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8/16/2019 TRABAJO DE MOMENTO ANGULAR.pdf

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PROYECTO MOMENTO ANGULAR

UNIVERSIDAD PRIVADA

DEL NORTE

CARRERA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

FISICA I


DOCENTE: ABILIO CUZCANO RIVAS

ALUMNO: WILDER JESUS LUNA LLANTIRHUAY

http://wa.upn.edu.pe/index.asp




MOMENTO ANGULAR

• Marco Teórico• Aplicación• Conclusiones• Bibliografia• Casos Reales Aplicados• Ejercicios De Física




Marco Teórico

INTRODUCCIÓN

• En esta presentación realizaremos el estudio teórico y práctico de undispositivo masa-cilindro-resorte, en el cual se conserva el momentoangular.

• Desarrollaremos el ejercicio de manera tal de explicar con detalle lossucesos con diferentes variables. Llegando a concluir las distintasproporcionalidades entre las variables.

Momento angular (L)

Definimos momento angular de una partícula, para luego extender su definición

a un sistema de partículas o rígido.

El momento angular de una partícula respecto al punto Lo, se define comoproducto vectorial entre r y p (vectores posición y momento linealrespectivamente)

L es perpendicular al plano definido por los vectores r y p y sus sentidos losindicamos con la regla de la mano derecha.

Él módulo de Lo se obtiene de la siguiente ecuación:

El momento angular para un sistema de partículas se obtiene sumando lacontribución de cada una de las partículas.

Estudiamos el caso particular para una partícula que describe un movimientocircular.




Aplicando esto en la ecuación: Lo = p r sustituiremos por p = m V (siendo m lamasa de la partícula y V la velocidad tangencial de la misma), y como V = W r(sea W la velocidad angular), obtenemos que Lo = m r 2 W.Teniendo en cuenta que la inercia de una partícula es igual a m r 2 concluimos

con la siguiente ecuación Lo = IW

Al igual que existe una principio de conservación para el momento lineal, existeuna principio de conservación para el momento angular y esto sucede cuandoel troqué externo es nulo.

En el siguiente ejercicio fue necesaria la utilización de los conceptos de energíadefinidos por la siguiente ecuación.

Aplicación

En el siguiente ejercicio aplicaremos lo dado anteriormente

El cilindro de radio R y masa M de la figura está inicialmente en reposo ymontado sobre un eje horizontal que pasa por su centro de masa. Este eje estáapoyado sobre un par de guías horizontales sobre las cuales desliza sin friccióny unido a dos resortes de igual constante k sujetos por sus otros extremos auna pared lejana.

Se lanza un trozo de arcilla de masa m y rapidez v contra el cilindro siendo m

<< M.

El trozo de arcilla impacta sobre el cilindro (quedando pegado luego a él)siguiendo una dirección perpendicular al eje y a una distancia d por encima delmismo (d < R).

Dado que la masa m es pequeña, se puede suponer que la simetría delconjunto (masa y momento de inercia del conjunto masa+cilindro) es la mismaque la del cilindro solo.

a) Calcular la velocidad angular del conjunto luego del impacto.

b) Hallar la compresión máxima que pueden alcanzar los resortes.c) Calcular la energía perdida durante la colisión.




d) Repetir las partes a) y c) suponiendo que el eje del cilindro no puededesplazarse sobre las guías.

Como el Torque externo es nulo, el momento angular se conserva: Li = Lf

Siendo:

Es decir:

Entonces: (1)

En este caso:

Sustituyendo en (1):

Consideramos el instante después del choque puesto que a partir de éste seconserva la energía mecánica por ausencia de fuerzas no conservativas:




Sea:

Sustituyendo en (2):

Despejando obtenemos:

Por el mismo supuesto la cantidad de movimiento del centro de masas seconserva:

Siendo:

Entonces:

Despejamos V:

(Como m << M podemos suponer que (m+M) = M)




Sustituyendo V en (3):

Para calcular la energía perdida durante la colisión nos consideramos dosinstantes. El primero: Antes de la colisión, donde la masa m se encuentra a unaaltura d respecto por encima del CM del cilindro. Y el segundo: luego de lacolisión, encontrándonos con el movimiento combinado de ambos objetos.

