que la

multiplicacin de la primera funcin con la derivada de la segunda funcin la multiplic

funcin con la derivada de la primera funcin con el cuadrado de la segunda funcin( 1

no debera ser igual a cero( Esta regla se conoce por el nombre de la regla del cociente


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2( )a regla de la cadena es una propiedad bastante comple/a se utili3a para fu

compuestas4 es decir

una funcin que es impuesta sobre cualquier otra funcin( "e dos funciones dife

f#x$ que haa

en una funcin compuesta h#x$ se define como,

h#x$ = g#f#x$$ = #g 5 f$#x$

6ara la funcin anterior h#x$ la derivada puede ser calculada usando la regla de

siguiente forma,

)a 7egla de la cadena slo puede ser usada cuando existen dependencias en c

funcin, en otraspalabras, para funciones compuestas( 8bserve un e/emplo resuelto con la regla

d#x*$9dx = :d#x*$9dx;

= #*x*


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4.# Re$%" de %" c"den".

Esta propiedad asegura que si y = f(x)es una funcin derivable en un cierto intervalo &

z = g(y)es otra funcin derivable definida en otro intervalo que contiene a todos los valores #im

entonces la funcin compuesta

definida por #g o f$ #x$ = g:f#x$;, es derivable en todo puntoxde I se obtiene


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7egla de la cadena para la funcin potencial

Se sabe que la derivada de una funcin f(x) = xmes f'(x) = m xm - (

Si en lugar dexse tuviese una funcin u(x), la derivada de u(x)m

aplicando la regla de la cadena, ser!

:u(x)m;?= m u(x)m - u'(x)

6ara simplificar la notacin, a partir de ahora, se escribir simplemente uen lu

1s,


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@alcular la derivada de f(x) = (x> +)'.

Resolucin:

Si u = x> + ,u'= >x

En este caso m= '

f'(x) = ' #x>+ $>A >x= x#x>+ $>

Eje#plo


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Re$%" de %" c"den" &"" %"'(unci)ne' *i$)n)+,*ic"'


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C"%cu%" %" dei!"d" de f(x) = sen(sen x)

Resolucin:

Si u = sen x, u' = cos x

f'(x) = (sen(sen x))' = u' cos u = cos x cos(sen x)

-"%%" %" dei!"d" de g(x) = sec (x / 10

Resolucin:

u = x> - 4u' = >x

g'(x) = (sec(x> - ))' = u' sec u tg u = >x sec(x> - ) tg(x

6@alcular la derivada de h(x) = sen'x>


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4.* +R,LA) DE DERI"ACIN - +R,LA) DE DI+ERENCIAC

Fo!#uls de De!"&c"*nI dc 0

L de!"&d de un constnte es ce!oII d8 1L de!"&d de un &!"3le con !especto s" #"s# es l un"dd$III d 9 u : & ; < = du : d& > d

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