momento 2 – trabajo colaborativo unidad 1 -calculo diferencial

8/19/2019 Momento 2 – Trabajo Colaborativo Unidad 1 -Calculo Diferencial

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Calculo diferencial01/03/2016

Momento 2 – Trabajo colaborativo unidad 1

Presentado por:

Franklin Smith Galvis Da a

!liana "isel Garcia

#ose $uis Mari%o

Daniel Fernando &ecerra

"eimar 'ndres Gon ale

Grupo:

1(()1(*)2+

Presentado a:

,'-$.S !D/'-D. .T!-. M/-0$$.

/niversidad nacional abierta a distancia

,alculo Di erencial

,!'D Duitama

2(13

1


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Fase 4o5 1 .

A continuación se presentan 12 problemas cada uno concerniente a las temáticas

de la unidad 1 del curso “Análisis de sucesiones y Progresiones”.

P-.&$!M' 1

Sergio ingresa a una dieta para subir de peso, esta dieta, le exige iniciar tomando

100mg de multi itam!nico el primer d!a e ir tomando " mg más cada d!a durante

los # d!as $ue el doctor le %a programado la dieta. 1 &g de multi itam!nico cuesta

2," Pesos. 'esponda las siguientes preguntas.

a6 7,u8nto multivitam9nico consumir8 Ser io en el total de su dieta (

)atos

*+ umero de -rupo 2"

p+ /alor en pesos de cada mga n + termino general

d+ cantidad de aumento del multi itam!nico por d!aa1+ cantidad del primer d!an+ total de d!as de consumo de multi itam!nico 2"

a n + a 1+(n− 1 ). d

a n + 100 mg+(425 − 1 ). 5 mg

a n + 2220 mg

-ta: n el total de su dieta Sergio consumirá 2220 mg de multi itam!nico.

b6 7,u8nto dinero astar8 comprando este multivitam9nico;

costo = a n . p

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costo = 2220 mg . 2,5

costo = 5550 pesos

-ta5 -asto ""00 pesos.

c6 7$a pro resi


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Pago + ":6:"0 = 2 + 26>0?, 2"

Al cancelar su eintea o 20 mes, sólo $uedan meses de pagosPara calcular el alor de la deuda restante, multiplicamos la cantidad demeses $ue 4altan por el alor del pago.

'estante + x 26>0?, 2"+ >"?2"

-ta: n el momento $ue Pedro se gana el c%ance, le $ueda por pagar >"?2" 5

b6 @$e alcan a a Pedro para pa ar la totalidad de la deuda restante en elmomento en >ue se ana el chance;

l alor $ue gano es de 12:"00 y el monto $ue le 4alta es de >"?2"

ntonces; 12:"00 >"?2" + 61B:"

-ta: Pedro si alcan*a a cubrir la deuda y le sobra dinero aun.

e6 @$a pro resiue -T': s una progresión aritm3tica, por$ue la di4erencia entre los t3rminos

sucesi os es constante.

6 7$a pro resiue-T' ; 5a progresión es descendiente, cada t3rmino es menor al inmediatamente

anterior.

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P-.&$!M' ?

Cn rey le di8o a un caballero; DPuedes tomar %oy una moneda de oro, maEana 2

monedas, pasado maEana monedas y as! sucesi amente, cada d!a puedes

tomar el doble de monedas de las $ue tomaste el d!a anterior %asta $ue llenes

esta moc%ila con las monedas $ue d!a a d!a irás depositandoD y le entregó dic%a

moc%ila.

Suponiendo $ue cada moneda de oro pesa 2 gramos y $ue la moc%ila tiene una

capacidad máxima de carga de # Fg.

'esponda las siguientes preguntas.

)AGHS

#+ umero de -rupo 2"9apacidad de carga de la moc%ila + 2" Fg

a6 7,u8ntas monedas en total lo rar8 reco er el caballero;

5o primero $ue se debe %acer es con ertir 2" Fg peso de la moc%ila agramos;

ntonces+ 2" Fg < 1000g + 2"000 gramos1Fg

A%ora se di ide este alor en el peso de cada moneda 2 gr 2"000 gr = 2 gr + 212"00-ta: l caballero logra recoger 212"00 monedas.

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b5 7,u8ntos d9as apro@imadamente se tardar8 en lo rarlo;

)!a 1+ 1.1 +1

)!a 2 + 2.1 +2

)!a 6+ 2.2 +

)!a + 2. +B

)!a "+ 2.B +1?

)!a ?+ 2.1? +62

)!a :+ 2.62 +?

)!a B+ 2.? +12B

)!a > + 2. 12B +2"?

)!a 10 + 2. 2"? +"12

)!a 11 + 2. "12 +102

)!a 12 + 2. 102 +20 B

)!a 16 + 2. 20 B + 0>?

)!a 1 + 2. 0>? +B1>2

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Calculo diferencial01/03/2016)!a 1" + 2. B1>2 +1?6B

)!a 1? + 2. 1?6B +62:?B

)!a 1: + 2. 62:?B +?""6?