Primer instante:

Siendo Ug despreciable para los cálculos:

Segundo instante:

Calculando la energía perdida:




Sustituyendo por:

Entonces:

d) Ahora suponemos la misma situación pero el eje del cilindro no puededesplazarse sobre las guías.

En este caso, la velocidad angular final del cilindro w es igual a la calculadaanteriormente, dado que las magnitudes para calcularla no se ven afectadaspor el cambio citado; siendo estas: m (masa de la partícula), v (la velocidad dela misma), d (la distancia de la partícula al centro de masa del cilindro) e I (lainercia).

En este caso, al suponer que el eje del cilindro no puede desplazarse sobre lasguías, el cilindro no posee energía de traslación (su velocidad final V es nula) y

como consecuencia solo rota.

Y como:

¿Cómo varía W en función de los parámetros?

Con el ejercicio ya resuelto, vimos que




ConclusionesCon esto llegamos a las siguientes conclusiones:

W es directamente proporcional a d, m y v .

W es inversamente proporcional a M y R2.

Es decir, si duplicamos las magnitudes: d, m y v , obtenemos que W se duplica.Si también se duplica la masa M, obtenemos que W disminuye a la mitad. Y siduplicamos R, obtenemos que W disminuye a su cuarta parte.

Para realizar el estudio de una forma más precisa, decidimos dar valores fijos aciertas magnitudes, y de esta manera obtuvimos distintos valores de W alcomenzar a variarlos.

Supongamos estos ejemplos numéricos:

m = 0.100KgM = 1.200KgR = 0.20mv = 10 m/ s

Con los datos anteriores obtenemos que W = 5.83 rad s .Primero realizamos el estudio de W, al variar la magnitud v (Siempre en funciónde los datos dados anteriormente).

El estudio está dado según la siguiente gráfica.




A continuación estudiamos los valores de W al variar d , y vale aclarar que elsiguiente gráfico tiene sentido físico solo hasta d = R .

El siguiente gráfico representa los diferentes valores de W al variar M.




Para finalizar con el estudio, hacemos variar R y lo representamos en elsiguiente gráfico:

¿Cómo varía la energía perdida en función del parámetro de impacto?

En el ejercicio ya resuelto obtuvimos el siguiente resultado:

Sustituyendo en las variables de la ecuación los valores dados anteriormente,obtuvimos que:

Una función de segundo grado con dos raíces (calculadasaproximadamente), y con un máximo en d = 0.

A continuación está representado el gráfico de la energía perdida en función dela variable d . Vale aclarar que desde el punto de vista físico, este gráfico poseevalidez en el intervalo




Análisis del gráfico:

Cuando d = 0, la energía perdida es máxima pues el cilindro no realiza unmovimiento rotacional. De esta manera llegamos a que la energía rotacionalque el cilindro hubiera obtenido (si d fuera mayor que cero) es entregada a losresortes, y como consecuencia el cuerpo solo se traslada.

Sin embargo, según el gráfico obtenido, cuando d = no se pierde energía, yaque la energía rotacional alcanza su valor máximo y a su vez no se producetraslación. Al no trasladarse el cilindro no brinda energía a los resortes puesnunca llega a ellos. Por lo tanto no se pierde energía del sistema.




Bibliografía- Bueche, Fundamento de Física I, Editorial McGraw-Hill.- Resnick, (y otros). Física. Volumen I, Editorial: C.E.C.S.A. (5ta., Edición).- Sears, (y otros). Física Universitaria, Volumen I. Editorial: Pearson

Educación.- Volkeinsthéin (y otros). Problemas de Física General. Editorial MIR.- FISICA 1 Resnick- Halliday FÍSICA - La naturaleza de las cosas -

Volumen 1 - Lea y Burke.




CASOS REALES APLICADOSUna roca perfectamente redondeada, rueda sin resbalar sobre unasuperficie plana con una rapidez constante de 2 m/s. Sí se encuentra conun talud de 30°, ¿hasta qué altura puede subir antes de pararse?.

Solución:

Momento de inercia de una esfera rellena.

La energía cinética es:

con este valor y el de la energía potencial: m. g .h ., tenemos:




¿Qué velocidad adquirirá una roca que se desprende de una ladera

perfectamente lisa, y que rueda sin resbalar, Sí la ladera tiene unainclinación de 60° y la distancia recorrida es de 20 m?.

Solución:




EJERCICIOS DE FÍSICAEjercicio N° 1.- Un disco de 2 kg que se desplaza a 3 m/s golpea una barrade 1 kg. que esta sobre hielo, de roce despreciable. Suponga que lacolisión es elástica y que el disco no se desvía de su línea original demovimiento. Calcular la rapidez de traslación del disco, la rapidez detraslación de la barra y la rapidez angular de la barra luego de la colisión.I=1.33 kg-m^2 .

Desarrollo:




Ejercicio n° 2.- Calcula el momento angular de la Tierra respecto al centrodel Sol, despreciando el movimiento de rotación de la Tierra sobre símisma y considerando a la ´orbita de la Tierra como circular. Datos:

La velocidad de traslación de la Tierra alrededor del Sol es:

Considerando a la Tierra y al Sol como objetos puntuales y suponiendo que laórbita de la Tierra es circular alrededor del Sol, entonces el vector de posición yel vector velocidad de la Tierra respecto al Sol son siempre perpendiculares.Por tanto, el momento angular de la Tierra respecto del Sol es un vector

perpendicular al plano de la órbita del planeta, cuyo modulo es:

Ejercicio N° 3.- El vector de posición de un cuerpo de 6 kg de masa estádado por

(r en m y t en s). Hallar la fuerza que actúa sobre lapartícula, el momento de fuerzas respecto del origen, el momento lineal y

el momento angular de la partícula respecto del origen.Solución:

Derivando dos veces respecto del tiempo obtenemos la aceleración del cuerpo:

Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos la fuerza que actúa sobre él:

El momento de fuerzas respecto del origen será:

El momento lineal de la partícula será:




El momento angular respecto del origen será:

Ejercicio N° 4.- Un proyectil de masa m es disparado desde el punto O conuna velocidad v 0 y un ángulo Ɵ sobre la horizontal. Calcular el momentoangular del proyectil respecto del punto O en función del tiempo.Determinar su variación a lo largo del tiempo. Calcular el momento delpeso del proyectil respecto de O y compararlo con el resultado anterior.

Solución:Si tomamos el origen de coordenadas en el punto O, escogemos los ejes X e Yde tal forma que el movimiento se realiza en el plano XY y ponemos a cero elcronómetro cuando se dispara el proyectil, la posición y la velocidad delproyectil vendrán dadas por:

El momento lineal de la partícula será:

El momento angular respecto de O será:

Su variación con el tiempo será:

Si calculamos el momento de fuerzas del peso del proyectil respecto del puntoO:

Comparando vemos que los dos últimos resultados coinciden. Lo cual verificala segunda ley de Newton para magnitudes angulares:




Ejercicio N° 5.- Una plataforma horizontal de 100 Kg. de masa giraalrededor de un eje vertical que pasa por un centro y da 10 r.p.m. Unhombre que pesa 60 kgf se encuentra en estas condiciones en el borde dela plataforma. ¿Con qué velocidad comenzará a girar la plataforma si elhombre se traslada desde el borde hacia el centro de la misma?.Considera que la plataforma es un disco circular homogéneo y que elhombre es una masa puntual.

Solución:

al inicio es

.

Se conserva el momento cinético cuando mH se traslada hasta el centro, ya que

no hay impulsión angular exterior:

, entonces al final es:

,.

Cuando el hombre se encuentra en el centro:




aquí es:

Ejercicio N° 6.- Una calesita consta de un disco sólido uniforme de 200Kgf y gira alrededor de un eje vertical. El radio mide 6,0 m, y un hombre

de 100 kgf está parado en su borde exterior cuando gira a 0,2 rev/s.,a)¿Con qué velocidad girará si aquél camina 3,0 m, hacia el centro a lolargo de un radio?., b) ¿Qué sucederá si el hombre sale por el borde?.

Solución:

El momento de inercia vale:

(1)

Se conserva

(2)

(3)




Como el momento se conserva, de (1) y (3), tenemos:

En este caso es

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