)!a 1B + 2. ?""6? +1610:2

)!a 1> + 2. 1610:2 +2?21

Sn=n (a 1+a n)

2

S19=19 (1+262144 )

2 = 24.90375

Si le de8an ol er el d!a 1> a recoger %asta completar la moc%ila obtendrá 2?21

en 2 d!as

c5 @$a pro resi


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P-.&$!M' )

n un laboratorio, un cient!4ico descubre un catali*ador para %acer $ue una solabacteria se reprodu*ca por tripartición cada media %ora, el cient!4ico re$uiere desarrollaren %oras un culti o de bacterias superior a 10.000 # . 'esponda las siguientespreguntas.

)AGHS;

#+ umero de -rupo 2"' + ra*ón 6

+ tiempo9antidad de bacterias a obtener 10000 2" + 2"0000

a6 7,u8l es el tama%o del cultivo de bacterias obtenidas lue o de las )horas;

3 ¿7 u 8= 6561u8= ar

n− 1= 3 ¿

si n + 1 60 min u1 + u0 J 6 1 + 6si n + 2 ?0 min u2 + u1 J 6 6 + >si n + 6 >0 min u6 + u2 J 6 > + 2:

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Calculo diferencial01/03/2016si n + 120 min u + u6 J 6 2: + B1si n + " 1"0 min u" + u J 6 B1 + 2 6si n + ? 1B0 min u? + u" J 6 2 6 + :2>

si n + : 210 min u: + u? J 6 :2> + 21B:si n + B 2 0 min uB + u: J 6 21B: + ?"?1

-ta5 l tamaEo de culti o de bacterias, despu3s de %oras es de ?"?1.

b6 7$o ra el cient9 ico cultivar la cantidad de bacterias >ue re>uiere;

S= Ur − ar− 1 =

6561 (3)− 32

= 9840


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Problema +

Pedro tiene sobrepeso, su peso actual es de 1?: Kg y su peso ideal deber!a serde B2Kg. Cn m3dico le receta un tratamiento el cual le a a permitir ba8ar de pesoa ra*ón de 1=# Kg diariamente.

)atos

#+ nLmero de grupo 2"

7!n cu8nto tiempo pedro alcan ar9a su peso ideal;

l t3rmino general de la sucesión es

a n= a 1∗d (n− 1)

n este caso

a 1= 167

d= − 1425

a n= 167−n− 1425

o creo $ue mere*ca la pena simpli4icarse

/eamos en $ue d!a alcan*a los B2

82= 167 − n− 1425

n− 1

425

= 82

n− 1= 82∗425 = 34850

n= 34851 dias

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Calculo diferencial01/03/2016&ás de >" aEos MNN

7$a pro resi


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d= z= 425

a n= a 1 +(n− 1)∗d

5a suma de los 10 primeros t3rminos

a 10= 425 +(10− 1)∗425

a 10= 4250

sn=a 1 +a n

2 ∗n

s10= 425 +42502 ∗10

s10= 3803750

l alor del eintea o termino

a 20= 425 +[20− 1 ]∗425

a 20= 8500

P-.&$!M' B

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Calculo diferencial01/03/2016Plantee el t3rmino general de una progresión geom3trica cuyo primer t3rmino es #

y la ra*ón comLn es #. Adicionalmente encuentre la suma de los primeros "

t3rminos y el alor del d3cimo t3rmino.

Germino general a n= a 1∗rn− 1

a 1= 425

r = 425

a 5= 425∗425 5− 1

a 5= 13865

sn=a 1 (r n− 1)

r − 1

s5=425 (425 5− 1)

425 − 1

s5= 32702

a 10= 425∗425 10− 1

a 5= 102260

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Problema C5

ncuentre el primer t3rmino de una progresión cuya di4erencia comLn es 1= y lasuma de sus tres primeros t3rminos es #. Adicionalmente, plantee el t3rminogeneral.

a 1= ?

d= 14

a 3= 425

a 3= a 1 +(n− 1 )∗1

4

425 = a 1+(3− 1)∗1

4

a 1=425− (3+1)

14

a 1= 409

Problema

Se está exca ando un po*o para encontrar petróleo, el gerente de la obra re$uieresaber cuántos metros de exca ación an %asta el momento y solo conoce $ue elcosto del primer metro exca ado es de 1000 # , el costo por metro adicional es de10.000 y a la 4ec%a se %an in ertido 1.000.000 para la exca ación.

1000000 = 1000 (425 )+1000 ( x− 1)

1000000 = 425000 +1000 x− 1000

1000000 − 425000 +1000 = 1000 x

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576000 = 1000 x

576= x

-ta : %asta el momento an ":? metros exca ados

Problema 1(5

Se reparte un bono de a idad a los 10 me8ores endedores de una empresa. Sesabe $ue, a mayor enta mayor bono, y $ue la di4erencia entre 2 bonosconsecuti os es siempre constante y es de 10 # . Además el endedor 1 recibe elmenor bono y el endedor 10 recibe el mayor bono. Si el endedor 6 recibe unbono de 1000 # .

)atos

#+ nLmero de grupo 2"

5a di4erencia de dos bonos consecuti os es 10 2" + 2"0

l tercer endedor recibe + 1000 2" + 2"000

bn= b

1+(n− 1)d

bn= b1 +4250 (n− 1)

Sabemos $ueb3= 425000 luego

b3= b1 +4250 (3− 1)= 425000

b1+4250∗2= 425000

b1+8500 = 425000b1= 425000 − 8500 = 416500

b10= 416500 +4250 (10 − 1)= 454750

a6 7,u8nto recibe el mejor vendedor;

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b10= 416500 +4250 (10 − 1)= 454750

b10= 454750

b @,u8nto recibe el peor vendedor;b1= 425000 − 8500 = 416500

b1= 416500

c6 7$a pro resi


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a n= a 1∗r n− 1

)onde

a 1= primer terminno

r= razon,queesigual =a n +1a n

n= terminoenesimo dela progresion

ntonces

a z= a 1∗r z− 1

= 3∗3425 − 1

a 425= 59776881674 212

quees elnumerode abejasque nacieronel dia 425

7,u8ntas abejas hab9a despu=s de un mes Esabiendo >ue un mes es i ual a?( d9as;

Sn= an∗r − a 1r− 1

Pero primero debemos %allar a n

a 30= 3∗330− 1

a 30= 2058911 14

2058911(¿¿14∗3)− 3

3− 1S30= ¿

S30= 3088366 14 Que eslacantidad deabejas enel dia 30

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b6 7,u8l ser8 el total de dinero recibido en 22 meses de trabajo en la misma

empresa;

y despu3s usar la siguiente 4ormula

S +n(ua +u n)

2

ua= primer termino

un= terminohasta dondesedesea hacer la sumatoria

n = número de términos

S= 22 (42500 +60392 )2

S= 1 ´ 131 . 812

El total de dinero reci ido al ca o de 22 meses de tra a!o

F'S! 2

aciendo uso de la Aplicación -eogebra y siguiendo las indicaciones del ideo“Qase 2 Graba8o 9olaborati o 1”, -ra4icar los " primeros t3rminos de lassiguientes progresiones y determinar para cada progresión si es geom3trica oaritm3tica, su ra*ón o di4erencia comLn y si es creciente o decreciente.

a6 2 – ?

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5os t3rminos son;+ 1 un+ O+2 un+O2+6 un+0+ un+2

+" un+

• s una progresión aritm3tica por$ue cada termino se obtiene sumandoal anterior numero llamado di4erencia de la progresión

• Su di4erencia comLn es 2• I es una progresión creciente por$ue cada t3rmino es mayor $ue el

otro.

b6 C – 2n

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5os t3rminos son;+ 1 un+ ?+2 un+

+6 un+2+ un+0+" un+O2

• s una progresión aritm3tica por$ue cada termino se obtiene sumandoal anterior numero llamado di4erencia de la progresión

• Su di4erencia comLn es 2• I es una progresión decreciente por$ue cada termino es menor $ue el

otro

c6 2 H1

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5os t3rminos son;+ 1 un+ 1+2 un+2+6 un++ un+B+" un+1?

• s una progresión geom3trica por $ue cada t3rmino se obtienemultiplicando el anterior por un nLmero 4i8o llamado ra*ón de laprogresión.

• Su ra*ón es 2• I es una progresión creciente por$ue cada termino es mayor $ue el

otro

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F'S! ?

5as progresiones

Aporte indi idual QranFlin -al is

5as progresiones, aritm3ticas son un con8unto de nLmeros, cuya di4erencia esconstante y a esa di4erencia contaste la llamamos ra*ón. n donde no me solicitanel siguiente t3rmino sino un t3rmino $ue está muc%o más ale8ado, a un t3rminoen3simo, en cambio a la progresión geom3trica es un con8unto de nLmeros cuyadi4erencia constante llamada ra*ón es un producto de tal 4orma $ue el t3rminoen3simo lo podemos encontrar a tra 3s de una 4órmula de multiplicación

)onde lo podemos aplicar, en las 4ases anteriores se aplicó de tal manera $uedebimos identi4icar si era aritm3tica o geom3trica, dependiendo su ra*ón.

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,onclusiones

• Cna progresión aritm3tica es una sucesión en la $ue se pasa de un t3rminoal Siguiente sumando un nLmero 4i8o positi o o negati o al $ue se llamadi4erencia y de la progresión y la representamos con la letra d, y Cnaprogresión geom3trica está constituida por una secuencia de elementos enla $ue cada uno de ellos se obtiene multiplicando el anterior por unaconstante denominada ra*ón o 4actor de la progresión.

momento 2 – trabajo colaborativo unidad 1 -calculo diferencial

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